Str

Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs

Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim). Jednom formirana hipoteza se koristi za izvođenje zaključaka o posmatranom problemu uz pomoć odgovarajućeg statističkog metoda. Podela testova: Parametarski testovi. Neparametarski testovi.

Postupak testiranja hipoteze se izvodi u nekoliko koraka:. Definišu se nulta i alternativna hipoteza.. Izbor modela teorijskog rasporeda. 3. Određuje se nivo značajnosti testa α odnosno verovatnoća ( α). 4. Definisanje uzorka. 5. Izračunavanje statistike testa na osnovu uzorka. 6. Iz tablice teorijskog rasporeda očitava se tablična vrednost (kriterijum). 7. Upoređivanje statistike testa sa tabličnom vrednošću. 8. Odluka o prihvatanju ili odbacivanju formulisane hipoteze.

Str. 3 Definisanje nulte i alternativne hipoteze Nulta hipoteza H 0 - tvrdnja o vrednosti nekog parametra osnovnog skupa koja se testira. Cilj je da se ta pretpostavka statistički potvrdi ili ospori. Nasuprot nulte hipoteze H 0, je alternativna hipoteza H, koja sadrži sve ostale vrednosti parametra osnovnog skupa koje nisu obuhvaćene nultom hipotezom H 0.

Hipoteza može da bude prosta ili složena:.prosta H 0 i složena H (dvosmerni test) H 0 : Prosečna plata u gradu je 000 evra. H 0 : µ = µ 0 =000 H : Prosečna plata u gradu nije 000 evra. H : µ µ 0 =000. Složena H 0 i složena H (jednosmerni test sa gornjom granicom) H 0 : Prosečna plata u gradu nije veća od 00 evra. H 0 : µ µ 0 =00 H : Prosečna plata u gradu je veća od 00 evra. H : µ > µ 0 =00 3.Složena H 0 i složena H (jednosmerni test sa donjom granicom) H 0 : Prosečna plata u gradu nije manja od 500 evra. H 0 : µ µ 0 =500 H : Prosečna plata u gradu je manja od 500 evra. H :µ < µ 0 =500 Hipoteza mora da bude nedvosmislena! Raskrsnica na kojoj stoje dva čoveka

Str. 7 Rizici greške kod testiranja hipoteza - Testiranjem H 0 se prihvata Testiranjem H 0 se odbacuje Dobra odluka, Greška prve vrste, H 0 je istinita u osnovnom skupu uz verovatnoću α uz verovatnoću α Dobra odluka, Greška druge vrste, uz verovatnoću β H 0 je neistinita u osnovnom skupu uz uslovnu verovatnoću β (verovatnoća β se zove ''jačina testa'' ili ''moć testa'')

Testiranje hipoteza primenom ''p'' vrednosti (ne radi se) Str. 7 p vrednost- realizovani nivo rizika greške α. α p H 0 se odbacuje! α<p H 0 se prihvata!

Str. 8 Uvod u parametarske testove Koriste se za proveru hipoteza o nepoznatoj vrednosti parametara osnovnog skupa. Primena zavisi od ispunjenja unapred određenih, strogih pretpostavki o osnovnom skupu.

Parametarski testovi se vrše na osnovu nekog od teorijskih rasporeda: normalnog rasporeda, Studentovog t-rasporeda, Snedekorovog F-rasporeda, binomnog rasporeda.

Str. 8 Testiranje na osnovu normalnog rasporeda Uslov: n 30

Testiranje aritmetičke sredine Str. 8 Izračunavanje statistike testa: Kada nije poznata varijansa osnovnog skupa: u 0 x µ = 0, s x gde je: x aritmetička sredina uzorka, µ 0 s x hipotetička vrednost aritmetičke sredine osnovnog skupa, ocena standardne devijacije osnovnog skupa.

Dvosmerni test:. prosta H 0 i složena H (dvosmerni test): H 0 : µ = µ 0 ; H : µ µ 0. α α u α > u0 u α u0 uα α uα u u α < u0

Jednosmerni test:. složena H 0 i složena H (jednosmerni test): H 0 : µ µ 0 ; H : µ > µ 0. uα u0 uα u0

Jednosmerni test: 3. složena H 0 i složena H (jednosmerni test): H 0 : µ µ 0 ; H : µ < µ 0. (u) u Odbacivanje H 0 α u > u0 -u 0 Prihvatanje H 0 α u u0 Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze H 0

Primer 3 (strana 568) Testiranje razlike a.s. osnovnog skupa i a.s. uzorka SOT-06 K:4-7 Testiranje aritmetičke sredine, intervalna serija, veliki uzorak, bez ponavljanja

Testiranje proporcije Str. Uslov: n 50 u 0 = p gde je: p' proporcija u uzorku, P 0 hipotetička vrednost proporcije u osnovnom skupu, s p' ocena srednje mere odstupanja proporcija u uzorcima od proporcije u osnovnom skupu. s p P 0 SOT-057 K:4-8 Testiranje proporcije, bez ponavljanja

Testiranje razlike aritmetičkih sredina dva osnovna skupa n 30; n 30 ( ) ( ) s( ) x x u x x 0 0 = µ µ Primer 34 (strana 579) Testiranje razlike a.s. dva uzorka Uslov: Str. 4 SOT-07 K:4-9 Testiranje razlike a.s. dva uzorka, veliki uzorci ( ) + + + = = = n n n n x n f x x n f x s m j j j m j i i x x Formula na str. 07 (udžbenik):

Str. 6 Testiranje razlike proporcija dva os. skupa Uslov: n 50; n 50 u 0 = ( p p ) ( ) P s( ) p p P 0 Za jednosmerni test: (udžbenik,str. 6) s ( p p ) = p n q + p n q Primer 35 (strana 58) Testiranje razlike proporcija dva uzorka SOT-065 K:4-0 Testiranje razlike proporcija dva uzorka

Testiranje na osnovu Studentovog t-rasporeda Str. 7 Uslov: n<30 t (α;r) Goset (Gosset) početkom XX veka Testiranje aritmetičke sredine Str. 585;97;8 t 0 = x s x µ 0

. prosta H 0 i složena H (dvosmerni test): H 0 : µ = µ 0 ; H : µ µ 0. α α ( ) t r ; α ( ) t r ; α ( ) ( ) t t t r r ; 0 ; α α t( ) t r ; 0 α < ( ) t t r ; 0 α >

. složena H 0 i složena H (jednosmerni test): H 0 : µ µ 0 ; H : µ > µ 0. t t( ; r ) 0 α

3. složena H 0 i složena H (jednosmerni test): H 0 : µ µ 0 ; H : µ < µ 0. t < t( ; r ) t0 t( α ; r ) 0 α

Primer 36 (strana 588) Testiranje razlike a.s. osnovnog skupa i a.s. uzorka mali uzorak SOT-049 K:4- Testiranje aritmetičke sredine, negrupisani podaci, mali uzorak

Str. 3 Testiranje razlike aritmetičkih sredina dva osnovna skupa t 0 = ( ) ( µ µ ) x x s( ) x x 0 Primer 37 (strana 59) Testiranje razlike a.s. dva uzorka mali uzorci SOT-063 K:4- Testiranje razlike a.s. dva uzorka, grupisani podaci, mali uzorci

Analiza varijanse Str. 3 (disperziona analiza; ANOVA) Definicija: Matematičko-statistički postupak pomoću kojeg se testira značajnost razlike između aritmetičkih sredina iz tri i više uzoraka. Može se ispitivati uticaj: jednog faktora varijabiliteta, dva faktora varijabiliteta, dva faktora varijabiliteta sa više opservacija (posmatranja).

Analiza varijanse jednog faktora varijabiliteta Str. 33 Formulisanje hipoteza: H 0 : µ =µ =...=µ i =...=µ m =µ, H : Aritmetičke sredine bar dva podskupa se među sobom razlikuju. Tabela za analizu varijanse: Suma kvadrata odstupanja Broj stepeni slobode Ocena varijanse Odnos varijansi Tablična vrednost 3 4 5 S A r =m V A F 0 S R r =n m V R - S T r=n V T - F ( α ; r ; r) ili F ( α ; ) r ; r

Grafički prikaz (Snedekorov F-raspored): F ( α r ; r) F 0 F ( r) F F ( α ; ) ; ; r ; r r < α ; 0

Testiranje kod analize varijanse jednog faktora varijabiliteta Str. 35 Radi se samo ako je H 0 odbačena! Tri testa: t-test, testiranje najmanje značajne razlike (NZR), Takijev test (Tukey).

Test najmanje značajne razlike: NZR x x = α, + t ( ) s( ) r xi xi x i+ <NZR; Razlika nije statistički značajna. x i+ NZR; Razlika je statistički značajna. i i Statistički značajna razlika α=5% (*). Visoko statistički značajna razlika α=% (**). Primer 39 (strana 60) ANOVA varijabiliteta jedan faktor SOT-03 K:4-3 ANOVA jednog faktora varijabiliteta (bez proizvoljne a.s.)

Str. 39 Analiza varijanse dva faktora varijabiliteta Tabela za analizu varijanse: Suma kvadrata odstupanja Broj stepeni slobode Ocena varijanse Odnos varijansi Tablična vrednost 3 4 5 S A r =m V A F 0(A) ( α ; ) S B r 3 =s V B F 0(B) ( α ; ) S R r =(m ) (s ) V R - - S T r=n V T - - F F r; r r; r

Grafički prikaz za faktor A: F ( α r ; r3) F 0( A) F ( r F ; r3) F 0( A) ( α ; ) ; r ; r3 α ; <

Grafički prikaz za faktor B: F r r α F 0 B F ; ; ( 3 r r3) F 0( B) F ( α ; ) ; ( ) ( ) r ; r3 α ; <

Testiranje kod analize varijanse dva faktora varijabiliteta Str. 4 Radi se samo ako je H 0 odbačena za neki od faktora! Tri testa: t-test, testiranje najmanje značajne razlike (NZR), Takijev test (Tukey). Na isti način kao i za jedan faktor varijabiliteta!

Izračunavanje relativnog uticaja faktora: Samo u slučaju ako je nulta hipoteza H 0 odbačena za oba faktora! R A = S A S ( m ) T VR S ( ) B s RB = VR S T V R V R SOT-08 ANOVA dva faktora varijabiliteta SOT-074 K:4-4 ANOVA dva faktora varijabiliteta

SOT-054; K(05)z 4-7 Test. n.o. normalnog rasporeda SOT-058; K(05)z 4-8 Testiranje proporcije SOT-09; K(05)z 4-9 Test. razlike a.s. veliki uzorci SOT-066; K(05)z 4-0 Test. razlike proporcija dva skupa SOT-050; K(05)z 4- Test. n.o. t-rasporeda SOT-03; K(05)z 4- Test. razlike a.s. mali uzorci SOT-069; K(05)z 4-3 ANOVA faktora var. SOT-07; K(05)z 4-4 ANOVA faktora var.