4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης

4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα, καθώς και την απόδειξή του. Τέλος η δραστηριότητα κλείνει με μια εφαρμογή αυτού του θεωρήματος για τη μελέτη συνάρτησης ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Να συνδέσουν τη μονοτονία μιας συνάρτησης με τα πρόσημα των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω σε αυτή. Να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και στη συνέχεια να οδηγηθούν στους τυπικούς ορισμούς. Να κατανοήσουν την ανάγκη μελέτης των υποδιαστημάτων του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης, στα οποία αυτή είναι μονότονη. Να μπορέσουν να χειριστούν σε συνδυασμό συμβολικές και γραφικές αναπαραστάσεις, για να οδηγηθούν στην εικασία, την κατανόηση, τη διατύπωση του θεωρήματος Μονοτονίας και τέλος στην απόδειξή του. Να αντιληφθούν την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος, καθώς και την αδυναμία αντιστροφής του. Να χρησιμοποιήσουν τo θεώρημα για τη μελέτη της μονοτονίας και των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Να συμπληρώνουν και να ερμηνεύουν τον πίνακα μεταβολών μιας συνάρτησης. Λογική της δραστηριότητας Η δομή της δραστηριότητας διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο μέρος επιχειρείται μέσω του λογισμικού μία προσπάθεια διαισθητικής σύνδεσης του προσήμου της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τις σχετικές θέσεις των άκρων του Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης. Η μελέτη των 1

διαστημάτων αριστερά και δεξιά ενός ακροτάτου οδηγεί στους ορισμούς της μονοτονίας συνάρτησης. Το είδος της συνδέεται γραφικά και αλγεβρικά με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω στη γραφική παράσταση ή αντίστοιχα των λόγων μεταβολής. Ακολούθως μέσω της γραφικής παράστασης το πρόσημο της παραγώγου συνδέεται διαισθητικά με τη μονοτονία και οι μαθητές οδηγούνται βήμα προς βήμα στην εικασία του θεωρήματος μονοτονίας, την αυστηρή διατύπωση και τέλος την τυπική του απόδειξη. Στο τελευταίο μέρος οι μαθητές, μέσω των γραφικών παραστάσεων, καλούνται να συνδέσουν πληροφορίες για τη συνάρτηση και την παράγωγό της. Στη συνέχεια θα πρέπει να χρησιμοποιήσουν τα προηγούμενα θεωρήματα, για να οδηγηθούν στον αλγεβρικό λογισμό που απαιτείται για τη συμπλήρωση του κλασικού πίνακα μεταβολών. Οι μαθητές συλλέγουν τις πληροφορίες συνδυάζοντας αλγεβρικές, αριθμητικές και γραφικές αναπαραστάσεις, τις οποίες παρέχει το λογισμικό. Η αλγεβρική επεξεργασία και η συμπλήρωση του πίνακα μεταβολών έρχονται ως το τελικό επιστέγασμα μετά την εννοιολογική κατανόηση των εννοιών που προηγήθηκαν και όχι ως κεντρικός ή και αποκλειστικός διδακτικός στόχος. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί για τα εξής θέματα: A) Την εισαγωγή της έννοιας της μονοτονίας. Αυτό το μέρος, εφόσον δε χρησιμοποιεί την έννοια της παραγώγου, θα μπορούσε να εισαχθεί και σε ένα αρχικό μάθημα Άλγεβρας μικρότερης τάξης (όπως π.χ. στην Α Λυκείου) σε μια εισαγωγή στις συναρτήσεις. Β) Την εισαγωγή, την απόδειξη και τη χρήση του θεωρήματος Μονοτονίας στη μελέτη συνάρτησης στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικού λογισμού. Ανάλογα με τους επιμέρους διδακτικούς στόχους η δραστηριότητα μπορεί να δοθεί στο σύνολό της ή παραλείποντας κάποια τμήματα, όπως για παράδειγμα εκείνα που περιέχουν αποδείξεις. Η εκτέλεση της εκτιμάται ότι απαιτεί 3 διδακτικές ώρες. 2

4.5.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.1.activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο 2000-2008 σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Σε αυτήν, όπως και στην επόμενη ερώτηση Ε2, ο επιθυμητός στόχος έγκειται στο να μπορέσουν οι μαθητές να συνδέσουν την αύξηση ή την μείωση των τιμών της συνάρτησης με τη μορφή της γραφικής της παράστασης (ανεβαίνει ή κατεβαίνει αντίστοιχα από αριστερά προς τα δεξιά). Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ο στόχος του παρακάτω αρχείου καθώς και της ερώτησης Ε3 είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές με την έννοια της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος καθώς και να 3

συνειδητοποιήσουν ότι το πρόσημο της κλίσης εξαρτάται από τις σχετικές θέσεις των άκρων του. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.2.activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης 1 του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Ο καθηγητής θα μπορούσε ίσως να συμπληρώσει κάποια ερωτήματα, όπως: Εάν το Β είναι δεξιά του Α, έχουμε πάντα θετική κλίση; Με το Β πάνω από το Α έχουμε πάντα θετική κλίση; κ.λ.π. Η ειδική περίπτωση όπου x 1 = x 2 προφανώς δεν αντιμετωπίζεται από το λογισμικό και για αυτό το λόγο χρήζει ίσως κάποιου σχολιασμού. Πρόκειται για την εξέταση κατακόρυφων ευθειών, για τις οποίες δεν ορίζεται κλίση 2. Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο 4.5.1 πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία x, Px ( ) Β x, Px ( ) πάνω στη γραφική παράσταση της Α ( ) και ( ) 1 1 2 2 1 Εδώ ίσως θα ήταν χρήσιμο ο καθηγητής να υπενθυμίσει εκ νέου την έννοια της κλίσης ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο, ώστε αυτή να είναι κατά το δυνατόν αποσαφηνισμένη για τους μαθητές στη συνέχεια της δραστηριότητας. 2 Γενικότερα ίσως αξίζει τον κόπο με διάφορες αφορμές, να αναφέρεται και να τονίζεται η εγγενής ανεπάρκεια του υπολογιστικού μέσου όταν εμφανίζεται παρονομαστής μηδέν σε κλασματική παράσταση, ώστε να αποφευχθούν κάποιες από τις παρανοήσεις των μαθητών. 4

συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να μετακινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης αριστερά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, όπου ο πληθυσμός αυξάνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν θετικές. Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Px ( 2) Px ( 1) Αναμένεται να γραφεί ο τύπος. x x 2 1 Ε6: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x1 < x2 προκύπτει Px ( 1) < Px ( 2) (1). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να οδηγηθούν στο συλλογισμό ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι θετικός και x1 < x2, τότε ισχύει το συμπέρασμα (1). Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο Δ. Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να είναι σε θέση να διατυπώσουν τον τυπικό ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης, ενώ ο καθηγητής θα πρέπει να συμβάλει στη θεσμοθέτηση και την ερμηνεία του καθολικού ποσοδείκτη 3 x1, x2 Δ. Αυτός ο 3 Το πρόβλημα του ποσοδείκτη είναι πολλαπλό: εννοιολογικό, συμβολικό κ.λ.π. Εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια της καθολικότητας και αυτό δυσκολεύει τις άμεσες αποδείξεις. 5

ορισμός, εξαιτίας της συχνής αδυναμίας πρακτικής χρήσης του, θα αποτελέσει στη συνέχεια και το κίνητρο για τη μελέτη της μονοτονίας συνάρτησης με τη βοήθεια διαφορετικών εργαλείων, όπως το πρόσημο της παραγώγου της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης δεξιά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, όπου ο πληθυσμός μειώνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν αρνητικές. Ε9: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x 1 < x 2 προκύπτει τώρα Px ( 1) > Px ( 2). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να συμπεράνουν ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός και x1 < x2, τότε ισχύει το συμπέρασμα. Μια συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να δώσουν τον τυπικό ορισμό για μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, ισχύει δε η προηγούμενη παρατήρηση που αφορά στον ποσοδείκτη «για κάθε». Στην περίπτωση όπου κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται με τις αυστηρές διατυπώσεις θα τους δοθούν οι τυπικοί ορισμοί μετά από κάποιες λεκτικές επεξηγήσεις, όπως: «Καθώς μεγαλώνουν οι τιμές του x, οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης μεγαλώνουν ή μικραίνουν κ.λ.π.». Μια συνάρτηση g που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Ο στόχος των δύο ερωτήσεων που ακολουθούν είναι να συνοψίσουν όλα τα προηγούμενα ισχυροποιώντας τη σύνδεση ανάμεσα στη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ή και σε όλο το, με τη διατήρηση σταθερού προσήμου για τις κλίσεις όλων των δυνατών χορδών με άκρα στη γραφική της παράσταση. 6

Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x2 x1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x x 2 1 Μπορεί να δοθεί γραφική ή αλγεβρική αιτιολόγηση για τα πρόσημα. Εδώ επιχειρείται η σύνδεση του είδους της μονοτονίας μιας συνάρτησης με το πρόσημο του λόγου μεταβολής για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Για τη συνέχεια της δραστηριότητας μας ενδιαφέρει η αντίστροφη σύνδεση, δηλαδή κατά πόσον το σταθερό πρόσημο των λόγων μεταβολής για οποιαδήποτε δύο σημεία του διαστήματος Δ μπορεί να εξασφαλίσει το είδος μονοτονίας της συνάρτησης. Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. f ( x2) f( x1) Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής x2 x1 είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; f ( x2) f( x1) ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι x2 x1 αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης g στο Δ; Εδώ πλέον θα πρέπει ο καθηγητής, κάνοντας τη σύνδεση με τις προηγούμενες ερωτήσεις, να βοηθήσει τους μαθητές να φτάσουν στο φυσιολογικό συμπέρασμα ότι το είδος μονοτονίας μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μεταφέρεται στο πρόσημο της κλίσης (λόγου μεταβολής) για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία A( x1, f( x 1)) και Bx ( 2, f( x 2)) του εν λόγω διαστήματος (δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία: Η συνάρτηση f : Δ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, εάν και μόνο εάν ισχύει ότι f( x2) f( x1) > 0 x1, x2 Δμε x1 x2). Η όλη διαδικασία, σε αυτό το στάδιο, x2 x1 συνδέει τη γραφική αναπαράσταση (εικόνα) με την αλγεβρική προσέγγιση (πρόσημα, πράξεις κ.λ.π.). 7

Στο σημείο αυτό μπορεί να γίνει μια συζήτηση που θα συνδέσει τη μονοτονία με το πρόβλημα εντοπισμού τοπικών ακροτάτων. Το θεώρημα Fermat μας παρέχει την πληροφορία για το τι συμβαίνει, όταν έχουμε τοπικά ακρότατα σε εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος, όπου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (και κατά συνέπεια ένα πιθανό τρόπο αναζήτησης των τοπικών ακροτάτων στο σύνολό τους). Όμως δεν απαντά στο ερώτημα ποιες από τις ρίζες της παραγώγου αποτελούν τοπικά ακρότατα και εάν υπάρχουν και άλλα που δεν είναι ρίζες της παραγώγου. Επίσης δεν παρέχει πληροφορίες για το είδος τους. Επομένως παραμένει ανοικτό το πρόβλημα του προσδιορισμού των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν ως στόχο να οδηγήσουν στην δυνατότητα εύρεσης των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης με τη βοήθεια των διαστημάτων μονοτονίας της. E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει π.χ. τοπικό μέγιστο σε ένα σημείο αν είναι γνησίως αύξουσα αριστερά του και γνησίως φθίνουσα δεξιά του. Ακολούθως ο καθηγητής μπορεί να τυποποιήσει την απάντηση με την ακόλουθη διατύπωση: Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Αν υπάρχουν διαστήματα της μορφής ( α, x ] και [ x, β ) 0 0 αριστερά και δεξιά του σημείου x 0 στα οποία η συνάρτηση έχει διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε αυτή παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0. Επίσης μπορεί να γίνει αναφορά στην περίπτωση που η συνάρτηση παρουσιάζει διαφορετικό είδος μονοτονίας σε διαστήματα της μορφής ( α, x ) και ( x, β ). Στην 0 0 περίπτωση αυτή απαιτείται η συνέχεια στο x για να είναι αυτό σημείο τοπικού 0 ακροτάτου. Μπορούν να δοθούν μερικά απλά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων που να δείχνουν ότι, αν η f δεν είναι συνεχής στο x, η αλλαγή της μονοτονίας 0 αριστερά και δεξιά του σημείου δεν εξασφαλίζει πάντα την ύπαρξη ακροτάτου. Τέλος στα πλαίσια περαιτέρω διερεύνησης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να ανοίξουν το αρχείο 4.5.3.activity.gr.euc όπου παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση 1 x ημ, x 0 f ( x) = x, η οποία, αν και συνεχής στο x = 0, όπου παρουσιάζει 0 0, x = 0 ολικό ελάχιστο, εντούτοις δε διαθέτει κανένα διάστημα της μορφής ( α,0] ή [0, β ), στο οποίο αυτή να είναι γνησίως μονότονη. Αυτό το αντιπαράδειγμα δείχνει ότι η προηγούμενη συνθήκη με τα διαστήματα μονοτονίας είναι ικανή για την ύπαρξη εσωτερικών ακροτάτων αλλά όχι αναγκαία. 8

Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; Ως λογική συνέπεια της απάντησης στην προηγούμενη ερώτηση Ε14 αναμένεται οι μαθητές να αναφερθούν στα διαστήματα του πεδίου ορισμού, όπου η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. 9

10 4.5.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Σύνδεση μονοτονίας και πρόσημου της παραγώγου Σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι εύκολο να ελέγξουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης με χρήση του ορισμού (π.χ. πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε με τη χρήση του ορισμού ότι η συνάρτηση f ( x ) = 2 x, x είναι γνησίως αύξουσα;). Με αφορμή αυτή τη δυσκολία μπορεί να γίνει μέσα στην τάξη μια συζήτηση, η οποία θα οδηγήσει στην αναγκαιότητα εύρεσης εργαλείων που θα βοηθούν στη μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης. Η σύνδεση της μονοτονίας με τη διατήρηση σταθερού πρόσημου των κλίσεων των χορδών, που μελετήθηκε στο Φύλλο Εργασίας 4.5.1, θα οδηγήσει μέσω του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο πρόσημο της παραγώγου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, όπου ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας 4.5.1 αυξάνεται ή μειώνεται; Η χρήση της παραγώγου και η συμβολή της στη μελέτη συνάρτησης έχει ήδη θεσμοθετηθεί στη δραστηριότητα 4.3 με το θεώρημα Fermat. Εδώ θα μπορούσε να γίνει μια επιπλέον συζήτηση για τη σύνδεσή της με τη μονοτονία. Και οι δύο αυτές έννοιες μπορούν να συσχετιστούν μέσω των κλίσεων των χορδών κατά τον εξής τρόπο: Η μεν μονοτονία έχει ήδη συνδεθεί με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών στο 4.5.1, η δε παράγωγος παραπέμπει στην εφαπτομένη ως όριο τεμνουσών. Κατά συνέπεια οι κλίσεις των χορδών είναι ένα θέμα που αναμένεται να τεθεί προς συζήτηση πριν από την ερώτηση Ε7 που ακολουθεί. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.4.activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( xκ, Px ( Κ) ). Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x, '( )) Κ P x κ καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ενέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα.

Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; Για τους μαθητές αναμένεται μια πρώτη επαφή με τη σύνδεση της γραφικής παράστασης και του προσήμου της παραγώγου. Μπορούν να μετακινήσουν το σημείο Κ πάνω στη γραφική παράσταση με τη βοήθεια της τετμημένης του, ώστε να διαπιστώσουν, είτε οπτικά είτε με τη βοήθεια του μετρητή, τα διαστήματα στα οποία η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική ή αρνητική καθώς και τα σημεία μηδενισμού της (ρίζες της παραγώγου). Οι μαθητές πειραματίζονται με το λογισμικό και αναμένεται να συνδέσουν την αριθμητική πληροφορία με την εικόνα που τους παρέχει η γραφική αναπαράσταση. Επιπλέον μπορούν να έχουν στην ίδια οθόνη τις γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης και της παραγώγου της, από όπου να συμπεράνουν το πρόσημο και τις ρίζες της τελευταίας και να τα συνδέσουν με τη μονοτονία και τα ακρότατα της αρχικής. Η γραφική παράσταση της P ' μπορεί να αναιρείται με Ctrl+2, προκειμένου να μπορούν να πειραματιστούν οι μαθητές. Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να συνδέσουν οι μαθητές τη μονοτονία με το πρόσημο της παραγώγου Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Στόχος είναι οι μαθητές να παρατηρήσουν πρώτα από τη γραφική παράσταση τη σύνδεση της μονοτονίας με το πρόσημο της παραγώγου και στη συνέχεια να φτάσουν στην αλγεβρική απόδειξη. f( x) f( x0) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα, με x x θα είναι > 0 και άρα, 0 x x0 f( x) f( x0) αφού είναι παραγωγίσιμη, ισχύει lim 0 για κάθε x του διαστήματος. 0 x x0 x x0 f( x) f( x0) Η περίπτωση, όπου ενδέχεται να ισχύει > 0 για κάθε x με x x0 x x0 αλλά f '( x 0) = 0, θα πρέπει να σημειωθεί. Ως παράδειγμα θα μπορούσε να αναφερθεί η 3 συνάρτηση g( x) = x στο σημείο x 0 = 0. 11

Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ισχύουν οι αντίστοιχες παρατηρήσεις με την προηγούμενη ερώτηση. Επίσης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να αποδείξουν το συμπέρασμα της Ε4 χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα της Ε3 και το ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης θα μπορούσε να ζητηθεί από τους μαθητές να δώσουν ένα παράδειγμα αντίστοιχο με της προηγούμενης ερώτησης όπως π.χ. τη 3 συνάρτηση y = x. Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Στόχος είναι οι μαθητές να οδηγηθούν στην εικασία ότι η διατήρηση του προσήμου της παραγώγου μίας συνάρτησης σε ένα διάστημα εξασφαλίζει τη γνήσια μονοτονία της. Για το σκοπό αυτό μπορούν να δοκιμάσουν και άλλες συναρτήσεις, ώστε να οδηγηθούν στη διατύπωση της εικασίας. Οι διαισθητικές απαντήσεις των μαθητών είναι σε αυτό το σημείο επαρκείς. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν στόχο να οδηγήσουν τους μαθητές στην απόδειξη της εικασίας. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x1, Px ( 1) ) και Β ( x2, Px ( 2) ) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8), όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Επιθυμητή απάντηση είναι η κλίση της χορδής. Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; Στόχος της ερώτησης είναι οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το Θ.Μ.Τ. Όσοι αντιμετωπίσουν δυσκολία μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό πατώντας στο πλήκτρο Θεώρημα, για να δουν το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τη χορδή και έτσι να οδηγηθούν στο Θ.Μ.Τ. 12

Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Στόχος αυτής της ερώτησης είναι οι μαθητές να διατυπώσουν και να αποδείξουν το παρακάτω θεώρημα: Έστω συνάρτηση f :[ α, β ] συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ). Τότε αν f '( x ) > 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως αύξουσα και αν f '( x ) < 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Οι υποθέσεις του θεωρήματος θα προκύψουν από τη χρήση του Θ.Μ.Τ. Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει την αναγκαιότητα της συνέχειας στα άκρα του διαστήματος. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.5.activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να φανεί η αναγκαιότητα της υπόθεσης της συνέχειας της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος για να ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος. Στην αρχική της θέση η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος. Η δυνατότητα κατακόρυφης μετακίνησης του σημείου Β και η εξέταση της μονοτονίας της συνάρτησης για τις διάφορες θέσεις του δείχνει ότι η ασυνέχεια της συνάρτησης σε ένα από τα δύο άκρα μπορεί να οδηγήσει σε συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη. Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; Η δυνατότητα αντιστροφής ενός θεωρήματος στα μαθηματικά (αλλά και γενικότερα οποιουδήποτε λογικού συμπερασμού από την πραγματική ζωή) είναι ένα ζήτημα που ποτέ δεν είναι και τόσο ξεκάθαρο για τους μαθητές και αξίζει ίσως λίγο χρόνο σχολιασμού. Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. 13

Μέσα από αυτή την ερώτηση πρέπει να γίνει προσπάθεια να κατανοήσουν οι μαθητές ότι απαιτείται αντιπαράδειγμα για να τεκμηριωθεί ότι μια πρόταση δεν ισχύει. Οι μαθητές προτρέπονται να διατυπώσουν εικασίες σχετικά με την παραπάνω ερώτηση. Οι παρακάτω ενέργειες μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να απαντήσουν στην Ε11. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.6.activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική παράσταση της 3 συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινήσετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε11. 14

4.5.3 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης Σε αυτό το φύλλο εργασίας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον πληθυσμό της αγέλης ελαφιών και ζητείται από τους μαθητές να βρουν τα διαστήματα μονοτονίας της καθώς και τα τοπικά και ολικά ακρότατα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη 1 4 14 3 53 2 συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με 4 3 2 0 x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; Η εφαρμογή του θεωρήματος Μονοτονίας θα πρέπει να οδηγήσει στην παραγώγιση της συνάρτησης και στη συνέχεια την εύρεση των ριζών της παραγώγου (με παραγοντοποίηση ή σχήμα Horner) και την επίλυση της σχετικής ανίσωσης 3 ου βαθμού. Εάν κάποιοι από τους μαθητές αντιμετωπίσουν δυσκολίες με το λογισμό, η παρέμβαση του καθηγητή ή /και ο χωρισμός των μαθητών σε ομάδες μπορούν να επιταχύνουν τη διαδικασία. Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) 15

Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x ; Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x ) + 0 0 0 + Η αντίστροφη δυνατότητα, δηλαδή από το πρόσημο και τις ρίζες της παραγώγου να εξάγονται κάποια χαρακτηριστικά για τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, μπορεί να εμπλουτίσει αυτή τη διασύνδεση για τους μαθητές. 16

4.5.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.1.activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο 2000-2008 σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; 17

Ανοίξτε το αρχείο 4.5.2.activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο 4.5.1 πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία Α ( x, Px ( )) και Β( x, Px ( )) πάνω στη γραφική παράσταση της 1 1 2 2 συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να 18

μετακινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αριστερά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Ε6: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο Δ. 19

Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεξιά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε9: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; 20

Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x, x Δ με x x. Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x 2 1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x 2 1 21

Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. f ( x ) f ( x ) 2 1 Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής x x 2 1 είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; f ( x ) f ( x ) 2 1 ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι x x 2 1 αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f στο Δ; E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x 0 εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; 22

4.5.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σύνδεση μονοτονίας και προσήμου της παραγώγου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, όπου ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας 4.5.1 αυξάνεται ή μειώνεται; Ανοίξτε το αρχείο 4.5.4.activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( x, Px ( )). Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το Κ Κ μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x, '( )) Κ P x κ καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ενέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα. Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; 23

Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. 24

Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x. Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x, Px ( )) και Β ( x, Px ( )) πάνω στη γραφική 1 1 2 2 παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8) όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; 25

Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.5.activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; 26

Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. Ανοίξτε το αρχείο 4.5.6.activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινήσετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε11. 27

4.5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη 1 4 14 3 53 2 συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με 4 3 2 0 x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; 28

Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x; 29

Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x ) + 0 0 0 + 30