ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ V. ΜΙΚΡΟΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΩΝ 1. Εισαγωγή Ση µέχρι ώρα συζήησή µας για ην µηχανική συµπεριφορά ων µεαλλικών υλικών, όπου εξεάσαµε ην ελασική και ην πλασική ους συµπεριφορά µέσω ων θεωριών ελασικόηας και πλασικόηας ανίσοιχα, ανιµεωπίσαµε α υλικά αυά από µία καθαρά µακροσκοπική άποψη, θεωρώνας α σαν συνεχή, οµογενή και ισόροπα σώµαα. Όποιος όµως έχει ην ευκαιρία να παραηρήσει η µικροδοµή (microstructure) µεαλλικών υλικών µε ένα οπικό µικροσκόπιο, θα διαπισώσει όι αυά κάθε άλλο παρά σαν οµογενή υλικά µπορούν να θεωρηθούν. Η συνριπική πλειοψηφία ων µεαλλικών υλικών είναι κρυσαλλικά (crystalline), γεγονός που σηµαίνει όι α άοµά ους διαάσσοναι µε έναν πολύ συγκεκριµένο, περιοδικό και επαναλαµβανόµενο ρόπο µέσα σον όγκο ου υλικού. Ο ρόπος µε ον οποίο διαάσσοναι α άοµα σα κρυσαλλικά υλικά καθορίζει και ην κρυσαλλική δοµή ους. Όπως είναι γνωσό, α περισσόερα µεαλλικά υλικά µε εχνολογική σηµασία κρυσαλλώνοναι σε ρεις κυρίως κρυσαλλικές δοµές: ην κυβική χωροκενρωµένη (bcc), ην κυβική εδροκενρωµένη (fcc) και ην πυκνή εξαγωνική (hcp). Για περισσόερες λεποµέρειες σχεικά µε αυές, αλλά και όλες ις υπόλοιπες, κρυσαλλικές δοµές ο αναγνώσης θα πρέπει να αναρέξει σην εχνολογία υλικών και η φυσική µεαλλουργία. Σην ενόηα αυή θα εξεάσουµε ον ρόπο µε ον οποίο παράγεαι, σε µικροσκοπική κλίµακα, η πλασική παραµόρφωση σα µεαλλικά υλικά. Θα συζηήσουµε δηλαδή σχεικά µε αυό που ονοµάζεαι µικροπλασικόηα ων κρυσάλλων. Τα συµπεράσµαα που θα προκύψουν από η συζήηση αυή θα µας φανούν χρήσιµα ση συνέχεια, για να εξεάσουµε ρόπους µε ους οποίους µπορούµε να ισχυροποιήσουµε α µεαλλικά υλικά απένανι σην πλασική διαρροή. 94

2. Ολίσθηση Κρυσαλλικών Επιπέδων Ας υποθέσουµε όι κάνουµε ο εξής απλό πείραµα: παίρνουµε ένα κοµµάι από κάποιο όλκιµο µεαλλικό υλικό, όπως για παράδειγµα χαλκό, αλουµίνιο ή έναν µαλακό χάλυβα, ου οποίου λειαίνουµε και σιλβώνουµε (γυαλίζουµε) ην εξωερική επιφάνεια. Ση συνέχεια, µε κάποιο ρόπο (π.χ. µε µία µέγγενη) προκαλούµε πλασική παραµόρφωση σο κοµµάι αυό και καόπιν, χρησιµοποιώνας έναν καλό µεγεθυνικό φακό ή ένα οπικό µικροσκόπιο, εξεάζουµε ην γυαλισµένη επιφάνεια ου µεάλλου. Αυό που θα παραηρήσουµε φαίνεαι σις φωογραφίες ων Σχ. 1 και 2. Σχ.1: Μπάνες ολίσθησης σε χαλκό (µεγέθυνση 500 ). Σχ.2: Μπάνες ολίσθησης σε αλουµίνιο (µεγέθυνση 250 ). 95

Όπως φαίνεαι σις φωογραφίες, µεά ην πλασική παραµόρφωση, σην επιφάνεια ου µεάλλου έχουν σχηµαισθεί παράλληλες µεαξύ ους γραµµές. Αν οι γραµµές αυές εξεασθούν σε µεγαλύερη µεγέθυνση, χρησιµοποιώνας για παράδειγµα ένα ηλεκρονικό µικροσκόπιο, όε φαίνεαι όι κάθε µία από αυές σην πραγµαικόηα αποελείαι από έναν µεγάλο αριθµό πιο µικροσκοπικών και επίσης παράλληλων µεαξύ ους γραµµών. Εσιάζονας, δηλαδή, σε οποιαδήποε από ις γραµµές ων Σχ. 1 και 2, σε µεγάλη µεγέθυνση θα βλέπαµε ην εικόνα ου Σχ. 3. Οι µεγαλύερες γραµµές (αυές ων Σχ. 1 και 2) ονοµάζοναι µπάνες ολίσθησης (slip bands) και έχει παραηρηθεί όι ο πλάος ους είναι περίπου 1.000 αοµικές διάµεροι. Κάθε µπάνα ολίσθησης αποελείαι, όπως φαίνεαι σο Σχ. 3, από πολλές µικροσκοπικές γραµµές ολίσθησης (slip lines), ο πλάος κάθε µίας εκ ων οποίων είναι περίπου ης άξεως ων 100 αοµικών διαµέρων. µπάνα ολίσθησης µικροσκοπικές γραµµές ολίσθησης Σχ.3: Μπάνα και γραµµές ολίσθησης. Από ο Σχ. 3 είναι φανερό όι, καά ην πλασική παραµόρφωση ου υλικού, ολόκληρα κρυσαλλικά επίπεδα ολίσθησαν (γλίσρησαν) ο ένα σε σχέση µε ο άλλο, δηµιουργώνας ις γραµµές και ις µπάνες ολίσθησης. Μπορούµε να φανασούµε ην ολίσθηση αυή σαν να έχουµε µία ράπουλα σο ραπέζι, ης οποίας αρχίζουµε να σπρώχνουµε ελαφρά α 96

ραπουλόχαρα. Κάθε ραπουλόχαρο (που ανισοιχεί σε µία γραµµή ολίσθησης ου Σχ. 3) αρχίζει να ολισθαίνει σε σχέση µε ο γειονικό ου. Η ελική µορφή ης ράπουλας θα έµοιαζε µε αυήν ου Σχ. 3. Η ολίσθηση πραγµαοποιείαι επάνω σε συγκεκριµένα κρυσαλλικά επίπεδα και προς συγκεκριµένες κρυσαλλικές διευθύνσεις (γι αυό οι γραµµές και οι µπάνες ολίσθησης εµφανίζοναι παράλληλες µεαξύ ους). Έχει παραηρηθεί πειραµαικά όι α κρυσαλλικά επίπεδα επάνω σα οποία πραγµαοποιείαι καά προίµηση η ολίσθηση δεν είναι υχαία, αλλά πρόκειαι για α πυκνά επίπεδα ων κρυσάλλων. (Να υπενθυµισθεί εδώ όι πυκνά επίπεδα είναι αυά σα οποία α άοµα εφάποναι µεαξύ ους και εµφανίζουν ην πυκνόερη δυναή διάαξη.) Επιπρόσθεα, οι διευθύνσεις προς ις οποίες ολισθαίνουν α πυκνά επίπεδα είναι και αυές πολύ συγκεκριµένες σε κάθε κρύσαλλο και συµπίπουν µε ις πυκνές διευθύνσεις ου κρυσάλλου. (Πυκνές διευθύνσεις είναι οι διευθύνσεις προς ις οποίες α άοµα ων πυκνών επιπέδων εφάποναι µεαξύ ους.) Τα κρυσαλλικά επίπεδα σα οποία λαµβάνει χώρα η ολίσθηση ονοµάζοναι επίπεδα ολίσθησης (slip planes), ενώ οι διευθύνσεις προς ις οποίες ολισθαίνουν α επίπεδα ολίσθησης ονοµάζοναι διευθύνσεις ολίσθησης (slip directions). Ένα επίπεδο ολίσθησης και µία διεύθυνση ολίσθησης επάνω σε αυό ορίζουν ένα συγκεκριµένο σύσηµα ολίσθησης (slip system). Αναρέχονας σην εχνολογία υλικών, πρέπει να θυµηθούµε όι α πυκνά επίπεδα και οι πυκνές διευθύνσεις διαφέρουν ανάλογα µε ην κρυσαλλική δοµή σην οποία κρυσαλλώνεαι ο κάθε µεαλλικό υλικό. Εποµένως, θα πρέπει να περιµένουµε όι και α διάφορα πιθανά συσήµαα ολίσθησης (δηλαδή επίπεδα και διευθύνσεις ολίσθησης) θα εξαρώναι από ην κρυσαλλική δοµή ου κάθε µεάλλου. Ο Πίνακας 1 συνοψίζει α συσήµαα ολίσθησης που έχουν παραηρηθεί πειραµαικά για ις ρεις βασικόερες κρυσαλλικές δοµές ων µεαλλικών υλικών, δηλαδή ις fcc, bcc και hcp. 97

Πίνακας 1 98

Ας περάσουµε ώρα να δούµε µε ποιον ρόπο σχηµαίζοναι οι γραµµές ολίσθησης και, κα επέκαση, οι µπάνες ολίσθησης σα κρυσαλλικά υλικά. Να δούµε, δηλαδή, µε ποιο ρόπο µπορούν να ολισθήσουν µεαξύ ους δύο γειονικά κρυσαλλικά επίπεδα. Αυό θα ο κάνουµε µε η βοήθεια ου Σχ. 4. Σο Σχ. 4α φαίνεαι ένα µικρό µήµα από έναν κρύσαλλο, κονά σην εξωερική ου επιφάνεια, όπου οι σφαίρες ανιπροσωπεύουν α άοµα ου υλικού. Κάθε σειρά αόµων (όπως για παράδειγµα οι Α και Β) ανιπροσωπεύει ένα πυκνό κρυσαλλικό επίπεδο (εννοείαι όι ο επίπεδο εκείνεαι κάθεα προς η σελίδα). Με ην εφαρµογή µίας διαµηικής άσης,, παράλληλης προς α πυκνά επίπεδα ο ένα µήµα ου κρυσάλλου ολισθαίνει σε σχέση µε ο υπόλοιπο, Σχ. 4β, µε αποέλεσµα να δηµιουργείαι ένα µικρό σκαλοπάι σην εξωερική επιφάνεια. (Παραηρήσε όι µία ορθή άση δεν θα είχε ο ίδιο αποέλεσµα.) A B A B (α) (β) (γ) Σχ. 4 Σο Σχ. 4β φαίνεαι όι δεν χρειάζεαι να ολισθήσουν όλα α κρυσαλλικά επίπεδα για να δηµιουργηθεί αυό ο µικρό σκαλοπάι. Ση συγκεκριµένη περίπωση η ολίσθηση έγινε µόνο µεαξύ ων κρυσαλλικών επιπέδων Α και Β, α οποία αποελούν και ο επίπεδο ολίσθησης. Η διεύθυνση ολίσθησης σο συγκεκριµένο παράδειγµα συµπίπει µε ην διακεκοµµένη γραµµή ου σχήµαος. Σο Σχ. 4β ο µέγεθος ου σκαλοπαιού που δηµιουργήθηκε είναι µόλις 1 αοµική διάµερος. Ωσόσο, εύκολα µπορεί να φανασεί κανείς όι εάν συνεχισεί η ολίσθηση ου επιπέδου Α σε σχέση µε ο Β όε ο σκαλοπάι θα γίνει µεγαλύερο σε 99

µέγεθος. Κάι έοιο δείχνει ο Σχ. 4γ, όπου εδώ έχουν απαλειφθεί α άοµα για απλόηα. Με αυό ον ρόπο δηµιουργούναι οι γραµµές ολίσθησης, που φάνουν να είναι παραηρήσιµες µε ηλεκρονικό µικροσκόπιο. Βεβαίως, η διαδικασία αυή δεν γίνεαι µόνο µεαξύ δύο κρυσαλλικών επιπέδων, αλλά όπως είναι λογικό συµβαίνει σε πολλά ακόµη κρυσαλλικά επίπεδα. Με ον ρόπο αυό δηµιουργούναι πολλές γραµµές ολίσθησης, ις οποίες εµείς βλέπουµε ελικά σαν µπάνες ολίσθησης σο οπικό µικροσκόπιο. 3. Θεωρηική Ανοχή ων Κρυσάλλων σε ιάµηση Το επόµενο λογικό ερώηµα που προκύπει σχεικά µε ην ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων, έχει να κάνει µε ο µέγεθος ης άσης που είναι ικανό να προκαλέσει ην ολίσθηση αυή. Κα αρχήν, σην προηγούµενη παράγραφο διαπισώσαµε όι ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων µπορεί να συµβεί µόνο µε ην επίδραση διαµηικής άσης παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης (βλ. Σχ. 4α και β). Μία ορθή άση δεν θα µπορούσε να προκαλέσει ολίσθηση, αλλά απλώς θα προσπαθούσε να αποµακρύνει (αν ήαν εφελκυσική για παράδειγµα) ο ένα κρυσαλλικό επίπεδο από ο άλλο. Καά συνέπεια, εφόσον η πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών (σε µακροσκοπική κλίµακα) συνελείαι µε ην ολίσθηση εκαονάδων ή χιλιάδων κρυσαλλικών επιπέδων (σε µικροσκοπική κλίµακα) µέσω διαµηικών άσεων, είναι λογικό όι οι διαµηικές άσεις είναι αυές που ευθύνοναι για ην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών. Πόσο µεγάλη, όµως, πρέπει να είναι η διαµηική άση για να µπορέσει να προκαλέσει ολίσθηση ανάµεσα σε δύο κρυσαλλικά επίπεδα; Ας υποθέσουµε όι από ο Σχ. 4α έχουµε αποµονώσει και εξεάζουµε µόνο δύο (πυκνά) κρυσαλλικά επίπεδα 1 και 2, επάνω σα οποία λαµβάνει χώρα ολίσθηση κάω από ην επίδραση ης διαµηικής άσης, Σχ. 5. Έσω όι η απόσαση από άοµο σε άοµο επάνω σε κάθε πυκνό επίπεδο είναι b και η απόσαση µεαξύ ων πυκνών επιπέδων (interplanar spacing) είναι α (α b = 2r, όπου r η αοµική ακίνα). Κάω από ην επίδραση ης διαµηικής άσης ο κρυσαλλικό επίπεδο 1 είνει να ολισθήσει προς α δεξιά και ο 2 προς α αρισερά. Για να πραγµαοποιηθεί η ολίσθηση αυή θα πρέπει α άοµα ου 1 να περάσουν πάνω από α άοµα ου 2. Για παράδειγµα, ο άοµο Α ου επιπέδου 1 θα πρέπει να περάσει πάνω από ο άοµο C ου επιπέδου 2 και να κααλήξει σην θέση ου αόµου Β ου επιπέδου 1. Εννοείαι όι ην ίδια κίνηση κάνουν αυόχρονα και α υπόλοιπα γειονικά 100

άοµα ου κάθε επιπέδου. Με ον ρόπο αυό α δύο κρυσαλλικά επίπεδα θα έχουν ολισθήσει καά µία απόσαση b. 1 2 Σχ. 5 Σο κάω µέρος ου Σχ. 5 υπάρχει ένα διάγραµµα, που δείχνει ην ανίσαση που προβάλλει ο κρυσαλλικό πλέγµα σε σχέση µε ην απόσαση ολίσθησης ων κρυσαλλικών επιπέδων. Σην αρχική θέση (αυή που φαίνεαι σο Σχ. 5) α άοµα βρίσκοναι σε θέσεις ισορροπίας και εποµένως η δύναµη ανίσασης είναι µηδέν. Καθώς ο επίπεδο 1 αρχίζει να ολισθαίνει προς α δεξιά, ο άοµο Α αρχίζει να σκαρφαλώνει επάνω σο άοµο C. Η δύναµη ανίσασης σην κίνηση αυή αρχίζει να αυξάνει. Η µέγιση δύναµη παραηρείαι σε µία απόσαση περίπου x = b/4, όαν δηλαδή ο άοµο Α έχει σκαρφαλώσει καά ο ήµισυ επάνω σο C. Όαν ο Α φάσει ακριβώς σην κορυφή ου C, όε η δύναµη ανίσασης και πάλι µηδενίζεαι, καθώς σο σηµείο αυό ο άοµο Α βρίσκεαι σε θέση µεασαθούς ισορροπίας. Καθώς η ολίσθηση συνεχίζεαι, ο άοµο Α αρχίζει να κινείαι προς η νέα θέση ισορροπίας, δηλαδή ην θέση ου αόµου Β. Σην κίνηση αυή ο πλέγµα προβάλλει και πάλι ην ίδια ανίσαση, µε ανίθεη όµως φορά. Όαν ο άοµο Α φάσει ση νέα θέση ισορροπίας (αυή που αρχικά είχε ο άοµο Β) όε η δύναµη ανίσασης µηδενίζεαι και πάλι. Τώρα α κρυσαλλικά επίπεδα 1 και 2 έχουν ολισθήσει καά µία απόσαση b. 101

Η µεαβολή ης ανίσασης που προβάλλει ο κρυσαλλικό πλέγµα σην ολίσθηση ων επιπέδων 1 και 2 µπορεί να θεωρηθεί καά προσέγγιση σαν ηµιονοειδής. Ας υπολογίσουµε ώρα ην διαµηική άση που απαιείαι, για να υπερνικηθεί η ανίσαση ου πλέγµαος σην ολίσθηση. Η διαµηική άση µεαβάλλεαι ηµιονοειδώς µε ην απόσαση ολίσθησης, δηλαδή: 2π x = k sin (1) b Για πολύ µικρές µεαοπίσεις ισχύει όι sin(2πx/b) 2πx/b, οπόε η Εξ. (1) γίνεαι: 2π x = k b (2) Από ο νόµο ου Hooke έχουµε όι: x = G γ = G (3) α όπου γ η διαµηική παραµόρφωση. Από ις Εξ. (2) και (3) έχουµε όι: π 2 x x G k = G k = b (4) b α 2π α Ανικαθισώνας ο k από ην Εξ. (4) σην Εξ. (1) λαµβάνουµε: = G b 2π x sin 2π α b (5) Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, η µέγιση δύναµη ανίσασης σην ολίσθηση εµφανίζεαι περίπου σο x = b/4. Εποµένως, η µέγιση διαµηική άση που απαιείαι για να 102

υπερνικήσει ην ανίσαση αυή και να προκαλέσει ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων (άρα και πλασική παραµόρφωση) είναι: max = G b 2π b sin 2π α 4b max = G b 2π α (6) Επειδή b α, η µέγιση διαµηική άση που απαιείαι για να προκαλέσει ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων παίρνει ελικά ην ιµή: G = th 6 max (7) Η Εξ. (7) δίνει ην θεωρηική ανοχή κρυσάλλου σε διάµηση, th. Εάν, δηλαδή, σε έναν έλειο κρύσαλλο η διαµηική άση που αναπύσσεαι επάνω σο επίπεδο ολίσθησης (και η οποία προέρχεαι από α εξωερικά φορία) ξεπεράσει ην ιµή th, όε θα υπάρξει ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων και, καά συνέπεια, πλασική παραµόρφωση ου κρυσάλλου. Η ιµή ης θεωρηικής ανοχής σε διάµηση ων µεαλλικών υλικών είναι πάρα πολύ υψηλή. Για παράδειγµα, για ένα όλκιµο µέαλλο όπως ο χαλκός, ο µέρο διάµησης είναι περίπου G = 41 GPa th = 6,8 GPa. Ωσόσο, πειράµαα σε µονοκρυσάλλους χαλκού έχουν δείξει όι η πλασική διαρροή ξεκινά, όαν η διαµηική άση σα ενεργά συσήµαα ολίσθησης πάρει ιµές ης άξεως ου 1 MPa! ηλαδή, η πραγµαική ανοχή ου κρυσάλλου σε διάµηση είναι 3 άξεις µεγέθους µικρόερη από ην θεωρηική. Η ίδια απόκλιση µεαξύ θεωρηικής και πραγµαικής ανοχής ου υλικού έχει παραηρηθεί σε όλα α µεαλλικά υλικά. Όπως είναι γνωσό από ην εχνολογία υλικών, η εράσια αυή απόκλιση οφείλεαι σο γεγονός όι οι κρύσαλλοι ων µεαλλικών υλικών δεν είναι έλειοι, αλλά περιέχουν διαφόρων ειδών αέλειες (imperfections) ή ελαώµαα (defects) σην κρυσαλλική ους δοµή. Το σηµανικόερο είδος αέλειας, που παίζει βασικό ρόλο σην πλασική διαρροή ων µεαλλικών υλικών είναι, ως γνωσόν, οι γραµµοααξίες (dislocations). Παρόι για ις γραµµοααξίες και ον ρόλο σους σην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών έχει γίνει εκενής αναφορά σα ανικείµενα ης εχνολογίας υλικών και ης φυσικής 103

µεαλλουργίας, µία σύνοµη ανασκόπηση δίδεαι ση συνέχεια ης ενόηας αυής. Προηγουµένως, όµως, θα αναφερθούµε σην έννοια ης ενεργού ή ανηγµένης διαµηικής άσης (effective ή resolved shear stress) και σο νόµο ου Schmid. 4. Ο Νόµος ου Schmid Τα περισσόερα µεαλλικά υλικά που χρησιµοποιούναι σην πράξη είναι πολυκρυσαλλικά (polycrystalline). Αυό σηµαίνει όι η µικροδοµή ους αποελείαι από πολλούς κρυσάλλους (κόκκους grains), ης ίδιας ή διαφορεικής φάσης. Εάν ο υλικό αποελείαι από µία µόνο φάση, όε όλοι οι κόκκοι έχουν ην ίδια κρυσαλλική δοµή (π.χ. fcc, bcc, κ..λ.). Ωσόσο, κάθε κόκκος διαφέρει από ους υπόλοιπους ως προς ον προσαναολισµό. Αυό σηµαίνει όι α κρυσαλλικά επίπεδα κάθε κόκκου έχουν διαφορεικό προσαναολισµό σο χώρο σε σχέση µε α ανίσοιχα κρυσαλλικά επίπεδα (δηλαδή επίπεδα µε ους ίδιους δείκες Miller) ων υπόλοιπων κόκκων. Το γεγονός αυό έχει σαν συνέπεια όι, όαν κααπονούµε ένα πολυκρυσαλλικό µεαλλικό υλικό µε κάποια εξωερικά φορία, σα κρυσαλλικά επίπεδα κάθε κόκκου αναπύσσοναι διαφορεικές άσεις (ορθές και διαµηικές), ανάλογα µε ον προσαναολισµό ου κάθε κόκκου. Ας θεωρήσουµε για παράδειγµα ο δοκίµιο ου Σχ. 6, ο οποίο υποβάλλουµε σε εφελκυσµό. Η εναική καάσαση µακροσκοπικά, θεωρώνας δηλαδή ολόκληρο ο δοκίµιο σαν ένα συνεχές, οµογενές και ισόροπο σώµα, είναι αυή ου απλού µονοαξονικού εφελκυσµού. Ωσόσο, εάν εξεάσουµε ένα συγκεκριµένο κρυσαλλικό επίπεδο µέσα σο υλικό, που έσω όι είναι ένα επίπεδο ολίσθησης, ο οποίο σχηµαίζει γωνία λ µε ον µακροσκοπικό άξονα εφελκυσµού, όε οι άσεις που επενεργούν επάνω σο συγκεκριµένο κρυσαλλικό επίπεδο είναι οι εξής: ορθή άση σο επίπεδο ολίσθησης σ r F cosφ F cosφ F 2 = = = cos φ A Ao Ao σ r cosφ = σ cos 2 φ (8) διαµηική άση σο επίπεδο ολίσθησης r F cos λ F cos λ F = = = cosφ cos λ A Ao Ao r cosφ = σ cosφ cos λ (9) 104

σ r = F cosφ/a Α = Α ο /cosφ r = F cosλ/a Σχ. 6: Επίπεδο ολίσθησης, διεύθυνση ολίσθησης και ανηγµένη διαµηική άση. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε σην προηγούµενη ενόηα, η ορθή άση που επιδρά επάνω σο επίπεδο ολίσθησης (σ r ) δεν παίζει κανένα ρόλο σην ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων. Ανίθεα, η διαµηική άση επάνω σο επίπεδο ολίσθησης ( r ) είναι αυή που θα προκαλέσει ολίσθηση ων κρυσαλλικών επιπέδων και άρα πλασική παραµόρφωση ου κρυσάλλου, εάν ξεπεράσει κάποια κρίσιµη ιµή. Η διαµηική άση r ονοµάζεαι ενεργή ή ανηγµένη διαµηική άση (resolved shear stress), ακριβώς διόι αναφέρεαι επάνω σο επίπεδο ολίσθησης και έχει φορά προς ην διεύθυνση ολίσθησης. Η Εξ. (9), η οποία δίνει ην ανηγµένη διαµηική άση σαν συνάρηση ης µακροσκοπικής άσης (σ) που κααπονεί ο υλικό, ονοµάζεαι νόµος ου Schmid. Εάν ο δοκίµιο ου Σχ. 6 ήαν µονοκρυσαλλικό, δηλαδή εάν ολόκληρο ο δοκίµιο αποελούναν από έναν και µόνο κόκκο, όε η πλασική διαρροή ου δοκιµίου θα ξεκίναγε 105

όαν η ανηγµένη διαµηική άση σα πιο ευνοϊκά προσαναολισµένα επίπεδα ολίσθησης ου κρυσάλλου ξεπέρναγε µία κρίσιµη ιµή. ηλαδή, πλασική διαρροή θα είχαµε όαν: r ο (10) Η διαµηική άση ο ονοµάζεαι κρίσιµη ανηγµένη διαµηική άση (critical resolved shear stress) και ουσιασικά ανιπροσωπεύει ο όριο διαρροής µονοκρυσάλλου σε διάµηση. Εάν ο κρύσαλλός µας ήαν έλειος, όε πλασική διαρροή (δηλαδή ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων) θα είχαµε όαν r th. Βέβαια, όπως είδαµε, σους πραγµαικούς κρυσάλλους που περιέχουν αέλειες η πραγµαική ανοχή σε διάµηση είναι πολύ µικρόερη από ην θεωρηική, δηλαδή ο << th. Σην πράξη, όπου α περισσόερα µεαλλικά υλικά είναι πολυκρυσαλλικά και αποελούναι από πάρα πολλούς και υχαία προσαναολισµένους κόκκους, ο γνωσό µας (µακροσκοπικό) όριο διαρροής που µεράµε εύκολα µε η δοκιµή εφελκυσµού, σ ο, είναι καά κάποιο ρόπο ένας µέσος όρος ου ορίου διαρροής σε διάµηση όλων ων κόκκων ου υλικού. Τα δύο αυά µεγέθη, δηλαδή σ ο και ο, συνδέοναι µεαξύ ους εµπειρικά µέσω ου παράγονα Taylor, M = 1,5. Καά προσέγγιση, λοιπόν, ο µακροσκοπικό όριο διαρροής σε εφελκυσµό (αυό που µεράµε µε ην δοκιµή εφελκυσµού) ενός όλκιµου πολυκρυσαλλικού µεαλλικού υλικού συνδέεαι µε ο όριο διαρροής µονοκρυσάλλου (δηλ. ενός µόνο κόκκου) σε διάµηση, µέσω ης σχέσης: σ 2 ο (11) o = M o σ = 3 o Η Εξ. (11) είναι πολύ προσεγγισική, γεγονός που πρέπει να λαµβάνεαι υπόψη εάν πρόκειαι να χρησιµοποιηθεί για να εξαχθούν ποσοικά αποελέσµαα. Ωσόσο, ποιοικά η σηµασία ης είναι µεγάλη, διόι µας δείχνει πως οιδήποε αυξάνει ην ανοχή µονοκρυσάλλου σε διάµηση (δηλ. ο ο ), οδηγεί αυόχρονα σε αύξηση ης ανοχής ου συνολικού πολυκρυσαλλικού υλικού σε εφελκυσµό (δηλ. ο σ ο ). 106

5. Γραµµοααξίες Όπως προαναφέραµε, οι πραγµαικοί κρύσαλλοι περιέχουν αέλειες. Η ανοχή ενός κρυσάλλου σε διάµηση, δηλαδή η ανίσαση που προβάλλει σην ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων, εξασθενεί λόγω ων αελειών αυών. Από α διάφορα είδη αελειών που περιέχουν οι πραγµαικοί κρύσαλλοι, οι γραµµοααξίες (dislocations) παίζουν ον κυριόερο ρόλο σην πλασική παραµόρφωση. Η παρουσία ων γραµµοααξιών επιρέπει σα µεαλλικά υλικά να υφίσαναι πλασική διαρροή σε διαµηικές άσεις πολύ µικρόερες από ην θεωρηική ανοχή σε διάµηση, th. Το Σχ. 7 δείχνει σε ρισδιάσαη απεικόνιση ην απλούσερη µορφή γραµµοααξίας, που είναι η γραµµοααξία ακµής (edge dislocation), σε ένα απλό κυβικό κρυσαλλικό πλέγµα. Γραµµοααξία ακµής δηµιουργείαι όαν η κανονική αλληλουχία ων κρυσαλλικών επιπέδων διααράσσεαι από ένα ηµιελές κρυσαλλικό επίπεδο, όπως φαίνεαι σο Σχ. 7. Η χαµηλόερη ακµή ου ηµιελούς κρυσαλλικού επιπέδου είναι η γραµµή ης γραµµοααξίας (dislocation line). Σχ. 7: Γραµµοααξία ακµής σε απλό κυβικό κρύσαλλο. 107

Σο Σχ. 7 αξίζει να παραηρήσει κανείς όι α άοµα που βρίσκοναι κονά σην γραµµοααξία είναι µεαοπισµένα από ις κανονικές θέσεις ισορροπίας ους, λόγω ης ύπαρξης ου ηµιελούς κρυσαλλικού επιπέδου. Μάλισα, όσο πιο κονά βρίσκοναι σην γραµµοααξία, όσο περισσόερο µεαοπισµένα είναι. Αυό σηµαίνει όι η ύπαρξη ης γραµµοααξίας προκαλεί ελασική παραµόρφωση ου κρυσαλλικού πλέγµαος που βρίσκεαι κονά σε αυήν. Τα γειονικά προς ην γραµµοααξία άοµα, επειδή έχουν µεαοπισεί από ις θέσεις ισορροπίας ους, πιέζοναι από α άοµα που βρίσκοναι πιο µακριά από ην γραµµοααξία να επανέλθουν σις κανονικές ους θέσεις. Καά συνέπεια, γύρω από ην γραµµοααξία αναπύσσεαι ένα πεδίο άσεων (dislocation stress field). Η µορφή ου ασικού αυού πεδίου, που επικραεί γύρω από µία γραµµοααξία ακµής, φαίνεαι παρασαικά σο Σχ. 8. Όπως βλέπουµε, σα κρυσαλλικά επίπεδα που γειονεύουν µε ο ηµιελές επίπεδο ης γραµµοααξίας ακµής επικραούν γενικά θλιπικές άσεις, ενώ σε εκείνα που βρίσκοναι κάω από ο ηµιελές επίπεδο (δηλ. κάω από ο επίπεδο ολίσθησης) επικραούν εφελκυσικές άσεις. Προσέξε όι οι άσεις αυές δεν έχουν σχέση µε εξωερικά φορία που κααπονούν ο υλικό. Πρόκειαι για ενδογενείς ελασικές άσεις, που αναπύσσοναι λόγω ης παρουσίας ης γραµµοααξίας. Σχ. 8: Τασικό πεδίο γύρω από γραµµοααξία ακµής. 108

Με βάση ο σύσηµα συνεαγµένων ου Σχ. 8, οι ελασικές άσεις που αναπύσσοναι σο κρυσαλλικό πλέγµα γύρω από µία γραµµοααξία ακµής, µπορούν να υπολογισούν προσεγγισικά µε ις παρακάω σχέσεις: ( 1 ν ) 2 2 ( 3x + y ) σ G b y = (12) x 2 2 2π x + y 2 2 y ( x y ) 2 2 ( x + ) 2 σ G b y = 2π ( 1 ν ) (13) y σ G ν y z = π (14) 2 2 ( 1 ν ) x + y 2 2 x ( x y ) 2 2 ( x + ) 2 G b xy = 2π ( 1 ν ) (15) y = 0 (16) xz = yz όπου b η απόσαση µεαξύ ων αόµων προς ην διεύθυνση ολίσθησης (βλ. και Σχ. 5). Με ην εφαρµογή διαµηικής άσης (προερχόµενης από εξωερικά µηχανικά φορία) παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης και µε φορά προς ην διεύθυνση ολίσθησης, η γραµµοααξία ακµής µπορεί πολύ εύκολα να ολισθήσει, να αρχίσει δηλαδή να κινείαι µέσα σον κρύσαλλο. Όπως θα δούµε παρακάω, η ολίσθηση ων γραµµοααξιών προκαλεί ην πλασική παραµόρφωση ων κρυσάλλων. Το Σχ. 9 δείχνει πώς αναδιαάσσοναι α άοµα, καθώς η γραµµοααξία ολισθαίνει µέσα σον κρύσαλλο (οι µαύρες κουκίδες παρισάνουν α άοµα). Εφ όσον η γραµµοααξία περάσει από ην µία άκρη ου κρυσάλλου σην άλλη, όε ο κάω µήµα ου κρυσάλλου (δηλ. αυό που βρίσκεαι κάω από ο επίπεδο ολίσθησης) µεαοπίζεαι σε σχέση µε ο επάνω καά µία απόσαση b, που ονοµάζεαι διάνυσµα Burgers και είναι χαρακηρισική ιδιόηα ης γραµµοααξίας. Σις γραµµοααξίες ακµής ο διάνυσµα Burgers και η γραµµή ης γραµµοααξίας είναι κάθεα 109

µεαξύ ους, µε αποέλεσµα να ορίζεαι πάνοε µόνο ένα επίπεδο ολίσθησης πάνω σο οποίο µπορεί να ολισθήσει η γραµµοααξία ακµής. επίπεδο ολίσθησης 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 b 4 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7 Σχ. 9: Ολίσθηση γραµµοααξίας ακµής. Το ελικό αποέλεσµα ης ολίσθησης ης γραµµοααξίας είναι όι ουσιασικά έχει ολισθήσει ο µήµα ου κρυσάλλου που βρίσκεαι πάνω από ο επίπεδο ολίσθησης (βλ. Σχ. 9) ως προς ο µήµα ου κρυσάλλου που βρίσκεαι κάω από ο επίπεδο ολίσθησης. Το αποέλεσµα είναι ίδιο µε αυό ου Σχ. 4, όπου εκεί είδαµε πώς µπορεί να πραγµαοποιηθεί η ολίσθηση κρυσαλλικών επιπέδων χωρίς ην ύπαρξη γραµµοααξίας. Ωσόσο, µε ην γραµµοααξία η διαµηική άση που απαιείαι για ην ολίσθηση αυή είναι καά πολύ µικρόερη από ην θεωρηική. Και αυό επειδή ώρα αρκεί µία µικρή διαµηική άση για να ολισθήσει µόνο η γραµµοααξία, ενώ σην περίπωση ου Σχ. 4 έπρεπε να ολισθήσει αυόχρονα ολόκληρο ο κρυσαλλικό επίπεδο. Το ελικό αποέλεσµα και σις δύο περιπώσεις (Σχ. 4 και Σχ. 9) είναι ο ίδιο, ώρα όµως επιυγχάνεαι µε πολύ µικρόερη διαµηική άση. Αυός είναι ο λόγος που η πειραµαικά µερηµένη ανοχή µονοκρυσάλλων σε διάµηση ( ο ) είναι πολύ µικρόερη από ην ανίσοιχη θεωρηική ( th ). Ένα άλλο είδος γραµµοααξίας είναι η γραµµοααξία έλικα (screw dislocation). Οι διαφορές ης µε η γραµµοααξία ακµής είναι όι η γραµµοααξία έλικα δεν χρειάζεαι 110

ηµιελές κρυσαλλικό επίπεδο για να σχηµαισθεί και, κυρίως, όι σην γραµµοααξία έλικα ο διάνυσµα Burgers και η γραµµή ης γραµµοααξίας είναι παράλληλα µεαξύ ους. Αυό έχει σαν συνέπεια να µην ορίζεαι µόνο ένα, αλλά περισσόερα πιθανά επίπεδα ολίσθησης, επάνω σα οποία µπορεί να ολισθήσει η γραµµοααξία έλικα. Έσι, οι γραµµοααξίες έλικα έχουν η δυναόηα, όαν ολισθαίνουν επάνω σε ένα συγκεκριµένο επίπεδο ολίσθησης και συνανήσουν κάποιο εµπόδιο, να αλλάξουν επίπεδο ολίσθησης και να συνεχίσουν ην πορεία ους. Η διαδικασία αυή ονοµάζεαι σαυρολίσθηση (cross-slip). Σο Σχ. 10 φαίνοναι α βασικά γεωµερικά χαρακηρισικά ης γραµµοααξίας έλικα. Η ονοµασία ης προέρχεαι από ο γεγονός όι α κρυσαλλικά επίπεδα γύρω από ην γραµµή ης γραµµοααξίας σχηµαίζουν µία ελικοειδή επιφάνεια. Ο ρόπος µε ον οποίο ολισθαίνει η γραµµοααξία έλικα µέσα σε έναν κρύσαλλο, πάνοε κάω από ην επίδραση µίας διαµηικής άσης παράλληλης προς ο επίπεδο ολίσθησης, φαίνεαι σο Σχ. 11. Όπως η γραµµοααξία ακµής έσι και η γραµµοααξία έλικα παραµορφώνει ελασικά ο κρυσαλλικό πλέγµα που βρίσκεαι σην άµεση γειονιά ης, µε αποέλεσµα γύρω ης να δηµιουργείαι ένα πεδίο ελασικών άσεων. Σε ανίθεση µε ην γραµµοααξία ακµής, ο ασικό πεδίο γύρω από ην γραµµοααξία έλικα περιέχει µόνο διαµηικές και όχι ορθές άσεις. Οι διαµηικές αυές άσεις µπορούν να υπολογισούν προσεγγισικά από ις εξής σχέσεις: G b y xz = (17) 2 2 2π x + y G b 2π yz = (18) 2 2 x x + y Οι γραµµοααξίες και οι ιδιόηές ους είναι ένα θέµα µε εράσια επισηµονική και εχνολογική σηµασία ση µεαλλουργία. Αυός είναι άλλωσε και ο λόγος που υπάρχει εκενέσαη βιβλιογραφία σχεικά µε ο θέµα αυό, σην οποία θα πρέπει να αναρέξει κανείς για µια πιο λεποµερή ανάλυση. Αυό που έχει µεγάλο πρακικό ενδιαφέρον είναι όι, εφόσον η ολίσθηση ων γραµµοααξιών παράγει ουσιασικά ην πλασική παραµόρφωση ων µεαλλικών υλικών, κάθε µηχανισµός που οποθεεί εµπόδια σην ολίσθηση ων 111

γραµµοααξιών ισχυροποιεί ο υλικό, αυξάνει δηλαδή ο µέγεθος ων µηχανικών φορίων που µπορεί να ανέξει ο υλικό, χωρίς να υποσεί πλασική διαρροή. διεύθυνση ολίσθησης επίπεδο ολίσθησης γραµµή γραµµοααξίας Σχ. 10: Γεωµερικά χαρακηρισικά ης γραµµοααξίας έλικα. γραµµή ααξίας επίπεδο ολίσθησης διεύθυνση ολίσθησης b Σχ. 11: Ολίσθηση γραµµοααξίας έλικα. 112

6. Πλεγµαική Ανίσαση Πλεγµαική ανίσαση (lattice resistance) ή άση Peierls Nabarro είναι η ανίσαση που προβάλλει ο ίδιο ο κρυσαλλικό πλέγµα σην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας. Όπως είδαµε σην προηγούµενη ενόηα, η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας ακµής ή έλικα δεν είναι συνεχής, αλλά βηµαική (βλ. Σχ. 9 και 11). Για να προχωρήσει η γραµµοααξία χρειάζεαι σε κάθε βήµα να σπάσουν ορισµένοι χηµικοί δεσµοί και να γίνει κάθε φορά µία µικρή αναδιάαξη ων αόµων, που βρίσκοναι σε άµεση γεινίαση µε ην γραµµοααξία. Αυές οι διαδικασίες έχουν σαν αποέλεσµα να εµφανίζεαι πλεγµαική ανίσαση απένανι σην ολίσθηση ων γραµµοααξιών. Οι Peierls και Nabarro πρώοι διεύπωσαν ην πρόαση όι η διαµηική άση, που απαιείαι για να προκαλέσει ην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας επάνω σε ένα επίπεδο ολίσθησης και προς µία συγκεκριµένη διεύθυνση ολίσθησης, δίδεαι προσεγγισικά από ην εξής σχέση: P 2G e 1 ν 2π W b (19) Σην Εξ. (19) G είναι ο µέρο διάµησης και ν ο λόγος Poisson ου υλικού, b η απόσαση ων αόµων προς ην διεύθυνση ολίσθησης (βλ. και Σχ. 5) και W ο πλάος ή εύρος ης γραµµοααξίας. Σαν πλάος γραµµοααξίας ορίζεαι η απόσαση εκαέρωθεν ης γραµµής ης γραµµοααξίας, µέχρι ην οποία α γειονικά κρυσαλλικά επίπεδα έχουν µεαοπισεί από ις κανονικές θέσεις ισορροπίας ους (βλ. και Σχ. 7). Ο ρόπος που ορίζεαι ο πλάος γραµµοααξίας W φαίνεαι παρασαικά σο Σχ. 12. (Προσέξε όι ουσιασικά η γραµµή ης γραµµοααξίας χωρίζει ο µήµα ου κρυσάλλου από ο οποίο έχει ήδη περάσει και άρα έχει προκαλέσει ολίσθηση, από ο υπόλοιπο µήµα ου κρυσάλλου, από ο οποίο δεν έχει περάσει ακόµη.) 113

µήµα ου κρυσάλλου που έχει ολισθήσει πλάος ααξίας µήµα ου κρυσάλλου που δεν έχει ολισθήσει ακόµη Σχ. 12: Πλάος (W) γραµµοααξίας. Σην Εξ. (19) ο πλάος ης γραµµοααξίας βρίσκεαι υψωµένο σον εκθέη, γεγονός που σηµαίνει όι η πλεγµαική ανίσαση εξαράαι ισχυρά από ην διάαξη ων άµεσα γειονικών προς ον πυρήνα ης γραµµοααξίας αόµων. Φυσικά, οι αποσάσεις αυές είναι δύσκολο να µερηθούν πειραµαικά, γεγονός που δεν µας επιρέπει να υπολογίσουµε ποσοικά µε ακρίβεια ην πλεγµαική ανίσαση σε διάφορα υλικά. Ωσόσο, η Εξ. (19) έχει µεγάλη ποιοική αξία, επειδή αποδεικνύει όι αρκεί µία σχεικά µικρή διαµηική άση για να προκαλέσει ολίσθηση ων γραµµοααξιών (ολίσθηση όαν P ). Σις γραµµοααξίες ακµής ο πλάος ης γραµµοααξίας είναι περίπου W = α/(1-ν), όπου α είναι η απόσαση µεαξύ ων κρυσαλλικών επιπέδων όπου λαµβάνει χώρα η ολίσθηση (βλ. Σχ. 5). Ανίθεα, ο πλάος µίας γραµµοααξίας έλικα είναι περίπου W = α. Αυό σηµαίνει όι οι γραµµοααξίες ακµής έχουν µεγαλύερο πλάος και εποµένως, σύµφωνα µε ην Εξ. (19), µπορούν να ολισθήσουν µε µικρόερη εφαρµοζόµενη διαµηική άση (ο P για γραµµοααξία ακµής είναι µικρόερο από ο P για γραµµοααξία έλικα). Επίσης, η Εξ. (19) και οι σχέσεις για ο πλάος ης γραµµοααξίας εξηγούν γιαί η ολίσθηση συµβαίνει καά προίµηση επάνω σε πυκνά κρυσαλλικά επίπεδα και προς ις πυκνές διευθύνσεις. Τα πυκνά επίπεδα, όπως για παράδειγµα α {111} σην δοµή fcc, έχουν µεγαλύερη απόσαση α µεαξύ ους από όι α µη πυκνά επίπεδα. Καά συνέπεια, η πλεγµαική ανίσαση P είναι µικρόερη σα πυκνά επίπεδα από όι σα µη πυκνά, γεγονός που σηµαίνει όι οι γραµµοααξίες µπορούν να ολισθήσουν σα πυκνά επίπεδα µε πολύ µικρόερες διαµηικές άσεις σε σύγκριση µε α µη πυκνά. Αυός είναι και ο λόγος που σις 114

κρυσαλλικές δοµές fcc και hcp (όπου πυκνά είναι α επίπεδα {0001}) η ολίσθηση ων γραµµοααξιών γίνεαι σχεδόν αποκλεισικά επάνω σα πυκνά επίπεδα. Επίσης, η διεύθυνση ολίσθησης ων γραµµοααξιών συµπίπει µε ις πυκνές διευθύνσεις ων πυκνών επιπέδων, επειδή σις διευθύνσεις αυές η απόσαση µεαξύ ων αόµων b είναι η ελάχιση δυναή, οπόε σύµφωνα µε ην Εξ. (19) σε αυές ις διευθύνσεις ελαχισοποιείαι η ανίσαση πλέγµαος P. Σις δοµές fcc και hcp οι πυκνές διευθύνσεις είναι οι <110> και < 1120 >, ανίσοιχα. Εποµένως, σις δοµές fcc και hcp η ολίσθηση ων γραµµοααξιών πρέπει να λαµβάνει χώρα καά προίµηση σα συσήµαα ολίσθησης {111}<110> και {0001} < 1120 >, ανίσοιχα, γεγονός που έχει επιβεβαιωθεί πειραµαικά. (Αυό δεν σηµαίνει όι η ολίσθηση γίνεαι αποκλεισικά σε αυά α συσήµαα. Σε µεγάλες ιµές πλασικής παραµόρφωσης ενεργοποιούναι και άλλα µη πυκνά συσήµαα ολίσθησης.) 7. Παραµόρφωση Μονοκρυσάλλου από Ολίσθηση Γραµµοααξίας Έχει ενδιαφέρον να υπολογίσουµε η διαµηική παραµόρφωση που παράγει η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο. Εάν υποθέσουµε όι µία γραµµοααξία (ακµής ή έλικα) ολισθήσει µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο µέχρις όου κααλήξει σην εξωερική ου επιφάνεια, ο αποέλεσµα ης ολίσθησης αυής θα είναι η δηµιουργία ενός σκαλοπαιού ή, όπως λέµε καλύερα, ενός βήµαος ολίσθησης (slip step) σην εξωερική επιφάνεια (βλ. και Σχ. 4). Το µήκος ου βήµαος ολίσθησης θα ισούαι µε ο διάνυσµα Burgers ης γραµµοααξίας, b. Κοιάζονας ο Σχ. 13, βλέπουµε όι η ολίσθηση ης γραµµοααξίας προκάλεσε διαµηική παραµόρφωση σον µονοκρύσαλλο, η οποία ισούαι µε γ = b/h. Εάν για παράδειγµα ο κρύσαλλος έχει h = 1 cm, η διαµηική παραµόρφωση που παράγει η ολίσθηση µίας γραµµοααξίας είναι ης άξεως ου γ 10-8, που είναι µία πολύ µικρή πλασική παραµόρφωση. Εποµένως, φαίνεαι όι για να παραχθούν πλασικές παραµορφώσεις που µπορούµε να παραηρήσουµε και να µερήσουµε µακροσκοπικά, χρειάζεαι να γίνει ολίσθηση πάρα πολλών γραµµοααξιών µέσα σον κρύσαλλο. Η συνολική µακροσκοπική πλασική παραµόρφωση που παραηρούµε σε ένα κρυσαλλικό υλικό, είναι ο άθροισµα ων µικροσκοπικών παραµορφώσεων που παράγει η ολίσθηση ενός πολύ µεγάλου πλήθους γραµµοααξιών. Έσι, εάν ρεις γραµµοααξίες είχαν ολισθήσει σε ρία διαφορεικά και παράλληλα µεαξύ ους επίπεδα ολίσθησης, η διαµηική παραµόρφωση που θα παρήγαγαν συνολικά θα ήαν απλώς γ = 3b/h. 115

b γ h Σχ. 13 Ας θεωρήσουµε ώρα ην περίπωση όπου µία γραµµοααξία ολισθαίνει εν µέρει µέσα σε έναν µονοκρύσαλλο, χωρίς δηλαδή να κααλήξει σην εξωερική ου επιφάνεια, Σχ. 14. Αφού b είναι ο βήµα ολίσθησης που παράγει η γραµµοααξία σον κρύσαλλο εφόσον ολισθήσει σε όλο ου ο µήκος (L), η ολίσθηση που παράγεαι όαν ολισθήσει µόνο εν µέρει µέσα σον κρύσαλλο καά µία απόσαση x i (0<x i <L) θα είναι: x i δ i = b (20) L Το δ i είναι ουσιασικά η µεαόπιση ου άνω µήµαος ου κρυσάλλου σε σχέση µε ο κάω, που προκλήθηκε από ην ολίσθηση µίας γραµµοααξίας καά µία απόσαση x i επάνω σο επίπεδο ολίσθησης. Εάν έχουµε Ν γραµµοααξίες σε διάφορα παράλληλα µεαξύ ους επίπεδα ολίσθησης, κάθε µία εκ ων οποίων ολισθαίνει καά µία απόσαση x i µέσα σον κρύσαλλο, όε η συνολική µεαόπιση ου άνω µήµαος ου κρυσάλλου σε σχέση µε ο κάω θα είναι: 116