ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΟΛΟΣΩΜΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΟΛΟΣΩΜΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αντικείμενο Σκοπός Τεχνικής Μηχανικής : Ο προσδιορισμός της καταπόνησης ενός φορέα. Η σχεδίαση και διαστασιολόγηση ενός φορέα θα πρέπει να είναι τέτοια έτσι ώστε λαμβάνοντας υπόψη την ασφάλεια, τη λειτουργικότητα, την οικονομία και την αισθητική, τα εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία να μεταφέρονται στις στηρίξεις του φορέα (έδαφος). Για κάθε φορέα ευρισκόμενο υπό συγκεκριμένη φόρτιση (π.χ. ίδια βάρη, εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία (συγκεντρωμένα ή κατανεμημένα), θερμοκρασιακή μεταβολή, σεισμική δράση, ανεμοπίεση κ.τ.λ.) λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα : α) Ανάπτυξη αντιδράσεων στις στηρίξεις του. Οι αντιδράσεις αυτές (δυνάμεις ή/ και ροπές) λογίζονται ως εξωτερικά φορτία στο φορέα και εμφανίζονται όταν ο φορέας ελευθερωθεί από τις στηρίξεις του (βλ. Σχεδίαση ιαγράμματος Ελευθέρου Σώματος). β) Ανάπτυξη εσωτερικής έντασης στο φορέα. Η ένταση του φορέα δηλαδή οι αξονικές και τέμνουσες δυνάμεις και οι καμπτικές ροπές λογίζονται ως εσωτερικά εντατικά μεγέθη και εμφανίζονται όταν θεωρηθεί ιδεατή τομή που αποκόπτει τμήμα του φορέα (βλ. Μεθοδολογία Υπολογισμού Εντατικών Μεγεθών). Εκ των υστέρων ο Πολιτικός Μηχανικός με γνώση των δυσμενέστερων εντατικών μεγεθών που καταπονούν το φορέα μπορεί να προβεί στην ασφαλή διαστασιολόγηση του φορέα (π.χ. επιλογή δομικών υλικών, διατομής, οπλισμού, συνδετήρων για την περίπτωση φορέα από ωπλισμένο σκυρόδεμα κ.τ.λ.).

ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΦΟΡΕΑ Ικανός και αναγκαίος όρος για την ισορροπία ενός επίπεδου στερεού-φορέα που υπόκειται σε συνεπίπεδες δυνάμεις και ροπές είναι η ικανοποίηση των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας : Ισορροπία δυνάμεων κατά άξονα x = 0, ΣF x = 0. Ισορροπία δυνάμεων κατά άξονα y = 0, ΣF y = 0. Ισορροπία ροπών ως προς τυχαίο σημείο του φορέα = 0, ΣM i = 0. Πρέπει να τονιστεί ότι επιλέγεται αυθαίρετα θετική φορά τόσο κατά τους άξονες x και y, όσο και ωρολογιακή ή αντιωρολογιακή θετική φορά ως προς τις ροπές. Η επιλογή του οριζόντιου άξονα (x) και κατακόρυφου άξονα (y) για τη λήψη ισορροπίας δυνάμεων, αν και μας ικανοποιεί για τις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι δεσμευτική. Μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα, οποιοιδήποτε μη παράλληλοι άξονες εάν αυτό μπορεί να περιορίσει τον υπολογιστικό φόρτο (π.χ. για κεκλιμένη δοκό με κεκλιμένες στηρίξεις, επιλέγεται άξονας παράλληλος με τη δοκό). ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΤΗΡΙΞΕΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Για τους γραμμωτούς φορείς διακρίνονται τρεις τρόποι στήριξης. Κάθε τρόπος στήριξης αντιστοιχεί στατικά σε στήριξη επί συγκεκριμένου πλήθος δεσμικών ράβδων (1, 2 ή 3 δεσμικές ράβδοι). Επιπρόσθετα η στήριξη έχει συγκεκριμένους βαθμούς ελευθερίας (μετακίνηση κατά x, μετακίνηση κατά y, στροφή στο επίπεδο xy) και «επιτρέπονται» κάποιοι βαθμοί ελευθερίας από τους παραπάνω και αντίστοιχα «απαγορεύονται» οι υπόλοιποι. Κατά συνέπεια, όταν απελευθερωθεί ο φορέας από τη στήριξη εμφανίζονται ανάλογα με το είδος της στήριξης αντίστοιχες δυνάμεις ή/ και ροπές.

Κύλιση : Πρόκειται για απλή κατακόρυφη στήριξη επί κυλίστρου και αντιστοιχεί στατικά σε στήριξη επί μιας δεσμικής ράβδου και ουσιαστικά δεσμεύει την κίνηση του σημείου στήριξης προς τη συγκεκριμένη διεύθυνση (μπορεί να μην είναι πάντα η κατακόρυφη). Απελευθερώνοντας τη στήριξη, η δεσμική ράβδος αντικαθιστάται από μια κατακόρυφη αντίδραση (V A ). Το σημείο στήριξης Α έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, την οριζόντια μετατόπιση u A και τη στροφή περί το Α. Η κύλιση περιορίζει μόνο το βαθμό ελευθερίας της κατακόρυφης μετατόπισης. Προσοχή : Εάν στη θέση στήριξης το έδαφος είναι κεκλιμένο, η προκύπτουσα αντίδραση της κύλισης θα είναι κάθετη στο κεκλιμένο έδαφος! Άρθρωση : Αντιστοιχεί στατικά σε στήριξη επί δυο δεσμικών ράβδων τεμνόμενων στο σημείο στήριξης και ουσιαστικά δεσμεύει τη μετατόπιση του σημείου προς οποιαδήποτε διεύθυνση. Απελευθερώνοντας τη στήριξη, οι δεσμικές ράβδοι αντικαθιστώνται από μια κατακόρυφη αντίδραση (V A ) και μια οριζόντια αντίδραση (H A ). Το σημείο στήριξης Α έχει ένα βαθμό ελευθερίας, τη στροφή περί το Α. Η άρθρωση περιορίζει τους βαθμούς ελευθερίας της κατακόρυφης και οριζόντιας μετατόπισης.

Η έννοια της άρθρωσης χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό της σύνδεσης ενός σώματος Ι με ένα σώμα ΙΙ με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να μεταβιβάζει το ένα στο άλλο (σύμφωνα με την αρχή δράσης-αντίδρασης) μια δύναμη οποιασδήποτε διευθύνσεως. Τη δύναμη αυτή, μπορούμε να την αναλύουμε σε μια κατακόρυφη και μια οριζόντια συνιστώσα. Κατά συνέπεια, όταν εκτελέσουμε ιδεατή τομή στη θέση μιας άρθρωσης και αποχωρίσουμε ένα φορέα σε δύο τμήματα, θεωρούμε σε κάθε τμήμα, στη θέση της άρθρωσης, οριζόντια και κατακόρυφη δύναμη. Είναι προφανές ότι και οι δύο δυνάμεις

του ενός σώματος είναι ίσες κατά μέτρο με τις αντίστοιχες δυνάμεις στο άλλο σώμα αλλά έχουν αντίθετη φορά. Προσοχή : Από τα παραπάνω συνάγεται το συμπέρασμα ότι μια άρθρωση δεν μπορεί να μεταφέρει καμπτική ροπή. Πάκτωση : Αντιστοιχεί στατικά σε στήριξη επί τριών δεσμικών ράβδων που δεν διέρχονται από κοινό σημείο και ουσιαστικά δεσμεύει τόσο τη μετατόπιση του σημείου προς οποιαδήποτε διεύθυνση όσο και τη στροφή του. Απελευθερώνοντας τη στήριξη, οι δεσμικές ράβδοι αντικαθιστώνται από μια κατακόρυφη αντίδραση (V A ), μια οριζόντια αντίδραση (H A ) και μια ροπή (M A ). Το σημείο στήριξης Α δεν έχει κανένα βαθμό ελευθερίας στο επίπεδο. Η πάκτωση περιορίζει τους βαθμούς ελευθερίας της κατακόρυφης και οριζόντιας μετατόπισης και της στροφής. Η έννοια της πάκτωσης χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό της σύνδεσης ενός σώματος Ι με ένα σώμα ΙΙ με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να μεταβιβάζει το ένα στο άλλο (σύμφωνα με την αρχή δράσης-αντίδρασης) μια δύναμη οποιασδήποτε διευθύνσεως και μια ροπή. Τη δύναμη αυτή, μπορούμε να την αναλύουμε σε μια κατακόρυφη και μια οριζόντια συνιστώσα.

Κατά συνέπεια, όταν εκτελέσουμε ιδεατή τομή στη θέση μιας πάκτωσης και αποχωρίσουμε ένα φορέα σε δύο τμήματα, θεωρούμε σε κάθε τμήμα, στη θέση της πάκτωσης, οριζόντια και κατακόρυφη δύναμη και ροπή. Είναι προφανές ότι και οι δύο δυνάμεις του ενός σώματος είναι ίσες κατά μέτρο με τις αντίστοιχες δυνάμεις στο άλλο σώμα αλλά έχουν αντίθετη φορά, όπως επίσης και ροπές που είναι ίσες κατά μέτρο αλλά αντίρροπες. Προσοχή : Ως θέση πάκτωσης εκτός από τη στήριξη του φορέα μπορεί να ληφθεί οποιοδήποτε σημείο ενός φορέα (εκτός από θέση άρθρωσης προφανώς). Προσοχή : Οι αρχικές διευθύνσεις και φορές για τις αντιδράσεις στήριξης υπολογίζονται με την εφαρμογή των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Εφόσον κατά την επίλυση προκύψουν αρνητικές τιμές για κάποιες εκ των αντιδράσεων στήριξης, θα πρέπει οι πραγματικές διευθύνσεις και φορές των αντιδράσεων στήριξης να σημειωθούν σε νέο ιάγραμμα Ελευθέρου Σώματος. Είναι προφανές πως από τη στιγμή θα γίνει αυτό σαν τιμές των μεγεθών θα λαμβάνονται οι απόλυτες τιμές που υπολογίστηκαν κατά τις επιλύσεις και όχι οι αρνητικές. ΕΙ Η ΦΟΡΕΩΝ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΟΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΙ Καταρχήν πρέπει να τονιστεί ότι στην πλειονότητα των περιπτώσεων για την Τεχνική Μηχανική Ι, εξετάζονται φορείς στο επίπεδο (δύο διαστάσεις). Οι επίπεδοι φορείς, διακρίνονται σε γραμμωτούς και σε επιφανειακούς. Στους γραμμωτούς φορείς μια χαρακτηριστική διάσταση, όπως π.χ. το μήκος, είναι αισθητά μεγαλύτερη από τις άλλες διαστάσεις. Τέτοιοι φορείς μπορεί να είναι δοκοί, πλαίσια, δικτυώματα κτλ. Στους επιφανειακούς φορείς, δύο διαστάσεις αναπτύσσονται σε επιφάνεια. Τέτοιο

φορείς μπορεί να είναι πλάκες, δίσκοι κτλ. Στην Τεχνική Μηχανική Ι η ενασχόληση αφορά σε επίπεδους γραμμωτούς φορείς. Εξωτερικά ισοστατικός φορέας είναι ο φορέας για τον οποίο οι στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας ( Στερεοστατικές Εξισώσεις Ισορροπίας Επίπεδου Στερεού-Φορέα) επαρκούν για τον υπολογισμό των άγνωστων αντιδράσεων στήριξης, και μάλιστα υπάρχουν τόσοι άγνωστοι όσες και οι εξισώσεις. Είναι κατά συνέπεια δυνατός ο καθορισμός της εντατικής του κατάστασης με χρήση μόνο των εξισώσεων ισορροπίας. Στον φορέα που ακολουθεί στην επόμενη εικόνα, ο οποίος είναι μια αμφιέρειστη δοκός, παρατηρούμε ότι στην στήριξη Α (άρθρωση) αναπτύσσονται δύο αντιδράσεις στήριξης, μια δύναμη οριζόντιας διεύθυνσης (H A ) και μια δύναμη κατακόρυφης διεύθυνσης (R A ), ενώ στη στήριξη Β (κύλιση) αναπτύσσεται μια αντίδραση στήριξης, μια δύναμη κατακόρυφης διεύθυνσης (R B ). Με δεδομένη την εξωτερική φόρτιση (δυνάμεις και κατανεμημένο φορτίο), η εφαρμογή των τριών στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας θα οδηγήσει στην εύρεση των τριών αγνώστων αντιδράσεων στήριξης. Συνεπώς ο φορέας χαρακτηρίζεται ως ισοστατικός. Εξωτερικά υπερστατικός φορέας ή στατικά αόριστος φορέας, είναι ο φορέας για τον οποίο το πλήθος των άγνωστων αντιδράσεων στήριξης είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Ο βαθμός υπερστατικότητας ή στατικής αοριστίας ενός φορέα προκύπτει από τη διαφορά ανάμεσα στο πλήθος των αντιδράσεων στήριξης και στο πλήθος των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας.

Για τον καθορισμό της εντατικής κατάστασης του φορέα απαιτούνται επιπλέον εξισώσεις, οι οποίες δίνονται από τη Μηχανική του Παραμορφώσιμου Σώματος- Τεχνική Μηχανική ΙΙ. Ο φορέας ΑΒ της επόμενης εικόνας στηρίζεται με πάκτωση στη θέση Α και με κύλιση στη θέση Β. Παρατηρούμε ότι στην στήριξη Α (πάκτωση) αναπτύσσονται τρεις αντιδράσεις στήριξης, μια δύναμη οριζόντιας διεύθυνσης (H A ), μια δύναμη κατακόρυφης διεύθυνσης (R A ) και μια ροπή αντιωρολογιακής φοράς (M A ), ενώ στη στήριξη Β (κύλιση) αναπτύσσεται μια αντίδραση στήριξης, μια δύναμη κατακόρυφης διεύθυνσης (R B ). Με δεδομένη την εξωτερική φόρτιση (κεκλιμένη δύναμη), η εφαρμογή των τριών στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας δεν μπορεί να οδηγήσει στην εύρεση των τεσσάρων αγνώστων αντιδράσεων στήριξης. Συνεπώς ο φορέας χαρακτηρίζεται ως υπερστατικός και μάλιστα ο βαθμός υπερστατικότητας του φορέα είναι 1. Κινηματικός-Μηχανισμός είναι ο φορέας για τον οποίο το πλήθος των άγνωστων αντιδράσεων στήριξης είναι μικρότερο από το πλήθος των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Αυτός ο φορέας μόνο κατά συνθήκη ισορροπεί και αυτό συμβαίνει για εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις συγκεκριμένης διεύθυνσης, φοράς και μέτρου. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, υποκείμενος ακόμα και σε μια απειροστή δύναμη μπορεί να παρουσιάσει πεπερασμένη μετατόπιση ή στροφή, πράγμα απαγορευτικό. Ο φορέας της επόμενης εικόνας στηρίζεται με δύο δεσμικές ράβδους, οι οποίες στην ουσία αντιπροσωπεύουν κυλίσεις. Σε κάθε θέση κύλισης, αναπτύσσεται μια αντίδραση στήριξης, μια δύναμη κατακόρυφης διεύθυνσης. Παρατηρείται ότι το πλήθος των αγνώστων αντιδράσεων στήριξης (2) είναι μικρότερο από το πλήθος των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας (3). Ο φορέας

χαρακτηρίζεται ως μηχανισμός, και υπό την επίδραση της δύναμης F i υπόκειται σε οριζόντια μετάθεση. Προσοχή : Στο παρόν μάθημα της Τεχνικής Μηχανικής Ι, θα γίνει ενασχόληση μόνο με ισοστατικούς φορείς. ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για τη σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος, ο φορέας «ελευθερώνεται» από όλες τις στηρίξεις του, και σε κάθε στήριξη, ανάλογα με το είδος της, σημειώνονται με αυθαίρετη διεύθυνση και φορά οι αντιδράσεις στήριξης, είτε πρόκειται για δυνάμεις είτε για ροπή. Η διεύθυνση και η φορά των αντιδράσεων στήριξης θα επαληθευθεί μετά την εφαρμογή των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Εάν μια αντίδραση προκύψει θετική, παραμένει με την επιλεγμένη διεύθυνση ή φορά, ενώ στην περίπτωση που προκύψει αρνητική, το διάγραμμα ελευθέρου σώματος επανασχεδιάζεται με την αντίδραση να έχει το ίδιο απόλυτο μέτρο (όχι αρνητική πλέον) αλλά αντίθετη διεύθυνση ή φορά. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται μια αμφιπροέχουσα δοκός ΑΒΓ, που φέρει στο σημείο Γ δύναμη F υπό γωνία 45 ο ως προς την κατακόρυφο. Η στήριξη Α πρόκειται για κύλιση, οπότε η «απελευθέρωση» από τη στήριξη συνεπάγεται την άσκηση στο φορέα κατακόρυφης αντίδρασης V A στο σημείο Α, ενώ η στήριξη Β πρόκειται για άρθρωση, οπότε η

«απελευθέρωση» από τη στήριξη συνεπάγεται την άσκηση στο φορέα κατακόρυφης και οριζόντιας αντίδρασης V B και H B αντίστοιχα, στο σημείο Β. ΕΙ Η ΦΟΡΤΙΣΕΩΝ Σε ένα φορέα θεωρούμε ότι μπορούν να ασκηθούν δυνάμεις και ροπές σε συγκεκριμένα σημεία του φορέα (συγκεντρωμένες δυνάμεις και συγκεντρωμένες ροπές). Επιπρόσθετα μπορούν να ασκηθούν κατανεμημένα φορτία και ροπές σε όλο το φορέα ή σε τμήμα αυτού. Μια συγκεντρωμένη δύναμη όπως αυτή του επόμενου σχήματος αναλύεται σε συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των εκλεγμένων αξόνων αναφοράς (συνήθως οριζόντιος και κατακόρυφος). Κάθε συνιστώσα της συμμετέχει στην αντίστοιχη στερεοστατική εξίσωση ισορροπίας δύναμης. Με την ίδια λογική, μια συγκεντρωμένη ροπή συμμετέχει στη στερεοστατική εξίσωση ισορροπίας ροπών.

Οι συνηθέστερες περιπτώσεις κατανεμημένου φορτίου είναι οι ακόλουθες : α) Ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο. Το φορτίο έχει κατανομή ορθογωνίου παραλληλογράμμου και έχει σταθερή τιμή (σε μονάδα δύναμης/ m μήκους) σε όλο το φορτιζόμενο μήκος. Αντιστοιχεί με την εφαρμογή δύναμης F=q L, ίσης με το εμβαδό της κατανομής, με L το μήκος του φορτιζόμενου τμήματος. Το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι το κέντρο βάρους της κατανομής, δηλαδή σε απόσταση L/2, από τα άκρα του τμήματος. β) Τριγωνικά κατανεμημένο φορτίο. Το φορτίο έχει κατανομή τριγώνου και συνήθως δίνεται η μέγιστη τιμή του (σε μονάδα δύναμης/ m μήκους) στο άκρο του φορτιζόμενου μήκους. Αντιστοιχεί με την εφαρμογή δύναμης F=1/2 q L, ίσης με το εμβαδό της κατανομής, όπου L το μήκος του φορτιζόμενου τμήματος. Το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι το κέντρο βάρους της κατανομής, δηλαδή σε απόσταση 2 L/3, όπως σημειώνεται στο επόμενο σχήμα.

γ) ιπλό τριγωνικά κατανεμημένο φορτίο. Αντιμετωπίζεται σαν δύο ανεξάρτητα τριγωνικά φορτία. Αντιστοιχεί με την εφαρμογή δύο δυνάμεων F=1/2 q L 1 και F=1/2 q L 2, ίσων με τα εμβαδά των κατανομών, όπου L 1 και L 2 τα μήκη των φορτιζόμενων τμημάτων. Το σημείο εφαρμογής της κάθε δύναμης είναι το κέντρο βάρους της κάθε κατανομής, δηλαδή σε απόσταση 2 L 1 /3 και 2 L 2 /3, όπως σημειώνεται στο επόμενο σχήμα. δ) Τραπεζοειδές κατανεμημένο φορτίο. Το φορτίο έχει τραπεζοειδή κατανομή και συνήθως δίνονται η ελάχιστη (q 1 ) και η μέγιστη (q 2 ) τιμή του (σε μονάδα δύναμης/ m μήκους) στις δύο βάσεις του τραπεζίου, στην αρχή και το πέρας του φορτιζομένου τμήματος. Αντιμετωπίζεται σαν ένα τριγωνικό και ένα ορθογωνικό κατανεμημένο φορτίο. Αντιστοιχεί με την εφαρμογή δύο δυνάμεων F=1/2 (q 2 -q 1 ) L και F=q 1 L, ίσων με τα εμβαδά των κατανομών του τριγώνου και του τραπεζίου αντίστοιχα, όπου L το μήκος του φορτιζόμενου τμήματος. Το σημείο εφαρμογής της κάθε δύναμης είναι το κέντρο βάρους της κάθε κατανομής, και μπορούν να ληφθούν όπως στις μεμονωμένες περιπτώσεις του ομοιόμορφου και τριγωνικού φορτίου.

Προσοχή : Στην περίπτωση που αντί για συγκεκριμένες τιμές του φορτίου (μέγιστη για ομοιόμορφο και τριγωνικό και ελάχιστη και μέγιστη για τραπεζοειδές) δίνεται εξίσωση q(x) για το κατανεμημένο φορτίο, το μέτρο της επιβαλλόμενης δύναμης δίνεται και πάλι από το εμβαδό της φόρτισης, μόνο που στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να υπολογιστεί ως το ορισμένο ολοκλήρωμα ò q( x) dx, με L το μήκος του φορτιζόμενου τμήματος. Για τον υπολογισμό κέντρου βάρους επίπεδων επιφανειών μπορεί να γίνει επανάληψη στο κεφάλαιο ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. 0 L ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης ενός φορέα, είναι απαραίτητη η σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος του φορέα. Στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος, εμφανίζονται οι αντιδράσεις στις στηρίξεις του φορέα, οι ασκούμενες δυνάμεις αναλύονται σε συνιστώσες ως προς το εκλεγμένο σύστημα αξόνων x, y, καθώς επίσης αντικαθιστώνται τα κατανεμημένα φορτία από τις ισοδύναμες δυνάμεις στις κατάλληλες θέσεις. Εφαρμόζονται οι στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας και από το σύστημα των εξισώσεων υπολογίζονται οι άγνωστες αντιδράσεις. Εν συνεχεία επανασχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του φορέα με τις γνωστές αντιδράσεις στήριξης με τις σωστές διευθύνσεις και φορές τους. Παρατίθεται στη συνέχεια ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού αντιδράσεων στήριξης. Ο φορέας είναι μια αμφιέρειστη δοκός, στηριζόμενη στη θέση Α με άρθρωση και στη θέση Β με κύλιση, με μήκος 7α. Φέρει κατακόρυφο φορτίο F και κατανεμημένο φορτίο q o, που ασκούνται σε συγκεκριμένη θέση και τμήμα αντίστοιχα. Για την αριθμητική εφαρμογή δίνονται F=10kN, α=1m, q o =10kN/m.

Καταρχήν σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος, απελευθερώνοντας το φορέα από τις στηρίξεις του και θεωρώντας την άσκηση κατακόρυφης V Α και οριζόντιας δύναμης H Α στη θέση Α και κατακόρυφης δύναμης στη θέση Β V B. Το φορτίο F=10kN ασκείται κατά τον κατακόρυφο άξονα y. Το κατανεμημένο φορτίο q o αντικαθιστάται από μια δύναμη 30kN (q o x 3m = 30kN, που ασκείται στο κέντρο βάρους της κατανομής, σε απόσταση 2,5m από τη στήριξη Β. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας : ΣF = 0 H = 0 (1) X A ΣF = 0 V -10-30+ V = 0 V + V = 40 (2) Y A B A B Για τον υπολογισμό ροπής δύναμης ως προς σημείο, θα πρέπει να υπενθυμιστεί ότι το πρόσημό της είναι θετικό αν τείνει να περιστρέψει το φορέα ως προς το εκλεγμένο

σημείο σύμφωνα με την εκλεγμένη θετική φορά (στο πρόβλημα ωρολογιακά) και αρνητικό στην αντίθετη περίπτωση. Το μέτρο ισούται πάντα με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης με το μοχλοβραχίονά της, την κάθετη δηλαδή απόσταση από το ζητούμενο σημείο ως προς το φορέα της δύναμης. Θεωρούμε ισορροπία ροπών ως προς το σημείο Α, προκειμένου η δύναμη V Α να μην δώσει ροπή (μηδενικός μοχλοβραχίονας) και να υπολογίσουμε με τον τρόπο αυτό άμεσα το μέτρο της αντίδρασης V Β. 20+ 135 ΣΜΑ = 0 10x2 + 30x4,5- VBx7 = 0 VB = VB = 22,14kN (3) 7 Η σχέση (2) λόγω της (3) δίνει V = 17,86kN A Οι τιμές των αντιδράσεων στήριξης προέκυψαν θετικές για τις κατακόρυφες αντιδράσεις (συνεπώς σχεδιάστηκαν με τη σωστή φορά), ενώ προέκυψε και μηδενική οριζόντια αντίδραση στην άρθρωση Α. Η επίλυση ολοκληρώνεται με τη σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος, υπό την επίδραση των εξωτερικών φορτίων και αντιδράσεων στήριξης (όλες γνωστές).

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΝΤΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Ένας οποιοσδήποτε φορέας όπως έχει αναφερθεί και στην εισαγωγή, υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων, αναπτύσσει αντιδράσεις στις στηρίξεις του και εντείνεται αξονικά, διατμητικά και καμπτικά. Τόσο οι αντιδράσεις στήριξης όσο και η αναπτυσσόμενη ένταση είναι συνάρτηση των επιβαλλόμενων φορτίων. Η ένταση σε ένα φορέα είναι στην ουσία η ανάπτυξη, σε κάθε σημείο του φορέα (διατομή), εντατικών μεγεθών : αξονικής και τέμνουσας δύναμης και καμπτικής ροπής. Για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών ενός φορέα, ακολουθείται μια συγκεκριμένη διαδικασία. Υπάρχει η δυνατότητα εύρεσης των εντατικών μεγεθών σε μια συγκεκριμένη θέση (διατομή) του φορέα, καθώς επίσης και η κατάστρωση μαθηματικών εκφράσεων ως προς την τυχαία θέση x του φορέα. Με τις παραπάνω μαθηματικές εκφράσεις είναι δυνατός ο σύντομος προσδιορισμός της εντατικής κατάστασης για όλο το φορέα. Η έκφρασή της εντατικής κατάστασης για το φορέα γίνεται μέσω των διαγραμμάτων N, Q, M για το φορέα (βλ. Σχεδίαση ιαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών). Για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών είτε σε συγκεκριμένη είτε σε τυχαία διατομή ενός φορέα, θεωρείται μια τομή στη ζητούμενη θέση, κάθετα στον κεντροβαρικό άξονα του φορέα. Με την τομή εμφανίζονται στη θέση αυτή αξονική δύναμη (ορθή) Ν, τέμνουσα δύναμη (διατμητική) Q και καμπτική ροπή Μ. Θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων και ροπών στο ένα από τα δύο τμήματα του φορέα, μπορούν να υπολογιστούν τα εντατικά μεγέθη στη συγκεκριμένη θέση. Στην ουσία τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη έχουν πάντα τέτοιο μέτρο, διεύθυνση και φορά έτσι ώστε το τμήμα του φορέα να ισορροπεί υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων και αντιδράσεων στήριξης. Σύμβαση Θετικών Εντατικών Μεγεθών : Θεωρείται σύμβαση για τα θετικά εντατικά μεγέθη. Στις εικόνες που ακολουθούν παρουσιάζονται οι θετικές φορές για τις αξονικές και τέμνουσες δυνάμεις και η θετική φορά για την καμπτική ροπή.

Η αξονική δύναμη θεωρείται θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό στη διατομή. Η τέμνουσα δύναμη θεωρείται θετική όταν με μια γειτονική της τέμνουσα που ασκείται στην άλλη πλευρά ενός στοιχειώδους τμήματος που αποκόπτεται από το ίδιο τμήμα που εξετάζεται, και με την οποία έχει αντίθετη φορά, σχηματίζει ωρολογιακό ζεύγος. Για να μην προκληθεί σύγχυση, στην ουσία εξετάζονται τα δύο στοιχειώδη τμήματα που φαίνονται στο σχήμα. Και στα δύο, οι ασκούμενες τέμνουσες δημιουργούν ωρολογιακό ζεύγος. Άρα οι φορές των τεμνουσών στο αριστερό στοιχειώδες τμήμα καθορίζουν λόγω δράσης-αντίδρασης την θετική φορά της τέμνουσας για το αριστερό τμήμα του φορέα και αντίστοιχα οι φορές των τεμνουσών στο δεξιό στοιχειώδες τμήμα καθορίζουν λόγω δράσης-αντίδρασης την θετική φορά της τέμνουσας για το δεξιό τμήμα του φορέα.

Η καμπτική ροπή θεωρείται θετική όταν προκαλεί εφελκυσμό εκείνων των ινών που είναι αυθαίρετα προκαθορισμένες με την ένδειξη μιας διακεκομένης γραμμής. Οι ίνες αυτές χαρακτηρίζονται και ως θετικό σύνορο της διατομής. Ανάλογα με τον αυθαίρετο καθορισμό των θετικών ινών (συνήθως θεωρούνται στο κάτω τμήμα του φορέα) προκύπτουν αντίστοιχα και οι θετικές ροπές. Για να γίνει πιο κατανοητή η έννοια του εφελκυσμού των ινών και της παραμόρφωσης στοιχειωδούς τμήματος του φορέα, παρουσιάζονται στο επόμενο σχήμα δύο περιπτώσεις : Στην αριστερή περίπτωση εφελκύονται οι κάτω ίνες του τμήματος, ενώ αντίστοιχα στη δεξιά εφελκύονται οι πάνω ίνες του τμήματος.

Τελικά η σύμβαση για τα θετικά εντατικά μεγέθη για το αριστερό και το δεξιό τμήμα του φορέα που προκύπτουν μετά από θεώρηση ιδεατής τομής παρουσιάζεται στο επόμενο σχήμα : Προσοχή : Η σύμβαση που χρησιμοποιείται είναι αυθαίρετη και μπορούν να επιλεγούν αντίθετες διευθύνσεις και φορές για τα εντατικά μεγέθη. Οποιεσδήποτε διευθύνσεις και φορές επιλεγούν θα πρέπει ΠΑΝΤΑ να εφαρμόζεται ο νόμος της δράσης-αντίδρασης ανάμεσα στα δύο αποκοπτώμενα τμήματα του φορέα (όπως άλλωστε φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα), δηλαδή οι δυνάμεις και η ροπή μεταφέρονται από το ένα τμήμα στο άλλο με Ι ΙΟ μέτρο και ΑΝΤΙΘΕΤΗ διεύθυνση ή φορά. Όσον αφορά στο τμήμα του φορέα που θα εξεταστεί για την εύρεση των εντατικών μεγεθών, συνιστάται να επιλέγεται εκείνο το τμήμα από το οποίο θα προκύψει ο λιγότερος υπολογιστικός φόρτος. Στον φορέα του επόμενου σχήματος ζητείται ο υπολογισμός των εντατικών μεγεθών N, Q, M στις διατομές,ε και Ζ.

Καταρχήν θα σχεδιαστεί κατά τα γνωστά το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του φορέα, εμφανίζοντας τις αντιδράσεις στις στηρίξεις Α και Β. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας : ΣF = 0 H = 0 (1) X A ΣF = 0 V -20-12+ V = 0 V + V = 32 (2) Y A B A B 60+ 96 ΣΜΑ = 0 20x3+ 12x8- VBx5= 0 VB = VB = 31,2kN (3) 5 Από τις σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι V = 0,8kN. A Με γνωστές τις αντιδράσεις στήριξης, για να βρούμε τα εντατικά μεγέθη στις ζητούμενες διατομές, εφαρμόζουμε ιδεατές τομές στις θέσεις αυτές και εμφανίζουμε σε κάθε τομή τα θετικά εντατικά μεγέθη (παρατηρούμε ότι αφού H A = 0 και επειδή δεν υπάρχει άλλη οριζόντια δύναμη στο φορέα, δεν θα υπάρχει αξονική ένταση σε

αυτόν, οπότε δεν θα εμφανίζουμε στις τομές μας την αξονική Ν). Στη συνέχεια θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων (μόνο κατά y διότι κατά x δεν ασκούνται δυνάμεις στο φορέα) και ροπών στο τμήμα που έχει αποκοπεί, υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη στη διατομή. Αν προκύψουν θετικά τότε έχουν την επιλεγμένη φορά. Αν όχι, τότε έχουν αντίθετη διεύθυνση ή φορά. Όσον αφορά στις θετικές ίνες θεωρούμε ότι βρίσκονται στο κάτω μέρος του φορέα. Τομή στο σημείο ΣF = 0 0,8- Q = 0 Q = 0,8kN Y Δ Δ ΣΜ = 0 0,8x2- Μ = 0 Μ = 1, 6kNm Δ Δ Δ Τομή στο σημείο Ε ΣF = 0 0,8-20- Q = 0 Q =- 19,2kN Y Ε Ε ΣΜ = 0 0,8x4-20x1- Μ = 0 Μ =- 16,8kNm E Ε E Επειδή η τέμνουσα δύναμη και η καμπτική ροπή προέκυψαν αρνητικές, επανασχεδιάζουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος δίνοντάς τους τη σωστή διεύθυνση και φορά αντίστοιχα.

Τομή στο σημείο Ζ ΣF = 0 0,8-20+ 31, 2-2x4- Q = 0 Q = 4kN Y Z Z ΣΜ = 0 0,8x9-20x6+ 31,2x4-2x4x2- Μ = 0 Z Μ =- 4kNm Z Z Και σε αυτή την περίπτωση επειδή η ροπή προέκυψε αρνητική θα πρέπει να επανασχεδιαστεί με την αντίθετη φορά. Βέβαια η εύρεση των εντατικών μεγεθών στη θέση Ζ μπορεί να γίνει με θεώρηση τομής στο Ζ και επισκόπηση του δεξιού τμήματος του φορέα ΖΓ.

Τομή στο σημείο Ζ (τμήμα ΖΓ) ΣF = 0 Q - 2x2= 0 Q = 4kN Y Z Z ΣΜ = 0 Μ + 2x2x1= 0 Μ =- 4kNm Z Z Z Όπως φαίνεται από το παραπάνω παράδειγμα, η επιλογή του ποιού τμήματος θα εξεταστεί δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. Προσοχή : Στις εξισώσεις ισορροπίας για τις ροπές ως προς σημείο τομής, συμμετέχει και το κατανεμημένο φορτίο (προφανώς στο τμήμα που ασκείται). Και πάλι η ροπή του κατανεμημένου είναι : δύναμη (εμβαδό κατανομής) x μοχλοβραχίονας (κάθετη απόσταση από κέντρο βάρους κατανομής έως ζητούμενο σημείο) Στο επόμενο παράδειγμα θα αναπτυχθεί η μεθοδολογία εύρεσης των εντατικών μεγεθών σε τυχαίο σημείο ενός φορέα. Η προσέγγιση δεν διαφέρει κατά πολύ σε σύγκριση με την περίπτωση κατά την οποία υπολογίζονταν τα εντατικά μεγέθη σε συγκεκριμένο σημείο του φορέα. Και πάλι μετά την εύρεση των αντιδράσεων στήριξης, θεωρείται ιδεατή τομή σε τυχαίο σημείο του φορέα, το οποίο απέχει απόσταση x από το άκρο του. Θεωρώντας την ισορροπία ενός εκ των δύο αποκοπτώμενων τμημάτων, λαμβάνονται μαθηματικές εκφράσεις των εντατικών μεγεθών συναρτήσει της απόστασης x. Με τον τρόπο αυτό, αντικαθιστώντας στις μαθηματικές εκφράσεις διάφορες τιμές του x, λαμβάνονται τα εντατικά μεγέθη σε τυχαία σημεία του φορέα.

Ο υπό εξέταση φορέας πρόκειται για μια αμφιέρειστη δοκό, που φέρει κατακόρυφο κατανεμημένο φορτίο και οριζόντιο συγκεντρωμένο φορτίο. Σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του φορέα. Ακολουθείται η γνωστή διαδικασία υπολογισμού των αντιδράσεων στήριξης. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας : ΣF = 0 H - 10= 0 H = 10kN (1) X A A ΣF = 0 V - 30+ V = 0 V + V = 30 (2) Y A B A B 90 ΣΜΑ = 0 30x3- Vx B 6= 0 VB = VB = 15kN(3) 6

Από τις σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι V = 15kN. A Εν συνεχεία θεωρούμε ιδεατή τομή σε τυχαία θέση σε απόσταση x από το σημείο Α, με 0m x 6m. Εμφανίζουμε τα κατά σύμβαση θετικά εντατικά μεγέθη N( x), Q( x), M( x) και θεωρούμε την ισορροπία του τμήματος. Προκύπτουν λοιπόν τα ακόλουθα : ΣF = 0 10 + N( x) = 0 N( x) =- 10kN = σταθερή X ΣF = 0 15-5 χ - Qx ( ) = 0 Qx ( ) = 15-5x Y x 5 = x- x - M x = M x =- x + x 2 2 2 ΣΜ x 0 15 5 ( ) 0 ( ) 15 Έχοντας τις μαθηματικές εκφράσεις των εντατικών μεγεθών, είναι δυνατός ο υπολογισμός τους τόσο σε χαρακτηριστικές θέσεις όσο και η σχεδίαση των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών για όλο το φορέα (βλ. Σχεδίαση ιαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών). Για τον φορέα του παραδείγματος υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη στις θέσεις των στηρίξεων Α, Β και στη θέση μηδενισμού της τέμνουσας δύναμης (εκεί έχουμε μέγιστη ροπή βλ. Σχέσεις Φορτίσεως και Εντατικών Μεγεθών). Q = Q(0) = 15 kn, M = M (0) = 0kNm A A

Q = Q(6) =- 15 kn, M = M (6) = 0kNm B B Επιπρόσθετα είναι Qx ( ) = 0 15-5x= 0 x= 3m, M (3) = 22,5kNm Σημείωση : Σε πιο σύνθετους φορείς, οι τομές στις χαρακτηριστικές τυχαίες θέσεις θα πρέπει να γίνονται : α) Πριν και μετά από συγκεντρωμένο φορτίο ή συγκεντρωμένη ροπή β) Πριν, εντός και μετά από κατανεμημένο φορτίο γ) Σε θέσεις αλλαγής γωνίας του φορέα (π.χ. μια οριζόντια δοκός συνεχίζει σε κατακόρυφο στύλο)

ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΝΤΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Με δεδομένες τις μαθηματικές εκφράσεις των εντατικών μεγεθών είναι δυνατό, αφού υπολογιστούν τιμές των μεγεθών σε χαρακτηριστικές θέσεις, να σχεδιαστούν τα διαγράμματα εντατικών μεγεθών. Η σχεδίαση πρέπει να γίνεται πάντα υπό κλίμακα. Στη συνέχεια σχεδιάζονται τα εντατικά μεγέθη για το παράδειγμα που επιλύθηκε στην προηγούμενη σελίδα.

Οι γενικοί κανόνες για τη χάραξη των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών μπορούν να συνοψιστούν στα ακόλουθα : α) Τα διαγράμματα των εντατικών μεγεθών σχεδιάζονται και διαγραμμίζονται πάντα κάθετα στο φορέα. β) Τα διαγράμματα των αξονικών [Ν] και τεμνουσών [Q] πρέπει να σχεδιάζονται απαραιτήτως προσημασμένα, χωρίς να ενδιαφέρει από ποια πλευρά του φορέα σχεδιάζονται. γ) Το διάγραμμα των καμπτικών ροπών [Μ] πρέπει α σχεδιάζεται απαραιτήτως από την πλευρά των εφελκυομένων ινών, χωρίς να ενδιαφέρει το πρόσημο. Πιο πρακτικά και με δεδομένη τη σύμβαση για τις θετικές ροπές που έχει ληφθεί στην Μεθοδολογία Υπολογισμού Εντατικών Μεγεθών (η θετική ροπή έχει φορά που «εφελκύει» τις θετικές ίνες), αν προκύψει θετική ροπή σε μια θέση τότε η ροπή σχεδιάζεται από τις θετικές ίνες, ενώ αν προκύψει αρνητική τότε σχεδιάζεται προς την αντίθετη κατεύθυνση (γιατί με αρνητικές ροπές εφελκύονται οι πάνω ή οι έξω ίνες, αν θεωρήσουμε ότι οι θετικές ινές ήταν οι κάτω ίνες αν επρόκειτο για δοκό ή οι μέσα ίνες αν επρόκειτο για στύλο). Για καλύτερη κατανόηση του τελευταίου κανόνα δίνεται ένα απλό παράδειγμα στη συνέχεια. Κατά την εκτέλεση χαρακτηριστικής ιδεατής τομής στη θέση του φορέα της επόμενης εικόνας, και μετά τον υπολογισμό της καμπτικής ροπής στη θέση αυτή, προέκυψε τιμή της ροπής -10kNm. Στην ουσία στη θέση αυτή, η καμπτική ροπή έχει αντίθετη φορά, εφελκύοντας τις πάνω ίνες (όχι αυτές που είχαμε θεωρήσει ως θετικές) και μέτρο 10kNm. Η σχεδίαση του διαγράμματος των καμπτικών ροπών στο ζητούμενο τμήμα (κάθετη διαγράμμιση) θα γίνει από την πλευρά των εφελκυομένων ινών (πάνω ίνες) και το διάγραμμα θα δοθεί χωρίς πρόσημο για τη ροπή.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΣΕΩΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Στο επόμενο σχήμα θεωρείται η εξέταση της ισορροπίας ενός απειροστού στοιχείου μήκους χ το οποίο υπόκειται σε εγκάρσιο και διαμήκες κατανεμημένο φορτίο. Με την εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας λαμβάνονται οι ακόλουθες σχέσεις : Ισορροπία αξονικών : -N- S( x)δx + N+ ΔΝ= 0 ΔΝ = S( x)δ x dn = Sx ( ) dx Ισορροπία τεμνουσών : dq Q-P( x)δx-q- ΔQ= 0 Δ Q=-P( x)δ x =- P( x) dx Ισορροπία ροπών : M + QΔx-M - ΔΜ= 0 QΔx= ΔΜ dm = Q dx (η ισορροπία ροπών έγινε σε προσέγγιση απειροστών πρώτης τάξης, αμελώντας με αυτή τη διαδικασία τη συνεισφορά του κατακόρυφου κατανεμημένου φορτίου στη δημιουργία καμπτικής ροπής). Συνδυάζοντας τη δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει επίσης : 2 dm =- Px ( ) 2 dx

Από την επισκόπηση των παραπάνω σχέσεων προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα : α) Η κλίση του διαγράμματος Q (κλίση της εφαπτομένης) σε κάθε σημείο, ισούται με την τιμή του εγκάρσιου κατανεμημένου φορτίου στο σημείο αυτό. Αν δεν υπάρχει dq εγκάρσιο κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα προκύπτει 0 dq 0 dx = = και ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση στο υπό εξέταση μήκος προκύπτει l ò dq = 0 Q = c δηλαδή ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΕΜΝΟΥΣΑ. Αν αντιθέτως υπάρχει σταθερό 0 εγκάρσιο κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα προκύπτει dq c dq cdx dx = = και ολοκληρώνοντας αυτή τη σχέση στο υπό εξέταση μήκος προκύπτει l ò dq = ò cdx Q = cx + c ' δηλαδή ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΤΕΜΝΟΥΣΑ. 0 0 l β) Η κλίση του διαγράμματος Ν (κλίση της εφαπτομένης) σε κάθε σημείο, ισούται με την τιμή του διαμήκους κατανεμημένου φορτίου στο σημείο αυτό. Αν δεν υπάρχει διαμήκες κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα προκύπτει, ακριβώς όπως και στην περίπτωση της τέμνουσας, ΣΤΑΘΕΡΗ ΑΞΟΝΙΚΗ. Αντίστοιχα αν υπάρχει σταθερό διαμήκες κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα προκύπτει, όπως και στην περίπτωση της τέμνουσας ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΑΞΟΝΙΚΗ. γ) Η κλίση του διαγράμματος Μ (κλίση της εφαπτομένης) σε κάθε σημείο, ισούται με την τιμή του διαγράμματος Q στο σημείο αυτό. Σύμφωνα και με τη θεωρία της Μαθηματικής Ανάλυσης, όπου μηδενίζεται η τέμνουσα (δηλαδή η πρώτη παράγωγος της ροπής) τότε αναμένουμε η ροπή να έχει ακρότατο (ελάχιστο ή μέγιστο). Αν δεν υπάρχει εγκάρσιο κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα τότε 2 dm 2 = 0 dm= 0 2 dx

και ολοκληρώνοντας τη σχέση δύο φορές στο υπό εξέταση τμήμα προκύπτει l l L 2 dm= dm= c dm= c M= cx+ c 0 0 0 ò ò ò 0 ' δηλαδή ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΡΟΠΗ. Αν υπάρχει εγκάρσιο κατανεμημένο φορτίο σε ένα τμήμα τότε 2 dm 2 2 2 c d M cdx dx = = και ολοκληρώνοντας τη σχέση δύο φορές στο υπό εξέταση τμήμα προκύπτει l l l L 2 2 2 x d M = cdx dm = cx+ c' dm = ( cx+ c') M = c + c' x+ c'' 2 ò ò ò ò 0 0 0 0 δηλαδή ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩΣ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΡΟΠΗ. Θα πρέπει να τονιστεί ότι όλες οι σταθερές ολοκλήρωσης των παραπάνω σχέσεων, εξαρτώνται από συνοριακές συνθήκες (τιμές των εντατικών μεγεθών σε συγκεκριμένες θέσεις), οι οποίες ποικίλλουν ανά πρόβλημα. Εξετάζονται επίσης δύο περιπτώσεις, επιβολής συγκεντρωμένου εγκάρσιου φορτίου και συγκεντρωμένης ροπής. α) Η θεώρηση επιβολής συγκεντρωμένου εγκάρσιου φορτίου θα δημιουργήσει ασυνέχεια στο διάγραμμα τέμνουσας Q, αριστερά και δεξιά από αυτό. Αφού το τμήμα dx ισορροπεί, ισχύει Qαρ. -P- Qδεξ. = 0 Qδεξ. = Qαρ. - P. Η τιμή της ροπής δεν επηρεάζεται, σε αντίθεση με την κλίση της η οποία θα είναι διαφορετική, λίγο πριν το σημείο P επηρεάζεται από την Q αρ. και λίγο μετά το σημείο P επηρεάζεται από την Q δεξ. Θα πρέπει να τονιστεί ότι ακριβώς αντίστοιχα αντιμετωπίζεται η περίπτωση συγκεντρωμένης αξονικής δύναμης.

β) Η θεώρηση επιβολής συγκεντρωμένης ροπής θα δημιουργήσει ασυνέχεια στο διάγραμμα ροπής Μ, αριστερά και δεξιά από αυτό. Αφού το τμήμα dx ισορροπεί, ισχύει Μαρ. -Μο - Mδεξ. = 0 Mδεξ. = Mαρ. - Μο. Η τιμή της τέμνουσας δεν επηρεάζεται.

ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΟΚΟΣ GERBER Η δοκός Gerber πρόκειται για μια δοκό αποτελούμενη στην ουσία από δύο φορείς ή ακόμα και περισσότερους φορείς που συνδέονται μέσω ενδιάμεσων αρθρώσεων. Για την επίλυση της δοκού συνιστάται η εφαρμογή ιδεατής τομής στη θέση της άρθρωσης, η οποία κατά τα γνωστά αντιπροσωπεύει σύνδεση μέσω δύο δεσμικών ράβδων. Κατά συνέπεια αφαίρεση της άρθρωσης θα συνεπάγεται την εφαρμογή κατακόρυφης και οριζόντιας δύναμης, στα δύο τμήματα του φορέα που συνδέονται με την άρθρωση, με ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά.

Εν συνεχεία σχεδιάζονται κατά τα γνωστά τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος και για τα δύο τμήματα. Με εφαρμογή των εξισώσεων στερεοστατικής ισορροπίας σε κάθε τμήμα υπολογίζονται τόσο οι εσωτερικές δυνάμεις που μεταφέρει η άρθρωση όσο και οι αντιδράσεις στήριξης. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για το τμήμα 2: ΣF = 0 - N = 0 N = 0 X ΣF = 0 Q- F+ V = 0 V = F- Q Y Γ Γ a F F ΣΜΓ = 0 Qa - F = 0 Q = και κατά συνέπεια V Γ = 2 2 2 Εφαρμόζουμε τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για το τμήμα 1:

ΣF = 0 N- H = 0 0- H = 0 H = 0 X A A A F 7F ΣFY = 0 VA- 2F+ VB-F- = 0 VA+ VB = (1) 2 2 9 9 ΣΜG = 0 VA3a- 2F2a+ VBa- F a = 0 3aV af A+ avb = 3V F A+ VB = 2 2 2 (2) F Με αφαίρεση κατά μέλη στις εξισώσει (2)-(1) προκύπτει 2VA = F VA = και 2 VB = 3F. Όπως έχει αναφερθεί, μια άρθρωση δεν μεταφέρει ροπή. Κατά συνέπεια, μια εναλλακτική μέθοδος για την εύρεση των αντιδράσεων στήριξης μιας δοκού Gerber, είναι η θεώρηση ισορροπίας ροπών τμήματος ως προς την άρθρωση. Πιο συγκεκριμένα στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσε να ληφθεί ισορροπία ροπών στο τμήμα 2 ως προς το σημείο G. Με αυτό τον τρόπο θα υπολογιζόταν άμεσα η αντίδραση V Γ. Εν συνεχεία με θεώρηση ισορροπίας δυνάμεων στον κατακόρυφο άξονα και ισορροπίας ροπών ως προς σημείο, για όλο το φορέα, θα προέκυπταν δύο εξισώσεις για τους δύο αγνώστους V, V. Με αυτό τον τρόπο θα αποφεύγαμε να υπολογίσουμε τις δυνάμεις που μεταφέρει η άρθρωση. A B Γενικά για την εύρεση των αντιδράσεων στήριξης σε μια δοκό Gerber (αλλά και σε συνθετότερους φορείς), είναι ιδιαίτερα σημαντικό να γίνει κατανοητή η πορεία σύνθεσής του. Η πορεία της ανάλυσής του φορέα πρέπει να είναι ακριβώς αντίθετη από την πορεία σύνθεσης. Η λογική αυτή παρουσιάζεται στην επόμενη δοκό Gerber.

Στη δοκό αυτή, κατασκευάζεται πρώτα το τμήμα ΑG1 (μονοπροέχουσα δοκός), εν συνεχεία πάνω σε αυτή το τμήμα G1G2 (μονοπροέχουσα δοκός) και τέλος πάνω σε αυτή το τμήμα G2D (αμφιέρειστη δοκός). Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων, θεωρούνται τομές στις αρθρώσεις G1 και G2 και εξετάζονται κατά σειρά και κατά τα γνωστά τα τμήματα (3), (2) και (1). ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΤΡΙΑΡΘΡΩΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Το τριαρθρωτό πλαίσιο πρόκειται για ένα πλαίσιο το οποίο αποτελείται από δύο τμήματα αρθρωτά συνδεδεμένα μεταξύ τους και το καθένα με το έδαφος. Για τη γενική περίπτωση τριαρθρωτού πλαισίου υπό οποιαδήποτε φόρτιση, η ανάλυση μπορεί να βασιστεί στη θεώρηση ιδεατής τομής στην άρθρωση (δύο δεσμικές ράβδοι) και ανάπτυξη κατακόρυφης και οριζόντιας αντίδρασης με ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά και στα δύο επιμέρους τμήματα. Αυτή η περίπτωση παρουσιάζεται στο τριαρθρωτό πλαίσιο ΑΓΒ που φέρει κατανεμημένο φορτίο q στο ζύγωμά του. Το τμήμα ΑΓ είναι συνδέεται μέσω της άρθρωσης Γ με το τμήμα ΓΒ. Τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ συνδέονται επίσης με το έδαφος στις αρθρώσεις στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.

Με την εφαρμογή ιδεατής τομής στην άρθρωση Γ προκύπτει το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του επόμενου σχήματος.

Με την εφαρμογή των 3 στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας για κάθε τμήμα (ΑΓ και ΓΒ), προκύπτει ένα σύστημα 6 εξισώσεων με 6 αγνώστους ( HΑ, VΑ, HΒ, VΒ, HΓ, V Γ), το οποίο ενδέχεται να είναι ιδιαίτερα επίπονο στην επίλυσή του. Ο συντομότερος τρόπος για να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης είναι η θεώρηση ισορροπίας του τριαρθρωτού πλαισίου σαν σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν 4 άγνωστοι ( HΑ, VΑ, HΒ, V Β, ). Για την εύρεσή τους υπάρχουν οι 3 στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για όλο το φορέα και μια επίσης που προκύπτει λαμβάνοντας υπόψη το ότι η άρθρωση δεν μεταφέρει ροπή. Για να εξασφαλιστεί το παραπάνω μπορεί να ληφθεί ισορροπία ροπών ενός εκ των δύο τμημάτων ως προς τη θέση της ενδιάμεσης άρθρωσης. Ακολουθεί επίλυση του παραπάνω παραδείγματος για καλύτερη κατανόηση.

Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y ΣF = 0 Η - Η = 0 Η = Η X Α Β Α Β ΣF = 0 V - ql+ V = 0 V + V = ql Y A B A B ΣΜ 0 l ql A = ql - VBl = 0 VB = και κατά συνέπεια προκύπτει 2 2 ql V A = 2 Με θεώρηση ισορροπίας ροπών για το τμήμα ΑΓ ως προς την άρθρωση Γ έχουμε : l A ΣΜΓ, αρ. = 0 VA - HAh= 0 H Vl A = = HB. 2 2h

ΚΑΜΠΥΛΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Στο πλαίσιο του μαθήματος της Τεχνικής Μηχανικής Ι, μελετώνται επίπεδοι καμπύλοι φορείς, με φόρτιση στο ίδιο επίπεδο με τον καμπύλο φορέα. Συνήθως εξετάζονται καμπύλες δοκοί, για τις οποίες δίνεται η εξίσωση για την καμπύλη της δοκού y=f(x), για το επίπεδο xy. Ειδική περίπτωση αποτελεί η κυκλική καμπύλη δοκός. Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης για την καμπύλη δοκό γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τον οποίο υπολογίζονται οι αντιδράσεις σε ευθύγραμμη δοκό (διάγραμμα ελευθέρου σώματος, εφαρμογή στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας).

Με δεδομένη εξωτερική φόρτιση και γνωστές αντιδράσεις στήριξης, θεωρείται ιδεατή τομή σε τυχαίο σημείο C της καμπύλης. Η τομή γίνεται κάθετα στην εφαπτομένη της καμπύλης στη θέση C(x c, y c ), και ως γνωστόν η διεύθυνση της εφαπτομένης καθορίζεται από την κλίση της στο ζητούμενο σημείο y=f (x c ). Μετά την εφαρμογή της τομής, ο φορέας χωρίζεται σε δύο τμήματα. Σε καθένα από τα τμήματα αυτά, εμφανίζουμε στη θέση της τομής, τα θετικά εντατικά μεγέθη σύμφωνα με τη γνωστή σύμβαση που εφαρμοζόταν για τις ευθύγραμμες δοκούς. Για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών σε συγκεκριμένη ή τυχαία θέση της καμπύλης, λαμβάνεται ισορροπία ενός εκ των δύο τμημάτων του φορέα. Οι καμπτικές ροπές στην τυχαία θέση υπολογίζονται απλά αν γνωρίζουμε τους μοχλοβραχίονες των εξωτερικά επιβαλλομένων δυνάμεων και των αντιδράσεων. Για τον υπολογισμό των αξονικών και των τεμνουσών θα πρέπει να αναλυθούν οι εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις και οι αντιδράσεις κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης και της καθέτου αυτής. Η μαθηματική σχέση που υπάρχει ανάμεσα στη γωνία θ (γωνία που χρησιμεύει για την ανάλυση των δυνάμεων στους ζητούμενους άξονες), που σχηματίζει η εφαπτόμενη με τον οριζόντιο άξονα και τη συνάρτηση της καμπύλης δοκού είναι η tanθ=f (χ). Εν συνεχεία και αφού υπάρχουν οι μαθηματικές εκφράσεις των εντατικών μεγεθών, δίνονται τιμές στη μεταβλητή x και υπολογίζονται

οι τιμές των μεγεθών σε χαρακτηριστικά σημεία. Τα διαγράμματα σχεδιάζονται όπως ακριβώς και στις ευθύγραμμες δοκούς. Ακολουθούν δύο παραδείγματα με καμπύλη παραβολικού τόξου και κυκλικού τόξου. ίνεται για την καμπύλη δοκό, μήκος L OA =4m, ύψος h=4m, q=2kn/m και η εξίσωση της παραβολικής καμπύλης y=-x 2 +4x και ζητούνται οι εξισώσεις υπολογισμού των εντατικών μεγεθών Ν,Q,M σε τυχαία θέση του φορέα.

Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν οριζόντιες φορτίσεις οπότε δεν έχει νόημα η εφαρμογή ισορροπίας δυνάμεων στον οριζόντιο άξονα και συνεπώς η οριζόντια αντίδραση στην άρθρωση Ο ( O ) είναι μηδενική. H Επίσης τονίζεται ότι το κατανεμημένο φορτίο q, δίνεται κατά μέτρο οριζόντιας προβολής. ΣF = 0 O - ql+ A = 0 O + A = 8 Y Y Y Y Y l ql ΣΜ A = 0 Ol Y - ql = 0 OY = OY = 4kNκαι κατά συνέπεια προκύπτει 2 2 AY = 4kN.

Θεωρείται τομή σε τυχαία θέση C(x,y). Η γωνία θ μεταξύ της εφαπτομένης στην τυχαία θέση και του οριζόντιου άξονα δίνεται από τη σχέση tanθ=f (χ)=y, δηλαδή tanθ=-2χ+4 και θ=arctan(-2x+4). Λαμβάνοντας ροπές ως προς το σημείο τομής C έχουμε τα ακόλουθα : x ΣΜC = 0 Ox Y -2 x - M( x) = 0 M( x) = 4x- x 2 2 Αναλύοντας τις δυνάμεις O Y από την αντίδραση στήριξης και 2x από το κατανεμημένο φορτίο στους άξονες της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο και της καθέτου της εφαπτομένης στο σημείο και θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων στους άξονες αυτούς, προκύπτουν οι εκφράσεις για την τέμνουσα και αξονική δύναμη. Ισορροπία για τέμνουσα (κάθετα στον άξονα της εφαπτομένης) : ΣF = 0 - Q( x) + O cosθ - 2x cosθ = 0 Qx ( ) = (4-2 x)cosθ καθ. εφαπτ. Y Ισορροπία για αξονική (στον άξονα της εφαπτομένης) : ΣF = 0 N( x) + O sinθ - 2xsinθ = 0 N( x) = (2x- 4)sinθ εφαπτ. Y Για τον υπολογισμό της ροπής δίνονται τιμές στο x και υπολογίζεται απευθείας η ροπή. Για τον υπολογισμό αξονικής και τέμνουσας υπολογίζεται από τη σχέση θ=arctan(- 2x+4) για κάθε συγκεκριμένο x, η γωνία θ και εν συνεχεία με x και θ γνωστά, υπολογίζεται η αξονική και η τέμνουσα. Στον φορέα του επόμενου σχήματος (τεταρτοκύκλιο ακτίνας 2m) και ζητούνται οι εξισώσεις υπολογισμού των εντατικών μεγεθών Ν,Q,M σε τυχαία θέση του φορέα.

Καταρχήν σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του φορέα με την εμφάνιση των αντιδράσεων στήριξης στην πάκτωση Α. Με εφαρμογή των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας υπολογίζονται οι αντιδράσεις στήριξης.

Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y ΣF = 0 - Α + 2= 0 Α = 2kN Χ Χ Χ ΣF = 0 A - 5= 0 A = 5kN Y Y Y ΣΜ = 0 - M + 2 2+ 5x2= 0 M = 12,83kNm. A A A Με δεδομένη την εξωτερική φόρτιση και τις αντιδράσεις στήριξης, θεωρώντας δύο ιδεατές τομές, μια στο τμήμα AC και μια στο CB (διότι η παρουσία της συγκεντρωμένης δύναμης 2kN θα επηρεάσει τα εντατικά μεγέθη), μπορούν να εκφραστούν τα εντατικά μεγέθη συναρτήσει της πολικής γωνίας θ. Τμήμα AC 0 O θ 45 O και θεωρώντας τομή στο σημείο D, θα έχουμε : ΣF = 0 N( θ) + Α cosθ- Α sin θ= 0 N( θ) = 2sin θ- 5cosθ t Y Χ ΣF = 0 Q( θ) -Α sin θ- Α cosθ= 0 Q( θ) = 5sin θ+ 2 cosθ n Y Χ

ΣΜ = 0 M -A xr(1-cos θ) - Α Rsin θ+ Μ( θ) = 0 D A Y M ( θ) =- 12,83+ 10(1- cos θ) + 4sin θ M ( θ) =- 10 cosθ+ 4sin θ-2,83 Χ Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται για τον υπολογισμό των μοχλοβραχιώνων των αντιδράσεων στήριξης. Ο υπολογισμός θα γίνει στο τρίγωνο ADO (με D=90 O ) με Ο το κέντρο του κύκλου. Τμήμα CD 45 O θ 90 O και θεωρώντας τομή στο σημείο E, θα έχουμε : ΣF = 0 N( θ) + Α cosθ- Α sin θ+ 2sin θ= 0 N( θ) = 2sin θ-5cosθ-2sin θ t N( θ) =-5cosθ Y Χ ΣF = 0 Q( θ) -Α sin θ- Α cosθ+ 2 cosθ= 0 Q( θ) = 5sin θ+ 2 cosθ- 2 cosθ n Q( θ) = 5sinθ Y Χ ΣΜ = 0 M -A xr(1-cos θ) - Α Rsin θ + 2 xr ( sin θ- 2) + Μ( θ) = 0 Ε A Y M ( θ) =- 12,83+ 10(1- cos θ) + 4sin θ- 4sin θ+ 2 2 M ( θ) =-10cosθ Χ

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται για τον υπολογισμό του μοχλοβραχίονα της συγκεντρωμένης δύναμης 2kN. Με την παραπάνω επίλυση, προέκυψαν οι εκφράσεις των εντατικών μεγεθών για την πολική γωνία θ (0 O θ 90 O ). Σαν γενικός κανόνας, θα πρέπει να λεχθεί ότι στην περίπτωση καμπύλου φορέα με κυκλικό σχήμα, θα πρέπει πάντα να γίνεται έκφραση των εντατικών μεγεθών της αξονικής και τέμνουσας δύναμης συναρτήσει της πολικής γωνίας και της ακτίνας του κύκλου. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Για την περίπτωση που ένας φορέας έχει συμμετρικές διαστάσεις και στηρίξεις (είδος στήριξης) ως προς κάποιο άξονα (π.χ. κατακόρυφος) τότε ο φορέας θα χαρακτηρίζεται συμμετρικός ως προς τον άξονα αυτό. Εφόσον ο φορέας είναι συμμετρικός ως προς άξονα και φορτίζεται συμμετρικά ως προς τον ίδιο άξονα, τότε οι αναπτυσσόμενες αντιδράσεις στήριξης είναι συμμετρικές ως προς τον ίδιο άξονα. Επιπρόσθετα τα διαγράμματα N, M θα προκύψουν συμμετρικά ως προς τον άξονα συμμετρίας ενώ το διάγραμμα Q θα προκύψει αντισυμμετρικό ως προς τον ίδιο άξονα. Εφόσον ο φορέας είναι συμμετρικός ως προς άξονα και φορτίζεται αντισυμμετρικά ως προς τον ίδιο άξονα, τότε οι αναπτυσσόμενες αντιδράσεις στήριξης είναι αντισυμμετρικές ως προς τον ίδιο άξονα. Επιπρόσθετα τα διαγράμματα N, M θα προκύψουν αντισυμμετρικά ως προς τον άξονα συμμετρίας ενώ το διάγραμμα Q θα προκύψει συμμετρικό ως προς τον ίδιο άξονα. Οι παραπάνω παρατηρήσεις συμβάλλουν στην ταχύτερη χάραξη των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών Ν, Q, M.