Ενεργά και Παθητικά Φίλτρα Θεωρία, Σύνθεση και Σχεδίαση

Ηρακλής Γ. Δηµόπουλος Διπλ. Ηλεκτρολόγος-Τηλεπικοινωνιακός Μηχανικός ΕΜΠ D.I.C., Ph.D (London University, Imperial College) Καθηγητής Τµ Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Πειραιά Ενεργά και Παθητικά Φίλτρα Θεωρία, Σύνθεση και Σχεδίαση Σηµειώσεις για το µάθηµα "Ηλεκτρονικά Φίλτρα" του Ε εξαµήνου του Τµ. Ηλεκτρονικής του ΤΕΙ Πειραιά Νοέµβριος 008

(c) 998-008 Ηρ. Γ. Δηµόπουλος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για να αποτελέσουν το βασικό εκπαιδευτικό βοήθηµα στο µάθηµα "Ηλεκτρονικά Φίλτρα" του Ε εξαµήνου του Τµ. Ηλεκτρονικής του ΤΕΙ Πειραιά. Απαγορεύεται η µε οποιονδήποτε τρόπο και σε οποιαδήποτε µορφή πώλησή τους καθώς και η χρήση τους για κερδοσκοπικούς σκοπούς. Απαγορεύεται επίσης η χρήση αποσπασµάτων τους σε άλλα κείµενα χωρίς την σχετική άδεια και αναφορά. Απαγορεύεται τέλος η διακίνησή τους από άλλους ιστότοπους πέραν του www.teipir.info. Αντίθετα, ενθαρρύνεται η καθαρά εκπαιδευτική χρήση των σηµειώσεων στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες Δηµόσιων Εκπαιδευτικών Ιδρυµάτων, ως έχουν χωρίς επεµβάσεις και αλλαγές και υπό την προϋπόθεση ότι θα ζητείται γραπτή άδεια από τον συγγραφέα.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΕΥΧΟΥΣ Περιεχόµενα τεύχους (Ενότητες 0-04 και Παράρτηµα Α) 0: Μια γενική εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Φίλτρα. Συναρτήσεις κέρδους και εξασθένησης..... Ιδανική µετάδοση χωρίς παραµόρφωση....3.3 Ιδανικά και πραγµατικά φίλτρα....5.3. Πραγµατικά Βαθυπερατά φίλτρα....6.3. Υψιπερατά φίλτρα (ΥΠ, Highpass)....9.3.3 Ζωνοδιαβατά φίλτρα (ΖΔ, Bandpass)....9.3.4 Φίλτρα Aποκοπής Zώνης (AZ, Bandreject, Bandstop, Band elimination ή Notch)....9.4 Τεχνολογίες υλοποίησης φίλτρων....0.5 Σχεδιάζοντας ένα φίλτρο....3.5. Κλιµάκωση και Κανονικοποίηση: Έξυπνη απλούστευση....4.5. Προσέγγιση: Η ψυχή της σύνθεσης....5.6 Κλιµακώσεις και Κανονικοποίηση....0.6. Κλιµάκωση αντίστασης (impedance scaling)....0.6. Κλιµάκωση συχνότητος (frequency scaling).....6.3 Κανονικοποίηση (Normalization).....7 Τάξη κυκλώµατος....7 Βιβλιογραφικές αναφορές και προτεινόµενη βιβλιογραφία για περαιτέρω µελέτη....9 0: Οι Τελεστικοί Ενισχυτές. Εισαγωγή..... Μοντέλα τελεστικών ενισχυτών...... Τελεστικοί ενισχυτές voltage-mode...... Τελεστικοί ενισχυτές current-mode....6.3 Βασικά Κυκλώµατα µε Τελεστικούς Ενισχυτές.....3. Ο ακολουθητής τάσης (voltage follower ή buffer).....3. Κυκλώµατα µε αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης.....3.. Γενικός αντιστρεπτικός ενισχυτής τάσης....5.3.. Ο αντιστρεπτικός ολοκληρωτής Miller....5.3..3 Ολοκληρωτές µε απώλειες (lossy integrators)....6.3..4 Ο αντιστρεπτικός διαφοριστής....7.3..5 Ο αφαιρέτης....8.3..6 Αντιστρεπτικά κυκλώµατα ης τάξης....8.3.3 Κυκλώµατα µε µη αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης....0.3.3. Ο αρνητικός γραµµικός αντιστάτης.....3.3. Κυκλώµατα ης τάξης µε µη αντιστρεπτικό ενισχυτή....3.3.3.3 Παθητικά κυκλώµατα ης τάξης....4.4 Ολοκληρωτές: Μια δεύτερη µατιά....5.4. Αντιστρεπτικοί ολοκληρωτές....6.4. Μη αντιστρεπτικοί ολοκληρωτές....30.5 Ατέλειες των Πραγµατικών Τελεστικών Ενισχυτών....3.5. Το πεπερασµένο κέρδος....3.5. Άλλες ατέλειες....3.5.3 Γραµµική και µη γραµµική λειτουργία ΤΕ voltage-mode....33 Βιβλιογραφικές αναφορές και προτεινόµενη βιβλιογραφία για περαιτέρω µελέτη....35 03: Συναρτήσεις και κυκλώµατα ης τάξης 3. Εισαγωγή... 3. 3. Συναρτήσεις µεταφοράς ης τάξης... 3.3 3.. Βαθυπερατή (ΒΠ) συνάρτηση µεταφοράς ης τάξης... 3.3 3.. Υψιπερατή (ΥΠ) συνάρτηση µεταφοράς ης τάξης... 3.6 3..3 Ζωνοδιαβατή (ΖΔ) συνάρτηση µεταφοράς ης τάξης... 3.8 3..4 Συνάρτηση αποκοπης ζώνης ης τάξης... 3.9 3..5 Ολοπερατή συνάρτηση ης τάξης... 3. 3.3 Ενεργά-RC κυκλώµατα ης τάξης... 3. 3.3. Κλιµάκωση αντίστασης και συχνότητας... 3. 3.3. Ο µετασχηµατισµός RC-CR ή ΒΠ-ΥΠ... 3.4 3.4 Κυκλώµατα Sallen-Key... 3.5 3.4. Βαθυπερατό Φίλτρο ης τάξης Sallen and Key... 3.5 3.4. Ενεργό ΥΠ φίλτρο ης τάξης Sallen and Key... 3.8 3.4.3 Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key... 3.8

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ 3.5 Κυλώµατα Δεληγιάννη... 3.0 3.5. Το γενικό διττετράγωνο κύκλωµα Δεληγιάννη... 3. 3.5. Το κύκλωµα Friend... 3. 3.6 Κυκλώµατα πολλαπλής ανάδρασης... 3.3 3.6. Βαθυπερατά φίλτρα ης τάξης πολλαπλής ανάδρασης... 3.3 3.6. Υψιπερατό φίλτρο ης τάξης πολλαπλής ανάδρασης... 3.3 3.6.3 Ζωνοδιαβατό φίλτρο ης τάξης πολλαπλής ανάδρασης... 3.4 3.6.4 Φίλτρο αποκοπής ζώνης ης τάξης τύπου notch πολλαπλής ανάδρασης... 3.5 3.7 Κυκλώµατα µε CGIC... 3.7 3.7. Το διττετράγωνο κύκλωµα CGIC... 3.7 3.7. Το γενικευµένο CGIC διττετράγωνο κύκλωµα... 3.9 3.7.. Βαθυπερατά φίλτρα CGIC... 3.30 3.7.. Υψιπερατά φίλτρα CGIC... 3.3 3.7..3 Ζωνοδιαβατά φίλτρα CGIC... 3.3 3.7..4 Φίλτρα αποκοπής ζώνης CGIC... 3.33 3.7..5 Ολοπερατό φίλτρο CGIC... 3.34 3.8 Κυκλώµατα 3 τελεστικών ενισχυτών... 3.35 3.8. Το κύκλωµα Tow-Thomas... 3.35 3.8. Το κύκλωµα KHN... 3.39 3.8.3 Το παγκόσµιο (universal) κύκλωµα... 3.40 3.8.4 Το διττετράγωνο κύκλωµα CGIC 3 Τελεστικών Ενισχυτών... 3.43 3.9 Κύκλωµα Bainter... 3.45 3.0 Δηµιουργία µηδενικών... 3.45 ΠΙΝΑΚΑΣ 3.: Ενεργά-RC κυκλώµατα ης τάξης... 3.48 Βιβλιογραφικές αναφορές και προτεινόµενη βιβλιογραφία για περαιτέρω µελέτη... 3.5 04: Σχεδίαση φίλτρων µε ολοπολικές προσεγγίσεις Butterworth και Chebyshev 4. Προδιαγραφές φίλτρων και προσεγγίσεις... 4. 4. Η προσέγγιση Butterworth... 4.4 4.. Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών φίλτρων Butterworth... 4. 4.. Συναρτήσεις µεταφοράς προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Butterworth... 4.4 4.3 Η προσέγγιση Chebyshev... 4. 4.3. Πολυώνυµα Chebyshev... 4. 4.3. Η προσέγγιση κανονικοποιηµένων ΒΠ προδιαγραφών µε πολυώνυµα Chebyshev... 4.3 4.3.3 Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev... 4.3 Βιβλιογραφικές αναφορές και προτεινόµενη βιβλιογραφία για περαιτέρω µελέτη... 4.39 Παράρτηµα Α: Μερικά µαθηµατικά για την σύνθεση φίλτρων Α. Πολυώνυµα του s... α. Α.. Αρτιο και περιττό µέρος πολυωνύµου... α.4 Α.. Το πολυώνυµο P(-s)... α.4 Α. Πολυώνυµα Hurwitz... α.5 Η ιδιότητα του απλού συνεχούς κλάσµατος... α.5 Α.3 Αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα - Κριτήριο Routh... α.9 Η δοκιµή Routh... α.0 H Δοκιµή Hurwitz... α. Α.4 Ρητές Συναρτήσεις... α.3 Α.5 Ελεγχος του προσήµου του πραγµατικού µέρους ρητής συνάρτησης - Θεώρηµα Sturm... α.5 Α.6 Ανάκτηση πολυωνύµου P(s) από το µέτρο του *Ρ(jω)*... α.8 Α.7 Ανάλυση ρητών συναρτήσεων σε µερικά κλάσµατα... α. Α.7. Υπολογισµός των υπολοίπων των απλών πόλων... α.3 Α.7. Υπολογισµός υπολοίπων πολλαπλών πόλων... α.3 Α.7.3 Υπολογισµός υπόλοιπων µιγαδικού ζεύγους πόλων... α.5 Α.7.4 Μια ιδιότητα των υπολοίπων... α.6 Α.8 Στοιχειώδεις συναρτήσεις µιγαδικής µεταβλητής... α.8 Α.8. Η λογαριθµική συνάρτηση µιγαδικής µεταβλητής... α.8 Α.8. Τριγωνοµετρικές και Υπερβολικές συναρτήσεις µιγαδικής µεταβλητής... α.8 Α.9 Θετικές Πραγµατικές Συναρτήσεις... α.33 Α.9. Βασικός ορισµός... α.33 Α.9. Ορισµός II ΘΠ συναρτήσεων... α.34 Α.9.3 Ορισµός III ΘΠ συναρτήσεων... α.37 Α.0 Πολυώνυµα Chebyshev... α.4 Βιβλιογραφικές αναφορές και προτεινόµενη βιβλιογραφία για περαιτέρω µελέτη... α.47

Ενότητα 0 Μια γενική εισαγωγή στα Ηλεκτρονικά Φίλτρα. Συναρτήσεις κέρδους και εξασθένησης Το µπλοκ του σχήµατος. παριστάνει ένα ηλεκτρικό κύκλωµα στο πεδίο-s, µε διέγερση την τάση Ε(s) και απόκριση την V (s). Στην περίπτωση αυτή η απόκριση πλάτους τάσης G(ω) ορίζεται ως το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς τάσης H(s) V (s) για s=jω: E(s) ΣΧΗΜΑ. V G(ω) H(jω) (jω) /0 E(jω) /0 Συχνά η απόκριση πλάτους G(ω) αναφέρεται και ως συνάρτηση απλού κέρδους ή ακόµα και ως συνάρτηση κέρδους. Η αντίστοιχη συνάρτηση λογαριθµικού κέρδους τάσης G db (ω) ορίζεται ως G db (ω)0log G(ω) 0log G db (ω)0log G(ω) 0log A db (ω)0log *E(jω)* *V (jω)* 0log *V (jω)* *E(jω)* Τόσον η G(ω), όσο και η G db (ω) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του ω. Από τους παραπάνω ορισµούς προκύπτει ότι το απλό κέρδος εκφράζεται πάντοτε µε θετικό αριθµό ενώ V το λογαριθµικό κέρδος µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα µε το αν το απλό κέρδος (jω) είναι /0 E(jω) /0 µεγαλύτερο ή µικρότερο της µονάδας. Στο σηµείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι το πρόσηµο του λογαριθµικού κέρδους σε db δεν είναι αυτό που καθορίζει το αν η εκφραζόµενη ποσότητα είναι "κέρδος" ή "εξασθένηση". Αν µιλάµε για κέρδος ή εξασθένηση δεν εξαρτάται από το πρόσηµο αλλά από τον ορισµό του µεγέθους µε το οποίο ασχολούµεθα. Παραπάνω ορίσαµε το λογαριθµικό κέρδος ως *V (jω)* *E(jω)* µε το µέγεθος εξόδου στον αριθµητή, ενώ η αντίστοιχη εξασθένηση ορίζεται µε το µέγεθος εξόδου στον παρονοµαστή ως G(ω) &G db (ω) και είναι πάντα αντίθετη από το λογαριθµικό κέρδος. Όπως το λογαριθµικό κέρδος παίρνει θετικές και αρνητικές τιµές, έτσι και η εξασθένηση παίρνει και αυτή θετικές και αρνητικές τιµές. Αρνητική τιµή λογαριθµικού κέρδους τάσης σε µια συχνότητα σηµαίνει απλά ότι η τάση εξόδου είναι µικρότερη από την τάση εισόδου και εποµένως ο λόγος V /E< και στην συχνότητα αυτή η εξασθένηση είναι θετική. Γίνεται κατανοητό ότι το διάγραµµα του σχήµατος., µε µόνη ένδειξη "db" στον κατακόρυφο άξονα, είναι χωρίς νόηµα αν δεν δηλωθεί ρητά ποιό µέγεθος παριστάνεται. (db) (db) (db) ΣΧΗΜΑ..

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) Αν ο κατακόρυφος άξονας είναι κέρδος τάσης, η καµπύλη παριστάνει ένα τυπικό φίλτρο διέλευσης χαµηλών συχνοτήτων. Αν ο κατακόρυφος άξονας είναι εξασθένηση, τότε η καµπύλη παριστάνει ένα φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτων! Υπενθυµίζεται ότι τόσον η G(ω), όσο και οι G db (ω) και Α db (ω) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του ω και σηµειώνεται ότι η εξασθένηση Α db (ω) έχει υπολογιστικό πρόβληµα και πρόβληµα παράστασης, στις συχνότητες ω Ζ που µηδενίζεται η έξοδος (µηδενικά ± jω Z της Η(s) στον jω-άξονα, µηδενικά µετάδοσης). ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Το κύκλωµα του σχήµατος είναι ένα φίλτρο διέλευσης χαµηλών συχνοτήτων και εύκολα υπολογίζεται η συνάρτηση µεταφοράς του (επιβεβαιώστε την!) R H(s) L (s L %) s 3 (L %L)L % s (R s %R L )(L%L ) % s(l%r s R L ) %R s %R L Για R s =R L =, L=.89, L =0.094 και =0.937 η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: H(s) G(ω) H(jω) 0.0739s % 4.55506s 3 % 4.054s % 5.955s % Η καµπύλη απόκρισης πλάτους (απλού κέρδους) είναι η γραφική παράσταση του µέτρου της H(s) για s=jω. Εποµένως αντικαθιστούµε στην H(s) το s µε jω και παίρνουµε το µέτρο: &0.0739ω &4.054ω %jω(5.955&4.555ω ) & 0.0739ω (& 4.054ω ) % ω (5.955& 4.555ω ) Είναι προφανές ότι G(0)=0.5 ενώ όταν το ω τείνει στο άπειρο η G(ω) τείνει στο µηδέν. Είναι επίσης προφανές ότι για ω=6.04, η G(ω) µηδενίζεται αφού µηδενίζεται ο αριθµητής. Η γραφική παράσταση της G(ω) θα γίνει σε ηµιλογαριθµικό χαρτί τριών κύκλων από ω=0. έως ω=00. Καµπύλη απλού κέρδους Ο µηδενισµός για ω=6.04 δεν φαίνεται καν σε αυτή την παράσταση. Αν όµως παραστήσουµε γραφικά το λογαριθµικό κέρδος,g db (ω)=0logg(ω) τα πράγµατα γίνονται πιο σαφή:.

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Καµπύλη λογαριθµικού κέρδους Να γιατί χρησιµοποιούµε το λογαριθµικό κέρδος σε db! Η εξασθένηση τάσης είναι φυσικά α(ω) &0logG(ω) &0log & 0.0739ω (& 4.054ω ) % ω (5.955& 4.555ω ) Το επόµενο σχήµα δείχνει την γραφική παράσταση της εξασθένησης. Καµπύλη εξασθένησης. Ιδανική µετάδοση χωρίς παραµόρφωση Όταν το απλό κέρδος G(ω)=*Η(jω)* ενός κυκλώµατος δεν παραµένει σταθερό για όλες τις συχνότητες ενδιαφέροντος αλλά εξαρτάται από την συχνότητα, οι διάφορες συχνότητες που συνθέτουν την διέγερση (Fourier) περνάνε µε διαφορετικό κέρδος, µε αποτέλεσµα η χρονική απόκριση να διαφέρει από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση πλάτους. Οταν η απόκριση φάσης ενός κυκλώµατος, δηλ. η φ(ω)=ëη(jω) δεν είναι γραµµική συναρτήσει της συχνότητος, οι διάφορες συχνότητες που περιέχει η διέγερση περνάνε µε διαφορετική καθυστέρηση µε αποτέλεσµα η χρονική απόκριση να είναι διαφορετική από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση φάσης. Οταν η χρονική απόκριση y(t) ενός συστήµατος µε διέγερση x(t) είναι της µορφής.3 y(t)ax(t&t o ), το σύστηµα δηλ. εισάγει µόνον ένα ανεξάρτητο της συχνότητος κέρδος A και µια ανεξάρτητη της συχνότητος (σταθερή) καθυστέρηση t o, λέµε ότι έχουµε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση ή ιδανική µετάδοση. Στην

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, η απόκριση είναι της ίδιας µορφής µε την διέγερση, απλά πολλαπλασιασµένη µε Α, µετατοπισµένη προς τα δεξιά κατά t o, τον χρόνο δηλ. που χρειάζεται το σήµα για να περάσει από το σύστηµα. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται καθυστέρηση και για κάθε συχνότητα καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier των δύο µερών της σχέσης εισόδου-εξόδου y(t)ax(t&t o ) του κυκλώµατος έχουµε: Y(jω)AX(jω)e &jωt o (βλέπε π.χ. []) και εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος που υλοποιεί µετάδοση χωρίς παραµόρφωση είναι: H(jω) Y(jω) X(jω) Ae&jωt o µε απόκριση πλάτους (κέρδος) G(ω) H(jω) A και απόκριση φάσης φ(ω)ëh(jω)&ωt o Η καθυστέρηση οµάδος (group delay) D(ω), είναι η χρονική καθυστέρηση που εισάγει το σύστηµα και ορίζεται ως: D(ω)& d dω φ(ω) (sec) Στην συγκεκριµένη περίπτωση συστήµατος µε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, η καθυστέρηση οµάδος είναι: D(ω)& d dω φ(ω)& d dω [&ωt o ]t o (sec) Για να εξασφαλίζει εποµένως ένα κύκλωµα µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, πρέπει να έχει ανεξάρτητο της συχνότητας κέρδος και γραµµική φάση (σταθερή καθυστέρηση). Οι προϋποθέσεις αυτές φαίνονται παραστατικά στο σχήµα.3. ΣΧΗΜΑ.3: Σύστηµα µετάδοσης χωρίς παραµόρφωση Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ονοµάζεται ένα κύκλωµα µε συνάρτηση µεταφοράς H(s), του οποίου η απόκριση πλάτους είναι *Η(jω)*= για *ω*#ω C και *Η(jω)*=0 για *ω*>ω C η δε απόκριση φάσης είναι γραµµική, δηλ.της µορφής ËΗ(jω)= φ(ω)= -ωt o. Η γραµµική φάση εξασφαλίζει ότι όλες οι συχνότητες περνούν από το σύστηµα µε την ίδια καθυστέρηση t o. H συχνότητα ω C >0 ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής. Μια τέτοια συνάρτηση µεταφοράς ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου επιτρέπει στις συχνότητες τις µικρότερες της συχνότητος αποκοπής ω C να φτάνουν στην έξοδο µε αµετάβλητο πλάτος, ενώ αποκόπτει εντελώς τις µεγαλύτερες. ΣΧΗΜΑ.4 Το σχήµα.4 δείχνει τα χαρακτηριστικά του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου, το οποίο θα επιθυµούσαµε να µπορεί να υλοποιείται από τα ηλεκτρονικά φίλτρα, όταν θέλουµε να αποκόψουµε τις υψηλότερες της.4

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ συχνότητος αποκοπής αρµονικές ενός σήµατος. Στη συνέχεια όµως αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο φίλτρο δεν είναι πραγµατοποιήσιµο. Η συνάρτηση µεταφοράς µε τα παραπάνω χαρακτηριστικά δεν είναι άλλη από την H(jω) e &jωt o για ω #ω c 0 για ω >ω c Η κρουστική απόκριση του συστήµατος µε την παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς, υπολογίζεται παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της Η(jω): h(t) π ω C π 4 H(jω)e jωt dω H(jω) e &jωto e jωt dω e jω(t&to) dω π π &ω C &ω C sinω C (t&t o ) f (t&t o )ω C sinc[f C (t&t o )] όπου f C ω C C π &4 ω C ω C (.) Η παράσταση της κρουστικής απόκρισης h(t)f C sinc[f C (t&t o )] του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου δίνεται στο σχήµα.5α. Σχετικά µε την sinc(x) δείτε π.χ. στο []. ΣΧΗΜΑ.5 Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι ενώ η διέγερση είναι µηδενική για t < 0 και η κρουστική δ(t) εφαρµόζεται την χρονική στιγµή t = 0, υπάρχει απόκριση για t < 0, πριν δηλ. εφαρµοστεί η διέγερση! Αυτό κάνει το σύστηµα µη αιτιοκρατικό (non causal), δηλ. µη πραγµατοποιήσιµο αφού µπορεί και προβλέπει το µέλλον. Το ιδανικό εποµένως βαθυπερατό φίλτρο δεν µπορεί να υπάρχει στην πράξη. Παρόµοια συµπεράσµατα περί µη πραγµατοποιησιµότητος του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου µπορούν να αποδειχθούν και για τις άλλες κατηγορίες ιδανικών φίλτρων, τα υψιπερατά, ζωνοδιαβατά κ.λπ.. Μια δεύτερη παρατήρηση είναι ότι όταν η συχνότητα αποκοπής f C τείνει στο άπειρο, η διάρκεια του κυρίως λοβού της κρουστικής απόκρισης τείνει στο µηδέν και το µέγιστο της κρουστικής απόκρισης τείνει στο άπειρο. Στην οριακή αυτή περίπτωση, η κρουστική απόκριση του φίλτρου γίνεται ένα καθυστερηµένο κρουστικό σήµα δ(t-t ο ), σχήµα.5β, που µπορεί να είναι απόκριση αιτιοκρατικού συστήµατος και εποµένως ένα τέτοιο φίλτρο, που περνάει όλες τις συχνότητες (αφού f C τείνει στο άπειρο) µε σταθερό κέρδος εισάγοντας απλώς µιά σταθερή καθυστέρηση t ο, είναι πραγµατοποιήσιµο (ιδανικό ολοπερατό, all-pass)..3 Ιδανικά και πραγµατικά φίλτρα Ένα ηλεκτρονικό φίλτρο παρεµβάλλεται µεταξύ δύο βαθµίδων ενός ηλεκτρονικού συστήµατος µε σκοπό να ελέγξει την ισχύ που µεταφέρεται από την πρώτη βαθµίδα στην δεύτερη, µε ένα τρόπο που εξαρτάται από την συχνότητα. Με το φίλτρο δηλ. µπορούµε να οδηγούµε µόνον τις επιθυµητές συχνότητες στην επόµενη βαθµίδα µε κάποια µικρή εξασθένηση, ενώ τις υπόλοιπες µε τόσο µεγαλύτερη εξασθένηση, που να θεωρείται ότι δεν περνούν. Συνήθως παριστάνουµε την προηγούµενη του φίλτρου βαθµίδα µε το ισοδύναµο Thevenin, το οποίο.5

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) αποτελεί την "πηγή". Παριστάνοντας τις επόµενες του φίλτρου βαθµίδες µε το ισοδύναµο Thevenin, καταλήγουµε σε αυτό που το φίλτρο "βλέπει" ως φορτίο. Η θεώρηση αυτή φαίνεται στο σχήµα.6. ΣΧΗΜΑ.6 Η συνάρτηση µεταφοράς του πλήρους συστήµατος είναι φυσικά T(s) είναι το αντίστροφό της, δηλ. H(s) V (s) E(s) και η συνάρτηση µετάδοσης T(s). Η συνάρτηση απλού κέρδους είναι το µέτρο της H(s) E(s) V (s) συνάρτησης µεταφοράς για s=jω: G(ω) H(jω) V (jω) E(jω) ενώ η συνάρτηση λογαριθµικού κέρδους είναι η G db (ω)0log G(ω) από την σχέση: (.) και η εξασθένηση α(ω) σε db, ορίζεται α(ω)0log T(jω) 0log H(jω) &0log G(ω) db (.3) Φυσικά το λογαριθµικό κέρδος σε db είναι ακριβώς το αντίθετο της εξασθένησης, δηλ. εξασθένηση 6 db αντιστοιχεί σε λογαριθµικό κέρδος -6 db και σε απλό κέρδος 0.5. Ως προς την διαφορά φάσης εισόδου-εξόδου στα ιδανικά φίλτρα, όπως είδαµε είναι απόλυτα γραµµική ως προς την συχνότητα µε αποτέλεσµα η καθυστέρηση οµάδας D(ω)& d να είναι σταθερή. Η φάση dω φ(ω) όµως αποτελεί τις περισσότερες φορές δευτερεύον χαρακτηριστικό των φίλτρων, τα οποία συνήθως σχεδιάζονται για να ικανοποιήσουν δεδοµένες προδιαγραφές πλάτους δηλ. κέρδους ή εξασθένησης. Το φίλτρο, παρεµβαλλόµενο µεταξύ της πηγής και του φορτίου, όπως στο σχήµα.6, εισάγει ένα εξαρτώµενο από την συχνότητα κέρδος G(ω) λόγω των χαρακτηριστικών µε τα οποία έχει σχεδιαστεί. Η εξάρτηση αυτή των χαρακτηριστικών πλάτους από την συχνότητα ονοµάζεται επιλεκτικότητα. Στην ιδανική περίπτωση, η επιλεκτικότητα εκφράζεται µε µηδενικό κέρδος (άπειρη εξασθένηση) σε κάποιες ζώνες, που ονοµάζονται ζώνες αποκοπής, και µηδενική εξασθένηση (δηλ. µοναδιαίο κέρδος) σε κάποιες ζώνες που ονοµάζονται ζώνες διέλευσης. Η διατήρηση απολύτως σταθερών χαρακτηριστικών πλάτους, µη εξαρτώµενων δηλ. από την συχνότητα, σε µια ζώνη συχνοτήτων, δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί από φυσικά συστήµατα και ήδη είδαµε ότι το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο δεν είναι πραγµατοποιήσιµο..3. Πραγµατικά Βαθυπερατά φίλτρα Είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο ότι ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο είναι αυτό του οποίου το κέρδος και η φάση είναι της µορφής του σχήµατος.7 και η συνάρτηση µεταφοράς δίνεται από την σχέση.6

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ H(jω) H o e &jωt o για ω #ω c 0 για ω >ω c (.4) ΣΧΗΜΑ.7: Ιδανικό Βαθυπερατό φίλτρο Οι αποκρίσεις πλάτους και φάσης ενός κυκλώµατος είναι στην ουσία τα αντίστοιχα φάσµατα της κρουστικής απόκρισης h(t), του σήµατος δηλ. εξόδου όταν στην είσοδο βάλλουµε το κρουστικό σήµα δ(t). Σε αντίθεση µε την µελέτη των σηµάτων (π.χ. στα συστήµατα επικοινωνίας), που προτιµούµε τα δίπλευρα φάσµατα, στην ανάλυση και σύνθεση κυκλωµάτων προτιµούµε τα µονόπλευρα φάσµατα, εµφανίζουµε δηλ. τα φάσµατα αυτά, τις καµπύλες απόκρισης πλάτους και φάσης, µόνον για τις µη αρνητικές τιµές του ω, όπως στο σχήµα.8, αφού γνωρίζουµε ότι η µεν απόκριση πλάτους *Η(jω)* είναι άρτια συνάρτηση του ω και η απόκριση φάσης φ(ω), είναι περιττή συνάρτηση του ω. ΣΧΗΜΑ.8: Ιδανικό Βαθυπερατό φίλτρο Για το ιδανικό ΒΠ φίλτρο απεδείχθη ότι δεν είναι πραγµατοποιήσιµο, επειδή δεν περιγράφει ένα αιτιοκρατικό (causal) σύστηµα. Πρακτικά µπορεί να πει κανείς ότι η µη πραγµατοποιησιµότητα οφείλεται σε δύο παράγοντες:. Το κέρδος των φυσικών ηλεκτρικών συστηµάτων δεν µπορεί να παραµένει απόλυτα σταθερό σε µια ζώνη συχνοτήτων και. Στις καµπύλες απόκρισης πλάτους των φυσικών συστηµάτων, δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν ασυνέχειες σαν το πήδηµα από Η ο στο 0. Το ιδανικό όµως βαθυπερατό φίλτρο µπορεί να προσεγγιστεί µε πραγµατικά κυκλώµατα µε προκαθορισµένες ανοχές: - στη ζώνη διέλευσης επιτρέπεται το κέρδος να είναι από Η ο έως Η C, µια τιµή κοντά στο Η ο, που εκφράζει το ελάχιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη διέλευσης. - στη ζώνη αποκοπής επιτρέπεται το κέρδος να είναι το πολύ Η S, µια τιµή ΣΧΗΜΑ.8 πολύ µικρότερη από το Η ο, που εκφράζει το µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη αποκοπής. - Για την προσέγγιση της ασυνέχειας, καθορίζεται µια συχνότητα ω S, µέχρι την οποία το κέρδος θα πρέπει να έχει πέσει από το Η ο τουλάχιστον στο Η S. Η συχνότητα αυτή ορίζει µια ζώνη ω S - ω C, την ονοµαζόµενη ζώνη µετάβασης, στην οποία το κέρδος µεταβαίνει από το επίπεδο κέρδους διέλευσης, στο επίπεδο του κέρδους αποκοπής. Η ω S ονοµάζεται οριακή συχνότητα της ζώνης αποκοπής (stopband edge frequency) Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήµα.8. Τα µεγέθη Η O, Η C, Η S, ω C και ω S σε συνδυασµό µε το σχήµα.8, ορίζουν τις προδιαγραφές πλάτους (κέρδους ή εξασθένησης) του πραγµατοποιήσιµου βαθυπερατού φίλτρου. Θα δούµε παρακάτω ότι όσο.7

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) αυστηρότερες γίνονται οι προδιαγραφές (π.χ το Η C πολύ κοντά στο Η ο ή το ω S πολύ κοντά στο ω C ), τόσο πολυπλοκότερο γίνεται το φίλτρο. Σε πολύ λίγες περιπτώσεις σχεδίασης φίλτρων είναι απαραίτητο να ασχοληθεί κανείς και µε την προσέγγιση των χαρακτηριστικών φάσης. Οι σχεδιαστές φίλτρων προτιµούν να σχεδιάσουν το φίλτρο βάσει των χαρακτηριστικών πλάτους (κέρδος ή εξασθένηση) και, αν είναι απαραίτητο, να διορθώνουν την φάση µε κάποιο ολοπερατό φίλτρο, δηλ. κύκλωµα ισοστάθµισης φάσης ή καθυστέρησης. Πολλές φορές η σχεδίαση φίλτρων διευκολύνεται µε την χρήση της εξασθένησης σε db, που ορίστηκε ως: α(ω)0log T(jω) 0log &0log G(ω) db (.5) H(jω) Στην περίπτωση αυτή, οι πραγµατοποιήσιµες προδιαγραφές του ΒΠ φίλτρου φαίνονται στο σχήµα.9. ΣΧΗΜΑ.9 Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται όταν το κέρδος Η ο δεν είναι ίσο µε, οπότε ο οριζόντιος άξονας δεν αντιστοιχεί στο µηδέν. Οι παραπάνω προδιαγραφές βαθυπερατού φίλτρου τις περισσότερες φορές παρουσιάζονται µε τα σχετικά µεγέθη α MAX και α MIN που φαίνονται στο σχήµα. Τονίζεται ότι τα µεγέθη αυτά είναι σχετικά ως προς το επίπεδο -0log(H o ) για την εξασθένηση και ως προς το 0log(H o ) για το λογαριθµικό κέρδος και συγκεκριµένα δίνονται από τις σχέσεις α MAX &0log(H C )%0log(H O )0log H O H C db (.6) α MΙΝ &0log(H S )%0log(H O )0log H O H S db (.7) Οταν εποµένως δίνονται ως προδιαγραφές τα θετικά πάντοτε α MAX και α MIN σε db, µπορεί κανείς να τις εµφανίσει όπως στο σχήµα.0α υπονοώντας, χωρίς συνήθως να το σηµειώνει, ότι τα α MAX και α MIN είναι σχετικά ως προς το επίπεδο -0log(H o ), όπως φαίνεται στο σχήµα.0β. Πολύ συχνά τα α MAX και α MIN αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως α P και α S αντίστοιχα. ΣΧΗΜΑ.0 Ενδιαφέρον είναι το ότι τα πάντοτε θετικά α MAX και α MIN (σε db) µπορούν να χρησιµοποιηθούν και στην παράσταση των προδιαγραφών λογαριθµικού κέρδους, όπως στο σχήµα.0γ. Υπενθυµίζεται ότι το 0log(H o ) είναι µια στάθµη αναφοράς, θετική ή αρνητική, που δεν χρειαζόµαστε την τιµή της και πολλές φορές δεν δίνεται καν, οπότε εµείς µπορούµε να θεωρήσουµε ότι 0log(H o )=0, δηλ. H o =. Η περιγραφή προδιαγραφών συναρτήσει των α MAX και α MIN είναι ιδιαίτερα συνήθης αλλά πρέπει πάντοτε.8

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ κανείς να θυµάται ότι τα µεγέθη αυτά είναι σχετικά ως προς το µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη διέλευσης (ή ισοδύναµα ως προς την ελάχιστη επιτρεπόµενη εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης). Η στάθµη αυτή που προστίθεται σε όλο το φάσµα συχνοτήτων ρυθµίζεται ευκολότατα στα ενεργά και στα ψηφιακά φίλτρα. Όπως θα δούµε αργότερα, στα παθητικά φίλτρα, το H o (και εποµένως και το 0log(H o )) καθορίζεται από την σχέση των αντιστάσεων τερµατισµού (πηγής και φορτίου) που αποτελούν µέρος των προδιαγραφών..3. Υψιπερατά φίλτρα (ΥΠ, Highpass) Το σχήµα.α δείχνει τα χαρακτηριστικά πλάτους του µη πραγµατοποιήσιµου ιδανικού φίλτρου διέλευσης υψηλών συχνοτήτων (υψιπερατού φίλτρου) και τις αντίστοιχες πραγµατοποιήσιµες προδιαγραφές κέρδους στα (β) και (γ) και εξασθένησης στο (δ). ΣΧΗΜΑ.: Χαρακτηριστικά πλάτους Υψιπερατού φίλτρου Παρατηρήστε ότι στην περίπτωση αυτή η συχνότητα ω S είναι µικρότερη από την ω C. Για τα α MAX και α MIN ισχύει ότι αναφέρθηκε στην περίπτωση του βαθυπερατού φίλτρου, ότι δηλ. είναι σχετικά ως προς το επίπεδο 0log(H o )..3.3 Ζωνοδιαβατά φίλτρα (ΖΔ, Bandpass) Το µη πραγµατοποιήσιµο ιδανικό ζωνοδιαβατό (ΖΔ) φίλτρο (ή φίλτρο διέλευσης ζώνης) του σχήµατος.α έχει µια χαρακτηριστική ζώνη διέλευσης εύρους BW και δύο ζώνες αποκοπής. Εισάγοντας ανοχές, όπως στην περίπτωση του βαθυπερατού, τα χαρακτηριστικά µπορούν να πραγµατοποιηθούν (σχήµα.β). Το σχήµα τέλος.γ δείχνει τα χαρακτηριστικά εξασθένησης του ζωνοδιαβατού φίλτρου. Για τα α MAX και α MIN ισχύει ότι αναφέρθηκε στην περίπτωση του βαθυπερατού φίλτρου. ΣΧΗΜΑ.: Χαρακτηριστικά πλάτους Ζωνοδιαβατού φίλτρου.3.4 Φίλτρα Aποκοπής Zώνης (AZ, Bandreject, Bandstop, Band elimination ή Notch) Το µη πραγµατοποιήσιµο ιδανικό φίλτρο αποκοπής ζώνης (ΑΖ) του σχήµατος.3α έχει µια χαρακτηριστική ζώνη αποκοπής εύρους BW S και δύο ζώνες διέλευσης, οι οριακές συχνότητες των οποίων απέχουν BW. Εισάγοντας ανοχές, όπως στην περίπτωση του βαθυπερατού, τα χαρακτηριστικά µπορούν να πραγµατοποιηθούν (σχήµα.3β)..9

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) ΣΧΗΜΑ.3: Χαρακτηριστικά πλάτους φίλτρου Αποκοπής Ζώνης Το σχήµα τέλος.3γ δείχνει τα χαρακτηριστικά εξασθένησης του φίλτρου αποκοπής ζώνης. Για τα α MAX και α MIN ισχύει ότι αναφέρθηκε στην περίπτωση του βαθυπερατού φίλτρου. Υπενθυµίζεται ότι όσο οι ανοχές µικραίνουν µε σκοπό οι προδιαγραφές να προσεγγίσουν τα χαρακτηριστικά κέρδους του αντίστοιχου ιδανικού, π.χ. µε πολύ µικρό α MAX, ή πολύ µεγάλο α MIN ή πολύ στενές ζώνες µετάβασης, τόσο το φίλτρο γίνεται πιο πολύπλοκο και η υλοποίησή του απαιτεί κύκλωµα µεγαλύτερης τάξης..4 Τεχνολογίες υλοποίησης φίλτρων Τα ηλεκτρονικά φίλτρα, ως ηλεκτρικά συστήµατα που µπορούν και επεξεργάζονται το φάσµα των ηλεκτρικών σηµάτων µε τρόπο που καθορίζεται από τις προδιαγραφές τους, είναι από τα βασικότερα υποσυστήµατα στα σύνθετα ηλεκτρικά, ηλεκτρονικά και επικοινωνιακά συστήµατα και οι εφαρµογές τους αναρίθµητες. Ενδεικτικά αναφέρονται εφαρµογές όπως: - Αφαίρεση θορύβου στα επικοινωνιακά συστήµατα - Διαχωρισµός επιθυµητών και ανεπιθύµητων συχνοτήτων - Αποδιαµορφώσεις σηµάτων - Ανίχνευση σηµάτων στις ασύρµατες µεταδόσεις (π.χ. ραδιόφωνο, TV, κ.λπ.) - Συστήµατα πολυπλεξίας χρόνου και συχνότητος, τεχνολογίες DSL - Ζωνοπεριορισµός σηµάτων πριν από την δειγµατοληψία - Ανάκτηση σηµάτων από τα δείγµατά τους - Βελτίωση της πιστότητος του ήχου (crossover, ισοσταθµιστές κ.λπ.). - Ισοστάθµιση γραµµών µεταφοράς - Επεξεργασία και σύνθεση φωνής - Επεξεργασία εικόνας, TV κ.λπ. Στην πραγµατικότητα δεν υπάρχει ηλεκτρονικό σύστηµα χωρίς φίλτρα Τα συναντάµε από τα κινητά µας τηλέφωνα µέχρι τους σκληρούς µας δίσκους και από τα σταθερά µας τηλέφωνα µέχρι τις ADSL συνδέσεις. Ένα φίλτρο δέχεται ως διέγερση ένα ηλεκτρικό σήµα εισόδου, το επεξεργάζεται ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά του και δηµιουργεί την επιθυµητή απόκριση. Ανάλογα µε τον τύπο των σηµάτων εισόδου, των εσωτερικών σηµάτων και την απόκριση, τα φίλτρα µπορούν να ταξινοµηθούν σε τρεις µεγάλες κατηγορίες: φίλτρα συνεχούς χρόνου, φίλτρα δειγµατισµένων δεδοµένων (sampled-data) και φίλτρα διακριτού χρόνου (discrete-time). Σήµατα συνεχούς χρόνου είναι αυτά που ορίζονται σε κάθε χρονική στιγµή t και περιγράφονται µε µια συνάρτηση f(t) µε πεδίο ορισµού -4 # t # 4. Τα σήµατα διακριτού χρόνου ορίζονται σε διακεκριµένες χρονικές στιγµές και µπορούν να εκφραστούν µε µια συνάρτηση f(nt), µε n # n #n µε n $-4 και n # 4. Η τιµή των σηµάτων διακριτού χρόνου για nt < t < (n+)t µπορεί να είναι µηδενική ή απροσδιόριστη, εν γένει όµως αδιάφορη. Το φάσµα των σηµάτων διακριτού χρόνου δίνεται από τον µετασχηµατισµό z πάνω στον µοναδιαίο κύκλο *z*= στο επίπεδο-z. Τα σήµατα δειγµατισµένων δεδοµένων εκφράζονται συναρτήσει κρουστικών σηµάτων ως.0

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ f s (t) j 4 n4 f(nt)δ(t&nt) όπου f(t) είναι ένα σήµα συνεχούς χρόνου και Τ η περίοδος δειγµατοληψίας. Τα δειγµατισµένα σήµατα f S (t) έχουν µηδενική τιµή για nt < t < (n+)t και το φάσµα τους δίνεται, όπως και στα σήµατα συνεχούς χρόνου, από τον µετασχηµατισµό Fourier. Τα φίλτρα, ανάλογα µε τα σήµατα για τα οποία είναι σχεδιασµένα, χαρακτηρίζονται ως αναλογικά ή ψηφιακά. Στα αναλογικά φίλτρα τα σήµατα είναι ρεύµατα ή τάσεις, ενώ στα ψηφιακά φίλτρα τα σήµατα είναι κωδικοποιηµένα σε κάποια ψηφιακή µορφή. Τα φίλτρα που διαχειρίζονται σήµατα συνεχούς χρόνου και σήµατα δειγµατισµένων δεδοµένων είναι αναλογικά. Τα φίλτρα που διαχειρίζονται σήµατα διακριτού χρόνου, µπορεί να είναι αναλογικά ή ψηφιακά. Τα αναλογικά φίλτρα µπορούν ενδεικτικά να ταξινοµηθούν ως:. Παθητικά RLC, που πραγµατοποιούνται µε αντιστάτες, επαγωγείς και πυκνωτές. Κρυσταλλικά φίλτρα που βασίζονται σε πιεζοηλεκτρικούς συντονιστές (piezoelectric resonators), οι οποίοι µπορούν να παρασταθούν µε συντονιζόµενα κυκλώµατα. 3. Μηχανικά φίλτρα που βασίζονται σε µηχανικούς συντονιστές 4. Μικροκυµατικά φίλτρα µε κατανεµηµένες παραµέτρους (κυµατοδηγοί) και µικροκυµατικά φίλτρα που βασίζονται σε µικροκυµατικούς συντονιστές και κοιλότητες, που µπορούν να παρασταθούν µε συντονιζόµενα κυκλώµατα. 5. Ενεργά-RC φίλτρα, που υλοποιούνται µε αντιστάτες, πυκνωτές και ενισχυτές 6. Φίλτρα διακοπτόµενου πυκνωτή, που είναι κυκλώµατα διακριτού χρόνου, λειτουργούν ως ενεργά-rc φίλτρα αλλά υλοποιούνται µε ενισχυτές, πυκνωτές, και διακόπτες. Στα φίλτρα αυτά οι αντιστάτες πραγµατοποιούνται µε ειδικές συνδεσµολογίες πυκνωτών και διακοπτών CMOS, που ολοκληρώνονται εύκολα. 7. Ολοκληρωµένα φίλτρα MOS-C, που είναι στην ουσία ενεργά-rc φίλτρα, στα οποία οι αντιστάτες αντικαθίστανται µε στοιχεία MOSFET πολωµένα στην τριοδική (ωµική) περιοχή. Υπάρχουν µόνον σε ολοκληρωµένη µορφή. 8. Ολοκληρωµένα φίλτρα OTA-C ή g m -C.Στα φίλτρα αυτά, αντί για τελεστικούς ενισχυτές χρησιµοποιούνται βαθµίδες OTA (Operational Transconductance Amplifiers), που είναι στην ουσία µετατροπείς τάσης σε ρεύµα και υλοποιούνται µε απλούστερα κυκλώµατα από αυτά µε τα οποία υλοποιούνται οι τελεστικοί ενισχυτές. 9. Ολοκληρωµένα φίλτρα τύπου-ρεύµατος (current-mode) Τα κρυσταλλικά, µηχανικά και µικροκυµατικά φίλτρα εκφεύγουν του σκοπού του βιβλίου αυτού και αποτελούν πολύ εξειδικευµένους τοµείς. Σηµαντική εξέλιξη στα ολοκληρωµένα ενεργά φίλτρα απετέλεσε η αναθεώρηση της µεθοδολογίας σχεδίασής τους, η οποία βασίζετο σε βαθµίδες που υλοποιούν συναρτήσεις µεταφοράς τάσης. Προσαρµόζοντας την µεθοδολογία αυτή στην ρευµατική λογική, σε συνδυασµό µε την εµφάνιση ολοκληρωµένων διατάξεων που χειρίζονται ρεύµατα, προέκυψαν νέες τεχνολογίες ενεργών φίλτρων, τα οποία δηµιούργησαν µια νέα γενιά φίλτρων, τα φίλτρα τύπου-ρεύµατος (current-mode filters). Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται νέες τεχνολογίες όπως για παράδειγµα Current-mode Dual Output-OTA-C φίλτρα, ενεργά φίλτρα µε current conveyors (CCI, CCII, CCII+) και φίλτρα Log-Domain Κάθε µια από τις παραπάνω κατηγορίες αναλογικών φίλτρων αναφέρεται στην τεχνολογία των εξαρτηµάτων µε τα οποία υλοποιείται η συνάρτηση µεταφοράς. Η επιλογή της τεχνολογίας εξαρτάται κυρίως από τις συχνότητες λειτουργίας του φίλτρου, την ανάγκη ολοκλήρωσης και το περιβάλλον στο οποίο πρόκειται να λειτουργήσει το κύκλωµα. Στο Σχήµα.4 φαίνεται το πεδίο συχνοτήτων στο οποίο χρησιµοποιείται η κάθε τεχνολογία φίλτρων. Το διάγραµµα είναι προσεγγιστικό και τα άνω όρια του πεδίου κάθε κατηγορίας µεταβάλλονται µε την πρόοδο της τεχνολογίας..

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) ΣΧΗΜΑ.4: Ενδεικτικό διάγραµµα επιλογής τεχνολογίας ανάλογα µε την συχνότητα λειτουργίας Η συχνότητα λειτουργίας όµως δεν αποτελεί µοναδικό κριτήριο επιλογής τεχνολογίας αφού ευτυχώς υπάρχουν επικαλύψεις, δηλ. συχνότητες στις οποίες ένα φίλτρο µπορεί να κατασκευαστεί µε περισσότερες από µια τεχνολογίες. Για παράδειγµα, στην περιοχή του MHz η επιλογή ανάµεσα σε παθητικά, ενεργά-rc, διακοπτόµενου πυκνωτή ή ολοκληρωµένα ενεργά φίλτρα µπορεί να γίνει µε κριτήριο το αν το φίλτρο πρόκειται να ολοκληρωθεί, αν υπάρχει τροφοδοσία DC στο σύστηµα, αν τα δεδοµένα είναι ήδη δειγµατισµένα, σε συνδυασµό πάντα µε το αντίστοιχο κόστος της κάθε επιλογής. Το διάγραµµα του σχήµατος.4 δείχνει ότι τα ολοκληρωµένα αναλογικά ενεργά φίλτρα καλύπτουν µια πολύ ευρεία περιοχή λειτουργίας. Η σχεδίαση όµως των φίλτρων αυτών βασίζεται στην σχεδίαση ενεργών-rc φίλτρων, η οποία µε την σειρά της, µπορεί να στηρίζεται στην ενεργό προσοµοίωση παθητικών φίλτρων. Για να σχεδιαστεί δηλ. ένα ολοκληρωµένο ενεργό φίλτρο µπορεί να είναι απαραίτητο να σχεδιαστεί πρώτα ένα παθητικό, το οποίο θα προσοµοιωθεί µε ενεργό-rc για να οδηγήσει τελικά στο ολοκληρωµένο φίλτρο. Έχοντας υπόψη την διαδικασία αυτή, η σχεδίαση παθητικών φίλτρων και ενεργών-rc φίλτρων αποκτά ιδιαίτερη βαρύτητα και αποτελεί το κύριο αντικείµενο του βιβλίου αυτού. Στα παθητικά φίλτρα, τα παθητικά στοιχεία που µπορούν να συµβάλλουν στην επιλεκτικότητα είναι οι επαγωγείς L και οι πυκνωτές C, των οποίων οι σχέσεις ρεύµατος-τάσεως εξαρτώνται από την συχνότητα. Οι αντιστάτες απλά καταναλώνουν ισχύ και η ιδιότητά τους αυτή είναι ανεξάρτητη από την συχνότητα. Η παρουσία τους λοιπόν στα φίλτρα δεν συµβάλλει στην επιλεκτικότητα, αντίθετα την µειώνει (µειώνοντας τους συντελεστές ποιότητος των συντονισµών) και εισάγει ανεξάρτητη από την συχνότητα εξασθένηση, η οποία είναι ανώφελη και ανεπιθύµητη. Αυτός είναι ο λόγος που στα παθητικά φίλτρα χρησιµοποιούνται κυρίως κυκλώµατα LC χωρίς αντιστάτες, τα οποία: α) Μπορούν και πραγµατοποιούν όλες τις προδιαγραφές, όσο αυστηρές και αν είναι. β) Έχουν τις περισσότερες φορές ελάχιστο αριθµό στοιχείων, και γ) Μπορούν να σχεδιάζονται έτσι που σε ορισµένες συχνότητες της ζώνης διέλευσης να προσαρ- µόζουν την αντίσταση εισόδου τους στην πηγή µεταδίδοντας την µέγιστη ισχύ της πηγής στο φορτίο. Η τρίτη αυτή δυνατότητα είναι κυρίως αυτή που συµβάλλει στην µικρή ευαισθησία των κυκλωµάυων LC για αποκλίσεις των τιµών των στοιχείων από τις ονοµαστικές, πράγµα που είναι ιδιαίτερα επιθυµητό ιδίως σε φίλτρα υψηλής ακρίβειας και επιλεκτικότητος. Στη σχεδίαση παθητικών φίλτρων χρησιµοποιούνται δύο κυρίως τοπολογίες κυκλωµάτων LC : κλιµακωτά ή βαθµωτά (ladder) και τα δικτυωτά (lattice). Το σχήµα.5 δείχνει τις δύο αυτές τοπολογίες. Το δικτυωτό κύκλωµα LC του σχήµατος.5α, µε κατάλληλο κάθε φορά υπολογισµό των Z Α (s) και Z Β (s), αποδεικνύεται ότι µπορεί και ικανοποιεί οποιεσδήποτε προδιαγραφές και εποµένως είναι κατάλληλο για φίλτρο. Η χρησιµότητά του όµως περιορίζεται σηµαντικά γιατί παρουσιάζει έναντι των κλιµακωτών κυκλωµάτων µόνον µειονεκτήµατα..

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Το πρώτο του µειονέκτηµα είναι ότι χρειάζεται µεγάλο αριθµό στοιχείων (διπλάσιο από τον θεωρητικά αναµενόµενο) για να πραγµατοποιήσει δεδοµένες προδιαγραφές. Το δεύτερο µειονέκτηµα είναι η µεγάλη του ευαισθησία στη ζώνη αποκοπής, που οφείλεται στο γεγονός ότι για την ύπαρξη πόλου εξασθένησης (G(ω)=0 ή α(ω)=4) απαιτείται µια ισορροπία γέφυρας µε Z Α Z Β. Στα δικτυωτά τέλος κυκλώµατα πρέπει σε όλες τις συχνότητες οι δύο κλάδοι τύπου Z Α να είναι απόλυτα ίδιοι πράγµα που απαιτεί µεγάλο αριθµό στοιχείων υψηλής ΣΧΗΜΑ.5 ακρίβειας. Το ίδιο φυσικά ισχύει και για τους κλάδους Z Β. Το γεγονός αυτό δεν ανεβάζει µόνο το κόστος αλλά ταυτόχρονα δηµιουργεί τεράστιες δυσκολίες στην ρύθµιση (tuning). Τα µειονεκτήµατα αυτά περιορίζουν την χρησιµότητα των δικτυωτών φίλτρων LC σε χρήση µεταθέτη φάσεως και στα ηλεκτροµηχανικά φίλτρα γιατί έχουν την εγγενή δυνατότητα αξιοποίησης των ιδιοτήτων των ηλεκτροµηχανικών συντονιστών. Το κλιµακωτό LC κύκλωµα του σχήµατος.5β µπορεί και αυτό να πραγµατοποιεί οποιεσδήποτε προδιαγραφές µε ελάχιστο µάλιστα αριθµό στοιχείων χωρίς τα µειονεκτήµατα των δικτυωτών κυκλωµάτων. Αυτός ίσως να είναι ο λόγος που σήµερα τα κλιµακωτά κυκλώµατα χρησιµοποιούνται σχεδόν κατ αποκλειστικότητα στη σχεδίαση παθητικών φίλτρων. Όλοι οι κλάδοι Ζ K (s) του κλιµακωτού κυκλώµατος αποτελούνται από στοιχεία L και C σε διάφορους συνδυασµούς που επιβάλλει η µέθοδος προσέγγισης και σύνθεσης. Τα κλιµακωτά κυκλώµατα προσφέρουν εξάλλου την ελάχιστη ευαισθησία στη ζώνη διέλευσης. Στην ζώνη αποκοπής, αν υπάρχει πόλος εξασθένησης, αυτός θα οφείλεται είτε στον απειρισµό της αντίστασης κάποιου κλάδου σειράς ή στον µηδενισµό της αντίστασης κάποιου παράλληλου κλάδου. Αυτό, σε αντίθεση µε τα δικτυωτά κυκλώµατα, διευκολύνει την διαδικασία της τελικής ρύθµισης (tuning). Αναφερόµενοι τέλος στον αριθµό των στοιχείων L και C που απαιτούνται για να σχεδιαστεί ένα κλιµακωτό φίλτρο, είναι στις περισσότερες φορές ίσος ή πολύ κοντά στον θεωρητικά αναµενόµενο ελάχιστο αριθµό, πράγµα που δίνει στα κλιµακωτά κυκλώµατα ένα ακόµα πλεονέκτηµα έναντι των δικτυωτών..5 Σχεδιάζοντας ένα φίλτρο Ας υποθέσουµε ότι µας ζητείται η σχεδίαση ενός φίλτρου, µε τις εξής προδιαγραφές:. Για συχνότητες 0 # f #.0 ΚHz, το απλό κέρδος να είναι G(f) = 4.0. Για συχνότητες f > 3.0 KHz το απλό κέρδος να είναι G(f) = 0.7. Το φίλτρο αυτό φυσικά δεν είναι πραγµατοποιήσιµο αφού απαιτείται η απόλυτη σταθερότητα του κέρδους τόσο στη ζώνη διέλευσης, όσο και στη ζώνη αποκοπής. Επιπροσθέτως απαιτείται ασυνεχής µετάβαση από το κέρδος διέλευσης στο κέρδος αποκοπής. Για την µη πραγµατοποιησιµότητα θα αρκούσε και µια µόνον από τις παραπάνω αυστηρές απαιτήσεις. Η σχεδίαση είναι δυνατή µόνον όταν οι προδιαγραφές επιτρέπουν ανοχές όπως οι παρακάτω:. Για συχνότητες 0 # f #.0 ΚHz το απλό κέρδος να είναι 3.9 # G(f) # 4.0. Για συχνότητες f > 3.0 KHz το απλό κέρδος να είναι G(f) # 0.7 3. Για συχνότητες # f # 3 khz το απλό κέρδος να είναι 0.7# G(f) #3.9 Η περιγραφή αυτή οδηγεί στην εποπτική απεικόνιση των προδιαγραφών του σχήµατος.6α. Στο σχήµα.6β οι προδιαγραφές του φίλτρου έχουν απλώς εκφραστεί συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω=πf, κάτι που συνηθίζεται στην σχεδίαση φίλτρων. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι οι προδιαγραφές του φίλτρου ορίζουν έναν "διάδροµο", µέσα στον οποίο πρέπει να ευρίσκεται η απόκριση του φίλτρου. Το εύρος του "διαδρόµου" καθορίζεται από τις ανοχές (π.χ. κέρδος από 3.9 έως 4.0 για 0 # f # 000 Hz), που είναι απαραίτητες για να σχεδιαστεί το φίλτρο, όσο µάλιστα πιο µεγάλες είναι, τόσο πιο απλό είναι το τελικό κύκλωµα. Οι προδιαγραφές του σχήµατος.6 περιγράφουν ένα βαθυπερατό (ΒΠ) φίλτρο, µε ζώνη διέλευσης από 0 -.0 ΚHz και ζώνη αποκοπής από 3.0 ΚHz - άπειρο..3

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) ΣΧΗΜΑ.6 Η συχνότητα αποκοπής ω c οριοθετεί στα βαθυπερατά φίλτρα το τέλος της ζώνης διέλευσης. Η συχνότητα ω s οριοθετεί την αρχή της ζώνης αποκοπής, ενώ η ζώνη από ω c µέχρι ω s ορίζει την ζώνη µετάβασης. Το H o (ή G o ) θέτει το µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη διέλευσης ενώ το H c (ή το G c ), το ελάχιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη διέλευσης, µε τιµή πολύ κοντά σε αυτή του µέγιστου επιτρεπόµενου κέρδος. Το H s τέλος (ή το G s ) ορίζει το µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη αποκοπής και είναι πολύ µικρότερο από το κέρδος στη ζώνη διέλευσης. Ανεξάρτητη µεταβλητή στα διαγράµµατα κέρδους µπορεί να είναι η συχνότητα f, αν και στη σύνθεση συνηθίζεται η χρήση της κυκλικής συχνότητα ω = πf..5. Κλιµάκωση και Κανονικοποίηση: Έξυπνη απλούστευση Στις δραστηριότητες σχεδίασης ηλεκτρικών συστηµάτων, µεγάλη διευκόλυνση προσφέρει η κλιµάκωση συχνότητος έτσι που ένα χαρακτηριστικό µέγεθος των προδιαγραφών να γίνεται ίσο µε την µονάδα. Η διαδικασία αυτή αναφέρεται και ως κανονικοποίηση. Στη σχεδίαση φίλτρων, γίνεται κλιµάκωση/κανονικοποίηση των συχνοτήτων ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει ίση µε την µονάδα. Αναλυτικά περί κλιµάκωσης και κανονικοποίησης θα βρείτε στο εδάφιο.6. Οι δεδοµένες προδιαγραφές ενός βαθυπερατού φίλτρου αρχικά κανονικοποιούνται µε κλιµάκωση των προδιαγραφών συχνότητας µε ω C και εποµένως η κανονικοποιηµένη συχνότητα αποκοπής γίνεται Ω C ω C και η ω S παίρνει την κανονικοποιηµένη τιµή Ω. ω S ω S > C ω C Στην περίπτωση σχεδίασης του φίλτρου του παραδείγµατος, οι συχνότητες κλιµακώνονται µε π000 µε αποτέλεσµα η κανονικοποιηµένη συχνότητα αποκοπής να γίνεται ίση µε την µονάδα ενώ Ω S π3000. π000 3 Στο επόµενο εδάφιο αποδεικνύεται, ότι οποιαδήποτε κλιµάκωση συχνότητος ή/και αντίστασης δεν µεταβάλλει τα χαρακτηριστικά κέρδους ή εξασθένησης και εποµένως οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές διατηρούν τα µεγέθη πλάτους του κατακόρυφου άξονα αµετάβλητα (σχήµα.7β). Αν ένα φίλτρο σχεδιαστεί µε κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, µπορεί µετά να αποκανονικοποιηθεί, αποκλιµακώνοντας τα στοιχεία του ώστε η συχνότητα αποκοπής από µονάδα να γίνει ίση µε την επιθυµητή (βλέπε επόµενο εδάφιο). ΣΧΗΜΑ.7.4

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Προτυποποιηµένες προδιαγραφές βαθυπερατού φίλτρου είναι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές (δηλ. Ω C = ) µε το επιπλέον χαρακτηριστικό ότι G() (σχήµα.8α) ή, αν µιλάµε για το λογαριθµικό H o κέρδος σε db: G o &G db ()3.003.3 db (σχήµα.8β) Τα φίλτρα που ικανοποιούν προτυποποιηµένες προδιαγραφές, ονοµάζονται πρότυπα φίλτρα και χαρακτηριστικό τους είναι ότι έχουν συχνότητα αποκοπής ίση µε και G(). Οι προτυποποιηµένες προδιαγρα- H o φές χρησιµοποιούνται κυρίως για την πινακοποίηση των τιµών των στοιχείων των φίλτρων και αν κανείς θέλει µιαν άλλη τιµή G() για Ω=, πρέπει στις τιµές των στοιχείων που παίρνει από τους σχετικούς πίνακες, να κάνει την αντίστοιχη κλιµάκωση συχνότητος ώστε το G() να πάει στο επιθυµητό H C.. ΣΧΗΜΑ.8.5. Προσέγγιση: Η ψυχή της σύνθεσης Η σύνθεση ενός βαθυπερατού φίλτρου από τις δεδοµένες κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, ξεκινάει µε την εύρεση µιας µαθηµατικής συνάρτησης G(Ω), της οποίας η γραφική παράσταση δεν παραβιάζει τις προδιαγραφές και για την οποία η G (Ω) είναι ρητή και άρτια συνάρτησης του Ω. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται προσέγγιση και δίνει θεωρητικά άπειρες λύσεις, µερικές από τις οποίες είναι κατάλληλες και ικανοποιούν τις απαιτούµενες συνθήκες πραγµατοποιησιµότητος. Αυτό σηµαίνει ότι η εύρεση µιας οποιασδήποτε τέτοιας συνάρτησης, της οποίας η γραφική παράσταση δεν παραβιάζει τις προδιαγραφές, δεν εξασφαλίζει την πραγµατοποιησιµότητά της ως συνάρτησης ενός πραγµατικού κυκλώµατος. Για παράδειγµα, αν Ω C =, Ω S =3, Η ο =0.5, Η C =0.354 και H S =0., η συνάρτηση G(Ω) ικανοποιεί τις προδιαγραφές του Ω 4 %5Ω %4 ΣΧΗΜΑ.9 σχήµατος.9 αλλά µπορεί να προέρχεται από την συνάρτηση µεταφοράς H(s) s %s& (s%)(s&) δεν είναι πραγµατοποιήσιµη, αφού έχει πόλο s=+στο απαγορευµένο για συναρτήσεις µεταφοράς δεξί ηµιεπίπεδο (βλέπε []). Μπορεί όµως να προέρχεται και από την H(s) που έχει πόλους s %3s% (s%)(s%) µόνον στο αριστερό ηµιεπίπεδο και είναι πραγµατοποιήσιµη. Ευτυχώς για τον σχεδιαστή φίλτρων, υπάρχουν τυποποιηµένες προσεγγίσεις των προδιαγραφών, οι οποίες οδηγούν µε βεβαιότητα σε πραγµατοποιήσιµες συναρτήσεις. Από τις πιο δηµοφιλείς είναι οι προσεγγίσεις Butterworth, Chebyshev, αντίστροφη Chebyshev και Cauer (ή ελλειπτική). Τελικά στη σχεδίαση φίλτρων, το πρόβληµα της προσέγγισης περιορίζεται στην επιλογή µιας από τις γνωστές προσεγγίσεις που προαναφέρθηκαν και απεικονίζονται εποπτικά στο σχήµα.0 όπου φαίνεται ο τρόπος µε τον οποίο ικανοποιούν οι προσεγγίσεις αυτές τις προδιαγραφές πλάτους. Στις προσεγγίσεις αφιερώνουµε δύο από τα επόµενα κεφάλαια αφού αποτελούν το σηµαντικότερο στάδιο που.5

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) της σχεδίασης φίλτρων όλων των τεχνολογιών, αναλογικών και ψηφιακών. Για να συντεθεί και να σχεδιαστεί ένα παθητικό ή ενεργό φίλτρο, απαραίτητη είναι η συνάρτηση µεταφοράς του H(s) V οut (s). Με την διαδικασία της προσέγγισης προσδιορίζεται αρχικά η συνάρτηση κέρδους V in (s) G(Ω) H(s) sjω. Από αυτήν είναι δυνατόν µετά να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H(s), πράγµα που γίνεται µέσω του υπολογισµού των πόλων και των µηδενικών της, χρησιµοποιώντας την σχέση H(s)H(&s) G(Ω) Ω&js G(Ω) Ω &s και τις ιδιότητες της συνάρτησης µεταφοράς. Λεπτοµέρειες θα αναπτυχθούν σε επόµενα κεφάλαια. Εποµένως, η προσέγγιση µας δίνει την G(Ω) από την οποία υπολογίζεται η συνάρτηση µεταφοράς H(s), το µέτρο της οποίας για s=jω, το G(Ω) H(s) sjω ικανοποιεί τις προδιαγραφές. ΣΧΗΜΑ.0 Στο παράδειγµά µας, την σχεδίαση δηλ. του βαθυπερατού φίλτρου µε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές του σχήµατος.8α, µπορούµε να επιλέξουµε προσέγγιση Butterworth που οδηγεί στην συνάρτηση κέρδους G(Ω) 4 %0.79 Ω 6 και στην συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου φίλτρου: H(s) 7.554 (s%.6373)(s %.6373s%.680) 7.554 s 3 %3.743s %5.3604s%4.3878 η οποία µπορεί να συντεθεί µε διάφορους τρόπους, ένας εκ των οποίων οδηγεί τελικά στο αποκανονικοποιη- µένο κύκλωµα του σχήµατος.. Η καµπύλη απόκρισης του φίλτρου φαίνεται στο σχήµα.. ΣΧΗΜΑ..6

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ. Αν είχαµε επιλέξει προσέγγιση Chebyshev, η συνάρτηση κέρδους θα ήταν 4 G CH (Ω) %0.79 (4Ω &3) Ω 4.38784 και η συνάρτηση µεταφοράς H CH (s) s 3 %.588677s %.0947s%.09696 Μια υλοποίηση της συνάρτησης αυτής, µετά την αποκανονικοποίηση, µπορεί να είναι το κύκλωµα του σχήµατος.3α, η απόκριση του οποίου φαίνεται στο σχήµα.3β. ΣΧΗΜΑ.3α ΣΧΗΜΑ.3β Παρατηρήστε ότι τα δύο κυκλώµατα των σχηµάτων. και.3α είναι τοπολογικά ίδια και διαφέρουν µόνον στις τιµές των στοιχείων τους. Το κύκλωµα όµως µε απόκριση Chebyshev θα µπορούσε να υλοποιήσει αυστηρότερες προδιαγραφές, π.χ. H S =0.3, πράγµα που δεν µπορεί να κάνει το φίλτρο µε απόκριση Butterworth αφού στα 3 KHz ικανοποιεί την απαίτηση για κέρδος µικρότερο του H S =0.7 οριακά. Το πώς χρησιµοποιούνται οι προσεγγίσεις, πώς υπολογίζονται οι συναρτήσεις µεταφοράς και πώς από αυτές συντίθενται πραγµατικά κυκλώµατα, είναι ακριβώς ο πυρήνας του αντικειµένου του βιβλίου αυτού και θα τα δούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Προς στιγµή προσπαθήστε να καταλάβετε την γενική διαδικασία σχεδίασης ενός φίλτρου από δεδοµένες προδιαγραφές : i. Κανονικοποιούµε τις προδιαγραφές ώστε η συχνότητα αποκοπής να είναι οπότε η κανονικοποι-.7

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) ηµένη συχνότητα στην οποία αρχίζει η ζώνη αποκοπής γίνεται Ω S ω S. ω C ii. Από τις κανονικοποιµένες προδιαγραφές µε µια από τις γνωστές προσεγγίσεις (Butterworth, Chebyshev, Cauer κ.λπ.) και µαθηµατικές µεθόδους υπολογίζουµε µια συνάρτηση µεταφοράς, το µέτρο της οποίας να ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές. iii. Από την συνάρτηση µεταφοράς που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, συνθέτουµε το κύκλωµα του κανονικοποιηµένου φίλτρου. iv. Αποκανονικοποιούµε τα στοιχεία ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει ίση µε την επιθυµητή. Όλες οι προσεγγίσεις αλλά και οι σχετικοί πίνακες σχεδίασης φίλτρων, αναφέρονται αποκλειστικά και µόνον σε κανονικοποιηµένα βαθυπερατά φίλτρα, µε αποτέλεσµα να αναδεικνύονται δύο πρακτικά προβλήµατα:. Τι κάνουµε όταν το υπό σχεδίαση φίλτρο δεν είναι βαθυπερατό αλλά ΥΠ, ΖΔ ή αποκοπής ζώνης;. Πως τελικά υλοποιούµε την συνάρτηση µεταφοράς µε παθητικά κυκλώµατα και πως µε ενεργά-rc; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι οι µετασχηµατισµοί συχνότητος, βάσει των οποίων η σχεδίαση ενός π.χ. ζωνοδιαβατού φίλτρου ανάγεται στον υπολογισµό της συνάρτησης µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου βαθυπερατού και στον µετασχηµατισµό της σε συνάρτηση µεταφοράς ζωνοδιαβατού. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτηµα είναι διαφορετική στην περίπτωση παθητικών και ενεργών-rc φίλτρων. Στα ενεργά-rc κυκλώµατα υπάρχει µεγάλη ευκολία στην αποµόνωση των βαθµίδων ώστε αυτές να λειτουργούν ανεξάρτητα από τις προηγούµενες και τις επόµενες. Αυτό οφείλεται στα χαρακτηριστικά των τελεστικών ενισχυτών που παρουσιάζουν µεγάλες αντιστάσεις εισόδου και πολύ µικρές αντιστάσεις εξόδου. Αντίθετα η σύνθεση παθητικών φίλτρων είναι λίγο πιο πολύπλοκη κυρίως γιατί εµπλέκονται οι αντιστάσεις τερµατισµού (πηγής και φορτίου), δεν υπάρχει η δυνατότητα αποµόνωσης των βαθµίδων και η συµπεριφορά της κάθε µιας εξαρτάται από τις προηγούµενες και τις επόµενές της. Οι δυσκολίες αυτές επιβάλλουν την παρουσίαση της σύνθεσης παθητικών φίλτρων ανεξάρτητα και µετά από τα ενεργά φίλτρα. Η υλοποίηση µιας συνάρτησης µεταφοράς µε ενεργά-rc κυκλώµατα, αντιµετωπίζεται πιο εύκολα και µε διάφορους τρόπους, όπως π.χ. µε αλυσωτή σύνδεση βαθµίδων ης και ης τάξης. Η µέθοδος αυτή εφαρµόστηκε στο παράδειγµά µας και θα παρουσιαστεί πιο αναλυτικά σε επόµενο κεφάλαιο. Οι επιµέρους συναρτήσεις ης και ης τάξης, πραγµατοποιούνται µε γνωστά ενεργά-rc κυκλώµατα, πολλά από τα οποία παρουσιάζονται σε επόµενα κεφάλαια, ως δοµικά στοιχεία των ενεργών-rc φίλτρων µεγαλύτερης τάξης. Μια τελείως διαφορετική αντιµετώπιση της σχεδίασης ενός ενεργού-rc φίλτρου είναι να σχεδιάσει κανείς από τις προδιαγραφές ένα παθητικό φίλτρο και να το προσοµοιώσει µε ενεργό-rc κύκλωµα µε µια από τις πολλές γνωστές µεθόδους που έχουν προταθεί. Η µέθοδος αυτή, η οποία παρουσιάζει µεγάλα πλεονεκτήµατα έναντι της απευθείας σύνθεσης της συνάρτησης µεταφοράς µε βαθµίδες ης και ης τάξης, θα παρουσιαστεί πολύ αργότερα, µετά από τα παθητικά φίλτρα, όπως είναι λογικό αφού στηρίζεται σε αυτά. Προς στιγµή µένουµε στην απευθείας από τις προδιαγραφές σχεδίαση ενεργού φίλτρου µε µοναδικό εργαλείο τις γνωστές προσεγγίσεις και την ανάλυση της συνάρτησης µεταφοράς σε γινόµενο όρων ης και ης τάξης. Τα φύλλα εργασίας Mathcad που ακολουθουν αφορούν το παράδειγµά µας και µπορείτε να τα επιβεβαιώσετε..8

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Παρατηρήστε ότι υπολογίζονται οι κανονικοποιηµένες αποκρίσεις πλάτους από την συνάρτηση κέρδους G(Ω), που δίνει απευθείας η προσέγγιση και από την συνάρτηση µεταφοράς που υπολογίζεται από αυτήν. Με τον τρόπο αυτό ελέγχονται και οι δύο υπολογισµοί, του κέρδους από την προσέγγιση και της συνάρτησης µεταφοράς. Αν όλα έχουν πάει καλά, οι δύο καµπύλες είναι ταυτόσηµες, αλλιώς κάπου έχει γίνει λάθος. Μπορείτε επίσης να προσοµοιώσετε στο Pspice τα κυκλώµατα των σχηµάτων. και.3α και να.9

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Η. Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ rev. 30..008) επιβεβαιώσετε ότι ικανοποιούν τις προδιαγραφές. Αυτός είναι ο σηµαντικότερος έλεγχος..6 Κλιµακώσεις και Κανονικοποίηση Στη µελέτη, ανάλυση και σύνθεση κυκλωµάτων, οι τιµές που εµφανίζονται ποικίλουν από πολύ µικρές (π.χ. pf=0 - F) έως πολύ µεγάλες της τάξεως του 0 9 (π.χ. GHz). Η µεγάλη αυτή διασπορά των τιµών, οδηγεί σε δυσκολία υπολογισµών και µειωµένη ακρίβεια. Το πρόβληµα µπορεί να παρακαµφθεί µε την χρήση της κλιµάκωσης (scaling) της αντίστασης και της συχνότητας και της κανονικοποίησης (normalization), η οποία εκτός από την απλοποίηση των υπολογισµών, διευκολύνει εν γένει όλες τις διαδικασίες ανάλυσης και σύνθεσης..6. Κλιµάκωση αντίστασης (impedance scaling) ΣΧΗΜΑ.4 Ας θεωρήσουµε το κύκλωµα του σχήµατος.4, το οποίο, όπως µπορείτε να αποδείξετε, έχει συνάρτηση µεταφοράς: /LC H(s) LCs % R S C% L s%% R S s % R S R L R L L % R L C s% %R S /R L LC και οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου: Ζ(s) s % R S L % R L C s% %(R S /R L ) LC s% L R L C Ας διαιρέσουµε τώρα όλες τις µετασχηµατισµένες αντιστάσεις του µε k. Η αντίσταση του φορτίου θα γίνει R Ln R L k και η αντίσταση R s θα γίνει R sn R s. Η µετασχηµατισµένη αντίσταση του επαγωγέα από sl θα γίνει s L, k k που αντιστοιχεί σε διαίρεση του L µε k για να δηµιουργηθεί ο κλιµακωµένος επαγωγέας L n L, ενώ η k µετασχηµατισµένη αντίσταση του πυκνωτή από θα γίνει, που αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό του sc sck C µε k για την δηµιουργία του κλιµακωµένου πυκνωτή κλιµάκωση µε k. C n kc. Το σχήµα.5 δείχνει το κύκλωµα µετά την ΣΧΗΜΑ.5 Τι άλλαξε στο κύκλωµα; Παρατηρούµε ότι : Η συνάρτηση µεταφοράς δεν µεταβάλλεται, αφού στα εµφανιζόµενα γινόµενα αναιρείται η διαίρεση µε το k..0