Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άσκηση N βρείτε τις ράγουσες των ρκάτω συνρτήσεων: ) ) f ( ) = 4 5 + f 3 ( ) = + 3) f( ) = συν 5 4) f 4 ( ) = 4 5) 6) f( ) = f( ) = 5 3 + 5 + 3 7) f( ) = ημ 8) + f( ) = 9) f ( ) = + ) f( ) = 3 ln + ) f( ) = ημ+ συν ) f( ) = συν ημ
3) συν ημ f( ) = 4) ημ συν f( ) = ημ 5) f( ) = εφ+ συν 6) ln f( ) = 7) ημ συν f( ) = συν ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ή ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άσκηση N υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώμτ: ) J = ημ συνd ημ(ln ) ) I = d 3) I = + ( ) d 3+ 5 4) I= ( 3) d 3 5) I= ( + ) ( 3 + ) d 3 6) I= ( 3 ) d 3
3 7) I= 4 3 3+ d 8) I= 4 3 + 3 d 9) I = d 3 + ) I = + d ) J = ( + ) συν( + + 3) d ) I= + d 3) J = + + 4+ d 4 4) Ι = 4+ d 5) J = 6) Ι = 3 4 ln 7) I = d 8) J = συν 4 4 d συν ημ d 5 3 d 9) I = ( + ) ( ) d ) I= 3 ln 3 ημ d συν + 3 4
) I= (ln ) d ) I= + d (ln + ) εφ 3) I= 3 συν d 4) I= 5) I= 3 σφ 3 d ημ 4 συν ημ d 6) I= συν ημ d 7) I= εφ d 8) Ι= + ln d OΛOKΛHPΩΣH KATA ΠAPAΓONTEΣ Άσκηση 3 N υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: ) συν d A: ) ( + ) + d A: 3 4 3) 4) ημ d A: + 5 ln d A: 4 5) d A: συν ln 4 5
Άσκηση 4 Δίνετι το ολοκλήρωμ I d ν =, >, κι ν με ν. Ν οδείξετε ότι ν I ν = + ν ( ν ) ν I ν Άσκηση 5 (Θέμ 99) 4 ν Αν θέσουμε Ι = εφ d γι κάθε ν *, τότε: ν i. Αοδείξτε ότι γι κάθε ν> ισχύει Ι ν = Ιν. ν ii. Υολογίστε το Ι 5. OΛOKΛHPΩΣH PHTΩN ΣYNAPTHΣEΩN Άσκηση 6 N υολογίσετε το ρκάτω ολοκληρώμτ: ) Ι= 3 3 + + 6 d + ) Ι= + 3+ d 3) Ι= 3 + 6 + 3 + 6 d 3 + 6
Άσκηση 7 Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώμτ: ) Ι= ln ( + + ) d A: ln ( + ) + ) Ι= ln + 3 d Α: 4 4ln 3 3) Ι= 3 ημ d Α: + 3ln συν + 3 συν 4) Ι= d ημ 5ημ+ 6 Α: 4 ln 3 5) I= d Α: 4 5 3 3 6) J= d Α: 76 + 5 7) I= ( ) ( + ) 8) I= 9) J= 6 d Α: 56 3 + d Α: + ln ln ( + ) + d Α: + ( + ) 63 ln ln 4 ) Ι= ημ d Α: 3 + 3 9 Άσκηση 8 i. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,], ν οδείξετε ότι ( ) = ( ) f d f d. ii. Αν, β>, ν οδείξετε ότι ( ) β β = ( ) d d. 7
Άσκηση 9 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι γι κάθε ισχύει f() + β f( ) = γ, με + β. Αοδείξετε ότι f 4 ( ) d γ =. + β Άσκηση Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι άρτι στο [, ], ν οδείξετε ότι: i. ( ) f d = f ( ) d + ii. ( ) = ( ) f d f d Άσκηση i. Ν χρησιμοοιήσετε την ντικτάστση u = γι ν οδείξετε ότι f (ημ ) d = f (συν ) d ν ν ημ συν ii. Ν οδείξετε ότι d d ν ν ημ συν ν ν + = ημ + συν κοινή τιμή των δύο ολοκληρωμάτων. κι ν υολογίσετε την iii. Ν υολογίσετε το I = συν συν + ημ 3 d. 3 3 8
ΕΜΒΑΔΑ Άσκηση Δίνετι η συνάρτηση ( ) 3 f = 3 +. ) Ν μελετήσετε το ρόσημό της. β) Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f i. Τον άξον ' κι τις ευθείες = κι = ii. Τους άξονες ', yy ' κι την ευθεί = iii. Τον άξον ' κι τις ευθείες = κι = 3 iv. Τον άξον ' κι την ευθεί = v. Τον άξον ' κι την ευθεί = 3 vi. Τον άξον ' Άσκηση 3 Ν υολογίσετε το εμβδό του χωρίου ου ερικλείετι i. ό την ρβολή y =, την ευθεί +y =. ii. ό την ρβολή y =, την ευθεί +y = κι τον θετικό ημιάξον Ο iii. ό τις ρβολές y = κι y =. A: i. 9 τ.μ.,ii. 5 6, iii. Άσκηση 4 (Θέμ Δέσμες) Έστω C f η γρφική ράστση της συνάρτησης f( ) = ηµ +,, 4. Ν βρεθεί το εμβδό του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, την εφτομένη της στο = κι τους ημιάξονες O, Oy. 8 9
Άσκηση 5 Δίνετι η συνάρτηση f () = ln. i. Ν μελετήσετε την f ως ρος την μονοτονί κι τ κρόττ. ii. N οδείξετε ότι το εμβδό E(t) του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f τον άξον κι τις ευθείες = κι =t >, δίνετι ό την σχέση: E(t) = lnt t + t. iii. Ν βρείτε τις σύμτωτες της συνάρτησης E(t), t >. iv. N υολογίσετε το lim E(t). t + A.: iii. y=, iv. Άσκηση 6 Δίνετι η συνάρτηση f : (, + ) (, + ) με f()= 4 κι f()= f (). i. Δείξτε ότι: f()= 4. ii. Ν βρείτε το εμβδό του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης g με g()= f (), τον άξον κι τις ευθείες =, =..
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ( ( ) () ( ) g( ) () ( ) g( ) F = f t dt F = f t dt F f () t dt = h( ) ) Έστω ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο εδίο ορισμού της A f κι στθερό σημείο του A f. ) Αν η F είνι της μορφής F( ) = f () t dt κι το A f είνι διάστημ, τότε: εδίο ορισμού της F είνι ολόκληρο το A f. ln t Π.χ. γι την F( ) = dt t + είνι F (, ) Α = +. ) Αν η F είνι της μορφής F( ) = f () t dt κι το A f είνι ένωση διστημάτων, τότε: εδίο ορισμού της F είνι το ευρύτερο διάστημ υοσύνολο του εδίου ορισμού της f στο οοίο εριέχετι το. Π.χ. γι την ( ) = είνι F (, ] F t dt Α =. t γι την G( ) = dt t είνι G (, ) Α =.
3) Αν η F είνι της μορφής g( ) F( ) = f () t dt, τότε: η F έχει ως εδίο ορισμού το ευρύτερο υοσύνολο του, το οοίο ροκύτει ό τις ιτήσεις: Ag a κι g ( ) νήκουν στο ίδιο διάστημ, υοσύνολο του A f. Π.χ. γι την F( ) t 5 = dt είνι Α (,5) F =. t γι την γι την είνι [ 4, ) F F( ) = t dt Α = +. είνι Α = (,, + ) F F( ) = t 4dt. 4) Αν η F είνι της μορφής g( ) F ( ) = f () t dt, τότε: h( ) η F έχει ως εδίο ορισμού το ευρύτερο υοσύνολο του, το οοίο ροκύτει ό τις ιτήσεις: Ag Ah g ( ) κι h ( ) νήκουν στο ίδιο διάστημ, υοσύνολο του A f. Π.χ. γι την F ( ) = t 9 dt 3 είνι Α [ 4, ], ) 9 F = +. γι την ( ) = + 3 9 F t dt είνι Α F =,.
Εξήγηση: Στο o ράδειγμ είνι f t () t 9 = με (, 3] [ 3, ) A = +. Ακόμη είνι f h ( ) 9 = κι g ( ) = 3. Θ ρέει λοιόν ν ισχύει: h ( ) 3 h ( ) 3 κι ή κι g ( ) 3 g ( ) 3 δηλδή 9 3 9 3 κι ή κι 3 3 3 3 6 κι ή κι 4 4 η ή κι κι ( 4 ή ). 3
Άσκηση 7 Ν βρείτε την ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: i. ( ) = ημ 3 5 f t dt f = dt ln t ii. ( ) 4 t f = dt ln t iii. ( ) Άσκηση 8 Ν βρείτε την ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: i. ( ) 5 f = συν t dt 5 ii. f ( )= t 3t dt ln t iii. ( ) = ln ( ) f dt iv. f ( )= t 4 dt. Άσκηση 9 Ν βρείτε την ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: i. ( ) ( t ) ln f = dt 5 t f = t dt ln ii. ( ) + f = t 4 t dt iii. ( ) 4
Άσκηση Ν βρείτε την ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: i. ii. iii. 3 t, f ( ) = dt, 3 t, f ( ) = ημ dt, 3 3 ( ) = συν( + ) f t dt,, iv. f () = f (t) 3 d dt,. Άσκηση Ν βρείτε τη ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: i. ( ) = + ημ ( ) f t t dt, ii. ( ) ( ) f = + συν t dt, iii. ( ) ( ) f = + ln t dt, >. Άσκηση Ν βρείτε τη δεύτερη ράγωγο των ρκάτω συνρτήσεων: f = ημ t dt, i. ( ) 5 ii. ( ) = + ( ) t f t dt 5 t 5 iii. ( ) ( ημ ) f u du dt, =, 5
Ολοκλήρωμ της συνάρτησης F()= f (t)dt Άσκηση 3 t i. Εάν F ( ) = dt, ν βρείτε το ολοκλήρωμ ( ) F d ii. Εάν F ( ) = ημt dt, ν βρείτε το ολοκλήρωμ ( ) iii. Εάν F ( ) = F d 3 dt, ν βρείτε το ολοκλήρωμ ( ) + t F d Όρι στ ολοκληρώμτ Άσκηση 4 N βρείτε τ ρκάτω όρι: ημt A = lim+ dt t B = lim + dt lnt (A =) (B=) Γ =lim ln(3t 3t + t 3 ( ) )dt (Γ=) 3 Δ = lim + ln(+ ) dt +t (Δ=) 6
Άσκηση 5 Η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο. Ν βρείτε τον τύο της ν γνωρίζετε ότι ισχύει: f () = + t f ( t )dt γι κάθε. A: f () = + Άσκηση 6 Γι την συνεχή συνάρτηση f : N βρείτε τον ισχύει + f (t)dt λ, γι κάθε. * λ + ν η γρφική της ράστση C f διέρχετι ό την ρχή των ξόνων. Άσκηση 7 N δείξετε ότι γι κάθε, είνι εφ t σφ dt dt + = + t t( + t ). 7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Άσκηση 8 Έστω f μι συνάρτηση δυο φορές ργωγίσιμη στο διάστημ [, β] με f ( ) >, f ( β ) > β κι f ( ) d =. Ν δείξετε ότι: i. Υάρχει γ (, β) τέτοιο, ώστε f ( γ ) =. ii. Υάρχει δ (, β) τέτοιο, ώστε f ( δ ) <. iii. Υάρχουν ξ, ξ (, β) τέτοιοι, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) <. =. iv. Υάρχει ξ (, β) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) Πρόκληση! Αοδείξτε το τελευτίο ερώτημ (iv) εξιρώντς ό τ δεδομέν την ύρξη δεύτερης ργώγου, θεωρήστε, δηλδή, γνωστό ότι η f είνι λά ργωγίσιμη. Μορείτε ν βρείτε δυο διφορετικούς τρόους όδειξης γι υτό; Τρεις; Άσκηση 9 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β], με f ( ) d β, ν δείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν σημείο ξ (, β) τέτοιο ώστε ν ισχύει f ( ) d + f ( ) d = + β ξ β ξ ξ. β 8
Άσκηση 3 Έστω η ργωγίσιμη στο συνάρτηση f γι την οοί ισχύει β δ f ()d = f()d, όου γ β =δ γ> κι β<γ. i. Αν h() = f(t)dt,, ν οδείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον μετξύ των +β κι γ ώστε h ( ) =. ii. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (, β ) +. Άσκηση 3 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ [, ]. N δείξετε ότι η εξίσωση: f (t) dt = f () έχει τουλάχιστον μι λύση στο (, ). Άσκηση 3 Έστω οι θετικοί ριθμοί, β, γ με < β κι η συνεχής συνάρτηση f : (, + ), ώστε β ( ) f ( γ ) d = γ β διάστημ (γ, βγ).. N δείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο Άσκηση 33 Oι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο κι γι κάθε ισχύει t f (t)dt g(t)dt. Δείξτε ότι η εξίσωση: 3 f () = g() + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,). 9
Άσκηση 34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο [,] κι ργωγίσιμη στο (,), ώστε f () = f () + f (t) dt. Ν οδείξετε ότι : i. υάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( ) = f (t)dt, ii. υάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( ) = f ( ). Άσκηση 35 Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση f : [,] με f()=, γι την οοί ισχύει: f (t)dt γι κάθε [,]. Ν οδείξετε ότι: i. f()=, ii. υάρχει, ( ) τέτοιο ώστε: f (t)dt =, iii. υάρχει (,) τέτοιο ώστε: f ( ) =, iv. υάρχει εφτομένη της C f της οοίς η κλίση είνι ίση με. Άσκηση 36 Ν βρείτε τον τύο μις συνεχούς στο συνάρτησης f, γι την οοί ισχύει f()= t + f ( t) dt, γι κάθε. Α: 3 f( ) = + 3
Άσκηση 37 Έστω f : συνεχής συνάρτηση γι την οοί ισχύει f ( ) = + f ( t ) dt γι κάθε. Ν οδείξετε ότι: i. f ( ) = ii. Εάν β γ β f d f d. < < τότε ( γ β) ( ) < ( β ) ( ) γ β Άσκηση 38 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, ώστε ν ισχύει η σχέση: f() f(+)=6+, γι κάθε. N δείξετε ότι: i. H συνάρτηση F() = f () t dt 3 είνι στθερή κι ν βρεθεί ο τύος της. ii. Ισχύει f(t)dt = 9. + A: i. F()= 5 Άσκηση 39 Έστω συνεχής συνάρτηση f : (, + ) (, + ) γι την οοί ισχύει ότι ( t ) f ( t) f ( ) = dt γι κάθε >. Ν βρείτε τον τύο της Α: f( ) = 3
Άσκηση 4 ln 3 Έστω η δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση f:(,+ ), ώστε f ( ) = γι κάθε > κι η εφτομένη της C f στο σημείο της A(,) είνι ράλληλη στην ευθεί y=+. i. N δείξετε ότι ο τύος της f είνι: f() = (ln) + ln +. ii. N δείξετε ότι η f() έχει μέγιστο το οοίο κι ν βρείτε. Άσκηση 4 Δίνετι η δύο φορές ργωγίσιμη συνάρτηση f στο με f () > γι κάθε. Έστω η συνάρτηση g με τύο g() = f (t)dt,. + 5 Ν οδείξετε ότι: i. H συνάρτηση g είνι ργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει: g ( + ) = g ( ). ii. H εξίσωση f (+ ) + f (5 ) = f (t)dt έχει λύση στο διάστημ (,). 5 + iii. H γρφική ράστση της συνάρτησης g έχει έν μόνο σημείο κμής, το οοίο κι ν βρείτε. Α: iii. Α(,) Άσκηση 4 Έστω η συνάρτηση f : γι την οοί ισχύουν οι σχέσεις: ( ) f( ) f ( ) = + γι κάθε κι f()=. N βρείτε τον τύο της. Α: = ( + ) f( )
Άσκηση 43 t Δίνετι η συνεχής στο συνάρτηση f γι την οοί ισχύει f ( t) dt = f ( ) Ν βρείτε τον τύο της f.. Α: ( ) ( f = + ) Άσκηση 44 Ν βρείτε τη συνάρτηση f γι την οοί ισχύει ( ) ημ ( ) f = t t dt γι κάθε. Α: f( ) = ημ συν Άσκηση 45 Έστω μι ργωγίσιμη συνάρτηση f :[, ) ( ) ( ) ( ) + γι την οοί ισχύει f ' = f + f t dt γι κάθε. Εάν η γρφική ράστση της f τέμνει τον άξον y' y σε σημείο με τετγμένη, ν βρείτε τον τύο της. Α: f( ) = 4+ Άσκηση 46 Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γι κάθε είνι f() κι ισχύει η σχέση t f () t dt + + 3 3. 5 i. Δείξτε ότι f () =. ii. t Ν οδείξετε ότι γι κάθε > ισχύει f () t dt <. 3
Άσκηση 47 Αν η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη κι στρέφει τ κοίλ άνω στο διάστημ [,], με f () >, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = f () t dt είνι γνησίως ύξουσ στο (,]. Άσκηση 48 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [,], ν δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = f () t dt είνι γνησίως ύξουσ στο (,]. Άσκηση 49 Έστω η συνάρτηση f () = t t + λ dt, λ>. i. N μελετήσετε την f ως ρος τ κοίλ. ii. Aν <β<γ, ν δείξετε ότι β. β t t + λ dt < γ β. γ t t + λ dt. β Άσκηση 5 Aν η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [5,5], ν μελετήσετε ως ρος τη μονοτονί στο [5, ] την g()= +5 f (t) dt 5 f (). Άσκηση 5 Αν γι τις συνεχείς συνρτήσεις f, g ισχύει: f (t )dt + g() < f ()+ g(t) dt γι κάθε [, + ), ν οδείξετε ότι f()>g() γι κάθε [, ) 4 +.
Άσκηση 5 Έστω κι η συνάρτηση f με τύο f () = 8ln +, >. i. Ν οδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το οοίο κι ν βρείτε. ii. Ν μελετήσετε την f ως ρος τ κοίλ. iii. Ν βρείτε τον ώστε ν ισχύει: f ()d =. iv. Ν οδείξετε ότι f ( 5) + f ( 3) > f ( 4) Α: ii) κυρτή, iii) = 3 5 3( ) Άσκηση 53 Δίνετι η συνάρτηση ( ) f ( ) = 4 + + 4,. i. Ν μελετήσετε ως ρος την μονοτονί κι τ κρόττ. ii. Ν υολoγίσετε το όριο t ( t )( ) lim dt. + Α: i. ΤΜ: στο, το, TE: στο, το +5, ii. Άσκηση 54 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ [ ), +, γι την οοί ισχύει: f () > f (t )dt γι κάθε. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση h( ) = f () t dt είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, + ), κι κτόιν ότι f()> γι κάθε. 5
Άσκηση 55 Θεωρούμε την συνάρτηση f () = + t dt,. i. Ν μελετήσετε την f ως ρος την μονοτονί κι το ρόσημο γι κάθε. ii. N οδείξετε ότι f () + f = γι κάθε >. iii. Ν υολογίσετε το εμβδό του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον άξον κι τις ευθείες =, =. Άσκηση 56 Έστω η συνάρτηση f : (, ) + με f () = + ln, η οοί έχει τοικό κρόττο το. i. Ν βρείτε το. ii. Ν οδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει κριβώς δύο λύσεις στο διάστημ (, + ). iii. Ν βρείτε την ργωγίσιμη συνάρτηση g : (, + ), με g()= ώστε g () = f () γι κάθε >. Άσκηση 57 i. Έστω η ργωγίσιμη κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση f στο διάστημ [,β], η οοί έχει σύνολο τιμών το [γ,δ]. Αν η f είνι συνεχής στο [,β], ν οδείξετε ότι: β δ f ()d + f ()d = βδ γ. γ ii. Αν η συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο κι ισχύει: 6
f 5 () + 5 f () = γι κάθε, τότε φού οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι, ν βρείτε τον τύο της f κι ν υολογίσετε το β f ()d ότν f()= κι f(β)=. Άσκηση 58 Δίνετι η συνάρτηση f : (, ) Είνι ργωγίσιμη στο (, + ), f ( ) > γι κάθε >, f ( ) f ( ) ' + = γι κάθε >, + γι την οοί ισχύουν τ εξής: Η γρφική της ράστση διέρχετι ό το σημείο Α(, ). i. Ν οδείξετε ότι η f ' είνι συνεχής στο (, + ) κι ν βρείτε την f. ii. Ν οδείξετε ότι ( ) ( ) f t f < dt < γι κάθε >. t f t dt t με iii. Ν βρείτε τη συνάρτηση F με τύο F ( ) = + ( ) >. iv. Ν οδείξετε ότι t dt < γι κάθε >. (Δέσμες 998) 7
Άσκηση 59 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [ β, ] γι την οοί ισχύουν ) η f είνι ργωγίσιμη με f ()< γι κάθε [ β, ] β β) f ()d = κ. i) Aν η γρφική ράστση C f της f τέμνει τις ευθείες = κι =β στ σημεί A κι B ντιστοίχως κι ό έν σημείο M (, ( )) f της C f φέρουμε την ευθεί y=f( ) ου τέμνει τις ευθείες = κι =β στ σημεί Γ κι Δ, ν οδείξετε ότι τ εμβδά των χωρίων (AMΓ) κι (BMΔ) ν είνι ίσ ν κι μόνο ν το σημείο M έχει κ συντετγμένες f ( β ), κ β. ii) N βρείτε σημείο N (, ( )) f ώστε το εμβδό ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της f, την οριζόντι ευθεί y=f( ) κι ό τις κτκόρυφες ευθείες = κι =β, ν γίνετι ελάχιστο. A: ii) = + β Άσκηση 6 Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις f, g : [, β] όου f () > g() > γι κάθε (, β), κι οι γρφικές ρστάσεις υτών έχουν κοινά σημεί τ: A(, f()) κι B(β, f(β)). N δείξετε ότι υάρχει ευθεί =ξ, ξ (, β), ου χωρίζει το χωρίο ου ερικλείετι μετξύ των C f, C g σε δύο άλλ χωρί με εμβδά Ε, Ε ώστε: Ε =4 Ε. 8
Άσκηση 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : κάθε. γι την οοί ισχύει f ( ) = dt +, γι f ( t) + i. Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ. ii. Ν δείξετε ότι ισχύει: f ( ) f( ) = + +, γι κάθε. iii. Ν βρείτε τον τύο της ντίστροφης συνάρτησης. iv. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της f, τους άξονες τετμημένων κι τετγμένων κι την ευθεί =. v. Ν οδείξετε ότι d =. f ( ) + Άσκηση 6 Έσ τω η ργωγίσιμη συνάρτηση f :(, + ) (, + ), γι την οοί ισχύει ότι: f ( ) f + ( ) = γι κάθε >. i. Ν οδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη. ii. Ν βρείτε τον τύο της f. iii. Ν λύσετε τις εξισώσεις f ( ) = κι f ( ) = 4. iv. Ν υολογίσετε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της f, τον άξον ' κι τις ευθείες 4 = +, = +. 9
Άσκηση 63 Δίνετι η ργωγίσιμη στο γι κάθε > κι η C f διέρχετι ό το σημείο A(, ). * + συνάρτηση f, γι την οοί ισχύει ότι f () +f ( ) = i. N οδείξετε ότι ο τύος της f είνι f( ) = ln. ii. Ν υολογίσετε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C f, τον κι τις ευθείες =, =. Α: ii. 3 3