Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr
Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα θέματα στο μάθημα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης στις πανελλήνιες εξετάσεις καθώς και στις επαναληπτικές εξετάσεις από το έως και το 9 αναλυτικές και αιτιολογημένες απαντήσεις σε όλα τα παραπάνω θέματα Τα θέματα είναι χωρισμένα σε 4 ενότητες, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο: Μιγαδικοί αριθμοί Όριο Συνέχεια συνάρτησης Διαφορικός λογισμός Ολοκληρωτικός λογισμός Σε κάθε μία ενότητα τα θέματα είναι χωρισμένα στις παρακάτω ενότητες Αποδείξεις θεωρημάτων Ορισμοί Ερωτήσεις σωστό λάθος Αντιστοιχίσεις Ασκήσεις
Περιεχόμενα Πρόλογος Μιγαδικοί αριθμοί 5 Αποδείξεις 5 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος5 3 Αντιστοίχηση 7 4 Ασκήσεις 8 Όριο Συνέχεια συνάρτησης Αποδείξεις Ορισμοί 3 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος 4 Ασκήσεις 7 3 Διαφορικός λογισμός 8 Αποδείξεις 8 Ορισμοί 3 3 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος 33 4 Αντιστοίχηση 38 5 Ασκήσεις 39 4 Ολοκληρωτικός λογισμός 7 Αποδείξεις 7 Ορισμοί 7 3 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος 73 4 Ασκήσεις 76
4 Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 5 Μιγαδικοί αριθμοί Αποδείξεις Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z Να αποδείξετε ότι: z z = z z Πανελλαδικές Πανελλήνιες 7 Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z =, να δείξετε ότι z = z Πανελλαδικές Ερωτήσεις Σωστό Λάθος Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α) β) z z = z z = z γ) z = z δ) z = z ε) iz = z Πανελλαδικές α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος Το μέτρο είναι μη αρνητικός αριθμός άρα η δοσμένη σχέση ισχύει μόνο για z = δ) Σωστό ε) Σωστό Είναι iz = i z = z = z Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
6 Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει: z = z = z Πανελλήνιες 3 Σωστό 3 Αν z και z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z + z z + z Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Σωστό 4 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους Πανελλήνιες 4 Σωστό 5 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 5 Σωστό 6 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z Πανελλήνιες 6 Λάθος Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z z 7 Αν z,z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z + z Σωστό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 8 Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = με α, β, γ και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών Πανελλήνιες 8 Λάθος, αν είναι Δ < τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές ρίζες Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 7 9 Αν z,z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: zz = z z Σωστό Πανελλήνιες 9 Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν v ισχύει: ( z ) = ( z) v Σωστό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 3 Αντιστοίχηση Αν z = 3+ 4i και z = 3i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα Στήλη Α z z 3 z z Στήλη Β ζ, γ, 3 α, 4 δ, 5 β 4 z 5 iz α 4 β γ 5 δ 5 ε στ 5 ζ Πανελλαδικές Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
8 Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 4 Ασκήσεις α) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός μορφή α+ βi με α,β z = 5+ i Να γράψετε τον z στη + 3i Λύση α) β) Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει z = z i ( 5+ i)( 3i) 5+ i 5i+ i 3i 3 3i z = = = = = i + 3i + 3i 3i + 3 3 β) Έστω z = + yi,,y Είναι z = z = z i + yi = + yi i z i ( ) yi ( y ) i ( ) y ( y ) + = + + = + + y = + y + + Άρα τα ζητούμενα σημεία ανήκουν στην ευθεία y y = = Πανελλαδικές + y y + y = α) Αν z,z είναι οι ρίζες της εξίσωσης αποδείξετε ότι: z z = Λύση z + z+ =, να β) Αν z είναι ρίζα της εξίσωσης του (α) ερωτήματος, με φανταστικό μέρος θετικό αριθμό, να βρείτε τις τιμές του θετικού ακεραίου ν για τις οποίες αριθμός α) z είναι πραγματικός v Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) + + = + + = + = = + και z = i z z z z z i z i z z = + i i = + i i = i i = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 9 β) z = ( + i) = i, z 3 z z ( i )( i) ( i) 4 z = ( i) = 4, z 5 = 4 ( + i), 6 4 z = z z = 4 ( i) = 8i, κλπ άρα ο v z είναι πραγματικός αριθμός για v = πολ4 = = + = +, 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+ βi, όπου α,β και w = 3z iz + 4, όπου z ο συζυγής του z α) Να αποδείξετε ότι : Re( w) = 3α β+ 4, Im( w) = 3β α β) Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y =, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = γ) Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των Λύση οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y =, έχει το ελάχιστο μέτρο α) w = 3( α+ βi) i( α βi) + 4 w 3α β 4 i( 3β α) = + + Πανελλήνιες 3 β) M( w) στην y = άρα οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας Επομένως είναι 3β α = 3α β+ 4 β = α γ) Είναι η απόσταση του Ο(,) από την ευθεία y = Άρα z = = = min + 4 α) Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: z = και Im( z) Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 β) Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 4 w = z + z κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο βρίσκεται στον άξονα Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Λύση α) Είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το Ο(,) και ακτίνα που έχουν τεταγμένη θετική ή μηδέν 4 β) Για z = + yi είναι w = + yi+ = + yi 4 yi + yi + = + y Επομένως το φανταστικό μέρος του w είναι άρα η εικόνα του w βρίσκεται στο 5 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z 3 με z = z = z = 3 3 α) Δείξτε ότι: z 9 = z z z β) Δείξτε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός z z γ) Δείξτε ότι: z + z + z3 = z z + z z3 + z3 z 3 Λύση α) 9 z = 3 z = 9 zz = 9 z = z Πανελλήνιες 5 9 9 z z z z z z z z z z + = + = + = + = + z z z z z z 9 9 z z z z β) z z Άρα + z z Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 9 9 9 + + = + + = + + = + + = z z z γ) z z z3 z z z3 z z z3 z z3 + z z3 + z z z z3 + z z3 + z z = 9 = 9 zzz z z z 3 3 3 z z + z z + z z = = + + 3 3 3 3 3 3 9 z z3 z z3 z z 6 α) Αν z,z είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει z + z = 4+ 4i και z z = 5 + 5i, να βρείτε τους z,z β) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν: z 3i και w 3 i, τότε: i) Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι ώστε z = w ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z Λύση z + z = 4+ 4i z z = 8 8i α) z z = 5 + 5i z z = 5 + 5i w Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και έχουμε: z z = 3 3i + iy iy = 3 3i Λύνοντας, βρίσκουμε z = + 3i Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση βρίσκουμε z = 3 + i Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 β) Ο γεωμετρικός τόπος του z είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το K(, 3) και ακτίνα ρ z = Ο γεωμετρικός τόπος του w είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το Λ(3, ) και ακτίνα ρ w = Είναι ΚΛ= ρ z w 3 + 3 = 8 = = + = + ρ Άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται δηλαδή υπάρχει Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 μοναδικό σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο κύκλοι, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί z, w τέτοιοι ώστε z = w γ) Το z w παίρνει τη μέγιστη τιμή του στα σημεία Α και Β που τέμνει η ΚΛ τους δύο κύκλους Είναι ΑΒ = z w = ρz + ρw = 4 7 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z,z 3 με z = z = z = και 3 z + z + z3 = α) Να αποδείξετε ότι: i) z z = z3 z = z z 3 ii) και ( ) z z 4 Re z z β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z,z,z 3 στο Λύση μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν α) i) Είναι z + z + z 3 = άρα z = z z 3 Πανελλήνιες 6 3 3 3 3 3 3 z z = z z z z z = z z z z z = z + z ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) = + + 3 3 3 3 4 z + z z + z z + z = z + z z + z z + 4 z 3 3 3 3 3 3 z = z 3 Η σχέση ισχύει άρα ισχύει και η αρχική Όμοια ξεκινάμε από τη σχέση z z = z z3 και καταλήγουμε σε μία σχέση που ισχύει z z = z + z z + z = + = άρα ii) z z 4 z z z 4 z z z z 4 z z z z z + z 4 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 3 zz zz zz + zz zz + zz Re zz Re z z β) Τα μέτρα των μιγαδικών z,z,z 3 είναι ίσα με τη μονάδα άρα και οι τρεις μιγαδικοί ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο C: + y = Από τη σχέση z z = z z = z z συμπεραίνουμε ότι οι τρεις μιγαδικοί 3 3 ισαπέχουν άρα σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είναι z + z = z = Επομένως 3 z + z = z + z z + z = z + z z + z z + z = + Re ( zz) + = Re ( zz) = Re ( zz) = Επίσης z z = z z z z = z z z z = z z z z z + z = = z Re( zz) + z = + = 3 + αi 8 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = με α α + i α) Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ = β) Έστω z,z οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για α = και α = αντίστοιχα + αi z = α + i i) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z και z v ii) Να αποδειχθεί ότι ισχύει ( z ) ( z ) αριθμό ν v = για κάθε φυσικό Πανελλήνιες 7 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
4 Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 Λύση α) Είναι + αi + αi + α z = = = =, άρα η εικόνα του μιγαδικού z α + i α + i α + ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ = i β) Είναι z = i i = i = και + z = i = + i i) Η απόστασή τους είναι = = + = + = z z i i v v ii) ( z ) ( i) i ( i ) ( ) ( z ) v v v v = = = = = z 9 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+ βi και z = + z, όπου α,β με β Δίνεται επίσης ότι z z α) Να αποδειχθεί ότι z z = β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο γ) Αν ο αριθμός Λύση z είναι φανταστικός και αβ >, να υπολογισθεί ο z και να δειχθεί ότι α) Είναι + z z + + i z + i = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 z α βi α + βi z z = z = ( α+ βi) = α+ βi + α βi + α βi α + βi α + βi + α + βi = ( α+ βi) = α+ βi + α βi + α + β + βi α + βi + α 4+ 4βi β α = ( α+ βi) = α βi + α + β + α + β 4 β α 4 = α + βi ( + α) + β ( + α) + β () Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 5 Ξέρουμε ότι z z άρα 4 β = + α + β Είναι β 4 4 = = + α + β = 4 + α + β + α + β άρα () 4 + 4α+ α + β = 4 α + β = 4α (3) Άρα αν στη σχέση () βάλουμε όπου 4 β α 4 z z = α + βi ( + α) + β ( + α) + β Im z z = και αντικαταστήσουμε τη σχέση (3) έχουμε 4 α + β 4 4α 4+ 4α z z = α = α = α = + α α = 4 + 4α+ α + β 4 + 4α 4α 4 β) Από τη σχέση (3) έχουμε ότι για τον μιγαδικό z = α+ βi ισχύει + α + β = 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ = γ) Είναι z = α+ βi = α β + αβi Ο z είναι φανταστικός άρα α β = α = β α = ± β Όμως είναι αβ > άρα οι α και β είναι ομόσημοι Επομένως είναι α = β Όμως για τον z α βi = + ισχύει η σχέση + α + β = 4 η οποία για α = β δίνει + α + α = 4 4 + 4α+ α + α = 4 α + 4α = α α+ = Άρα α = (απορρίπτεται αφού α = β και β ) ή α + = α = Άρα είναι z = i Η σχέση z + + i z + i = δίνει ( i+ + i) ( + i+ i) = ( i) ( + i) = i + i = i i = i i = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
6 Θέματα πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 8 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν τότε να βρείτε: ( i ) z 6 + = και w ( i) = w ( 3 3i) α) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w γ) την ελάχιστη τιμή του w δ) την ελάχιστη τιμή του z w Λύση Πανελλήνιες 8 α) ( i+ ) z = 6 ( i+ ) z = 6 8+ z = 6 3 z = 6 z = Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ = β) Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ε του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α(, ) και Β(3, 3) Το μέσο του ΑΒ είναι το Μ(, ) Είναι λ ΑΒ = =, άρα λ ε = Η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι ε: y+=( ) ή y = 4 γ) Η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση του Ο από την ευθεία ε: y= 4 + + 4 4 w = d( O,ε) = = = min + δ) Είναι z = και w Άρα w z Ακόμη z w = w z = w + ( z) Με χρήση της τριγωνικής ανισότητας w + ( z) w z Η γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω απόστασης είναι το μήκος ΝΜ, όπου Ν είναι το σημείο τομής της Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Μιγαδικοί αριθμοί 7 Την ελάχιστη αυτή τιμή την παίρνει η παράσταση z w για w= i (όπως αποδείξαμε το i είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου με το ευθύγραμμο τμήμα, στο ερώτημα (β)) Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z + i 3 = είναι ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ =, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί α) Να αποδείξετε ότι β = και γ = β) Να αποδείξετε ότι 3 z = γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει: w = z z Λύση α) O z είναι ρίζα της εξίσωσης άρα την επαληθεύει Επομένως ισχύει Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 + i 3 + i 3 + i 3 3 β+ βi 3 + β + γ = + + γ = 4 + i 3 + β + βi 3 + 4γ = + β + 4γ + i 3 ( + β) = + β + 4γ = + + 4γ = γ = + β = β = Άρα είναι β) Είναι z 3 3 + i 3 + i 3 + i 3 + i 3 3 + i 3 = = = 4 + i 3 + i 3 i 3 i 3 + 3 = = = = 4 4 i 3 γ) Είναι z z = = i 3 Επομένως w = z z = i 3 = 3 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, είναι ο κύκλος με κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
8 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = ( λ + ) + ( λ i ), λ Α α Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ β Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός z = i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Β Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w = z όπου z ο μιγαδικός αριθμός που ανα- φέρεται στο προηγούμενο ερώτημα Λύση Πανελλήνιες 9 Α α) Έστω z = + yi, με,y Είναι = λ + y = y = λ Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία y = β) Η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού είναι η προβολή της αρχής των αξόνων Ο στην ευθεία y = Η ευθεία y = τέμνει τους άξονες στα σημεία A(, ) και B(, ) Είναι ( OA) = ( OB) = άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές Επομένως αν είναι Μ το μέσο του ΑΒ τότε η ΟΜ είναι και ύψος και διάμεσος του ΟΑΒ + = Το Μ ως μέσο του ΑΒ έχει συντεταγμένες, (, ) Άρα ο μιγαδικός z = i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Β Έστω w = + yi με,y Είναι w + w = z + y + yi = i + y + yi = 3 i + y + = 3 + + = + = = y = Άρα w = 3+ i ή w = 4+ i 3 3 ή = 4 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Οριο Συνέχεια συνάρτησης 9 3 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( i) z+ ( + i) z 8 = α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση β) Να βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό z οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση γ) Για τους αριθμούς z,z που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι z + z + z z = 4 α) Έστω z = + yi με,y Η δοσμένη σχέση δίνει: Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 ( i)( + yi) + ( + i)( yi) 8 = i+ yi+ y + yi+ i+ y 8 = 4 + y = 8 + y = 4 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία + y = 4 β) Πρέπει Im( z ) = άρα από τη σχέση + y = 4 + = 4 = Επομένως είναι z = + i Ομοίως πρέπει Re ( z ) = άρα από τη σχέση + y = 4 + y = 4 y = 4 Επομένως είναι z = + 4i γ) Είναι z z z z 4i 4i 4 ( 4) 4 + 6 + 4 + 6 = 4 + + = + + = + + + = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 Όριο Συνέχεια συνάρτησης Αποδείξεις Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f ( α) f ( β) δείξτε ότι για κάθε η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ( α,β) τέτοιος, ώστε f( ) o o = η Πανελλήνιες 5 Ορισμοί Να ορίσετε πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Πότε μία συνάρτηση f:a λέγεται ; Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 3 Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Πανελλήνιες 7 4 Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Πανελλήνιες 8 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Οριο Συνέχεια συνάρτησης 5 Έστω μία συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 3 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μία μέγιστη τιμή Πανελλήνιες Λάθος Μπορεί να είναι lim f α = + Κάθε συνάρτηση, που είναι στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη Πανελλήνιες Λάθος Πχ η f = 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f =, τότε lim f = Πανελλήνιες Σωστό 4 Αν lim f > τότε Σωστό f > κοντά στο Πανελλήνιες 5 Μία συνάρτηση f:a είναι συνάρτηση αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε f( ) = f( ) Λάθος Η συνεπαγωγή που πρέπει να ισχύει είναι η: αν f( ) f( ) Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 =, τότε = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 6 lim f = l, αν και μόνο αν lim f lim f o + o o = = l Πανελλήνιες 4 Σωστό με την προϋπόθεση ότι ορίζονται τα όρια από αριστερά και δεξιά στο o 7 Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις f g και g f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Λάθος Πχ Για τις συναρτήσεις f ( f g) = f g = ln με (, ) = ln και g + και g f = g f = ln με, + ) = ισχύει: 8 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και συμμετρικές ως προς την ευθεία y f είναι = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και 'Oy' Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Σωστό 9 Αν υπάρχει το όριο της f στο εφόσον f κοντά στο, με κ και κ, τότε: lim κ f = κ lim f Σωστό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f ( α) < και υπάρχει ξ ( α,β) ώστε f ( ξ) =, τότε κατ ανάγκη f ( β) > Πανελλήνιες 5 Λάθος Δεν υπάρχει κάτι που να «υποχρεώνει» τη συνάρτηση να έχει μία ή περισσότερες θετικές τιμές σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού της, άρα ούτε και στο β Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Οριο Συνέχεια συνάρτησης 3 Αν υπάρχει το lim f g lim f και lim g +, τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα Πανελλήνιες 5 Λάθος Πχ για f 3 +, =, < και g, = 3 +, < στο = Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f Πανελλήνιες 5 Σωστό 3 Αν lim f = και f > κοντά στο, τότε lim f =+ Σωστό Πανελλήνιες 5 4 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε αρνητική για κάθε Σωστό Δ ή είναι Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Πανελλήνιες 5 5 Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι f g και g f, τότε είναι υποχρεωτικά f g g f Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Λάθος Πχ Για τις συναρτήσεις f = g = με είναι ( f g) = f g = g = και g f = g f = f = για 6 Αν υπάρχει το lim f >, τότε o f > κοντά στο o Σωστό Πανελλήνιες 6 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
4 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 7 Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μίας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα Πανελλήνιες 6 Σωστό 8 Μία συνάρτηση f:a είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 Σωστό 9 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο Λάθος Έπρεπε η συνάρτηση g να είναι συνεχής στο f( ) Πανελλήνιες 7 Αν α > τότε Σωστό lim α = Πανελλήνιες 7 Η εικόνα f ( Δ ) ενός διαστήματος Δ μέσω μίας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Λάθος Αν είναι f = c για κάθε Δ τότε είναι f ( Δ) όχι διάστημα = c, δηλαδή σημείο και Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπου A = lim f και B limf ( ) + α = α Σωστό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Οριο Συνέχεια συνάρτησης 5 3 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Πανελλήνιες 8 Σωστό 4 Αν μία συνάρτηση f:a είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f ισχύει: f f =, A και f f y y =, y f( A) Σωστό Πανελλήνιες 8 5 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Σωστό Πχ η συνάρτηση, = 5 f =, = 6, = 9 6 Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (,β) και l ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η lim f = lim f = ισοδυναμία: Σωστό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 7 Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, όταν f f( ) για κάθε A Σωστό Πανελλήνιες 9 συν 8 lim = Πανελλήνιες 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
6 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 Λάθος Είναι συν lim = 9 Η συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Σωστό 3 Αν lim f = και f < κοντά στο τότε lim f =+ Λάθος Είναι lim f = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Οριο Συνέχεια συνάρτησης 7 4 Ασκήσεις Δίνεται η συνάρτηση f με: f + < < = ( α + β ) ln( 5 + e) + ( α + ) e, 5 8 6, 5 5 α) Να βρεθούν τα lim f, lim f 5 + 5 β) Να βρεθούν τα α, β, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο o = 5 γ) Για τις τιμές των α, β του ερωτήματος (β) να βρείτε το lim f ( ) + Λύση α) + 5 lim f lim 8 6 5 8 5 6 5 4 6 5 5 = + = + = + = και Πανελλήνιες ( + ) ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) lim α β ln 5 e α e α β ln 5 5 e α e 5 5 5 = ( α + β ) lne + ( α + e ) = α + β + α + = α + β + α + β) Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο o = 5 αρκεί lim f = lim f = f 5 + 5 5 5 5 f 5 α β ln 5 5 e α e α β α = + + + + = + + + Είναι Άρα αρκεί α + β + α + = Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε α β α α β α α β + + + = + + + = + + = α + = και β = Άρα α = και β = γ) Για α = και β = η συνάρτηση f για 5 γίνεται: 5 f ( ) ln( 5 e) ( ) e ln( 5 e) Είναι ( + ) = + άρα και = + = + + + + = + lim 5 e + lim f + Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
8 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 3 Διαφορικός λογισμός Αποδείξεις Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ α) Να αποδείξετε ότι αν f' > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ β) Αν f' < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f; Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Πανελλαδικές Πανελλήνιες 3 3 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και ισχύει f' = ημ Να δείξετε ότι η f είναι = συν Πανελλήνιες 4 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και o ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο o και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f' ( o ) = Πανελλήνιες 4 5 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f' = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Πανελλήνιες 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 9 6 Έστω η συνάρτηση f με f παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει: f' = Να αποδείξετε ότι η f είναι = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 7 Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι: Αν f' > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν f' < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Πανελλήνιες 6 8 Να αποδείξετε ότι: ( συν )' = ημ, Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 9 Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln, * είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει: ln ' = Πανελλήνιες 8 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει: f' = Να αποδείξετε ότι η f είναι = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
3 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 3 Ορισμοί Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωσης της εφαπτομένης της γραφικής ( ) παράστασης της f στο σημείο A,f Πανελλαδικές Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Πανελλήνιες 3 3 Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f; Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 4 Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο o του πεδίου ορισμού της; Πανελλήνιες 4 9 5 Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f στο + Πανελλήνιες 5 6 Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; Πανελλήνιες 6 7 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Πανελλήνιες 7 8 Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
3 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 9 Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 33 3 Ερωτήσεις Σωστό Λάθος Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο Πανελλαδικές Λάθος Πχ f ημ, =, = Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο Λάθος Πχ η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο = Πανελλαδικές 9 = είναι συνεχής στο = αλλά δεν είναι 3 Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο Πανελλαδικές Σωστό Η f είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο 4 Η συνάρτηση f e = είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Λάθος Είναι ' f' e e σύνολο των πραγματικών αριθμών = = < άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f' = ημ + + 3, όπου ημ 5 Η συνάρτηση f με: π,π είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό Σωστό Είναι ημ > και ημ Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) f' = ημ + + 3 > για ημ άρα κάθε π,π άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
34 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 6 Αν είναι: f' = g' + 3 για κάθε Δ τότε η συνάρτηση h = f g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Λάθος h' = f' g' = 3 > άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 7 Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν f'' > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ Πανελλήνιες 3 Σωστό 8 Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση Πανελλήνιες 3 Λάθος Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση 9 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f' ( ) =, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο Πανελλήνιες 3 3 Λάθος Πχ η f = για την οποία ισχύει f' = 3 και f' ( ) = χωρίς όμως το να είναι τοπικό ακρότατο αφού f' για κάθε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 35 f' > στο ( α, ) και f' < στο (,β), τότε το f είναι τοπικό ελάχιστο της f Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Λάθος, είναι τοπικό μέγιστο Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: ( f g )'( ) f' ( ) g' ( ) = Πανελλήνιες 4 o o o Λάθος Ο τύπος είναι f g ' = f' g g' o o o Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f' ( o ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Πανελλήνιες 4 Λάθος Αν ισχύει f' ( o ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ 3 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 4 Λάθος Αυτό που ισχύει είναι ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό 4 Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 Σωστό 5 Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f κυρτή στο α, και κοίλη Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
36 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 στο (,β ) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο ( ) υποχρεωτικά σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της f ( ) Λάθος Για να είναι το A,f είναι Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 5 A,f σημείο καμπής της γραφικής παράστασης ( ) A,f της f πρέπει επιπλέον η C f να έχει εφαπτομένη στο 6 Ισχύει ο τύπος Λάθος Ισχύει 3 ' 3 ln3 3 ' = 3, για κάθε Πανελλήνιες 6 = 7 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ' f f g' f' g ( ) = g Λάθος Ο τύπος που ισχύει είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) και g, Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 ' f f' g f g' = g ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) 8 Για κάθε ισχύει Σωστό ln ' = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 6 9 Έστω f μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε f' > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Πανελλήνιες 7 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 37 3 Λάθος Πχ η f = είναι γνησίως αύξουσα στο αλλά f' = Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f' g' Δ, τότε ισχύει f g = για κάθε εσωτερικό σημείο του = για κάθε Δ Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 7 Λάθος Με τις παραπάνω προϋποθέσεις συμπεραίνουμε (Πόρισμα της συνέπειας του θεωρήματος της Μέσης Τιμής) ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισχύει: f = g + c Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f'' > για κάθε πραγματικό αριθμό Πανελλήνιες 8 4 Λάθος, πχ η f = η οποία είναι κυρτή στο και ισχύει f'' = Αν μία συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 8 Σωστό 3Έστω η συνάρτηση f = εφ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη = συν στο = { συν = } και ισχύει f' συν Λάθος Είναι f' = Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
38 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 4 Αντιστοίχηση Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο Στήλη Α συναρτήσεις α 3 f β f γ f δ f = 3, = = ημ, π = = 3, = =, = 4 Στήλη Β εφαπτομένες y = + π y = + 4 3 y = 9 6 4 y = 9 + 5 5 δεν υπάρχει α 3, β, γ 5, δ Πανελλαδικές Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 39 5 Ασκήσεις Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [, ] και ισχύει f' > για κάθε (,) Αν ότι: f = και f = 4, να δείξετε α) η ευθεία y = 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,) o β) υπάρχει (,), τέτοιο ώστε f( ) γ) υπάρχει (,) Λύση της f στο σημείο y = + 3 4 f f f f 5 + + + 5 5 5 = 4, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης ( ) α) Έστω η συνάρτηση h με h f 3 Για την h έχουμε M,f να είναι παράλληλη στην ευθεία = για κάθε, είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων ( ) h h = f 3 f 3 = 3 4 3 = < Πανελλαδικές (Θετική) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η h = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Είναι h' = f' > άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) επομένως έχει μία το πολύ ρίζα στο (, ) Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η h έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, ) Άρα υπάρχει ακριβώς ένα (,) o o o o τέτοιο ώστε h = f 3 = f = 3 Επομένως η ευθεία y = 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,) o Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
4 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 3 4 f + f + f + f 5 5 5 5 3 4 f = 4f f f f f = 4 5 5 5 5 β) Έστω η συνάρτηση t με 3 4 t = 4f f f f f 5 5 5 5,, Είναι t' = 4f' > άρα η t είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] Είναι 5 5 < < άρα f( ) < f < f( ) 5 5 < < άρα f( ) < f < f( ) 3 5 3 5 < < άρα f( ) < f < f( ) 4 5 4 5 < < άρα f( ) < f < f( ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε: 3 4 4f ( ) < f f f f 4f ( ) 5 + + + < 5 5 5 3 4 3 4 4f ( ) < f + f + f + f 4f ( ) f f f f < 5 5 5 5 5 5 5 5 t( ) < και 3 4 3 4 f + f + f + f < 4f( ) 4f( ) f f f f > 5 5 5 5 5 5 5 5 t > Για τη συνάρτηση t έχουμε είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων t( ) t( ) < άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) 3 4 t = 4f f f f f = 5 5 5 5 ώστε Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 4 3 4 f f f f 5 + 5 + 5 + 5 f( ) = 4 γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y = + είναι ίσος με Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) Έστω η συνάρτηση Φ με Φ = f για κάθε, Η Φ είναι συνεχής στο [, ] ως διαφορά συνεχών Η Φ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με Φ ' = f' Φ ( ) = f( ) = και Φ ( ) = Φ f' = Είναι Φ = f = 4 =, δηλαδή επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε Φ '( ) = f' ( ) = f' ( ) = Τη χρονική στιγμή t = χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη f t = αt, t t + β συνάρτηση όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α) Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά Πανελλαδικές (Θετική) Λύση Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
4 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 α) Είναι f( t) αt αt βαt = = = t t β + t + + β β ( β + t ) t β t ( β + t ) ( β + t ) f' t = βα = βα, t και Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης επιτυγχάνεται σε 6 ώρες άρα σύμφωνα με το θεώρημα Fermat είναι β 6 f' 6 = βα = βαβ 6 = β = 6 β = 6 (είναι β > ) ( β + 6 ) Σε 6 ώρες η συγκέντρωση θα είναι ίση με 5 άρα 6 α 6 6 6 α f ( 6) = 5 = 5 6 + 6 6 = 5 6α = 3 α = 5 Για α = 5 και β = 6 είναι f( t) f' t 6 5 6 5 t 8t = = 6 + t 36+ t ( ) 6 t 8 36 t = = 6 + t 36+ t Δίπλα φαίνεται ο πίνακας μεταβολής της f και 6 + f + f β) Αρκεί να λύσουμε την ανίσωση f( t) Είναι 8t 36 + t 8t 36 + t 5t 36 + t Είναι Δ = 5 44 = 8 > Είναι Από τον διπλανό πίνακα μεταβολής προσήμων της f συμπεραίνουμε ότι το χρονικό διάστημα που δρα t 5t + 36 5 ± 9 t = άρα t = ώρες ή t = 3 ώρες 3 + f + + αποτελεσματικά το φάρμακο είναι από τις 3 έως τις ώρες ( t 3, ) Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 43 3 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την οποία ισχύει: α) Να βρείτε το f( ) f e + lim = 5 ημ β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = γ) Αν h e f =, να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων στα σημεία A(,f( )) και B(,h( )) αντίστοιχα είναι παράλληλες Λύση Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) f e + α) Έστω g = () Επομένως είναι ημ lim g = 5 lim g ημ = lim f e + Είναι g ημ = f e + άρα lim g limημ = lim f e + 5 = lim f e + lim f = Όμως η f είναι συνεχής στο άρα f = lim f = β) Από τη σχέση () έχουμε ότι f = g ημ + e f f Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο αρκεί να υπάρχει το όριο lim να είναι πραγματικός αριθμός και f f f f g ημ + e Είναι lim = lim = lim = lim g ημ e ημ e lim + lim = lim g lim + lim () Είναι ημ ημ lim = lim = = και lim e είναι απροσδιοριστία της μορφής άρα σύμφωνα με τον κανόνα του De l Hospital είναι Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
44 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 ( e ) e ' e lim = lim = lim = ' f f Η σχέση () μας δίνει lim = 5 + = Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο γ) Είναι h' = e f ' = e f + e f' άρα h' = e f + e f' = + f' = f' Από τη σχέση h' ( ) = f' ( ) συμπεραίνουμε ότι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων στα σημεία ( ) B,h αντίστοιχα είναι παράλληλες A,f και 4 Η τιμή P (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από τον τύπο: t 6 P( t) = 4+ 5 t + 4 α) Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη δ) Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 45 Λύση α) Είναι 6 6 4 4 76 P = 4 + = 4 = 4 = = = 3,4 5 5 5 5 5 + 4 4 Άρα η τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά είναι 3,4 χιλιάδες δραχμές δηλαδή 34 δραχμές β) Είναι P' ( t) 5 5 5 t + ( t 6) t t + t + t t + t + = 4 = 4 = 4 5 5 5 t + t + t + 4 4 4 5 5 P' t = t + t+ = t = ή t = 4 Σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα και με 5 + τον περιορισμό ότι t συμπεραίνουμε f' ότι το χρονικό διάστημα, στο οποίο η + τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται f είναι για 5 t, γ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο 5, και γνησίως φθίνουσα στο 5, + άρα η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη όταν 5 t = μήνες t 6 t 6 t lim P t = lim 4 + = 4 + lim = 4 + lim = 4 + = 4 5 5 t t + t + 4 4 δ) Είναι t + t + t + t + Επομένως η τιμή του προϊόντος μειώνεται μετά από τους πρώτους 5,5 = μήνες και δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από 4 χιλιάδες δραχμές άρα είναι πάντα μεγαλύτερη από την αρχική τιμή του προϊόντος (34 δραχμές) Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
46 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f, όπου α πραγματικός αριθμός = + α 3 α) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η συνάρτηση f να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 4 β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(, ) να διέρχεται από το σημείο Α(, 3) γ) Αν α >, να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός (,) τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη, να είναι παράλληλη προς τον άξονα Λύση α) Αρκεί lim f = + ή lim f 4 4 = Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) 3 + f f α 3 Είναι = = + α lim f α = lim 3 + lim f 4 α = 6 4 4 4 Αν το 4 α είναι διάφορο του μηδενός τότε το πρώτο μέλος είναι ίσο με + ή με και όχι με 6 Άρα για να ισχύει η ισότητα πρέπει να είναι 4 α = α = 4 β) f' + + + = = 3 α 3 α 3 3α 3 ( α) ( α) = α + 3α ( α) άρα f' ( ) α + 3α α = = = α ( α) ( α ) α α Η εφαπτομένη της C f στο Μ(, ) είναι y = ( ) y = ( ) Το σημείο Α(, 3) ανήκει στην εφαπτομένη άρα επαληθεύει την εξίσωσή της 3 3 = 3 = 3α 3 = 3 α = α α Άρα ισχύει Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 47 γ) Είναι f' = + α 3α ( α) Έστω η συνάρτηση g α 3α Για την συνάρτηση g ισχύει ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] = + με, g g = α + 3α α + 3α = α α + < αφού α > και α + < (ισχύει α > ) Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε g( ) = δηλαδή ( ) Επομένως υπάρχει αριθμός (,) f' = τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη, να είναι παράλληλη προς τον άξονα 6 Σε έναν διαγωνισμό ενός Οργανισμού για την πρόσληψη προσωπικού, συγκεντρώθηκαν γραπτά υποψηφίων Κάθε γραπτό διορθώνεται από δύο διαφορετικούς βαθμολογητές Κάθε βαθμολογητής διορθώνει 4 φακέλους των 5 γραπτών την ημέρα Για την διόρθωση κάθε γραπτού ο βαθμολογητής αμείβεται δραχμές Τη διόρθωση συντονίζουν δύο επόπτες που αμείβονται με 4 δραχμές την ημέρα Στο τέλος της διόρθωσης όλων των γραπτών, κάθε βαθμολογητής παίρνει επιπλέον ως επίδομα δραχμές ανεξάρτητα από τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκε α) Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ() σε χιλιάδες δραχμές για τη διόρθωση όλων των γραπτών δίνεται από τη συνάρτηση: 6 K = + + 4 όπου ο αριθμός των βαθμολογητών που απασχολούνται β) Πόσοι πρέπει να είναι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόρθωσης να είναι ελάχιστο; Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
48 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 γ) Να βρείτε το ελάχιστο κόστος του ερωτήματος (β) και τον αριθμό Λύση των ημερών που απασχολήθηκαν οι βαθμολογητές για τη διόρθωση των γραπτών Πανελλαδικές (Επαναληπτικές) α) Το κόστος της διόρθωσης των γραπτών είναι = 4 δραχμές = 4 χιλιάδες δραχμές Ο κάθε βαθμολογητής διορθώνει γραπτά την ημέρα άρα τα = γραπτά θα διορθωθούν από τους βαθμολογητές σε = ημέρες 6 6 Οι δύο επόπτες θα πληρωθούν 4 = = χιλιάδες δραχμές Επιπλέον οι βαθμολογητές θα πάρουν επίδομα δραχμές = χιλιάδες δραχμές Έτσι, το συνολικό κόστος είναι β) Είναι 6 6 K = 4 + + = 4 + + 6 6 K' = + = = = = = ± 6 K' 6 4 Όμως είναι άρα είναι = 4 Από τον διπλανό πίνακα συμπεραίνουμε ότι για να είναι το κόστος της διόρθωσης ελάχιστο πρέπει οι βαθμολογητές να είναι 4 4 + f + f 6 γ) Είναι K ( 4) = 4 + + 4 = ( 4 + 4 + 4) = 48 4 χιλιάδες δραχμές Οι ημέρες που απασχολήθηκαν οι βαθμολογητές για τη βαθμολόγηση των γραπτών ήταν 5 4 = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 49 7 Για μία συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει ότι: 3 3 f βf γf 6 + + = + για κάθε, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β < 3γ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f = στο Λύση ανοικτό διάστημα (, ) Πανελλαδικές,f α) Έστω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο o ( o) Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Fermat θα είναι f' ( o ) = Παραγωγίζουμε τη δοσμένη σχέση και έχουμε: ' + + = ( + ) 3 3 f βf γf 6 ' 3f f ' + βf f' + γf' = 3 4+ 6 () Για = η παραπάνω σχέση γίνεται o 3f f ' + βf f' + γf' = 3 4 + 6 o o o o o o o f' ( o ) = άρα 3f ( o) f '( o) + βf( o) f' ( o) + γf' ( o ) = 3 4 + 6 o o 3 4 + 6 = o o Είναι Δ = 6 4 3 6 = 6 7 = 56 < άρα η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει o που να την επαληθεύει Επομένως η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα β) Η σχέση () δίνει f' 3f + βf + γ = 3 4 + 6 () Η 3 4 + 6 δεν έχει ρίζες άρα είναι ομόσημη του 3, επομένως είναι 3 4 + 6 > για κάθε Επίσης η + + έχει 3f βf γ Δ = 4β γ = 4 β 3γ < άρα είναι Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
5 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 ομόσημη του 3, επομένως 3f + βf + γ > για κάθε Από τα παραπάνω και τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι f' > για κάθε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα γ) Για = η δοσμένη σχέση δίνει f f + βf + γ = + + = + 3 3 f βf γf 6 Η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι μεγαλύτερη του μηδενός άρα f( ) < Για = η δοσμένη σχέση δίνει + + = + 3 3 f βf γf 6 f f + βf + γ = 4 Η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι μεγαλύτερη του μηδενός άρα f( ) > Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ως παραγωγίσιμη και f( ) f( ) <, άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση f = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει μία το πολύ ρίζα, επομένως η εξίσωση f = έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, ) 8 Δίνεται η συνάρτηση: f = e α) Να υπολογίσετε το όριο: lim + α, ( e + ) ln( ), (,) + β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = γ) Για α = να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο A ( ξ,f( ξ )) να είναι παράλληλη προς τον άξονα Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 5 Λύση α) Είναι της μορφής άρα σύμφωνα με τον κανόνα του De l Hospital είναι: + ( ) + e ' + e e lim = lim = lim = ' ( ) β) Η f είναι συνεχής στο o = άρα lim f f ( ) = Επομένως lim f = lim f = f ( ) Είναι f( ) α lim f + = + = + Επίσης lim f = lim ( e ) ln( ) = lim ( ) ln( ) + + + + e Από το (α) ερώτημα ξέρουμε ότι lim = + e Ακόμη lim ( ) ln( ) + ' ln( ) + ln( ) = lim = lim = lim = lim ' ( ) = + + + + ( ) ( ) ( ) Άρα lim f = = + Επομένως + α = άρα α = γ) Είναι f( ) ( ) Άρα η f είναι: + f = e ln = = e = + = και συνεχής στο [, ] παραγωγίσιμη στο (, ) f( ) = f = επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f' ( ξ) = Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
5 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 9 Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f α) Να δείξετε ότι η g είναι g είναι β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: Λύση ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα α) Η f g είναι άρα για, ισχύει 3 ( ) g f + = g f + έχει ( ) f g = f g f g = f g = Για, έχουμε ( ) g = g f g = f g Πανελλήνιες Όπως δείξαμε παραπάνω η διπλανή σχέση έχει ως συμπέρασμα ότι =, άρα η g είναι β) Η συνάρτηση g είναι, όπως δείξαμε στο (α) ερώτημα άρα είναι: ( ) 3 3 3 g f + = g f + f + = f + = 3 3 = 3 Έστω η συνάρτηση h = 3 + με Είναι h' 3 3 3( ) Είναι h' 3( ) = = = = = ή = Στο διάστημα (, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα άρα η h έχει μία το πολύ ρίζα Επίσης είναι lim h ( ) = και h( ) = 3 Άρα το σύνολο τιμών της h είναι το (, Το ανήκει στο σύνολο τιμών άρα η h έχει μία τουλάχιστον ρίζα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η h έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, ) (Δεν γράφουμε κλειστό διάστημα γιατί είναι h( ) ) + h + + h Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 53 Στο διάστημα, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα άρα η h έχει μία το πολύ ρίζα Επίσης είναι h( ) = 3 και h = Το ανήκει στο σύνολο τιμών άρα η h έχει μία τουλάχιστον ρίζα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η h έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, ) Στο διάστημα, + ) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα άρα η h έχει μία το πολύ ρίζα Επίσης είναι h = και lim h = + Άρα το σύνολο + τιμών της h είναι το, + ) Το ανήκει στο σύνολο τιμών άρα η h έχει μία τουλάχιστον ρίζα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η h έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, + )(Δεν γράφουμε κλειστό διάστημα γιατί είναι h ) Δίνεται η συνάρτηση f: με f = z + z + z, όπου z = α+ βi με α,β και α α) Να βρείτε τα όρια: lim f ( ), lim f + β) Να βρείτε τα ακρότατα της f όταν z+ > z γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f Λύση α) Είναι f Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) z + z z z + z + z = = + z + α + β α βi α+ βi + α+ βi + α βi α + β + α β = = + α + β + α + β = 4α + α + β 4α 4α 4α lim f = lim = lim = lim = και + α + β Επομένως + + + + Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
54 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 4α 4α 4α lim f = lim = lim = lim = + α + β β) Είναι z+ > z z+ > z ( z+ )( z + ) > ( z )( z ) zz + z+ z + > zz z z + z+ z > α > α > 4α + α + β f = f' = 4α + α + β + α + β Από το (α) ερώτημα είναι α + β f' = 4α + α + β Είναι f' = = ± α + β και α >, άρα τα ακρότατα της f είναι α + β α + β + f + + f τα α + β και γ) Είναι α lim f + β =, f ( α β ) 4α α + β α f α + β = = α + β + α + β α + β 4α α + β α + = = α + β + α + β α + β και Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το α α, α + β α + β Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα α,β συνεχή δεύτερη παράγωγο στο ( α,β ) Αν ισχύει που έχει f α = f β = και υπάρχουν αριθμοί γ ( α,β), δ ( α,β), έτσι ώστε αποδείξετε ότι: f γ f δ <, να α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f = στο διάστημα ( α,β ) β) Υπάρχουν σημεία ξ,ξ ( α,β) τέτοια ώστε f'' ( ξ ) > f'' ξ < και Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 55 γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f Πανελλήνιες 3 Λύση α) Έστω ότι γ < δ Το διάστημα [γ, δ] είναι υποσύνολο του [α, β] Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [γ, δ] αφού είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει f ( γ) f ( δ) < άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f = στο (γ, δ) άρα και στο (α, β) Αν ήταν δ < γ τότε θα εκτελούσαμε την παραπάνω διαδικασία στο [δ, γ] Αν ήταν γ = δ τότε από τη σχέση f ( γ) f ( δ) < έχουμε άτοπο f γ < που είναι β) Είναι f ( γ) f ( δ) < Υποθέτουμε ότι f ( γ) < και f ( δ) > Στην αντίθετη περίπτωση τα συμπεράσματα είναι τα ίδια ακριβώς Η f είναι συνεχής στο [α, γ] και παραγωγίσιμη στο (α, γ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ( α, γ) τέτοιο ώστε f γ f α f γ f' ( ) = = < () γ α γ α Ομοίως η f είναι συνεχής στο [γ, o ] και παραγωγίσιμη στο (γ, o ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ( γ, ) f f γ f γ o f' = = > γ α γ α τέτοιο ώστε o () Για την συνάρτηση f ξέρουμε ότι είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f' ( ) f' = > f'' ξ Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
56 Θέματα Πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης 9 Με τον ίδιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι υπάρχει (,δ) f δ f f δ o f' 3 = = > δ δ o o f β f δ f δ f' ( 4 ) = = < β δ β δ και ( δ,β) 4 τέτοιο ώστε 3 o τέτοιο ώστε Για την συνάρτηση f ξέρουμε ότι είναι συνεχής στο [ 3, 4 ] και παραγωγίσιμη στο ( 3, 4 ) άρα σύμφωνα με το θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f' ( ) f' 4 3 f'' ξ = < 4 3 3 4 Για την f ξέρουμε ότι είναι συνεχής στο [ξ, ξ ] και ότι ισχύει f'' ( ξ) f'' ( ξ ) < Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ o ( ξ,ξ ) τέτοιο ώστε f'' ( ξ ο ) = Άρα το σημείο ξ,f( ξ ) είναι πιθανό σημείο καμπής της συνάρτησης f ( ο ο ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της f Το μόνο που μπορούμε να αποδείξουμε είναι ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της f Δίνεται η συνάρτηση f:, με συνεχή παράγωγο για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f = f( ) και f' για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f = έχει μοναδική ρίζα γ) Έστω η συνάρτηση g f = Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη f' της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο Πανελλήνιες (Επαναληπτικές) 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr
Διαφορικός λογισμός 57 Λύση α) Η f' έχει συνεχή παράγωγο στο Ακόμη είναι f' για κάθε άρα η f' δεν έχει ρίζες Επομένως η f' διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Άρα η f είναι γνησίως μονότονη β) Η f είναι γνησίως μονότονη στο άρα έχει μία το πολύ ρίζα Για = η δοσμένη σχέση μας δίνει το είναι ρίζα της συνάρτησης Άρα η εξίσωση f = έχει μοναδική ρίζα (το = ) γ) Είναι f g = = f = = f' ο Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι g' ( ) = εφ45 = Είναι f = f f = f = άρα f g g( ) f' f g' = lim = lim = lim lim f' f f = lim lim = f '( ) = f' f' 3 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Λύση α) Πρέπει >, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το (,+ ) Είναι f' ln ln ( ln ) = + = + = + Πανελλήνιες 4 Θεολόγης Καρκαλέτσης teomail@schgr