Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 355-362 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΑΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ Η ΝΟΡΜΑ ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΓΙΑ ΥΓΙΕΙΣ ΕΤΑΙΡΙΕΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΦΕΡΕΓΓΥΟΤΗΤΑΣ ΙΙ Γεώργιος Πιτσέλης και Ηλίας Γκανέτσος Τμήμα Στατιστικής & Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς ptsels@unp.gr και gkanets@unp.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή επικεντρωνόμαστε στην εκτίμηση του κεφαλαίου που πρέπει να διαθέτει μία ασφαλιστική εταιρία έτσι ώστε να μπορεί να αντιμετωπίσει τα ελλείμματα και να αποφύγει το ενδεχόμενο της πτώχευσης. Εφαρμόζουμε σε δεδομένα που πήραμε από την εθνική βάση δεδομένων για τις ασφαλιστικές εταιρίες το διαστρωματικό μοντέλο παλινδρόμησης για την εκτίμηση του ποσού των Ιδίων Κεφαλαίων που πρέπει να διαθέτει μία εταιρεία βάσει άλλων οικονομικών χαρακτηριστικών. Τέλος, με τη βοήθεια της μεθόδου της Παλινδρόμησης Ποσοστιαίων Σημείων η έρευνα επεκτείνεται στη μελέτη του τρόπου που επηρεάζουν συγκεκριμένα οικονομικά χαρακτηριστικά μίας εταιρίας τα Ίδια Κεφάλαιά της, όχι στη μέση τους τιμή αλλά σε όλο το εύρος της κατανομής τους.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η φερεγγυότητα μίας εταιρίας σχετίζεται με την ικανότητά της να ανταποκρίνεται στις υποχρεώσεις και τα χρέη της. Η έννοια της φερεγγυότητας των ασφαλιστικών εταιριών την τελευταία δεκαετία είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και δημοφιλή θέματα της ασφαλιστικής αγοράς. Πολλές είναι οι συζητήσεις που γίνονται σχετικά με την επάρκεια του κεφαλαίου που πρέπει να έχει μία εταιρία. Οι εταιρίες προσπαθούν να βρουν τεχνικές και στρατηγικές ώστε να μπορούν να αντιμετωπίσουν τα ελλείμματα και να αποφύγουν το ενδεχόμενο της πτώχευσης. Στην εργασία αυτή σκοπός μας είναι η εκτίμηση ενός κατάλληλου ποσού Ιδίων Κεφαλαίων που πρέπει να έχει μία εταιρία έτσι ώστε να ανταποκρίνεται σε όλες τις πιθανές απαιτήσεις. Η Ευρωπαϊκή Ένωση επεξεργάζεται ένα σύστημα επίβλεψης των ασφαλιστικών εταιριών την Φερεγγυότητα II (Solvency II), βασισμένη σε τρεις βασικούς πυλώνες. Ο πρώτος πυλώνας αφορά ένα βασικό επίπεδο φερεγγυότητας και ένα ελάχιστο κεφάλαιο που χρειάζεται μία εταιρία έτσι ώστε να λειτουργεί με ασφάλεια, ο δεύτερος πυλώνας περιλαμβάνει τις αρχές του εσωτερικού ελέγχου και της διοίκησης του κινδύνου της ασφάλειας που αναλαμβάνεται και ο τρίτος πυλώνας ενσωματώνει τους κανόνες διαφάνειας σύμφωνα με το πλαίσιο της Φερεγγυότητας II [βλ. Lnder & Ronkanen (2004), CEIOPS (2007)]. - 355 -
Σε πρώτη ανάλυση θα χρησιμοποιήσουμε ως εργαλείο τα διαστρωματικά μοντέλα Παλινδρόμησης για την εκτίμηση του ποσού των Ιδίων Κεφαλαίων που πρέπει να διαθέτει μία εταιρεία. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της Παλινδρόμησης Ποσοστιαίων Σημείων για να μελετήσουμε όλο το εύρος της κατανομής των Ιδίων Κεφαλαίων. Δηλαδή να βγάλουμε συμπεράσματα ξεχωριστά για τις εταιρίες με χαμηλά, μεσαία και υψηλά Ίδια Κεφάλαια. Τα ποσοστιαία σημεία παίζουν σημαντικό ρόλο στη μελέτη σχετικά με τις ασφαλιστικές εταιρίες. Αξιοσημείωτη είναι η αυστραλιανή εποπτική αρχή για την εκτίμηση των οικονομικών υποχρεώσεων των γενικών ασφαλειών. Η αρχή αυτή απαιτεί ένα θεμελιωμένο περιθώριο κινδύνου «σε μία βάση η οποία σκοπεύει να διασφαλίσει τις ασφαλιστικές υποχρεώσεις του ασφαλιστή σε ένα επαρκές και δεδομένο επίπεδο αυτό το επίπεδο είναι το 75%». Δεδομένου ότι σήμερα, οι εταιρίες γενικών ασφαλειών αναγκάζονται να εκτιμήσουν ένα ποσοστό της τάξης του 75% της κατανομής των οφειλόμενων χρηματικών απαιτήσεων προκειμένου να καταγράψουν τον ισολογισμό τους, γίνεται αναγκαίο να ληφθούν υπόψη οι συνέπειες των πιθανών παραγόντων, οι οποίοι προκαλούν κίνδυνο, σε διάφορα ποσοστιαία σημεία της κατανομής των οφειλόμενων απαιτήσεων. 2. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕ ΔΙΑΣΤΡΩΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗ Το μοντέλο αυτό συνδέει τις χρονοσειρές με τα διαστρωματικά δεδομένα. Μία παρουσίαση της θεωρίας γύρω από το μοντέλο αυτό μπορεί να βρει κανείς μεταξύ άλλων στις εργασίες των Swamy (97), Hsao (974,986) και Greene (2000). Το μοντέλο είναι το παρακάτω: p y = β x + u = ( β + ε ) x + u, () t kt kt t k k kt t k= k= όπου =, n οι διαστρωματικές μονάδες, t=, T οι χρονικές περίοδοι, εξαρτημένη μεταβλητή του -υποκειμένου τη χρονική περίοδο t, p η η τιμή της k- επεξηγηματικής μεταβλητής του -υποκειμένου τη χρονική περίοδο t και τα β δείχνουν τη μέση απόκριση του y για μία μοναδιαία αλλαγή του x. Έχουμε kt t λοιπόν n διαστρωματικές μονάδες με Τ παρατηρήσεις για κάθε μονάδα. 2 Τα σφάλματα u t είναι ανεξάρτητα με E ( u t ) = 0 και V ( u t ) = σ. Τα β k είναι τυχαία με μέση τιμή β k και διακύμανση σ kk, που σημαίνει ότι E( ε k ) = 0 και V ( ε k ) = σ kk. Επίσης Cov( ε k, ε kl ) = 0 για l, l=,,n. Τα ε k και u t είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Το μοντέλο () μπορεί να γραφεί και σε μορφή πινάκων για την -μονάδα ως εξής: Y = X β+ ( u + X ε ) = X β+ w (2) όπου = ( y,..., y )',, Y T x kt ' ' ' β = ( β,..., β p )', X = ( X,..., X ) ένας T p T kt y t πίνακας και ( ) ' w = w,..., w. Έτσι E ( w ) = 0 και T - 356 -
2 ' σ + ' I X Σ X αν l = Ω = E w w = 0 αν l, όπου Σ είναι ένας διαγώνιος πίνακας με στοιχεία σ,..., σ. kk Σύμφωνα με τον Greene (2000) ο εκτιμητής γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων του β γράφεται: n = (3) βˆ = ˆ Λ β, (4) που είναι ένας πίνακας με σταθμισμένους συνδυασμούς των κλασικών εκτιμητών ελαχίστων τετραγώνων των β. Ο πίνακας των βαρών είναι ο: έτσι ώστε βˆ n 2 2 σ l l l σ ' ' = + + l= Λ Σ X X Σ XX n 2 ' Λ = I και σ X X ο πίνακας συνδιακύμανσης των = ˆ ' = ( XX) ' β, β και (5) XY, (6) οι κλασσικοί εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων. Ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης του βˆ δίνεται από τη σχέση [βλ. Swamy (97) για λεπτομέρειες και εκτίμηση παραμέτρων]: Cov ( ) n ( ˆ 2 ' ) = + σ l ( l l) β Σ Χ Χ (7) l= 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ (ΔΙΑΣΤΡΩΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ) Στην εφαρμογή αυτή η ανάλυση βασίστηκε σε δεδομένα 3 φερέγγυων εταιριών για τα έτη 996 έως και 2002, δηλαδή 27 παρατηρήσεις, [βλ. Ptsels (2006, 2007)]. Οι μεταβλητές επιλέχθηκαν μέσω τεχνικών επιλογής βέλτιστου μοντέλου (Stepwse Analyss) και είναι οι εξής: OF: Ίδια Κεφάλαια, TC: Συνολικές Απαιτήσεις, TA: Συνολικά Περιουσιακά Στοιχεία, CR: Τρέχων κίνδυνος (Current Rsk), OC: Εκκρεμείς Απαιτήσεις, TP: Συνολικές Προβλέψεις (Total Provsons), L: Χρέη (Labltes), I: Έσοδα (Incomng), PC: Πληρωμένες Απαιτήσεις (Pad Clams), EX: Έξοδα (Expenses). Σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τον τρόπο που επηρεάζουν συγκεκριμένα οικονομικά χαρακτηριστικά μίας εταιρίας τα Ίδια Κεφάλαιά της στη μέση τους τιμή κάθε μία από τις χρονιές αυτές. Επομένως θα εφαρμόσουμε το διαστρωματικό μοντέλο () με ανεξάρτητες μεταβλητές τις TC, TA, CR, OC, TP, L, I, PC, EX και εξαρτημένη την OF: - 357 -
OF j= j β 0 + βtctcj + β TA TA + β CR CR j + β OC OC j + β TP TP j + β L L j + β I I j + β PC PC j + β EX + w. (8) EX j j Παρακάτω έχουμε τον πίνακα με κάποια περιγραφικά στατιστικά των 0 μεταβλητών: Πίνακας. Περιγραφικά στατιστικά Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τις εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων (LS) και αυτές των γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (GLS) με βάση το μοντέλο (8): Πίνακας 2. Εκτίμηση παραμέτρων μοντέλου (8) για κάθε χρονιά ξεχωριστά Βάσει του συντελεστή β ˆ, συμπεραίνουμε ότι η μέση τιμή της OF (Ίδια Κεφαλαία) αναμένεται να αυξηθεί κατά 0.969 αν αυξήσουμε την τιμή της μεταβλητής ΤΑ κατά και διατηρώνταςτις υπόλοιπες επεξηγηματικές μεταβλητές σταθερές. Επίσης η μέση τιμή της OF αναμένεται να αυξηθεί κατά 0.6 αν αυξήσουμε την τιμή της PC κατά. Ομοίως η μέση τιμή της OF αναμένεται να αυξηθεί κατά 0.065 αν αυξήσουμε την τιμή της OC κατά και κατά 0.046 αν αυξήσουμε την τιμή της I κατά, διατηρώντας όμως τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές σταθερές. Με το ίδιο σκεπτικό η μέση - 358 -
τιμή της OF αναμένεται να μειωθεί κατά 0.942, 0.946, 0.348, 0.0, 0.049 αν αυξήσουμε αντίστοιχα την τιμή των L, TP, CR, TC, EX κατά, διατηρώντας πάντα τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές σταθερές. 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ Όπως είναι γνωστό, ένα συνηθισμένο μοντέλο παλινδρόμησης μοντελοποιεί τη σχέση μιας ή περισσότερων επεξηγηματικών μεταβλητών Χ με τη δεσμευμένη μέση τιμή μιας εξαρτημένης μεταβλητής Υ, δοθέντος Χ=x. Σε πολλές περιπτώσεις, ο υποπληθυσμός δεν έχει τόσο ενδιαφέρον να μελετηθεί στη μέση συμπεριφορά του και προκύπτει η ανάγκη να βρούμε τρόπους να μοντελοποιήσουμε ως προς τις ακραίες του τιμές. Αντί λοιπόν να εξηγούμε τη μέση συμπεριφορά της Υ δοθέντος της Χ, θα μπορούσαμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της Υ δοθέντος της Χ σε όλο το εύρος της κατανομής της πρώτης. Την απάντηση στα παραπάνω ζητήματα έρχεται να δώσει η Παλινδρόμηση Ποσοστιαίων Σημείων (ΠΠΣ) [βλ. Koenker and Basset (978)]. Η ΠΠΣ είναι μια επέκταση της κλασικής μεθόδου. Όπως η Κλασική Γραμμική Παλινδρόμηση (ΚΓΠ) χρησιμοποιείται για να εκτιμούμε μοντέλα για δεσμευμένες συναρτήσεις της μέσης τιμής, έτσι και η ΠΠΣ διαθέτει έναν άλλο μηχανισμό για εκτίμηση μοντέλων υπό συνθήκη συναρτήσεων της διαμέσου, καθώς και όλου του εύρους των ποσοστιαίων σημείων της κατανομής. Έτσι, η στατιστική αυτή τεχνική συμπληρώνει την ΚΓΠ, προσφέροντας μια πιο πλήρη στατιστική ανάλυση στοχαστικών σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών Έστω τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση κατανομής: F( x) = Pr( X x). (9) Το τ-οστό ποσοστιαίο σημείο, για 0 < τ <, ορίζεται ως: Q ( τ ) = nf{ x : F ( X ) τ}, (0) όπου Χ είναι μια μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής την (9). Έστω τώρα ( y x ), =,2,,n, ένα δείγμα από κάποιον πληθυσμό, όπου οι, τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που μας ενδιαφέρει και το διάνυσμα των επεξηγηματικών μεταβλητών. Το γενικό μοντέλο ΠΠΣ παίρνει τη γραμμική μορφή: T y = a τ + x β τ + u τ () για =,2,,n, όπου ( ) τ a, ( ) ( ) ( ) ( ), β τ είναι kx διανύσματα αντίστοιχα σταθερών όρων x και συντελεστών προς εκτίμηση, είναι το διάνυσμα στήλη, που είναι η αντιμετάθεση της -οστής γραμμής του nxk πίνακα Χ των επεξηγηματικών μεταβλητών, είναι η -οστή παρατήρηση της εξαρτημένης μεταβλητής και u τ y είναι ένας άγνωστος όρος σφάλματος. Το τ-οστό δεσμευμένο ποσοστιαίο σημείο της y δοθέντος της x μπορεί να γραφεί ως εξής: T Q y x = a τ + x β τ (2) τ ( ) ( ) ( ). x y ( ) - 359 -
5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ (ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΠΣ) Σκοπός μας πλέον είναι να μελετήσουμε τον τρόπο που επηρεάζουν συγκεκριμένα οικονομικά χαρακτηριστικά μίας εταιρίας τα Ίδια Κεφάλαιά της, όχι στη μέση τους τιμή αλλά σε όλο το εύρος της κατανομής τους, δηλαδή για εταιρίες με χαμηλά, μεσαία και υψηλά Ίδια Κεφάλαια [βλ. Γκανέτσος (2007)]. Επομένως θα εφαρμόσουμε την ΠΠΣ με ανεξάρτητες μεταβλητές τις TC, TA, CR, OC, TP, L, I, PC, EX και εξαρτημένη την OF. Το πολλαπλό μοντέλο ΠΠΣ που θα προσαρμόσουμε για το τ-ποσοστιαίο σημείο είναι το παρακάτω: Qτ ( OF TC, TA, CR, OC, TP, L, I, PC, EX) = β0( τ) + βtc( τ) TC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) TA β ( τ) I β ( τ) PC β ( τ) EX u ( ) + β τ CR + β τ TA + β τ OC + β τ TP + β τ L CR OC TP L + + + + τ. (3) I PC EX Με τη βοήθεια του στατιστικού πακέτου της R, εφαρμόζουμε την ΠΠΣ για τα ποσοστιαία σημεία με τ = 0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95 και παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα με αποτελέσματα των παλινδρομήσεων αυτών. Οι στατιστικά σημαντικές εκτιμήσεις συνοδεύονται με * : Πίνακας 3. Εκτίμηση παραμέτρων μοντέλου (3) για τ= 0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95 Στον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι οι περισσότερες εκτιμήσεις είναι στατιστικά σημαντικές, κάτι που συμβαίνει κυρίως για τα χαμηλά ποσοστιαία σημεία, δηλαδή οι εταιρίες με χαμηλά Ίδια Κεφάλαια δείχνουν γενικά να επηρεάζονται περισσότερο από την πλειοψηφία των οικονομικών χαρακτηριστικών του ισολογισμού τους. Επίσης βλέπουμε ότι οι εκτιμήσεις στα διάφορα ποσοστιαία σημεία για τη μεταβλητή OC είναι στατιστικά μη σημαντικές, επομένως τα Ίδια Κεφάλαια δεν επηρεάζονται από τις Εκκρεμείς Απαιτήσεις είτε πρόκειται για εταιρίες με χαμηλά, μεσαία ή υψηλά Ίδια Κεφάλαια. Μια πιο πλήρη εικόνα μας δίνει το πιο κάτω Σχήμα. Τα διαγράμματα που περιέχει μας δείχνουν πως συμπεριφέρεται όλο το φάσμα των ποσοστιαίων σημείων της κατανομής των Ιδίων Κεφαλαίων. Σε αυτά παριστάνονται οι εκτιμήσεις της ΠΠΣ για - 360 -
τους συντελεστές του μοντέλου (3) μαζί με τα 95% δ.ε. Η οριζόντια γραμμή μας δείχνει που βρίσκεται η εκτίμηση της ΚΓΠ για τη μέση τιμή της OF. Σχολιάζοντας ενδεικτικά κάποια διαγράμματα του σχήματος αυτού θα λέγαμε ότι στο δεύτερο διάγραμμα βλέπουμε ότι στα χαμηλά ποσοστιαία της σημεία η OF επηρεάζεται σαφώς περισσότερο από ότι στα υψηλά, καθώς οι εκτιμήσεις σε αυτά τα σημεία της κατανομής είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερες. Επομένως όσο χαμηλότερα Ίδια Κεφάλαια έχει μία εταιρία τόσο περισσότερο θα επηρεάζεται από τις Συνολικές Απαιτήσεις της. Στο τέταρτο διάγραμμα φαίνεται ότι η επιρροή του Τρέχοντος Κινδύνου είναι περισσότερο έντονη στις εταιρίες με χαμηλά Ίδια Κεφάλαια παρά σε αυτές με υψηλά, στις οποίες φαίνεται να μην επηρεάζονται τα Ίδια Κεφάλαιά τους από τον Τρέχοντα κίνδυνο. Στο έκτο διάγραμμα παρατηρούμε οι εταιρίες με υψηλά Ίδια Κεφάλαια επηρεάζονται σαφώς περισσότερο από τις Συνολικές Προβλέψεις τους, αφού οι αντίστοιχες εκτιμήσεις είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες των εταιριών με χαμηλά Ίδια Κεφάλαια. Στο όγδοο διάγραμμα παρατηρούμε ότι μόνο οι εταιρίες με χαμηλά Ίδια Κεφάλαια επηρεάζονται από τα Έσοδά τους καθώς στο συγκεκριμένο διάγραμμα από το 0.35- ποσοστιαίο σημείο και μετά το 0 περιέχεται στο 95% δ.ε.. Τέλος στο δέκατο διάγραμμα παρατηρούμε ότι η επιρροή των Εξόδων στα Ίδια Κεφάλαια, υπάρχει μόνο στα πολύ χαμηλά ποσοστιαία σημεία της κατανομής της OF, καθώς από το 0.25-ποσοστιαίο σημείο και μετά το 0 περιέχεται στο 95% δ.ε.. Άρα μόνο οι εταιρίες με πολύ χαμηλά Ίδια Κεφάλαια επηρεάζονται από τα Έξοδά τους. Εκτός από τα παραπάνω συμπεράσματα, από τα διαγράμματα του σχήματος διαπιστώνουμε και την ελλιπή εικόνα που μας δίνει η ΚΓΠ. Στην πλειοψηφία των διαγραμμάτων το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση επίδραση δεν είναι αντιπροσωπευτικό. Σχήμα. Παλινδρόμηση Ποσοστιαίων Σημείων για τα δεδομένα των ασφαλιστικών. - 36 -
ABSTRACT In the present paper we focus on the estmaton of the captal an nsurance company should hold n order to manage losses and avod nsolvences. Cross secton regresson model has been appled n data provded by the natonal database of nsurance companes so as to estmate the amount of Own Funds an nsurance company should hold, gven other fnancal characterstcs. Fnally, usng quantle regresson we go further to observe the way that these certan economcal characterstcs affect Own Funds not only n ts mean but n the whole range of ts dstrbuton. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Australan Prudental Regulaton Authorty (APRA). (200). General Insurance Reform Act. CEIOPS (2007), avalable at www.ceops.org Γκανέτσος Η. (2007). Μικτά μοντέλα & Παλινδρόμηση Ποσοστιαίων Σημείων. Διπλωματική εργασία στα πλαίσια του Π.Μ.Σ. «Εφαρμοσμένη Στατιστική» του Τμήματος Στατιστικής & Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς. Greene, W. (2000). Econometrc Analyss, Macmllan Publshng Company. Hsao, C. (986). Statstcal nference for a model wth both random cross-sectonal and tme effects, Internatonal Economc revew, 5, 2-30. Hsao, C. (974). Analyss of panel data, Econometrc socety monographs. Koenker, R. (2005). Quantle Regresson, Economc socety monographs, Cambrdge. Koenker, R. and Hallock, K.F. (200). Quantle Regresson. Journal of Economc Perspectves, 5, 43-56. Koenker, R. and Basset, G. (978). Regresson Quantles. Econometrca, 46, 33-50. Lnder, U. and Ronkanen, V. (2004). Solvency II towards a new nsurance supervsory system n EU. Scandnavan actuaral Journal, 6, 462-474. Ptsels, G. (2006). Solvency supervson, regulatons and nsolvency predcton: the case of Greece. Presented n Internatonal Congress Euro2006 on Operaton Research, Reykjavk, Iceland. Ptsels, G. (2007). Rsk based captal, supervson of solvency and cross-secton Effect models. Presented n Internatonal Congress IME 2006, Leuven, Belgum. Swamy, P. (97). Statstcal nference n random coeffcent regresson Models. Berln-Hedelberg-New York: Sprnger-Verlag. - 362 -