B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω = τότε γ = γ = τότε = µε γ γ γ Εξισώσεις Λύση µις εξίσωσης είι ές ριθµός που επληθεύει τη εξίσωση. Επίλυση µις εξίσωσης είι η διδικσί µε τη οποί ρίσκουµε τη λύση της εξίσωσης. Αδύτη είι η εξίσωση που δε έχει κµί λύση. Αόριστη ή τυτότητ λέγετι η εξίσωση που επληθεύετι γι όλες τις τιµές του χ. ηλδή έχει άπειρες λύσεις.
Λύση της εξίσωσης: x= 1. Α,τότε x =. Α = =, τότε έχουµε x= άπειρες λύσεις (όριστη ή τυτότητ). 3. Α =,,τότε έχουµε x= κµί λύση (δύτη). Μέθοδος λύση εξίσωσης Απλοιφή προµστώ. Πράξεις. Χωρίζουµε γωστούς πό γώστους. Αγωγή οµοίω όρω. ιιρούµε µε το συτελεστή του γώστου. Επίλυση προληµάτω ιάζουµε το πρόληµ, ρίσκουµε τ δεδοµέ κι τ ζητούµε. Εκφράζουµε µε x το άγωστο ριθµό. Εκφράζουµε όλ τ άλλ µεγέθη µε τη οήθει του x. Γράφουµε τη εξίσωση. Λύουµε τη εξίσωση. Ελέγχουµε η λύση ικοποιεί τις συθήκες του προλήµτος. Λύση της ίσωσης: x> 1. Α > τότε x >. Α <, τότε x < 3.Α =, τότε έχουµε x >,οπότε είι δύτη < είι όριστη (όχι τυτότητ). Τετργωική ρίζ Α = x τότε x > = x = µε, Συρτήσεις υο ποσά οοµάζοτι άλογ, ότ πολλπλσιάζοτς τις τιµές του εός ποσού µε έ ριθµό, τότε πολλπλσιάζοτι κι οι τίστοιχες τιµές του άλλου ποσού µε το ίδιο ριθµό. Α δυο ποσά είι άλογ τότε ο λόγος τω τιµώ τους είι στθερός. Α δυο ποσά χ, ψ είι άλογ, τότε οι τιµές τους εκφράζοτι µε τη συάρτηση
ψ= χ της οποίς η γρφική πράστση είι ευθεί που διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω. Η γρφική πράστση της συάρτησης ψ= χ+ είι επίσης ευθεί που είι πράλληλη προς τη ψ= χ (διότι έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης ). υο ποσά οοµάζοτι τιστρόφως άλογ, ότ πολλπλσιάζοτς τις τιµές του εός ποσού µε έ ριθµό, τότε διιρούτι οι τίστοιχες τιµές του άλλου ποσού µε το ίδιο ριθµό. Α δυο ποσά είι τιστρόφως άλογ, τότε το γιόµεο τω τιµώ τους είι στθερό. Α δυο ποσά χ, ψ είι τιστρόφως άλογ, τότε οι τιµές τους εκφράζοτι µε τη συάρτηση ψ=/χ της οποίς η γρφική πράστση είι υπερολή. Πυθγόρειο Θεώρηµ Γ Α γ Β Ευθύ Το τετράγωο της υποτείουσς ορθογωίου τριγώου ισούτι µε το άθροισµ τω τετργώω τω δύο άλλω κθέτω πλευρώ του. Α Α= 9, τότε = + γ Ατίστροφο Α το τετράγωο της µεγλύτερης πλευράς τριγώου ισούτι µε το άθροισµ τω τετργώω τω δύο άλλω πλευρώ του, τότε το τρίγωο είι ορθογώιο µε υποτείουσ τη πλευρά υτή. Α = + γ, τότε Α= 9 Ορισµοί πέτι κάθετη πλευρά ηµω= υποτείουσ προσκείµεη κάθετη πλευρά συω= υποτείουσ πέτι κάθετη πλευρά εφω= προσκείµεη κάθετη πλευρά Τριγωοµετρί
Τριγωοµετρικοί ριθµοί κυριότερω γωιώ. ω 3 45 6 9 ηµω 1 3 1 συω 1 3 1 εφω 3 3 1 3 ε ορίζετι Μέτρηση κύκλου Επίκετρη λέγετι η γωί που έχει τη κορυφή της στο κέτρο του κύκλου. Εγγεγρµµέη λέγετι η γωί που έχει τη κορυφή της στη περιφέρει του κύκλου. Η εγγεγρµµέη γωί είι ίση µε το µισό της επίκετρης που ίει στο ίδιο τόξο. ύο τόξ µ ο είι ίσ ότ είι τόξ του ίδιου κύκλου ή ίσω κύκλω. Έ πολύγωο λέγετι κοικό ότ έχει όλες τις πλευρές κι όλες τις γωίες του ίσες. Η κετρική γωί εός κοικού πολυγώου δίετι πό το τύπο: ω=36 ο / όπου είι ο ριθµός τω πλευρώ του πολυγώου. Η γωί φ εός κοικού πολυγώου κι η κετρική του γωί ω είι πρπληρωµτικές: ω+φ=18 ο. Το µήκος εός κύκλου δίετι πό το τύπο: L= π ρ όπου L είι το µήκος του κύκλου, π=3,14 κι ρ είι η κτί του κύκλου. Το εµδό εός κυκλικού δίσκου δίετι πό το τύπο: το εµδό κι ρ είι η κτί. Ε= π ρ όπου Ε είι π ρ µ Το µήκος εός τόξου δίετι πό το τύπο: l= όπου l είι το µήκος ο 18 του τόξου, ρ είι η κτί του κύκλου κι µ είι οι µοίρες του τόξου. π ρ µ Το εµδό εός κυκλικού τοµέ δίετι πό το τύπο: Ε= όπου Ε 36 ο είι το εµδό, ρ είι η κτί του κύκλου κι µ οι µοίρες του τίστοιχου τόξου.
Μθηµτικά Προετοιµσί γι τις προγωγικές εξετάσεις: Η µελέτη τω µθηµτικώ πιτεί ρχικά ουσιστική γώση της θεωρίς κι στη συέχει τη σωστή εφρµογή της στη επίλυση τω προληµάτω. Η ουσιστική γώση της θεωρίς επιτυγχάετι µε τη κτόηση: τω ορισµώ, τω θεωρηµάτω (προσοχή στις γεωµετρικές ερµηείες κι τις εξιρέσεις), τω σχετικώ σχολίω. Γι οργώσουµε σωστά τη επάληψη της θεωρίς, χρήσιµο είι έχουµε έ τετράδιο στο οποίο θ γράφουµε τους ορισµούς κι τις ποδείξεις τω θεωρηµάτω. Οι σκήσεις φορού: τη πλή εφρµογή τω ορισµώ κι τω θεωρηµάτω, τη συδυσµέη εφρµογή τους. Γι θεωρηθεί ολοκληρωµέη η επάληψη λλά κι γι ελέγξουµε τις γώσεις µς, µπορούµε λύσουµε τιπροσωπευτικές σκήσεις πό κάθε εότητ. Κτά τη διάρκει τωv εξετάσεωv: ιάζουµε µι φορά όλ τ θέµτ, ώστε σχηµτίσουµε µι γεική εικό. Ξεκιάµε τις πτήσεις µς πό τ θέµτ εκεί γι τ οποί είµστε σίγουροι γι το τρόπο τιµετώπισής του. Συήθως ξεκιάµε πό τη θεωρί. Ατιµετώπιση εός θέµτος: ιάζουµε προσεκτικά τ δεδοµέ του θέµτος. Ετοπίζουµε τη διδκτική εότητ όπου ρίσκοτι. Τ ερµηεύουµε µε άση τη θεωρί της τίστοιχης διδκτικής εότητς. Προχωράµε στη λύση του θέµτος φέροτς τ θεωρήµτ που θ χρησιµοποιήσουµε κι προσέχοτς εά πληρούτι οι προϋποθέσεις τους.εά δε δίοτι στη εκφώηση, τις ποδεικύουµε. Επιπλέο θ πρέπει έχουµε υπόψη µς ότι τ υποερωτήµτ εός ερωτήµτος συδέοτι µετξύ τους. Ακόµη κι εά γοούµε τη λύση του 1 ου υποερωτήµτος, µπορούµε το θεωρήσουµε ως δεδοµέο γι τη επίλυση του ου κ.ο.κ.