ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. (Μονάδες ) Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα ROLLE; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετραδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Στα σηµεία καµπής η εφαπτοµένη της C f διαπερνά την καµπύλη. (Μονάδες ) β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα, τότε η παράγωγος της είναι θετική στο εσωτερικό του. (Μονάδες ) γ. Αν f() > κοντά στο, τότε lim f() >. (Μονάδες ) δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, τότε για οποιαδήποτε, ισχύει : αν >, τότε f( ) > f( ). (Μονάδες ) ε. Αν η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α είναι άρτια, τότε η C f έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Έστω f:r R γνησίως µονότονη στο R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(3, 8) και Β(, 6). α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (Μονάδες 5) β. Να λυθεί η εξίσωση f f ( ( + ) ) = 6. (Μονάδες )

γ. Να λυθεί η ανίσωση f f ( ( + ) 3) > 8. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 3 ο α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε µιγαδικούς αριθµούς z, z ισχύει z + z = z z αν και µόνο αν _ Re z z = β. Έστω µία συνάρτηση f :[ αβ, ] R µιγαδικοί αριθµοί z=α +if( α ), w = f ( β ) +iβ µε αβ. Αν (Μονάδες ) συνεχής στο [α, β] και οι w + z = w z να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. (Μονάδες 5). ΘΕΜΑ 4 ο Έστω f και g δύο συνεχής συναρτήσεις στο R και η συνάρτηση h() = f(t)dt g(t)dt κάθε R. α. Να βρείτε την h / (). + για την οποία ισχύει h() h() για (Μονάδες 5) β. Να δείξετε ότι f()=g(o)+3. (Μονάδες ) γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f()-=g(ηµπ) έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). (Μονάδες )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 53. Β. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 46. Γ. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ. ΘΕΜΑ ο α. Η C f διέρχεται από τα σηµεία Α(3, 8) και Β(, 6), δηλαδή f(3) = 8 και f() = 6. Αφού < 3 και f() < f(3) και από υπόθεση η f είναι γνησίως µονότονη, συµπεραίνουµε ότι θα είναι γνησίως αύξουσα στο R. β. H f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και ένα προς ένα. Εποµένως υπάρχει η f - (). Αφού f(3)=8 έχουµε f - (8)=3 (). Τότε: f( f ( + ) ) = 6 f( f ( + ) ) = f () f ( + ) = f ( + ) = 3 f ( + ) = f 8 + = 8 + 8= = ή = 4. γ. f( f( + ) 3) > 8 f( f( + ) 3) > f(3) f( + ) 3) > 3 f( + ) > 6 f( + ) > f() + > + > (, ) (, + ). f ΘΕΜΑ 3 ο α. z + z = z z z z+ z z = ( z z) ( z z) z z + z z = z z z z z z + z z z z z z z z ( z z) ( z z) = ( z z) = = + = Re Re 3

a) β. w + z = w z Re w z = = ( ( β) + β ) ( α ( α) ) = ( β) α ( α) ( β) + β α ++ β ( α) f ( β) α β f ( α) i β α f ( α) f ( β) wz f i if f if f i f = + + ( wz ) = f( β) α + β f( α) = f( β) α = β f( α) Εποµένως Re ( α) ( β) αν f = τότε και f = και η εξίσωση f() = έχει ρίζες τα α και β f ( β) β αν f ( α) τότε και f ( β) και = < άρα και f ( α) f ( β) < f ( α) α Η f είναι συνεχής στο αβ,.από θ. Bolzano η εξίσωση f = έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο,. Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση [ αβ] στο διάστηµα, ΘΕΜΑ 4 ο [ ] ( αβ) f = έχει µία τουλάχιστον ρίζα α. h / ()= f(t)dt + f() - g( -) - -, R. β. Η h είναι παραγωγίσιµη σε όλο το R. h() h() για κάθε R ηλαδή για = παρουσιάζει ελάχιστο. Εποµένως από το θεώρηµα του Fermat h / ()= +f() - g() --= f()=g()+3. γ. Έστω Κ() = f() - -g(ηµπ) Η K() είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων. Κ()=--= - <. Κ()=f() - -g()=g()+3--g()= > K(). K() <. Άρα από θεώρηµα Bolzano η εξίσωση f()-=g(ηµπ) έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). 4

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Α. είξτε ότι αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ' f =, τότε η f και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει είναι σταθερή σ' όλο το διάστηµα, δηλαδή ισχύει f( ) =c για κάθε. (Μονάδες ) =f για κάθε R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) =f f( -) είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της. ' Β. Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν f( ) = και f (Μονάδες ) Γ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 5 + +4= δεν έχει ρίζα στο [, + ). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο Αν (fog)() = + και g ln για κάθε,+ τότε : α. Να δείξετε ότι f() = e +, R. (Μονάδες 5) β. Να βρείτε τη συνάρτηση (gof)(). (Μονάδες 5) =, γ. Να βρείτε το εµβαδόν Ε(α) του χωρίου µεταξύ των C fog και C g και των ευθειών = και = α µε α >. (Μονάδες ) δ. Να υπολογίσετε το όριο lim E( a) a +. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο t + 3,, 4 t + 4 t + g = f ( t) e dt, > και t [, 4 ]. + ίνονται οι συναρτήσεις f () t = t [ ] α. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα β. Να δείξετε ότι t 4 e e e. 4 f () tdt. και (Μονάδες ) (Μονάδες 5) 5

γ. Να υπολογίσετε το όριο g lim. + (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R τέτοια g > και g g - g > για κάθε R Να αποδείξετε : ώστε. α. Η συνάρτηση ln g( ) είναι κυρτή στο R. g + < g g για κάθε, R µε. β. (Μονάδες ) (Μονάδες 5) 6

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 5. Β. Η g είναι παραγωγίσιµη στο R µε : ' ' ' g = f f f f = f f f f = R g = Άρα η g είναι σταθερή δηλαδή για κάθε c = Είναι g = f f ( ) g( ) = f ( ) f ( ) = = 4 σταθερή είναι g = 4. και επειδή η g είναι Γ. Θεωρούµε την συνάρτηση f()= 5 + +4. f / ()=5 4 + > για (, + ). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ο, + ). Για > f() > f() f() > 4 και f()=4. Eποµένως η εξίσωση f()= δεν έχει καµία ρίζα στο [, + ). ΘΕΜΑ ο i) g = ω ln = ω = e ω. ( fog) = + f ( ω) = e ω +. Άρα f = e +. ii) gof = { f και g} { R και (e ) (, )} { R και e } D D f D = + + = + > = R > = R ( gof ) = ln(e + ), R. και e. iii) Πρέπει να βρούµε σε ποια διαστήµατα η µία συνάρτηση είναι πάνω από την άλλη. Για αυτό λύνουµε την παρακάτω ανίσωση: 7

( fog) > g + > ln + ln >. Έστω H = + ln. / H = =. To πρόσηµο της παραγώγου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. / + H () H() _ + Άρα H H(/) + ln ln>, για κάθε >. Εποµένως η fog() βρίσκεται πάνω από την g() για κάθε >. a Ea = (+ ln d ) = + ln+ Άρα a = + a alna τµ. iv) a lim Ea = lim + a aln a a + a + a + 4a alna = lim a + 4 lna a ( + ) lim a a = = +, a + 4 lna d Η αφού lim =, lim = lim =. a + a a + a a + a a 8

ΘΕΜΑ 3 ο α. 4 4 4 4 4 4 ( t+ ) t+ 3 t+ 4- f () t dt = dt = dt = - dt = t+ t+ t+ t+ 4 4 = dt - dt = [] t - ln( t + ) = 6-( ln6-ln3) = 6-ln. t+ β. t 4 t 4 και > άρα t 4 Η συνάρτηση e είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα e e e. 9

+ Για κάθε > και t [,4 ] έχουµε > και f() t > + () t 4 t 4 + + + () () () άρα e e e f t e f t e f t e + + + 4 4 t 4 4 + + + () () () άρα f t e dt f t e dt f t e dt () + + + 4 4 + + + f t e dt = e f() t dt = 6 ln e + + + 4 4 4 4 4 + + + () () ( 6 ln) f t e dt = e f t dt = e + + + 4 + + οπότε η () γίνεται ( 6 ln) e g ( 6 ln) e + + γ. + lim ( 6 ln ) e = ( 6 ln ) = 6 ln + + 4 + lim ( 6 ln ) e = ( 6 ln ) = 6 ln + + + Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim g = 6 ln. ΘΕΜΑ 4 ο α. ( ln ( g( ))) = g g g g g g και > για κάθε R g ( ( )) g g g g g g g ln = = > αφού > Άρα η συνάρτηση ln είναι κυρτή στο R.

β. Έστω h= ln g η οποία είναι καλώς ορισµένη στο R. + + Η h ικανοποιεί το Θ.M.T. στα διαστήµατα,,, + h h( ) + Άρα υπάρχει ξ, ώστε h ( ξ ) = = + + ln g ( ) ln g () + h h + οµοίως υπάρχει ξ, ώστε h ( ξ ) = = + + ln( g ) ln g = () Η h είναι γνησίως αύξουσα στο R αφού η h είναι κυρτή στο R άρα ξ < ξ h ( ξ ) < h ( ξ ) + + ln g ln ( ) ln ( ) ln g g g < + + ln g ln ( g ) < ln ( g ) ln g + g < ( g ) + ( g ) ln ln ln g ln g g + ln ( ) < g g g + < + < για κάθε, µε g g g R

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο τότε να δείξετε : α. όλες οι συναρτήσεις της µορφής G()=F()+c, c R είναι παράγουσες της f στο. β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει µορφή G()=F()+c, c R. (Μονάδες ) Β. Πότε µία συνάρτηση f καλείται ένα προς ένα ; (Μονάδες 3 ) Γ. Τι ονοµάζουµε αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f σε ένα διάστηµα ; (Μονάδες 3 ). Να βρεθεί ο R αν ισχύει z w = z+ w µε z=3- i καιw=-3i. (Μονάδες 9 ) ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f()=ln+. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µόνο ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον άξονα /. (Μονάδες 5) β. Να υπολογίσετε τα ακρότατα της f. (Μονάδες ) γ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα /, τις ευθείες = και = όπου είναι η θέση του τοπικού ακρότατου της f. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 3 ο Α. ίνεται η συνάρτηση f : R * + R µε την ιδιότητα f() f(y) f / ( + y) = + για κάθε, y >. Αν f()= και f / ()=, να y αποδείξετε ότι :

d f() d f(y) α. = d dy y (Μονάδες 8) β. f()=, >. (Μονάδες 7) Β. ίνεται η συνάρτηση f() = 3 και το σηµείο Α(α, ). Αν το σηµείο αυτό τρέχει µε σταθερή ταχύτητα cm/sec, να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της γωνίας ω που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της C f στο Μ(α, f(α)) µε τον άξονα /. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση f()=e + 3 +-. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() έχει ακριβώς µία ρίζα στο R. (Μονάδες 5) β. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f - : R R - γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f () d. e (Μονάδες ) (Μονάδες ) 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ου ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 34. Β. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 5. Γ. Θεωρία. Σχολικό σελίδα 34.. z w = z+ w () µε z=3- i και w=-+3i. Αντικαθιστώ στη σχέση () και έχω : 3 i - ( -- 3i) = 3 + i + ( - + 3i) 3 + + ( + 6)i = 3 + + ( + 6)i (5 ) + (6 ) = =. = ( + ) + (6 + ) K Η ρίζα αυτή είναι µοναδική γιατί η συνάρτηση f()=-- είναι γνησίως φθίνουσα στο R γιατί f / ()= -- ln <, για κάθε R. ΘΕΜΑ ο α. Για να δείξουµε ότι υπάρχει µόνο ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον άξονα /, θα πρέπει η εξίσωση f / ()= να έχει µοναδική λύση. f()=ln+, >. f / ()=ln+. f / ()= ln+= ln=- =e -. Άρα το µοναδικό σηµείο είναι Μ(e -, -e - +). β. f()=ln+, >. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (, + ) f / ()=ln+. f / ()= ln+= ln=- =e - f / () > ln+ > ln > - > e - f / () < ln+ < ln < - < e - Άρα η f για = e - παρουσιάζει ελάχιστο το f(e - )= -e - +. γ. Η f για = e - παρουσιάζει ελάχιστο το f(e - )= -e - +>. Άρα η f παίρνει θετικές τιµές στο (, + ). Εποµένως το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα /, τις ευθείες = και =e - είναι : 4

e (ln+ ) d= ολοκλήρωση κατά παράγοντες = ln+4-e - +e - /. ΘΕΜΑ 3 ο Α. f() f(y) α. f / ( + y) = + για κάθε, y >. y Παραγωγίζουµε ως προς και µετά ως προς y και έτσι d f() d f(y) παίρνουµε ότι = για κάθε, y >. d dy y / d f() d f(y) ( y ) β. = f() y f ( y) f(y) = = d dy y y f() Άρα = + c f() = + c Για = έχουµε f()= c=. ηλαδή f()=, >. / = Β. f() = 3, f / () = 3 και α / (t) = cm/sec. εφω = f / (α) ή εφω = 3α δηλαδή εφω(t) = 3α (t). Παραγωγίζοντας την σχέση αυτή έχουµε / / ω () t = 6 a() t a () t συν ω() t / εφ ω() t + ω () t = a() t / / at 9 a () t + ω () t = a() t ω () t = rad/sec. 9 a ( t) + ΘΕΜΑ 4 ο α. f()=e + 3 +- f()=++-=- < f()=e++-= e > Η f είναι συνεχής στο [, ] άρα από Θ. Bolzano έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Αυτή η ρίζα είναι και µοναδική γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R.f / ()=e +3 + >, R β. Για να ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f θα πρέπει να δείξουµε ότι η f είναι ένα προς ένα.. Έστω, R µε και έστω < 5

< -< - < 3 < 3 < e < e άρα f( ) < f( ) Οµοίως αν > τότε f( ) > f( ). Άρα αν τότε f( ) f( ). Εποµένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f. γ. e f e - - () d = (e u + u 3 u f / (u)du = [uf(u)] 9 + u )du = K. 4 f(u)du = θέτω f - ()=u =f(u) και d=f / (u)du, f()= - και f()= e. 6

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ [ΠΡΟΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗ] ΘΕΜΑ ο Α. Έστω οι µιγαδικοί Ζ και Ζ. Να δείξετε ότι z z = z z. (µονάδες 5) Β. Είναι σωστοί ή λάθος οι ισχυρισµοί; ( λ f + µ g ) d = λ f d + µ g d.. β f g d f g f g d α. β. = + a β a 3. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f() ισχύει : β () = ( β ) ( α ) f t dt f f. α 3 d = 4. [ ln ] 3 3 3 4 5. Για κάθε α > ισχύει d< ( + + ) d. a a a a (µονάδες ) 3 f = 3 + παρουσιάζει Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ένα τοπικό µέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σηµείο καµπής (Να τα βρείτε) (µονάδες ) ΘΕΜΑ ο A. Έστω η συνάρτηση f() = + µε [, + ). Να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα / και τις ευθείες = και =. (µονάδες 5) f = e e ln, >. είξτε ότι η C f δέχεται µοναδική B. Έστω εφαπτοµένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. (µονάδες ) 7

ΘΕΜΑ 3 ο ln f() = και g() = + f() α. είξτε ότι ln <, (,+ ) ίνονται οι συναρτήσεις β. είξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). (µονάδες 5) (µονάδες 5) γ. Να µελετήσετε την g ως προς κοίλα, κυρτά και σηµεία καµπής. (µονάδες 5) δ. Να εξετάσετε τη θέση της g και της ευθείας y =. (µονάδες 5) ε. Να βρείτε τις ασύµπτωτες (κατακόρυφες πλάγιες) της γραφικής παράστασης της g. (µονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο α. Να µελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση f gtdt (), > = e =, όπου g(t) δύο φορές παραγώσιµη στο [, + ] και / // g() =, g () =, g () = (µονάδες 5) β. Αν ισχύει g(t)dt < - g(t)dt g(t)dt να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ)=. (µονάδες ) γ. Να δειχθεί ότι η f είναι παραγώσιµη στο. (µονάδες 5) δ. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ( ) ώστε f(ξ )=. ξ,+,τέτοιο (µονάδες 5) 8