ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι συναρτήσεις,g :(, + ) με () = ln(+) και g()= + α) Να λύσετε την εξίσωση () + g() = και να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης Φ() = () + g () β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και C g των συναρτήσεων και g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο σημείο Ο(,), η οποία διχοτομεί τη γωνία του πρώτου και τρίτου τεταρτημόριου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης την παραπάνω εφαπτομένη και την ευθεία = 3 δ) Ένα υλικό σημείο Μ με θετική τετμημένη, κινείται στη C και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm/sc. Αν Ν είναι η προβολή του σημείου Μ στον άξονα και Α(,α) σημείο του άξονα yy, με α >, τότε: i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής E (t) του εμβαδού E του τριγώνου ΑΜΝ κάθε χρονική στιγμή t ισούται με Φ((t)) ii) Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΜΝ είναι ίσος με 8 ln3 + cm / sc 9 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση () =, α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα κοίλα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Α α, α, α < β) Ένα υλικό σημείο ( ) κινείται στην C με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του α (t) = α(t). Επίσης υλικό σημείο Μ(, y) με > κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας AOM ˆ = χρονική στιγμή t που είναι ( ΟΑ) = θ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, τη ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις καμπύλες με εξισώσεις: y = με, y = με και την y = α (t ) iii) Να βρείτε ευθεία παράλληλη με τον άξονα y y, η οποία να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση :(, + ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ( + ) = + +, για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι () = ln( ) +, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να αποδείξετε ότι οι C και C έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. δ) Να υπολογίσετε το ( + ε) Να λύσετε την ανίσωση () > ) και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση (+ ) = ( + 3) ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () + ()+ + () =, για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση γ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) δ) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο = ξ, τέτοιο, ώστε + = ( ξ) ξ ξ ε) Να λύσετε την ανίσωση () και να αποδείξετε ότι () για κάθε ΘΕΜΑ 5ο : ln Έστω η συνάρτηση () =, > α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή. β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης γ) Να αποδείξετε ότι ln ()d = δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (, ) τέτοια, ώστε να ισχύει: (ξ )lnξ + (ξ )lnξ = = κ,> για τις διάφορες τιμές του κ>
ΘΕΜΑ 6ο : Έστω : μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με () για κάθε, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () ( ()) = για κάθε, () + = και () = ln α) Να αποδείξετε ότι ισχύει () + =, + β) Να αποδείξετε ότι: () = ln(+ ), γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: () + ln για κάθε ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση i) lim ( ) + ii) lim ( ) + της και να υπολογίσετε τα όρια: ΘΕΜΑ 7ο : Δίνεται η συνάρτηση : [ αβ, ], η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [, ] πρόσημο σ αυτό το διάστημα και είναι (α) > και (β) >. Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση () = έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει ξ(ξ) + (ξ) = γ) Υπάρχουν κ,λ (α, β) με κ λ τέτοια, ώστε (κ) (λ) < δ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (κ,λ) τέτοιο, ώστε () = αβ, δεν διατηρεί σταθερό ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνάρτηση () = ln, > α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης και να βρείτε την παράγωγό της. β) Να βρείτε: i) Τα κοινά σημεία Α(,( )) και Β(,( )) της C με την ευθεία y = α, α > α ii) Τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ε και ε της C στα σημεία της Α(,α) και Α Β αντιστοίχως και να αποδείξετε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε α > γ) Έστω Μ και Ν τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες και yy αντιστοίχως. Να Β αποδείξετε ότι, όταν το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ γίνεται μέγιστο, η ευθεία ε διέρχεται Α από την αρχή των αξόνων Ο(,) Β( α,α)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 9ο : Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: : () () = για κάθε α) Να εκφράσετε την ()ως συνάρτηση της () β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο δ) Να αποδείξετε ότι < () < () <, για κάθε > ε) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ΘΕΜΑ ο : Έστω μια συνεχής συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση C διέρχεται από το σημείο Α(,). α) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο =, τότε: i) Να υπολογίσετε το (ημ ) lim ημ (6) ii) Να αποδείξετε ότι lim = 3 () β) Αν επιπλέον για την ισχύει () 8() = 7 για κάθε, να βρείτε τον τύπο της. γ) Αν () = + 9,, τότε: i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης στο ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της iv) Να αποδείξετε ότι ()d < 5 ΘΕΜΑ ο : C, η οποία διέρχεται από το σημείο Β(,3) Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln =, με > έχει ακριβώς μία λύση. Β. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ), η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () = ln( () () ) για κάθε > και () = α) Nα βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β) Αν () =, > ln i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να υπολογίσετε τα όρια: lim () και lim () + + ii) Αν Ε(α) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = () + ln (), τον άξονα και τις ευθείες = και = α με α >, να υπολογίσετε το lim Ε(α) ημ + Ε(α) α C g
ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση C διέρχεται από το σημείο Μ(, ). Αν η εφαπτομένη της C σε κάθε σημείο της (, () ) διέρχεται από το σημείο A+, α) Να αποδείξετε ότι ( ) () = + β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α ) + () = 6, α,β έχει μία τουλάχιστον λύση στο α β διάστημα (α,β) δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης και την ευθεία y= + ε) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = ΘΕΜΑ 3ο : Δίνονται οι συναρτήσεις,g :(, + ) με () = ( )ln+ και g()= α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ln β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει δύο μόνο ρίζες ρ (, ) και ρ (, + ) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (ρ, ρ ) τέτοια, ώστε (ξ ) + (ξ ) = ln(ρ ρ) δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει ένα τοπικό ελάχιστο και ένα τοπικό μέγιστο. ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () = () + 3 6 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι ()= -8, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. γ) Να αποδείξετε ότι () < 3 () + (5), για κάθε (, + ) (t) δ) Να αποδείξετε ότι ( ) ln< dt < ( 8) ln t ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (t) dt ( ) ( 3() + (5) ( )) = ( ) ln t έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 5ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ικανοποιεί τις σχέσεις: () lim = (y) = y () + (y) y + για κάθε,y () α) Να αποδείξετε ότι ( ) = β) Να αποδείξετε ότι () () =, για κάθε ln+, γ) Να αποδείξετε ότι () =, = δ) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ε) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση ln = α έχει διαφορετικές ρίζες. ΘΕΜΑ 6ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: lim () = + () () = α + β για κάθε, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = β > β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. γ) Αν επιπλέον ισχύει () < να αποδείξετε ότι: + + β i) () = ii) Η εξίσωση () =3ημ(π) 3 + έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, + ) ΘΕΜΑ 7ο : 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) () =, α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής., είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( ) B(,( ) ) και το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της είναι συνευθειακά. γ) Αν δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Α,(), ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα
ΘΕΜΑ 8ο : Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () + 6 ( + ) (), για κάθε () () = Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να λύσετε την εξίσωση ( ) = ( + ) γ) Να αποδείξετε ότι ( + ) () < ( ) για κάθε (ρ,), όπου ρ ρίζα της εξίσωσης του (β) ερωτήματος. δ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες = και =, τότε να αποδείξετε ότι 6 < Ε < 3 ΘΕΜΑ 9ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : α) Να αποδείξετε ότι () = + () για κάθε () = ln( + ), με () = ln, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση ε) Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει (,) + ln6 ()d< C της συνάρτησης στο σημείο της (,() ) ( ) + (ln) = () + () στο διάστημα (, + ) τέτοιο, ώστε ) ( ) ( = ln(+) ln ln(+) ii) Υπάρχουν ξ, ξ (,) με ξ <ξ τέτοια, ώστε + = ln (ξ ) (ξ )
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: ( ) = () () ( ) = +, για κάθε α) Να αποδείξετε ότι () =, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα μόνο σημείο καμπής. δ) Ένα σημείο M(,y) κινείται στο επίπεδο χωρίο Ω και για τις συντεταγμένες του ισχύουν οι σχέσεις: και 3 y () Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που διαγράφει το σημείο Μ. ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () + lim = y ) y + y + (+ y = ) ) ( + (y + +, για κάθε,y () Να αποδείξετε ότι α) ( ) = β) () = () + +, γ) () =, δ) Η συνάρτηση αντιστρέφεται και θεωρώντας γνωστό ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης την ευθεία = και τους άξονες και yy
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () = () () = + (), για κάθε ( ) Να αποδείξετε ότι α) () = + +, β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης και η γραφική παράσταση της συνάρτησης h() = + ημ(π),, έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο M(,y ) με (, + ) 3 γ) 3 ( + ) > ( + 3) + (), για κάθε 7 δ) Αν α > να αποδείξετε ότι η εξίσωση: ( + 3) ( α + ) = ( α + 3) + ( α) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, α) ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: () = () για κάθε α) Να αποδείξετε ότι () β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () γ) Αν () = ln( +), = έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα (, ) + i) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της με την παραβολή ii) Να υπολογίσετε το όριο lim ( () )( () ln) iii) Αν g: + y= είναι μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται στον άξονα στο σημείο Μ(,) και για κάθε ικανοποιεί 8 τη σχέση g() =, να αποδείξετε ότι ( ) g()d = ()
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι συναρτήσεις,g : με () = + + 8 και g() = συν + α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να λύσετε την εξίσωση 5 = γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε α ( + α + )( β + β + 8) = 5α 3 g() 3 δ) Να υπολογίσετε το όριο lim + () ε) Θεωρούμε ότι υπάρχει συνάρτηση h: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: h() = 8 h(3) = 6 h(g()) () για κάθε i) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h στο σημείο (,h() ) ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 3) τέτοιο, ώστε h (ξ) = ΘΕΜΑ 5ο : Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 3 () + () = +, για κάθε () α) Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης για = και = β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το πρόσημό της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. δ) Αν α >, να αποδείξετε ότι (α) + α < + α α ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ημ+ ) () = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) στ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και την ευθεία = είναι E( Ω) = 5
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 6ο : ln Δίνονται οι συναρτήσεις,g:(, + ) με () = + και g() = + ( ln) α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g που να είναι παράλληλες. Στη συνέχεια να βρείτε σημεία της στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους κάθετες. C g με τετμημένες αντίστροφες γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ > τέτοιο, ώστε η συνάρτηση να λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της όταν = ρ και επιπλέον ισχύει (ρ) = ρ δ) Θεωρούμε επίσης την εξίσωση () =. Να αποδείξετε ότι: ρ i) Η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες α, β με < α< β ii) Υπάρχει ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) + (ξ) = ρ ΘΕΜΑ 7ο : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () = και ( ) =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () = (), για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι ( ) ln () = +, για κάθε β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης γ) Αν E(α) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης, την οριζόντια ασύμπτωτη της C και την ευθεία υπολογίσετε το α lim E(α) + ( ) + ( ) 3 () δ) Να υπολογίσετε το lim 3ημ ( ) () = α με α >, τότε να ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνάρτηση :(, + ) με () = + ln α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση γ) Θεωρώντας γνωστό ότι η συνάρτηση () είναι συνεχής, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης, την ευθεία με εξίσωση y =, τον άξονα y y και την ευθεία με εξίσωση =
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 9ο : Δίνονται οι συναρτήσεις () 8, = [, ) + και α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και g() = ln, (, + ) 8 =, (,] () ln β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ()d γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + ln ln = έχει μοναδική λύση στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ 3ο : 3α Δίνεται η συνάρτηση : α με α() =, α > + α α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση α ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε α (, + ) η γραφική παράσταση C α της συνάρτησης α έχει ένα μόνο σημείο καμπής, στο οποίο η εφαπτομένη της C α έχει σταθερό συντελεστή διεύθυνσης. γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε α (λ), λ >, του χωρίου που περικλείεται από την C α, την λ + α ευθεία y = 3 και τις ευθείες = λ και = λ είναι E(λ) α = 3ln λ + α δ) i) Να αποδείξετε ότι η καμπύλη C βρίσκεται πάνω από την καμπύλη C ii) Αν ζ(λ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C, και = λ, να βρείτε το lim ζ(λ) λ + C και τις ευθείες = λ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση : α με + () + α α() = ln +, α α α) Θέτουμε I(α) = d. Αν ισχύει Ι(α) =, να βρείτε το α. β) Να αποδείξετε ότι (α α ) = α () α, για κάθε γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(α), με α >, του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C α της συνάρτησης α, τους άξονες, y y και την ευθεία = α δίνεται από τον α τύπο Ε(α) =
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση :, με ( () ) = () (), για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο () β) Αν lim () =+ και lim = λ, να αποδείξετε: + + ( () ) i) lim = λ + ii) λ = γ) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με () >, για κάθε, να βρείτε το σύνολο τιμών της. δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()( + )( ) + (3)( ) + ()( + ) = έχει ακριβώς δύο ρίζες ρ,ρ (,) με () (3) + = ρ ρ () ΘΕΜΑ 33ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :(, ) (, + ) ικανοποιεί τις σχέσεις: () για κάθε (,) U (, + ) ( ) U, με ( ) () = ln + () για κάθε (,) U (, + ) α) Να αποδείξετε ότι () =, (,) U (, + ) ln β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. = και () = ln, η οποία γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης, την εφαπτομένη της,() και την ευθεία = C στο σημείο της ( )
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση :(, + ) με () = και ()=, η οποία για κάθε (, + ) ικανοποιεί τη σχέση α) Να αποδείξετε ότι () =, (, + ) 3 ()= β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. γ) Να αποδείξετε ότι α+ β α β (α+ β) α + β για κάθε α,β (, + ) δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των () συναρτήσεων και g με g() =, (, + ) και τις ευθείες = και = 3 +, (, + ) ε) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = () είναι συνεχής., = ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Η() =, (, + ) είναι μία αρχική της h στο, = διάστημα (,+ ) και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = h()d ΘΕΜΑ 35ο : Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 3 () + () = 3 για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι () = β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. γ) Να αποδείξετε ότι : i) 3 3 ( ) για κάθε [, + ) ( ) 3 ii) lim = 3 + 3 δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο ε) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. στ) Να αποδείξετε ότι: ln ()d+ d= 3 +
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 36ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ), με () =, η οποία για κάθε (, + ) ικανοποιεί τις σχέσεις: () > () + () = α) Να αποδείξετε ότι () =, (, + ) ln β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = εφ, έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα γ) Ένα υλικό σημείο M( α,(α) ), α > κινείται στη γραφική παράσταση ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ταχύτητα α cm/sc Αν η εφαπτομένη (ε) της π, C της συνάρτησης, C στο σημείο Μ τέμνει τον άξονα, στο σημείο Α, τότε: i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Α, τη χρονική στιγμή t, που το σημείο M διέρχεται από το σημείο (,() ) ii) Αν θ είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) με τον άξονα, να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ, τη χρονική στιγμή t είναι θ (t ) = + rad/sc ΘΕΜΑ 37ο : Δίνεται συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 3 () + () = 8 για κάθε () α) Για τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης : i) Να αποδείξετε ότι έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της με τον άξονα. Σε ποιο διάστημα βρίσκεται κάτω από τον άξονα ; β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη. δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τρεις θέσεις τοπικών ακροτάτων με δύο τιμές. ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (,) με τέτοιοι, ώστε ()() + ()() =
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 38ο : Δίνεται συνάρτηση () = + ln, για κάθε > α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να λύσετε την εξίσωση ( + ) = + ξ, ξ, τέτοια, ώστε β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( ) + ( ξ ) ( = ξ ) γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης, την εφαπτομένη της A,() και την ευθεία = δ) Να αποδείξετε ότι () + d < 3 C στο σημείο ( )