ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια αν για κάθε ισχύει και Aκαι f ) f ) Α Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y' y. Παράδειγµα: Η f ) είναι άρτια γιατί έχει πεδίο ορισµού το R και για κάθε R ισχύει R f ) α, α > και f ) ) f ). Ορισµός: Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται περιττή αν για κάθε ισχύει και Aκαι f ) f ) Α Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο, ). Παράδειγµα: Η f ) είναι περιττή γιατί έχει πεδίο ορισµού το Rκαι για κάθε Rισχύει R και f ) ) f ). f ) α, α > 7
Μονοτονία γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα Ορισµός: Μια συνάρτηση fλέγεται γνησίως αύξουσα ) σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε f ) < f )., ισχύει αν < τότε Παράδειγµα: Η f ) είναι γνησίως αύξουσα γιατί: < < f ) < f ) Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα ) σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε f ) > f )., ισχύει αν < τότε Παράδειγµα: Η g ) + είναι γνησίως φθίνουσα γιατί: < > + >+ g ) > g ) Σχόλιο: Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως µονότονη. 8
Παρατηρήσεις. Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα), η γραφική της παράσταση «ανεβαίνει» «κατεβαίνει») όταν προχωρούµε από αριστερά προς τα δεξιά.. Μπορούµε να εξετάσουµε την µονοτονία µιας συνάρτησης χρησιµοποιώντας το f ) f ) λόγο µεταβολής : λ. Αν λ > τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Αν λ < τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Αν λ τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Εµείς στα παραδείγµατα που θα δώσουµε θα θεωρούµε ότι < και > παίρνοντας τη διαφορά f ) f ) θα καταλήγουµε στη µορφή λ ) που θα εξαρτάται από την ποσότητα λ. 9
Ακρότατα Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης) Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει ελάχιστο στο o, o Aόταν για κάθε του πεδίου ορισµού της ισχύει f ) f ). o Παράδειγµα: Η f ) + έχει ελάχιστο γιατί ισχύει R + f ) Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο oτο f o ). Άρα, f ) f ) R, δηλαδή έχει o o o ελάχιστο στο, ). Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο o, o Aόταν για κάθε του πεδίου ορισµού της ισχύει f ) f ). o Παράδειγµα: Η f ) έχει µέγιστο γιατί ισχύει R f ). Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο oτο f o ) o. Άρα, f ) f ) R, δηλαδή έχει µέγιστο στο, ). o 4
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν θέλουµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση κάνουµε διαδοχικά τα παρακάτω. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της. Εξετάζουµε αν είναι άρτια ή περιττή. Εξετάζουµε τη µονοτονία της 4. Εξετάζουµε αν έχει ακρότατα 5. Εξετάζουµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης για πολύ µεγάλες ή για πολύ µικρές τιµές του. 6. Κάνουµε πίνακα τιµών και σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση, λαµβάνοντας υπόψη όλα τα προηγούµενα. 4
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f ) α +β εξίσωση ευθείας) y α+ β, α > Γν. αύξουσα y α+ β, α < Γν. φθίνουσα y β,α σταθερή f ) α παραβολή) y α, α > στο,], στο [, + ) Ελάχιστο στο Ο,) y α, α < Στο,], στο [, + ) Μέγιστο στο Ο,) 4
α f ), Υπερβολή) Περιττή συνάρτηση Συµµετρική ως προς το Ο,) α y, α > στο,), στο, + ) Ακρότατα δεν έχει α y, α < στο,), στο, + ) Ακρότατα δεν έχει 4
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις i). ii). iii). f ) 4 + 5 5 5 4 f ) + 7 f ) 4 + iv). f ) + + v). f ) + vi). f ) 4 + vii). viii). f ) f ), <, ΛΥΣΗ i). Έχει πεδίο ορισµού το R. Άρα, R, Rείναι f ) 4 ) + 5 ) 4 54 + 5) f ) άρα είναι περιττή. ii). Έχει πεδίο ορισµού το R γιατί + 7 R. Άρα, R, R 5 5 5 5 ) 4 ) 5 + 4 5 4 είναι f ) f ) άρα ) + 7 + 7 + 7 περιττή. iii). Έχει πεδίο ορισµού το R γιατί 4 + R. Άρα, R, R ) είναι f ) f ) άρα άρτια. 4 + 4 + iv). Έχει πεδίο ορισµού το R. Άρα, R, Rείναι f ) + + + ) + ) + + f ) άρα άρτια 44
v). Πρέπει ± άρα πεδίο ορισµού ΑR {, }. Άρα, Α, Αείναι ) + + f ) f ) άρα άρτια. vi). Πρέπει. Άρα, πεδίο ορισµού Α [, + ) για το οποίο Α, Α. Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή. vii). Έχει πεδίο ορισµού το R. Άρα, R, R είναι f ) ) ) + ± f ). Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή. viii). Έχει πεδίο ορισµού το R. Άρα, R, R είναι ), <, f ) f ) άρα περιττή. ), >, >. ίνεται µια περιττή συνάρτηση f. Να αποδειχθεί ότι : f ) ΛΥΣΗ Επειδή η f περιττή, θα είναι f ) f ) Α όπου Α το πεδίο ορισµού). Τότε για έχουµε: f ) f ) f ) f ) f ) + f ) f ) f ). Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις i). f ) ii). f ) 4 ) iii). f ) i). ΛΥΣΗ Η fορίζεται στο R*{ R / } και αν < έχουµε > 45
f ) f ) ) ) ) + + + ) + ) ηλαδή το πρόσηµο της f ) f ) εξαρτάται από το +. Αν < < + τότε f ) f ) < f ) > f ) Άρα, f < στο,) Αν < < + τότε f ) f ) > f ) < f ) Άρα, f > στο, + ) ii). Η fορίζεται σε όλο το R δηλ. ΑR) και αν < έχουµε > f ) f ) 4 ) 4 ) 4 4 + ) + ) 4 ) ) + 4) προσθέτω κατά µέλη Αν < < και + < 4 + 4< τότε f ) f ) > f ) < f ). Άρα, f στο,] Αν < < και και. Οπότε, > > > προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : + 4 τότε > > f ) f ) < f ) > f ). Άρα, f στο, + ) iii). Η fορίζεται όταν : Α τρόπος Άρα, Α [, + ). Έστω < έχουµε < < < < < > f ) > f ) Άρα, f στο [, + ) Β τρόπος 46
Έστω < > έχουµε f ) f ) ) ) ) + + ) ) + ) ) + ) ) < + + Άρα, f ) f ) < f ) > f ). Άρα, f στο [, + ) 4. Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις i). f ) + ii). f ) iii). f ) + ΛΥΣΗ Όταν µας ζητούν να εξετάσουµε µια συνάρτηση για ακρότατα, ξεκινούµε από µια ποσότητα που είναι πάντα και βρίσκεται µέσα στη συνάρτηση. Τέτοιες παραστάσεις είναι τέλεια τετράγωνα, ή απόλυτες τιµές. Σε αυτά τα παραδείγµατα θα ξεκινήσουµε από f ). Rκαι Rκαι µετά θα σχηµατίσουµε τη συνάρτηση i). Η fορίζεται στο R δηλ. ΑR). Ισχύει R, + f ) µε f ) + o o o. Άρα, f ) f ) R. o Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο το f ). o o o ii). Η fορίζεται όταν. Άρα, Α,]. Εξάλλου,] είναι 47
o. Άρα, f ) f ) Α,]. Άρα, η f παρουσιάζει µέγιστο στο το f ). o iii). Η fορίζεται στο R δηλ. ΑR). Ισχύει R, f ) + + ) + f ) µε f o ) o ) + o ) o o Άρα, f ) f ) R. Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο το f ). o Παρατήρηση Στις βασικές συναρτήσεις: f ) α + β, f ) α α, f ), ) µελετήσουµε ως προς την µονοτονία ή τα ακρότατα εξετάζουµε το α: για να τις. f ) α + β ευθεία) α > α < α σταθερή. f ) α παραβολή) α > στο,] στο [, + ) α < στο,] στο [, + ) α. f ), ) υπερβολή) α > στο,) στο, + ) α < στο,) στο, + ) 5. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση : f ) 4 + ΛΥΣΗ Για να µελετήσω την συνάρτηση πρέπει να βγει το απόλυτο. Αν 4 4τότε 4 4 οπότε f ) 4+ Αν 4 < < 4τότε 4 + 4οπότε f ) + 4 7 Άρα,, 4 f ) + 7, < 4 Μονοτονία 48
o Η f ) όταν 4παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y α + β και επειδή α > είναι στο [ 4, + ) o Η f ) + 7 όταν < 4παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y α +β και επειδή α < είναι στο,4) Ακρότατα Επειδή f στο,4) και f στο [ 4, + ), φανερά η f παρουσιάζει στο 4 ελάχιστο το f 4) 4 4 + δηλ. το σηµείο µε συντεταγµένες 4, ). o 6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση : f ) λ ). ΛΥΣΗ Η fορίζεται σε όλο το R δηλ. ΑR) Η fείναι συνάρτηση παραβολής της µορφής f ) α α οπότε µε λ Αν α > λ > λ < < λ< τότε η f στο,] και f στο [, + ) Αν α < λ < λ > λ<ή λ > τότε η f στο,] και f στο [, + ). Αν α λ λ λ ± τότε f ) και η fείναι σταθερή στο R. 49
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ 7. Να µελετηθεί η συνάρτηση 4, αν < f ), αν ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι πεδίο ορισµού είναι το R. ηλ. Α R ) Η f ) 4 όταν < παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y α + β και επειδή a< είναι στο,). Παίρνουµε µερικές τιµές: - y -4 - Η f ) όταν παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής y α και επειδή α > είναι στο [, + ). Παίρνουµε µερικές τιµές: y 4 9 y 4 y εν έχει ακρότατα, Α R, f Α) 4, + ), είναι ασυνεχής!!!. 5
8. Να µελετηθεί η συνάρτηση:, f ),, αν, αν αν αν < < < ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι το πεδίο ορισµού είναι το R. ηλ. Η Α R ) f ) όταν <και παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής α y και επειδή a > θα είναι f στο, ) [, + ). Παίρνουµε µερικές τιµές: - - y - Η f ) όταν < παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής y α και επειδή a > θα είναι f στο [,) Παίρνουµε µερικές τιµές: y Η όταν < f ) παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής y α και επειδή a < θα είναι f στο [-,). Παίρνουµε µερικές τιµές: - y - Οπότε, η γραφική παράσταση είναι: 5
Μέγιστο y y,) y -,-) y Ελάχιστο Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι : η f ) έχει ακρότατα: Μέγιστο στο, ) Ελάχιστο στο -, -) Πεδίο Ορισµού: Α R Πεδίο Τιµών: f A) R [-, ] Είναι συµµετρική ως προς το Ο,), οπότε είναι περιττή συνάρτηση. Είναι συνεχής!! 9. Να µελετηθεί η συνάρτηση: +, αν f ), αν > ΛΥΣΗ Καταρχήν πρέπει να απλοποιήσουµε τη συνάρτηση σε συνάρτηση χωρίς απόλυτα. Η f ) +, αν γίνεται: +, αν f ) +, αν < Η f ), αν > < ή > γίνεται:, αν < f ), αν > 5
Οπότε, η συνάρτηση γίνεται: +, αν, < + αν f ), Άρα, Α R αν < αν >, Η f ) + αν < παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y α + β και επειδή α < θα είναι f στο [,).Παίρνουµε µερικές τιµές: - y Η f ) + αν παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής y α + β και επειδή α > θα είναι f στο [,].Παίρνουµε µερικές τιµές: y Η f ) αν <παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής επειδή α < θα είναι f στο, ). Παίρνουµε µερικές τιµές: - - y α y και Η f ) αν > παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής α > θα είναι f στο, + ). Παίρνουµε µερικές τιµές: α y και επειδή y Οπότε, η γραφική παράσταση είναι: 5
Μέγιστο Μέγιστο -,),) Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η f ) έχει Μέγιστο στο, ) και στο -, ) Πεδίο Ορισµού: Α R Πεδίο Τιµών: f Α),] Είναι συνεχής!!! Παρατηρούµε επίσης ότι η f ) > R. Αυτό φαίνεται στην γραφική παράσταση διότι είναι πάνω από τον άξονα '. Επίσης, από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η f ) είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y' y, εποµένως είναι άρτια συνάρτηση. 54
ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. Η συνάρτηση y f ) + c, c>. Η συνάρτηση y f ) c, c> Η γραφική παράσταση της y f ) + c, όπου c σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της γραφικής παράστασης της y f ) κατακόρυφα προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της y f ) c, όπου cσταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της γραφικής παράστασης της y f ) κατακόρυφα προς τα κάτω. 55
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y, y +, y Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y +, y y, 56
. Η συνάρτηση y f + c), c> 4. Η συνάρτηση y f c), c> Η γραφική παράσταση της y f + c) όπου c σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της γραφικής παράστασης της y f ) παράλληλα προς τα αριστερά κατά c. Η γραφική παράσταση της y f c) όπου cσταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της γραφικής παράστασης της y f ) παράλληλα προς δεξιά κατά c. 57
Παραδείγµατα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y, y ), y + ) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y, y, y + Η γραφική παράσταση της y προκύπτει από την y µε µεταφορά + κατά θέσεις αριστερά και θέσεις προς τα κάτω. Πεδίο Ορισµού R{ } πρέπει +. γιατί 58
5. Η συνάρτηση y f ) Η γραφική παράσταση της y f ) είναι συµµετρική της y f ) ως προς τον άξονα '. 6. Η συνάρτηση y f ) Η γραφική παράσταση της y f ) είναι συµµετρική της y f ) ως προς τον άξονα y' y 59
6 Παραδείγµατα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ) + f, ) f, ) ) + + f Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ) ) + + + f, ) ) + + f ) ) + + f
7. Η συνάρτηση y f ) Είναι : y f ) f ), αν f ), αν f ) f ) < Η γραφική παράσταση της y f ) διατηρεί τα µέρη της γραφικής παράστασης της y f ) που βρίσκονται πάνω από τον άξονα ' και συµπληρώνεται µε τα συµµετρικά ως προς τον ' των µερών που βρίσκονται κάτω από τον '. 8. Η συνάρτηση y f ) f ), αν Είναι y f ) f ), αν Η γραφική παράσταση της y f ) διατηρεί το µέρος της γραφικής παράστασης της y f ) που βρίσκεται δεξιά του y' y και αριστερά του y' y συµπληρώνεται µε το συµµετρικό ως προς τον άξονα y' y του δεξιού µέρους. 6
Παραδείγµατα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Α. f ) Β. f ) Γ. f ). f ) y f ) f ), +, < 6
6 ) f,, < ) f,, <,,,, < < < + +
ΑΛΛΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να µελετηθεί η συνάρτηση: παραστάσεις των συναρτήσεων: f ), f ). Επίσης, να κάνετε τις γραφικές f ) +, f ), + f ) ΛΥΣΗ Η συνάρτηση γίνεται:, αν f ), αν > < o Αποτελείται από το τµήµα της υπερβολής από το τµήµα της υπερβολής o Πεδίο ορισµού είναι το Α R o Πεδίο τιµών είναι το f Α), + ) ) y στο διάστηµα, + ) και y στο διάστηµα,). y 64
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ) προκύπτει από οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ) κατά µια µονάδα προς τα δεξιά. o Πεδίο ορισµού είναι το Α R{} o Πεδίο τιµών είναι το f Α), + ) y Οµοίως, η γραφική παράσταση της f ) προκύπτει από οριζόντια + µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ) κατά µια µονάδα προς τα αριστερά. o Πεδίο ορισµού είναι το Α R{ } o Πεδίο τιµών είναι το f Α), + ) y + - 65
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ) + προκύπτει από κάθετη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ) κατά µονάδες προς τα πάνω. o Πεδίο ορισµού είναι το Α R o Πεδίο τιµών είναι το f Α), + ) y + Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ) προκύπτει από κάθετη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ) κατά µονάδες προς τα κάτω. o Πεδίο ορισµού είναι το Α R o Πεδίο τιµών είναι το f Α), + ) y 66
. Να βρεθεί το µέγιστο των συναρτήσεων: f ) + και f ) + ΛΥΣΗ Παίρνω τη διαφορά: + f ) f ) + + ) ) + + + ιακρίνουµε περιπτώσεις: Αν ή τότε έχουµε: f ) f ) f ) f ) Αν τότε έχουµε: f ) f ) f ) f ) f ), αν f f ), αν Άρα, ma{ ), f ) } ή Γραφικά το µέγιστο των συναρτήσεων f ) και f ) απεικονίζεται στο διπλανό σχήµα. 67
. Στο παρακάτω σχήµα να εκφράσετε το ΜΝ) σαν συνάρτηση του. Να ΛΥΣΗ βρείτε στη συνέχεια τη µικρότερη δυνατή τιµή του ΜΝ). Το Μ έχει τετµηµένη, άρα τεταγµένη. Το Ν έχει την ίδια τεταγµένη, άρα τετµηµένη Μ, ) και, ) N.. Έχουµε συνεπώς: Άρα, ΜΝ) + ) + ) + ) + Αν θετικό τότε: ΜΝ ) +. Για να βρούµε το ώστε η ΜΝ) να είναι ελάχιστη, αρκεί να βρούµε το ελάχιστο της συνάρτησης f ) +, >. Θα µελετήσουµε τη µονοτονία της f ) για >. Έστω < < > τότε + f ) f ) + ) ) + ) ) +. 68
Άρα, το f ) f ) εξαρτάται από το. < < Αν < < < < < < < τότε f ) f ) f στο, ). < Αν < > > > τότε f ) f ) > f στο [, + ). Άρα έχει ελάχιστο στο, ίσο µε f ) +. Άρα, το ελάχιστο µήκος του ΜΝ είναι και εµφανίζεται όταν. Β τρόπος Αυτό µπορούσαµε να το διαπιστώσουµε πιο εύκολα γιατί ισχύει: +, > διότι + > + + ) που ισχύει. 69
. Να υπολογίσετε το εµβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ) + και g ) 6 ΛΥΣΗ Οι συναρτήσεις γίνονται:, αν < f ) και, αν Οι γραφικές παραστάσεις είναι: + 5, αν g ) 7, αν < Το σχήµα ΑΒΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο γιατί οι ευθείες ανά δυο κάθετες µεταξύ τους. γιατί το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης τους είναι -). Βρίσκουµε πρώτα τις συντεταγµένες των Α, Β, Γ,. Έστω Α, y). Οι συντεταγµένες ικανοποιούν την y + 5και την y άρα y + 5 + 5 8 4 y Άρα, y + 5 y4+ 5 y Άρα Α-4,) Όµοια, Γ4, ), Β-, -),, 6). Βρίσκουµε τα µήκη ΑΒ), ΒΓ). ΑΒ ) + 4) + ) + 8 ΒΓ ) 4+ ) + + ) 5 + 5 5 5 Άρα, Ε ΑΒΓ ΑΒ) ΒΓ) 5 4 5. 7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό Σ) ή Λάθος.Λ) Α. Αν για την συνάρτηση f ) f ) τότε η fείναι άρτια. f : R R ισχύει για κάθε R Σ Λ Β. Αν α < η συνάρτηση α f ) είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήµατα,) και, + ) Σ Λ Γ. Η συνάρτηση. Η συνάρτηση f ) 5 είναι γνησίως αύξουσα στο,] g ) + Σ Λ 7 5 είναι περιττή. Σ Λ Ε. Αν η περιττή συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R τότε f ) Σ Λ Η γραφική παράσταση της Στ. αρχή των αξόνων Ζ. Η συνάρτηση g ) f ) έχει κέντρο συµµετρίας την Σ Λ + + είναι άρτια. Σ Λ Η. Η συνάρτηση f ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Σ Λ Θ. Η συνάρτηση f ) παρουσιάζει ελάχιστο το -. Σ Λ Ι. Αν f και η fορίζεται στο Rτότε f ) < f ) Σ Λ. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, περιττές ή τίποτα. ) 4 Α. f ) Β. f ) + + + Γ. f ) + + +. f ) + + Ε. f ) 5 4 + ΣΤ. f ) + ) + ) Ζ. + f ) + Η. f ), Α [, ] 7
Θ. + 7, f ) Ι. 7, f ) +, + + + +, > +. Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία οι συναρτήσεις Α. f ) 4 + 7, Β. f ) 6 + Γ. f ) 4 5. f ) 4+ Ε. f ) ΣΤ. f ) + Ζ. f ) + Η. f ) Θ. f ) Ι. 5+,,] f ), [5,7] 4. Να βρεθούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων Α. f ) Β. f ) + Γ. f ). f ) + Ε. f ) ) ΣΤ. f ) 4 i). ii). iii). iv). 5. Με τη βοήθεια των παρακάτω γραφικών παραστάσεων να βρεθούν τα εξής: Πεδία ορισµού και πεδία τιµών Αν είναι άρτιες ή περιττές Τα διαστήµατα στα οποία είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ή σταθερή Τα ακρότατα αν υπάρχουν και που v). Για ποιες τιµές του βρίσκονται πάνω από τον άξονα ' ή από κάτω. 7
Να µελετηθούν οι συναρτήσεις ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και µετά να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρεθούν και τα πεδία τιµών. 6. f ) + 7. f ) + 8. f ), 9. f )., f )., > +, f ), < < 7
. f ) +,. f ) +,, 4. f ) 5. f ) 6. f ) 7. f ), 8., f ) 9., <, f ),., f ),., f ),,), + ),. f ) +. f ),, > 4. Να προσδιοριστεί ο α Rώστε η συνάρτηση f µε τύπο f ) α + β + α+ β ) να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ). 5. Να προσδιοριστεί ο µ R ώστε η συνάρτηση f µε τύπο f ) + + µ ) να είναι γνησίως φθίνουσα στοr. 6. ίνεται η συνάρτηση να είναι: i). ii). iii). Γνησίως αύξουσα Γνησίως φθίνουσα Σταθερή + 4 f ) λ. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση 7. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f ) λ + 5) 74
8. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f ) 9λ ) + λ 9. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση f ) + λ ) παρουσιάζει ελάχιστο, η συνάρτηση g ) + λ ) να παρουσιάζει για την ίδια τιµή του µέγιστο.. ίνεται η συνάρτηση 5, < f ), i). Να λυθεί η εξίσωση λ f ) λf ) ii). Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της y 4 µε την fαν υπάρχουν iii). Να γίνει η γραφική παράσταση της f.. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f αν η γραφική της παράσταση είναι: 75
. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ) για τον οποίο δίνεται η σχέση: f + y) + f y) f ) f y) για κάθε, y R. είξτε ότι: i). f ) ii). Η f είναι άρτια. ίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f + y) f ) + f y) για κάθε, y R. είξτε ότι: i). f ) ii). Η f είναι περιττή. 4. Ένα σηµείο M, y) κινείται στην πλευρά ΑΒ από το Α µέχρι το Β. Να εκφραστούν τα εµβαδά των τριγώνων ΑΜΟ και ΒΜΟ σαν συνάρτηση του. Να βρεθεί για ποιες τιµές του γίνονται ίσα. 5. Να υπολογισθεί το εµβαδό που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y και y 4. 76