5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα ειρά ακήεων αναφέρεται ε ελατικές επιλύεις αξονουμμετρικών φορτίεων παραμορφώεων. Οι περιπτώεις που εξετάζονται είναι οι εξής : Φόρτιη από υγκεντρωμένο κατακόρυφο φορτίο, P Φόρτιη από ομοιόμορφη ορθή πίεη,, ε κυκλική επιφάνεια Και τις δύο περιπτώεις το έδαφος προομοιάζεται αν ελατικός ιότροπος ημίχωρος. Γενικά ε περιπτώεις αξονουμμετρικής φόρτιης και γεωμετρίας, δηλαδή ε αξονική (κυλινδρική) υμμετρία, οι τάεις και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη ε κυλινδρικό ύτημα υντεταγμένων είναι ανεξάρτητα της γωνίας θ. ηλαδή, ιχύουν οι παρακάτω χέεις : () uθ γ θ γ θ θ θ 0, θ 0 παραγώγιη μεγέθους ( ) ως προς την γωνία θ u ΠΡΟΣΟΧΗ : Ιχύει, ε θ 0. θ Α u θ u u Α Κυλινδρικό Σύτημα Συντεταγμένων & Μετατόπιη του Σημείου Α ( u, u θ, u ) Ως προς την μεθοδολογία επίλυης, την περίπτωη του υγκεντρωμένου κατακόρυφου φορτίου P οι κατανομές των τάεων ε οποιοδήποτε ημείο του ημιχώρου (έδαφος) προκύπτουν με κλειτή αναλυτική μορφή. Αντιθέτως, την περίπτωη της ομοιόμορφης ορθής κυκλικής πίεης οι --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 τιμές της πρόθετης κατακόρυφης τάης ( ) δίνονται υπό μορφή αδιάτατων διαγραμμάτων. Υπό μορφή αδιάτατων διαγραμμάτων δίνονται και οι τιμές των κυρίων τάεων και από την πρόθετη κυκλική επιφόρτιη. Όμως, οι διευθύνεις των αντίτοιχων κυρίων επιπέδων δεν είναι γνωτές. Ειδικότερα για κάθε φόρτιη ιχύει : Φόρτιη από υγκεντρωμένο κατακόρυφο φορτίο, P P θ d θ d θ Πολικές Συντεταγμένες Ιχύει ε κάθε θέη : Συγκεντρωμένο Φορτίο P & Oρθές Τάεις ε εδαφικό τοιχείο θ θ 0, +, + Επομένως, η τάη θ είναι κύρια τάη. P, Συγκεντρωμένο Φορτίο P & Τάεις ε εδαφικό τοιχείο το επίπεδο θ κύρια τάη Οι κατανομές των τάεων δίνονται από τις χέεις : ( ) ( ) P P v v P P,, θ, 5 π π + π + π 5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Η κατακόρυφη τάη είναι ανεξάρτητη των ελατικών ταθερών Ε, v του ημίχωρου. --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 -- Φόρτιη από ομοιόμορφη ορθή πίεη,, ε κυκλική επιφάνεια Για το τυχαίο εδαφικό τοιχείο Α οι κατανομές των κυρίων τάεων, καθώς και της κατακόρυφης τάης προκύπτουν από τα επόμενα αδιάτατα διαγράμματα, ως προς τις παραμέτρους γεωμετρίας /, / όπου : η ακτίνα του κυκλικού πεδίλου. Ειδικότερα ιχύει : ) /, / ( f f f ) /, / ( ) /, / ( Οι κύριες διευθύνεις των τάεων εξακολουθούν να μένουν άγνωτες. Στον άξονα του κυκλικού φορτίου ιχύει : θ. Η κατανομή της κατά μήκος του άξονα, δηλαδή για 0, δίνεται από την χέη : + Και ε αυτήν την περίπτωη ιχύει η παρατήρηη της φόρτιης με ημειακό φορτίο P. Ακολουθούν τα αδιάτατα διαγράμματα για την κατανομή των τάεων την φόρτιη με ορθή πίεη ε κυκλική επιφάνεια. Κυκλικό Φορτίο & Τάεις ε εδαφικό τοιχείο A θ? A(,)

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 / / / Κατανομή της κατακόρυφης τάης με το βάθος [ ιάγραμμα (α) ] -4-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 / / / / / / Κατανομή των κυρίων τάεων, με το βάθος [ ιαγράμματα (β) και (γ) ] -5-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηη (α) Ζητείται να προδιοριθούν οι τάεις,, και για το ημείο Α( A 0, A A m) για την φόρτιη του παρακάτω χήματος. P 800 kn O m A m θ E 90 MPa ν 0.0, Για τον υπολογιμό των τάεων το ημείο Α, θα πρέπει να προδιοριτούν οι γεωτατικές τάεις καθώς και οι επιπρόθετες τάεις από την φόρτιη του υγκεντρωμένου φορτίου P. Η επαλληλία των δύο κατατάεων δίνει και το ζητούμενο αποτέλεμα. Τονίζεται ότι είναι επιτρεπτή η χρήη της επαλληλίας των δυο κατατάεων μιας και χρηιμοποιείται η θεωρία της Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας (Γ.Ι.Ε.). Με κοπό τον υπολογιμό των γεωτατικών τάεων θεωρείται ότι το έδαφος έχει ένα τυπικό ειδικό βάρος γ 8 kn/m. Γίνεται η υπόθεη ότι ο Υδροφόρος Ορίζοντας είναι ε μεγάλο βάθος. Ο υντελετής οριζοντίων ωθήεων με παρεμπόδιη της πλευρικής παραμόρφωης δίνεται από την χέη : v 0.0 K o K o 0.49 v 0.0 Υπολογιμός γεωτατικών τάεων το ημείο Α: Ολική κατακόρυφη τάη : γ 8.0 6.00 v A v Ενεργός κατακόρυφη τάη : u 0 ' ' u 6.00 v Ενεργός οριζόντια τάη : ' K ' 0.49 6 ' ' 5.4 h ' o h -6-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Ολική οριζόντια τάη : ' + u 5.4 h Στην γεωτατική κατάταη δεν αναπτύονται καθόλου διατμητικές τάεις. Σχετικά με τις επιπρόθετες τάεις που προκύπτουν από το υγκεντρωμένο φορτίο P χρηιμοποιούνται οι αναλυτικοί τύποι που παρατέθηκαν προηγουμένως. Με βάη και το παραπάνω χήμα της άκηης ιχύουν τα εξής : A.00 m, A.00 m +.00 +.00.8 m Άρα προκύπτει : P π 800.00 π.8 5 5 θ P π ( v) + 800.00.00 π.8.8 ( v) P π + ( 0.0) 6.8 ( 0.0).8.8 +.00 800.00.8 π.8.8.8 +.00 0.77. P π 800.00.00 5 π.8 5 Όλες οι άλλες διατμητικές τάεις είναι μηδενικές. 6.8 Εφαρμόζοντας επαλληλία ανάμεα τις δύο κατατάεις προκύπτουν οι ζητούμενες τάεις : + 6.00 + 6.8, f, f 5.8 + 5.4+., f, f 8.54 ( 0.77) 4.66 + 5.4 +, f, f + 0.00 + 6.8, f, f 6.8 Τονίζεται ότι το επίπεδο δεν αναπτύονται καθόλου διατμητικές τάεις, με υνέπεια η ορθή τάη,f θ,f να είναι ταυτόχρονα και κύρια τάη το επίπεδο αυτό. -7-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 (β) Ζητούνται οι κύριες τάεις, και για το ημείο Α, καθώς και οι αντίτοιχες διευθύνεις τους. Επειδή η τάη,f θ,f είναι κύρια τάη, η μεταβολή με την διεύθυνη των, τ το επίπεδο μπορεί να παραταθεί με κύκλο Moh. ηλαδή οι άλλες δύο κύριες τάεις μπορούν να προδιοριθούν με τροφή του επιπέδου ως προς τον άξονα. Η εντατική κατάταη για το εδαφικό τοιχείο Α το επίπεδο εικονίζεται παρακάτω : O A Οι τάεις που ακούνται το εδαφικό τοιχείο είναι οι εξής (για λόγους απλότητας αγνοείται ο όρος f) : 5.8, 8.54, 6.8-8-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Στην υνέχεια χεδιάζεται ο κύκλος του Moh, έχοντας υπόψη την ύμβαη των θετικών τάεων. Η τελευταία αναφέρει ότι θετικές ορθές τάεις είναι οι θλιπτικές, και θετικές διατμητικές τάεις είναι οι αριτερότροφες. Επομένως, με βάη την εντατική κατάταη του προηγούμενου χήματος προδιορίζονται τα ημεία του κύκλου του Moh : A (, ) ( 5.8, -6.8 ) B (, ) ( 8.54, 6.8 ) Ενώνοντας τα δύο ημεία με μία γραμμή, μπορεί να προκύψει το κέντρο O του κύκλου του Moh ως η τομή της με τον άξονα των ορθών τάεων. Έχοντας προδιορίει το κέντρο Ο του κύκλου μπορεί να χεδιαθεί ο κύκλος με ακτίνα (ΟΑ) (OB). Σχετικά με τον προδιοριμό του πόλου περιτροφής O του κύκλου του Moh, από το ημείο Α φέρνουμε παράλληλη ευθεία το επίπεδο το οποίο ακείται η τάη, δηλαδή οριζόντια ευθεία. Ανάλογα από το ημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη το επίπεδο το οποίο ακείται η τάη, δηλαδή κατακόρυφη ευθεία. Οι τομές των δύο ευθειών με τον κύκλο είναι ο πόλος περιτροφής O όπως εικονίζεται και το προηγούμενο χήμα. Το κέντρο του κύκλου του Moh O βρίκεται ε απόταη από την αρχή των αξόνων : + S 5.8 + 8.54 S 40.69 Στην υνέχεια προδιορίζεται η απόταη h : h S 40.69 8.54 h.5 Επομένως, η ακτίνα του κύκλου του Moh υπολογίζεται από την χέη : h +.5 + 6.8 0.75 Επομένως, οι κύριες τάεις προκύπτουν από τις χέεις : S + 40.69 + 0. 75 6.44 S 40.69 0. 75 9.94 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Είναι γνωτό ότι η τάη είναι τανυτικό μέγεθος, και υγκεκριμένα τανυτής δευτέρας τάξεως. Επομένως, ιχύουν όλοι οι νόμοι περί του μεταχηματιμού των τανυτών. Με βάη την πρώτη αναλλοίωτη του τανυτή των τάεων θα πρέπει να ιχύει : Ι + +, η οποία ιχύει για την υγκεκριμένη περίπτωη. Η παραπάνω χέη αποτελεί έναν έλεγχο την διαδικαία υπολογιμού των πράξεων. -9-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Επομένως, οι κύριες τάεις το εδαφικό τοιχείο Α είναι οι εξής ( > > ) : 4.66, με διεύθυνη αυτή του άξονα 6.44, με διεύθυνη (βλέπε γωνία θ το προηγούμενο χήμα) : tan θ 6.8 + h 0.75 +.5 ο θ 7, ως προς το οριζόντιο επίπεδο 9.94, με διεύθυνη (βλέπε γωνία θ το προηγούμενο χήμα) : θ 6 o ο 90 θ, ως προς το οριζόντιο επίπεδο ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηη (α) Ζητείται να προδιοριθούν οι κύριες τάεις, και οι αντίτοιχες διευθύνεις τους τα ημεία Α ( A 0, A m) και Β ( Β m, B m), οι οποίες οφείλονται το πρόθετο φορτίο () της κυκλικής δεξαμενής του παρακάτω χήματος. Σ.Υ.Ο. 6.00 m O m 00 m Α Β Άργιλος γ 0 kn/m Υπολογιμός Τάεων το ημείο Α Το ημείο Α βρίκεται τον άξονα της ομοιόμορφης ορθής κυκλικής πίεης. Γενικά για κάθε ημείο πάνω τον άξονα της κυκλικής φόρτιης, λόγω της υμμετρίας ως προς τον ίδιο άξονα, οι διατμητικές τάεις είναι μηδενικές. ηλαδή ιχύει : 0. Επομένως, με την απουία των διατμητικών τάεων, οι ορθές τάεις και είναι κύριες τάεις. Οι διευθύνεις των κυρίων τάεων είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη. Όλα τα παραπάνω υμπεράματα εφαρμόζονται και την παρούα άκηη για το ημείο Α. -0-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Για το ημείο Α ιχύουν τα ακόλουθα : A 0,.00 m, A.00 m Επομένως, προκύπτει : A 0 A και Από τα διαγράμματα (β) και (γ) προκύπτει για τις παραπάνω τιμές : ιάγραμμα (β) : ιάγραμμα (γ) : 0.645 64.50, με κύρια διεύθυνη την κατακόρυφη. 0.0 0.00, με κύρια διεύθυνη την οριζόντια. Συνοπτικά η εντατική κατάταη το ημείο Α είναι η παρακάτω : O A Οι τάεις που ακούνται το εδαφικό τοιχείο είναι οι εξής : 64.50, 0.00 Υπολογιμός Τάεων το ημείο Β Το ημείο Β δεν βρίκεται τον άξονα της ομοιόμορφης ορθής κυκλικής πίεης και επομένως οι παρατηρήεις που έγιναν για το ημείο Α δεν εφαρμόζονται. Για το ημείο Β ιχύουν τα ακόλουθα : Β.00 m,.00 m, B.00 m Επομένως, προκύπτει : B B 0.67 και --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Από τα διαγράμματα (β) και (γ) προκύπτει για τις παραπάνω τιμές : ιάγραμμα (β) : ιάγραμμα (γ) : 0.55 55.00 0.07 7.00 Οι διευθύνεις των κυρίων τάεων και εξακολουθούν να παραμένουν άγνωτες. Στην υνέχεια, μέω του διαγράμματος (α), προδιορίζεται η κατακόρυφη τάη το ημείο Β που αντιτοιχεί την κυκλική φόρτιη (). Τονίζεται ότι το ημείο Β δεν μπορούν να προδιοριθούν άμεα η οριζόντια και οι διατμητικές τάεις. Έμμεος προδιοριμός μπορεί να γίνει μέω του κύκλου του Moh. ιάγραμμα (α) : 0.50 50.00 Συνοπτικά η εντατική κατάταη το ημείο Β είναι η παρακάτω (ποιοτική απεικόνιη τάεων το εδαφικό τοιχείο Β) : O B Ο προδιοριμός των κατευθύνεων των κυρίων τάεων μπορεί να γίνει μέω του κύκλου του Moh. Πράγματι, χεδιάζεται ο κύκλος του Moh, έχοντας υπόψη την ύμβαη των θετικών τάεων. Η τελευταία αναφέρει ότι θετικές ορθές τάεις είναι οι θλιπτικές, και θετικές διατμητικές τάεις είναι οι αριτερότροφες. Επομένως, με βάη την εντατική κατάταη των κυρίων τάεων, όπως αυτές προδιορίθηκαν προηγουμένως, προδιορίζονται τα αντιδιαμετρικά ημεία του κύκλου του Moh : --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 A (, 0 ) ( 55.00, 0 ) B (, 0 ) ( 7, 0 ) Το κέντρο O του κύκλου του Moh προκύπτει ως το μέο του ευθύγραμμου τμήματος (ΑΒ). Έχοντας προδιορίει το κέντρο Ο του κύκλου μπορεί να χεδιαθεί ο κύκλος με ακτίνα (ΟΑ) (OB). Ο κύκλος του Moh φαίνεται το επόμενο χήμα. Επίης, το ημείο Γ με υντεταγμένες (, τ) αντιτοιχεί την εντατική κατάταη του εδαφικού τοιχείου Β το οριζόντιο επίπεδο. Η κατακόρυφη τάη προδιορίθηκε προηγουμένως μαζί με τις κύριες τάεις, ενώ η διατμητική τάη τ παραμένει άγνωτη. Η φορά της τ αναμένεται να είναι θετική (γιατί?). Σχετικά με τον προδιοριμό του πόλου περιτροφής O του κύκλου του Moh, από το ημείο Γ φέρνουμε παράλληλη ευθεία το επίπεδο το οποίο ακείται η τάη, δηλαδή οριζόντια ευθεία. Η τομή της οριζόντιας ευθείας με τον κύκλο είναι ο πόλος περιτροφής O όπως εικονίζεται το επόμενο χήμα. Το κέντρο του κύκλου του Moh O βρίκεται ε απόταη από την αρχή των αξόνων : + 55.00 + 7.00 S S.00 Επομένως, η ακτίνα του κύκλου του Moh υπολογίζεται από την χέη : S.00 7.00 4.00 Στην υνέχεια προδιορίζεται η απόταη h : h S 50.00.00 h 9.00 Από το χήμα προκύπτει : h 9 ο cos θ θ 7.66, όπου θ : η επίκεντρη γωνία της παρούας κατάταης ως προς το 4 οριζόντιο επίπεδο. Προφανώς από την ιδιότητα του κύκλου του Moh ιχύει θ θ, όπου θ : η αντίτοιχη περιγεγραμμένη γωνία, που δίνει και την διεύθυνη του κυρίου επιπέδου (δες χήμα). Πράγματι, ιχύει : τ o sinθ τ sin θ 4 sin 7.66 τ 4.66 Άρα : tanθ τ 4.66 θ + h 4.00 + 9.00 ο ο 8.8 9 { θ/ } --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 (β) Ζητείται ο υπολογιμός της υνολικής πίεης των πόρων που αναπτύεται το ημείο Α αμέως μετά την επιβολή του φορτίου της δεξαμενής. Στα αργιλικά εδάφη, οι υνθήκες που αναφέρονται αμέως μετά την επιβολή του φορτίου ονομάζονται ατράγγιτες υνθήκες. Η ονομαία αυτή οφείλεται το γεγονός ότι επειδή γίνεται αναφορά αμέως μετά την επιβολή του φορτίου, δεν έχει επιτραπεί η ελεύθερη τράγγιη του νερού των πόρων. Με την τράγγιη του νερού των πόρων επιτυγχάνεται η εκτόνωη των υδατικών πιέεων, οι οποίες οφείλονται την επιβολή του φορτίου. - 0 u? u u A ( - ) Ατράγγιτες Συνθήκες Ιότροπη Συμπίεη (α) Μονοαξονική Φόρτιη (β) -4-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Γενικά, η επιβολή εξωτερικού φορτίου ε ένα εδαφικό τοιχείο ιοδυναμεί με την επιβολή κυρίων τάεων και το τελευταίο. Στην περίπτωη των ατράγγιτων υνθηκών φόρτιης, όπου δεν επιτρέπεται η ελεύθερη τράγγιη του νερού των πόρων, αναπτύεται με την επιβολή του εξωτερικού φορτίου υπερπίεη πόρων. Αυτή αποτελεί και το ζητούμενο αυτού του ερωτήματος. Στο προηγούμενο χήμα φαίνεται το εξεταζόμενο εδαφικό τοιχείο το οποίο επιβάλλονται υπό ατράγγιτες υνθήκες οι κύριες τάεις και. Αυτή η φόρτιη μπορεί να αναλυθεί ε δύο υνιτώες φορτίεις. Αυτές είναι οι εξής : Η πρώτη φόρτιη (α) αναφέρεται την περίπτωη ατράγγιτης ιότροπης υμπίεης με αύξηη της τάης κατά. Σε αυτήν την περίπτωη η φόρτιη (α) δεν προκαλεί μεταβολή των ενεργών τάεων, και για την αναπτυόμενη πίεη των πόρων ιχύει : u Η δεύτερη φόρτιη (β) αναφέρεται την περίπτωη ατράγγιτης μονοαξονικής φόρτιης με αύξηη της αξονικής τάης κατά ( - ) χωρίς μεταβολή της πλευρικής τάης. Η φόρτιη (β) είναι μία υμβατική ατράγγιτη κυλινδρική τριαξονική φόρτιη, την οποία η αναπτυόμενη υπερπίεη πόρων εξαρτάται από το μέγεθος της τάης ( - ) και δίνεται από την χέη : u Α ( ), όπου Α παράμετρος της πίεης πόρων της αργίλου, που προδιορίζεται από κατάλληλη τριαξονική δοκιμή. Επομένως, με επαλληλία των φορτίεων (α) και (β) προκύπτει η τιμή της πίεης των πόρων που αναπτύεται το ημείο Α αμέως μετά την επιβολή του φορτίου ύμφωνα με την χέη : u u ( ) + u u + Α Στην υγκεκριμένη περίπτωη με αντικατάταη προκύπτει το εξής : ( 64.50 0.00) u 0.00 + 0.0 u 6.5-5-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηη (α) Ζητείται να προδιοριθούν οι κύριες τάεις,, και οι αντίτοιχες διευθύνεις τους το ημείο Α ( A A 0, A m). P 000 kn.00 m 00 - m O m - m O + m, Α Ελατικός Ομοιογενής Ημίχωρος G 0 MPa, v 0.50 Υπολογιμός Τάεων το ημείο Α Για τον υπολογιμό των τάεων το ημείο Α, θα πρέπει να προδιοριτούν οι γεωτατικές τάεις καθώς και οι επιπρόθετες τάεις που οφείλονται τόο την φόρτιη του υγκεντρωμένου φορτίου P, όο και την ομοιόμορφη ορθή κυκλική φόρτιη. Η επαλληλία των τριών κατατάεων δίνει και το ζητούμενο αποτέλεμα. Τονίζεται ότι είναι επιτρεπτή η χρήη της επαλληλίας των παραπάνω κατατάεων μιας και χρηιμοποιείται η θεωρία της Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας (Γ.Ι.Ε.). Με κοπό τον υπολογιμό των γεωτατικών τάεων θεωρείται ότι το έδαφος έχει ένα τυπικό ειδικό βάρος γ 8 kn/m. Επίης, γίνεται η υπόθεη ότι ο Υδροφόρος Ορίζοντας είναι ε μεγάλο βάθος. Ο υντελετής οριζοντίων ωθήεων K o με παρεμπόδιη της πλευρικής παραμόρφωης θεωρείται ότι έχει τιμή ίη με 0.60. Υπολογιμός γεωτατικών τάεων το ημείο Α: Ολική κατακόρυφη τάη : γ 8.0 6.00 v A v Ενεργός κατακόρυφη τάη : u 0 ' ' u 6.00 v Ενεργός οριζόντια τάη : ' K ' 0.60 6 ' '.60 h ' o h -6-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Ολική οριζόντια τάη : ' + u.60 h Στην γεωτατική κατάταη δεν αναπτύονται καθόλου διατμητικές τάεις. Υπολογιμός τάεων το ημείο Α από την κυκλική φόρτιη : Το ημείο Α βρίκεται τον άξονα της ομοιόμορφης ορθής κυκλικής πίεης. Γενικά για κάθε ημείο πάνω τον άξονα της κυκλικής φόρτιης, λόγω της υμμετρίας ως προς τον ίδιο άξονα, οι διατμητικές τάεις είναι μηδενικές. ηλαδή ιχύει : των διατμητικών τάεων, οι ορθές τάεις και 0. Επομένως, με την απουία, που οφείλονται την κυκλική φόρτιη, είναι κύριες τάεις. Οι διευθύνεις των κυρίων τάεων είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη. Για το ημείο Α ιχύουν τα ακόλουθα : A A 0,.00 m, A.00 m Επομένως, προκύπτει : A 0 A και Από τα διαγράμματα (β) και (γ) προκύπτει για τις παραπάνω τιμές : ιάγραμμα (β) : 0.8 8.45, με κύρια διεύθυνη την κατακόρυφη. ιάγραμμα (γ) : 0.0 0, με κύρια διεύθυνη την οριζόντια. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η επιρροή του κυκλικού φορτίου τις οριζόντιες τάεις πρακτικά μηδενίζεται ε βάθος τον άξονα της φόρτιης. Υπολογιμός τάεων το ημείο Α από το υγκεντρωμένο φορτίο : Σχετικά με τις επιπρόθετες τάεις που προκύπτουν από το υγκεντρωμένο φορτίο P χρηιμοποιούνται οι αναλυτικοί τύποι. Για τον υπολογιμό των τάεων από το υγκεντρωμένο φορτίο χρηιμοποιείται το ύτημα υντεταγμένων, με αρχή το Ο. Με βάη το παραπάνω χήμα της άκηης ιχύουν τα εξής : A.00 m, A.00 m +.00 +.00.6m -7-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Άρα προκύπτει : P π 000.00 π.6 5 5 P π ( v) + 6.7 ( 0.50) 000.00.00.6 4.0 π.6.6.6+.00 ( v) P θ 0, για ν 0.50. π + P π 000.00.00 5 π.6 5 Όλες οι άλλες διατμητικές τάεις είναι μηδενικές. 9.5 Εφαρμόζοντας επαλληλία ανάμεα τις παραπάνω κατατάεις προκύπτουν οι ζητούμενες τάεις: + + 6.00 + 8.45 + 6.7, f, f + +.60 + 0.00 + 4.0, f, f 70.7 5.6 + +.60 + 0.00 + 0.00, f, f.60 + + 0.00 + 0.00 + 9.5, f, f 9.5 Τονίζεται ότι το επίπεδο δεν αναπτύονται καθόλου διατμητικές τάεις, με υνέπεια η ορθή τάη,f θ,f να είναι ταυτόχρονα και κύρια τάη το επίπεδο αυτό. Επομένως, η μεταβολή με την διεύθυνη των, τ το επίπεδο μπορεί να παραταθεί με κύκλο Moh. ηλαδή οι άλλες δύο κύριες τάεις μπορούν να προδιοριθούν με τροφή του επιπέδου ως προς τον άξονα. -8-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Η εντατική κατάταη για το εδαφικό τοιχείο Α το επίπεδο εικονίζεται παρακάτω : O, A Οι τάεις που ακούνται το εδαφικό τοιχείο είναι οι εξής (για λόγους απλότητας αγνοείται ο όρος f) : 70.7, 5.6, 9.5 Στην υνέχεια χεδιάζεται ο κύκλος του Moh, έχοντας υπόψη την ύμβαη των θετικών τάεων. Η τελευταία αναφέρει ότι θετικές ορθές τάεις είναι οι θλιπτικές, και θετικές διατμητικές τάεις είναι οι αριτερότροφες. Επομένως, με βάη την εντατική κατάταη του προηγούμενου χήματος προδιορίζονται τα ημεία του κύκλου του Moh : A (, ) ( 70.7, -9.5 ) B (, ) ( 5.6, 9.5 ) Ενώνοντας τα δύο ημεία με μία γραμμή, μπορεί να προκύψει το κέντρο O του κύκλου του Moh ως η τομή της με τον άξονα των ορθών τάεων. Έχοντας προδιορίει το κέντρο Ο του κύκλου μπορεί να χεδιαθεί ο κύκλος με ακτίνα (ΟΑ) (OB). Σχετικά με τον προδιοριμό του πόλου περιτροφής O του κύκλου του Moh, από το ημείο Α φέρνουμε παράλληλη ευθεία το επίπεδο το οποίο ακείται η τάη, δηλαδή οριζόντια ευθεία. Ανάλογα από το ημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη το επίπεδο το οποίο ακείται η τάη, δηλαδή κατακόρυφη ευθεία. Οι τομές των δύο ευθειών με τον κύκλο είναι ο πόλος περιτροφής O όπως εικονίζεται και το επόμενο χήμα. Το κέντρο του κύκλου του Moh O βρίκεται ε απόταη από την αρχή των αξόνων : + S 70.7 + 5.6 S 5.7-9-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 Η ακτίνα του κύκλου του Moh υπολογίζεται από την χέη : ( S) + ( 70.7 5.7) + 9.5 9.89 Επομένως, οι κύριες τάεις προκύπτουν από τις χέεις : S + 5.7 + 9. 89 7.06 S 5.7 9. 89.8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Ιχύει η παρατήρηη της προηγούμενης ακήεως για την χέη : Ι + + Επομένως, οι κύριες τάεις το εδαφικό τοιχείο Α είναι οι εξής ( > > ) :.60, με διεύθυνη αυτή του άξονα 7.06, με διεύθυνη : Από το χήμα προκύπτει : tanθ S 9.5 θ 8.05 70.7 5.7 ο 8 ο, όπου θ : η επίκεντρη γωνία της παρούας κατάταης ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Προφανώς από την ιδιότητα του κύκλου του Moh ιχύει θ θ, όπου θ : η αντίτοιχη περιγεγραμμένη γωνία, που δίνει και την διεύθυνη του κυρίου επιπέδου (δες χήμα). θ ο ο Άρα : θ 4.0 4, ως προς το οριζόντιο επίπεδο.8, με διεύθυνη (βλέπε γωνία θ το επόμενο χήμα) : o ο 90 θ, ως προς το οριζόντιο επίπεδο θ 76-0-

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 (β) Ζητείται να προδιοριθεί η ανηγμένη ογκομετρική διόγκωη ε vol. Για την επίλυη του προβλήματος το προηγούμενο ερώτημα χρηιμοποιείται η θεωρία της Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας (ΓΙΕ), και το έδαφος προομοιάζεται με ελατικό ομοιογενή ημίχωρο με λόγο του Poisson ν 0.50. Η τελευταία τιμή υποδηλώνει ότι το έδαφος είναι αυμπίετο, δηλαδή μπορεί να παραμορφώνεται υπό κάποια φόρτιη, αλλά η υνολική ογκομετρική παραμόρφωη θα είναι μηδενική (μηδενική μεταβολή όγκου). Επομένως, ιχύει : ε vol 0. Σε περίπτωη που η παραπάνω παρατήρηη δεν γίνει αντιληπτή, μπορεί να γίνει ο υπολογιμός των κυρίων παραμορφώεων ύμφωνα με τις χέεις της ελατικότητας. Το μέτρο ελατικότητας Ε προκύπτει από την χέη : E G E E ( + v) ( + v) G ( + 0.50) 0 60 MPa Οι κύριες παραμορφώεις δίνονται από τις χέεις : ε ε Ε 60000 { v ( + )} { 7.06 0.50 (.8 +.60 )} 0.000760 ε ε Ε 60000 { v ( + )} {.8 0.50 ( 7.06 +.60) } 0.0004 ε ε Ε 60000 { v ( + )} {.60 0.50 ( 7.06 +.8) } 0.00056 Άρα, προκύπτει : ε ε + ε + ε 0.000760 + ( 0.0004) + ( 0.00056) ε 0 vol vol --

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 -- ΑΣΚΗΣΗ 7.4 Απάντηη Ζητείται να προδιοριθεί η κατάλληλη θέη από τις δύο εναλλακτικές - προτεινόμενες για την κατακευή ήραγγας υπονόμου. Η θέη Α αναφέρεται ε θέη κάτω από ομοιόμορφη ορθή κυκλική πίεη, ενώ η θέη Β αναφέρεται ε θέη κάτω από φόρτιη απειρομήκους λωρίδας. Και τις δύο προτεινόμενες θέεις, οι γεωτατικές υνθήκες είναι ίδιες. Επομένως, η καλύτερη λύη είναι αυτή που δίνει το υγκεκριμένο βάθος τις μικρότερες επιπρόθετες τάεις από την εξωτερική φόρτιη, ιδίως την κατακόρυφη τάη μιας και αυτή αναλαμβάνει κατά κύριο λόγο την εξωτερική φόρτιη. Στα επόμενα γίνεται η υπόθεη ότι η ίδια η ήραγγα δεν επηρεάζει τα αποτελέματα των υπολογιμών, μιας και ζητείται ποιοτική επίλυη του προβλήματος. ΘΕΣΗ Α Η κατακόρυφη επιπρόθετη τάη τον άξονα της ομοιόμορφης κυκλικής φόρτιης δίνεται από την χέη : 0% + + + 5 4 ΘΕΣΗ Β Η κατακόρυφη επιπρόθετη τάη τον άξονα της φόρτιης μορφής απειρομήκους λωρίδας δίνεται από την χέη : ( ) ( ) β β cos sin π π cos sin π π + + + + a a a a a a, με γωνίες α, β όπως φαίνονται το παρακάτω χήμα. b b Β β α β -α/

ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 α Για ημεία πάνω τον άξονα της απειρομήκους λωρίδας ιχύει : β α + β 0 Επίης, από το παραπάνω χήμα ιχύει : a b 4 tan α 0 5 Επομένως, προκύπτει : o 0.5 ad a 0.5 + sin a + sin π π π π ( 0.5 ad) % Επομένως, την θέη Β με την φόρτιη μορφής απειρομήκους λωρίδας η επιπρόθετη κατακόρυφη τάη είναι φορές περίπου μεγαλύτερη από την αντίτοιχη επιπρόθετη τάη την περίπτωη της κυκλικής φόρτιης την θέη Α. Αυτό το υμπέραμα είναι ήδη γνωτό από τo αντίτοιχο κεφάλαιο της θεωρίας το βιβλίο του κ. Καββαδά. Επομένως, η λύη που προκρίνεται για την κατακευή ήραγγας υπονόμου είναι η θέη Α. --