ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων Μέθοδοι παραγοντοποίησης [ 1] Εξαγωγή κοινού παράγοντα Στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα : α β+α γ=α(β+γ) Παρατηρούμε ότι η παράσταση α β+α γ είναι άθροισμα δύο γινομένων που στο καθένα υπάρχει ο παράγοντας α. Λέμε λοιπόν ότι ο α είναι κοινός παράγοντας. Γι' αυτό λέμε ότι "βγάζουμε " το α κοινό παράγοντα εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. (i) αβ+αγ=α(β+γ) (ii) 10χ 10φ +10ω =10(χ φ +ω ) Πολλές φορές ο κοινός παράγοντας δεν φαίνεται αμέσως. Θα πρέπει τότε να προσέχουμε τους αριθμούς και να τους αναλύσουμε σε γινόμενα πιο μικρών αριθμών π.χ. (iii) 15αχ 1χ+3χ= 3 5αχ 3 4χ+3= 3 (5αχ 4χ+1) Όταν πάλι έχουμε ίδιες μεταβλητές θα βγάζουμε κοινό παράγοντα την κοινή μεταβλητή (απ' όλους τους όρους) αλλά στον μικρότερο εκθέτη. π.χ. (iv) 15χ 4 1χ 3 +3χ = 3χ (5χ 4χ+1) (v) 15α 3 β γ 5α β 3 γ 0α 4 β 4 γ 3 χ = 5α β γ(3α βγ 4α β γ χ) [] Ομαδοποίηση Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν δεν υπάρχει σ' όλους τους όρους κοινός παράγοντας ΑΛΛΑ : παρατηρώντας τους όρους βλέπουμε ότι υπάρχει κοινός παράγοντας σε κάποιες ομάδες των όρων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (i) κχ κψ+μχ μψ Παρατηρούμε με μια πρώτη ματιά ότι δεν υπάρχει σ' όλους τους όρους ίδιος παράγοντας. Παρατηρώντας όμως με περισσότερη προσοχή βλέπουμε ότι: από τους δύο πρώτους όρους βγαίνει κοινός παράγοντας ο κ, ενώ από τον 3ο και 4ο βγαίνει κοινός παράγοντας το μ. Έτσι γράφουμε: κ(χ ψ)+μ(χ ψ) Α.Σοφιανοπούλου, Μαθηματικ 1

Τότε η παράσταση παίρνει άλλη μορφή, με δύο τώρα όρους που έχουν κοινό παράγοντα μια ολόκληρη παρένθεση (χ ψ) και γράφουμε: (χ ψ)(κ+μ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Πρέπει να προσέχουμε ώστε όταν χωρίζουμε την παράσταση σε ομάδες και βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από τις ομάδες, οι παρενθέσεις που δημιουργούνται να είναι ίδιες. Αλλιώς (όταν δεν ίδιες) θα πρέπει να πάρουμε άλλες ομάδες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: (ii) λα +κβα λαβ κβ = (λα λαβ)+(κβα κβ )= λα(α β)+κβ(α β)= (α β)(λα+κβ) (iii)6χ +3λ χ+8λχ+4λ 3 = (6χ +3λ χ)+(8λχ+4λ 3 )= 3χ(χ+λ )+4λ(χ+λ )= (χ+λ )(3χ+4λ) [3] Με χρήση της ταυτότητας--διαφορά τετραγώνων-- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (i) 9χ 16 Παρατηρούμε την παράσταση και βλέπουμε ότι : έχουμε τετράγωνο χ, 9=3 16=4 Άρα η 9χ 16 γράφεται: 3 χ 4 =(3χ) 4 Άρα έχουμε διαφορά τετραγώνων και γράφουμε: (3χ+4)(3χ 4) (ii) (κ+λ) 4= έχουμε δύο όρους έχουμε τετράγωνο (κ+λ) και 4= Άρα (κ+λ) = [(κ+λ)+][(κ+λ) ]= (κ+λ+)(κ+λ ) (iii) (χ+ω) (ψ ω) = έχουμε δύο όρους έχουμε δύο τετράγωνα Άρα [(χ+ω)+(ψ ω)][(χ+ω) (ψ ω)]= (χ+ω+ψ ω)(χ+ω ψ+ω)= (χ+ψ)(χ ψ+4ω) Α.Σοφιανοπούλου, Μαθηματικ

[4] Με τη χρήση άλλων ταυτοτήτων: α +αβ+β =(α+β) ( τετράγωνο αθροίσματος ) α αβ+β =(α β) ( τετράγωνο διαφοράς) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (i) 9χ +6χψ+ψ = (3χ+ψ) (3χ) (ψ) 3 χψ (ii) κ χ +ψ κψχ = κ χ κψχ+ψ = (κχ ψ) (κχ) (ψ) κχ ψ (iv ) (α+β) (α+β)χ+χ = (α+β χ) (iii) (α+β) ( χ) (α+β) χ 4 α + 4αβ + 9β = ( 9 α +9β 4 +4αβ = 9 3 α+3β) a 3 ( β ) 3 a 3β [5] Τριώνυμο δευτέρου βαθμού (αχ +βχ+γ, α 0 ) Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής και με μεγαλύτερη δύναμη της μεταβλητής το τετράγωνο ονομάζεται τ ρ ι ώ ν υ μ ο δευτέρου βαθμού Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να παραγοντοποιήσουμε ένα τ ρ ι ώ ν υ μ ο δευτέρου βαθμού. 1 η μέθοδος Επειδή κάθε τριώνυμο μπορεί να γραφεί : χ +(α+β)χ+α β προσπαθούμε να βρούμε δύο αριθμούς α και β έτσι ώστε: το άθροισμα του α+β να είναι ο συντελεστής του δεύτερου όρου, 3 το γινόμενο α β να είναι ο σταθερός όρος του τριωνύμου Τότε το χ +(α+β)χ+α β γράφεται (χ+α)(χ+β) Α.Σοφιανοπούλου, Μαθηματικ 3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω το τριώνυμο: Έχουμε α β= 8 Άρα έχουμε τους εξής συνδυασμούς για το α και το β: χ χ 8 1 ( 8) = 8 ( 1) 8 = 8 ( 4) = 8 ( ) 4 = 8 1+( 8) = 7 Απ' αυτούς διαλέγουμε εκείνο που ( 1)+8= +7 μπορεί να δώσει α+β = +( 4) = ( )+4 = + Άρα : α= και β= 4 τότε το τριώνυμο χ χ 8 γράφεται: χ χ 8 = (χ+)(χ 4) η μέθοδος Τριώνυμο αχ +βχ+γ, α 0 Θέτω αχ +βχ+γ = 0 Με τη βοήθεια της διακρίνουσας Δ = β - 4αγ, υπολογίζω τις ρίζες χ 1,χ της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, α 0. Ο τύπος της επίλυσης είναι x 1, x β ± = β 4αγ α Τότε το τριώνυμο αχ +βχ+γ γράφεται: αχ +βχ+γ= α(χ-χ 1 )(χ-χ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : χ -3χ+1 Θέτω χ -3χ+1=0 Λύνω την εξίσωση: Δ= β - 4αγ=(-3) -4..1=1>0 οπότε οι ρίζες τις εξίσωσης είναι : Τότε έχουμε: ± x1, x = 3 1 Άρα x1 = 1 και x = 1 χ -3χ+1=(χ-1)(χ-1/) [6] Συνδυασμός όλων των περιπτώσεων. Α.Σοφιανοπούλου, Μαθηματικ 4

Γενικά Με όρους; Εξαγωγή κοινού παράγοντα Ταυτότητα Με 3 όρους; Εξαγωγή κοινού παράγοντα Ταυτότητα Τριώνυμο Με 4 όρους; Εξαγωγή κοινού παράγοντα Ομαδοποίηση Επιμέλεια : Ανθούλα Σοφιανοπούλου. Μαθηματικός Σχολ.έτος 004-005 Α.Σοφιανοπούλου, Μαθηματικ 5