Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές)
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων αφιερωµένο σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στην κόρη µου Ραφαέλα
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων. ίνεται συνάρτηση ορισµένη στο Rκαι για κάθε, y R ισχύει: (+ y) = () (y) ηµ ηµy i. Να δείξετε ότι: () = Αν η είναι παραγωγίσιµη στο =, να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο R. Βρείτε την '() i Αν το = είναι και τοπικό ακρότατο της, τότε να υπολογίσετε τον τύπο της συνάρτησης.. Να δείξετε ότι: a. + ( ) ln( ) ln b. Αν >, y> και + y= τότε y y. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη και δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R ισχύει: Να αποδείξετε τα εξής: (+ ) + 4 4 ( + + ) i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: '(ξ) = Η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται i '() = '(4) iv. Η εξίσωση ''() = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R 4. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση µε συνεχή πρώτη παράγωγο η οποία στρέφει τα κοίλα άνω στο R και υπάρχει ξ R : '(ξ) = λ i. Αν (ξ) > λξ+ β,λ,β R, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει κοινά σηµεία µε την ευθεία (ε): y= λ+ β Να δείξετε ότι: e > e,για κάθε R. 6 5. Θεωρούµε την δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση :[α,β] R,α > µε συνεχή την δεύτερη παράγωγο και (α) = (β) =. i. Να δείξετε ότι, αν ξ (α,β) : ξ '(ξ) = (ξ) Αν ''(), (α,β) τότε να δείξετε ότι το ξ είναι µοναδικό i Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο σηµείο M(ξ, (ξ)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 6. ίνεται η συνάρτηση: () = e + i. Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιµη
i Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να λύσετε την εξίσωση: e + ηµ = e+ e π Να αποδείξετε ότι: e + e< e + π ηµ iv. Να λύσετε την εξίσωση: ( ()) = 7. Α) Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση: i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται () + 5 () + = Βρείτε και ορίστε την συνάρτηση i Να βρείτε τα κοινά σηµεία των C,C Β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R τότε να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη εν υπάρχει οριζόντια εφαπτοµένη της C 8. Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση Α) Να δείξετε ότι: i. είναι αντιστρέψιµη ( ) = ( ()),για κάθε R Β) i. Να λύσετε την εξίσωση: () = (o )() = Να δείξετε ότι: [ ( )] + [ ()] = () i Αν (8) = 64 τότε να υπολογίσετε την τιµή () = ; 9. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη στο R και ισχύει: i. Υπολογίστε το όριο: lim () () lim = Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο =, τότε να υπολογίσετε την εφαπτοµένη της C στο σηµείο (, ()) iυπολογίστε το όριο: lim (). Έστω συνάρτηση : R R συνεχής στο R µε : z z 5 4 () + z z () + () = + 4 R, όπου z, z σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί οι εικόνες των οποίων είναι εσωτερικά σηµεία του κύκλου + y = 4
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να δείξετε ότι: i. z z < z z Η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). ίνεται η συνάρτηση Α) Να αποδείξετε ότι: i. () <, R () = 4 + είναι αντιστρέψιµη Β) Να βρεθούν: i. H =; Οι ασύµπτωτες της συνάρτησης. Α) Έστω µια συνάρτηση h συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β). Αν h(α) = h(β) = και h '() για κάθε (α,β), να δείξετε ότι: h() = για κάθε [α,β]. Β) Η συνάρτηση είναι συνεχής [α,β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει: '() 4,για κάθε (α, β) Αν (α) = α + 6α και i. α = και β = () = 4,για κάθε (α, β) (β) = β + 4, να δείξετε ότι:. ίνεται ότι η συνάρτηση :[α,β] R είναι παραγωγίσιµη µε σύνολο τιµών [α, β], όπου Αν (α)=β και (β)=α και α = ηµα, να αποδείξετε ότι: β ηµβ π α,β,. i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) ώστε: '( )εφ + ( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) ώστε: '(ξ) '( (ξ)) = 4. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). Αν (α) = β και (β) = α,να αποδείξετε ότι: i. Υπάρχουν, (α, β) µε ώστε: '( ) + '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (α, β) ώστε: ( ) = i Υπάρχουν ξ, ξ (α, β) µε ξ ξ ώστε: '(ξ ) '(ξ ) = 5
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ' συνεχής στο R και ισχύουν: () =, () =, () =. i. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ): Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (, ) : '(ξ) = '(ρ) = 6. Αν : (, + ) R µε () είναι παραγωγίσιµη και και z + z = z z. i. Να δείξετε ότι: α β = (α) (β) Να δείξετε ότι υπάρχει: '( ) = ( ) z = α + i (α), z = i β + (β) (µε α, β > ) 7. ίνεται ο µιγαδικός: z = (ηµα ) + ( συνα)i,µε α R i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των σηµείων M(z), είναι σηµεία κύκλου. i Να βρεθούν οι µιγαδικοί z που έχουν το µέγιστο και το ελάχιστο µέτρο Να βρεθούν τα µέτρα των µιγαδικών του ερωτήµατος (β) iv. Να αποδείξετε ότι: z 4+ i 7 8. ίνεται z C για τον οποίο ισχύει: z 5+ i = z i i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M(z) Να βρεθεί το ελάχιστο z i Να βρεθεί ο µιγαδικός z µε το ελάχιστο µέτρο 9. Για µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγος µε '() < δεχόµαστε ότι: Να αποδείξετε ότι: i. () = και () = Υπάρχει ξ (, ): '(ξ) = i Υπάρχει χ (, ): '( ) = (t)dt,για κάθε R 6
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων k k. ίνεται ο µιγαδικός z= 4 + i,µε k R. 4 i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z i Να βρεθεί ο µιγαδικός z µε το ελάχιστο µέτρο. Για τον µιγαδικό z ισχύει: z 4 i = i. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή του z i Βρείτε τους µιγαδικούς z που έχουν µέγιστο και ελάχιστο µέτρο. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z =α + βi,µε α, β R και η εξίσωση: ln z = z i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση i Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ(α, β) του µιγαδικού z Από τους παραπάνω µιγαδικούς z να βρείτε εκείνον του οποίου η εικόνα απέχει την µικρότερη απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w = + i. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [, ] και οι µιγαδικοί αριθµοί z = () + i και z = + ()i. Αν ισχύει: z + z = z z i. Να αποδείξετε ότι: () + () = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [, ] 4. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε (α) > α>. ίνεται και ο β+ i (β) µιγαδικός z=. Αν ο z είναι φανταστικός αριθµός, να δείξετε ότι: α i (α) i. α β= (α) (β) Η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α, β) 5. ίνεται η συνάρτηση Αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε: + z +, < () = z+ i +, 7
i. Να αποδείξετε ότι: z = z+ i Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού z i Βρείτε την ελάχιστη τιµή του µέτρου z iv. Ποιος µιγαδικός έχει το ελάχιστο µέτρο του ερωτήµατος iii; 6. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] και µε συνεχή παράγωγο στο [, ]. Επίσης ισχύουν: 7 () = () και '() > 4 Να δείξετε ότι: i. Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (, ) τέτοιο ώστε: '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: '(ξ) = 4ξ 7. Έστω οι συναρτήσεις, g ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε g() g '() για κάθε χ (α, β). Αν w = (α) + g(β)i, z= g(α) + (β)i και ισχύει: Να δείξετε ότι: i. (α)g(α) = (β)g(β) w+ z = w z '( ) ( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (α, β) για το οποίο ισχύει: + = g '( ) g( ) 8. Α) Έστω στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών C η εξίσωση: όπου z άγνωστος και ο λ R z λ z+ λ= () i. Να βρείτε τα λ ώστε η εξίσωση () να µην έχει πραγµατικές λύσεις Να λύσετε την εξίσωση () για την τιµή του λ= Β) Αν z,z οι ρίζες του προηγούµενου ερωτήµατος: α) Να δείξετε ότι: z + z = 7 β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο [, 4] και ισχύουν: δείξετε ότι: i. () = και (4) = () = z + z και (4) = z + z,τότε να 8
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: '(ξ) = 4 α 9. Θεωρούµε τη συνάρτηση () = ln + α µε > και α R. Αν () για κάθε > τότε: i. Να αποδείξετε ότι: α = - Να δείξετε ότι: () = i Να λυθεί η εξίσωση: () = iv. Να λυθεί η ανίσωση: ln(k + ) > ln(k + ) + k + k +. ίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο [, e] µε () =, (e) = e+ και σύνολο τιµών [-, 4]. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο, (,e) µε ώστε: '( ) = '( ) = Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e) τέτοιο ώστε: ''(ξ) = i Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, e) τέτοιο ώστε: ( ) [ '( ) 4( ( )) ] = 4 iv. Η ευθεία ε: y= + e+ τέµνει τη γραφική παράσταση της σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη c (, e) v. Υπάρχουν ξ,ξ (, e) µε ξ ξ για τα οποία ισχύει: '(ξ ) '(ξ ) =. ίνεται συνάρτηση : R R παραγωγίσιµη και για την οποία ισχύουν: i. Να δείξετε ότι: () = 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο χ= () lim = i Να δειχθεί ότι η y= + τέµνει την C σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη χ (, 5) και (5) = 6 iv. Αν η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [, 5] να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης '() = στο διάστηµα (, 5). ίνεται η συνάρτηση () = ln i. Βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης i iv. Να µελετηθεί ως προς την κοιλότητα και τα σηµεία καµπής Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στα σηµεία καµπής Να δείξετε ότι: α) ln για κάθε χ (, ) 9
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων β) ln για κάθε [, + ). ίνεται η συνάρτηση () = k+ λ + µ µε πεδίο ορισµού το R και κ, λ, µ > πραγµατικοί αριθµοί. Αν η συνάρτηση έχει ασύµπτωτες την y= + στο +, και την y= στο. Υπολογίστε τα κ, λ, µ. 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [α, β] µε <α<β τέτοια ώστε για τους µιγαδικούς z= α+ i (α) και w = β+ i (β) να ισχύει: z w R i. Να δείξετε ότι: α (β) = (α)β Αν ισχύει: (+ α t) lim dt α =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) για το οποίο α ( α)(+ α t) ισχύει: '(ξ) = 5. ίνεται συνάρτηση συνεχής στο R και η συνάρτηση g που ορίζεται στο Rκαι έχει τύπο: + g() = (t )dt + (t )dt i. Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε την g '() Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο χ = τότε να δείξετε ότι: () = ( ) i Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) έτσι ώστε να ισχύει: 6. ίνεται συνάρτηση () = t dt t + t i. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης i Να βρεθεί η παράγωγος της όπου ορίζεται Να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία (ξ ) = ( ξ ) iv. Αν z C είναι ένας µιγαδικός και ισχύει ( z ) = για, βρείτε τον γεωµετρικό του z στο µιγαδικό επίπεδο. 7. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε '() = e και η C διέρχεται από το σηµείο (, -). i. Βρείτε την συνάρτηση
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων (),g όπου g() = τον άξονα y ' y και την ευθεία =. 8. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο R µε συνεχή παράγωγο και ισχύουν: '() > και g '() '(t)dt = για κάθε χ R. i. Αποδείξτε ότι: g '() = ( ) (), R Μελετήστε την g ως προς την µονοτονία i Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (,): '(ξ) '(ξ ) = ξ 9. Η είναι συνεχής στο R µε (t)dt= (t)dt. Αποδείξτε ότι: i. (t)dt= (t)dt ] Η συνάρτηση φ () = (t)dt ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [, ]. i Υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε: () = (t)dt 4. Α) Να δείξετε ότι για κάθε R ισχύει Β) Θεωρούµε την συνάρτηση e e () = e e + i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο A(, ()) Εξετάστε αν η έχει σηµεία καµπής i Να δείξε ότι για κάθε R ισχύει: () + 4. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, ] µε συνεχή παράγωγο στο [, ] µε την ιδιότητα: '()d = () 4 και () +, [,] i. Να αποδείξετε ότι: ()d = 4 Να δείξετε ότι: (t)dt= +
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον ' και τις ευθείες = και =λ όπου λ (,) iv. Υπολογίστε τον τύπο της συνάρτησης () για κάθε [, ]. 4. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις,gστο R για τις οποίες ισχύει: g '() = () + () + 4 (4) και '() >, R i. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) : 8 ()d= g '(ξ) Να δείξετε ότι η g είναι κυρτή () (4) (8) i Αν () = = = = και Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τις 4 8 ευθείες χ= και χ=8, τότε να δείξετε ότι: < Ε < 4. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R µε την ιδιότητα ( ()) =, R µε () = και () = () i. Να αποδείξετε ότι η είναι Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: '(ξ) =. Υπολογίστε και την τιµή του '( (ξ)) i Υπολογίστε το ολοκλήρωµα ()d 4. ίνεται η συνάρτηση συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών για την οποία ισχύει: i. Να βρείτε το () () e + lim = 5 ηµ Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο = i Αν h() e () = να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων,h στα σηµεία A(, ()) και B(,h()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. («Θέµα εξετάσεων»)(μονάδες 7+ 9+ 9) 44. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ) Έστω συνάρτηση ορισµένη στο R και ισχύουν οι σχέσεις: () για κάθε R
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () = t (t)dt,για κάθε R Έστω η συνάρτηση g που ορίζεται από τον τύπο g() () =,για κάθε R i. Να δείξετε ότι: '() = () Να δείξετε ότι η g είναι σταθερή i Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι: () = + iv. Να βρείτε το όριο: lim [ ()ηµ] + (Μονάδες +4+ 4+ 7) 45. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ») Έστω συνάρτηση συνεχής στο (, + ) για την οποία ισχύει: i. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (, + ) i iv. + ln Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι () =, χ > Να βρείτε το σύνολο τιµών της Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της t (t) () = + dt µε χ> v. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα ' και τις ευθείες =, = e 46. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ») (Μονάδες + 7+ 6+4+5) Α) Έστω συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι: αν h() > g() για κάθε [α, β] τότε και β h()d> g()d Β) ίνεται η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση, που ικανοποιεί τις σχέσεις: i. Να εκφραστεί η ' ως συνάρτηση της () () e Να δείξετε ότι: < () < '() για κάθε > i α β α =, R και () = Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες =, = και τον άξονα χ χ, να δείξετε ότι: < E< () 4 (Μονάδες + 5+ + 6)
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 47. («ΘΕΜΑ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ») ίνεται συνάρτηση () = +, R e e i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µοναδική ρίζα το µηδέν. i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ()d (Μονάδες + 5+ ) 48. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») ίνεται συνεχής συνάρτηση : R R τέτοια ώστε: () =. Αν για κάθε R, ισχύει: όπου z = α+ βi,µε * α,β R, τότε: g() = z (t)dt z + ( ) z i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε τη g ' Να αποδείξετε ότι: z = z+ z i Με δεδοµένη τη σχέση του ερωτήµατος β να αποδείξετε ότι: Re(z ) = iv. Αν επιπλέον () = α>, () = β και α > β,να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) = 49. («ΘΕΜΑ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») (Μονάδες 5+8+6+ 6) Έστω συνάρτηση :[α,β] R συνεχής στο διάστηµα [α, β], µε () για κάθε χ [α, β] και µιγαδικός z µε Re(z), Im(z) και Re(z) > Im(z). Αν z+ = (α) και z i. z = z + = (β), να αποδείξετε ότι: z (β) < (α) i Η εξίσωση (α) + (β) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (-, ) 5. («ΘΕΜΑ 4 Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4») Έστω η συνεχής συνάρτηση :[, + ) R, τέτοια ώστε : 4 (Μονάδες +6+9)
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () = + i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι: () = e (+ ) i Να αποδείξετε ότι η () έχει µοναδική ρίζα στο [, + ) iv. Να βρείτε τα όρια: lim (), lim () + (t)dt 5. Έστω Α και Β οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z και w για τους οποίους ισχύει: 4 w = iz. z (Μονάδες 7+7+5+ 6) i. Να δείξετε ότι, αν το Α κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(,) και ακτίνας ρ=, τότε το Β κινείται σε κύκλο Βρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή του µέτρου z w ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 5. ίνεται το σύνολο των µιγαδικών z, w για τους οποίους ισχύει: z i και w i i. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ζευγάρι τέτοιο ώστε: z= w Να βρείτε την µέγιστη τιµή του z w 5. Έστω παραγωγίσιµη στο R µε () = και συν i. Να δείξετε ότι: () = για κάθε R + e Να δείξετε ότι: () + ( ) = συν,για κάθε e ( () + '()) + ηµ = '() ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») i Να υπολογίστε το π π συν d + e iv. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα: π, v. Να δείξετε ότι: π ()d π 4 vi. Να δείξετε ότι: 4 π 4 π ()d ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 5
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 54. Έστω συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε: () = + t i. Να υπολογίστε την µονοτονία και το πρόσηµο της για R Να δείξετε ότι: () + = για > dt i Να υπολογίστε το εµβαδόν του χωρίου Ε που περικλείεται µεταξύ της C του άξονα και των ευθειών = και =. ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 55. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση µε : R R τέτοια ώστε: () ηµ () =,για R και (π) = π i. Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο R Βρείτε το σύνολο τιµών της i Να αποδείξετε ότι: () = iv. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα: I π = ()d v. Αν <α<β να αποδείξετε ότι: β α () β α d ( ιαγώνισµα στο «Αρσάκειο») 56. Αν για την συνάρτηση ƒ:r R ισχύουν για κάθε R και ƒ()=, να αποδείξετε: α. Η συνάρτηση ƒ είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R '() + 4 () = 5 '() β. Η συνάρτηση g µε τύπο: g() = είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της g. γ. Να βρεθεί η συνάρτηση ƒ e δ. Να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου που δηµιουργείται από την γραφική παράσταση της ƒ, του άξονα y y και τις ευθείες 5 y= και χ =4. 4 57. Αν η συνάρτηση ƒ είναι ορισµένη και συνεχής στο (, + ) και επιπλέον ισχύει ότι για κάθε > : t (t) () = dt e 6
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i. Να αποδείξετε ότι, η ƒ είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι, για κάθε > ισχύει () + '() = i Βρείτε τον τύπο της ƒ iv. Μελετήστε την µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης ƒ. v. Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει: () e 58. Έστω ότι η ευθεία y=+5 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης ƒ στο +. Να βρείτε τα όρια: () i. lim και lim [ () ] + + Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό µ, αν µ () + 4 lim = + () + 59. ίνονται ƒ,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµες στο ανοικτό διάστηµα (α, β) έτσι ώστε: g(χ) g (χ). Αν z, w µιγαδικοί αριθµοί και λ πραγµατικός αριθµός διάφορος του µηδενός µε z = λ ƒ(α) ί g(β) και w= g(α) - ί λ ƒ(β) Για του οποίους ισχύει: λ z+w = λ z - w i. Να αποδείξετε ότι: Re(z w) = Να αποδείξετε ότι: ƒ(α) g(α)=ƒ(β) g(β) i Έστω η συνάρτηση G() = ƒ() g(), να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο [α, β]. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ο (α, β) τέτοια ώστε: '( ) ( ) o o + = g '( ) g( ) o o 6. Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύπο: () = 4 α. Βρείτε το πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της συνάρτησης. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» γ. Να βρείτε την µονοτονία της ƒ στο πεδίο ορισµού της. δ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της ƒ, την ƒ -. ε. Να γίνει η γραφική παράσταση της ƒ -, ƒ. 7
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων () + + 6. Αν η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο R και ισχύει: lim = 5 α. Να αποδείξετε ότι: ƒ()= - β. Να αποδείξετε ότι η ƒ είναι παραγωγίσιµη στο χ ο= και να βρείτε το ƒ () e () () e γ. Να υπολογίσετε το όριο: lim ln 6. Θεωρούµε την συνάρτηση : () = + α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g() = ln + είναι θετική στο (, + ). α. Να δείξετε ότι η ƒ είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της. β. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της ƒ. γ. Να εξετάσετε ως προς την κυρτότητα την συνάρτηση ƒ. δ. Βρείτε την εφαπτοµένη της συνάρτησης ƒ στο σηµείο A(, ƒ()) ε. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της ƒ, της εφαπτοµένης του σκέλους (δ) και τις ευθείες =, = 4. 6. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z τέτοιο ώστε: z i = z 7+ i i. Να βρείτε στο µιγαδικό επίπεδο τον γεωµετρικό τόπο που ανήκουν οι εικόνες του µιγαδικού z Να βρείτε τις τιµές των παραµέτρων έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης () = α + 5β + να έχει στο - πλάγια ασύµπτωτη την ευθεία του ερωτήµατος (i). i. 64. Να προσδιορίσετε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του µιγαδικού επιπέδου, των οποίων οι αντίστοιχοι µιγαδικοί αριθµοί z είναι τέτοιοι ώστε τα παρακάτω όρια να είναι συγκεκριµένοι πραγµατικοί αριθµοί. lim lim z i z (5 ) z + i 8 65. ύο σηµεία Α, Β κινούνται στους ηµιάξονες Οχ, Οψ αντίστοιχα ξεκινώντας ταυτόχρονα από το σηµείο Ο µε ταχύτητες υ Α = m/sec, υ B =5 m/sec. Να βρεθούν: i. O ρυθµός µεταβολής της µεταξύ τους απόστασης σε 6sec αργότερα. O ρυθµός µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ την ίδια χρονική στιγµή. 8
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 66. Αν ένα σηµείο Α(χ(t),y(t)) κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης y 5 = και την χρονική στιγµή t o διέρχεται από το σηµείο µε τετµηµένη -m και η ταχύτητα της τετµηµένης πάνω στον άξονα των χ είναι 5 m/sec ενώ η επιτάχυνσή του είναι m/sec τότε βρείτε: i. Την τεταγµένη του σηµείου την χρονική στιγµή t o i Την ταχύτητα της τεταγµένης την χρονική στιγµή t o Την επιτάχυνση της τεταγµένης την χρονική στιγµή t o 67. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις,g στο R για τις οποίες ισχύουν: () = g() =. g() i. Να δείξετε ότι: () = για κάθε πραγµατικό αριθµό χ e e '() = g '() g() και Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει πλάγια ασύµπτωτη στο + την ευθεία: y=,να βρείτε g() το όριο: lim + g() e 68. Αν δύο φορές παραγωγίσιµη στοr, κυρτή στο R και () = '() =, τότε: i. Να δείξετε ότι: () για κάθε πραγµατικό αριθµό χ Να δείξετε ότι: η συνάρτηση πραγµατικό αριθµό g() = ( + ) είναι κυρτή στο R και g() g '(ξ)( ξ) + g(ξ) για κάθε 69. Έστω δύο φορές παραγωγίσιµη στο [,4] µε σύνολο τιµών το [,7] και συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αν () = 7, (4) = και η συνάρτηση i. Υπάρχει κ (,4) ώστε: '(k) = ''() < '() για κάθε χ στο [,4] g() e () i Υπάρχουν ξ,ξ στο (,4) µε '(ξ ) '(ξ ) < iv. Η εξίσωση ''() = έχει τουλάχιστον ρίζες στο (,4) = είναι κοίλη στο [,4], τότε να δείξετε ότι: 7. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z για τους οποίους ισχύει: z = και Re(z) i. Να περιγραφή γεωµετρικά το σύνολο εικόνων των παραπάνω µιγαδικών αριθµών και να βρεθεί εκείνος του οποίου η εικόνα έχει την µικρότερη απόσταση από τον + i Αν w = z+ 4 z, z να δείξετε ότι η εικόνα του wκινείται στον άξονα σε ευθύγραµµο τµήµα µήκους 9
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων i Να δείξετε ότι: z i + z+ i = 4 και να ερµηνεύσετε γεωµετρικά το αποτέλεσµα αυτό. ( ιαγώνισµα «Αρσάκειο») 7. ίνεται συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, + ) µε σύνολο τιµών το [, + ) για την οποία ισχύει: () e () e + =,για i. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και ότι: () = Να δείξετε ότι: (),για i Αν F() (t)dt = + για χ (, ) να δείξετε ότι υπάρχει µία τουλάχιστον εφαπτοµένη ευθεία στην C F που διέρχεται από το σηµείο A, iv. Να δείξετε ότι η αντίστροφη της έχει τύπο () ln( e ) = +, είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της και να υπολογίσετε το + lim (t)dt + 7. Ένας µιγαδικός z ικανοποιεί τη σχέση: z 4 =( ) z. α) Να αποδειχθεί ότι z = ή z =. β) Αν z να αποδειχθεί ότι z =. z γ) Αν z να αποδειχθεί ότι z 6 =. δ) Να βρεθούν όλοι οι µιγαδικοί z µε z 4 =( ) z. ε) Σε ποια γραµµή βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών z, αν z ; z+ i 7. ίνεται ο µιγαδικός C w=, µε z = χ + ψi και χ, ψ R. z + α) Να γραφεί ο w στη µορφή α + βi όπου α, β R. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του z, όταν w R. γ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Ν του z, όταν ο w είναι φανταστικός. δ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του z, όταν Re(w)=Im(w). ε) Αν η εικόνα Μ του z κινείται στον κύκλο χ +ψ =4, να αποδειχθεί ότι η εικόνα του w κινείται στην ευθεία ψ = χ. 74. ίνεται ο µιγαδικός z µε z + z =. α) Να βρεθούν οι δυνατές τιµές του z. β) Να λυθεί η εξίσωση z + z =.
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων γ) Αν z και z είναι οι ρίζες µε µη µηδενικό φανταστικό µέρος, να βρεθούν οι z και z. δ) Να υπολογιστεί η παράσταση A= z + z. 4 4 75. Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: (o)()=- για κάθε R. είξτε ότι: α) ()=, β) η αντιστρέφεται, γ) η έχει σύνολο τιµών το R, δ) - ()=-(), R. 76. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις : R R µε την ιδιότητα: [()-ηµ][()+ηµ]=()συν για κάθε R. 77. Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: () + (-)+ για κάθε R. α) Να βρεθεί ο τύπος της. β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων της C οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(,5). 78. Έστω : [α, β] R συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β), µε (α)=β και (β)=α.. Να αποδειχθεί ότι: α) η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β), β) υπάρχουν ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε: (ξ ) (ξ )=4. 79. Μια συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()=() για κάθε R και ()= ()=. () + () α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = είναι σταθερή στο R. e β) Να αποδειχθεί ότι ()+()=e, R. γ) Να βρεθεί ο τύπος της. 8. ίνεται η συνάρτηση ()=e + e - - -. Να αποδειχθεί ότι: Α. α) η έχει ελάχιστο το µηδέν, β) η είναι κυρτή, γ) η είναι κοίλη στο (-,] και κυρτή στο [, + ). Β. α) Να λυθεί η εξίσωση ()=. β) Να αποδειχθεί ότι e +e - + για κάθε R. 8. ίνεται η συνάρτηση ()= 4 +4 -(+α) +β. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο = µε τιµή -, τότε: α) να βρεθούν οι τιµές των α, β, β) να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία, γ) να βρεθούν όλα τα τοπικά ακρότατα της, δ) να βρεθεί το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης ()=, ε) να βρεθεί το σύνολο τιµών της F,
στ) να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της, Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων ζ) να αποδειχθεί ότι 4 +4 + για κάθε R. 8. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()+()= ++e - για κάθε R. α) Να αποδειχθεί ότι η δεν έχει κρίσιµα σηµεία. β) Να βρεθεί η µονοτονία της (). γ) Να λυθεί η εξίσωση ()=. δ) Να βρεθεί το πρόσηµο της. ε) Να εξεταστεί αν η έχει τοπικά ακρότατα. 4 8. ίνεται η συνάρτηση () =. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της C µε τον άξονα. γ) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η C είναι πάνω από τον άξονα. δ) Να εξεταστεί αν η C έχει κέντρο ή άξονα συµµετρίας. ε) Να µελετηθεί η ως προς την µονοτονία. στ) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της σε καθένα από τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της καθώς και το σύνολο τιµών της. ζ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης -α -4+α=., όπου α R. 84. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα: ()+ ()= για κάθε R. α) Να βρεθεί το (). β) Να µελετηθεί η ως προς την µονοτονία. γ) Να αποδειχθεί ότι ()> για κάθε >. δ) Να αποδειχθεί ότι ()<()< για κάθε >. 85. Μια συνάρτηση : R R* έχει την ιδιότητα: + = () () e για κάθε R. Aν ()=, τότε: I= () + () e d. α) να βρεθεί το ( ) β) να αποδειχθεί ότι ()=e, R. 86. Έστω F µια αρχική της συνεχούς συνάρτησης : R R, µε την ιδιότητα: F () F()F(α-) για κάθε R, όπου α. Να αποδειχθεί ότι: α) F()=F(α), β) η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R. 87. Μια συνάρτηση : (, + ) R έχει την ιδιότητα: (y)=()+(y)+y--y για κάθε,y >. Α. α) Να βρεθεί το ().
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων β) Αν η είναι συνεχής στο, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (, + ). γ) Αν η είναι συνεχής στο α>, να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο (, + ). Β. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο χ =, µε ()=, τότε: α) να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιµη στο (, + ), β) να βρεθεί ο τύπος της, =. γ) να βρεθεί το ολοκλήρωµα I ()d 88. Έστω µια συνεχής και άρτια συνάρτηση : R R και η συνάρτηση: α) Να βρεθεί η παράγωγος της g. β) Να αποδειχθεί ότι g(α)=g(β). γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ-α)=(ξ-β). β g() = ( t)dt, R, α<β α 89. Έστω µια συνεχής συνάρτηση στο R και α<β. Αν β α β (+ t)dt ()d για κάθε R, τότε: α α) να αποδειχθεί ότι: β+ α+ β (t)dt ()d για κάθε R α β) να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης g() = (+ t)dt (t)dt γ) να εξεταστεί αν η g έχει ελάχιστο, δ) να αποδειχθεί ότι (α)=(β), ε) αν η είναι παραγωγίσιµη, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ R τέτοιο, ώστε (ξ)=. β α β α 9. ίνεται η συνάρτηση: () = α) Να βρεθεί η (χ). t e + συνt dt, R t + e β) Να αποδειχθεί ότι ()=+ηµ για κάθε R. γ) Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η - :[, π] [, π]. δ) Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του χωρίου µεταξύ των C και C και των ευθειών = και =π είναι Ε=4 τ.µ. z 4i w + 6i + 9. ίνονται οι µιγαδικοί z, w, για τους οποίους ισχύει: lim = α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού w. γ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του z-w.
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων 9. ίνεται ο µιγαδικός z=α + βi και η εξίσωση ln z =- z (). α) είξτε ότι η εξίσωση () έχει µοναδική λύση την z =. β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ(α, β) του µιγαδικού z. γ) Από τους παραπάνω µιγαδικούς z να βρείτε εκείνο του οποίου η εικόνα απέχει τη µικρότερη δυνατή απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w=+i. 9. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα [, ] και οι µιγαδικοί αριθµοί z =()+i και z =+()i. Αν ισχύει z +z = z -z, να δείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [, ]. 94. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε (α) > α >. ίνεται και ο β+ i (β) µιγαδικός z=. Αν ο z είναι φανταστικός να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει µια τουλάχιστον λύση α i (α) στο διάστηµα (α, β). + z +, < 95. ίνεται η συνάρτηση: () = z+ i +, Αν η είναι συνεχής να δείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού z κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 96. Έστω οι συναρτήσεις, g ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε g()g (), για κάθε (α, β). Αν w=(α)+g(β)i, z=g(α)+(β)i και ισχύει w+ z = w z, να δείξετε ότι υπάρχει o (α, β) για το οποίο ισχύει: ( ) ( ) + =. g ( ) g( ) 97. Έστω στο σύνολο των µιγαδικών C η εξίσωση: z λz+λ = (). α) Να βρείτε τα λ R ώστε η () να µην έχει πραγµατικές ρίζες. β) Να λύσετε την () για λ=. Στη συνέχεια να βρείτε το µέτρο κάθε µιας από τις ρίζες z, z που βρήκατε. 7 γ) Να δείξετε ότι z + z =. δ) Αν η είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [, 4] και ισχύουν () = z + z, (4) = z + z, τότε να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε (ξ)=-¼. 98. ίνεται η συνάρτηση ()= ln. α) Να µελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σηµεία καµπής. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στα σηµεία καµπής. γ) Να δείξετε ότι: i) ln για κάθε (, ]. ii) ln για κάθε χ [, + ). 99. ίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο R και η συνάρτηση g που ορίζεται στο R και έχει τύπο: 4
Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν να γίνουν θέµατα εξετάσεων +. g() = (t )dt + (t )dt α) Να δειχθεί ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρεθεί η g (). β) Αν η g παρουσιάζει ακρότατο στο χ = τότε να δείξετε ότι ()=(-). γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ), έτσι ώστε να ισχύει (ξ -)=(-ξ ).. ίνεται η συνάρτηση () = α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθεί η (χ) όπου ορίζεται. t dt t + t γ) Να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία. δ) Να λυθεί η εξίσωση ()=.. ίνεται η συνάρτηση, παραγωγίσιµη στο R µε () = και () =. e α) Να βρεθεί η. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και () g µε g() = τον άξονα ψ ψ και την ευθεία =.. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο R µε =g, g = και ισχύουν ()>, R και g(-)g() <, για. α) Μελετήστε τις, g ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Αποδείξτε ότι: g()>(), για >. γ) Μελετήστε τις, g ως προς την κυρτότητα. δ) Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις h()=e - (+g)() και φ()=e (-g)() είναι σταθερές. ε) Αν ()=, να βρείτε τους τύπους των,g.. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύουν: [ ()] ()=, ()=. α) Αποδείξτε ότι ()=e +c +c, όπου c, c σταθερές. β) Να βρείτε τον τύπο της. γ) Αποδείξτε ότι () = e, R. () () δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα : I= d, >. e e + () () =, R και 5