Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον μί πηγή τάσης ή ρεύμτος. Ο τρόπος σύνδεσης των στοιχείων επιάλλει τους δικούς του περιορισμούς νάμεσ στις τάσεις κι στ ρεύμτ. Αυτοί οι νέοι περιορισμοί κι οι ντίστοιχες εξισώσεις, που προστίθεντι στις σχέσεις τάσης-ρεύμτος των στοιχείων, πρέχουν την επίλυση του δικτυώμτος.
2.1. Ορισμοί Κόμος ονομάζετι έν σημείο του κυκλώμτος στο οποίο συνδέοντι τρεις ή περισσότεροι γωγοί ή/κι κροδέκτες στοιχείων του κυκλώμτος (η σύνδεση δύο μόνο στοιχείων μετξύ τους είνι έν εκφυλισμένος κόμος)(σχ. 2.1). Προσοχή: ένς κόμος μπορεί ν είνι κτνεμημένος. Κόμος Βρόχος V S V S Βρόχος Βρόχος Κτνεμημένος κόμος () () Σχ. 2.1 Πράδειγμ κόμων () κι ρόχων () σε γρμμικό δικτύωμ. Κλάδος ονομάζετι το τμήμ του κυκλώμτος που περιλμάνετι μετξύ δύο κόμων. Βρόχος είνι οποιοσδήποτε κλειστός γώγιμος δρόμος του κυκλώμτος (σχ. 2.1). 14
2.2. Οι κνόνες του Krchhoff. Οι κνόνες του Krchhoff είνι σικό εργλείο γι την επίλυση των γρμμικών κυκλωμάτων. Δεν ποτελούν νέους νόμους της φυσικής λλά πλοποίηση των νόμων του ηλεκτρισμού κι των εξισώσεων του Maxwell γι την εφρμογή τους σε κυκλώμτ με εντοπισμέν στοιχεί. 2.2.1 Ο κνόνς των ρευμάτων του Krchhoff (KCL). Το λγερικό άθροισμ των ρευμάτων σε κάθε κόμο ενός κυκλώμτος ισούτι με μηδέν. N n = 0 (2.1) n=1 Διφορετικά, το άθροισμ των ρευμάτων που εισέρχοντι σε ένν κόμο ισούτι με το άθροισμ των ρευμάτων που εξέρχοντι πό τον κόμο. Με άλλ λόγι, όσο ρεύμ εισέρχετι σε ένν κόμο τόσο εξέρχετι. Ο κνόνς υτός πορρέει πό την ρχή διτήρησης του φορτίου, δεδομένου ότι σε ένν κόμο δεν ποθηκεύοντι φορτί ούτε πράγοντι πό υτόν. Επομένως, όσ φορτί εισέρχοντι στον κόμο στη μονάδ του χρόνου τόσ θ πρέπει ν εξέρχοντι πό υτόν. Πράδειγμ 2.1 εφρμογής του κνόν των κόμων: Στο σχ. 2.2 θροίζουμε τ ρεύμτ λμάνοντς υπόψη τη φορά τους. 1 2 3 4 = 0 1 = 2 3 4 1 4 2 3 Σχ. 2.2 2.2.1 Ο κνόνς των τάσεων του Krchhoff (KVL). Το λγερικό άθροισμ των τάσεων σε κάθε ρόχο ενός κυκλώμτος ισούτι με μηδέν. N υ n = 0 (2.2) n=1 Κάποιες πό τις τάσεις υτές θ προέρχοντι πό πηγές κι άλλες θ είνι πτώσεις τάσης σε πθητικά στοιχεί του κυκλώμτος. Ο κνόνς εφρμόζετι το ίδιο κλά σε κυκλώμτ που περιέχουν πηγές συνεχούς τάσης (DC), πηγές ενλλσσόμενης τάσης λλά κι γενικά χρονικά μετλλόμενες πηγές. 15
Κι ο κνόνς υτός δεν ποτελεί νέο νόμο, λλά πορρέει πό το γεγονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο είνι συντηρητικό πεδίο κι επομένως σε κάθε σημείο του κυκλώμτος ντιστοιχεί κριώς μί τιμή του δυνμικού. Πράδειγμ 2.2 εφρμογής του κνόν των R1 ρόχων: Στο κύκλωμ του σχ. 2.3, ξεκινάμε πό την κάτω ριστερή γωνί κι κολουθώντς τη φορά DC υa υ1 DC υb υ2 R2 του ρεύμτος θροίζουμε τις τάσεις. υ a υ 1 υ b υ 2 υ 3 = 0 υ a R 1 υ b R 2 R 3 = 0 υ a υ b = (R 1 R 2 R 3 ) υ3 R3 Σχ. 2.3 2.2.3 Η στρτηγική εφρμογής των κνόνων του Krchhoff. 1. Χρκτηρίστε με σύμολ όλες τις ποσότητες γνωστές κι άγνωστες κι σημειώστε μί φορά που θ επιλέξετε γι κάθε άγνωστο ρεύμ κι μί πολικότητ γι κάθε τάση. Συχνά δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων την πργμτική φορά ενός γνώστου ρεύμτος ή την πολικότητ μις άγνωστης τάσης, λλά υτό δεν έχει σημσί στο πρόν στάδιο. Βρείτε τη λύση χρησιμοποιώντς υθίρετες φορές. Αν η πργμτική φορά είνι ντίθετη πό υτή που χρησιμοποιήστε, το ποτέλεσμ που θ προκύψει θ έχει ρνητικό πρόσημο. Αν χρησιμοποιηθούν σωστά οι κνόνες του Korchhoff, υτοί θ σς δώσουν τόσο τις φορές όσο κι τ μέτρ των ρευμάτων κι των τάσεων. 2. Σε κάθε κόμο εξισώστε τ εισερχόμεν ρεύμτ με τ εξερχόμεν. 3. Επιλέξτε ένν κλειστό ρόχο σημειώστε μί φορά κίνησης κτά μήκος του ρόχου (δεξιόστροφη ή ριστερόστροφη) γι την εφρμογή του κνόν των ρόχων. Η φορά δεν είνι νγκίο ν συμπίπτει με τη φορά οποιουδήποτε ρεύμτος. 4. Ξεκινήστε πό ένν κόμο του ρόχου κι κινηθείτε κτά μήκος του με τη φορά που έχετε επιλέξει. Αθροίζετε τις πτώσεις τάσης κτά μήκος του ρόχου. Μί πηγή τάσης λμάνετι ως θετική ν την διτρέχετε πό το προς το κι ρνητική ν την διτρέχετε πό το στο, ενώ η πτώση τάσης σε μί ντίστση είνι θετική ν η φορά του ρεύμτος έχει ληφθεί ντίθετη προς τη φορά της κίνηση κι ρνητική ν η φορά του ρεύμτος συμπίπτει με τη φορά της κίνησης στον ρόχο. 16
5. Ότν φτάσετε στον κόμο εκκίνησης, εξισώνετε το λγερικό άθροισμ των τάσεων με μηδέν. 6. Αν είνι νγκίο, επιλέξτε ένν άλλο ρόχο γι ν κτλήξετε σε μι διφορετική εξίσωση κι συνεχίστε μέχρι ν σχημτιστούν τόσες νεξάρτητες εξισώσεις όσοι είνι κι οι άγνωστοι του προλήμτος. 7. Λύνετε το σύστημ. 8. Μπορείτε ν τηρήσετε την ίδι υτή διδικσί γι ν υπολογίσετε το δυνμικό V ab ενός σημείου a ως προς έν σημείο b. Αρχίστε πό το b κι προσθέτετε τις μετολές δυνμικού που συνντάτε πηγίνοντς προς το a, χρησιμοποιώντς τους ίδιους κνόνες προσήμων όπως στο ήμ 4. Το λγερικό άθροισμ υτών των μετολών είνι V ab =V a -V b. Πράδειγμ 2.3: Στο κύκλωμ του σχήμτος ν υπολογιστούν οι τιμές των ρευμάτων που διρρέουν τις ντιστάσεις. Επιλέγουμε υθίρετ τις φορές των ρευμάτων κι τη φορά κίνησης στους ρόχους. Γράφουμε την εξίσωση των ρευμάτων στον κόμο Α: 1 = 2 3 Κι στον κόμο Β: 4 = 3 20Α Από τον ρόχο (1) έχουμε (ξεκινώντς πό τον κόμο Α): 2 R 2 200V 1 R 1 = 0 (2) A B 2 3 (1) 4 1 Κι πό τον ρόχο (2) (ξεκινώντς πό τον κόμο Α): 3 R 3 4 R 4 1 R 1 = 0 Επομένως έχουμε έν γρμμικό σύστημ 4 εξισώσεων με 4 γνώστους κι επομένως μπορούμε ν υπολογίσουμε ζητούμεν τ ρεύμτ. Προσοχή: Αν χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του τρίτου κόμου ή του τρίτου ρόχου θ κτλήξουμε σε ισοδύνμες με τις πρπάνω εξισώσεις κι επομένως δεν θ πάρουμε κμί πρόσθετη πληροφορί. Πρτήρηση: Γι ν επιλύσουμε έν σύνθετο κύκλωμ με εφρμογή των κνόνων του Krchhoff, κτλήγουμε σε έν σύστημ Ν εξισώσεων πό τις οποίες μπορούμε ν υπολογίσουμε Ν γνώστους του κυκλώμτος (ντιστάσεις, τάσεις, ρεύμτ). Επομένως, το πρόλημ νάγετι στην επίλυση ενός γρμμικού συστήμτος Ν εξισώσεων με Ν γνώστους. Το πρόλημ υτό έχει εν γένει λύση λλά συνεπάγετι 17
μεγάλο ριθμό πράξεων. Γι ν μειώσουμε υτές τις πράξεις, χρησιμοποιούμε μί σειρά πό κνόνες, ρχές κι θεωρήμτ τ οποί έχουν σν σκοπό την πλοποίηση των κυκλωμάτων κι τη διευκόλυνση των πράξεων επίλυσής τους. Στις επόμενες πργράφους νλύοντι διάφοροι τρόποι πλοποίησης των γρμμικών κυκλωμάτων. 18
2.3. Κυκλωμτικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά. Πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά, όπως στο σχ. 2.4, διρρέοντι πό το ίδιο ρεύμ ενώ η ολική τάση στ άκρ τους ισούτι με το άθροισμ των πτώσεων τάσης σε κθέν πό υτά. υ 1 υ υ 2 υ 3 Σχ. 2.4 - Τρί πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν σε σειρά Αν τ στοιχεί είνι ντιστάσεις, υ = R 1 R 2 R 3 = (R 1 R 2 R 3 ) = R eq όπου μί ισοδύνμη ντίστση R eq ντικθιστά τις τρεις ντιστάσεις σε σειρά. Η ίδι σχέση μετξύ των κι υ εξκολουθεί ν ισχύει. Γι οποιοδήποτε ριθμό ντιστάσεων σε σειρά ισχύει: R eq = R 1 R 2 (2.3) Αν τ τρί πθητικά στοιχεί είνι πηνί, d υ = L 1 dt L d 2 dt L d 3 dt = (L 1 L 2 L 3 ) d dt = L d eq dt Εν γένει μπορούμε ν γράψουμε γι οποιοδήποτε ριθμό πηνίων σε σειρά: L eq = L 1 L 2 (2.4) Αν τ κυκλωμτικά στοιχεί είνι πυκνωτές, υποθέτοντς μηδενικό ρχικό φορτίο, ώστε οι στθερές ολοκλήρωσης ν είνι μηδέν, υ = 1 dt 1 dt 1 dt = 1 1 1 dt = 1 dt C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 C 3 C eq Η ισοδύνμη χωρητικότητ πυκνωτών συνδεδεμένων σε σειρά δίνετι πό την: 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 (2.5) 19
2.4. Κυκλωμτικά στοιχεί συνδεδεμέν πράλληλ. Γι τρί κυκλωμτικά στοιχεί που συνδέοντι πράλληλ, όπως στο σχ. 2.5, σύμφων με τον κνόν των ρευμάτων του Krchhoff, το ρεύμ που εισέρχετι στον κόμο ισούτι με το άθροισμ των ρευμάτων που εξέρχοντι πό τον κόμο προς τους κλάδους. 1 2 3 υ Σχ. 2.5 - Τρί πθητικά στοιχεί συνδεδεμέν πράλληλ = 1 2 3 Αν τ τρί πθητικά στοιχεί είνι ντιστάσεις: = υ R 1 υ R 2 υ R 3 = 1 R 1 1 R 2 1 R 3 υ = 1 R eq υ Γι οποιοδήποτε ριθμό ντιστάσεων συνδεδεμένων πράλληλ, 1 R eq = 1 R 1 1 R 2 (2.6) Σημ: Γι n όμοιες ντιστάσεις συνδεδεμένες πράλληλ έχουμε, R eq = R n Γι πράλληλο συνδυσμό πηνίων ποδεικνύετι ομοίως ότι: 1 L eq = 1 L 1 1 L 2 (2.7) Ενώ γι πράλληλο συνδυσμό πυκνωτών ποδεικνύετι ότι: C eq = C 1 C 2 (2.8) 20
2.5. Διιρέτες τάσης. Έν σύνολο πό ντιστάσεις σε σειρά, όπως στο σχ. 2.6, νφέρετι κι ως διιρέτης τάσης. Η ιδέ υτή επεκτείνετι κι πέρ πό τις δύο ντιστάσεις κθώς κι πέρ πό τις ωμικές ντιστάσεις. Επειδή υ 1 = R 1 κι υ = (R 1 R 2 ), έπετι ότι: υ ντιστάσεων. R 1 R 2 υ 1 Σχ. 2.6 - Διιρέτης τάσης. R 1 υ 1 = υ (2.9) R 1 R 2 Σε έν διιρέτη τάσης, η τάση στ άκρ μις ντίστσης ισούτι με κλάσμ της ολικής τάσης, στον ριθμητή του οποίου υπάρχει η ντίστση υτή κι στον προνομστή το άθροισμ όλων των 21
2.6. Διιρέτες ρεύμτος. Ο πράλληλος συνδυσμός ντιστάσεων, όπως στο σχ. 2.7, ποτελεί ένν διιρέτη ρεύμτος. υ R 1 R 2 Σχ. 2.7 - Διιρέτης ρεύμτος. 1 Επειδή = υ R 1 υ R 2 κι 1 = υ R 1 έπετι ότι: R 2 1 = (2.10) R 1 R 2 Σε έν διιρέτη ρεύμτος το ρεύμ ενός κλάδου ισούτι με κλάσμ του ολικού ρεύμτος, στον ριθμητή του οποίου υπάρχει η ντίστση του άλλου κλάδου κι στον προνομστή το άθροισμ των ντιστάσεων των δύο κλάδων. Πράδειγμ 2.4: Ν υπολογιστεί η τιμή του ρεύμτος ν η τάση υ κι οι ντιστάσεις R 1, R 2, R 3 κι R 4 είνι γνωστά. R 4 R 2 R 3 1 R1 2 υdc Σχ. 2.8 Α Τρόπος. Εφρμόζουμε τους κνόνες του Krchhoff. Κόμος = 1 2 1 ος Βρόχος 2 (R 2 R 3 ) 1 R 1 = 0 2 ος Βρόχος υ = R 4 1 R 1 Λύνοντς το σύστημ των τριών εξισώσεων μπορούμε ν υπολογίσουμε το λλά κι τ 1 κι 2 (Άσκηση). Β Τρόπος. Αντικθιστούμε διδοχικά τις ντιστάσεις πό τον ισοδύνμο συνδυσμό τους σε σειρά ή πράλληλ κτά περίπτωση. Το κύκλωμ του σχ. 2.8 μετσχημτίζετι διδοχικά στ ισοδύνμ κυκλώμτ του σχ. 2.9 (), () κι (γ). R4 R4 υdc 1 R1 2 R2R3 υdc R1 //(R2R3) υdc Rολ = R4R1//(R2R3) () () (γ) Σχ. 2.9 - Μετσχημτισμοί του κυκλώμτος του σχ. 2.8. Από το σχ. 2.9 (γ) πίρνουμε το ρεύμ: = υ R ολ 22
Επίσης πό τον διιρέτη ρεύμτος του σχ. 2.9 () έχουμε: 1 = R 2R 3 R 1 R 2 R 3 κι 2 = R 1 R 1 R 2 R 3. Πρτηρούμε ότι ο Β τρόπος πλουστεύει κτά πολύ τις πράξεις. 23
2.7. Αρχή της Επλληλίς ή Υπέρθεσης. Σε έν γρμμικό δικτύωμ που περιέχει δύο ή περισσότερες νεξάρτητες πηγές τ ρεύμτ κι οι τάσεις στις διάφορες συνιστώσες του μπορούν ν υπολογιστούν σν το λγερικό άθροισμ των τιμών που προκύπτουν λμάνοντς υπόψη μί πηγή κάθε φορά. Όλες οι άλλες πηγές τάσης ντικθίστντι πό ρχυκύκλωμ ενώ οι πηγές ρεύμτος πό νοιχτοκύκλωμ. Η ρχή υτή προκύπτει πό τη γρμμική σχέση μετξύ τάσης κι ρεύμτος. Πράδειγμ 2.5: Ν υπολογιστεί το ρεύμ στην ντίστση των 23Ω του σχ. 2.10(a). Σχ. 2.10 - Εφρμογή της ρχής της επλληλίς. Στο σχ. 2.10(b) η πηγή ρεύμτος ντικθίσττι πό νοιχτοκύκλωμ. Η ολική ντίστση που λέπει η πηγή τάσης είνι: R ολ = 47Ω 27(423) Ω = 60,5Ω 27423 Το ολικό ρεύμ που πρέχει η πηγή είνι: Ι Τ = 200V = 3,31A 60,5Ω Από τον διιρέτη ρεύμτος: Ι 23 = 27 3,31Α = 1,65Α 27234 Στο σχ. 2.10(c) η πηγή τάσης ντικθίσττι πό ρχυκύκλωμ. Η ολική ντίστση στον κλάδο ριστερά της πηγής ρεύμτος είνι: R ολ Από τον διιρέτη ρεύμτος έχουμε: Ι 23 = 21,15 20Α = 9,58Α 21,1523 Το ολικό ρεύμ στην ντίστση 23Ω θ είνι: Ι 23 = Ι 23 = 4Ω 27.47 Ω = 21,15Ω 2747 Ι 23 = 1,65Α 9,58Α = 11,23Α 24
2.8. Θεωρήμτ Thevenn κι Norton. Αποδεικνύετι ότι κόμη κι το πιο πολύπλοκο γρμμικό κύκλωμ δύο κροδεκτών (μονόθυρο), που είνι δυντόν ν περιλμάνει μεγάλο ριθμό ντιστάσεων, πηγών τάσης κι πηγών ρεύμτος, μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι μόνο πό μί πηγή τάσης ή μί πηγή ρεύμτος κι μί ντίστση. Με υτό τον τρόπο μπορούμε εύκολ ν μελετήσουμε τη συμπεριφορά του δικτυώμτος γι διάφορους φόρτους. 2.8.1. Το θεώρημ Thevenn. Οποιοδήποτε γρμμικό μονόθυρο δικτύωμ μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι πό μί ιδνική πηγή τάσης V Τ σε σειρά με μί ντίστση R T (σχ. 2.11). R T Γρμμικό Δικτύωμ Φόρτος V T Φόρτος (a) (b) Σχ. 2.11 Το ισοδύνμο κτά Thevenn (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Η τάση V T ισούτι με την τάση νοιχτού κυκλώμτος (φού πομκρυνθεί ο φόρτος) μετξύ των κροδεκτών κι του μονόθυρου δικτυώμτος. Η ντίστση R T ισούτι με την ντίστση μετξύ των κροδεκτών του δικτυώμτος ότν όλες οι εσωτερικές πηγές τάσης ντικτστθούν πό ρχυκυκλώμτ κι όλες οι πηγές ρεύμτος πό νοιχτοκυκλώμτ. Πράδειγμ 2.6: Το γρμμικό δικτύωμ του σχ. 2.12 (a) μπορεί ν ντικτστθεί πό το ισοδύνμο κύκλωμ κτά Thevenn του σχ. 2.12 (b). R 1 R 3 R T υ s DC R2 V T (a) Σχ. 2.12 Το ισοδύνμο κτά Thevenn (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Όπου: R T = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 κι V T = υ,open = R 2 R 1 R 2 υ s (b) 25
2.8.2. Το θεώρημ Norton. Οποιοδήποτε γρμμικό μονόθυρο δικτύωμ μπορεί ν ντικτστθεί πό έν ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι πό μί πηγή ρεύμτος I N κι μί ντίστση R N συνδεδεμένη πράλληλ. Γρμμικό Δικτύωμ Φόρτος I N R N Φόρτος (a) (b) Σχ. 2.13 Το ισοδύνμο κτά Norton (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). Το ρεύμ I N ισούτι με το ρεύμ ρχυκύκλωσης των κροδεκτών του μονόθυρου δικτυώμτος, ενώ η R N υπολογίζετι κριών όπως η R T. Πράδειγμ 2.7: Το γρμμικό δικτύωμ του σχ. 2.14 (a) μπορεί ν ντικτστθεί πό το ισοδύνμο κύκλωμ κτά Norton του σχ. 2.14 (b). R 1 R 3 R 2 I N υ s DC R N Όπου: Ι Ν = (a) Σχ. 2.14 Το ισοδύνμο κτά Norton (b) του γρμμικού μονόθυρου δικτυώμτος (a). R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 υ s κι R N = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 (b) 2.8.3. Δυδικότητ Από το σχ. 2.15 (b) είνι προφνές ότι η V T πρέπει ν είνι η τάση του κτά Thevenn ισοδύνμου κυκλώμτος. Αν ρχυκυκλώσουμε τους κροδέκτες, όπως υποδεικνύει η δικεκομμένη γρμμή στο σχ. 2.15 (a), θ πάρουμε κάποιο ρεύμ. Από το σχ. 2.15 (c) είνι προφνές ότι υτό είνι το ρεύμ I N του ισοδύνμου κτά Norton. 26
R Γρμμικό Δικτύωμ V T I N R Τώρ, ν τ κυκλώμτ (b) κι (c) είνι ισοδύνμ του ίδιου δικτυώμτος, θ είνι κι ισοδύνμ μετξύ τους. Έπετι ότι Ι Ν = V T R. Αν κι το V T κι το I N έχουν μετρηθεί στο ίδιο δίθυρο δικτύωμ τότε η εσωτερική του ντίστση υπολογίζετι πό το σχέση: R = V T I N. (a) (b) Σχ. 2.15 Ισοδυνμί Thevenn-Norton (c) 2.8.4. Πργμτικές πηγές τάσης κι ρεύμτος. Μί πηγή ηλεκτρικής ενέργεις (μπτρί, τροφοδοτικό, γεννήτρι) μπορεί ν θεωρηθεί σν έν μονόθυρο δικτύωμ, οι κροδέκτες του οποίου τυτίζοντι με υτούς της συσκευής, ενώ το κύκλωμ που τροφοδοτείτι ποτελεί τον φόρτο (σχ. 2.16). Μπορούμε ν πρστήσουμε μι τέτοι πηγή είτε με το ισοδύνμό της κτά Thevenn είτε με το ισοδύνμό της κτά Norton. Πρτηρούμε δηλδή ότι μί πηγή μπορεί ν πρστθεί είτε σν πηγή τάσης είτε σν πηγή ρεύμτος συνοδευόμενη πό την εσωτερική της ντίστση. R T I L Πηγή V T υ L - I N R N () Σχ. 2.16 Αντιστοιχί πηγής τάσης - πηγής ρεύμτος. Αν θέλουμε ν χρησιμοποιήσουμε μι τέτοι πηγή γι ν οδηγήσουμε με στθερή τάση ένν μετλητό φόρτο, θ έχουμε πό το ισοδύνμο κτά Thevenn (σχ. 2.16): υ L = V RR T (2.11) L όπου R=R T =R N η εσωτερική ντίστση της πηγής, V T η πολική τάση της πηγής κι υ L η τάση κλειστού κυκλώμτος. Πρτηρούμε ότι η τάση στο φόρτο εξρτάτι πό την ντίστση του φόρτου κι μόνον ν R<<, μπορούμε ν πούμε ότι υ L V T. Τότε λέμε ότι η τάση είνι περίπου νεξάρτητη του φόρτου κι η πηγή συμπεριφέρετι σν ιδνική πηγή τάσης. () (γ) 27
Αντίστοιχ, ν θέλουμε ν οδηγήσουμε ένν φόρτο με στθερό ρεύμ, θ έχουμε πό το ισοδύνμο κτά Norton της πηγής (σχ. 2.15γ): I L = R R I N (2.12) Πρτηρούμε ότι το ρεύμ Ι L στον φόρτο εξρτάτι πό την ντίστση φόρτου κι μόνον ν R>> μπορούμε ν πούμε ότι I L I N. Τότε, λέμε ότι το ρεύμ είνι περίπου νεξάρτητη του φόρτου κι η πηγή συμπεριφέρετι σν ιδνική πηγή ρεύμτος. Από τ πρπάνω γίνετι κτνοητό ότι η ίδι πηγή μπορεί ν συμπεριφερθεί είτε σν πηγή τάσης είτε σν πηγή ρεύμτος, νάλογ με τη σχέση που υπάρχει νάμεσ στην ντίστση φόρτου κι την εσωτερική ντίστση της πηγής. 2.8.5. Θεώρημ μέγιστης μετφοράς ισχύος. Στην πράξη, σε πολλές περιπτώσεις επιθυμούμε ν μετφέρουμε ισχύ πό μί πηγή ή έν κύκλωμ σε ένν φόρτο. Υπάρχουν εφρμογές, όπως π.χ. στις τηλεπικοινωνίες, όπου επιθυμούμε υτή η μετφορά ισχύος ν είνι μέγιστη. Αποδεικνύετι ότι: Μέγιστη ισχύς μετφέρετι πό μι πηγή σε ένν φόρτο ότν η ντίστση του φόρτου ισούτι με την ντίστση Thevenn (ή εσωτερική ντίστση) της πηγής ( =R T ). R T I L Πηγή V T Απόδειξη: Έστω ότι έχουμε μί πηγή που οδηγεί ένν φόρτο (σχ. 2.17). Αν πάρουμε το ισοδύνμο κτά Thevenn της πηγής (σχ. 2.17), μπορούμε ν γράψουμε την ισχύ που ποδίδετι στον φόρτο: P L = 2 L = ( ) 2 R R T L Γι ν υπολογίσουμε τις συνθήκες μεγιστοποίησης της P L, θ την πργωγίσουμε ως προς την κι θ μηδενίσουμε την πράγωγο. dp L = V 2 dr T (R T ) 2 2 (R T ) L (R T ) 4 = 0 Από όπου προκύπτει: = R T () Σχ. 2.17 Μετφορά ισχύος πό την πηγή στον φόρτο. Η μέγιστη ισχύς που ποδίδετι τότε στο φόρτο είνι: P Lmax = V T 2 (2.13) 4R T V T () 28
Ασκήσεις: Από το ιλίο σκήσεις: 2.33, 2.34, 2.35, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53, 2.57, 2.58 2.1. Υπολογίστε τ ρεύμτ σε όλους τους κλάδους του κυκλώμτος: ) χρησιμοποιώντς μόνον τους κνόνες του Krchhoff κι ) χρησιμοποιώντς το θεώρημ της επλληλίς. Σε ποι περίπτωση χρειστήκτε λιγότερες πράξεις; R 1 =5Ω R 2=15Ω R 3 =5Ω V A=110V V B=190V R 4 =20Ω 2.2. Υπολογίστε το ισοδύνμο κτά Thevenn κι το ισοδύνμο κτά Norton του κυκλώμτος. V DC R1 I R2 29