o Kεφάαιο: ααντώσεις. Σώµα εκτεεί... µε άτος και ερίοδο. η χρονική στιγµή t = 0 η κινητική ενέργεια της... είναι τριάσια αό τη δυναµική της ενέργεια, ενώ ο ρυθµός µεταβοής της αοµάκρυνσης έχει θετική τιµή. α. Να ροσδιορίσετε τις ιθανές τιµές της αρχικής φάσης φ 0 αυτής της... β. Πόσο τοις εκατό της οικής ενέργειας είναι η κινητική ενέργεια, όταν το A σώµα βρίσκεται σε αοµάκρυνση x = ; γ. Πόσο τοις εκατό της οικής ενέργειας είναι η δυναµική ενέργεια τη χρονική στιγµή t = s; dk du δ. Να ροσδιορίσετε τις ιθανές τιµές των ρυθµών µεταβοής και τη dp dp χρονική στιγµή t = s σε σχέση µε τις τιµές των και. ε. Να βρείτε το µέγιστο διάστηµα ου διανύει ο τααντωτής σε χρονικό διά- στηµα t = s σε σχέση µε το άτος.
Λύσεις των ροβηµάτων. α. η χρονική στιγµή t = 0 έχουµε: Κ = 3U Ε ο συν (ωt + φ 0 ) = = 3Ε ο ηµ (ωt + φ 0 ) t=0 συν φ 0 = 3ηµ φ 0 ηµ φ 0 = 3ηµ φ 0 ηµ φ 0 = ηµφ 0 = ±. η ερίτωση ηµφ 0 = ηµφ 0 = ηµ { φ 0 = k + (α) φ 0 = k + φ 5 0 = k + (β) Για k=0 η (α) φ 0 = rad και η (β) φ 5 0 = rad. η ερίτωση ηµφ 0 = ηµφ 0 =ηµ( ) { φ 0 = k (γ) φ 0 = k + ( ) φ 7 0 = k + (δ) Για k = 0 η (γ) φ 0 = < 0, οότε αορρίτεται, ενώ η (δ) φ 7 0 = rad. Για k= η (γ) φ 0 = rad, ενώ η (δ) φ 7 0 = + rad >, οότε αορρίτεται. Ο ρυθµός µεταβοής της αοµάκρυνdx σης εκφράζει την ταχύτητα, οότε τη χρονική στιγµή t = 0 είναι υ > 0. ό τις τέσσερις ιθανές τιµές για τη φ 0, τον εριορισµό υ > 0 τον ικα νοοιούν οι τιµές φ 0 = rad και φ 0 = rad. β. Όταν φ 0 = rad, είναι x = +,
ή αρµονική ταάντωση ενώ, όταν φ 0 = rad, είναι x =. Και στις δύο εριτώσεις ροκύτει ότι τη χρονική στιγµή t = 0 το σώµα βρίσκεται σε θέση µε αοµάκρυνση, άρα, σύµφωνα µε την εκφώνηση, όταν x =, έχουµε ότι Κ = 3U. ο ζητούµενο οσοστό, έστω u %, θα είναι: u Κ % = 00% Ε ο u 3U % = 00% = Ε ο 3 Dx = 00% DA A u % = 3( ) 00% = = 3 00% u % = 75%. γ. i) Στην ερίτωση ου φ 0 = rad, το σώµα τη χρονική στιγµή t = 0 s βρίσκεται στη θέση x = +. η χρονική στιγµή t = s το ερι- στρεφόµενο διάνυσµα της... του σώµατος θα έχει διαγράψει γωνία φ = ωt = T φ = rad. Θα έχει έρθει 3 οιόν στη θέση x = +A, οότε τη χρονική στιγµή t = s είναι υ =0 m/s και Κ = 0 J και U =E ο. Ο όγος U =, οότε το ζητού- Ε ο µενο οσοστό είναι u % = 00%. ii) Στην ερίτωση ου φ 0 = rad, το σώµα τη χρονική στιγµή t = 0 s βρίσκεται στη θέση x =. A η χρονική στιγµή t T = s το ερι- στρεφόµενο διάνυσµα, έχοντας δια γράψει γωνία φ = rad, θα έχει 3 έρθει στη θέση x = +. ότε όµως, όως είδαµε και στο ερώτηµα β, είναι Κ = 3U, οότε το ζητούµενο οσοστό θα είναι u 3 % = 5%. δ. Για τον ρυθµό µεταβοής dk έχουµε: dp dk dk ΣF υ dk = = = υ. dp dp ΣF dp dk Εοµένως ( ) dp = υ () du Για τον ρυθµό µεταβοής έχουµε: dp 3
Λύσεις των ροβηµάτων du dk du = = = ΣF υ dp dp dp ΣF du = υ. Εοµένως: du ( ) = υ () dp Για την ταχύτητα υ = f(t) του τααντωτή έχουµε: i) Για φ 0 = rad: υ = ωσυν(ωt + ) υ = συν( t + ). T Για t = s είναι: υ T = συν( + ) υ = συν υ = 0. dk Έτσι, αό τη σχέση (): ( ) = 0 dp du και αό τη σχέση (): ( ) = 0. dp ii) Για φ 0 = rad: υ = ωσυν(ωt + ) υ = συν( t + ). T Για t = s είναι: υ T = συν( + ) υ 3 = συν υ = συν( + ) υ = συν 3 υ = m/s. Έτσι, αό τη σχέση (): dκ 3 ( ) = m/s dp και αό τη σχέση (): du 3 ( ) = m/s. dp ε. Στο χρονικό διάστηµα t = s, κα- θώς ο τααντωτής κινείται αό τη µια ακραία θέση ρος την άη, το εριστρεφόµενο διάνυσµα ου εριγράφει την... διαγράφει γωνία: φ = ω t ή φ = ή φ = rad. Aνάµεσα σε δύο τυχαίες στιγµές t και και t + το εριστρεφόµενο διάνυ- σµα της... µετακινείται, για α - ράδειγµα, αό τη θέση ΟΡ στη θέση ΟΡ, όωςφαίνεταιστοαρακάτωσχή - µα. Η ροβοή του ευθύγραµµου τµή- µατος Ρ Ρ = d στον άξονα y δίνει το
ή αρµονική ταάντωση διάστηµα s ου διανύει ο τααντωτής στο χρονικό διάστηµα t =. T To διάστηµα s θα είναι µέγιστο (s max ) ό - ο τε η ροβοή γίνεται µέγιστη. υτή η ροβοή όµως γίνεται µέγιστη όταν το ευθύγραµµο τµήµα Ρ Ρ γίνεται αράηο στον άξονα y, όως φαίνεται στα αρακάτω σχήµατα. (ότε εί - ναι θ = 5 ο.) χρονικό διάστηµα t = s είναι s max = A m. Aό τα γραµµοσκιασµένα τρίγωνα Ρ Ο Ρ (και στις δύο εριτώσεις) έχουµε: (Ρ Ρ ) = (Ρ Ρ ) = s max = = +A s max = A s max = A m. Tο µέγιστο διάστηµα οιόν ου µορεί να διανύσει ο τααντωτής σε 5
ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.53. Υικό σηµείο εκτεεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υικό σηµείο 3 βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- ής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός. ίνεται ακό - µα ότι το χρονικό διάστηµα ου ααιτείται ώστε το υικό σηµείο να βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x= µε υ < 0 είναι t=0, s. Όταν το υι- κό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = 0,3 m, η ταχύτητά του έχει µέτρο υ = m/s. α. Να υοογίσετε την ερίοδο και το άτος αυτής της... β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υικού σηµείου. Β. Υικό σηµείο εκτεεί και αυτό... η χρονική στιγµή t η ταχύτητα υ και η ειτάχυνση α του τααντωτή έχουν µέτρα,5 m/s και 00 m/s αντίστοιχα. du η χρονική στιγµή t = s ο ρυθµός µεταβοής της δυναµικής ενέρ- 0 γειας του τααντωτή γίνεται για ρώτη φορά µέγιστος, ενώ τη στιγµή t 3 = = s ο τααντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. α. Να υοογίσετε το άτος και την ερίοδο αυτής της... ( 0, ενώ ηµα = ηµασυνα.) β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υικού σηµείου. Γ. Σώµα µάζας m = kg εκτεεί ταυτόχρονα τις τααντώσεις x = f(t) και x = f(t) στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια Θ.Ι. α. Να ροσδιορίσετε την εξίσωση αοµάκρυνσης - χρόνου x = f(t) της συνισταµένης ταάντωσης ου ραγµατοοιεί το σώµα. β. Να υοογίσετε τη χρονική στιγµή t κατά την οοία η δύναµη εαναφοράς ΣF της συνισταµένης ταάντωσης γίνεται για ρώτη φορά κατά µέτρο µέγιστη. (Θεωρήστε ως χρονική στιγµή t = 0 τη στιγµή ου αρχίζει το σώµα να εκτεεί τη σύνθετη ταάντωση.) γ. Ποια είναι η µέγιστη τιµή αυτής της δύναµης εαναφοράς; 39
Σύνθεση τααντώσεων ❷ Β. Έστω ότι η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών τααντώσεων τη στιγµή t είναι φ rad. ο άτος της συνισταµένης ταάντωσης εκείνη τη στιγµή θα είναι: = + + συν φ = 3 > 3 = = + συν φ 3 = ( + συν φ ) + συν φ = 3 συν φ = συν φ = συν. 3 Εειδή τη χρονική στιγµή t το άτος της συνισταµένης κίνησης αίρνει την τιµή 3 για ρώτη φορά αό την t = 0, θα είναι: φ = rad. 3. Σωστή είναι η αάντηση γ..53. α. Ο ρυθµός µεταβοής της κινητικής ενέργειας είναι: dk dw = ΣF = ΣF dx dk = ΣF υ dk = Dxυ. 99
Λύσεις των ροβηµάτων η χρονική στιγµή t = 0 έχουµε: x = + 3 > 0 και dk > 0. Εοµένως τη χρονική στιγµή t = 0 η ταχύτητα υ < 0, οότε το εριστρεφόµενο διάνυσµα του άτους της... θα βρίσκεται στη θέση ΟΡ. Έτσι η αρχική φάση φ 0 είναι φ 0 = xo Ρ = θ. ό το ΟΡ Ρ έχουµε: 3 ηµθ = ΟΡ = ΟΡ ηµθ = 3 θ = rad. 3 Συνεώς: φ 0 = φ 0 = rad. 3 3 Όταν το υικό σηµείο θα βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x = µε υ < 0, το εριστρεφόµενο διάνυσµα θα έχει διαγράψει τη γωνία ΡΟ N = θ + θ = + 3 ΡΟ N = rad ΟΝ (ηµθ = = θ = rad). ON Η γωνία ΡΟ N = φ όµως διαγράφηκε σε χρονικό διάστηµα t=0, s. Εοµένως έχουµε: όξο φ = rad σε t=0, s όξο rad σε s = 0, = 0, s. κόµα, ω = ω = 5 rad/s. T Εφαρµόζουµε την..ε.. για τη θέση του τααντωτή µε x = 0,3 m και υ = m/s. Έχουµε: Κ + U = E ο mυ + Dx = DA D = mω > mυ +mω x = mω υ + ω A x = ω = 0,5 = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέ - σης είναι x = ηµ(ω t+φ 0 ). ντι - καθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) 3 Β. α. Κάθε χρονική στιγµή, για την... του υικού σηµείου ισχύει: Κ + U = E ο dk du de + = o du = dk du = ΣF υ du = ( Dxυ) du = Dxυ du = DA ηµ(ω t + φ 0 ) ω συν(ω t + φ 0 ) du DA ω = ηµ(ω t+φ 0 ) συν(ω t + φ 0 ) du DA ω = ηµ(ω t + φ 0 ). Ο ρυθµός αυτός αίρνει τη µέγι- 00
Σύνθεση τααντώσεων στη τιµή του όταν: ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ. Εειδή τη χρονική στιγµή t du = s ο ρυθµός γίνεται 0 µέγιστος για ρώτη φορά, έχουµε: ω t + φ 0 = ω t + φ 0 = + φ 0 = T 0 + φ 0 = () 30 η χρονική στιγµή t 3 = s ο τα- αντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη Θ.Ι. του. ότε ισχύει: D 0 ΣF = 0 Dx = 0 > x = 0 0 ηµ(ω t 3 + φ 0 ) = 0 > ηµ(ω t 3 + φ 0 ) = ηµ0 { ω t 3 + φ 0 = k (α) και ω t 3 + φ 0 = k + (β) Για k = 0 η (α) ω t 3 + φ 0 = 0 t 3 < 0, ου αορρίτεται, ενώ αό το «ακέτο» ύσεων (β) έχουµε: ω t 3 + φ 0 = + φ 0 = φ 0 = () 3 Η σχέση () µε τη βοήθεια της () γίνεται: + = 30 3 9 = 3 30 90 = 3 = 0, s. Και αό τη σχέση () έχουµε: φ 0 = 3 0, φ 0 0 = =, φ 0 = φ 0 = rad. ο µέτρο της ειτάχυνσης α του τααντωτή δίνεται αό τη σχέση α = ω x 00 = =0 (5) x > x 00 = x = 0, m. 50 ό την..ε.., για τη στιγµή t, όου x = 0, m και υ =,5 m/s, έχουµε: Ε ο = K + U DA = = Dx + mυ mω = mω x + mυ = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέσης είναι x = A ηµ(ω t + φ 0 ). ντικαθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) Γ. α. 0
Λύσεις των ροβηµάτων Η εξίσωση x = f(t) της συνισταµένης ταάντωσης ου εκτεεί η µάζα m θα έχει τη µορφή x = ηµ[ωt + (µικρότερη αρχική φάση) + θ] x = ηµ(ωt + + θ) () ά ω =ω =ω ω=5 rad/s. Η διαφορά φάσης φ µεταξύ των εριστρεφόµενων διανυσµάτων και είναι: φ = φ = rad. 3 ο άτος της συνισταµένης ταάντωσης είναι: A = + + συν φ φ = rad = = > = = = 0,5 m. ό το διάγραµµα των εριστρεφό- µενων διανυσµάτων ροκύτει: εφθ = εφθ = εφθ = θ = rad. ντικαθιστώντας οιόν στη σχέση (), έχουµε: x = ηµ(ωt + + θ) x=0,5 ηµ(5t + + ) 5 x = 0,5 ηµ(5t + ) (S.I.) β. Η δύναµη εαναφοράς ΣF της συ - νισταµένης ταάντωσης θα γίνει για ρώτη φορά µέγιστη κατά µέ - τρο όταν θα γίνει x = +A για ρώ - τη φορά. υτό θα γίνει τη στιγµή t ου το εριστρεφόµενο διάνυσµα της σύνθετης... θα έχει διαγράψει τη γωνία O y= φ. ( είτε ξανά το διάγραµµα µε τα ε ρι στρε - φόµενα διανύσµατα.) Όµως O y = φ = 5 φ = rad. Εοµένως: όξο rad διαγράφεται σε s όξο rad διαγράφεται σε t t = T t = s 0, t = t = s. 0 γ. ΣF = Dx, οότε κατά µέτρο: ΣF max = DA ΣF max = mω ΣF max = (5) 0,5 Ν ΣF max = 5 N..5 A. α. η χρονική στιγµή t = 0 είναι x = 0 και dx = υ > 0. Εοµένως η αρχική φάση της... είναι φ 0 = 0 rad. O τααντωτής φτάνει στη θέση x = +A για ρώτη φορά τη χρονική στιγµή, για δεύτε- ρη φορά τη στιγµή +, για τρίτη φορά τηχρονική στιγµή +... Με αυτή τη ογική, ο τααντωτής θα φτάνει για η φορά στη θέ ση x = +A τη χρονική στιγµή t = 0T + 0 + =, 0
. Σε εαστική χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα ου δηµιουργείται αό ηγή η οοία τααντώνει το άκρο Ο της χορδής µε εξίσωση ταά- ντωσης y = ηµ t. Χρονική στιγµή t Στο διάγραµµα φαίνεται τµήµα του στιγµιότυου του αρµονικού κύµατος µια χρονική στιγµή t.. Να βρείτε τη φορά διάδοσης του κύµατος: 5 α. Όταν τη χρονική στιγµή t το σηµείο Ν(x N = + ) διέρχεται αό τη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα άνω. β. Στην ερίτωση ου τη χρονική στιγµή t το σηµείο Ν διέρχεται αό τη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα κάτω. 3 Β. α. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυο του κύµατος τη χρονική στιγµή t = αφότου άρχισε να τααντώνεται το σηµείο αναφοράς Ο για την ερίτωση β του ερωτήµατος. β. Να βρείτε όσα σηµεία του εαστικού µέσου έχουν µέγιστη δυναµική ενέρ- 7 γεια ταάντωσης τη χρονική στιγµή t µεταξύ του σηµείου Ρ µε x Ρ = + και του σηµείου εκείνου του εαστικού µέσου το οοίο ξεκινά να τααντώνεται τη στιγµή t. 9
Λύσεις των ροβηµάτων υ N = f(t): { υ N = 0 για 0 t < T υ N = ωσυν( ) t για t η χρονική στιγµή t = T έχουµε: υ N = ωσυν( T ) = ωσυν0 υ N = ω = +υ max. η χρονική στιγµή t = T + T = 5T έχουµε: υ 5 N = ωσυν( ) = = ωσυν υ N = 0. η χρονική στιγµή t = έχουµε: υ Ν = ωσυν( T ) = = ωσυν υ = ω = υ max. η χρονική στιγµή t 9T = έχουµε: υ 9 Ν = ωσυν( ) = = 9 ωσυν( ) υ 7 Ν = υ max συν = = υ 5 max συν( ) + 5 υ max 3 υ Ν =υ max συν υ Ν =. Με βάση όα αυτά, ροκύτει το α - ρακάτω διάγραµµα:.. α. η χρονική στιγµή t το σηµείο Ν διέρχεται αό τη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα άνω. ο σηµείο Λ (δείτε το σχήµα της εκφώνησης) βρίσκεται σε αόσταση δεξιά αό το Ν και θα είναι στη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα άνω ύστερα αό χρονικό διάστηµα t=. ο κύµα οιόν έρ- χεται στο Λ µετά αό το Ν. Η φορά διάδοσης του κύµατος σε αυτή την ερίτωση είναι ρος τα δεξιά. β. η χρονική στιγµή t το σηµείο Ν διέρχεται αό τη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα κάτω. ο σηµείο Μ (δείτε το σχήµα της εκφώνησης) βρίσκεται σε αόσταση αριστερά αό το Ν και θα είναι στη Θ.Ι. του µε φορά ρος τα κάτω ύστερα αό χρονικό διάστηµα t =. ο κύµα οιόν έρχεται στο Μ µετά αό το Ν. Η φο - ρά διάδοσης του κύµατος σε αυτή την ερίτωση είναι ρος τα αριστερά. Β. α. η χρονική στιγµή t 3 = το ση- µείο αναφοράς Ο θα έχει αοµάκρυνση y 3 Οt = ηµ y 3 Οt = ηµ y Οt = ηµ( ) = = ηµ( ) y Ο t =. Η ταχύτητα του σηµείου αναφοράς Ο τη στιγµή t είναι: υ 3 Οt = ωσυν = 3 =ωσυν( ) υ Ο t = ω >0. 8
Μηχανικά κύµατα Εοµένως το σηµείο Ο τη χρονική στιγµή t 3 = βρίσκεται σε θέση µε αοµάκρυνση µευ > 0, κα- τευθύνεται δηαδή ρος τη Θ.Ι. του. ο κύµα διαδίδεται ρος τα αριστερά. Έστω Γ το ρώτο σηµείο της εαστικής χορδής αριστερά αό το Ο ου τη χρονική στιγµή t βρίσκεται στη θέση y Γt =. Μέχρι να έρθει στη θέση y= µε υ>0 και αυτό, θα ρέει να διαγράψει την αόσταση. ο εριστρεφόµενο διάνυσµα του άτους του θα διαγράψει τη γωνία ΓO Β = φ. ΟΒ Β: συν φ = ΟΒ = ΟΒ συν φ = φ = rad. 3 Η διαφορά φάσης οιόν µεταξύ των σηµείων Ο και Γ είναι: φ = rad. 3 Η αόσταση του σηµείου Γ αό το σηµείο αναφοράς Ο ροκύτει ως εξής: ιαφορά φάσης rad αόστ. ιαφορά φάσης rad αόστ. d 3 d = d =. 3 ο σηµείο Γ όµως είναι αριστερά αό το σηµείο αναφοράς Ο. Άρα το σηµείο Γ βρίσκεται στη θέση x Γ = και τη χρονική στιγµή t η αοµάκρυνσή του είναι υ Γt =. ο σηµείο Κ, ου αέχει αό το σηµείο αναφοράς αόσταση x K = x Γ + ( ) x 5 K = x K =, βρίσκεται στη Θ.Ι. µε υ > 0. η χρονική στιγµή t το κύµα θα έχει φτάσει σε αόσταση x = υt 3 = υ<0 x =. 3 ο σηµείο ου βρί- σκεται σε αυτή την αόσταση θα έχει y = 0 και υ > 0. Με βάση τα αραάνω, φτιάξα- µε τον ίνακα τιµών ου ακοουθεί: x 0 5 3 y 0 0 Έτσι ροκύτει η γραφική αράσταση y = f(t) ου αεικονίζει το στιγµιότυο του κύµατος τη χρονική στιγµή t 3 =. 9
Λύσεις των ροβηµάτων 3 Χρονική στιγµή t = β. Έστω το ρώτο σηµείο δεξιότερα του ση µείου αναφοράς Ο, ου η ταάντωσή του ροηγείται χρονικά (και φασικά) αό το Ο και τη χρονική στιγµή t έχει αο- µάκρυνση y t = 0. ο εριστρεφόµενο διάνυσµα του θα είναι στη θέση Ο. Η φασική διαφορά ανάµεσα στα και Ο είναι φ,o = θ = 3 φ,ο = rad. Έτσι έχουµε: ιαφορά φάσης rad αόσταση ιαφορά φάσης rad αόσταση d d = d =. ο σηµείο οιόν βρίσκεται στη θέση x = +. ( Ένας δεύτερος τρόος, ιο αός, ροσδιορισµού της θέσης του σηµείου είναι ο εξής: α σηµεία και Γ αέχουν χρονικά κα - τά T, οότε η αόστασή τους είναι. Ισχύει: d Γ, = d Γ,Ο + d,ο = + d,ο = d 3,Ο = = d,ο =. ο σηµείο οιόν βρίσκεται στη θέση x = +.) Έτσι το σηµείο Ρ µε θέση x 7 P = + = + = + είναι αυτό ου φαίνεται στο διάγραµµα του στιγµιότυου. α σηµεία µε U=U max ανάµεσα στο σηµείο Ρ και στο σηµείο το οοίο ξεκινά να τααντώνεται τη στιγµή t, όως φαίνεται και αό το διάγραµµα y = f(x), είναι έντε και βρίσκονται στις θέσεις: + 8 0,,, και. 0
Μηχανικά κύµατα. ο σώµα Β µάζας m του σχήµατος ακου- m µάει άνω στον κύινδρο µάζας Μ. ο σύστηµα των δύο σω µάτων ισορροεί αρχικά στο σηµείο Ο µε τον κύινδρο βυθισµένο εν µέρει µέσα στο ήρεµο νε ρό µιας µικρής ίµνης. η χρονική στιγµή t = 0 το σύστηµα των σωµάτων και Β αρχίζει να εκτεεί... στην κατακόρυφη διεύθυνση y µε εξίσωση y = 0,0 ηµωt (S.I.) και συχνότητα τη µέγιστη συχνότητα για την οοία δε χά νεται η εαφή µεταξύ των σωµάτων και Β. Εξαιτίας της ταάντωσης του συστήµατος των σωµάτων και Β δηµιουργείται στην ειφάνεια της ίµνης εγκάρσιο αρµονικό κύµα. ο κύµα ύστερα αό χρόνο t = s φτάνει σε ένα τενεκεδάκι ου αρχικά ηρεµεί ειέοντας σε ένα σηµείο Κ, το οοίο βρίσκεται σε αόσταση d = m αό το σύστηµα των σω µά των και Β, και το θέτει και αυτό σε κατακόρυφη αρµονική ταάντωση. Κάοια στιγµή (t ) ου το τενεκεδάκι αέχει y = 0,005 m αό τη θέση ισορροίας του, η ταχύτητά του έχει µέτρο υ = 0,05 3 m/s. α. Να βρείτε τη µέγιστη συχνότητα για την οοία δε χάνεται η εαφή µεταξύ των σωµάτων και Β. ( = 0.) β. Να ροσδιορίσετε την εξίσωση y = f(t, x) του αρµονικού κύµατος ου δη - µιουργείται αό την ταάντωση του συστήµατος των σωµάτων και Β. γ. Να ροσδιορίσετε τα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος ανάµεσα στο σύ - στηµα των σωµάτων και Β (σηµείο Ο) και στο τενεκεδάκι (σηµείο Κ) ου βρίσκονται σε συµφωνία φάσης και εκείνα ου βρίσκονται σε αντίθεση φάσης µε την ταάντωση των σωµάτων και Β. δ. α σηµεία Μ και Ν δεξιά αό το σηµείο αναφοράς Ο αέχουν µεταξύ τους αόσταση = 0,9 m. Να βρείτε τη µέγιστη αόσταση y MNmax στη διεύθυνση του άξονα των y στην οοία µορεί να βρεθούν. ε. Να βρείτε σε όσο χρόνο αό τη στιγµή και µετά ου φτάνει το κύµα στο σηµείο Ν θα γίνει y MN = y MNmax για ρώτη και για δεύτερη φορά. 53
Μηχανικά κύµατα η χρονική στιγµή t = s δηαδή: ο σηµείο ου βρίσκεται σε αόσταση x = αό το σηµείο αναφοράς Ο έχει y = 0 (και υ > 0). ο εριστρεφόµενο διάνυσµα του άτους της... του σηµείου αναφοράς Ο θα έχει εριστραφεί κατά φ = ω = = T = rad και θα έχει ταυτιστεί µε τον άξονα φάσης Ox. Εοµένως την t = T το σηµείο α- ναφοράς Ο έχει y = 0 και υ > 0. ο σηµείο µε x = + υστερεί σε φάση κατά αό το Ο, οότε θα βρίσκεται στη θέση y =. ο σηµείο µε x = + θα βρίσκε- ται στη θέση y = 0 µε υ < 0. ο σηµείο µε y = + 3 θα έχει y = +A, ενώ, όως είδαµε, το ση - µείο y = + έχει y = 0 και υ > 0. Με βάση αυτά, ροκύτει το διάγραµµα ου ακοουθεί: Χρονική στιγµή t =. α. Η εαφή µεταξύ των σωµάτων και Β «κινδυνεύει» να χαθεί όσο το σύ - στηµα τααντώνεται άνω αό τη θέ - ση ισορροίας του. ( είτε και το ρό - βηµα.7.) Σε µια τυχαία θέση µε αοµάκρυνση y έχουµε για το σώ µα Β µάζας m: ΣF = Dy N w = D m y N = mg mω ω=f y > N = mg f my. Για y = +A O η δύναµη εαφής Ν = Ν min, οότε: N min = mg f ma O. Για να µη χάνεται η εαφή, ρέει Ν min 0 ή mg f ma O 0 f ma O mg g f A O g ή f, A O g οότε f max = f max = 5 Hz. A O β. Η γενική µορφή της εξίσωσης του κύµατος είναι: y = t x ηµ( ) () Η συχνότητα f του κύµατος είναι η συχνότητα ταάντωσης της ηγής ου το δηµιουργεί, οότε f = f max f = 5 Hz και = = 0, s, f ενώ ω = f ω = 0 rad/s. ο κύµα φτάνει αό το σηµείο Ο στο σηµείο K σε χρόνο t, εοµένως 9
Λύσεις των ροβηµάτων η ταχύτητα µε την οοία διαδίδεται είναι υ = d υ = m/s. t ό τη θεµειώδη εξίσωση της κυυ µατικής έχουµε υ = f = f = 0, m. Eφαρµόζουµε την..ε.. για την ταάντωση ου κάνει το τενεκεδάκι τη χρονική στιγµή t. Έχουµε: K + U = Ε ο mυ + mω y = = mω υ + ω y = ω = 0,0 m. ντικαθιστούµε στη σχέση () και έχουµε y = t x 0,0ηµ( 0, ) 0, y = 0,0ηµ(5t,5x) (S.I.) γ. α σηµεία ου βρίσκονται σε συµφωνία φάσης µε το σηµείο αναφοράς Ο του κύ µα τος αέχουν αό αυτό αοστάσεις x = k, k = 0,,, 3,... Εειδή τα σηµεία αυτά είναι ανάµεσα στα σηµεία Ο και K, θα ισχύει: 0 x d 0 k 0 0,k 0 k 0 και k ακέραιος. Έτσι, οι ειτρετές τιµές για τον k είναι οι 0,,, 3,, 5,, 7, 8, 9 και 0. Για k = 0 ροκύτει: x = 0 = 0 0, = 0 (σηµείο Ο). Για k = ροκύτει: x = 0, x = 0, m. Για k = είναι x = 0, = 0,8 m, για k = 3 είναι x = 3 0, =, m, για k= είναι x= 0, x =, m, για k = 5 είναι x = m, για k = είναι x =, m, για k = 7 είναι x =,8 m, για k = 8 είναι x = 3, m, για k = 9 είναι x = 3, m και για k = 0 είναι x = m (σηµείο Κ). α σηµεία ου βρίσκονται σε αντίθεση φάσης µε το σηµείο αναφοράς Ο αέχουν αό αυτό: x = (k + ) µε k = 0,,, 3,... Έτσι θα έχουµε: 0 x d 0 (k + ) 0, 0 0,k + 0, 0, 0,k 3,8 0,5 k 9,5 και k ακέραιος. Έτσι, οι ειτρετές τιµές για τον k είναι k = 0,,, 3,, 5,, 7, 8 και 9. Για k = 0 είναι: x = ( 0 + ) 0, x = 0, m. Για k = είναι x = 3 0, = 0, m, για k = είναι x = m, για k = 3 είναι x =, m, για k = είναι x =,8 m, για k = 5 είναι x =, m, για k = είναι x =, m, για k = 7 εί ναι x=3 m, για k=8 είναι x=3,m και για k = 9 είναι x = 3,8 m. δ. Θα ροσδιορίσουµε τη διαφορά φά - σης µεταξύ των σηµείων Μ και Ν. Aόσταση 0, m διαφορά φάσης rad Aόσταση 0,9 m διαφορά φάσης φ 0, φ = 0,9 φ =,8 φ = 9 rad ή 0, φ = 8 + rad ή φ = + rad. Μια τυχαία χρονική στιγµή t τα εριστρεφόµενα διανύσµατα των σηµείων Μ και Ν θα µορούσαν να είναι τα ΟΜ και ΟΝ του αρακάτω σχήµατος 30
Μηχανικά κύµατα αντίστοιχα. Η ροβοή του ευθύγραµ- µου τµήµατος ΜΝ στον άξονα των y είναι η αόσταση y MN των σηµείων Μ και Ν στη διεύθυνση του άξονα των y τη στιγµή εκείνη. η στιγµή ου φτάνει το κύµα στο ση - µείο Ν το εριστρεφόµενο διάνυσµα του άτους της... του σηµείου Μ έχει διαγράψει γωνία φ = +, οότε βρίσκεται στη θέση ΟΜ, ενώ το εριστρεφόµενο διάνυσµα της... του σηµείου Ν τη στιγµή εκείνη βρίσκεται στη θέση ΟΝ. ( είτε το σχή µα.) Η αόσταση y MN θα γίνεται µέγιστη όοτε το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ γίνεται αράηο µε τον άξονα των y. το ΟΜ θα έχει έρθει στη θέση ΟΜ και το ΟΝ στη θέση ΟΝ. ό το ορθογώνιο τρίγωνο Μ O Ν έχουµε: M N = M N = y MNmax = = OM + ΟN = = A + A y MNmax = A. ε. Μέχρι να έρθει το διάνυσµα ΟΜ στη θέση ΟΜ, έχει διαγράψει γωνία φ = + = = 3 rad. ( είτε το σχήµα.) Όµως φ = ω t 3 t = t = 0,075 s. 0 η δεύτερη φορά ου το ευθύγραµ- µο τµήµα ΜΝ γίνεται αράηο µε τον άξονα των y το ΟΜ θα έχει έρ θει στη θέση ΟΜ, ενώ το ΟΝ στη θέ ση ΟΝ. Μέχρι να έρθει το ΟΜ στη θέ - ση ΟΜ, θα έχει διαγράψει τη γωνία φ 3 7 = + = rad. ( είτε το σχήµα.) ην ρώτη φορά ου θα συµβεί αυτό, Όµως φ = ω t 7 t = t = 0,75 s. 0 3
Aνάκαση ιάθαση.35. Οι κάθετες ευρές του ορθογώνιου και ισοσκεούς ρίσµατος ΒΓ έχουν µήκη (Β) = (Γ) = = 0 cm. Στην ευρά Β του ρίσµατος ροσίτει αό τον αέρα κάθετα η µονοχρωµατική ακτίνα φωτός () για την οοία το γυαί έχει δείκτη διάθασης n =. Να ροσδορίσετε αό οιο σηµείο του ρίσµατος θα εξέθει τεικά η ακτίνα. (Ο δείκτης διάθασης του αέρα είναι n α =.) Β. Στερεώνουµε µε κάοιον τρόο το ρίσµα στο άνω εεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού εατηρίου σταθεράς k µε τρόο ου η ευρά Β να διατηρείται συνεχώς κατακόρυφη, όως στο σχήµα. Σε ύψος h = 5 cm άνω αό τη θέση ισορροίας του συστήµατος εατήριο - ρίσµα βρίσκεται στερεωµένος ένας φακός έιζερ. Θέτουµε το σύστηµα εατήριο - ρίσµα σε κατακόρυφη... οικής ενέργειας Ε ο = J. η στιγµή ακριβώς ου, καθώς τα αντώνεται το ρίσµα, φτάνει στην άνω ακραία θέση του, ενεργοοιείται ο φακός έιζερ, οότε εκέµει µια ετή µονοχρωµατική φωτεινή ακτίνα () ου διαθώµενη στο ρίσµα εξέρχεται τεικά αό το µέσο της ευράς Γ. α. Να ροσδιορίσετε τον εριορισµό ου ρέει να ισχύει για την τιµή του δείκτη διάθασης n του υικού του ρίσµατος για τη µονοχρωµατική ακτινοβοία. β. Να υοογίσετε το άτος της... του ρίσµατος. (Θεωρήστε ότι η διέευση του φωτός µέσα αό το ρίσµα είναι στιγµιαία.) γ. Να υοογίσετε τη σταθερά k του εατηρίου. δ. Ο εάχιστος χρόνος ου ααιτείται, καθώς το ρίσµα τααντώνεται, ώστε το σηµείο του να διανύσει διάστηµα 0, m, είναι s. Να βρείτε τη 30 µάζα m του ρίσµατος. 7
Λύσεις των ροβηµάτων τους κάθετες µία ρος µία. Εοµένως = 5 o. Έχουµε ακόµα ότι: n ηµθ α crit = = n ηµθ crit = θ crit = 5 o. Η γωνία ρόστωσης = θ crit. Εο- µένως θα συµβεί οριακή ανάκαση, οότε η διαθώµενη ακτίνα θα κινηθεί αράηα ρος την υοτείνουσα ΒΓ του ρίσµατος και θα εξέθει αό το σηµείο Γ. Β. α. Εφόσον η µονοχρωµατική ακτίνα () εξέρχεται αό την ευρά Γ, στο σηµείο της ευράς ΒΓ ρο - κύτει οική ανάκαση.έτσι ισχύει: > θ crit ή θ crit < 5 o ηµθ crit < ηµ5 o.35 A. Η µονοχρωµατική ακτίνα () ροσίτει κάθετα στην ευρά Β του ρίσµατος, οότε δε διαθάται. Η γωνία ρόστωσης στο σηµείο της υοτείνουσας ΒΓ είναι ίση µε τη γωνία Β, γιατί έχουν τις ευρές n α n α = n < > n > n >, δηαδή n >. β. Η µονοχρωµατική ακτίνα () ε - ξέρχεται κάθετα αό το µέσο Μ της ευράς Γ. ( είτε και το σχή- µα.) Εοµένως είναι αράηη 70
νάκαση ιάθαση δ. νάµεσα σε δύο τυχαίες χρονικές στιγµές t και t + t το εριστρεφόµενο διάνυσµα της.a.. ου ραγµατοοιεί η ακµή η οοία αντιροσωεύει το ρίσµα, µετακινείται, για αράδειγµα, αό τη θέση ΟΡ στη θέση ΟΡ, όως φαί - νεται στο αρακάτω σχήµα. Η ροβοή του ευθύγραµµου τµήµατος Ρ Ρ = d στον άξονα y δίνει το διάστηµα s ου διανύει ο τααντωτής στο χρονικό διάστηµα t. ρος την ευρά Β. Σύµφωνα µε τη γεωµετρία, µια ευθεία ου διέρχεται αό το µέσο της µιας ευράς τριγώνου και είναι α ράηη ρος µια δεύτερη ευρά θα διέρχεται και αό το µέσο της τρίτης ευράς. ο σηµείο δηαδή εί - ναι το µέσο της υοτείνουσας ΒΓ του ορθογώνιου τριγώνου. Για τον ίδιο όγο, αφού µέσο της ΒΓ και Ο//Γ, το σηµείο Ο θα είναι το µέσο της κάθετης ευράς Β του τριγώνου. Η µονοχρωµατική ακτίνα οιόν ροσίτει στο µέσο Ο της κάθετης ευράς Β, οότε (Ο) = = 5 cm. ο άτος της... είναι η αόσταση d ανά- µεσα στη Θ.Ι. και στην άνω α - κραία θέση, οότε η... του ρίσµατος έχει άτος = d = = h = 0 cm ή = 0, m. γ. ό τη σχέση Ε ο = DA D=k > Ε ο = ka Ε k = ο k = 00 N/m. Ο χρόνος t = s είναι ο εάχι- 30 στος χρόνος ου ααιτείται καθώς το ρίσµα τααντώνεται, ώστε το σηµείο να διανύσει διάστηµα s = 0, m, δηαδή διάστηµα ίσο µε το άτος της συγκεκριµένης... Εοµένως ρόκειται για το µέγιστο διάστηµα ου µορεί να διανύσει το σηµείο καθώς το ρίσµα τααντώνεται στον χρόνο t = s. Θα ρέει δηαδή σε 30 αυτό το χρονικό διάστηµα η ροβοή του ευθύγραµµου τµήµατος Ρ Ρ άνω στον άξονα y να γίνει µέγιστη και αυτό συµβαίνει όταν το ευθύγραµµο τµήµα Ρ Ρ γίνεται αράηο στον άξονα y, όως φαίνεται και στα αρακάτω σχή- µατα. 7
Λύσεις των ροβηµάτων Στις εριτώσεις αυτές όµως (Ρ Ρ ) = = (Ρ Ρ ), οότε τα γραµµοσκιασµένα τρίγωνα Ρ Ο Ρ είναι ισόευρα. Έτσι: φ = rad. 3 ό τη σχέση φ = ω t φ 3 ω = ω = t 30 ω = 0 rad/s. κόµα, D = mω D=k > k k = mω m = ω m = kg. 7
Μηχανική στερεού σώµατος 3. Η κατακόρυφη τροχαία µάζας Μ = kg και ακτίνας R = 0,5 m του σχήµατος µορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω αό οριζόντιο άξονα ου διέρχεται αό το Ο κέντρο της. Στην αυάκωση ου διαθέτει η τροχαία έχει τυιχτεί αβαρές µη εκτατό νήµα µεγάου µήκους. Στη µία αό τις δύο εεύθερες άκρες του νήµατος είναι δεµένο ένα σώµα µάζας m = kg, ενώ στην άη άκρη είναι δεµένο ένα άο σώµα µάζας m = 0,5 kg. ο σώµα µά - ζας m ισορροεί ακουµώντας στο δάεδο, ενώ το νήµα στο οοίο είναι δεµένο είναι χααρό και διωµένο, µε τα συνοικά του «µόσικα» να έχουν (αν ξεδιωθούν) µήκος. Κρατάµε αρχικά το σύστηµα ακίνητο, µε το νήµα στο οοίο είναι δεµένο το σώµα µά - ζας m να είναι τεντωµένο. Κάοια χρονική στιγµή (t = 0) αφήνουµε εεύθερο το σύστηµα να κινηθεί. Εάχιστα ριν τεντωθεί το νήµα στο οοίο είναι δεµένο το σώµα µάζας m (χρονική στιγµή t ), ο ρυθµός µεταβοής της κινηdk τικής ενέργειας του σώµατος m έχει µέτρο =5 J/s. Να υοογίσετε: α. ο µήκος ου έχουν τα χααρά (τα µόσικα) του νήµατος στο οοίο είναι δεµένο το σώµα µάζας m. β. ο ήθος Ν των εριστροφών της τροχαίας αό τη χρονική στιγµή t = 0 ως τη χρονική στιγµή t. γ. η γωνιακή ταχύτητα ω της τροχαίας εάχιστα ριν τεντωθεί το νήµα. δ. η γωνιακή ταχύτητα ω της τροχαίας, καθώς και τις ταχύτητες των µαζών m και m αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος. ( Η ροή αδράνειας της τροχαίας ως ρος τον άξονα εριστροφής της δί νε- ται αό τη σχέση Ι= MR, η ειτάχυνση της βαρύτητας είναι g= 0 m/s και δίνεται ότι το νήµα δε γιστράει στο αυάκι της τροχαίας σε καµιά αό τις φάσεις του φαινοµένου.) 03
ριν ως αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος: L ριν = L µετά Ιω = mυr + Ιω MR ω = Μηχανική στερεού σώµατος = mυr + MR ω. Εειδή όµως το νήµα δε Σ γιστράει στην τροχαία, είναι υ = ω R, οότε: MR ω = mω R + MR ω Μω ω = ω = 0 rad/s. m + M ε. ό τη σχέση υ = ω R υ = 0 0, υ = m/s. 3. α. Μέχρι να ξεδιωθεί και να τεντωθεί το νήµα () (δείτε το σχήµα ), η κίνηση του σώµατος µάζας m δεν εηρεάζεται αό το σώµα µάζας m. Εφαρµόζουµε τον θεµειώδη νόµο της µηχανικής για την κίνηση της µά - ζας m. Εάχιστα ριν τεντωθεί το νήµα () Σχήµα 97
Λύσεις των ροβηµάτων Σχήµα Εάχιστα µετά το τέντωµα του νήµατος () ΣF = m α m g = m α = m g m α () ό τον θεµειώδη νόµο της στροφικής κίνησης για την τροχαία έ - χουµε: Στ = Ια γ TR = MR α γ = MRα γ. Εειδή το σκοινί δε γιστράει στην τροχαία, ισχύει α = α ε = α γ R, οό - τε η ροηγούµενη σχέση γίνεται: T = Μα () ό τις σχέσεις () και () έχουµε: m g m α = Μα Μ ( m + ) α = m g m g α = α = 5 m/s. M + m Για τον ρυθµό της µεταβοής της κινητικής ενέργειας της µάζας m έ - χουµε: dk dw ΣF ΣF dy = = dk = ΣF υ dk = (m g )υ () dk = m α υ 5 = 5 υ υ = 5 m/s. Όµως υ = α t t = s. Στη χρονική διάρκεια αό t = 0 s ως t = s τα χααρά (µόσικα) του νή - µατος () τυίχτηκαν στο αυάκι της τροχαίας χωρίς οίσθηση, εοµένως το µήκος αυτών των διωµένων χααρών είναι όσο και το διάστηµα y ου διάνυσε η µάζα m στον χρόνο t. Εοµένως: = y = α t =,5 m. β. Σε µια εριστροφή της τροχαίας τυίγεται γύρω της νήµα µήκους = = R m. Εάχιστα ριν τεντωθεί το νή µα (), θα του έχει άρει η τροχαία όα τα χααρά, οότε θα έχει τυιχτεί γύρω της νήµα µήκους =,5 m. Για να γίνει αυτό, η τροχαία θα έχει κά νει N = = Ν =,5 R 0,5 5 Ν = εριστροφές. γ. ό t = 0 s ως t = s η γωνιακή ειτάχυνση της τροχαίας έχει µέτρο α α 5 γ = α γ = R 0,5 α γ = 0 rad/s. Εοµένως η γωνιακή της ταχύτητα ω τη στιγµή t θα είναι: ω = α γ t ω = 0 rad/s. δ. Εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της στροφορµής για το σύστηµα τροχαία - σώµα m - σώµα m αό εάχιστα ριν ως αµέσως µετά το τέντω- µα του νήµατος (). Έχουµε: 98
Μηχανική στερεού σώµατος Lριν = L µετά Ιω + m υ R = = Iω + m υ R + m υ R. ά εειδή το νήµα δε γιστράει στο αυάκι της τροχαίας, ισχύει: υ = ω R και υ = ω R, εοµένως: υ = υ = υ. Έτσι έχουµε: MR ω + m υ R = = MR ω + m υr + m υr MRω + m υ = υ=ω = R MRω + m υ + m υ > MRω + m υ = = MRω + m ω R + m ω R ω = rad/s. κόµα: υ = υ = υ = ω R υ = υ = m/s. 3.5 A. α. Για την εριστροφική κίνηση του δίσκου () έχουµε: Στ = Ια γ TR = MR α γ = MRα γ (α) Για την εριστροφική κίνηση του δίσκου (): 99
Κρούσεις και φαινόµενο Doopler.5 A. Tο σώµα του σχήµατος µάζας m = 0, kg αρχικά ηρεµεί στο είο οριζόντιο είεδο. ο βή - µα µάζας m β = 0, kg κινείται µε τα χύτητα µέτρου υ β = 00 m/s υό γωνία φ = 0 ο ως ρος την οριζόντια διεύθυνση. ο βήµα συ γκρούεται αστικά και συσσωµατώνεται µε το σώµα.. Να υοογίσετε: α. ην ταχύτητα του συσσωµατώµατος βήµα - σώµα, µάζας m σ, αµέσως µετά την κρούση. β. o εί τοις εκατό οσοστό της ενέργειας του βήµατος ου έγινε θερ- µότητα κατά την κρούση. Β. Λίγο µετά, το συσσωµάτωµα m σ, καθώς κινείται στο είο οριζόντιο είεδο, συγκρούεται µε τη ράβδο του σχήµατος µάζας M = kg και µή - κους = m ου αρχικά ηρεµεί σε κατακόρυφο είεδο. Η ράβδος µορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω αό ακόνητο οριζόντιο άξονα ου διέρχεται αό το άκρο της Ο. Μετά την κρούση το συσσωµάτωµα m σ ακινητοοιείται. Να υοογίσετε: α. Tη γωνιακή ταχύτητα ω 0 της ράβδου αµέσως µετά την κρούση. 7
o Kεφάαιο: Κρούσεις και φαινόµενο Doopler β. Tη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, όταν έρθει σε οριζόντια θέση. ( Η ροή αδράνειας της ράβδου ως ρος άξονα ου διέρχεται αό το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή δίνεται αό τη σχέση I cm = M και ακόµα g = 0 m/s.) Γ. Μόις έρθει η ράβδος στην οριζόντια θέση, συγκρούεται µε το σώµα Β µάζας m = kg, το οοίο αρχικά ηρεµεί στο κάτω άκρο του κατακόρυφου εατηρίου σταθεράς k = 900 N/m ου η άνω άκρη του είναι στερεωµένη ακόνητα. µέσως µετά την κρούση η ράβδος ακινητοοιείται στιγµιαία. Να υοογίσετε: α. η γωνιακή ειτάχυνση α γ της ράβδου αµέσως µετά την κρούση. β. ην ταχύτητα υ του σώµατος Β αµέσως µετά την κρούση. γ. ο άτος της... ου εκτεεί η µάζα m µετά την κρούση. δ. ο εάχιστο χρονικό διάστηµα t min στο οοίο, καθώς το σώµα Β τα - αντώνεται, διανύει διάστηµα s = A. 8
Λύσεις των ροβηµάτων ην ίδια στιγµή το σώµα θα αέχει αό τη Θ.Φ.Μ. κατά x = υ t x = x = 0,9 m. 0 Η αόσταση d µεταξύ των σωµάτων και Β τη στιγµή αυτή θα είναι: d = x + x = 0,9 m + 0,5 m d =,5 m..5 A. α. Στον κατακόρυφο άξονα δεν έχου- µε καµιά κίνηση, οότε εφαρµόζου- µε την..ο. για την κρούση στην οριζόντια διεύθυνση κίνησης. Έχουµε: pριν = p µετά m β υ βx + 0 = (m + m β )V m β υ β συν0 ο = (m + m β )V V = 0 m/s. K σ Κ β β. x% = 00% = Κ β 30
Κρούσεις και φαινόµενο Doopler (m +m β )V m β υ β = 00% m β υ β x% = 95%. Β. α. Εφαρµόζουµε την..σροφ. για την κρούση του συσσωµατώµατος και της ράβδου: Lριν = L µετά m σ V + 0 = = 0 + I Ο ω 0. E µηχαρχ = Ε µηχτε Mg + M ω 0 = 3 = Mg + M ω 3 g + ω 0 = g + ω 3g + ω 0 = g + ω ω 0 3g ω = ω = rad/s. Γ. α. µέσως µετά την κρούση η ράβδος ακινητοοιείται στιγµαία. Στην ορι ζό - ντια αυτή θέση έχουµε: ό το θεώρηµα του Steiner έχουµε: I Ο = I cm + Md I Ο = M + M( ) Ι Ο = M I Ο = kg m. 3 3 Έτσι έχουµε: m σ V = M ω 0 3 3m σ V ω 0 = ω 0 = 5 rad/s. M β. Εφαρµόζουµε την..μ.ε. για την κίνηση της ράβδου: Στ Ο = Ι Ο α γ Mg = M α γ 3 3g α γ = α γ = 5 rad/s. β. Εφαρµόζουµε την..σροφ. για την κρούση µεταξύ της ράβδου και της µάζας m : I Ο ω + 0 = m υ + 0 Ι Ο ω υ = υ = 9,3 m/s. m 3
Λύσεις των ροβηµάτων γ. Η κρούση µεταξύ της ράβδου και του συστήµατος Β γίνεται στη Θ.Ι. της... ου ακοουθεί. Εοµένως η ταχύτητα υ είναι η µέγιστη ταχύτητα υ max της... Έτσι έχουµε: υ k =ω υ = =0,3 m. m δ. η χρονική στιγµή t = 0 ου ξεκινάει η... του σώµατος Β, το σώµα βρίσκεται στη θέση x = 0 µε υ > 0 και το εριστρεφόµενο διάνυσµα της... είναι στη θέση ΟΡ. ερίτωση είναι ισόευρο, οότε: ΚO Λ = φ = rad. 3 ο εριστρεφόµενο διάνυσµα διαγρά φει γωνία φ = rad, ενώ ο τααντω- 3 τής διανύει αόσταση (Κ Λ ) =. Έχουµε: Γωνία rad διαγράφεται σε χρόνο T s Γωνία rad διαγράφεται σε χρόνο t 3 min t min = t min = s. 3 m ά = = s. k 5 Έτσι, t min = s. 90 Σε χρόνο t= T s το σώµα θα είναι στη θέση x = +A, το εριστρεφόµενο διάνυσµα στη θέση ΟΡ και το σώµα θα έχει διανύσει διάστηµα s = A. Όµως ο χρόνος t= T s δεν είναι ο εάχιστος χρόνος στον οοίο το σώµα Β διανύει διάστηµα ίσο µε. Ο εάχιστος χρόνος t min στον οοίο το σώµα διανύει διάστηµα s = A θα είναι όταν το εριστρεφόµενο διάνυσµα άει αό τη θέση ΟΚ στη θέση ΟΛ και το ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ, ου είναι αράηο στον άξονα Oy, έχει µήκος (ΚΛ) =. ( είτε το σχήµα.) ο τρίγωνο ΟΚ Λ σε αυτή την 3