Σήµατα, Συστήµατα και Κυκλώµατα συνεχούς χρόνου

Transcript

1 Ηρακλής Γ. Δηµόπουλος Διπλ. Ηλ/γος Μηχανικός ΕΜΠ, DIC, PhD Καθηγητής Τµ. Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Πειραιά Σήµατα, Συστήµατα και Κυκλώµατα συνεχούς χρόνου Εκδόσεις

2 Τίτλος Βιβλίου: Σήµατα, Συστήµατα και Κυκλώµατα συνεχούς Χρόνου ISBN Συγγραφέας: Ηρακλής Γ. Δηµόπουλος, PhD Εκδότης - Επιµέλεια Εκδοσης: Ηρακλής Γ. Δηµόπουλος Πρώτη έκδοση: 2003 Δεύτερη έκδοση: 2009 Ηρ. Γ. Δηµόπουλος Επικοινωνία - Παραγγελίες: hdimop@teipir.gr Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή όλου του βιβλίου αυτού µε οποιοδήποτε µέσο και σε οποιαδήποτε µορφή, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα. Επιτρέπεται η µερική αναπαραγωγή γιά ακαδηµαϊκη µόνον χρήση που δεν αποφέρει οικονοµικά οφέλη, υπό τον όρο ότι θα ενηµερώνεται ο συγγραφέας και θα αναφέρεται η πηγή.

3 Περιεχόµενα Πρόλογος...xii Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα σήµατα και συστήµατα 1.1 Βασικές έννοιες και ορισµοί Ιδιότητες και ταξινόµηση συστηµάτων και κυκλωµάτων...21 Γραµµικότητα...21 Χρονική µεταβολή...22 Αιτιοκρατικότητα (Causality)...23 Συστήµατα µε ή χωρίς µνήµη...24 Παθητικότητα...24 Διαστάσεις και συγκέντρωση παραµέτρων στα κυκλώµατα...25 Συνεχής /Διακριτός χρόνος - Αναλογικά/Ψηφιακά συστήµατα Παράσταση συστηµάτων...26 Σύνδεση συστηµάτων...26 Συστήµατα µε ανάδραση (feedback)...27 Αντιστροφα συστήµατα Ευστάθεια Τα Σήµατα και οι Ιδιότητές τους Γενικοί χαρακτηρισµοί σηµάτων...30 Νοµοτελειακά-τυχαία σήµατα (deterministic-random)...30 Αιτιοκρατικά ή µονόπλευρα σήµατα (causal ή one sided)...30 Περιοδικά και µη περιοδικά σήµατα...31 Ενεργειακά σήµατα και σήµατα ισχύος...34 Ιδιότητες συµµετρίας (άρτια και περιττά σήµατα)...35 Αρτιο και περιττό µέρος αιτιοκρατικών σηµάτων...37 Συνεχή και ασυνεχή σήµατα Χαρακτηριστικά µεγέθη σηµάτων...39 Μέση τιµή ή συνεχής συνιστώσα περιοδικού σήµατος...39 Ενεργός τιµή ή τιµή RΜS...40 Κύκλος Καθήκοντος...41 Συντελεστής κορυφής (Crest factor)...41 Διάρκεια - Σταθερά χρόνου iii-

4 1.3 Μετασχηµατισµοί σηµάτων...42 Κλιµάκωση χρόνου...42 Αντιστροφή χρόνου...44 Χρονική µετατόπιση (ολίσθηση)...45 Μετασχηµατισµοί πλάτους Ειδικά Σήµατα Το Μοναδιαίο Βηµατικό σήµα u(t) (Heaviside Unit Step)...49 Το σήµα προσήµου (signum)...52 Το επικλινές σήµα (ramp) Το Μοναδιαίο Κρούστικό σήµα δ(t) (Unit Impulse) Παράσταση σηµάτων µε κρουστικά Βηµατική και Κρουστική απόκριση Οι συναρτήσεις sinc(x) και Si(x) Κοινά σήµατα Το Ηµιτονικό σήµα Πραγµατικό εκθετικό σήµα Εκθετικά µεταβαλλόµενο συνηµιτονικό σήµα Περιγραφή των σηµάτων στο πεδίο συχνοτήτων...65 Εύρος ζώνης σήµατος...69 Ασκήσεις και προβλήµατα...73 Κεφάλαιο 2 Τα Ηλεκτρικά Στοιχεία 2.1 Εισαγωγή Οι Αντιστάτες Γραµµικοί Αντιστάτες...86 Ο Γραµµικός Αρνητικός Αντιστάτης...87 Βραχυκύκλωµα και Ανοιχτοκύκλωµα Μη γραµµικοί αντιστάτες Ο Επαγωγέας ως στοιχείο κυκλωµάτων Ο πυκνωτής ως στοιχείο κυκλωµάτων Παρασιτικά φαινόµενα και ρεαλιστικά µοντέλα Ανεξάρτητες πηγές τάσης και ρεύµατος Ανεξάρτητες πηγές τάσης Ανεξάρτητες πηγές ρεύµατος Ισοδυναµία Thevenin - Norton Σύνδεση πηγών τάσης iv-

5 Σύνδεση ιδανικών πηγών τάσης Σύνδεση πραγµατικών πηγών τάσης Σύνδεση πηγών ρεύµατος Παράλληλη σύνδεση πηγών ρεύµατος Σύνδεση πηγών ρεύµατος στη σειρά Μετασχηµατισµοί πηγών Εξαρτηµένες πηγές Γραµµικά µοντέλα transistor Ισχύς και ενέργεια Η τελεστική αντίσταση Ο µετασχηµατιστής ως στοιχείο κυκλωµάτων Ο ιδανικός Μετασχηµατιστής Ο Τελεστικός Ενισχυτής ως στοιχείο κυκλωµάτων Ο Ιδανικός Τελεστικός Ενισχυτής Απλά Κυκλώµατα µε Τελεστικούς Ενισχυτές Ο Ακολουθητής Τάσης (Voltage follower ή buffer) Ο Αντιστρεπτικός Ενισχυτής Τάσεως (Inverting Amplifier). 131 Ο Αντιστρεπτικός ολοκληρωτής και διαφοριστής Ο Αφαιρέτης Ο Μη Αντιστρεπτικός Ενισχυτής (Non Inverting Amplifier) 136 Ο Αρνητικός Γραµµικός Αντιστάτης Μη Αντιστρεπτικός Ολοκληρωτής Ενας Αρνητικός Μετατροπέας Κύκλωµα Riordan Προσοµοιωµένο Πηνίο Riordan Κύκλωµα Antoniou Προσοµοιωµένο πηνίο µε έναν ΤΕ Ατέλειες των Πραγµατικών Τελεστικών Ενισχυτών Το πεπερασµένο κέρδος Αλλες ατέλειες Γραµµική και µη γραµµική λειτουργία ΤΕ Ασκήσεις και προβλήµατα Κεφάλαιο 3 Συστήµατα στο Πεδίο του Χρόνου Εισαγωγή Απόκριση µηδενικής εισόδου (φυσική απόκριση) v-

6 3.2 Εξαναγκασµένη απόκριση Η πλήρης απόκριση Η βηµατική και η κρουστική απόκριση Η βηµατική απόκριση Η κρουστική απόκριση Η συνέλιξη Ιδιότητες της συνέλιξης Η συνέλιξη παραστατικά Λειτουργικά µπλοκ- Σύνδεση συστηµάτων Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση Περιγραφή συστήµατος µε διαφορική εξίσωση Βασικές λειτουργικές βαθµίδες Παράσταση, υλοποίηση ή προσοµοίωση συστηµάτων LTI Ασκήσεις και προβλήµατα Κεφάλαιο 4 Η Σειρά Fourier Εισαγωγή Ανάλυση περιοδικών σηµάτων σε σειρά Fourier Τεχνικές υπολογισµού συντελεστών σειράς Fourier Απλοποίηση υπολογισµών λόγω συµµετρίας Αρτια σήµατα Περιττά σήµατα συµµετρία ηµιπεριόδου άρτια συµµετρία τεταρτοπεριόδου περιττή συµµετρία τεταρτοπεριόδου Σειρές µετασχηµατισµένων περιοδικών σηµάτων Κλιµάκωση πλάτους Χρονική αντιστροφή Προσθήκη σταθεράς Χρονική µετατόπιση Υπολογισµός των συντελεστών µε παραγώγιση Προσέγγιση σήµατος - Φιλτράρισµα Δίπλευρα διακριτά φάσµατα Ασκήσεις και Προβλήµατα vi-

7 Κεφάλαιο 5 Ο Μετασχηµατισµός Fourier Εισαγωγή Η Εννοια και ο ορισµός του µετασχηµατισµού Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier Το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της F(jω) Σχέση άρτιου και περιττού µέρους µε R(ω) και X(ω) Σχέση R(ω) και X(ω) της F(jω) Μετασχηµατισµός Hilbert Μετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων Εφαρµογές του µετασχηµατισµού Fourier Μετασχηµατισµός κυκλωµάτων Υπολογισµοί κυκλωµάτων στο πεδίο του χρόνου Απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων - Συνάρτηση µεταφοράς Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση - ΜΗΚ Φάσµατα Φάσµατατική πυκνότητα ενέργειας και ισχύος Ιδανική µετάδοση και ιδανικά φίλτρα Διαµόρφωση πλάτους Μια σηµαντική παρατήρηση Πολυπλεξία συχνότητος (FDM) Δειγµατοληψία (sampling) Ασκήσεις και προβλήµατα Κεφάλαιο 6 Ο Μετασχηµατισµός Laplace Εισαγωγή Ορισµός του µετασχηµατισµού Laplace Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace Αντιστροφή του µετασχηµατισµού Laplace Αντιστροφή πρωτοβάθµιων όρων Αντιστροφή δευτεροβαθµίων όρων Ανάλυση ρητών συναρτήσεων σε µερικά κλάσµατα Υπόλοιπα απλών πόλων Υπόλοιπα πολλαπλών πόλων Υπόλοιπα µιγαδικού ζεύγους πόλων vii-

8 6.5 Σχέση µετασχηµατισµών Fourier και Laplace Ο µετασχηµατισµός Laplace στα κυκλώµατα Μετασχηµατισµένα στοιχεία και κυκλώµατα Εφαρµογές Ασκήσεις και προβλήµατα Κεφάλαιο 7 Συστήµατα και Κυκλώµατα στο πεδίο-s 7.1 Η γενική έννοια της συνάρτησης κυκλώµατος Αλγεβρα συναρτήσεων µεταφοράς - Μπλοκ Πόλοι και µηδενικά Οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων Συναρτήσεις µεταφοράς τάσεως και ρεύµατος Απόκριση πλάτους και φάσης κατά συχνότητα Διαγράµµατα Bode Καµπύλες από το διάγραµµα πόλων-µηδενικών Παράσταση Οδηγουσών συναρτήσεων Ευστάθεια Εισαγωγή στους Ταλαντωτές Παράλληλος LC ταλαντωτής Σειριακός LC ταλαντωτής Ταλαντωτές γέφυρας Wien Ταλαντωτές Colpitts και Hartley Ταλαντωτής µετατόπισης φάσης Ασκήσεις και προβλήµατα Κεφάλαιο 8 Συναρτήσεις και Κυκλώµατα 2ης Τάξης 8.1 Συναρτήσεις και κυκλώµατα 1ης τάξης Ενεργά κυκλώµατα 1ης τάξης Ενεργά κυκλώµατα 1ης τάξης αρνητικού κέρδους Ενεργά κυκλώµατα 1ης τάξης θετικού κέρδους Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης Βαθυπερτή συνάρτηση και κυκλώµατα 2ης τάξης Βαθυπερατό Φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key viii-

9 8.5 Υψιπερατή συνάρτηση και κυκλώµατα 2ης τάξης Ζωνοδιαβατή µεταφοράς και κυκλώµατα 2ης τάξης Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key Το κύκλωµα Δεληγιάννη Συνάρτηση αποκοπης ζώνης 2ης τάξης Ολοπερατή συνάρτηση 2ης τάξης Απόκριση φάσης κυκλωµάτων 2ης τάξης Κύκλωµα 3 τελεστικών ενισχυτών Ενεργά κυκλώµατα 2ης τάξης µε πολλαπλή ανάδραση Βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Υψιπερατά κυκλώµατα πολλαπλής ανάδρασης Ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Κύκλωµα αποκοπής ζώνης µε πολλαπλή ανάδραση Ασκήσεις και Προβλήµατα Κεφάλαιο 9 Δίθυρα Κυκλώµατα 9.1 Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Περιγραφή µε την µήτρα Ζ Περιγραφή µε την µήτρα Υ Περιγραφή µε την µήτρα Τ Περιγραφή µε την µήτρα h Περιγραφή µε την µήτρα g Ισοδυναµία παραµέτρων Ισοδυναµία διθύρων Ισοδύναµα Τ και Π Σύνδεση Διθύρων Χρήσιµες συναρτήσεις διθύρων Αντιστρεψιµότητα και συµµετρία Δύο χρήσιµα θεωρήµατα ενεργού αντιστάθµισης Θεώρηµα αντιστάθµισης Ι Θεώρηµα αντιστάθµισης ΙΙ Ασκήσεις και Προβλήµατα ix-

10 Κεφάλαιο 10 Εξισώσεις Καταστάσεως 10.1 Εισαγωγή Η έννοια της κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης Επίλυση στο πεδίο-s (Laplace) Επίλυση στο πεδίο του χρόνου Υπολογισµός της µήτρας µετάβασης κατάστασης Με απειροσειρά Με το θεώρηµα Cayley-Hamilton Με διαγωνιοποίηση Με τον µετασχηµατισµό Laplace Σύντοµη Επανάληψη εννοιών από την θεωρία των µητρών Χαρακτηριστικό πολυώνυµο και εξίσωση µήτρας Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα τετραγωνικής µήτρας Διαγωνιοποίηση τετραγωνικής µήτρας Θεώρηµα Cayley-Hamilton Δυνάµεις µητρών Παραγώγιση και ολοκλήρωση µητρών Πολυώνυµα και συναρτήσεις µητρών Η µητρική εκθετική συνάρτηση Ασκήσεις και προβλήµατα Βιβλιογραφία Αλφαβητικό Ευρετήριο x-

11 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό γράφτηκε µετά από αρκετά χρόνια διδασκαλίας θεωρίας συστηµάτων και κυκλωµάτων και πιστεύω ότι θα συµπληρώσει την βιβλιογραφία στο συγκεκρι- µένο αντικείµενο, δηµιουργώντας µια γέφυρα µεταξύ υπέρµετρα θεωρητικών και αδικαιολόγητα απλοποιηµένων βιβλίων. Στην ανάπτυξη της ύλης λειτούργησα ως µηχαικός, προσπαθώντας, όπου ήταν δυνατόν, µέσα από την ανάλυση να υπογραµµίσω την κατεύθυνση προς την Σύνθεση και να αναδείξω µέσα από τα αναπόφευκτα µαθηµατικά την πρακτική πλευρά του κάθε θέµατος, χωρίς υποβάθµιση της απαραίτητης µαθηµατικής θεµελίωσης. Το περιεχόµενο και ο τρόπος παρουσίασής είναι κατάλληλα για την διδασκαλία ενός µαθήµατος Θεωρίας Κυκλωµάτων, που ακολουθεί τα βασικά µαθήµατα κυκλωµάτων ενός προγράµµατος σπουδών αλλά και ενός αµιγούς µαθήµατος Σηµάτων και Συστηµάτων συνεχούς χρόνου. Προσωπικά προτιµώ την ταυτόχρονη αντιµετώπιση των δύο αυτών τόσο συγγενών αντικειµένων. Στην παρουσίαση της ύλης θεωρείται ότι οι βασικές γνώσεις ηλεκτρικών κυκλωµάτων έχουν παρουσιαστεί σε προηγούµενο επίπεδο και οι σπουδαστές είναι εξοικειωµένοι µε την µόνιµη ηµιτονική κατάσταση και γνωρίζουν τα βασικά θεωρήµατα και τις µεθόδους ανάλυσης κυκλωµάτων στην κατάσταση αυτή. Από πλευράς Θεωρίας Κυκλωµάτων, το βιβλίο αυτό επεκτείνει τις γνώσεις προς την κατεύθυνση της Ανάλυσης µε οποιαδήποτε διέγερση και σε οποιαδήποτε κατάσταση, µόνιµη ή µεταβατική. Ο περιορισµός στα συστήµατα συνεχούς χρόνου εκφράζει την προσωπική µου άποψη ότι δεν είναι απόλυτα ορθή εκπαιδευτική τακτική να διδάσκει κανείς τα Σήµατα και Συστήµατα, αναφερόµενος ταυτόχρονα στον συνεχή και διακριτό χρόνο. Τα δύο πεδία είναι τόσο εκτεταµένα, που τελικά ο σπουδαστής δεν µπορεί να εµβαθύνει σε ένα εξάµηνο ούτε στον συνεχή, ούτε στον διακριτό χρόνο σε ένα εξαµηνιαίο µάθηµα. Η οµοιότητα και αντιστοιχία πολλών εννοιών και µεθόδων του συνεχούς χρόνου στον διακριτό, δεν αποτελεί επαρκές κίνητρο γιά να ταλαιπωρήσει κανείς τους σπουδαστές του. Οι οµοιότητες και οι αντιστοιχίες εξάλλου δεν χάνονται, αν τα συστήµατα διακριτού χρόνου διδαχθούν σε επόµενο εξάµηνο, σε σπουδαστές που ήδη κατέχουν τα µυστικά του συνεχούς χρόνου. Στην περίπτωση αυτή µάλιστα, οι αναφορές στις µεθόδους του συνεχούς χρόνου, γίνονται ίσως πιό κατανοητές. -xi-

12 Το βιβλίο καλύπτει όλες τις περιγραφές των συστηµάτων συνεχούς χρόνου, στο πεδίο του χρόνου µε διαφορικές εξισώσεις, µε διαγράµµατα προσοµοίωσης, µε την συνέλιξη και µε τις εξισώσεις καταστάσεως και τις αντίστοιχες στο πεδίο συχνοτήτων, µε τους µετασχηµατισµούς Fourier και Laplace. Στο Κεφάλαιο 1, ορίζονται και ταξινοµούνται τα σήµατα και τα συστήµατα και παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και τα εργαλεία µελέτης τους. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται τα ηλεκτρικά στοιχεία µε έµφαση στα πολύκλαδα στοιχεία, τον µετασχηµατιστή και τον τελεστικό ενισχυτή. Το κεφάλαιο αυτό µπορεί να παραληφθεί ή να παρουσιαστεί εν τάχει, αν το περιεχόµενό του έχει καλυφθεί σε ικανοποιητικό επίπεδο σε προηγούµενα µαθήµατα. Το Κεφάλαιο 3 παρουσιάζει τα µοντέλα των συστηµάτων στο πεδίο του χρόνου (διαφορική εξίσωση, διαγράµµατα προσοµοίωσης, κρουστική απόκριση), ενώ στο πεδίο συχνοτήτων περνάµε µε στα Κεφάλαια 4,5 και 6, που είναι αφιερωµένα στις µεθόδους Fourier και Laplace. Το Κεφάλαιο 7 παρουσιάζει την εφαρµογή και την χρήση του µετασχηµατισµού Laplace στην µελέτη συστηµάτων και κυκλωµάτων στο πεδίο συχνοτήτων, ενώ στο κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται οι συναρτήσεις 2ης τάξης, που αποτελούν το βασικό οπλοστάσιο για την σύνθεση πιό πολύπλοκων συστηµάτων. Το Κεφάλαιο 9 ασχολείται µε τα δίθυρα κυκλώµατα µε στόχο την προετοιµασία του σπουδαστή για επόµενα µαθήµατα Σύνθεσης και σχεδίασης και µπορεί να παραληφθεί αν τα δίθυρα κυκλώµατα διδάσκονται σε επόµενο µάθηµα. Τέλος, στο Κεφάλαιο 10, παρουσιάζονται οι εξισώσεις κατάστασης, οι οποίες κατά την γνώµη µου πρέπει να καταβληθεί προσπάθεια να µην παραληφθούν από την διδακτέα ύλη του µαθήµατος. Η έκδοση του βιβλίου αυτού αποτελεί µιά απολύτως κάθετη παραγωγή του συγγραφέα από την συγγραφή, την δακτυλογράφηση, την επιµέλεια της έκδοσης και την εκτύπωση, µε αποτέλεσµα την απώλεια της δυνατότητος µετατόπισης της ευθύνης των λαθών, παραλείψεων και κακοτεχνιών σε άλλους. Ελπίζω ότι όλα αυτά θα εντοπιστούν και θα µου τεθούν υπόψη για να ληφθούν υπόψη σε επόµενη έκδοση. Θα ήθελα τέλος να ευχαριστήσω τον Καθηγητή του Τµήµατος Ηλεκτρονικής του ΤΕΙ Πειραιά κ. Δ. Καλύβα, όχι µόνον για την ανάγνωση και σχολιασµό µέρους της ύλης, αλλά κυρίως για τις συζητήσεις που είχαµε κατά καιρούς,και επηρέασαν σηµαντικά την δοµή και την στόχευση του βιβλίου αυτού. Ηρακλής Γ. Δηµόπουλος -xii-

13 Στην µονάκριβη σύντροφό µου Πόπη, που δίνει νόηµα στη ζωή µου από το xiii-

14 -xiv-

15 Σήµατα, Συστήµατα και Κυκλώµατα συνεχούς χρόνου -xv-

16 -xvi-