Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας τις παραγώγους µίας συνάρτησης.

7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Στην Παράγραφο αύτη θα µιλήσουµε για το πλέον βασικό θεώρηµα του ιαφορικού Λογισµού το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Πριν όµως κάνουµε αυτό θα διατυπώσουµε το Θεώρηµα του Rolle, το οποίο και είναι µία ειδική περίπτωση του Θεωρήµατος της Μέσης Τιµής. 7.1.1 Θεώρηµα (Θεώρηµα του Rolle) Εάν η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο διάστηµα α β και παραγωγίσιµη στο διάστηµα α < < β και εάν f( α) = f( β ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ξ ανάµεσα στα α και β του όπου η f ( ) είναι µηδέν. ηλαδή f ( ξ ) = για κάποιο ξ, α < ξ < β. Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο = ξ είναι παράλλήλη προς τον άξονα των. f() f(α) = f(β) α ξ β 7.1. Παραδείγµατα 1) Έστω η συνάρτηση f ( ) = 4+ 5 στο διάστηµα [1,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα αυτό. Λύση f (1) = 1 4 1+ 5 = και f () = () 4 + 5 =. Άρα f( α) = f( β ) = f ( ) = 4= ξ 4= ξ = Εποµένως η τιµή του ξ που ικανοποιεί το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα [1,] είναι η ξ =

7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από ) Έστω η συνάρτηση f ( ) = 4 στο διάστηµα [-,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα αυτό. Λύση f ( ) = ( ) + 8= και f () = () 8 =. Άρα f( α) = f( β ) =. f ( ) = 4= ξ 4= ξ =±. Εποµένως οι τιµές του ξ που ικανοποιούνε του θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα [-,] είναι ξ 1 = και ξ =+. 7.1. Θεώρηµα (Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Εάν µία συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο διάστηµα α β και παραγωγίσιµη στο διάστηµα α < < β τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ξ ανάµεσα στα α και β τέτοιο ώστε f ( ξ ) = f( β ) f( α) β α Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο = ξ είναι παράλλήλη στην χορδή AB. f() Β Α α ξ ξ β

7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα 4 από 7.1.4 Παραδείγµατα 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = + 1 ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα [1,] και να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. Λύση Η f ( ) είναι πολυώνυµο. Άρα είναι συνεχής στο [1,] και παραγωγίσιµη στο (1,). Εποµένως η f ( ) ικανοποιεί τις υποθέσεις (και συµπεράσµατα) του Θ.Μ.Τ. ( ), f = f ( ξ ) = ξ, ( a) = f (1) = f και f ( β ) = f () = 9 Άρα f ( β ) f ( α) f ( ξ ) = ξ = 7 ξ = ± 7 /. β α Μόνο το ξ = 7 / βρίσκεται στο διάστηµα (1,) και εποµένως είναι και η τιµή η οποία και ικανοποιεί τις υποθέσεις (και συµπεράσµατα) του Θ.Μ.Τ. ) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = στο διάστηµα [-,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. Λύση ( ), f = f ( ξ ) = ξ, ( ) ( ) 8 f a = = και f ( β ) = () = 8 Άρα f( β ) f( α) 8 ( 8) 16 f = = = =± β α ( ) 4 ( ξ) ξ ξ. Σηµείωση Στο παράδειγµα αυτό υπάρχουν δύο τιµές του ξ, στο διάστηµα [-,], που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ.

7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα 5 από Ασκήσεις 7.1 1) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα που αναφέρεται, και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( αβ, ) για τα οποία ισχύει f ( ξ ) = i) f ( ) = + 1, [,] iii) f ( ) 1 cos( ) = +, [,π ] ii) f ( ) = sin( ), π, iv) f ( ) =, [-1,1] ) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα που αναφέρεται, και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( αβ, ) για τα οποία f ( β ) f( a) ισχύει f ( ξ ) = β α i) +, 1 f ( ) = +, [,4] iii) f( ) =, [-,], > 1 π ii) f ( ) = sin( ),,

7. Μονοτονία Συναρτήσεων Σελίδα 6 από 7. Μονοτονία Συναρτήσεων Μία συνάρτηση f ( ) λέγεται αύξουσα στο σηµείο = εάν για οποιοδήποτε θετικό και αρκετά µικρό αριθµό h, είναι f ( h) < f( ) < f( + h). Μία συνάρτηση f ( ) λέγεται φθίνουσα στο σηµείο = εάν για οποιοδήποτε θετικό και αρκετά µικρό αριθµό h, είναι f ( h) > f( ) > f( + h). Εάν f ( ) >, τότε η συνάρτηση f ( ) είναι αύξουσα στο σηµείο =. Εάν f ( ) < είναι φθίνουσα στο σηµείο =. Εάν f ( ) =,τότε το σηµείο = λέγεται σηµείο στάσης ή κρίσιµο σηµείο. f() Γ Μ Σ α Α γ σ µ Τ τ Στο παραπάνω σχήµα βλέπουµε ότι η συνάρτηση ανεβαίνει (είναι αύξουσα) στα διαστήµατα α < < γ και τ < < µ. Η συνάρτηση έχει κρίσιµα σηµεία στα = γ, = σ και = τ, ενώ οι εφαπτόµενες στα σηµεία Γ, Σ και Τ είναι οριζόντιες. 7..1 Θεώρηµα Έστω η συνάρτηση f ( ), η οποία είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα. Εάν f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f() είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Εάν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f() είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το.

7. Μονοτονία Συναρτήσεων Σελίδα 7 από Απόδειξη Αποδεικνύουµε το θεώρηµα στην περίπτωση όπου f ( ) > Έστω 1, µε 1 <. Θα δείξουµε ότι f ( 1) < f( ). Στο κλειστό διάστηµα [ 1, ] η f() ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως υπάρχει ξ ( 1, ) f ( ) f( 1) τέτοιο ώστε f ( ξ ) =, οπότε έχουµε 1 ( ) f ( ) f( ) = f ( ξ ) 1 1 Επειδή f ( ) > και 1 >, έχουµε f( ) f( 1) >, οπότε f ( 1) < f( ). Ο αναγνώστης µπορεί αναλόγως να αποδείξει και την περίπτωση όπου f ( ) <.

7. Ακρότατα Συνάρτησης Σελίδα 8 από 7. Ακρότατα Συνάρτησης Η παράγωγος µίας συνάρτησης σ ένα σηµείο καθορίζει την κλίση της γραφικής της παράστασης στο συγκεκριµένο αυτό σηµείο. Η κλίση της καµπύλης µπορεί να πάρει την τιµή µηδέν σε πολλά σηµεία. Μελετώντας την συµπεριφορά της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, δεξιά και αριστερά από αυτά τα σηµεία παίρνουµε τις πληροφορίες που χρειαζόµαστε για την γραφική της παράσταση. Εάν η παράγωγος f ( ) µίας συνάρτησης y = f( ) είναι συνεχής τότε η f ( ) µπορεί να περάσει από αρνητικές σε θετικές τιµές µόνο περνώντας από το µηδέν. Αυτή η συµπεριφορά φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. f = f > f < f > f < f = f = Εάν η f ( ) αλλάζει από θετική σε αρνητική τιµή καθώς το περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f ( ) στο σηµείο αυτό είναι τοπικό µέγιστο. Οµοίως εάν η f ( ) αλλάζει από αρνητική σε θετική τιµή καθώς το περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f ( ) στο σηµείο αυτό είναι τοπικό ελάχιστο. Οι δυο αυτές περιπτώσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. Τοπικό Μέγιστο Τοπικό Ελάχιστο f = f > f < f < f > f =

7. Ακρότατα Συνάρτησης Σελίδα 9 από 7..1 Θεώρηµα (Fermat) Έστω µία συνάρτηση f() ορισµένη στο διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Εάν η f() παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό τότε f ( ) =. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η f() παρουσιάζει στο σηµείο = τοπικό µέγιστο. Επειδή το = είναι εσωτερικό του και η συνάρτηση f() παρουσιάζει σ αυτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( δ, + δ) και f ( ) f( ), για κάθε ( δ, δ ) +. Επιπλέον, η f() είναι παραγωγίσιµη στο = και εποµένως Άρα, εάν ( δ, ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f ( ) = lim = lim. + f( ) f( ) τότε οπότε θα έχουµε f( ) f( ) f = ( ) lim (1) f( ) f( ) + τότε εάν (, δ ) οπότε θα έχουµε f( ) f( ) f = ( ) lim + () Από τις (1) και () έχουµε ότι f ( ) =.

7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από 7.4 Κυρτότητα Σηµεία Καµπής Οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µίας συνάρτησης, µας βοηθάει για να δούµε κατά πόσο συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Η πληροφορία αυτή δεν είναι όµως ικανή να µας πει τίποτα για την κυρτότητα της συνάρτησης αυτής. Για να εξετάσουµε την κυρτότητα µίας καµπύλης ας δούµε για παράδειγµα την συµπεριφορά των εφαπτόµενων γραµµών πάνω στις καµπύλες που δύνονται στα παρακάτω δύο σχήµατα (α) και (β). Η καµπύλη του σχήµατος (α) βρίσκετε κάτω από τις εφαπτόµενες γραµµές και λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Καθώς το αυξάνει, το πρόσηµο της f ( ) ελαττώνεται. Σε αντίθεση η καµπύλη του σχήµατος (β) βρίσκετε πάνω από τις εφαπτόµενες γραµµές και λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Καθώς το αυξάνει, το πρόσηµο της f ( ) αυξάνει. y y κοίλα προς τα κάτω κοίλα προς τα πάνω (α) (β) 7.4.1 Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f ( ) συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι Η συνάρτηση f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο εάν η f ( ) είναι αύξουσα στο εσωτερικό του Η συνάρτηση f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάνω ή είναι κοίλη στο εάν η f ( ) είναι φθίνουσα στο εσωτερικό του. Αφού η f ( ) είναι η παράγωγος της f ( ) έπεται ότι η f ( ) θα αυξάνεται στο α β εάν η f ( ) α, β και η f ( ) θα ανοικτό διάστηµα (, ) ελαττώνεται στο ανοικτό διάστηµα (, ) > για όλα τα ( ) f < για όλα τα ( α, β ) α β εάν η ( ). Η µελέτη µίας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται µε την βοήθεια του επόµενου θεωρήµατος που είναι άµεση συνέπεια του προηγούµενου ορισµού και του θεωρήµατος της µονοτονίας µίας συνάρτησης.

7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 11 από 7.4. Θεώρηµα Έστώ µία συνάρτηση f ( ) συνεχής στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν f ( ) > για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε η συνάρτηση f ( ) είναι κυρτή στο. Αν f ( ) < για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε η συνάρτηση f ( ) είναι κοίλη στο. 7.4. Παραδείγµατα Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω δύο συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες. 1) f ( ) = ) f ( ) = + 1 Λύση 1) = και ( ) 6 f ( ) f = Εάν <, f ( ) Εάν >, f ( ) < και η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστηµα (,) > και η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστηµα ( ) Η συµπεριφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα., +. ) = και f ( ) = 6 6 f ( ) 6 Η συνάρτηση είναι κυρτή όταν 6 6>, δηλαδή όταν > 1 και κοίλη όταν 6 6<, δηλαδή όταν < 1. Εποµένως, η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστηµα ( 1, + ) και κοίλη στο διάστηµα (,1)

7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από Η συµπεριφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Υπάρχουν όµως και σηµεία στο γράφηµα µίας συνάρτησης f ( ) στα οποία η κυρτότητά της συνάρτησης αλλάζει. Στα σηµεία αυτά θα λέµε ότι η γραφική παράσταση της f ( ) κάµπτεται. Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται σηµεία καµπής. 7.4.4 Ορισµός Έστω µία συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) αντιστρόφως και η καµπύλη της συνάρτησης ( ) τότε το σηµείο (, ( )) f παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ) και ( α β ),. Αν f είναι κυρτή στο ( α ) και κοίλη στο ( ), f έχει εφαπτόµενη στο σηµείο A(, f( )), β ή A f ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ). Οι δυο αυτές περιπτώσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. f > ή f < f > f = f = f <

7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από 7.4.4 Θεώρηµα Εάν το σηµείο (, ( ) ) A f είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f ( ) και η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε f ( ) =. Στα παραδείγµατα 7.4. το σηµείο (, ) είναι σηµείο καµπής για την 1) και το σηµείο ( 1, 1) είναι σηµείο καµπής για την ) αντίστοιχα.

7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 14 από 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Για να µπορέσουµε να σχεδιάσουµε µία συνάρτηση θα πρέπει πρώτα απ όλα να βρούµε τα µέγιστα, τα ελάχιστα και τα σηµεία καµπής που πιθανώς να υπάρχουν. Για την διαδικασία αυτή µπορούµε να χρησιµοποιούµε ένα από τα δύο ακόλουθα κριτήρια. Α) Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου Για να βρούµε τα ακρότατα µίας συνάρτησης ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Βήµα 1 ο Βρίσκουµε την f (). Βήµα ο Θέτουµε f () = και λύνουµε την ισότητα. Βήµα ο Ελέγχουµε από δεξιά και αριστερά το σηµείο. Εάν το πρόσηµο της f () είναι θετικό από αριστερά και αρνητικό από δεξιά τότε έχουµε τοπικό µέγιστο. Εάν το πρόσηµο της f () είναι αρνητικό από αριστερά και θετικό από δεξιά τότε έχουµε τοπικό ελάχιστο. Τέλος εάν το πρόσηµο της f () είναι θετικό από αριστερά και από δεξιά ή αρνητικό από αριστερά και από δεξιά τότε έχουµε σηµείο καµπής. ηλαδή, Πρόσηµο Μέγιστο Ελάχιστο Σηµείο Καµπής f () + - - + + + ή - - f () Β) Το Κριτήριο της εύτερης Παραγώγου Για να βρούµε τα ακρότατα µίας συναρτήσεις ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Βήµα 1 ο Βρίσκουµε την f () και την f ( ) της συνάρτησης. Βήµα ο Θέτουµε f () = και λύνουµε την ισότητα. Εάν : f ( ) < το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο (ma) f ( ) > το σηµείο είναι τοπικό ελάχιστο (min).

7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 15 από Βήµα ο Για τα σηµεία καµπής θέτουµε f ( ) = και λύνουµε την ισότητα. Παίρνουµε τιµές αριστερά και δεξιά του. Εάν η f ( ) αλλάζει πρόσηµο τότε έχουµε σηµείο καµπής. ηλαδή, Πρόσηµο Αριστερά του εξιά του f () + - f () _ + Σηµείωση Είναι φανερό ότι το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου µας εξασφαλίζει την εύρεση των σηµείων καµπής µιας συνάρτησης πολύ πιο εύκολα από το κριτήριο της πρώτης παραγώγου. 7.5.1 Παράδειγµα Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης y = + 1 + 7 και να δοθεί η γραφική της παράσταση. Λύση. y = 6 + 6 1 και y = 1 + 6 Άρα, y = + = + = 6 6 1 6( 1)( ) = 1 και = -. Για = 1, y = 1 + 6 = 18 > άρα τοπικό ελάχιστο. Για = -, y = 4 + 6 = 18 < άρα τοπικό µέγιστο. Άρα το σηµείο (1,) είναι ελάχιστο και το σηµείο (-,7) είναι µέγιστο. Για την εύρεση του σηµείου καµπής έχουµε : 1 y = 1 + 6 = =. -1/ -1/ Πρόσηµο -1 ή Πρόσηµο -1 d y dy - + - - d d

7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 16 από Άρα το σηµείο (-1/, 7/) είναι σηµείο καµπής. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = + 1 + 7 δίνεται στο παρακάτω σχήµα.

7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 17 από Ασκήσεις 7.5 1. Να βρεθούν τα τοπικά µέγιστα, τοπικά ελάχιστα και σηµεία καµπής των παρακάτω συναρτήσεων a) f ( ) = f) f ( ) = 4 b) f( ) = + g) 4 c) f( ) = h) f ( ) = 4 f ( ) = ( ) d) f ( ) = ( ) i) f ( ) = (+ ) e) f( ) = ( )(+ 1). Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα των παρακάτω συναρτήσεων a) b) c) d) e) f ( ) f ( ) 1 = f) 4 = g) f ( ) = + h) f ( ) 4 1 4 = + k) f ( ) = 4 f ( ) = 5 5 f( ) = ( 1) + 1 4 f( ) = ( 1) 4

7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 18 από 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Προβλήµατα που απαιτούν ελαχιστοποίηση ή µεγιστοποίηση µίας συνάρτησης µπορούν να λυθούν χρησιµοποιώντας παραγώγους. Παρακάτω θα δούµε παραδείγµατα ελαχιστοποίησης και µεγιστοποίησης και στην συνέχεια θα συνοψίσουµε τις τεχνικές που χρησιµοποιούµε µε κάποιους κανόνες. 7.5.1 Παραδείγµατα 1) Ένας παραγωγός µπορεί και πουλάει προϊόντα την εβδοµάδα στην τιµή P =.1. Το κόστος για την παραγωγή των αυτών προϊόντων είναι y = 5+ ευρώ. Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το µέγιστο δυνατό κέρδος ; Να βρεθεί το κέρδος αυτό. Λύση Τα συνολικά εβδοµαδιαία έσοδα του παραγωγού από την πώληση των προϊόντων του είναι P. ηλαδή, P =.1 =.1. ( ) Το κέρδος (Τ) του παραγωγού είναι τα έσοδά του µείον το κόστος του. ηλαδή, T p y = =.1 (5 ) = 15.1. Παραγωγίζουµε ως προς, Άρα, dt 15. d = = 15 = = 75. dt =. < (µέγιστο). d ηλαδή, ο παραγωγός θα πρέπει να παράγει 75 προϊόντα εβδοµαδιαίως για να έχει το µέγιστο κέρδος. Εποµένως το µέγιστο κέρδος του παραγωγού θα είναι T = 15(75).1(75) = 585 ευρώ. ) Ένα τετράγωνο φύλλο λαµαρίνας πρόκειται να χρησιµοποιηθεί για να κατασκευαστεί ένα ανοικτό κουτί (χωρίς καπάκι) κόβοντας µικρά τετράγωνα από κάθε γωνία και λυγίζοντας τις πλευρές του. Πόσο πρέπει να είναι το µέγεθος του τετραγώνου που θα κόψουµε από κάθε γωνία έτσι ώστε να έχει όσο το δυνατό µεγαλύτερο όγκο ; Να βρεθεί ο µέγιστος όγκος.

7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 19 από Λύση a a Έστω ο όγκος του κουτιού = y. Εποµένως, y = µήκος πλάτος ύψος = ( a ), και < < a Παραγωγίζουµε ως προς, dy d = ( a ) +..( a ).( ) = ( a )( a 6) και d d a = 4 8a = 4( ) Όταν y = τότε Για a = ή 6 = a d y = 4a < 6 d a =. Άρα είναι µέγιστο (ma). ηλαδή, για όγκος είναι, a = ο όγκος του κιβωτίου γίνεται µέγιστος. Εποµένως ο µέγιστος 6 a a 8 y = a = a 6 6 18 κυβικές µονάδες. ) Έστω µία κωνική δεξαµενή στην οποία τρέχει νερό µε σταθερή ταχύτητα κυβικών µέτρων το λεπτό. Πόσο γρήγορα θα ανεβεί το ύψος του νερού την στιγµή που το νερό έχει 6 µέτρα βάθος ;

7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα από Λύση 5m 1m y Έστω, Vt= () Ο όγκος του νερού στην δεξαµενή σε χρόνο t λεπτά. () t = Η ακτίνα σε µέτρα (m) του κύκλου, που είναι η επιφάνεια του νερού, σε χρόνο t λεπτά. yt () = Το βάθος σε µέτρα (m) του νερού της δεξαµενής σε χρόνο t λεπτά. Οι διαστάσεις της δεξαµενής είναι σταθερές καθώς και ο ρυθµός µε τον οποίον τρέχει το νερό στη δεξαµενή. Εποµένως, dv dt = m /min. dy Ζητάµε να βρούµε την παράγωγο d όταν y = 6. Από τον τύπο του όγκου ενός h κώνου V = π r µπορούµε να βρούµε την σχέση ανάµεσα στις µεταβλητές µας. Έχουµε δηλαδή, V 1 = π y Τώρα από τα όµοια τρίγωνα στο σχήµα µας έχουµε ότι 5 y = 1 ή 1 = y.

7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 1 από Εποµένως έχουµε V 1 = π y 1 Παραγωγίζοντας ως προς t και τα δύο µέλη έχουµε dv dt 1 π y 4 dy dt dy 4 dv dt π y dt = ή = dv Γνωρίζουµε όµως ότι = και ότι y = 6. Εποµένως, dt dy dt =.71 9π m /min. Στρατηγική Λύσης Προβληµάτων 1. Σχεδιάζουµε το σχήµα για το πρόβληµα µας. Προσέχουµε τι µεταβάλλεται και τι δεν µεταβάλλεται.. Σηµειώνουµε τι µας ζητείται από το πρόβληµα µας.. Ονοµάζουµε τις υπόλοιπες µεταβλητές και σταθερές. Τις εντοπίζουµε στο σχήµα µας. Βρίσκουµε τυχόν αριθµητικές σχέσεις που τις συσχετίζουν. 4. Γράφουµε τις εξισώσεις που συσχετίζουν µεταβλητές και σταθερές. 5. Αντικαθιστούµε εάν χρειάζεται και παραγωγίζουµε.

7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα από Ασκήσεις 7.6 1) Ένα σφαιρικό µπαλόνι φουσκώνεται έτσι ώστε ο όγκος του να αυξάνεται µε σταθερή ταχύτητα cm / s. Να βρεθεί το πόσο γρήγορα αυξάνεται η ακτίνα όταν ο 4 όγκος του µπαλονιού είναι 5 cm ( Όγκος σφαίρας V = π r ). ) Ένας µοχλός (Μ) βρίσκεται σε ύψος µέτρων πάνω από το έδαφος και ένα σχοινί είναι περασµένο από αυτόν. Στο ένα άκρο του σχοινιού προσδένουµε κάποιο βάρος (Β) και το άλλο άκρο του το κρατά κάποιος άνθρωπος. Σε µία δεδοµένη στιγµή η απόσταση ( ) του ανθρώπου (A) από την προβολή (Ο) του µοχλού στο έδαφος ισούται µε 15 µέτρα και ο άνθρωπος αποµακρύνεται από τον µοχλό. Ο άνθρωπος κρατά το σχοινί σε ύψος µέτρων πάνω από το έδαφος και περπατά σε ευθεία γραµµή και µε ταχύτητα 6 m/ s. Αν το µήκος του σχοινιού είναι 45 µέτρα, πόσο γρήγορα υψώνεται το βάρος στην δεδοµένη αυτή στιγµή ; ) Το µήκος των πλευρών ενός φύλλου αλουµινίου είναι 8 cm και cm αντίστοιχα. Ένα τετράγωνο, πλευράς, κόβεται από κάθε γωνία του φύλλου αυτού και από το υπόλοιπο κοµµάτι φτιάχνουµε ένα ανοικτό κουτί. (α) Να δείξετε ότι ο όγκος του κουτιού δίνετε από την σχέση V = 4 + 4 cm. (β) Να βρεθεί η τιµή του για την οποία το κουτί έχει το µέγιστο όγκο και να βρεθεί η τιµή του. 4) Μία µη-οµοιόµορφη µεταλλική αλυσίδα κρέµεται µεταξύ δύο τοίχων. Το ύψος της αλυσίδας από το έδαφος δίνεται από τον τύπο h ( ) = e + e,, όπου είναι η απόσταση στο έδαφος µεταξύ των δύο τοίχων. Πόσο κοντά στο έδαφος βρίσκεται η αλυσίδα ; 5) Το τελικό κόστος (C) σε ευρώ µίας εταιρίας, για την κατασκευή τεµαχίων κάποιου συγκεκριµένου είδους δίνεται από την σχέση C = 6 +, 1, ενώ τα έσοδα (R) από την πώληση αυτών των τεµαχίων δίνεται από την σχέση R = (1 ), 1. (α) Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα και των δύο συναρτήσεων στους ίδιους καρτεσιανούς άξονες. (β) Να βρεθούν οι τιµές του που ικανοποιούν και τις δύο συναρτήσεις. (γ) Για ποίες τιµές του η εταιρία θα έχει µέγιστο κέρδος ; (δ) Να βρεθεί σχέση για το κέρδος (P) που θα έχει η εταιρία µετά την κατασκευή τεµαχίων και να βρεθεί το µέγιστο κέρδος.

7.7 Το Γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από 7.7 Το Γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής Το γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής ή το δεύτερο Θεώρηµα Μέσης Τιµής όπως αλλιώς ονοµάζεται συνδέει τις τιµές δύο συναρτήσεων µε τις τιµές των παραγώγων τους. Η ιδιότητα αυτή αποτελεί το κλειδί στον κανόνα L Hospital που θα εξετάσουµε στην επόµενη παράγραφο (7.8). 7.7.1 Θεώρηµα Εάν οι συναρτήσεις f και g (i) είναι συνεχείς στο [ α, β ] (ii) είναι παραγωγίσιµες στο ( α, β ) (iii) οι f και g δεν έχουν ρίζες στο ( α, β ) και (iv) g( α) g( β ) τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f( β ) f( α) f ( ξ) = g( β ) g( α) g ( ξ) Απόδειξη Πρώτα απ όλα g( β ) g( α) διότι διαφορετικά από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.1.) θα είχαµε ότι g ( ) = για κάποιο σηµείο ( α, β ). Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβεί διότι g ( ) α, β. για κάποιο σηµείο ( ) Για δική µας ευκολία θα χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση [ β α ] [ β α ] F( ) = f( ) f( ) g( ) g( ) g( ) f( ) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιµη εκεί που είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες οι f ( ) και g. ( ) Ακόµα F( β ) = F( α) =. Εποµένως από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.1.) υπάρχει ένας αριθµός ξ ανάµεσα στο α και στο β για τον οποίο F ( ξ ) =. ηλαδή, ή [ ] [ ] F ( ξ) = f( β) f( α) g ( ξ) g( β) g( α) f ( ξ) = f ( ξ ) f( β) f( α) = g ( ξ ) g( β) g( α)

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 4 από 7.8 Κανόνας L Hospital Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε τον κανόνα L Hospital ο οποίος και µας παρέχει ένα σαφή σύνδεσµο ανάµεσα στις παραγώγους και στα όρια. 7.8.1 Θεώρηµα (Κανόνας L Hospital) Εάν οι συναρτήσεις f ( ) και g ( ) είναι (i) (ii) (iii) (iv) πλευρικά συνεχείς στο διάστηµα [α,α+h] παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α,α+h) f(α) = g(α) = και υπάρχει το πλευρικό όριο τότε υπάρχει το πλευρικό όριο f ( ) lim = A. g ( + α ) f ( ) lim = A. g( + α ) Απόδειξη Υποθέτουµε ότι το βρίσκεται δεξιά του α. Το g ( ) και εφαρµόζοντας το γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.7.1) στο διάστηµα [ α, ] θα υπάρχει ένας αριθµός ξ ανάµεσα στο α και στο τέτοιος ώστε Αλλά το f( α) = g( α) = έτσι ώστε f ( ξ ) f( ) f( α) = g ( ξ ) g( ) g( α) f ( ξ ) f( ) = g ( ξ ) g( ) Καθώς το πλησιάζει στο α, το ξ πλησιάζει στο α, επειδή βρίσκεται µεταξύ του και του α. Άρα, f ( ) f( ξ ) f ( ) lim = lim = lim + + + α g ( ) ξ α g( ξ ) α g ( ) Σηµείωση Αυτό αποδεικνύει τον κανόνα L Hospital για την περίπτωση κατά την οποία το πλησιάζει τo α από τα δεξιά( α + ). Η περίπτωση το να πλησιάζει το α από τα αριστερά ( α ) αποδεικνύεται µε εφαρµογή του γενικευµένου Θεωρήµατος Μέσης Τιµής (7.7.1) στο κλειστό διάστηµα [, α ], < α. Στην ουσία ο κανόνας L Hospital µας βοηθάει να αντικαταστήσουµε ένα πρόβληµα ορίων µε κάποιο άλλο πολύ πιο απλό. Για να εφαρµόσουµε τον κανόνα L Hospital θα πρέπει να ακολουθήσουµε τα παρακάτω βήµατα :

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 5 από Βήµα 1 ο f ( ) Ελέγχουµε εάν το lim είναι σε απροσδιόριστη µορφή. Εάν δεν είναι g ( ) τότε ο κανόνας L Hospital δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί. Βήµα ο Βήµα ο f ( ) lim g ( ) Παραγωγίζουµε κάθε συνάρτηση (f και g) ξεχωριστά. f ( ) Βρίσκουµε το όριο lim. Εάν το όριο ορίζεται τότε ισούται µε το g ( ) διαφορετικά επαναλαµβάνουµε τα βήµατα 1, και. Ο κανόνας L Hospital εφαρµόζεται στις ακόλουθες απροσδιόριστες µορφές: /, 1 ± / ±,.( ± ),,,, 1. Απροσδιόριστη Μορφή / 7.8. Παραδείγµατα 1) 4 lim = lim = 4. 1 1+ 1 ( /) ) lim = lim 1 (1 ) 1/ + 1/ = lim / ( 1/4)(1 + ) 1 = 8 Απροσδιόριστη Μορφή / 7.8. Παραδείγµατα 1) tan( ) lim π / 1 + tan( ) = sec ( ) π / sec ( ) lim = 1 ) ln( ) lim 1/ sin( ) = 1/ sin( ) lim tan( ) = lim lim tan( ) = 1() = ( 1/sin( ))

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 6 από Απροσδιόριστη Μορφή 7.8.4 Παραδείγµατα 1) lim[ ln( ) ] Μετατρέπουµε το παράδειγµα αυτό από την µορφή στην µορφή /. Άρα lim ln( ) [ ] = ln( ) lim 1/ ( /) 1/ lim = lim( ) =. 1/ = ) lim [(1 tan( )) sec( ) ] π /4 Μετατρέπουµε το παράδειγµα αυτό από την µορφή στην µορφή /. Άρα lim (1 tan( )) sec( ) π [ ] /4 1 tan( ) 1 tan( ) = lim = lim π /41/ sec( ) π /4 cos( ) ( /) = sec = lim = = 1. π /4 sin( ) Απροσδιόριστη Μορφή Τα προβλήµατα των ορίων όπως lim[ f ( ) g( )] ή lim[ f ( ) + g( )] µας οδηγούν σε µία από τις ακόλουθες κατηγορίες : ( + ) ( + ), ( ) ( ), ( + ) + ( ), ( ) + ( + ). ηλαδή, ένας από τους όρους µας σπρώχνει σε θετική κατεύθυνση και ο άλλος σε αρνητική κατεύθυνση. 7.8.5 Παραδείγµατα 1) 1 1 lim sin( ) ( ) sin( ) = lim = sin( ) lim sin( ) cos( ) 1 cos( ) = + sin( ) = lim = = cos( ) sin( ) ) lim[cot( ) ln( )] + Εδώ το lim cot( ) =+ ενώ το + lim ln( ) =. Άρα έχουµε ένα πρόβληµα της + µορφής ( + ) ( ). Το πρόβληµα αυτό δεν είναι απροσδιόριστης µορφής. Το πρώτο όριο τείνει στο και το δεύτερο όριο, λόγο της αφαίρεσης, επίσης στο. Άρα

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 7 από lim[cot( ) ln( )] =+. + Οι απροσδιόριστες µορφές εκθετικού τύπου τον λογάριθµο των εκφράσεων.,, 1 αντιµετωπίζονται παίρνοντας Απροσδιόριστη Μορφή 7.8.6 Παράδειγµα lim sin( ) Έστω y sin( ) =. Παίρνουµε λογάριθµους και από τα δύο µέλη sin( ) ( ) ln( y) = ln = sin( ) ln( ). Άρα το ( ) ln( ) lim(ln( y) = lim[sin( ) ln( )] = lim 1/sin( ) = 1/ lim tan( ) = ( 1/sin( )) sin( ) = lim lim tan( ) = 1() =. Το ln( y) όταν το. Από την ιδιότητα των λογαρίθµων: a a loga = log a = έχουµε ότι e e ή y 1 όταν το. Εποµένως ln y sin( ) lim 1 =. Απροσδιόριστη Μορφή 7.8.7 Παράδειγµα lim 1/ Εδώ θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη ιδιότητα των λογαρίθµων, loga = log a = a. a Άρα, 1 ln( ).ln( ) lim 1/ lim = lim e = e = e = 1.

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 8 από Απροσδιόριστη Μορφή 1 1/ 7.8.8 Παράδειγµα Να δείξετε ότι το lim (1 + ) = e Το lim(1 + ) = 1 και το 1 lim =. Άρα έχουµε 1. Έστω y 1/ = ( 1+ ). Παίρνουµε λογάριθµους και από τα δύο µέλη 1 / 1 ln(1 + ) ln y = ln(1 + ) = ln(1 + ) =. Άρα το ln(1 + ) lim(ln y) = lim = 1/(1 + ) lim = 1 1 Το ln y 1 όταν το. Από την συνέχεια της εκθετικής συνάρτησης έχουµε ότι ln 1 e y e ή e y όταν το. Εποµένως, 1/ lim (1 + ) = e.

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 9 από Ασκήσεις 7.8 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια χρησιµοποιώντας τον κανόνα L Hospital. 1) ln( ) lim + 11) 1 lim 1+ + ) cot( ) lim+ 1) lim( ) 1 tan( π / ) ) 4) ln( ) lim ln( ) + + lim + e 1 1) lim (sin( )) 14) + (1/ ) π /ln( ) lim (tan( )) cos( ) 5) lim. e + 15) lim (1 + ) + 1/ln( ) 6) lim.sin( π / ) 7) + sin(/ ) lim e ( 1) + 1 16) lim θ 1 cos sin θ θ 17) lim ( ) + + 8) lim 1 + 18) lim ln( + 1) + 9) 1/ + 19) lim( e ) cot( ) lim+ cot( ) 1 1) lim 1+ + cos( αθ) cos( βθ) ) lim θ θ

7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα από 7.9 Λύσεις Ασκήσεων Ασκήσεις 7.1 π π π 1) i) 1, ii) ή, iii), iv) δεν ισχύει 6 π ) i), ii), iii) ξ (, 1) και ξ = 1 4 Ασκήσεις 7.5 a) - ελάχιστο, µέγιστο, b) 4 ελάχιστο, -4 µέγιστο, c) - µέγιστο, d) ελάχιστο, 49 4 µέγιστο, e) ελάχιστο, f) σηµείο καµπής, g) ελάχιστο, h) -1 ελάχιστο, 8 µέγιστο, i) ελάχιστο, 5 µέγιστο και µέγιστο. 16 Ασκήσεις 7.6 1). cm / s, ) m/ s, ) (β) = cm, V = cm, 4) 1.89 m 5 7 5) (β) 8.8 και 71.6, (γ) 8.8 < < 71.6, (δ) P= 8 6, 1 ευρώ. Ασκήσεις 7.8 1), ), ) +, 4), 5), 6) π, 7), 8) e, 9) / 1) e π 1, 1) e, 14) 1, 15) e, 16), 17) 1, 18) +, 19), ) β α e, 1) 1, 11) +,.