Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Εργασία στο πλαίσιο τού µαθήµατος Αλγεβρική Τοπολογία - Οµολογία µε κωδ. αρ. Γ 21 Χειµερινό Εξάµηνο 2007-2008 Μιχαήλ Γκίκας Περίληψη Σκοπός αυτής τής εργασίας είναι η παρουσίαση τής λεπτοµερούς αποδείξεως ενός ϑεωρήµατος τού Hurewicz, το οποίο συνδέει άµεσα τη ϑεµελιώδη οµάδα ενός δροµοσυνεκτικού εστιγµένου τοπολογικού χώρου X, x 0 µε την πρώτη ιδιάζουσα οµάδα οµολογίας H sing 1 X; Z. Σύµβαση : Το σύµβολο X ϑα υποδηλοί τυχόντα τοπολογικό χώρο και το x 0 X ένα παγιωµένο σηµείο αναφοράς. Επειδή ϑα εργασθούµε µε την ιδιάζουσα οµολογία µε συντελεστές ειληµµένους µόνον από τον δακτύλιο των ακεραίων, ϑα συµ- ϐολίζουµε για λόγους συντοµίας την αβελιανή προσθετική οµάδα H sing 1 X; Z απλώς ως H sing. Κατ αναλογίαν, ϑα χρησιµοποιούµε τα S, Z sing και B sing για τον συµβολισµό των αβελιανών οµάδων των ιδιαζόντων 1-αλυσίδων, 1-κυκληµάτων και 1-συνόρων τού X, αντιστοίχως. [Παραποµπές σε εδάφια και σελίδες αφορούν στις διανεµηθείσες χειρόγραφες σηµειώσεις τού διδάσκοντος.] Λήµµα 1 Εστω η : 1 I: [0, 1] ο οµοιοµορφισµός µε τύπο η 1 te 1 0 + te 1 1 : t, t I. Τότε υπάρχει καλώς ορισµένη απεικόνιση η λεγόµενη απεικόνιση Hurewicz φ : π 1 X, x 0 H sing µε τύπο φ [α] : α η + B sing, όπου [α] είναι η κλάση ισοδυναµίας ενός δρόµου α : I X µε αρχή και πέρας του το x 0 X ϐλ. 1.19.8, σελ. 84. Απόδειξη : Κατ αρχάς, η απεικόνιση α η : 1 X είναι προφανώς συνεχής και άρα αποτελεί ένα ιδιάζον 1-µονόπλοκο τού X. Συνεπώς, α η S 1X. Επιπροσθέτως, το ότι ο α είναι εξ ορισµού κλειστός δρόµος έχει ως συνέπεια ότι α η Z sing. Πράγµατι. επειδή d sing 1 α η 1 1 i α η δ1 i α η δ1 0 α η δ1 1 i0 α ηe 1 1 α ηe 1 0 a1 a0 0 1

έχουµε α η + B sing H sing. Εστω τώρα [α], [β] π 1 X, x 0 µε [α] [β], δηλαδή α β ϐλ. 1.19.2, σελ. 83. Αρκεί να αποδειχθεί ότι α η + B sing β η + B sing. Προς τούτο ϑεωρούµε τον δρόµο γ : I S 1, µε γt e 2πıt, για κάθε t I. Προφανώς, ο γ είναι κλειστός δρόµος εντός τού S 1 και άρα οµοίως, γ η Z sing 1 S 1. Σύµφωνα µε την πρόταση Α i τού παραρτήµατος υπάρχουν συνεχείς απεικονίσεις α, β : S 1 X, µε α e 2πıt αt και β e 2πıt βt, δηλαδή τέτοιες ώστε τα ακόλουθα διαγράµµατα να καθίστανται µεταθετικά : S 1 α γ I α X S 1 β γ I β X Εν συνεχεία ϑεωρούµε τον οµοµορφισµό H sing 1 α : H sing 1 S 1 H sing τον επαγόµενο απο τον α : S 1 X, µε τύπο H sing 1 α τ + B sing 1 S 1 : S 1 α τ + B sing, όπου S 1α τ : α τ για κάθε τ Z sing 1 S 1. Καθώς α β, η πρόταση Α ii µας πληροφορεί ότι και α β. Συνεπώς, από το αξίωµα τού οµοτοπικώς αναλλοιώτου ϐλ. 3.4.7, σελ. 180 έπεται ότι Ως εκ τούτου, H sing 1 α H sing 1 β. α η + B sing α γ η + B sing α γ η + B sing H sing 1 α γ η + B sing 1 S 1 H sing 1 β γ η + B sing 1 S 1 β γ η + B sing β γ η + B sing β η + B sing. 2

Παρατήρηση 2 Για διευκόλυνσή µας µπορούµε εφεξής να ϑεωρούµε τους δρόµους α : I X ως ιδιάζοντα 1-µονόπλοκα α : 1 X υπονοώντας τή σύνθεση α η : 1 I X. Επιπροσθέτως, ϐάσει τής ιδίας συλλογιστικής, µπορού- µε να εκλαµβάνουµε τους κλειστούς δρόµους α : I X ως 1-κυκλήµατα διότι έχουµε α η Z sing. Συνεπώς, ύστερα από υιοθέτηση αυτών των πρακτικών συντοµεύσεων, ϑέτουµε φ[α] : a + B sing. Πρόταση 3 Η απεικόνιση Hurewicz φ : π 1 X, x 0 H sing είναι οµοµορφισµός οµάδων. Απόδειξη : Εστω ότι οι α, β : 1 X είναι δυο κλειστοί δρόµοι εντός τού X µε αρχή και πέρας το x 0 X. Οφείλουµε να δείξουµε ότι φ [α] [β] a + B sing + β + B sing. Επειδή όµως φ [α] [β] φ [α β] α β + B sing, αρκεί να κατασκευασθεί ιδιάζον 2-µονόπλοκο σ : 2 X, τέτοιο ώστε d sing 2 σ α + β α β. Η κατασκευή γίνεται ως εξής : Κατ αρχάς ορίζουµε την απεικόνιση σ επί των εδρών πλευρών ɛ 0, ɛ 1, ɛ 2 τού ϑε- µελιακού 2-µονοπλόκου 2 ως ακολούθως : 0-έδρα ɛ 0 : σ0, 1 t, t : βt, 1-έδρα ɛ 1 : σ1 t, 0, t : α βt, 2-έδρα ɛ 2 : σ1 t, t, 0 : αt. Κατόπιν τούτου, ορίζουµε τη σ στο εσωτερικό τού 2, ούτως ώστε να είναι σταθερή απεικόνιση επί των ευθυγράµµων τµηµάτων µε άκρα τα κ : κt : 1 t, t, 0 και λ : λt : 2 t 2, 0, t 2 και σταθερή απεικόνιση επί των ευθυγράµµων τµηµάτων µε άκρα τα µ : µt : 0, 1 t, t και ν : νt : 1 t 2, 0, 1 + t 2. e 2 2 ν µ α β β λ e 2 0 κ α e 2 1 Προφανώς, η κατασκευασθείσα σ : 2 X είναι συνεχής µε d sing 2 σ 2 1 i σ δ2 i i0 σɛ 0 σɛ 1 + σɛ 2 β α β + α. 3

Συνεπώς, φ [α] [β] φ [α β] α β + B sing α + β + B sing α + B sing + β + B sing. Θεώρηµα 4 Hurewicz Εάν ο X είναι δροµοσυνεκτικός, τότε η απεικόνιση Hurewicz φ : π 1 X, x 0 H sing είναι επιµορφισµός οµάδων µε πυρήνα του τον kerφ π 1X, x 0, ήτοι τη µεταθέτρια υποοµάδα 1 τής π 1 X, x 0. Απόδειξη : Γιά το ότι είναι επιµορφισµός : Εστω ζ Z sing µε ζ k r iσ i, όπου σ i : 1 X και r i Z. Τότε 0 d sing 1 ζ j0 1 1 j r i σ i δ1 j r i σ i e 1 1 σ i e 1 0. 1 Ο X είναι δροµοσυνεκτικός, οπότε για κάθε δείκτη i 1,, k υπάρχουν δρόµοι γ i, δ i : 1 X µε γ i : x 0 σ i e 1 1 και δ i : x 0 σ i e 1 0. σ i e 1 1 γ i x 0 σ i δ i σ i e 1 0 Προσοχή! Επιλέγουµε τους ανωτέρω δρόµους, ούτως ώστε να εξαρτώνται µόνον από τα ληκτικά τους σηµεία και όχι από τους δείκτες. ηλαδή, εάν σ ie 1 1 σ je 1 1, ϑέτουµε γ i γ j. εάν σ i e 1 0 σ j e 1 0, ϑέτουµε δ i δ j και εάν σ i e 1 1 σ j e 1 0, ϑέτουµε γ i δ j. Κατ αυτόν τον τρόπο είµαστε σε ϑέση να εφαρµόσουµε την αρχή τής αντικαταστάσεως λήµµα Β για τα σ 1 e 1 1, σ 1 e 1 0,, σ k e 1 1, σ k e 1 0 S 0 X 1 Εστω G µια οµάδα. Ορίζουµε τη µεταθέτρια υποοµάδα G τής G ως την υποοµάδα που παράγεται από όλους τους µεταθέτες [a, b] : aba 1 b 1, όπου a, b G. Ας σηµειωθεί ότι G G. Συµβολίζουµε την πηλικοοµάδα G /G ως G ab και την καλούµε αβελιανοποίηση τής G. 4

και τα γ 1, δ 1,, γ k, δ k S 1X και να λάβουµε απο τη σχέση 1 την ισότητα : Συνεπώς, ζ r i γ i δ i 0 S. r iσ i r iδ i + σ i γ i. Οµως οι δρόµοι δ i σ i γ 1 i είναι κλειστοί έχοντες ως πέρας και αρχή τους το x 0, γιά κάθε i {1,, k}. Ως εκ τούτου, εφαρµόζοντας τα λήµµατα i και ii συνάγουµε τα εξής : ii i k φ [δ i σ i γ 1 i ] r i r i δ i σ i γ 1 i + B sing r i δ i + σ i + γ 1 i + B sing r i δ i + σ i γ i + B sing ζ + B sing. r iδ i + σ i γ i + B sing r i φ [δ i σ i γ 1 i ] Για το ότι kerφ π 1X, x 0 : Γνωρίζουµε ότι η µεταθέτρια υποοµάδα G µιας οµάδας G είναι η ελάχιστη ορθόθετη υποοµάδα που καθιστά την πηλικοοµάδα G/G αβελιανή. Επειδή από το πρώτο ϑεώρηµα ισοµορφισµών οµάδων ισχύει π 1 X, x 0 / kerφ H sing και η H sing είναι αβελιανή, ο ισχυρισµός είναι αληθής. : Εστω [γ] π 1X, x 0 µε [γ] kerφ. Τότε φ [γ] 0 H sing Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µια 2-αλυσίδα και άρα γ B sing. r iσ i, τέτοια ώστε να ισχύει όπου r i Z, σ i : 2 X, i {1,..., k}, d sing 2 r i σ i γ. 5

Ας συµβολίσουµε ως σ ij τη σύνθεση σ ij σ i δ j 2 : 1 X, όπου j {0, 1, 2} και δ j 2 : 1 2 η απεικόνιση έδρας ϐλ. 3.1.2, σελ. 160. Η σ ij είναι προφανώς η j-οστή έδρα τού ιδιάζοντος 2-µονοπολόκου σ i. σ i1 σ i0 σ i σ i2 Επιπροσθέτως, γ d sing 2 j0 r iσ i 2 1 j r i σ ij j0 2 1 j r iσ i δ2 j r i σ i0 σ i1 + σ i2. 2 Τόσο το γ όσο και τα σ ij, όπου i {1,, k}, j {0, 1, 2}, αποτελούν στοιχεία τής ϐάσεως τής ελεύθερης αβελιανής οµάδας S. Επειδή όµως έχουµε µοναδική γραφή ως προς τη ϐάση και ο συντελεστής τού γ είναι 1, έπεται εύκολα ότι γ σ pq, για κάποιο p {1,, k} και κάποιο q {0, 1, 2}. Εξάλλου, επειδή ο X είναι δροµοσυνεκτικός, υπάρχουν i {1,, k} δρόµοι λ i, µ i, ν i εντός τού X µε Ητοι σχηµατικά : λ i : x 0 σ i0e 1 0, µ i : x 0 σ i1e 1 1, ν i : x 0 σ i2 e 1 0. µ i σ i1 σ i σ i0 x 0 ν i σ i2 λ i Επιλέγουµε και πάλι τους δρόµους αυτούς κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εξαρτώνται µόνον από τα ληκτικά τους σηµεία και όχι από τους δείκτες, δηλαδή : εάν κάποιο από τα σ i0e 1 0, σ i1e 1 1, σ i2e 1 0 είναι το σηµείο x 0, ορίζουµε αντιστοίχως τα λ i, µ i, ν i να είναι ο σταθερός δρόµος c x0, 6

εάν σ i0e 1 0 σ j0e 1 0, τότε ϑέτουµε λ i λ j, εάν σ i1e 1 1 σ j1e 1 1, τότε ϑέτουµε µ i µ j και, τέλος, εάν σ i2e 1 0 σ j2e 1 0, τότε ϑέτουµε ν i ν j. Εν συνεχεία, για κάθε i {1,, k} ϑεωρούµε τις κλάσεις οµοτοπίας των ακολού- ϑων κλειστών δρόµων, µε ϐασικό τους σηµείο το x 0 : [a i0 ] [λ i σ i0 µ 1 i ], [a i1 ] [ν i σ i1 µ 1 i ], [a i2 ] [ν i σ i2 λ 1 i ]. Κατόπιν τούτου, ϑεωρούµε την πηλικοοµάδα π 1X, x 0 / π 1X, x 0, η οποία είναι εξ ορισµού αβελιανή, και αντιστοίχως τις κλάσεις υπολοίπων [a ij ] των κλάσεων οµοτοπίας [a ij ] π 1 X, x 0. Η σχέση 2, σ pq γ r iσ i0 σ i1 + σ i2, είναι µια εξίσωση σε επίπεδο γεννητόρων τής ελεύθερης αβελιανής οµάδας S 1X. Ακριβώς λόγω τής προσεκτικής επιλογής των δρόµων λ i, µ i, ν i και τον ορισµό των δρόµων a ij, αυτή επάγει µέσω της αρχής τής αντικαταστάσεως - λήµµα Β µια εξίσωση σε επίπεδο στοιχείων τής αβελιανής πηλικοοµάδας π 1 X, x 0 / π 1X, x 0 : [a pq] k k [a i0] [a i1] 1 ri [a i2] [a i0 a 1 i1 a i2] ri. 3 Σηµειωτέον ότι [a pq ] [x σ pq y], για κατάλληλα x {λ p, ν p } και y {µ 1 p, λ 1 p }. Ωστόσο, γ σ pq, οπότε ο σ pq είναι κλειστός δρόµος µε ϐασικό του σηµείο το x 0. Εποµένως, για να ορίζεται το γινόµενο δρόµων x σ pq y πρέπει υποχρεωτικά οι x και y να είναι οι σταθεροί δρόµοι c x0. Ως εκ τούτου, [a pq] [σ pq] [γ], οπότε Από την άλλη µεριά, [γ][a pq ]. [a i0 a 1 i1 a i2] [λ i σ i0 σ 1 i1 σ i2 λ 1 i ] [λ i λ 1 i ] [c x0 ] id π1 X,x 0, 4 µε τον σ i0 σ 1 i1 σ i2 µηδενοοµοτοπικό επί τη ϐάσει τού λήµµατος Γ ϐλ. και το δεύτερο σχήµα τής σελ. 6. Άρα η σχέση 3 διαµορφώνεται ως εξής : [γ] 4 οπότε [γ] π 1X, x 0. [a pq] k k [a i0 a 1 i1 ai2] ri id π1 X,x 0 ri idπ1 X,x 0 / π 1 X,x 0, 7

Πόρισµα 5 Εάν ο X είναι δροµοσυνεκτικός, τότε H sing π 1X, x 0 ab. Απόδειξη : Λόγω τού ϑεωρήµατος 4, αρκεί η εφαρµογή τού πρώτου ϑεωρήµατος ισοµορφισµών οµάδων για τον επιµορφισµό φ τού Hurewicz. Παράρτηµα Πρόταση Α i Εστω α : I X ένας κλειστός δρόµος µε αρχή και πέρας του το x 0 X. Τότε υπάρχει α : S 1 X συνεχής µε α e 2πıt αt. ii Εάν οι α, β : I X είναι κλειστοί δρόµοι µε αρχή και πέρας τους το x 0 X και α β, τότε α β. Απόδειξη : i Κατ αρχάς, επειδή ο α : I X είναι ένας δρόµος µε αρχή και πέρας του το x 0 X, είναι κατ ουσίαν µια συνεχής απεικόνιση τοπολογικών Ϲευγών α : I, I X, x 0. Θέτοντας σε εφαρµογή την πρόταση 1.18.4, σελ. µιας συνεχούς απεικονίσεως 80, εξασφαλίζουµε την ύπαρξη α : I / I X X / {x 0 } µε τύπο α [t] R I : [αt]rx0 αt για κάθε t I, όπου R I και R x0 είναι οι αντίστοιχες σχέσεις ισοδυναµίας ϐλ. 1.10.9, σελ. 25. Επιπροσθέτως, I / I S 1, οπότε διαθέτουµε µια συνεχή απεικόνιση α : S 1 X, για την οποία ισχύει α e 2πıt αt, για κάθε t I. ii Ας υποθέσουµε ότι η H : I I X είναι µια οµοτοπία από το αx στο βx, µε H0, t H1, t x 0, για κάθε t I. Ορίζοντας επί τού I τη σχέση ισοδυναµίας R I και επί τού X την τετριµµένη R x0, εφαρµόζουµε το πόρισµα 1.17.8, σελ. 72, και καταλήγουµε στη δηµιουργία µιας οµοτοπίας H : I / I I S 1 I X µεταξύ των α x και β x, όπου x S 1. Λήµµα Β Αρχή τής αντικαταστάσεως Εστω F µια ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε το B ως παράγον σύνολό της. Ας υποθέσουµε ότι x 0, x 1,, x k B όχι κατ ανάγκην διακεκριµένα, ούτως ώστε να ισχύει r 0x 0 r ix i, r i Z, i {0, 1,, k} Εάν η G είναι οποιαδήποτε αβελιανή οµάδα και y 0, y 1, y k G µε την ιδιότητα [ xi x j y i y j ], τότε ισχύει η ισότητα r 0 y 0 r i y i. 8

Απόδειξη : Ορίζουµε την f : B G µε τύπο fx i : y i, για i 0,, k και fx : 0, αλλιώς. Η απεικόνιση είναι καλώς ορισµένη, ακριβώς λόγω τής ιδιότητας [ xi x j y i y j ]. Από την καθολική ιδιότητα των ελευθέρων αβελιανών οµάδων πρβλ. [Σ.Ο.Α.] 1.6.1, σελ. 38 έπεται ότι υπάρχει οµοµορφισµός οµάδων f : F G µε f B f. Συνεπώς, F B f f G r 0 x 0 r i x i r 0 x 0 r i x i 0 F f r 0x 0 r ix i f0f 0 G r 0 y 0 r i y i 0 G r 0 y 0 r i y i. i 1 Λήµµα Γ Εστω σ : 2 X ένα ιδιάζον 2-µονόπλοκο. Για κάθε j {0, 1, 2} ορίζουµε τη σύνθεση σ j : σ δ j 2 : 1 X, όπου δ j 2 : 1 2 η απεικόνιση έδρας ϐλ. 3.1.2, σελ 160. e 2 2 σ 1 σ 0 σ e 2 0 σ 2 e 2 1 Τότε ο δρόµος σ 0 σ 1 1 σ 2 είναι µηδενοοµοτοπικός. Απόδειξη : Επεται άµεσα από την πρόταση 1.17.13 σελ. 74 και από το ότι ισχύει 2, 2 D 2, S 1 ϐλ. 1.20.11, σελ. 90. Λήµµα i Εστω ότι ο α : 1 X είναι ένας δρόµος εντός τού X. Τότε α + α 1 B sing. ii Εστω ότι οι α, β, γ : 1 X είναι τρείς δρόµοι εντός τού X, ούτως ώστε να ορίζεται ο δρόµος α β γ και να είναι κλειστός. Τότε ισχύει η ισότητα α β γ + B sing α + β + γ + B sing. 9

Απόδειξη : i Κατασκευάζουµε ένα ιδιάζον 2-µονόπλοκο σ : 2 X µε τρόπο παρόµοιο αυτού τής αποδείξεως τής προτάσεως 3, οριζόµενο επί των εδρών 2 όπως στο κάτωθι σχήµα : α α 1 σ α 1 α Προφανώς, d sing 2 σ α 1 α α 1 + α, και άρα α 1 α α 1 + α B sing. 1 Ας υποθέσουµε ότι ο δρόµος α έχει ως αρχικό του σηµείο το x 0 X. Τότε, επειδή η απεικόνιση Hurewicz φ είναι οµοµορφισµός πρόταση 3, λαµβάνουµε το ακόλουθο : α α 1 + B sing φ [α α 1 ] φid π1 X,x 0 id H sing. Συνεπώς, α α 1 B sing, και από τη σχέση 1 συµπεραίνουµε ότι α 1 + α B sing. ii Κατ αρχάς ϑα δείξουµε ότι α β α β B sing. Προς τούτο κατασκευά- Ϲουµε, όπως πριν, ένα ιδιάζον 2-µονόπλοκο σ 1 : 2 X οριζόµενο επί των εδρών τού 2 όπως στο ακόλουθο σχήµα : α σ 1 β 1 α β Προφανώς, d sing 2 σ 1 β 1 α + α β και άρα β 1 α + α β B sing. Οµως από το i έχουµε ότι β + β 1 B sing και, ως εκ τούτου, β α + α β B sing. 2 Εν συνεχεία, κατασκευάζουµε ένα ιδιάζον 2-µονόπλοκο σ 2 : 2 X ορίζοντάς το επί των εδρών τού 2 ως εξής : α β σ 2 γ 1 α β γ 10

Κατά συνέπειαν, d sing 2 σ 2 γ 1 α β + α β γ, οπότε γ 1 α β + α β γ B sing. Από τη σχέση 2 και από το ότι γ +γ 1 B sing που ισχύει λόγω τού i έπεται ότι γ α + β + α β γ B sing α + β + γ + α β γ B sing α β γ + B sing α + β + γ + B sing. Αναφορές [1] J. J. Rotman : An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag 1988 [2] M. J. Greenberg J. R. Harper : Algebraic Topology, A First Course, Benjamin/Cummings Publishing Company 1981 11