5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, (κ ν) α. Τι ονομάζουμε (απόλυτη) συχνότητα v της τιμής x, όπου =1,,3,,κ; β. Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα f της τιμής x, όπου =1,,3,,κ; Β. Αν f 1,f,...,f κ είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών x 1,x,...,x κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: f 1 f... f κ 1 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν f (x) στο (α, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) β. Για μια συνάρτηση f ισχύει f (x ) για x α, β και η f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του x. Τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β) και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό. γ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. δ. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F μιας κατανομής εκφράζουν το (Μονάδες 7) ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής x ε. Το βάρος των μαθητών της Γ Λυκείου είναι ποσοτική συνεχής μεταβλητή. (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση 3 x f(x) x e 1, x α. Να βρείτε την παράγωγο f x της f x (Μονάδες 7) β. Να βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτομένων ε 1, ε στη καμπύλη της f οι οποίες είναι παράλληλες προς τον άξονα x x γ. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 1) Σελίδα 1 από
ΘΕΜΑ 3 Η κατανομή του αριθμού των βιβλίων που διάβασε μια ομάδα μαθητών το τελευταίο έτος, φαίνεται στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα. Αριθμός Βιβλίων x Αριθμός Μαθητών v f N F 5 1 6 3 5 7 5 8 9 Σύνολο Στο κυκλικό διάγραμμα του δείγματος η γωνία που αντιστοιχεί στη τιμή x 4 είναι o 18 α. Να δείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι v β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. (Μονάδες 9) γ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που διάβασαν το πολύ 7 βιβλία, καθώς και το ποσοστό των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον 7 βιβλία. δ. Να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, καθώς και το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος. ΘΕΜΑ 4 Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες F των τιμών x με 1,,,κ ενός δείγματος μεγέθους ν (κ ν ) μιας μεταβλητής X, δίνονται από τον τύπο F 3 5 με 1,,,κ α. Να βρείτε τις f 1, f και να δείξετε ότι f 6+ β. Να δείξετε ότι το πλήθος των τιμών x των παρατηρήσεων είναι 5 (Μονάδες 5) γ. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της παρατήρησης με τιμή x3 είναι 4, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος ν και να κατασκευάσετε πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων δ. Αν ν 1 και η εφαπτομένη ε στη καμπύλη της 3 f(x) αx βx 5 στο v 1 v3 σημείο της Α, 4 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x, να βρείτε τα α και β Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από
5 1 1 η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. α. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποιοτικές, ποιες ποσοτικές, ποιες διακριτές και ποιες συνεχείς; β. Τι είναι το κυκλικό διάγραμμα των τιμών μιας μεταβλητής και που χρησιμοποιείται; Β. Αν f 1,f,...,f κ είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών x 1,x,...,x κ αντίστοιχα ενός δείγματος μεγέθους ν μιας μεταβλητής Χ, να αποδείξετε ότι: f 1 f... f κ 1 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σημείο x του πεδίου ορισμού της και υπάρχει η παράγωγος f (x ), τότε f (x ) = β. Έστω ότι για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύουν: f (x) στο (α, x ) και f (x) στο ( x,β). Τότε πάντα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x (Μονάδες 7) γ. Οι αθροιστικές συχνότητες N μιας κατανομής εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x δ. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής ισούται με 1 ε. Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μόνο μιας ποιοτικής μεταβλητής (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση ln x 1 f(x) x e α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f καθώς και την παράγωγο f x της f x (Μονάδες 7) β. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης ε στη καμπύλη της f, όταν ε / / x x γ. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 1) Σελίδα 1 από
ΘΕΜΑ 3 H κατανομή των ωρών μελέτης ανά βδομάδα στο μάθημα των Μαθηματικών και Στοιχείων Στατιστικής ενός δείγματος μαθητών, φαίνεται στον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα. Ώρες μελέτης x Αριθμός Μαθητών v f N F 1 3 7 3 4 Σύνολο Στο κυκλικό διάγραμμα του δείγματος, η γωνία που αντιστοιχεί στη τιμή x 3 είναι α. Να δείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι ν β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. (Μονάδες 9) γ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που μελέτησαν το πολύ 3 ώρες, καθώς και το ποσοστό των μαθητών που μελέτησαν τουλάχιστον ώρες την βδομάδα. δ. Να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, καθώς και το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος. o 7 ΘΕΜΑ 4 Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες F των τιμών x, με 1,,,κ, ενός δείγματος μεγέθους ν (κ ν ) μιας μεταβλητής X, δίνονται από τον τύπο F = 1 με =1,,,κ α. Να βρείτε τις f 1, f και να δείξετε ότι f =4+8 β. Να δείξετε ότι το πλήθος των τιμών x των παρατηρήσεων είναι 5 (Μονάδες 5) γ. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της παρατήρησης με τιμή x3 είναι 4, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος ν και να κατασκευάσετε πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων δ. Αν ν 5 και η εφαπτομένη ε στη καμπύλη της f(x) αx βx 8 στο v v σημείο της Α 1, 3 είναι παράλληλη προς την ευθεία y x 7, να βρείτε τα α και β Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από
5 1-1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Τι ονομάζουμε παράγωγο μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της; Β. Δίνεται η συνάρτηση F(x) f(x) g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F (x) f (x) g (x) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: α. Για την εύρεση του lm f(x), είναι αναγκαίο το x να ανήκει στο πεδίο x x (Μονάδες 5) (Μονάδες 1) ορισμού της f β. Η παράγωγος f (x ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της, είναι πραγματικός αριθμός. f(x h) f(x ) γ. Αν το όριο lm υπάρχει και είναι ίσο με λ, τότε f (x ) λ h h f (x h) f (x) δ. Ισχύει f (x) lm, h h h ε. Αν f(x) συνx, τότε f (x) ημx (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ x 4 x 1 3, x Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) και g(x) x 8 x 3 α 1, x α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g β. Να υπολογίσετε τα όρια: ) lm f(x) x 3 ) lm g(x) x γ. Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η g να είναι συνεχής στο x (Μονάδες 9) Σελίδα 1 από
ΘΕΜΑ 3 ln(x 1) Δίνεται η συνάρτηση f(x). Να βρείτε: x 1 α. Το πεδίο ορισμού της f καθώς και το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση αυτής τέμνει τον άξονα x x. f x f x (Μονάδες 7) β. Την παράγωγο της γ. Το σημείο της καμπύλης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα x x, καθώς και την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 4 ο Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης β 1 f(x) αx διέρχεται x από το σημείο Α(3, ) και η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο Α είναι παράλληλη προς τον άξονα x x f x f x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο της β. Να βρείτε τις τιμές των α και β (Μονάδες 5) γ. Για α 1 και β : lm x f(x) ) Να υπολογίσετε το x 1 ) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της καμπύλης της f ώστε η εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη προς την ευθεία που διχοτομεί τη γωνία xoy ˆ Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από