ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης. Οι αριθμοί α,β λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Αν α 0, η () έχει μόνο μια λύση (ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η () είναι αδύνατη (δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η () είναι ταυτότητα ή αόριστη (αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) 7 ii. 0 Λύση : i. ( ) 7 6 7 6 7 9 9 9 9 ii. Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω (,,0) 0 και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών. (,,0) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 6 6. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) ( ) 7 ii. Λύση : i. ( ) ( ) 6 6 6 6 0 Η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του, καμία λύση) 7 7 ii. 6 6 ( ) 7 6 7 7 7 0 0 Η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλ. αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, άπειρες λύσεις) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) 6 ( ) ii. 6 iii. 6 iv. 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, αν οι συντελεστές α,β είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Έτσι όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάθε ορος που περιέχει το θεωρείται άγνωστος και μεταφέρεται στο ο μέλος, ενώ κάθε ορος που περιέχει το λ (ή μ κτλ) θεωρείται γνωστός και μεταφέρεται στο ο μέλος. Για να λύσουμε μια παραμετρική ο βάθμια εξίσωση : Βήμα : φέρνω την εξίσωση στη μορφή Βήμα : βρίσκω τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει : 0 Βήμα : όταν 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση τη Βήμα : για τις τιμές της παραμέτρου που ισχύει 0, αντικαθιστώ στην αρχική εξίσωση και προκύπτει είτε αδύνατη είτε ταυτότητα (αόριστη) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Λύση : Βήμα : ( ) Βήμα : 0 ή 0 ( )( ) 0 ή Βήμα : Αν και η εξίσωση έχει μοναδική λύση : ( ) ( )( ) Βήμα : Αν τότε : ( ) ( ) 0 0 είναι ταυτότητα τότε : ( ) ( ) 0 Αν 0 0 είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 6. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθούν οι εξισώσεις i. ( ) ii. ( ) iii. ( ) iv. ( ) 7. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 8. Έστω η εξίσωση : ( ) 6( ) (). Να βρεθεί για ποιες τιμές του η εξίσωση () i. Έχει λύση το ii. Έχει μοναδική λύση το iii. Είναι αδύνατη. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τη βοήθεια της πρότασης : «Ένα γινόμενο παραγόντων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν». Η διαδικασία που ακλουθούμε είναι η εξής : Βήμα : μεταφέρω όλους τους όρους στο ο μέλος, οπότε στο ο μένει μηδέν Βήμα : παραγοντοποιώ το ο μέλος, ώστε να σχηματιστεί γινόμενο παραγόντων ισο με το μηδέν, οπότε εφαρμόζουμε την παραπάνω πρόταση. ΘΥΜΗΣΟΥ : ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y y y(y ), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 0 ( ) ( ) ( )( ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. (Άσκηση 7 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) ( ) ( ) 0 ii. ( ) ( )( ) 0. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 ( )( ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λύση : i. ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ή 0 0. (Άσκηση 0 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : i. 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) ( )( ) ii. ( ) 0 iii. ( 7) 9 0 iv. ( ) ( )( ) 0 v. ( ) vi. ( 6)( ) ( )( 8) vii. ( )( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. Λύση : i. ( )( ) ( )( ) Πρέπει : ( )( ) 0 & Έτσι έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) απορρίπτεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. ( ) ( ) Πρέπει : ( ) 0 0 & 0 Έτσι έχω : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ταυτότητα δηλ. η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε,0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 7 9 iii. iv. 8 0 v. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΡΦΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι εξισώσεις αυτές έχουν ή μπορούν να πάρουν μια από τις επόμενες μορφές : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f () για 0 δίνει f () ή f () για α=0 δίνει f()=0 και για α<0 είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) 9 ( ) 6 9 ή ( ) 6 για g ( ) 0, έχω : f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) για g ( ) 0, η εξίσωση f ( ) g( ) είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: πρέπει 0. Έτσι για έχω :,. ή ( ),. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) h( ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ( ) 0 και g ( ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: () Έχω : 0 και 0 - + - 0 + + - - 0 + Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) αδύνατο γιατί (, ) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. Λύση : i. ή 8 ή ή ii. ) ( ή ή iii., πρέπει 0. Έτσι για έχω : ή ή ή ή,., ) ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. iv. v. vi. vii. 6 viii. i. 6 7 9 6. i.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ii. iii. iv. v. ( ) 6 0 vi. vii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ v. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 7 7 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 6 0 6 6 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 6 0 6 6 6 6 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Αδύνατη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 Λύση : i. 0. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : ii. 0 Λύση : ii. 0. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. 6 0 Λύση : iii. 6 0 ( 6) 0 0 ή 6 0 6 αδύνατη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) 6 0 iii) 7 6 0 iv) 8 0 v) 0 vi) 6 0 vii) 8 0 7 0 viii) 0 i) ( ) 6 0 ) ( ) 0 0 i) ( )( 8) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Διακρίνουσα Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες :, Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα : Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι 9 8 0, έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ( ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι 0 00 00 0, έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την 0 0 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) 6 9 0 0 Είναι ( ) 8 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ. 6 0 6 6 π.χ. 69 0 69 69 π.χ. 0 π.χ. 0 Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 0 ( ) 0 0 ή 0 π.χ. 6 0 ( 6) 0 0 ή 6 0 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 0 ii) 6 9 0 iii) ( ) ( 9) iv) 9 0 v) 9 0 vi) 7 0 vii) 0 viii) 7 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA Σε περίπτωση που η εξίσωση : 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε για το άθροισμα S και το γινόμενο P ισχύει : S S P P Οι παραπάνω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Με τη βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση : 0 μετασχηματίζεται : 0 S P 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση 6 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. και ii. και iii. 6 και 6 Λύση : i. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P 6, άρα 6 0 ii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P, άρα 0 0 iii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S 6 6 S 0 και P P ( 6) ( 6) P ( 6) P P, άρα 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (Άσκηση 7 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 9 και γινόμενο 0. Λύση : i. Έχω S S και P P, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : S P 0 0, έχω 60 6 και ( ) 6 8, ii. Έχω S S 9 και P P 0, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης :, ( 9) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : S P 0 9 0 0, έχω 8 0 και 9 9 9. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. - και ii. και iii. 7 και 7 iv. και 6. Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 6 και γινόμενο 6 iii. Άθροισμα και γινόμενο 7. Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να υπολογίσετε τη διακρίνουσα τους. i. 6 0 ii. 8 0 iii. 0 iv. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΥ ΜΟΡΦΗ : 0, 0 Επειδή : τότε : 0 0 και έπειτα θέτω 0, οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται 0, 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Λύση : Έχω 0 0. Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 0, 0,,, ή ή 7,. Για ή Για 7 7 Αδύνατη. ΜΟΡΦΗ : 0 (ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ) Έχουν τη μορφή 0, 0 και λύνονται με αντικατάσταση : 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 Λύση : Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 7 0. Είναι 9 ( ) 9 8 0, Για Για Αδύνατη., ( 7) 8 7 9, ή ή,. ΜΟΡΦΗ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 8 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 8 Λύση : ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8 8 0 6 0 (δεκτή) ή (δεκτή). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. 0 7 8 ii. 0 6 iii. 0 iv. 0 7 v. 0 6 vi. 0 7 0 9. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. 0 ) ( ii. 0 ) ( iii. 0 iv. 0 6 ) 7( ) ( v. 0 0 9 vi. 0 7 vii. 0 6 6 viii. 0 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. 0 ii. iii.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, 0, αν οι συντελεστές α,β,γ είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0, 0 : έχει δυο ρίζες άνισες, αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. τουλάχιστον μια), αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει μια διπλή ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. είναι αδύνατη), αρκεί να δείξουμε ότι 0 Επιπλέον οι τύποι του Vieta μπορούν να συνδυαστούν με τις ρίζες τις εξίσωσης, δηλαδή αν θέλουμε η εξίσωση 0, 0 να έχει : δυο ρίζες άνισες θετικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες αρνητικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες ετερόσημες, τότε πρέπει 0, P 0 δυο ρίζες αντιστροφές, τότε πρέπει 0, P δυο ρίζες αντίθετες, τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα θετική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα αρνητική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα το μηδέν (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες : i. ( ) 0, 0 ii. ( ) 0, 0 Λύση : i. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 0 ισχύει για κάθε (άρα και για κάθε 0 ) ii. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) ( ) 0 ισχύει για κάθε, (άρα και για κάθε 0 ). (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 0, 0 έχει διπλή ρίζα. Λύση : Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει 0, έχω :,, Οπότε 0 0 0 0 ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες i. ( ) 0 ii. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0, έχει μια διπλή ρίζα.. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 6. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 7. Δίνεται η εξίσωση (6 ) 0 0 έχει ρίζα τον αριθμό. i. Να βρεθεί ο λ ii. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει και άλλη μια ρίζα, διαφορετική του. 8. Αν, με, να δειχτεί ότι η εξίσωση : ( ) ( ) 0 έχει δυο ρίζες άνισες. * 9. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 με,. Να αποδείξετε ότι : i. η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες, ii. οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7. 8. 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0.... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7. 8. 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6. 7. 8. 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 6. 7. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. 9. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 0