2. ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 69. ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ.1 Οριµοί Η µαθηµατική θεωρία των τάεων διατυπώθηκε από τον Louis Augustin Cauchy 1. Για την επεξήγηη της έννοιας της τάης θα θεωρήουµε εδώ ένα υλικό ώµα (Σ) που βρίκεται ε ένταη κάτω από την επίδραη εξωτερικών φορτίων. Π.χ. ας θεωρήουµε την αµφιέρειτη δοκό του χήµατος. Για να αποκαλύψουµε τις «εωτερικές» δυνάµεις που ακούνται το εν λόγω ώµα, πραγµατοποιούµε µια ιδεατή τοµή αυτού µε µία επιφάνεια που το χωρίζει ε δύο µέρη. Κάθε ένα από αυτά τα µέρη πρέπει να βρίκεται ε ιορροπία µε τα εξωτερικά φορτία και τις αντιδράεις τις τηρίξεις. Για τον προδιοριµό αυτών των εωτερικών δυνάµεων εντοπίζουµε την προοχή µας το ένα από τα δύο τµήµατα, εκείνο που έχει ως ύνορο την επιφάνεια Α +, την οποία και θεωρούµε ως το «θετικό» χείλος της τοµής. Στην επιφάνεια αυτή θεωρούµε ένα απειροτικό τοιχείο da +, µε εξωτερικό µοναδιαίο διάνυµα n. Συµφώνως προς την υπόθεη Cauchy, δεχόµεθα ότι το τοιχείο n da + αναπτύεται µια τοιχειώδης δύναµη d T n +. Παρατηρούµε το ηµείο αυτό ότι αν ολοκληρώουµε τις τοιχειώδεις αυτές δυνάµεις πάνω την επιφάνεια Α + θα πρόκυψη µια υνολική δύναµη, η οποία θα εξαφαλίζει την ιορροπία του αποκοπέντος ελεύθερου ώµατος µε τα εξωτερικά φορτία και τις αντιδράεις τηρίξεων που ακούνται πάνω το τµήµα αυτό. Η τοιχειώδης δύναµη d T n + θα εκφραθεί υναρτήει του εµβαδού da + και µίας επιφανειακής «πυκνότητας» δύναµης t n ως εξής: d + T n = t n da+ (.1) 1 Cauchy, A. (18). Recherches sur l équilibre et le movement interéure des corps solides ou fluides, élastique ou non élastique. Bulletin de la Société de Philomatique, Jan. 183. Cauchy, A. (187). De la pression ou tension dans un corps solide. Bulletin de la Société de Philomatique, II:41-56.

70 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Το διάνυµα t n ονοµάζεται ελκυτής ή διάνυµα τάης και αντιδιατέλλεται αφώς από τον λεγόµενο τανυτή της τάης 3 για τον οποίο θα µιλήουµε παρακάτω. Η τοιχειώδης δύναµη d T n αναλύεται το τοπικό ύτηµα του µοναδιαίου κάθετου προς το τοιχείο da + διανύµατος n και του εφαπτοµενικού διανύµατος m (που προκύπτει από την τοµή του επιπέδου του τοιχείου µε το επίπεδο που χηµατίζουν τα διανύµατα n και t n ) ε ορθή υνιτώα dt nn + + = d Tn n (.) και ε διατµητική υνιτώα dt nm + = d + Tn m (.3) Με το τρόπο αυτό ορίζουµε την ορθή και διατµητική υνιτώα του ελκυτή, τ + dtnn n = tnn = + da + dtnm n = tnm = + da (.4) Παρατηρούµε τώρα ότι αν αντί του αριτερού τµήµατος του τερεού θεωρήουµε το δεξιό τµήµα του, τότε αυτό έχει ως ύνορο την επιφάνεια A που κείται την απέναντι όψη της Αγγλ. traction, stress vector 3 Αγγλ. stress tensor

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 71 επιφάνειας A +. Στο τοιχείο da εµφανίζεται το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n και ο ελκυτής t n έτι ώτε να αποκαθίταται τοπικά η ιορροπία των εωτερικών δυνάµεων, tn = t n (.5) Με άλλα λόγια οι δυνάµεις που εµφανίζονται το εωτερικό ενός ώµατος, εκατέρωθεν µιας µαθηµατικής τοµής, εµφανίζονται κατά ζεύγη µιας «δράης» και της «αντίδραής» της. Άρα οι εωτερικές δυνάµεις t n da+ και t n da είναι Νευτώνειες δυνάµεις, διότι υπακούουν τον 3 ο νόµο της Νευτώνειας Μηχανικής που επιτάει όπως όλες οι δυνάµεις εµφανίζονται ε ζεύγη ίων κατά µέτρο και αντίθετων τη φορά.. Επίπεδη Οµογενής Εντατική Κατάταη Ένας «επίπεδος δίκος» είναι ένας επίπεδος φορέας, του οποίου οι κύριες διατάεις x και y κ.λπ. ορίζονται ε ένα επίπεδο O(x, y). Η τρίτη διάταή του, το πάχος t του δίκου καθέτως προς το επίπεδο αυτό, είναι κατά πολύ µικρότερη από τις άλλες του διατάεις το επίπεδο. Πιο υγκεκριµένα το επίπεδο O(x, y) θα ταυτιθεί µε το µέο κατά πάχος επίπεδο. Σε ένα επίπεδο δίκο τα εξωτερικά φορτία θεωρούνται ότι ακούνται το µέο αυτό επίπεδο 4. Στο κεφάλαιο αυτό θα αχοληθούµε µε την επίπεδη οµογενή εντατική κατάταη, δηλαδή την εντατική κατάταη επίπεδων δίκων που δεν αλλάζει από θέη ε θέη πάνω το επίπεδο. Για την ανάλυη της εντατικής κατάταης ε ένα επίπεδο δίκο αποκόπτουµε ένα τοιχείο., διατάεων dx, dy και πάχους t, µε πλευρές παράλληλες προς τους άξονες του υτήµατος υντεταγµένων O(x, y). Πάνω τις ελεύθερες επιφάνειες του τοιχείου αυτού εµφανίζουµε τις υνιτώες των ελκυτών που δρούν πάνω αυτές ακολουθώντας ένα υγκεκριµένο κώδικα υµβολιµού. Έτι πάνω + τη τοιχειώδη επιφάνεια da = tdy µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα ταυτιζόµενο µε το διάνυµα βάης e x οι υνιτώες του 4 Αν τα φορτία ακούνται καθέτως προς το µέο επίπεδο, τότε λέµε πως ο φορέας λειτουργεί ως µία «πλάκα».

7 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 ελκυτή υµβολίζονται ως εξής: + xx = + xy { } e x (.6) + Αντιτοίχως πάνω τη τοιχειώδη επιφάνεια db = t dx έχουµε, + yx = + yy { e y } (.7) Από το θεµελιώδες θεώρηµα του Cauchy, Εξ. (.5), έχουµε ότι τις απέναντι επιφάνειες da + και da που είναι κάθετες προς τον άξονα x ακούνται οι αντίθετοι ελκυτές { e x } και { e }, οπότε υµφώνως προς το χήµα έχουµε τις εξής x ιότητες, + xx = xx = xx + xy = xy = xy (.8) Οµοίως τις απέναντι τοιχειώδεις επιφάνειες db + και db που είναι κάθετες προς τον άξονα y έχουµε + yx = yx = yx + yy = yy = yy (.9) Στα πλαίια της κλαικής Μηχανικής του Συνεχούς Μέου θα αποκλείουµε την ύπαρξη τάεων ζεύγους 5. Στη βάη αυτού του αξιώµατος θα παρατηρήουµε ότι η ιορροπία των ροπών το τοιχείο δίδει την ιότητα των διατµητικών τάεων, 5 Η υπόθεη αυτή είναι γνωτή ως αξίωµα Boltzmann.

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 73 K Σ M = 0:( xytdy) dx ( yxtdx) dy = 0 xy = yx (.10) Oι υνιτώες των ελκυτών που εµφανίζονται τις πλευρές ενός τοιχείου K(dx,dy, t) υγκροτούν ένα τετραγωνικό πίνακα, το λεγόµενο µητρώο ή πίνακα των τάεων, που υµβολίζεται ως εξής: xx [] = yx xy yy (.11) Σύµβαη: Οι υνιτώες του πίνακα των τάεων, Εξ. (.11), αντιτοιχούν βάει των Εξ. (.8) και (.9) τις υνιτώες των αντίτοιχων ελκυτών. [ ] = e x e y (.1) Θα παρατηρήουµε ότι τις υνιτώες ij ο πρώτος δείκτης αντιτοιχεί την κατεύθυνη της καθέτου πάνω το επίπεδο που δρα ο ελκυτής ενώ ο δεύτερος δείκτης αντιτοιχεί την υνιτώα του ελκυτή. Π.χ. η xy είναι η υνιτώα κατά y του ελκυτή { e x } που δρα ε επίπεδα κάθετα πάνω τον άξονα x, xy = e e x. x Παρατηρούµε ότι λόγω της ιότητας των διατµητικών τάεων, Εξ. (.10), το µητρώο των τάεων είναι υµµετρικό, T [ ] = [ ] (.13) Θα παρατηρήουµε επίης ότι το γεγονός ότι διατάξαµε τις υνιτώες του ελκυτή των τάεων (που εµφανίζονται ε επίπεδα κάθετα προς τους άξονες των εντεταγµένων Ox και Oy ) δεν ηµαίνει από µόνο του τίποτε το ιδιαίτερο. Όπως θα δούµε τη υνέχεια η ηµαία αυτής επιλογής καταδεικνύεται, από τον τρόπο που µεταχηµατίζεται η ποότητα αυτή [ ]

74 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 όταν λάβει χώρα αλλαγή του υτήµατος των υντεταγµένων. Σηµειωτέον ότι η αλλαγή υτήµατος υντεταγµένων µπορεί να θεωρηθεί ως αλλαγή της «κοπιάς» παρατήρηης.3 Το θεµελιώδες Πρόβληµα των Τάεων Σε ένα ηµείο P(x, y) το µέο επίπεδο ενός τερεού δίκου δίδονται οι υνιτώες των ελκυτών των τάεων που ακούνται το ηµείο αυτό και ε επίπεδα κάθετα προς τους άξονες Ox και Oy, δηλαδή δίδεται ο πίνακας των τάεων xx [] = yx xy yy Ζητείται να βρεθούν οι τάεις που ακούνται ε τυχαίο επίπεδο δια του ηµείου P(x, y). Λύη: 1 ο βήµα: Θεωρούµε το τοιχειώδες πρίµα (ΡΑΒ), µε τις έδρες ΡΑ και ΡΒ παράλληλες προς τους άξονες Ox και Oy, αντιτοίχως και µε πάχος t καθέτως προς το επίπεδο Oxy. (, ) Το εµβαδά των εδρών αυτών είναι, PA: da = dx t PB: da = dy t y x Πάνω τις έδρες του πρίµατος αυτού ακούνται αντιτοίχως τοιχειώδεις δυνάµεις, που υπολογίζονται κατευθείαν από τις δεδοµένες τάεις, PA : d Τe y = yxday (-e x )+ yy da y (-e y ) (.14) PB: d Τe x = xxdax (-e x )+ yydax (-e y ) (.15) Η υποτείνουα έδρα ΑΒ του θεωρούµενο τοιχειώδους πρίµατος έχει εµβαδόν da και µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, που χηµατίζει γωνία ϕ µε τον άξονα Ox,

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 75 nx cosϕ {n} = = ny sinϕ (.16) Παρατηρούµε ότι ( ) ( PA) = ( AB)cos π / ϕ da = dasinϕ ( ϕ) ( PB) = ( AB)cos da = dacosϕ y y (.17) Επί της έδρας (ΑΒ) ακείται τοιχειώδεις δύναµη, AB : d Τ n = t nx dae x + t ny dae y (.18) όπου αναλύαµε τον ελκυτή t n το ύτηµα υντεταγµένων O(x, y), {t n } t nx = t ny (.19) Με τη χρήη των παραπάνω Εξ. (.14) έως (.18) ιορροπία δυνάµεων το τερεό (ΑΒΓ) δίδει: Σ Fx = 0: tnxda xxdacosϕ yxdasinϕ = 0 Σ Fy = 0: tnyda xydacosϕ yydasinϕ = 0 (.0) Η παραπάνω εξιώεις υνοψίζονται ως εξής: tnx = xx cosϕ+ yx sinϕ tny = xy cosϕ+ yy sinϕ tnx xx yx nx t = ny xy yy n y (.1) ή υµβολικά ως, Τ (.) { t } = [ ] {} n n

76 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Από τις ιοδύναµες αυτές χέεις, Εξ. (.1) ή (.), υνάγουµε µία βαική ιδιότητα του µητρώου των τάεων [ ], που ουιατικά δικαιολογεί γιατί οι τάεις γράφονται ως µητρώο: εδοµένων των τάεων ε ένα ύτηµα υνταγµένων O(x, y) και µιας τυχούας τοιχειώδους επιφάνειας, εµβαδού da µε εξωτερικό µοναδιαίο διάνυµα n, τότε µε βάη τις παραπάνω απλές χέεις µπορούµε να υπολογίουµε τις δυνάµεις που ακούνται πάνω την επιφάνεια αυτή ως προς το ύτηµα υνταγµένων O(x, y). Θα παρατηρήουµε ότι εφόον ο ελκυτής t n είναι υνεχής υνάρτηη του διανύµατος n, τότε η παραπάνω ιοδύναµες εκφράεις, εξ. (.1) ή (.), υνιτούν και τη µοναδική λύη του θεµελιώδους προβλήµατος των τάεων. Για να επεξηγήουµε τη ηµαία του παραπάνω πολύ ηµαντικού αποτελέµατος θα προφύγουµε ε ένα απλό παράδειγµα: Θεωρούµε ένα πεπεραµένο δίκο, χήµατος ορθογωνίου, του οποίου οι πάνω και κάτω έδρες, (ΑΒ) και (Γ ), βρίκονται ε επαφή µε αντίτοιχες λείες και τιβαρές πλάκες και οι οποίες υποθέτουµε ότι µεταβιβάζουν πάνω τις έδρες αυτές ένα οµοιόµορφα κατανεµηµένο, θλιπτικό φορτίο q = (F/A). Η κάτω έδρα (ΑΒ) του δίκου έχει ως µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα το -e y. Ο ελκυτής πάνω την έδρα αυτή ιούται µε την οµοιόµορφα κατανεµηµένη αντίδραη της κάτω πλάκας επί του δίκου, t = ( q) (-e y ) e y Η πάνω έδρα (Γ ) του δίκου έχει ως µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα το e y. Ο ελκυτής πάνω την έδρα αυτή ιούται µε την οµοιόµορφα κατανεµηµένη αντίδραη της κάτω πλάκας επί του δίκου, t = ( q) (+e y ) e y

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 77 Τώρα αν εµφανίουµε µία τοµή οριζόντια Τ Τ του δίκου ε τυχαία θέη y(0< y< H), + + τότε το µεν θετικό χείλος της τοµής (K Λ ) εµφανίζεται ο ελκυτής t = ( q) (+e y ) e y το δε αρνητικό χείλος της τοµής (K Λ ) εµφανίζεται ο ελκυτής t = ( q) (-e y ). e y Γενικώς θα παρατηρήουµε ότι, εάν το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n αναφέρεται την επιφάνεια του ύνορου ενός ώµατος, τότε ο ελκυτής t n περιγράφει την κατανοµή των επιφανειακών τάεων, που επιβάλλονται το ώµα. Εάν το διάνυµα n αναφέρεται ε επιφάνεια εωτερικής τοµής ενός ώµατος, τότε ο ελκυτής t n περιγράφει την κατανοµή των επιφανειακών («εωτερικών») τάεων της αλληλεπίδραης των δύο τµηµάτων του ώµατος που χωρίζει η τοµή. ο βήµα: Στο ηµείο αυτό θα αναλύουµε τον ελκυτή t n το ύτηµα υντεταγµένων O( ξ, η ), το οποίο προκύπτει από το ύτηµα Oxy (, ) µετά από περιτροφή κατά γωνία ϕ > 0. Ο άξονας Oξ είναι κάθετος προς την έδρα ΑΓ και το µοναδιαίο διάνυµα είναι e ξ n. Συµφώνως προς τον οριµό της τάης οι υντεταγµένες του ελκυτή t n το ύτηµα O( ξ, η ) είναι : {t n } t nξ ξξ = tnη ξη (.3) Από τα αντίτοιχα δυναµοτρίγωνα του χήµατος προκύπτει ότι: ξξ da = tnxdacosϕ+ tnydasinϕ ξηda = tnxdasinϕ+ tnydacosϕ (.4)

78 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Κάνοντας χρήη των Εξ. (.1) που υνδέουν τις υνιτώες t nx και t ny µε τις υνιτώες του µητρώου των τάεων, έχουµε: ξξ = ( xx cosϕ+ yx sin ϕ)cos ϕ+ ( xy cosϕ+ yy sin ϕ)sinϕ = xx cos + yy sin + ( yx + xy )sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ 1 1 = xx ( 1+ cos ϕ) + yy ( 1 cos ϕ) xy sin ϕ (.5) ξη = ( xx cosϕ+ yx sin ϕ)sin ϕ+ ( xy cosϕ+ yy sin ϕ)cosϕ = xx sin cos + yy sin cos yx sin + xy cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( xx yy ) sin ϕ yx ( 1 cos ϕ) xy ( 1 cos ϕ) 1 1 1 = + + (.6) Λαµβάνοντας υπ όψη την ιότητα των διατµητικών τάεων, xy = yx οι παραπάνω χέεις υνοψίζονται τις εξής: ( ) ( ) 1 1 ξξ = xx + yy + xx yy cos ϕ+ xy sin ϕ 1 ξη = ( xx yy ) sin ϕ+ xy cos ϕ (.7) Παροµοίως µπορούµε να πάρουµε το επίπεδο ΑΓ κάθετο τον άξονα Oη. Στην περίπτωη αυτή οι αντίτοιχες εκφράεις για την ορθή και τη διατµητική τάη το επίπεδο αυτό προκύπτουν ως εξής: ηηda = tnydacosϕ tnxdasinϕ ξηda = tnydasinϕ+ tnxdacosϕ ή

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 79 ( xy ( ) yy ( )) xx ( ) yx ( ) = xx sin + yy cos ( xy + yx)sin cos ( ) ηη = cos π /+ ϕ + sin π /+ ϕ cosϕ cos π /+ ϕ + sin π /+ ϕ sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 1 = xx ( 1 cosϕ) + yy ( 1+ cosϕ) xy sinϕ και ( xy ( ) yy ( )) xx ( ) yx ( ) = xx sin cos + yy sin cos xy sin + yx cos ( xx yy ) sin ϕ xy ( 1 cos ϕ) yx ( 1 cos ϕ) ( ) ξη = cos π /+ ϕ + sin π /+ ϕ sinϕ + cos π /+ ϕ + sin π /+ ϕ cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 1 1 = + + ή υνοπτικά ( ) ( ) 1 1 ηη = xx + yy xx yy cos ϕ xy sin ϕ 1 ηξ = ( xx yy ) sin ϕ+ xy cos ϕ = ξη (.8) Η αναλυτική λύη του θεµελιώδους προβλήµατος προδιοριµού των τάεων υνοψίζεται τις Εξ. (.7) και (.8). Οι διάφοροι υµβολιµοί και υµβάεις προήµου εµφανίζονται το χετικό χήµα.

80 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007.4 Το Πρόβληµα των κυρίων τάεων Θεωρούµε τη δέµη επίπεδων (δ) που διέρχονται από το τυχόν ηµείο Ρ ενός επίπεδου δίκου υπό ένταη. Συµφώνως προς τα παραπάνω για δεδοµένη εντατική κατάταη, που περιγράφεται από τον πίνακα των τάεων το καρτειανό ύτηµα O(x, y) xx [] = yx xy yy και για κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα της δέµης (δ) θα είµατε ε θέη να υπολογίουµε την ορθή και την διατµητική τάη που ακούνται αυτό. Τίθεται τώρα το ερώτηµα αν υπάρχουν επίπεδα, πάνω τα οποία ακούνται µόνο ορθές τάεις. Επίης ζητείται και ο προδιοριµός των επιπέδων αυτών. Για την επίλυη του θεµελιώδους αυτού προβλήµατος θεωρούµε την Εξ. (.1) ή την ιοδύναµή της Εξ. (.). Μία ερµηνεία των εξιώεων αυτών είναι η εξής: Το µητρώο των τάεων παίζει το ρόλο ενός γραµµικού τελετή [ ] Τ ο οποίος απεικονίζει το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα { n } που είναι κάθετο το τοιχείο da, το διάνυµα τάης (τον ελκυτή) { t n}, που δρα το τοιχείο αυτό. Συµβολικά η απεικόνιη αυτή γράφεται, n t [ ] n (.9) Άρα για την επίλυη του παραπάνω προβλήµατος θα διερευνήουµε αν η Εξ. (.) έχει λύη της µορφής, { t } { n} n = (.30) που ηµαίνει ότι ζητάµε να βρούµε τα µοναδιαία εκείνα διανύµατα n, τα οποία ο πίνακας των τάεων απεικονίζει τον γραµµικό υπόχωρο που αυτά αναπτύουν n n [ ] xx yx nx nx xy yy n = y n y (.31)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 81 Τα διανύµατα n που προκύπτουν ως λύη της Εξ. (.31) λέγονται ιδιοδιανύµατα 6 του. Πράγµατι η λύη του παραπάνω προβλήµατος είναι ένα πρόβληµα εύρεης των πίνακα [ ] ιδιοτιµών 7 και ιδιοδιανυµατων του πίνακα των τάεων 8. Η Εξ. (.31) γράφεται xx yx nx 0 = xy yy n y 0 (.3) Προφανώς, για να έχει λύη το παραπάνω οµογενές ύτηµα γραµµικών Εξ. (.3), πρέπει η ορίζουά του να µηδενίζεται, xx yx det = 0 ( xx )( yy ) yxxy = 0 xy yy ή ( xx + yy ) + ( xx yy xy yx ) = 0 (.33) Το παραπάνω τριώνυµο, Εξ. (.33), ως προς την ιδιοτιµή υνιτά τη χαρακτηριτική εξίωη του πίνακα των τάεων. Λόγω της υµµετρίας του πίνακα των τάεων xy = [ ] [ ] T yx = (.34) η χαρακτηριτική του Εξ. (.33) έχει πάντοτε πραγµατικές ρίζες 9. Εν προκειµένω η Εξ.(.33) δίνει τις εξείς ιδιοτιµές, 1 xx yy 1/= ( xx + yy) ± + xy (.35) Οι ιδιοτιµές του πίνακα των τάεων καλούνται κύριες τάεις 10. Από τον οριµό των κυρίων τάεων προκύπτει ότι αυτές δρουν πάνω ε επίπεδα όπου η διατµητική τάη είναι µηδέν. Με 6 Αγγλ. eigen-vectors 7 Αγγλ. eigenvalues 8 Πρβλ. A.J. Pettofrezzo, Matrices and Transformations, Dover, 1966. 9 Αποδεικνύεται γενικά ότι οι ιδιοτιµές ενός υµµετρικού πίνακα είναι πάντοτε πραγµατικοί αριθµοί. 10 Αγγλ. principal stresses

8 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 την παρατήρηη αυτή από την Eξ. (.7) παίρνουµε ότι για τα επίπεδα αυτά, τα οποία καλούνται κύρια επίπεδα, ιχύει ο περιοριµός, ( ) 1 xx yy sin ϕ+ xy cos ϕ = 0 (.36) Η Εξ. (.36) έχει τις εξής λύεις: 1) Αν xx = yy = p τότε: 1.1) Αν xy = 0 1 = = p (.37): Στην περίπτωη αυτή η εντατική κατάταη λέγεται ιότροπη, γιατί κάθε γωνία ϕ είναι δεκτή ως λύη του προβλήµατος και διότι ως εκ τούτου ε κάθε επίπεδο δρα η αυτή ορθή τάη, ένταης p. Τυπικό παράδειγµα ιότροπης εντατικής κατάταης είναι η υδροτατική πίεη ε ένα ηµείο ενός ρευτού, που ως γνωτόν είναι η ίδια ε κάθε επιφάνεια, ανεξαρτήτως προανατολιµού της (Αρχή του Pascal). 1.) Αν xy 0, τότε από την Εξ. (.36) παίρνουµε δύο λύεις: ϕ1 = π /4 cos ϕ = 0 ϕ = 3 π /4 (.38) και αντιτοίχως οι κύριες τάεις είναι της µορφής, 1/= p ± xy (.39) ) Αν xx yy τότε η Εξ. (.36) δίδει: tan ϕ = 1 xy ( xx yy) (.40)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 83 Στη γενική αυτή περίπτωη ιχύει η Εξ.(.40) και οι κύριες κατευθύνεις ϕ 1 και ϕ υπολογίζονται ως εξής: Έτω, tan ϕ = tan α, όπου π / < α < π /. τότε ϕ = α + kπ ( k = 0,1) ϕ ϕ α π 1 = α = + / ( π /4 < α < π /4) (.41) Από τις παραπάνω Εξ. (.41) προκύπτει ότι τα επίπεδα των κυρίων τάεων είναι κάθετα µεταξύ τους. Για να προδιοριθεί αν πράγµατι η ϕ 1 αντιτοιχεί την κατεύθυνη της 1, αντικαθιτούµε την τιµή ϕ 1 την ϕ την πρώτη των Εξ. (.8) και υγκρίνουµε την προκύπτουα ηη µε την 1. Αν ηη ( ϕ1 ) = 1, τότε όντως η ϕ 1 αντιτοιχεί την κατεύθυνη της 1, αλλιώς η ϕ αντιτοιχεί την 1 και καλό είναι την περίπτωη αυτή να γίνει µια εναλλαγή των δεικτών ώτε να αποφεύγονται παρανοήεις. Μια άλλη ηµαντική ιδιότητα των κυρίων τάεων είναι ότι αυτές αντιτοιχούν ε ακρότατες τιµές της ορθής τάης. Πράγµατι, αν θέουµε το ερώτηµα, για ποιες τιµές της γωνίας ϕ η ορθή τάη γίνεται µέγιτη ή ελάχιτη, υµφώνως προς την Εξ. (.7) έχουµε, d ξξ = 0 ( xx yy )sinϕ+ xy cosϕ = 0 (.4) dϕ Η Εξ. (.4) καταλήγει την Εξ. (.40), γεγονός που ηµαίνει ότι όντως τα επίπεδα πάνω τα οποία οι ορθή τάη γίνεται µέγιτη ή ελάχιτη ταυτίζονται µε τα επίπεδα των κυρίων τάεων, όπου όπως είδαµε η διατµητική τάη µηδενίζεται. Πρόβληµα ίδονται οι υνιτώες του ελκυτή ( τ 0, 0) ε ένα ύνορο ( το οποίο το χήµα παρίταται ως ένας «ηµίωρος»). Οι υνιτώες του ελκυτή δίδονται ως προς ένα καρτειανό ύτηµα αξόνων, του οποίου ο άξονας των τεταγµένων είναι παράλληλος προς το ύνορο και ο άξονας των τετµηµένων είναι κάθετος προς αυτό, προανατολιµένος προς τα έξω. Επίης δίδεται ότι η µέγιτη κύρια τάη ε µια περιοχή κοντά το θεωρούµενο ύνορο χηµατίζει γωνία α µε τον άξονα των τεταγµένων. Να αποδειχθεί ότι ιχύουν οι παρακάτω χέεις µεταξύ των κυρίων τάεων το ύνορο και των υνιτωών του ελκυτή το ύνορο:

84 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 1 = 0 + 0cot = 0 0tan τ α τ α (.43) Λύη Βάει του χήµατος ε ύτηµα κυρίων αξόνων για ϕ = α οι Εξ. (.8) δίδουν: 1 1 0 = ( 1+ ) ( 1 ) cos( ) α 1 0 = ( 1 ) sin( ) τ α Οπότε, τ 1 0 ( 1 ) = sin α 1 ( 1+ ) = cos 0 + τ0 sin α α Προθέτοντας τις παραπάνω εξιώεις κατά µέλη παίρνουµε,

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 85 1 cosα 1 = 0 + 0 + = 0 + 0cot sin α sin α τ τ α Αφαιρώντας τις παίρνουµε αντιτοίχως 1 cosα = 0 0 = 0 0tan sin α sin α τ τ α Παρατηρούµε ότι τις ειδικές περιπτώεις όπου η γωνία α 0 ή α π /, τότε οι Εξ. (.43) δίδουν αντιτοίχως, τ 1 0 + 0 ( ± ) = 0 ή 1 = 0 0 0 ( ± ) τ Στις περιπτώεις αυτές υπάρχει λύη το πρόβληµα µόνο αν δεχθούµε ότι τ 0 0, οπότε η κύρια τάη που είναι παράλληλη προς το ύνορο δεν µπορεί να προδιοριθεί από τα δεδοµένα του προβλήµατος, είναι δηλαδή απροδιόριτη από τις δεδοµένες υνοριακές υνθήκες..5 Ορθογώνιοι Γραµµικοί Μεταχηµατιµοί και Αντικειµενικοί Τανυτές ε δύο διατάεις.5.1. Οριµοί Θεωρούµε δύο δεξιότροφα καρτειανά υτήµατα υντεταγµένων O(x, y) και O(x 'y'), αντιτοίχως. Το τυχόν διάνυµα θέης ε κάθε ένα από τα υτήµατα αυτά παρίταται ως εξής, R = OP = xi e i = x i e i (.44) i= 1 i' = 1 Από τις χέεις αυτές παίρνουµε,

86 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 R. e x = ( x e x + y e y ). e x = x (e. x e x ) + y (e y. e x ) = x1 + y0 = x = (x e x +y e y ). e x = x (e. x e x ) + y (e y. e x ) = = Qxx x+ Qyx y R. e y = ( x e x + y e y ). e y = x (e. x e y ) + y (e y. e y ) = x0 + y1 = y = (x e x +y e y ). e y = x (e. x e y ) + y (e y. e y ) = Qxy x+ Qyy y Με την παρατήρηη ότι, [ Q] Qxx Qyx ex ex ey ex cosϕ sinϕ = = = Qxy Qyy ex ey ey e y sinϕ cosϕ (.45) παίρνουµε την εξής έκφραη για το µεταχηµατιµό των υντεταγµένων του διανύµατος θέης από το ένα ύτηµα το άλλο: x Qxx Qyx x = y Qxy Qyy y (.46) ή υνοπτικά { x } = [ Q]{ x} (.47)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 87 Η παραπάνω χέη αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ϕ. Ο µεταχηµατιµός αυτός καλείται κανονικός ορθογώνιος µεταχηµατιµός και καθορίζεται από την ιδιότητα 11 cosϕ sinϕ det[ Q] = det = cos ϕ ( sin ϕ) = 1 sinϕ cosϕ (.48) Θεώρηµα: Ο αντίτροφος ενός κανονικού ορθογώνιου µεταχηµατιµού περιγράφεται από τον ανάτροφο του πίνακα [Q]. Απόδειξη Έτω ο αντίτροφος ενός κανονικού ορθογώνιου µεταχηµατιµού 1 {} x = [ Q] { x } Παρατηρούµε ότι η µετάβαη από τα {x } τα {x} αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά ϕ, 1 cos( ϕ) sin( ϕ) cosϕ sinϕ [ Q] = = = [ Q] sin( ϕ) cos( ϕ) sinϕ cosϕ T Άρα T = (.49) {} x [ Q] { x } οπότε 1 [ Q] = [ Q] T (.50) Άρα, 11 Σηµειωτέον ότι ένας ορθογώνιος µεταχηµατιµός µε την ιδιότητα det[q]=-1, αντιτοιχεί ε κατοπτριµό.

88 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 cos sin cos sin cos + sin cos ( sin ) + sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin cos sin cos = ( sin )cos cos sin ( sin )( sin ) cos ή [ ][ ] T T Q Q = [ Q] [ Q] = [ I] (.51) όπου [ I ] είναι ο µοναδιαίος πίνακας που αντιτοιχεί τον ταυτοτικό µεταχηµατιµό, [ I ] 1 0 = 0 1 (.5) Ας θεωρήουµε τώρα δύο διαδοχικούς κανονικούς ορθογώνιους µεταχηµατιµούς x cosϕ sinϕ x = y sinϕ cosϕ y x cosψ sinψ x = y sinψ cosψ y ή { x } = [ Q]{ x} { x } = [ T]{ x } οπότε x cosψ sinψ cosϕ sinϕ x = y sinψ cosψ sinϕ cosϕ y cosψ cos ϕ+ ( sin ψ) sinϕ cosψ sinϕ+ sinψ cosϕ x = ( sin ψ)cosϕ cos ψ( sin ϕ) ( sin ψ)sinϕ cosψ cosϕ + + y cos( ψ + ϕ) sin( ψ + ϕ) x = sin( ψ + ϕ) cos( ψ + ϕ) y Άρα όταν ο µεταχηµατιµός που περιγράφεται από τον πίνακα [ Q ] αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ϕ και ο µεταχηµατιµός [ T ] αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ψ, τότε ο µεταχηµατιµός [ S] = [ T][ Q] αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ψ + ϕ.

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 89 Επειδή η πρόθεη αριθµών είναι αντιµεταθετή, ψ + ϕ = ϕ+ ψ, έχουµε ότι το διδιάτατο πρόβληµα [ T][ Q] = [ Q][ T], γεγονός που δεν ιχύει για τροφές αξόνων τις 3 διατάεις. Όπως είδαµε πιο πάνω, για κάθε ένα κανονικό ορθογώνιο µεταχηµατιµό που δίδεται από τον πίνακα [ Q ] και που αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ϕ υπάρχει πάντοτε και ο 1 αντίτροφός του [ Q] = [ Q] T, που αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία ϕ. Επίης υπάρχει και ο ουδέτερος ή ταυτοτικός µεταχηµατιµός [ I ], που αντιτοιχεί ε τροφή αξόνων κατά γωνία 0 ( kπ, k = 0,1, ). Από αλγεβρική τη κοπιά ένα τέτοιο ύνολο µεταχηµατιµών υνιτά µια «οµάδα» µεταχηµατιµών. Εν προκειµένω έχουµε την οµάδα των κανονικών ορθογώνιων µεταχηµατιµών, που αντιτοιχούν ε τροφές των αξόνων, τη λεγόµενη και κανονική ορθογώνια οµάδα 1. Παρατηρούµε ότι το υπούνολο εκείνο των ορθογώνιων µεταχηµατιµών που αντιτοιχεί ε κατοπτριµούς δεν υνιτά οµάδα (γιατί;). Επίης παρατηρούµε ότι οι ιδιοτιµές ενός κανονικού ορθογωνίου µεταχηµατιµού [ Q ] δεν µπορεί να είναι πραγµατικές πλην των περιπτώεων (γιατί;) 1 0 ϕ = 0, π : [ Q] = = 0 1 [ I] Γενικώς οι ιδιοτιµές ενός κανονικού ορθογωνίου µεταχηµατιµού [ Q ] είναι µιγαδικές, λύεις της αντίτοιχης χαρακτηριτικής εξίωης, ( ) ± iϕ cosϕ λ + sin ϕ = 0 λ = e = cosϕ± isinϕ Θεώρηµα: Μετά από ένα (κανονικό) ορθογώνιο µεταχηµατιµό των υντεταγµένων η απόταη µεταξύ δύο ηµείων δεν αλλάζει. Απόδειξη Η απόδειξη που ακολουθεί φορά το διδιάτατο πρόβληµα. Το θεώρηµα όµως ιχύει γενικώς και τις τρεις διατάεις. Έτω δύο ηµεία A( x, y ) και B( x, y ), τότε: A A B B x = x x, x = x x B A B A y = y y, y = y y B A B A και, 1 Αγγλ. proper orthogonal group

n n T n n T n T 90 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 x = Q x+ Q y = cosϕ x+ sinϕ y xx yx y = Q x+ Q y = sinϕ x+ cosϕ y xy yy x = cos ϕ x + cosϕ sinϕ x y+ sin ϕ y y = sin ϕ x sinϕ cosϕ x y+ cos ϕ y Άρα = x + y = x + y = Οριµός: Ένα διάνυµα b καλείται αντικειµενικό 13 όταν µεταχηµατίζεται όπως το διάνυµα διαφοράς θέης δύο ηµείων, δηλαδή όταν bx Qxx Qyx bx b = y Qxy Qyy b y ή { b } = [ Q]{ b} (.53).5.. Ο Τανυτής των Τάεων Για την εύρεη του νόµου µεταχηµατιµού του πίνακα των τάεων ξεκινάµε από την Εξ. (.1) που υνδέει τον ελκυτή µε το κάθετο µοναδιαίο διάνυµα πάνω τη τοιχειώδη επιφάνεια όπου δρα ο ελκυτής: tnx xx yx nx t = ny xy yy n y ή { t} [ ] { n} = (.54) Παρατηρούµε ότι τόο ο ελκυτής όο και το µοναδιαίο κάθετο διάνυµα είναι αντικειµενικά διανύµατα, αφού µπορούν να παραταθούν ως διαφορά διανυµάτων θέης. Άρα υµφώνως προς τα προηγούµενα έχουµε, { t } = [ Q] { t}, { n } = [ Q] { n} {} t = [ Q] {} t, {} n = [ Q] { n } 13 Αγγλ. objective vector

n n T n T T T T n T Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 91 Μέω της Εξ. (.1) έχουµε τον οριµό του πίνακα των τάεων ε κάθε ένα από τα δύο υτήµατα υντεταγµένων, { } {} t = [ ] n, {} t = [ ]{ n } Άρα { t} = [ Q]{ t } = [ ]{ n} = [ ][ Q]{ n } Οπότε, [ Q][ Q] T { tn } [ Q][ ] T [ Q] T { n T T = } ή { tn } = [ Q][ ] [ Q] { n } Άρα [ ] T = [ Q][ ] T [ Q] T και [ ] = [ Q][ ][ Q] T (.55) ή αναλυτικά xx xy cosϕ sinϕ xx xy cosϕ sinϕ yx = yy sinϕ cosϕ yx yy sinϕ cosϕ (.56) Οριµός: Ένα ύτηµα µε δύο δείκτες όπως ο παραπάνω πίνακας των τάεων [ ], το οποίο ικανοποιεί τον µεταχηµατιµό, Εξ.(.56), καλείται αντικειµενικός τανυτής ης τάξης 14. Αναλυτικά οι χέεις µεταχηµατιµού Εξ. (.56) έχουν ως εξής: ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ x x = xx cos + yy sin + xy + yx sin cos = sinϕcosϕ + cos ϕ sin ϕ x y xx yy xy yx = sinϕcosϕ sin ϕ + cos ϕ y x xx yy xy yx ( ) y y = xx sin + yy cos xy + yx sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ (.57) 14 Αγγλ. objective tensor of nd order. (K.F. Gauß 187, A. Einstein 1916).

9 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Παρατηρούµε ότι οι παραπάνω χέεις µπορούν να απλουτευθούν ηµαντικά αν λάβουµε υπ όψη το γεγονός ότι ο τανυτής των τάεων κατά Cauchy είναι υµµετρικός και έτι καταλήγουµε τις χέεις που αναπτύξαµε παραπάνω, τις Εξ. (.7) και (.8). Θεώρηµα: Οι χαρακτηριτικές εξιώεις και οι ιδιοτιµές των πινάκων των τάεων ε δύο ορθογώνια υτήµατα υντεταγµένων, Oxy (, ) και Ox (, y ) ταυτίζονται. Απόδειξη Από τις Εξ. Error! Reference source not found. παρατηρούµε ότι το άθροιµα των ορθών τάεων παραµένει αναλλοίωτο κατά τον ορθογώνιο µεταχηµατιµό, Ι = xx + yy = x' x' + y' y' (.58) Η ποότητα Ι καλείται η 1η αναλλοίωτη του τανυτή των τάεων 15. Επίης αναλλοίωτη παραµένει και η ποότητα, ΙΙ = det[ ] = xx yy xy = det[ '] = x ' x' y' y' x' y' (.59) που καλείται η η αναλλοίωτη του τανυτή των τάεων. Από τις παραπάνω χέεις και την Εξ. (.33) έπεται ότι οι χαρακτηριτικές εξιώεις των πινάκων: xx xy yx yy και x x yx x y yy ταυτίζονται. Η αντίτοιχη µοναδική χαρακτηριτική εξίωη, Ι +ΙΙ = 0 (.60) χαρακτηρίζει τον τανυτή των τάεων. Η Εξ. (.60) έχει ως ρίζες τις κύριες τάεις 1 και που παραµένουν προφανώς αναλλοίωτες κάτω από ορθογώνιους µεταχηµατιµούς, 1 1', ' (.61) 15 Αγγλ. 1 st stress invariant

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 93 Η 1 η και η η αναλλοίωτη εκφράζονται υναρτήει των κυρίων τάεων βάει των χέεων ριζών και υντελετών του χαρακτηριτικού τριώνυµου (.60), Ι = 1+ ΙΙ = 1 (.6) Παρατηρούµε τέλος ότι αναλλοίωτη παραµένει και οποιαδήποτε υνάρτηη f( 1, ) των κύριων τάεων. Π.χ. αναλλοίωτες παραµένουν οι παρακάτω ποότητες, που χρηιµοποιούνται υχνά ε θεωρίες «Πλατικότητας», 1 1 = + = + ( 1 ) ( ) M xx yy 1 xx yy τm = ( 1 ) = + xy ( < 1) 1 1 τ = ( 1 ) = ( + ) + 4 xx yy M M xx yy xy (.63) Παράδειγµα: Έτω ότι οι τάεις ε ένα επίπεδο πρόβληµα ένταης δίδονται το καρτειανό ύτηµα O(x, y) από τον παρακάτω πίνακα xx xy 10 3 = [ kpa ] yx yy 3 5 Οι βαικές αναλλοίωτες του αντίτοιχου τανυτή των τάεων είναι 16 : Ι = xx + yy = 10 + 5 = 15 ΙΙ = xxyy xy = 10 5 (3) = 41 οπότε η χαρακτηριτική εξίωη του αντίτοιχου τανυτή των τάεων είναι: 16 Χάριν απλότητας δεν θα αναφέρουµε τις µονάδες τους παρακάτω υπολογιµούς.

94 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 15 + 41 = 0 που έχει τις εξής ρίζες, 1 ( ) 1 1 1/ = 15 ( 15) 4 41 ± = 15 ± 61 = = 11.405 = 3.595 Για την εύρεη των αντίτοιχων ιδιο-διανυµάτων επιτρέφουµε το αρχικό ύτηµα των Εξ. (.3), (1) 10 1 3 n x 0 3 5 (1) = 1 n 0 y και () 10 3 n x 0 3 5 () = n 0 y Επειδή έχουµε ήδη εξαφαλίει ότι η ορίζουα των παραπάνω γραµµικών υτηµάτων να µηδενίζεται, υµπεραίνουµε ότι οι αντίτοιχες γραµµικές εξιώεις είναι γραµµικώς εξαρτηµένες. Άρα για τον προδιοριµό των αντίτοιχων ιδιο-διανυµάτων θα κάνουµε χρήη µόνο µίας εξ αυτών, π.χ. της πρώτης, οπότε έχουµε: (1) (1) (1) (1) (10 1) nx + 3ny = 0 1.405nx + 3ny = 0 και αντιτοίχως () () () () (10 ) nx + 3ny = 0 6.405nx + 3ny = 0 Υποθέτουµε ότι τα διανύµατα n (1) και n () είναι µοναδιαία 17, οπότε θέτουµε, (1) (1) nx = cos ϕ1, ny = sinϕ1 και () () nx = cos ϕ, ny = sinϕ, και παίρνουµε τις παρακάτω τριγωνοµετρικές εξιώεις, 17 Με άλλα λόγια ενδιαφερόµατε να προδιορίουµε µόνο τις ιδιο-κατευθύνεις

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 95 1.405 1.405cosϕ1+ 3sinϕ1 = 0 tanϕ1 = = 0.468 ϕ1= 5.1 3 και 6.405 6.405cosϕ + 3sinϕ = 0 tanϕ = =.135 ϕ = 64.9 3 Έλεγχος: Από την Εξ. (.40) παίρνουµε αντιτοίχως, 3 6 tan ϕ = = = tan α α = 5.1 (10 5) / 5 o 1 = = 5.1, = 90 = 64.9 (!) ϕ α ϕ α Παρατηρούµε ότι τα ιδιο-διανύµατα είναι κάθετα µεταξύ τους. Άκηη Να βρεθούν οι κύριες τάεις και οι κατευθύνεις τους για τους κάτωθι τανυτές τάεων ε καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων: xx xy 100-40 yx yy - 40-80 (α) = [ ΜPa] xx xy 100-40 yx yy - 40 80 (β) = [ ΜPa] Λύη (α) 1 = 108.5 Μ Pa = 88.5 ΜPa ϕ 1 = 1 (β) 1 = 131. Μ Pa = 48.8 Μ Pa ϕ 1 = 38

96 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007.5.3. Ο κύκλος Mohr των τάεων Στο ηµείο αυτό θα παρουιάουµε τη γραφική λύη του θεµελιώδους προβλήµατος προδιοριµού των τάεων, η οποία προτάθηκε τις αρχές του 0 ου αιώνα από τον Otto Mohr (1835-1918). Η διαδικαία αυτή βαίζεται τις παραπάνω χέεις, Εξ. (.7), χετικά µε την ορθή τάη n και τη διατµητική τάη τ n, που ακούνται ε ένα ηµείο P( xy, ) ενός ώµατος (Σ) και πάνω ε µία τοιχειώδη επιφάνεια da, της οποίας το εξωτερικό χείλος χαρακτηρίζεται από το (εξωτερικό) µοναδιαίο διάνυµα n, του οποίου η κλίη ως προς τον θετικό άξονα Ox δίδεται από τη γωνία ϕ : ( ) ( ) 1 1 n = xx + yy + xx yy cos ϕ+ xysin ϕ (.64) 1 τn = ( xx yy) sin ϕ+ xycos ϕ Otto Mohr (1835-1918) Για δεδοµένες τιµές των τάεων xx, yy και xy = yx η ορθή τάη n και η διατµητική τάη τ n, βάει των Εξ. (.64), είναι υναρτήεις της γωνιακής παραµέτρου ϕ, n = n( ϕ) τn = τn( ϕ) (.65)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 97 Θεωρούµε ένα ορθογώνιο ύτηµα υνταγµένων µε άξονες O n και Oτ n, που µε τη ειρά τους ορίζουν το λεγόµενο επίπεδο Mohr των τάεων. Σηµειωτέον ότι ο «χώρος» (επίπεδο) των τάεων O( n, τ n) θα χρηιµοποιηθεί για τη γραφική επίλυη του προβλήµατος των τάεων, όπου θα χρειαθεί να µετρήουµε γωνίες, οπότε θα πρέπει επιλέξουµε την ίδια κλίµακα τους άξονες τετµηµενών και τεταγµένων. Ένας τέτοιος «χώρος» λέγεται «ιόµορφος». Ο χώρος των τάεων δεν πρέπει να υγχέεται µε τον φυικό γεωµετρικό «χώρο», οι θέεις των ηµείων του οποίου υνήθως περιγράφονται ε χέη µε ένα καρτειανό ύτηµα Oxy. (, ) Στο ύτηµα O( n, τ n), οι Εξ. (.65) περιγράφουν µία καµπύλη ε παραµετρική µορφή. Θα δείξουµε παρακάτω ότι ο γεωµετρικός τόπος των ηµείων το επίπεδο Mohr που προκύπτουν από τις Εξ. (.65) µε παράµετρο τη γωνία ϕ είναι ένας κύκλος, ο λεγόµενος κύκλος Mohr των τάεων, του οποίου τις ιδιότητες θα αναλύουµε εδώ λεπτοµερώς. Πρέπει να τονίουµε ότι ο γεωµετρικός αυτός τόπος αφορά την εντατική κατάταη ε ένα υγκεκριµένο ηµείο P( xy, ) ενός δίκου και µάλιτα ε µια υγκεκριµένη χρονική τιγµή. Αν τώρα αναρωτηθεί κανείς ε τι αντιτοιχεί η απειρία των ηµείων του εν λόγω γεωµετρικού τόπου, τότε θα παρατηρήουµε ότι ο κάθε ηµείο του γεωµετρικού τόπου είναι ένας υνδυαµός ορθής και διατµητικής τάης που αφορά την εντατική κατάταη ε υγκεκριµένο επίπεδο διερχόµενο δια του εν λόγω ηµείου P( xy, ). Το µόνο κοινό γεωµετρικό τοιχείο του φυικού χώρου Oxy (, ) και του χώρου των τάεων O(, τ ) είναι η γωνία ϕ. n n Για την καλύτερη παρακολούθηη της διαδικαίας της γραφικής επίλυης του προβλήµατος των τάεων θα χρηιµοποιήουµε ως παράδειγµα το εξής µητρώο των τάεων: xx xy 10 3 = [ kpa ] yx yy 3 5 Για την ως άνω εντατική κατάταη ο γεωµετρικός τόπος που ορίζεται παραµετρικά από τις Εξ. (.64) µε παράµετρο τη γωνία ϕ µπορεί να κατακευαθεί αριθµητικά. Για τον αφαλή υπολογιµό των ζευγών τιµών n = n( ϕ) και τn = τn( ϕ), που προκύπτουν από τις Εξ. (.64) για τις τιµές των τάεων xx, yy και xy = yx που δίδονται από τον παραπάνω πίνακα, θα µπορούαµε να κάνουµε χρήη ενός προγράµµατος ε γλώα προγραµµατιµού FORTRAN. c c c PROGRAM Mohr.for Mohr Circle of Stresses IMPLICIT DOUBLE PRECISION (a-h,o-z) OPEN (UNIT=1, FILE='Mohr.IN1', STATUS='UNKNOWN') OPEN (UNIT=, FILE='Mohr.OU1', STATUS='UNKNOWN') Input pi=4.d0*datan(1.d0) write(*,*) 'sigma-xx=? kpa'

98 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 read(*,*) sxx write(1,100) 'sigma-xx [kpa]= ', sxx write(*,100) 'sigma-xx [kpa]= ', sxx write(*,*) 'sigma-yy=? kpa' read(*,*) syy write(1,100) 'sigma-yy [kpa]= ', syy write(*,100) 'sigma-yy [kpa]= ', syy write(*,*) 'sigma-xy=? kpa' read(*,*) sxy write(1,100) 'sigma-xy [kpa]= ', sxy write(*,100) 'sigma-xy [kpa]= ', sxy syx=sxy sm=0.5d0*(sxx+syy) write(1,100) 'sigma-m [kpa]= ', sm write(*,100) 'sigma-m [kpa]= ', sm tm=dsqrt(((sxx-syy)/.d0)**+sxy**) write(1,100) 'tau-m [kpa]= ', tm write(*,100) 'tau-m [kpa]= ', tm 100 format(1x,a0,f10.3,1x) sigma1=sm+tm sigma=sm-tm write(1,100) 'sigma-1[kpa]=',sigma1 write(*,100) 'sigma-1[kpa]=',sigma1 write(1,100) 'sigma-[kpa]=',sigma write(*,100) 'sigma-[kpa]=',sigma write(*,*) 'phi=? in [deg]' read(*,*) phi write(1,100) ' phi in [deg]=', phi write(*,100) ' phi in [deg]=', phi phi=phi*pi/180.d0 sxi=0.5d0*(sxx+syy)+0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # +sxy*dsin(.d0*phi) sxieta=-0.5*(sxx-syy)*dsin(.d0*phi)+sxy*dcos(.d0*phi) seta=0.5d0*(sxx+syy)-0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # -sxy*dsin(.d0*phi)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 99 write(1,100) 'sigma-xi-xi[kpa]=',sxi write(*,100) 'sigma-xi-xi[kpa]=',sxi write(1,100) 'sigma-xi-et[kpa]=',sxieta write(*,100) 'sigma-xi-et[kpa]=',sxieta write(1,100) 'sigma-et-et[kpa]=',seta write(*,100) 'sigma-et-et[kpa]=',seta pause if (phi.eq.pi/.d0) goto 0 phi=pi/.d0 0 phi0=0.d0 dphi0=1.d0 do 1000 i=1,361 phi=phi0*pi/180.d0 sn=0.5d0*(sxx+syy)+0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # +sxy*dsin(.d0*phi) tn=-0.5*(sxx-syy)*dsin(.d0*phi)+sxy*dcos(.d0*phi) write(*,00) phi0,sn,tn write(,00) phi0,sn,tn 00 FORMAT(1x,F7.,1x,(F10.4,1x)) phi0=phi0+dphi0 1000 continue STOP END

100 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Η διαδικαία της γεωµετρικής κατακευής του κύκλου του Mohr ξεκινά εν προκειµένω µε τη γραφική παράταη των αρχικών δεδοµένων το επίπεδο Mohr των τάεων O( n, τ n). Για την τιµή της γωνιακής παραµέτρου, ϕ = 0 οι Εξ. (.64) δίδουν: n = xx = 10kPa ϕ = 0: τn = xy = 3kPa Στο ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο A( ϕ = 0 ) το διάγραµµα Mohr. Για την τιµή της γωνιακής παραµέτρου, ϕ = 90 οι Εξ. (.64) δίδουν:

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 101 5 o n = yy = kpa ϕ = 90 : τn = yx = 3kPa Στο ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο B( ϕ = 90 ) το διάγραµµα Mohr. Παρατήρηη Όταν η ορθή τάη είναι εφελκυτική, τότε η τάη αυτή εµφανίζεται το διάγραµµα Mohr ως θετική. Όταν το τοπικό ύτηµα ( n, τn) είναι δεξιότροφο, τότε το διάγραµµα Mohr η διατµητική αυτή τάη εµφανίζεται ως θετική. Αντιθέτως, όταν το τοπικό ύτηµα ( n, τn) είναι αριτερότροφο, τότε το διάγραµµα Mohr η διατµητική αυτή τάη εµφανίζεται ως αρνητική Στη υνέχεια κατακευάζουµε έναν κύκλο που διέρχεται από τα ηµεία Α και Β και του οποίου το κέντρο βρίκεται πάνω τον άξονα των ορθών τάεων, O n. Ο κύκλος αυτός καλείται κύκλος του Mohr. Το κέντρο M του κύκλου του Mohr προκύπτει από την τοµή της ευθείας (ΑΒ) µε τον άξονα των ορθών τάεων, οπότε ( ) 1 ( OM ) = M = xx + yy (.66) Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ότι M = 7.5kPa. Η ακτίνα του κύκλου του Mohr προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο ( ΜΑΓ ) ή το τρίγωνο ( ΜΒΓ '),

10 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 xx yy ( ΜΑ ) = ( ΜΒ ) = τμ = + xy (.67) Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ότι τ M = 3.91kPa. Αν χεδιάουµε τώρα τον κύκλο µε κέντρο το ηµείο Μ και ακτίνα τ M παρατηρούµε ότι αυτός τέµνει τον άξονα των ορθών τάεων ε δύο χαρακτηριτικά ηµεία, που αντιτοιχούν ε ακρότατες τιµές για την ορθή τάη. Οι ακρότατες τιµές αυτές της ορθής τάης ταυτίζονται µε τις κύριες τάεις 1 και αντιτοίχως, τ 1 = M + M = M M τ (.68) ή 1 xx yy 1/ = ( xx + yy) ± + xy (.69) πρβλ. Εξ. (.35). Παρατηρούµε ότι πράγµατι τα αντίτοιχα ηµεία το διάγραµµα Mohr έχουν τεταγµένη µηδέν, δηλαδή αντιτοιχούν τα επίπεδα εκείνα όπου η διατµητική τάη είναι µηδέν. Όπως φαίνεται το χήµα, ορίζουµε µια βοηθητική γωνία ϕ1 = ( xβ1), η οποία, όπως θα δείξουµε παρακάτω, δίνει την κατεύθυνη της κύριας ορθής τάης 1. Τώρα θεωρούµε ένα τυχαίο επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, nx = cos ϕ, ny = sinϕ (.70) Έτω για παράδειγµα ότι το διάνυµα n χηµατίζει γωνία ϕ = 40 µε το θετικό ηµι-άξονα Ox. Οι Εξ. (.64) την περίπτωη αυτή δίνουν: n = 10.89 kpa, τn = 1.94kPa Στο διάγραµµα Mohr το ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο Ξ ( ϕ = 40 ). Από το διάγραµµα Mohr παίρνουµε ότι:

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 103 xy ( ΑΓ ) = xy = τm sinϕ1 sinϕ1 = τ M 1 1 ( ΜΓ ) = ( xx yy ) = τm cos ϕ1 cos ϕ1 = ( xx yy) τ M (.71) ( Ο ) = M + τm cos( ϕ ϕ1) (.7) Οπότε κάνοντας χρήη της τριγωνοµετρικής ταυτότητας, cos ( ϕ ϕ1) = cos ϕcos ϕ1+ sin ϕsin ϕ1 (.73) και της Εξ. (.66) παίρνουµε ότι ( ) 1 xx yy ( ) cos xy Ο = M + τm ϕ + τm sinϕ τm τm 1 1 = ( xx + yy ) + ( xx yy ) cos ϕ+ xy sin ϕ ( Ο ) = ξξ (.74) πρβλ. Εξ. (.7). Οµοίως από το διάγραµµα Mohr παίρνουµε ότι: Ξ ( ) = τ M sin( ϕ ϕ1) (.75) Από την τριγωνοµετρική ταυτότητα, sin ( ϕ ϕ1) = sin ϕcos ϕ1 cos ϕsin ϕ1(.76) και τις εξ.(.71) παίρνουµε ότι,

104 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 ( ) 1 xx yy ( ) sin xy Ν = τm ϕ + τm cosϕ τ M τ M 1 = ( xx yy ) sin ϕ+ xy cos ϕ ( Ξ ) = ξη (.77) πρβλ. Εξ. (.8). Άρα το ηµείο Ξ τον κύκλο Mohr αντιτοιχεί την εντατική κατάταη, πάνω το επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, Εξ. (.70), που είναι παράλληλο προς το άξονα Oξ. Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε, ξξ = 10.889 kpa ηη = 4.111kPa ξη = 1.941 kpa Στον κύκλο Mohr διακρίνουµε ένα χαρακτηριτικό ηµείο Π Π n, το οποίο θα ονοµάουµε, πόλο των κάθετων. Ο πόλος Π προκύπτει ως εξής: Από το ηµείο Ξ ( ϕ) φέρνουµε κάθετο προς τον άξονα O n και ορίζουµε επί του κύκλου Mohr το ηµείο Ξ, ως το κατοπτρικό του Ξ ως προς τον άξονα O n. Παρατηρούµε ότι η γωνία,

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 105 ( x ) + ΠΞ = ϕ (.78) Άρα η ευθεία ΠΞ είναι παράλληλη προς τον άξονα Oξ, δηλαδή είναι παράλληλη προς το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, το οποίο είναι κάθετο πάνω το τοιχείο εκείνο όπου δρουν οι παραπάνω υπολογιθείες, ορθή και διατµητική τάεις, n = n( ϕ), τn = τn( ϕ). Κατακευή του πόλου των κάθετων: Έτω ηµείο Ξ ( ϕ) πάνω τον κύκλο Mohr και Ξ το κατοπτρικό του ως προς άξονα O n. Αν φέρουµε µία ευθεία δια του Ξ, παράλληλη προς το διάνυµα n (τον άξονα Oξ ), τότε ευθεία αυτή τέµνει τον κύκλο Mohr τον πόλο Π. Από την παραπάνω απόδειξη προκύπτει επίης ότι ο πόλος Π είναι µοναδικός για κάθε µία δεδοµένη εντατική κατάταη. Αν φέρουµε δια του πόλου µία ευθεία ΠΗ που να είναι κάθετη την ΠΞ και ως εκ τούτου παράλληλη προς άξονα Oη και ορίουµε το ηµείο Η και το κατοπτρικό Η ως προς άξονα O n, τότε παρατηρούµε ότι υµφώνως προς τα παραπάνω το ηµείο Η επί του κύκλου Mohr αντιτοιχεί την εντατική κατάταη πάνω το επίπεδο εκείνο, του οποίου το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n χηµατίζει το µε τον θετικό ηµι-άξονα Ox γωνία ϕ = 90 + ϕ. Θεώρηµα: Έτω ένα (ορθογώνιο) ύτηµα αξόνων O( ξ, η ) τραµµένων ως προς άξονες Oxy (, ) κατά γωνία ϕ. Η ορθή και διατµητική τάη που ακούνται πάνω ε ένα επίπεδο ( Ξ ), κάθετο τον άξονα ξ και εκείνες που ακούνται πάνω ε ένα επίπεδο (H) κάθετο προς τον άξονα η απεικονίζονται τον κύκλο Mohr τα ηµεία Ξ και Η αντιτοίχως, έτι ώτε οι αντίτοιχες επίκεντρες γωνίες να είναι: ( AM Ξ ) = ϕ (.79) ( AM Η ) = (90 + ϕ) = ( AM Ξ ) + 180 (.80) Άρα τα ηµεία Ξ και Η είναι αντιδιαµετρικά. Και οµοίως και τα ηµεία Ξ και Η. Από την παραπάνω κατακευή προκύπτει ότι πράγµατι τα αντιδιαµετρικά ηµεία του κύκλου Mohr που βρίκονται πάνω τον άξονα των ορθών τάεων αντιτοιχούν τα κύρια επίπεδα του τανυτή των τάεων. Όπως φαίνεται από τον κύκλο του Mohr, οι κύριες τάεις είναι αντίτοιχα η µέγιτη και η ελάχιτη ορθή τάη, ενώ είναι προφανές ότι τα κύρια επίπεδα οι διατµητικές τάεις είναι µηδέν.

106 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 107 Συµπέραµα: Έτω ότι µια δεδοµένη επίπεδη εντατική κατάταη ε κάποιο ηµείο ενός δίκου περιγράφεται από τον τανυτή των τάεων. Ο τανυτής των τάεων µε τη ειρά του ταυτίζεται µε την οµάδα των πινάκων των τάεων ξξ ηξ ξη ηη που προκύπτουν από κάποιο δεδοµένο (αντιπρόωπο) xx yx xy yy µέω ενός ορθογώνιου µεταχηµατιµού τροφής των αξόνων της µορφής ξξ ξη cosϕ sinϕ xx xy cosϕ sinϕ = ηξ ηη sinϕ cosϕ yx yy sinϕ cosϕ (.81) Π.χ. για ϕ = ϕ1 η Εξ. (.81) δίνει, ξξ ξη 1 0 = ηξ ηη 0 Συµφώνως µε τα παραπάνω, η ολότητα αυτών των απεικονίεων της εντατικής κατάταης απεικονίζεται αµφιµονοήµαντα τον αντίτοιχο (µοναδικό) κύκλο Mohr µε πόλο Π. Με άλλα λόγια ο κύκλος Mohr των τάεων µε πόλο Π υνιτά τη γεωµετρική παράταη του τανυτή των τάεων. Παρατήρηη Όπως αναφέραµε και το Κεφ. 1, η ύµβαη προήµου τη Γεωτεχνική Μηχανική δεν υµβαδίζει µε εκείνη της Τεχνικής Μηχανικής. Ως εκ τούτου η κατακευή του κύκλου Mohr των τάεων επίης διαφέρει. Στο Παράρτηµα του παρόντος κεφαλαίου υνοψίζουµε την εν λόγω κατακευή..7 Ακήεις 1) Να κατακευαθεί ο κύκλος Mohr των τάεων µε πόλο για την εξής εντατική κατάταη,

108 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 xx xy 10 5 = yx yy 5 3 [ kpa] Να προδιοριθούν γραφικά και αναλυτικά η ορθή τάη n και η διατµητική τάη τ n το επίπεδο του οποίου το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n χηµατίζει µε τον θετικό ηµιάξονα Ox γωνία ϕ = 35. ) Να βρεθούν οι κύριες τάεις και οι κατευθύνεις των κάτωθι τανυτών τάεων ε καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων (α) 100 40 [ ] 40 80 MPa, (β) 100 40 [ MPa ] 40 80, (γ) 0 10 [ ] 10 10 MPa Λύη: (α) 1 = 108.5 MPa, = 88.5 MPa, ϕ1= 11.5 (β) 1 = 131. MPa, = 48.8 MPa, ϕ1 = 37.5 (γ) 1 = 6. MPa, = 16. MPa, ϕ1 = 31.5 3) Για δεδοµένη εντατική κατάταη να προδιοριθούν τα επίπεδα τα οποία οι εξακούµενες διατµητικές τάεις είναι µέγιτες. Λύη Οι µέγιτες διατµητικές τάεις ακούνται τα επίπεδα των διχοτόµων των κυρίων αξόνων. Πράγµατι από τις Εξ. (.64) παίρνουµε ( ) 1 τn = xx yy sin ϕ+ xycos ϕ Έτω ψ η τιµή της γωνίας ϕ που αντιτοιχεί τα επίπεδα όπου οι διατµητικές τάεις είναι µέγιτες, τότε

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 109 dτ n 1 = 0 ( xx yy ) cos ψ + xy ( sin ψ) = 0 dϕ = ϕ ψ ή xx tan ψ = xy yy Παρατηρούµε ότι βάει της Εξ. (.40) οι κύριες κατευθύνεις δίδονται από την εξίωη tan ϕ 1/ xy = xx yy Άρα tan ψ = cot( ϕ ) = tan( π / + ϕ ) ψ1/ = ϕ1 45 (.8) 1/ 1/ Σηµειώνουµε ότι από τον κύκλο Mohr έχουµε ότι τα επίπεδα (Τ 1 ) και (Τ ), όπου εµφανίζονται οι ακρότατες διατµητικές τάεις xx yy min = M, max = M = + xy τ τ τ τ (.83) εµφανίζονται και ορθές τάεις, ένταης ίης προς τη µέη τάη, ( ) 1 M = xx + yy (.84)

110 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 4) Να αποδειχθεί ότι όταν τ Μ = 0, τότε η εντατική κατάταη είναι ιότροπη, δηλαδή ότι, xx xy ξξ ξη 0 = = ( 1 = = ) yx yy ηξ ηη 0 (.85) 5) Να αποδειχθεί ότι ιχύουν γενικώς οι παρακάτω χέεις, ( )( ) ξξ i ηη i = ξη ( i = 1,) (.86) ( )( ) τ xx n yy n = xy n (.87) 6) ίδονται οι τάεις xx = 500kPa και xy = 300kPa. Επίης γνωρίζουµε ότι υπάρχει επίπεδο πάνω το οποίο δρα καθαρή διάτµηη 18, δηλαδή η εντατική κατάταη πάνω το επίπεδο αυτό χαρακτηρίζεται από µη µηδενική διατµητική τάη και µηδενική ορθή τάη. 18 Πρβλ. Κεφ..7.

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 111 Ειδικότερα δίδεται ότι το επίπεδο αυτό έχουµε ότι τ n = 500kPa (και n = 0 ). Ζητείται να προδιοριθεί αναλυτικά και γραφικά η εντατική κατάταη. Αναλυτική λύη: Για την αναλυτική λύη του προβλήµατος εφαρµόζουµε την ταυτότητα, Εξ. (.87). Πράγµατι, θέτοντας τώρα τα δεδοµένα την Εξ. (.87) παίρνουµε: (( ) ) (500 0)( yy 0) = 300 500 yy = 30 [ kpa] Για τα δεδοµένα του προβλήµατος η Εξ. (.64) για την ορθή τάη δίδει, 1 1 n = ( 500 + 30) + ( 500 30) cos ϕ 300sin ϕ = 0 5 o ϕ1 = arctan(.5) = 68. ϕ+ ϕ = ϕ = + 5 ϕ = arctan(0.65) =+ 3.0 8 30 tan 600 tan 500 0 tan 0 Γραφική λύη: Το κέντρο του κύκλου του Mohr βρίκεται τη τοµή της µεοκαθέτου επί της ΑΒ µε τον άξονα O n. Ο κύκλος διέρχεται από τα ηµεία Α και Β. Με την εύρεη του πόλου Π κατακευάζεται εύκολα η γραφική λύη του προβλήµατος (βλ. χήµα).

11 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007.6 Απλές Εντατικές Κατατάεις.6.1. Επίπεδος, ιότροπος εφελκυµός Σε ένα επίπεδο φορέα θεωρούµε την εντατική κατάταη που περιγράφεται ως προς κάποιο ύτηµα υντεταγµένων Oxy (, ) από τον εξής πίνακα, xx xy 0 = yx yy 0 (.88)

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 113 Για > 0 ( < 0 ) η αντίτοιχη εντατική κατάταη καλείται επίπεδος ιότροπος εφελκυµός (επίπεδη ιότροπη θλίψη). Παρατηρούµε ότι την περίπτωη αυτή η ο κύκλος Mohr των τάεων υρρικνώνεται ε ηµείο πάνω τον άξονα O n. Επίης θα παρατηρήουµε ότι την περίπτωη ιότροπου εφελκυµού, η παραπάνω απεικόνιη του τανυτή των τάεων, Εξ. (.88), ιχύει για κάθε ύτηµα υντεταγµένων: ξξ ξη 0 = ηξ ηη 0 Άρα κάθε ύτηµα αξόνων είναι ύτηµα κυρίων αξόνων και αντίτοιχες κύριες τάεις ταυτίζονται, πρβλ. Εξ. (.37). Παρατήρηη Ο επίπεδος ιότροπος εφελκυµός υλοποιείται την επιφάνεια µιας διατελλόµενης λεπτής φαιρικής µεµβράνης.6.. Καθαρή διάτµηη 19 Σε ένα επίπεδο φορέα θεωρούµε την εντατική κατάταη που περιγράφεται ως προς κάποιο ύτηµα υντεταγµένων O(x, y) από τον εξής πίνακα, 19 Αγγλ. pure shear

114 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 xx xy 0 τ = ( τ > 0) yx yy τ 0 (.89) o Παρατηρούµε ότι ε άξονες που χηµατίζουν γωνία ± 45 ως προς τα επίπεδα της διάτµηης αναπτύονται οι κύριες εφελκυτικές και θλιπτικές τάεις ίης ένταης, ξξ ξη τ 0 o = ( ϕ= 45 ) ηξ ηη 0 τ Εφαρµογή αυτού αποτελεί ο λεγόµενος «λοξός οπλιµός» από χάλυβα µιας δοκού από «ψαθυρό» υλικό, όπως το κυρόδεµα. Ο λοξός οπλιµός θα τοποθετηθεί κοντά τις τηρίξεις, όπου οι διατµητικές τέµνουες δυνάµεις και ως εκ τούτου και διατµητικές τάεις πάνω ε µία ορθή διατοµή της δοκού( Q = τda) είναι ηµαντικές. Ο λοξός οπλιµός τοποθετείται κατά

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 115 την φορά της µέγιτης εφελκυτικής τάης. Στην περίπτωη αυτή λέµε ότι ο λοξός οπλιµός «παραλαµβάνει» τον εφελκυµό, αφού θεωρούµε ότι το κυρόδεµα, ως ψαθυρό υλικό, δεν έχει τη δυνατότητα να «παραλαµβάνει» εφελκυτικές τάεις και έχει την τάη να ρηγµατώνεται (να θραύεται) ε επίπεδα κάθετα προς τη µέγιτη εφελκυτική τάη. Η διαδικαία αυτή υνιτά µια πρακτική εφαρµογή του απλούτερου δυνατού κριτηρίου ατοχίας υλικών του λεγόµενου κριτηρίου Rankine. Συµφώνως προς το κριτήριο αυτό «ένας φορέας ατοχεί όταν ε κάποια θέη µέα τον φορέα η µέγιτη κύρια τάη λάβει µια τιµή που χαρακτηρίζεται ως εφελκυτική αντοχή του υλικού». Στην περίπτωη αυτή θα δεχθούµε ότι το υλικό δεν µπορεί να παραλάβει εφελκυτικές τάεις µεγαλύτερες από την αντοχή του..6.3. Απλός Εφελκυµός Θεωρούµε την εντατική κατάταη το τυχόν ηµείο ενός επίπεδου, ευθύγραµµου φορέα, ο οποίος καταπονείται αξονικά από ένα οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο καθ όλη την έκταη µιας τυχούας ορθής διατοµής του. Ο άξονας Ox επιλέγεται να υµπίπτει µε τον άξονα της φόρτιης, που είναι εµπροκειµένω ο κεντροβαρικός άξονας των ορθών διατοµών του φορέα. Η εντατική κατάταη το καρτειανό ύτηµα Oxy (, ) που επιλέξαµε δίνεται από τον εξής πίνακα ( > 0 ), xx xy 0 = yx yy 0 0 (.90)

116 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Υποθέτοντας ότι η εντατική κατάταη είναι οµογενής, οι τάεις το τοιχείο ε τυχαία θέη το φορέα είναι παντού οι ίδιες, όπως φαίνεται το χήµα. Από την παραπάνω γραφική λύη, δηλαδή τον αντίτοιχο κύκλο Mohr των τάεων µ πόλο, o προκύπτει ότι ε επίπεδα τραµµένα κατά ± 45 ως προς τον άξονα της φόρτιης (δηλαδή τον άξονα της µεγαλύτερης κύριας τάης που ταυτίζεται εδώ µε τον άξονα του εφελκυόµενου φορέα) ο απλός εφελκυµός προκαλεί µια ύνθετη εντατική κατάταη που αναλύεται ε ένα ιότροπο εφελκυµό και ε µια καθαρή διάτµηη:

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 117 ξξ ξη / / / 0 0 / = ηξ ηη / / = + 0 / / 0.5 Ακήεις 1) Να αποδείξετε γεωµετρικά ότι οι κάτωθι ποότητες είναι αναλλοίωτες ως προς τροφή των καρτειανών αξόνων ( ξ, n), A = ξξηη ξη B = ξξ + ηη + ξη ) Να αποδείξετε γεωµετρικά µε τη χρήη του κύκλου του Mohr ότι για τη γωνία ϕ 1, που χηµατίζει η διεύθυνη της κύριας τάης 1 µε τον άξονα Ox ιχύουν οι παρακάτω χέεις: xx + yy cosϕ1 = τ M xy sin ϕ1 = τ M 3) Να βρεθούν αναλυτικά και γεωµετρικά οι κύριες τάεις και κατευθύνεις των κάτωθι τανυτών τάεων το καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων ( x, y), 5 3 Λύη 3 10 (α) [ kpa] 10 3 3 5 kpa (β) [ ] (α) 1 = 11.4kPa = 3.6kPa ϕ 1 = 65 (β) 1 = 3.6kPa = 11.4kPa ϕ 1 = 65 4) Έτω η γωνία 1/ ϕ που χηµατίζει το διάνυµα της κύριας τάης 1/ µε τον άξονα Ox. Να αποδείξετε ότι

118 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 ( xx yy M ) 1 cot 1/ = ± xy ϕ τ Λύη: (1) (1) Έτω nx = cosϕ1 και ny = sinϕ1 οι υνιτώες του µοναδιαίου ιδιοδιανύµατος που αντιτοιχεί την ιδιοτιµή 1, τότε η Εξ. (.3) δίδει, ϕ ϕ ϕ xx cos 1+ yx sin 1 = 1cos 1 xy cos 1+ yy sin 1= 1sin 1 ϕ ϕ ϕ ιαιρώντας κατά µέλη τις εξιώεις αυτές παίρνουµε τη ζητούµενη έκφραη. 5) Να αποδείξετε γεωµετρικά µε τη χρήη του κύκλου του Mohr ότι ιχύουν οι παρακάτω χέεις: 6) xx = 1 M + M xy τ τ yy = 1 M + M xy τ τ τ M = 1 Στις παραπάνω χέεις µε 1 υµβολίζουµε τις κύριες τάεις. 7) Το ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ βρίκεται ε επίπεδη οµοιόµορφη εντατική κατάταη και ιορροπεί. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ακούνται οµοιόµορφα κατανεµηµένες ορθές τάεις, ένταης p Γ και p A, ενώ την υποτείνουα ΑΓ ακείται οµοιόµορφα κατανεµηµένα διατµητική τάη ένταης q B, όπως το χήµα. Να αποδειχθεί ότι η εντατική αυτή κατάταη είναι δυνατή όταν: pa = pγ tan θ και qb = papγ = pγ tanθ

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 119 8) Να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά οι κύριες τάεις και οι κατευθύνεις τους για τους O x, y. κάτωθι τανυτές τάεων ε καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων ( ) 10 5 95 0 (α) [ ΜPa] 5 4 (β) [ ΜPa] 0 5 Λύη (α) 1 = 1.8 Μ Pa, = 1.17 Μ Pa, ϕ1 = 9.5 (β) 1 = 100.3 Μ Pa, = 19.7 Μ Pa, ϕ1= 14.8 9) Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ βρίκεται ε οµογενή επίπεδη εντατική κατάταη και ιορροπεί. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ακούνται οµοιόµορφα κατανεµηµένες τάεις, όπως το χήµα. Να αποδειχθεί τ = τ. Έτω tan δ = ( τ / ) να αποδειχθούν οι χέεις: = sin + tan tan sin q θ δ δ θ tanδ tanδ cot ( θ ϕ) = ϕ = θ + arc cot 1 tanδ cotθ 1 tanδ cotθ Με βάη την παραπάνω λύη να υπολογιθεί η οριζόντια υνιτώα της τάης q, η οποία αντιτοιχεί την τάη «διάρρηξης» της φήνας του παρακάτω χήµατος.

10 Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 10) Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC καταπονείται από οµοιόµορφες ορθές τάεις όπως το χήµα και ιορροπεί. Να αποδειχτεί ότι Α = Β = Γ ϕ ϕ 0, π ανεξάρτητα της γωνίας ( ) 11) Από το ηµείο Ρ ενός τερεού δίκου διέρχονται δύο επίπεδα τα οποία χηµατίζουν γωνία α. Πάνω τα επίπεδα αυτά δρουν οι οµοιόµορφες διατµητικές και ορθές τάεις, όπως το χήµα. Να = τ + τ α. αποδειχθεί ότι, ( ) tan 1) Για µια επίπεδη εντατική κατάταη ε ένα καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων δίδονται οι τάεις, xx = 900 Μ Pa, yy = 100 Μ Pa, xy = 300Μ Pa. (α) Να προδιοριθούν γραφικά και αναλυτικά τις διευθύνεις και τα µεγέθη των κύριων τάεων. (β) Να υπολογιθεί η µέγιτη και η ελάχιτη διατµητική τάη και να προδιοριθούν τα επίπεδα όπου αυτές αναπτύονται Λύη (α) 1 = 1000 Μ Pa, = 0 Μ Pa, ϕ1= 18.4 (β) τmax = 500 Μ Pa, τmin = 500 Μ Pa, ψ 6.6 ( τmax ) = ϕ1 45 = + 63.4 ( τmin ) 13) Να προδιοριτούν οι τάεις xx, yy, xy όταν δίδονται οι κύριες τάεις 1 = 900 Μ Pa, = 1400 Μ Pa και ότι η γωνία µεταξύ της 1 και της yy είναι 30. Λύη: xx = 85 Μ Pa, yy = 35 Μ Pa, xy = 995.9 ΜPa

Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 11 14) Σε ένα επίπεδο εντατικό πρόβληµα δίδεται η διατµητική τάη xy = 5 GPa, αναφορικά προς ένα καρτειανό ύτηµα αξόνων Oxy, (, ) η τιµή της µέγιτης κύριας τάης 1 = 8 GPa καθώς και η γωνία µεταξύ του άξονα Ox και της διεύθυνης της µέγιτης κύριας τάης 1, ϕ 1 = 35. Να υπολογιθούν οι τάεις xx και yy. Λύη: xx = 4.5 GPa, yy = 0.86 GPa, 15) Παραλληλόγραµµος δίκος ΑΒΓ βρίκεται ε οµογενή εντατική κατάταη και ιορροπεί κάτω από πλευρικά φορτία p και q, τα οποία είναι παράλληλα προς τις έδρες του. Να προδιοριθούν οι υνιτώες του τανυτή των τάεων τα καρτειανά υτήµατα Oxy, (, ) και O( ξ, η ), µε δεδοµένο ότι ο άξονας Ox χηµατίζει γωνία β µε τον άξονα Oξ που είναι παράλληλος µε τις πλευρές ΑΒ (και Γ ) του δίκου. Λύη: ( ) 1 yy = pcos β, xy = psin β, xx = q+ psin β cos β