Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει () > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο f () f ()g() + f ()g () 3. Ισχύει ( = όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2 g() g () 4. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α, λέµε ότι παρουσιάζει µέγιστο στο o A όταν f () f ( o ) για κάθε σε µια περιοχή του o f f 1 1 5. Για κάθε 0 ισχύει ( = 2 6. Aν για µια συνάρτηση f ισχύουν f o ( ) = 0 για o (a, b), () > 0 στο ( a, o ) και () < 0 στο ( o, b) τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (a, b) για = o ελάχιστο 7. Αν > 0, τότε ( ) ) ) 1 = 2 8. Αν o είναι ένας πραγµατικός αριθµός, τότε lim ηµ = ηµ o o 9. Για τη συνάρτηση f() = ηµ ισχύει ότι (ηµ) = - συν 10. Για το γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f,g ισχύει ότι (f()g()) = f ()g () + f()g() 1 11. Αν > 0, τότε ( = 12. Aν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο o, όρια πραγµατικούς αριθµούς, τότε ισχύει ότι lim (f ()g()) = lim f () lim g() 13. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση = f(t), τη χρονική στιγµή t o, είναι υ(t o ) = f (t o ) www.lazaridi.info tel.6977.385.358 1
14. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 µε 1 < 2 ισχύει f( 1 ) < f( 2 ) 15. Η παράγωγος της f στο o εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y = f() ως προς, όταν = o 16. (συν) = ηµ, R f 17. Ισχύει lim συν =συν o 18. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α, τότε η συνάρτηση f/g έχει πάντα πεδίο ορισµού το Α 19. Για την συνάρτηση f() = e, R ισχύει () = e 20. Αν η συνάρτηση f έχει στο o όριο έναν πραγµατικό αριθµό l δηλαδή αν lim f () = l τότε για o v v-1 κάθε φυσικό αριθµό ν µε ν > 1 θα ισχύει lim (f ()) = vl 21. Χαρακτηριστικό γνώρισµα µιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστηµα, είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι µια συνεχής καµπύλη 22. Αν η συνάρτηση f έχει στο o f όριο έναν πραγµατικό αριθµό l 1 δηλαδή αν lim f () = l1 τότε v v lim (f ()) = l1 (ν θετικός ακέραιος) 23. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει () < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 24. H έννοια της συνέχειας µιας συνάρτησης αναφέρεται µόνο σε σηµεία του πεδίου ορισµού της 1 25. Αν > 0, τότε ) f (ln = 26. Ισχύει (f()g()) = ()g() + g ()f (), όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 27. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο o A όταν f () f ( o ) για κάθε σε µια περιοχή του o 28. Αν lim f () = l1και lim g() = l 2τότε lim (f ()g()) = l1l 2 www.lazaridi.info tel.6977.385.358 2
Στατιστική 1. Το εύρος είναι µέτρο θέσης 2. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών µεταβλητών 3. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις 4. Η συχνότητα της τιµή i µιας µεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθµός 5. Στην κανονική κατανοµή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( - s, + s) 6. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα ν i της τιµής i µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιµής i 7. Η διακύµανση είναι µέτρο θέσης 8. Στην περίπτωση των ποσοτικών µεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i, εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής i 9. Η διάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων t 1, t 2,, t v είναι πάντοτε µια από τις παρατηρήσεις αυτές 10. Στο ιστόγραµµα συχνοτήτων οµαδοποιηµένων δεδοµένων, το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος 11. Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποσοτικής µεταβλητής 12. Η µέση τιµή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα µέτρο θέσης 13. H διάµεσος είναι ένα µέτρο θέσης το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις 14. Σε µια κανονική κατανοµή το εύρος ισούται περίπου µε έξι φορές τη µέση τιµή δηλαδή R 6 15. Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα, δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα 16. Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές, αν ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10% 17. Το εύρος, η διακύµανση και η τυπική απόκλιση των τιµών µιας µεταβλητής είναι µέτρα διασποράς 18. Aν f i είναι η σχετική συχνότητα της τιµής i µιας µεταβλητής Χ, τότε ισχύει 0 f i 1 19. Αν i είναι η τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ, τότε η αθροιστική σχετική συχνότητα F i εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες της τιµής i www.lazaridi.info tel.6977.385.358 3
20. Η διάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάντα ως η µεσαία παρατήρηση 21. Η αθροιστική συχνότητα Ν i µιας κατανοµής, εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής i 22. Σε µια οµαδοποιηµένη κατανοµή µε κλάσεις ίσου πλάτους το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος ν του δείγµατος 23. Η διάµεσος ενός δείγµατος παρατηρήσεων είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτήν 24. Αν η καµπύλη συχνοτήτων για ένα χαρακτηριστικό είναι κανονική ή περίπου κανονική µε τυπική απόκλιση s και εύρος R τότε ισχύει s 6 R 25. Το διάγραµµα συχνοτήτων χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής 26. Γενικά δεχόµαστε ότι ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές, εάν ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος δεν ξεπερνά το 10% 27. Η διάµεσος δ είναι µέτρο διασποράς 28. Ο συντελεστή µεταβλητότητας CV είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης των δεδοµένων 29. Οι ποιοτικές µεταβλητές διακρίνονται σε συνεχείς και διακριτές 30. Τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς µιας µεταβλητής είναι η µέση τιµή και η διάµεσος αυτής 31. Στην περίπτωση των ποσοτικών µεταβλητών, εκτός από τις συχνότητες f i, v i χρησιµοποιούνται και οι λεγόµενες αθροιστικές συχνότητες F i, N i 32. Το µέτρο διασποράς εύρος ισούται µε τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µέγιστη παρατήρηση 33. O συντελεστής µεταβολής CV, δεν ορίζεται όταν < 0 34. Ο συντελεστής µεταβολής είναι µέτρο απόλυτης διασποράς 35. Αν δύο δείγµατα έχουν CV 1 = 16%, CV 2 = 20% τότε µεγαλύτερη οµοιογένεια έχουµε στο 1 ο δείγµα 36. Η διάµεσος είναι µέτρο θέσης που δεν επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις 37. Στην κανονική καµπύλη συχνοτήτων ισχύει = δ www.lazaridi.info tel.6977.385.358 4
Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος Πιθανότητες 1. ύο ενδεχόµενα Α, Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν A B = Ω 2. Αν A Bτότε Ρ(Α) > Ρ(Β) 3. Αν το ενδεχόµενο Α, συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Α, πραγµατοποιείται, τότε δεν πραγµατοποιείται το Α 4. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε ο τύπος (A B) = P(A) + P(B) - P(A A B P B) ισχύει µόνο όταν τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα 5. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε ισχύει A - B = 6. Aν τα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι ανά δύο ασυµβίβαστα, τότε ισχύει P B (A Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ) 7. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε το ενδεχόµενο A B πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β 8. Αν Ρ(Α) είναι η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α = {α 1, α 2,., α κ } τότε P(A) = P(α1 ) + P(α2 ) +... + P(ακ ) 9. Ο δειγµατικός χώρος Ω ενός πειράµατος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόµενο 10. Το ενδεχόµενο A B πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β 11. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε ισχύει Ρ( ) P(A B) Ρ(Ω) 12. Aν για τα ενδεχόµενα Α, Β του ) ίδιου δειγµατικού χώρου Ω µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα ισχύει Ρ(Α) = Ρ(Β) τότε είναι πάντοτε Ν(Α) = Ν(Β) 13. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α ) = 1 + Ρ(Α) 14. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε το ενδεχόµενο να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το ( B 15. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε το ενδεχόµενο να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα A από τα Α και Β είναι το ( A - B) 16. Ο απλός προσθετικός νόµος ισχύει για ενδεχόµενα τα οποία είναι ανά δύο ασυµβίβαστα www.lazaridi.info tel.6977.385.358 5
B A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A A Bτότε 18. Το είναι το αδύνατο ενδεχόµενο 19. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A Bτότε A B = A, A B = B 20. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε A A, A B B 21. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε B, B 22. Αν η πιθανότητα πραγµατοποίησης ενός ενδεχοµένου Α είναι 0,4 τότε η πιθανότητα µηπραγµατοποίησης του Α είναι 0,6 23. ύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα είναι ξένα µεταξύ τους 28. Ο προσθετικός νόµος ισχύει µόνο για ασυµβίβαστα ενδεχόµενα 29. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε µπορούµε να γράψουµε (B - A) 30. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = Ρ(Β) τότε υποχρεωτικά ισχύει Α = Β 31. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) Ρ(Β) τότε A B 32. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A Bτότε P (A B) = P(A) 33. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A Bτότε B N (A) N(B ) 34. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A Bτότε A - B = 35. Aν Α ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου Ω τότε (Α ) = Α 36. Αν Α, Β ενδεχόµενα A ενός δειγµατικού A χώρου Ω τότε A B B 37. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A Bκαι A τότε Α = Β 38. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε B) B B ( = και ( B) = 39. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε P (A B) = P(A B) τότε Α = Β 40. Ισχύει πάντα A = Ω και A = www.lazaridi.info tel.6977.385.358 6 B A 24. ύο ενδεχόµενα ξένα µεταξύ τους είναι συµπληρωµατικά (αντίθετα) B A 25. Αν δύο ενδεχόµενα Α, Β είναι ξένα µεταξύ τους και τα συµπληρωµατικά τους Α, Β είναι ξένα µεταξύ τους 26. Αν δύο ενδεχόµενα Α, Β είναι ξένα µεταξύ τους, τότε µπορεί να ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1,3 27. Αν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Β) = 0,5 τότε τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα A B = (A - B) (A B) A A A A A A