ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ. Η Μικροµηχανική Ερµηνεία του Τανυτή των Τάεων 3.. Η Αρχή των υνατών Έργων (Α..Ε.) τα κοκκώδη µέα 3.. Ο µικροµηχανικός οριµός της τάεως κατά Love 8. Οι Αναλλοίωτες του Τανυτή των Τάεων.3 Αξονουµµετρικές Εντατικές Κατατάεις 7.4 Η Φυική Ερµηνεία των Αναλλοίωτων του Τανυτή των Τάεων 0.5 Ζώνες ιατµήεως.6 Μέγιτη, Μέη και Οκταεδρική ιατµητική Τάη 4.7 Κριτήρια Ατοχίας κατά Tresca και von Mises 7.8 Κριτήριο Ατοχίας κατά Mohr-Coulomb 30.9 Παράρτηµα: Ο κύκλος Mohr των τάεων 3 Στο ειαγωγικό αυτό κεφάλαιο ξεκινάµε µε µία αναφορά τη µικροµηχανική των κοκκωδών υλικών και τη υνέχεια υνοψίζουµε τις βαικές έννοιες και οριµούς χετικά µε τις έννοιες της εντάεως και της αντοχής όπως αυτές απαντώνται την «Αντοχή των Υλικών».
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ.. ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗ, 009 Ιωάννης Γ. Βαρδουλάκης, Dr-Ing., Καθηγητής της Μηχανικής το Ε.Μ. Πολυτεχνείο Τ.Θ. 44, Παιανία 90-0, http://geolab.mechan.ntua.gr/, I.Vardoulakis@mechan.ntua.gr
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 3. Η Μικροµηχανική Ερµηνεία του Τανυτή των Τάεων.. Η Αρχή των υνατών Έργων (Α..Ε.) τα κοκκώδη µέα Εικ. -: Αριθµητική προοµοίωη των δυνάµεων επαφής που αναπτύονται µεταξύ των κόκκων ε κοκκώδες µέο υπό την επίδραη της βαρύτητας Εδώ θα κιαγραφήουµε µια µικροµηχανική προέγγιη το πρόβληµα της εντάεως, όπως αυτή απαντάται τη Μηχανική των κοκκωδών µέων,3. Από τη κοπιά της Μικροµηχανικής τα διάφορα µεγέθη, κινηµατικά ή τατικά ορίζονται µε κάποια τατιτική διαδικαία πάνω το λεγόµενο Αντιπροωπευτικό Στοιχειώδη Όγκο 4 (REV). Αξίζει να ηµειώουµε ότι κατά τα τελευταία 30 χρόνια έχουν αναπτυχθεί πολλοί υπολογιτικοί κώδικες που βαίζονται τη λεγόµενη Μέθοδο των ιακριτών Στοιχείων 5,6 που µας επιτρέπουν να πραγµατοποιήουµε υπολογιτικά πειράµατα και να µελετήουµε τις µηχανικές ιδιότητες των κοκκωδών υλικών τη κλίµακα του κόκκου (Εικ. -). Σε ένα ώµα µε κοκκώδη µικροδοµή υποθέτουµε ότι ανά πάα τιγµή οι κόκκοι βρίκονται ε επαφή µε οριµένους από τους γείτονές τους. Γεωµετρικά η επαφή δύο κόκκων, κ και κ m, χαρακτηρίζεται από το κοινό ηµείο επαφής cmn (, ), το κοινό επίπεδο επαφής nc mc ε ( mn, ) και από τα µοναδιαία κάθετα διανύµατα το επίπεδο επαφής, nk = nk, που βρίκονται την ευθεία που υνδέει τα κέντρα των κόκκων και η οποία περιέχει το ηµείο επαφής c. Από τατική κοπιά η επαφή δύο κόκκων χαρακτηρίζεται από το ζεύγος nc mc δυνάµεων επαφής, Fk = Fk, που ακούνται το ηµείο επαφής από τον ένα κόκκο τον άλλο (Εικ. -). Στη βάη αυτή περιγράφουµε το πραγµατικό κοκκώδες υλικό από µεν γεωµετρικής κοπιάς µε το χωροδικτύωµα (γράφηµα) εκείνο που έχει ως κόµβους τα κέντρα των φαιρικών κόκκων από δε τατικής πλευράς µε το χωροδικτύωµα εκείνο που έχει ως τάεις «ράβδων» το πλέγµα των δυνάµεων επαφής (Εικ. -3). Σηµειώνουµε ότι τα χωροδικτυώµατα της γεωµετρικής και της τατικής µικροδοµής γενικώς δεν ταυτίζονται. Αυτά ταυτίζονται µόνο την περίπτωη όπου οι κόκκοι θεωρούνται ότι είναι λείες φαίρες, οπότε κατά τις επαφές τους µόνο ορθές δυνάµεις µπορούν να ακηθούν. n Bardet, J.-P. and Vardoulakis (00). The asymmetry of stress in granular media. Int. J. Solids Struct.,38, 353-367. Christoffersen, J., M. M. Mehrabadi, S. Nemat-Nasser (98), A micromechanical description of granular material behavior, Journal of Applied Mechanics, ASME, Vol. 48, pp. 339-344. 3 Rothenberg, L., and A. P. S. Selvadurai (98). Micromechanical definition of the Cauchy stress tensor for particulate media, In: Mechanics of Structured Media (edited by A.P.S. Selvadurai), Elsevier, pp. 469-486. 4 Αγγλ. Representative Elementary Volume (REV). 5 Αγγλ. Discrete Element Method (DEM) 6 Cundall P.A., Strack O.D.L. (979). A discrete numerical model for granular assemblies, Géotechnique 9, No, 47-65.
4 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Εικ. -: Ο αντιπροωπευτικός τοιχειώδης όγκος ( REV ) και δυνάµεις επαφής µεταξύ κόκκων. Εικ. -3: Κοκκώδης µικροδοµή: το γεωµετρικό και το τατικό χωροδικτύωµα Εικ. -4: Θέεις κόκκων και ηµείων επαφής κόκκων
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 5 Θεωρούµε ένα χαρακτηριτικό τοιχειώδη όγκο ( REV ), ο οποίος περιέχει N τον αριθµό κόκκους, οι οποίοι βρίκονται ε επαφή µεταξύ τους και οριµένοι εκ των οποίων φορτίζονται εξ επαφής µέω εξωτερικών φορτίων την περιφέρεια του ( REV ). Στην περίπτωη που ο ( REV ) είναι µικρός η επίδραη των καθολικών δυνάµεων θεωρείται αµελητέα. Όλοι οι κόκκοι τον ( REV ) οµαδοποιούνται ε ένα ύνολο το οποίο αντιτοιχεί το ύνολο δεικτών αριθµήεώς τους, { κ κ κ } { } B =,,,,,,, a N Β= a N (.) Οι δυνάµεις οι οποίες δρουν τους κόκκους του ( REV ) είναι υγκεντρωµένα φορτία που ακούνται ε M τον αριθµό ηµεία επαφής, { } { } C = e,,,,,,,, es em Γ= s M (.) Το υπούνολο I C περιλαµβάνει τα ηµεία επαφής των κόκκων το εωτερικό του ( REV ), ενώ το υπούνολο E C περιλαµβάνει τα ηµεία όπου ακούνται το ύνορο του ( REV ): { M } Ι { M M} I = e,, e Ι= {,, M } E = e, e Ε= { M +, M} (.3) Ι + Ι I E = C, I E = Ι Τα υπούνολα Ia Ι a και Ea Ε a αφορούν τα ηµεία επαφής του κόκκου αντιτοίχως µε κόκκους το εωτερικό του ( REV ) και µε κόκκους εξωτερικά του ( REV ), ενώ το ύνολο Ca Γ a αφορά τα ηµεία επαφής του κόκκου υνολικά, οπότε κ a C = C, C = I E a B a a a a I = I, E = E a B a a B a όπου για δύο διαφορετικούς κόκκους κ a και κ b ιχύουν οι παρακάτω χέεις (.4) { } E E =, I I = e κ κ B (.5) a b a b c a b Μια δεδοµένη υκευαία κόκκων είναι ε ιορροπία όταν κάθε κόκκος είναι ε ιορροπία, δηλαδή όταν όλες οι εωτερικές και εξωτερικές δυνάµεις που δρουν τον κόκκο είναι ε ιορροπία. Ιορροπία δυνάµεων και ροπών εκφράζονται από τις εξής εξιώεις αντιτοίχως, ac Fi = 0 (.6) c C a c a εijk ( xj xj ) ac Fk = 0 (.7) c C a a c όπου x i και x i είναι τα διανύµατα θέεως του κέντρου του κόκκου και του ηµείου επαφής του µε εωτερικούς κόκκους ή του ηµείου εφαρµογής εξωτερικού φορτίου.
6 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. εχόµεθα ότι δυνητική κινηµατική του τυχόντος κόκκου τερεού ώµατος) υνοψίζεται ε µία δυνατή µετατόπιη a δθ i (Εικ. -5). κ a (θεωρουµένου ως απολύτως a δ u i και µία δυνατή τροφή Εικ. -5: υνατή µετατόπιη και δυνατή τροφή κόκκου. Πολλαπλαιάζοντας τις παραπάνω εξιώεις ιορροπίας (.6) και (.7) µε τη δυνατή a a µετατόπιη δ u i και τη δυνατή τροφή δθ i και αθροίζοντας τις εξιώεις που προκύπτουν για όλους τους κόκκους τον ( REV ), παίρνουµε την εξής έκφραη a Β c Ca ac a c a ac a ( F ( ) ) i δu i + ε ijk x j x j F k δθ i = 0 (.8) Το παραπάνω διπλό άθροιµα πάνω τα ύνολα C a και Β µπορεί να αναλυθεί ε δύο αθροίµατα πάνω τα ύνολα Ι και Ε. Λαµβάνοντας δε υπόψη το γεγονός ότι οι εωτερικές δυνάµεις εµφανίζονται τα αθροίµατα αυτά κατά ζεύγη αντιθέτων δυνάµεων, F = F = F (.9) c ac bc i i i παίρνουµε τελικά την εξής έκφραη για την Α..Ε. δw = δw (.0) ( Dext, ) ( D,int) (, ) όπου οι ποότητες δ W Dext (,int) και δ W D υνιτούν αντιτοίχως 7 : α) Το δυνατό έργο των εξωτερικών δυνάµεων, που δρουν το διακριτό µέο δw = F δu (.) όπου ( Dext, ) e e i i e Ε e δ u i είναι η δυνατή µετατόπιη του ηµείου εφαρµογής e του εξωτερικού φορτίου e F i και β) το δυνατό έργο των εωτερικών δυνάµεων: δw = F δu (.) όπου ( D,int) c c i i c Ι c δu i είναι η µετατόπιη το ηµείου επαφής c των κόκκων κ a και κ b (Εικ. -6), 7 Ο δείκτης D υµβολίζει ότι οι εκφράεις αυτές αντιτοιχούν ε δυνατά έργα για το διακριτό (Αγγλ. discrete) ύτηµα των κόκκων
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 7 ( ( ) ( )) δu = δu δu + ε δθ x x δθ x x (.3) c b a b c b a c a i i i ijk j k k j k k Εικ. -6: υνατές µετατοπίεις και τροφές Οι δυνατές µετατοπίεις και τροφές µπορούν να επιλεγούν τυχαία. Ειδικότερα µπορούν να επιλεγούν ως υναρτήεις του διανύµατος θέεως του κέντρου του κόκκου: δ u = a + b x + (.4) a a i i ij j δθ = α + β x + (.5) a a i i ij j για τυχαίους υντελετές a, b και α, β, οπότε: i ij i ( ) ( ) ( ) ( ) ij ( ) δu = b x x α ε x x + β ε x x x x x x + (.6) και c b a b a b c b a c a i ij j j j ijk k k jl ijk l k k l k k δu = δu + ε δθ x x + e a a e ae i i ijk j k k ( ) ( ) ( ) = a + b x + ε α x x + ε β x x x + ae e ae ae e ae i ij j ijk j k k ijk jl l k k όπου το διάνυµα επαφή e. (.7) ae x k δίνει τη θέη του κέντρου a του κόκκου κ a µε την εξωτερική Με τις παραπάνω παραδοχές παίρνουµε τις εξής εκφράεις για τα έργα των εξωτερικών και εωτερικών δυνάµεων: (.8) δw = b F ( x x ) α ε F ( x x ) + ( D,int) c b a c b a ij i j j j ijk i k k c Ι c Ι (.9) δw = a F + b F x + α ε F ( x x ) + ( Dext, ) e e ae e e ae i i ij i j j ijk i k k e Ε e Ε e Ε Από την Α..Ε., εξ. (.0) παίρνουµε διαδοχικά τις εξής εξιώεις ιορροπίας:
8 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. e b = 0, α = 0, a F = 0 a ij i i i i e Ε e Fi = 0 e Ε (.0) Η εξ. (.0) εκφράζει την ιορροπία των εξωτερικών δυνάµεων που ακούνται τον ( REV ). Επίης, c b a e ae a = 0, α = 0, b F ( x x ) = b F x b i i ij i j j ij i j ij c Ι e Ε c Ι F ( x x ) = F x c b a e ae i j j i j e Ε (.) και c b a e e ae a = 0, b = 0, α ε F ( x x ) = α ε F ( x x ) α i ij j ijk i k k j ijk i k k j c Ι e Ε c b a e e ae ε F ( x x ) = ε F ( x x ) c Ι ijk i k k ijk i k k e Ε (.) e ae Αν δεχθούµε τώρα ότι η ποότητες ( xk xk ) είναι της τάξεως µεγέθους της ακτίνας του κόκκου e ae x x = O( R ) (.3) k k g τότε η παραπάνω εξίωη ιορροπίας ροπών (.) δίνει κατά προέγγιη την εξής χέη, c b a ε F ( x x ) = 0 (.4) ijk i k k c Ι.. Ο µικροµηχανικός οριµός της τάεως κατά Love Κατά τη µετάβαη από το ιακριτό κοκκώδες Μέο το Συνεχές Μέο 8 παρατηρούµε ότι ο τανυτής των τάεων κατά Cauchy το Συνεχές ικανοποιεί τις εξιώεις ιορροπίας. Όπως αναφέραµε την περίπτωη που ο ( REV ) είναι µικρός η επίδραη των καθολικών δυνάµεων θεωρείται αµελητέα, οπότε έχουµε τις εξής εξιώεις ιορροπίας, x ij i = 0 x V k REV (.5) ijni = tj xk VREV (.6) Για τον υπολογιµό µιας µέης τιµής της τάεως τον ( REV ) ακολουθούµε την εξής διαδικαία9: Πολλαπλαιάζουµε την εξ. (.5) µε x k και ολοκληρώνουµε πάνω τον όγκο του ( REV ), οπότε παίρνουµε, 8 Froiio, F., Tomassetti, G. and Vardoulakis, I. (006). Mechanics of granular materials: the discrete and the continuum descriptions juxtaposed, Int. J. Solids Structures, 43, 7684 770. 9 L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Vol.7, sect., p.7, Pergamon Press, 959.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 9 ij ( ij xk ) k xk xdv= dv ij dv= 0 x x x VREV i VREV i VREV i VREV VREV x n ds δ dv = 0 ij k i ij ki VREV t x ds = dv j k kj VREV Ορίζουµε τώρα τη µέη τάη (.7) ij = ijdv V (.8) REV VREV Αντιπαραβάλλοντας τις εξ. (.) και (.7) ae e b a c xktds i = kidv xkfi = ( xk xk) Fi (.9) VREV VREV e Ε c Ι Αυτή η αντιπαραβολή µας επιτρέπει να προτείνουµε ένα τύπο για τον υπολογιµό της µέης τάεως το (REV) κάνοντας χρήη µικροµηχανική πληροφορία 0, V ή b a c ( x x ) F (.30) ij i i j REV c Ι c c ij i Fj VREV c Ι όπου (.3) = x x (.3) b a i i i είναι το διάνυµα που ενώνει τα κέντρα των εκάτοτε δύο κόκκων ε επαφή. Η παραπάνω χέη, εξ.(.3), για τον υπολογιµό της τάεως αποδίδεται τον Love και έχει τύχει ευρείας χρήεως την χετική βιβλιογραφία. Τέλος παρατηρούµε ότι από τις εξ. (.4) και (.3) προκύπτει (προεγγιτικά) η υµµετρία της µέης τάεως c c ε F 0 ε 0 (.33) ijk i k ijk ki c Ι οπότε για ή j = : ε + ε 0 κ.ο.κ. (.34) 3 3 3 3 3 3 0 e.g. information stemming from a DEM simulation of the mechanical description of a granular medium. A.E.H. Love, A Treatise of the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University Press, 97.
0 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. ij (.35) ji Στην περίπτωη αυτή ο παραπάνω τύπος του Love θα πάρει την εξής µορφή, c c c c ( F + F ) (.36) V ij i j j i REV c Ι Παράδειγµα Εικ. -7: Υπολογιµός της ιοδύναµης τάεως ε υνεχή δίκο Πίνακας -: Επίλυη του δικτυώµατος και υπολογιµός της ιοδύναµης τάεως τον κεντρικό κόµβο (Εικ. -7) Για την επεξήγηη του παραπάνω τύπου του Love για τον υπολογιµό της µέης τάεως ε ένα διακριτό µέο, εξ. (.36), θα θεωρήουµε το εξής απλό παράδειγµα: Έτω ένα απλό επίπεδο τριγωνικό δικτύωµα, αποτελούµενο από ράβδους του ιδίου µήκους και της ίδιας τιβαρότητας, φορτιζόµενο την κορυφή του από οριζόντιο φορτίο F [ kn/ m ], όπως φαίνεται την Εικ. -7. Θεωρούµε τον κεντρικό κόµβο ( a ) και τους γειτονικούς του, µε τους οποίους αυτός υνδέεται µέω των ράβδων () ως (6). Επιλύνοντας τον φορέα βρίκουµε τις τάεις των ράβδων αυτών διάτµηη (Πίνακας -) και εφαρµόζουµε τον τύπο του Love ως εξής: 6 + c c c c ( S S ) ij i j j i π c= οπότε προκύπτει ότι η εντατική κατάταη τον κόµβο (a) είναι απλή διάτµηη: [ ] 0 /4 F = /4 0 π (.37) (.38)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ.. Οι Αναλλοίωτες του Τανυτή των Τάεων Εικ. -8: Συµβολιµός των υνιτωών του ελκυτή των τάεων ε επίπεδα κάθετα προς τους άξονες καρτειανού υτήµατος υντεταγµένων Θεωρούµε τον υµµετρικό πραγµατικό ή κατά Cauchy τανυτή των τάεων ε καρτειανή µορφή ε ύτηµα αξόνων Ox (, x, x 3) (Εικ. -8.), 3 [ ] = 3 3 3 33 Ο τανυτής αυτός αναλύεται ε ιότροπο ή φαιρικό και αποκλίνοντα, (.39) ij = kkδij + sij (.40) 3 όπου = + + (.4) kk 33 είναι το ίχνος του τανυτή των τάεων και s = ( ), s =, κοκ... (.4) 3 33 είναι οι υνιτώες του αποκλίνοντα. Παρατηρούµε ότι οι κύριοι άξονες του τανυτή των τάεων και του αποκλίνοντά του ταυτίζονται (γιατί;). Σε ύτηµα κυρίων αξόνων Ox (, x, x ) οι τανυτές αυτοί παρίτανται από τους παρακάτω διαγώνιους πίνακες 3 0 0 s 0 0 = 0 0, = 0 s 0 [ ] [ s] 0 0 3 0 0 s 3 (.43) Αγγλ. deviator
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Παρατήρηη Γενικώς οι ιδιοτιµές ενός πίνακα [ A ij ] ικανοποιούν την χαρακτηριτική εξίωη (γιατί;) A αδ = α I α + II α III = (.44) 3 ij ij 0 A A A 0 όπου I A, II A και III A είναι οι βαικές αναλλοίωτες του πίνακα [ A ] 3 X 3, που δίδονται από τις παρακάτω χέεις υναρτήει των τοιχείων του πίνακα [ A] = [ A ij ] και των ιδιοτιµών του α ( i =,,3) : A i I = A + A + A = α + α + α (.45) II 33 3 A A A A A A 3 3 A = + + = αα + αα3+ α3α (.46) A A A3 A33 A3 A33 A A A3 III A = A A A3 = ααα 3 (.47) A A A 3 3 33 Σηµειώνουµε ότι οι ιδιοτιµές ενός τετραγωνικού υµµετρικού πίνακα είναι πραγµατικοί αριθµοί 3. Εικ. -9: Χώρος των κυρίων τάεων κατά Haigh-Westergaard Όταν η εντατική κατάταη αναφέρεται ε ύτηµα κυρίων αξόνων, τότε δύναται αυτή να παραταθεί γεωµετρικά ε ένα καρτειανό χώρο, τον λεγόµενο χώρο των κυρίων τάεων κατά Haigh-Westergaard (Εικ. -9). Στον χώρο αυτό η εντατική κατάταη παρίταται µε το διάνυµα θέεως 3 Pettofrezzo, A.J., Matrices and Transformations, Dover, 966
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 3 OP = 3 (.48) Το διάνυµα αυτό προβάλλεται αντιτοίχως την λεγόµενη χωροδιαγώνιο και ε κάθετο προς αυτήν επίπεδο (π). Πάνω την χωροδιαγώνιο απεικονίζονται όλες οι ιότροπες εντατικές κατατάεις, δηλαδή οι εντατικές κατατάεις µε, = = 3, ενώ πάνω το επίπεδο (π), που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, το λεγόµενο και «αποκλίνον επίπεδο», απεικονίζονται όλες οι καθαρώς αποκλίνουες από την ιότροπη εντατικές κατατάεις, δηλ. οι εντατικές κατατάεις µε + + 3 = 0. Έτω η η αναλλοίωτη ποότητα του τανυτή των τάεων, I = = + + (.49) kk 3 οπότε, = s+ I, κοκ... (.50) 3 Παρατηρούµε ότι η η αναλλοίωτος του αποκλίνοντος τανυτή µηδενίζεται, J = s = s + s + s = (.5) s kk 3 0 Άρα για τον υπολογιµό των κυρίων τάεων i ( i =,,3) αρκεί να υπολογίουµε τις κύριες τάεις si ( i =,,3). Αυτές δίδονται από την εξής χαρακτηριτική εξίωη (γιατί;) = (.5) 3 s Js s J3s 0 οι υντελετές της οποίας είναι αντιτοίχως η η και 3 η αναλλοίωτος του αποκλίνοντος τανυτή των τάεων, Js = sijsji = ( s + s + s3) (.53) 3 3 3 J3s = sijsjkski = ( s + s + s3) (.54) 3 3 Επειδή ο τανυτής των τάεων είναι υµµετρικός, έχει πραγµατικές ιδιοτιµές, οπότε η λύη της παραπάνω χαρακτηριτικής κυβικής εξ. (.5) για τις ιδιοτιµές του αποκλίνοντος δίδεται µε τη βοήθεια τριγωνοµετρικών υναρτήεων µιας βοηθητικής γωνίας α ως εξής: s Js Js π Js π s = cos αs, s = cos αs, s3 = cos + αs 3 3 3 3 3 Όπου (Εικ. -0) (.55)
4 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. () : 0 α π / 3 ( s s s ) : α = α s 3 s s0 (): π /3 α π /3 ( s s s ) : α = α + π /3 s 3 s s0 (3): π /3 α π ( s s s ) : α = α + π /3 s 3 s s0 (4): π α 4 π /3 ( s s s ) : α = α + 4 π /3 s 3 s s0 (5) : 4 π / 3 α 5 π / 3 ( s s s ) : α = α + 4 π / 3 s 3 s s0 s s3 s s s s0 (6) :5 π / 3 α π ( ) : α = α + π (.56) Εικ. -0: Γεωµετρική απεικόνιη της λύεως της χαρακτηριτικής εξ. (.5) του αποκλίνοντος Η γωνία α s0 καλείται αναλλοίωτη ταική γωνία οµοιότητας και ορίζεται ως εξής 4 3 3 J cos3 α =, 0 α π / 3 (.57) 3s s0 3/ s0 Js Στην βιβλιογραφία καµιά φορά αντί της αναλλοίωτης γωνίας α s0 χρηιµοποιείται η παράµετρος Lode 5 ή η λεγόµενη παράµετρος 6 b, οι οποίες το ο εκτιµόριο ορίζονται ως εξής: sinα L 3 s0 = =, 3 sin( π / 3 + αs0) sinα b= = ( + ) = ( 3 ) sin( π /3 α ) 3 s0 L + s0 (.58) (.59) 4 Αγγλ. stress invariant angle of similarity 5 W. Lode (96). Versuche ueber den Einfluss der mittleren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle Eisen, Kupfer und Nickel. Z. Physik, Vol. 36, 93-939. 6 Η παράµετρος b χρηιµοποιείται υνήθως την Εδαφοµηχανική, πρβλ. Reads & Green, Géotechnique, 6(4), 55-576, 976. Parry RHG. Ed. Stress-strain behaviour of soils. Proceedings of the Roscoe Memorial Symposium. Cambridge University, March, 97.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 5 Εικ. -: Σχέη µεταξύ αναλλοίωτου γωνίας α s0 και παραµέτρου Lode, εξ. (.58) Εικ. -: Οριµός της ταικής παραµέτρου b, εξ. (.59) Παράδειγµα Σε καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων Ox (, x, x 3) δίδεται ο πίνακας των τάεων ε κατάλληλες µονάδες: 0 [ ij ] = 0 3 3 0 Η µέη ορθή τάη και ο αποκλίνων είναι: 0 0 p= ( + + 0) =, [ s ij ] = 0 3 3 3
6 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Η η και 3 η αναλλοίωτος του αποκλίνοντα τανυτή υπολογίζονται ως εξής: J = ( ) + ( ) + ( ) + + + 6 s 33 33 3 3 ( ) ( 0) (0 ) 0 3 3 4 = + + + + + = 6 s s s3 0 0 J3s = s s s3 = 0 3 = (0 ) = 4 s s s 3 Οπότε: 3 3 33 3 3 4 cos 3αs0 = = 0.9839 3α.5 s0 = 0.44 4 και α = 33.8, α = 53.8, α = 73.8 s0 s s Με J 4 s ρ = = = 3 3 παίρνουµε τελικά 3 4.305 s = ρ cos(33.8 ) = 3.5897 s = ρcos 60 33.8 = 3.877 s ( ) ( ) = ρ cos 60 + 33.8 = 0.874 Έλεγχος: s+ s + s3 = 0
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 7 Οι κύριες τάεις υπολογίζόνται ως εξής: = p+ s = 4.59 = p+ s =.88 ( 3 ) = p+ s =.9 3 3 Τέλος η παράµετρος b(0 b ), που εκφράζει την απόκλιη της ενδιάµεης τάεως από την µεγαλύτερη τάη προκύπτει, b 3 = = Άκηη 0.44 Να ευρεθούν οι κύριες κατευθύνεις του ως άνω τανυτή ύτηµα υντεταγµένων..3 Αξονουµµετρικές Εντατικές Κατατάεις ij ως προς το θεωρούµενο Οι αξονουµµετρικές εντατικές κατατάεις χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι δύο κύριες τάεις είναι ίες: [ ] οπότε 0 0 = 0 c 0 0 0 c (.60) J J = ( + c ) 3 = ( + c ) 7 s 3s 3 ( + ) 3 3 3 3 (/3 ) c cos3α s = = sgn( 3/ 3 + c) (/3) + c Ειδικότερα διακρίνουµε ανάµεα τον αξονουµµετρικό εφελκυµό 7 ( L b ) < cos3α =+ =, = c π 4π αs0 = 0, αs =, αs = 3 3 και την αξονουµµετρική θλίψη 8 s (.6) (.6) 7 Αγγλ. axisymmetric extension 8 Αγγλ. axisymmetric compression
8 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. ( L b ) < c cos3αs = =+, = 0 π 5π αs0 =, αs = π, αs = 3 3 (.63) Οι εντατικές κατατάεις αυτές υλοποιούνται εύκολα το εργατήριο µέω της λεγόµενης τριαξονικής υκευής, η οποία επιτρέπει την άκηη επί του δοκιµίου ολόπλευρης πιέεως c και αξονικής τάεως, η οποία µε τη ειρά της εξαρτάται από το επιβαλλόµενο αξονικό φορτίο P και από την επιφάνεια A της ορθής προς το άξονα διατοµής του δοκιµίου(εικ. -3) 9, P = c + (.64) A Είναι φανερό ότι τη περίπτωη της τριαξονικής θλίψεως το αξονικό φορτίο είναι θλιπτικό ( P < 0), όποτε < c < 0, ενώ την περίπτωη του τριαξονικού εφελκυµού το αξονικό φορτίο είναι εφελκυτικό ( P > 0 ) και < < 0 (Εικ. -4). c Εικ. -3: Σχηµατική παράταη πειραµατικής διατάξεως τριαξονικής θλίψεως Εικ. -4: Τριαξονική θλίψη και εφελκυµός 9 Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκη, Γεωτεχνική Μηχανική, Κεφ. 3.5, www.geolab.mechan.ntua.gr
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 9 Εικ. -5: Απεικόνιη της εντατικής κατατάεως τριαξονικής θλίψεως το χώρο Haigh- Westergaard Για παράδειγµα ας θεωρήουµε την απεικόνιη µιας αξονουµµετρικής θλιπτικής εντατικής κατατάεως το χώρο κυρίων τάεων Haigh-Westergaard (Εικ. -5). Όπως αναφέραµε και πιο πάνω οι προβολές του διανύµατος θέεως της προκείµενης εντατικής κατατάεως πάνω τη χωροδιαγώνιο και το αντίτοιχο αποκλίνον επίπεδο υνδέονται άµεα µε τη η και τη η αναλλοίωτη του τανυτή των τάεων και του αποκλίνοντά του αντιτοίχως, ( OP ) = I / 3 και ( PP ) = J s. Στη θεωρούµενη περίπτωη της τριαξoνικής θλίψεως επιλέγουµε τους εξής υµβολιµούς, 3 = z = = c, αs = 5 π /3 (.65) οπότε έχουµε αντιτοίχως τις εξής εκφράεις για τις αναλλοίωτες (Εικ. -6): p= I = + 3 3 3 ( ) T = Js = ( s + s + s3) = 3 3 T π T s = cos 5 = = 3 3 3 3 3 T π π s = cos 5 = 3 3 3 3 3 T π π s3 = cos + 5 = 3 3 3 3 3 (.66)
0 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Εικ. -6: Απεικόνιη τριαξονικών κατατάεων το επίπέδο π.4 Η Φυική Ερµηνεία των Αναλλοίωτων του Τανυτή των Τάεων Στη βάη αυτή κάνουµε τώρα την υπόθεη ότι ο τανυτής των τάεων το υλικό ηµείο που κατέχει τη θέη του κέντρου βάρους του (REV), µας δίδει την πληροφορία χετικά µε τις µεταξύ των κόκκων ακούµενες δυνάµεις επαφής. Για να επεξηγήουµε αυτή την υπόθεη µεταφέρουµε νοερά ε µία κοινή αρχή τον R 3 όλα τα διανύµατα επαφής n που εµφανίζονται πάνω την περιβάλλουα του ( REV ), Εικ. -7. Με τη διαδικαία αυτή κάθε επαφή E που υναντάµε την περιβάλλουα του (REV) απεικονίζεται ε ένα ηµείο E πάνω την επιφάνεια της µοναδιαίας φαίρας. Η ακτίνα θέης το εκάτοτε ηµείο E της µοναδιαίας φαίρας είναι προφανώς παράλληλη προς το αντίτοιχο, κάθετο το επίπεδο επαφής, µοναδιαίο διάνυµα επαφής n i. Στο ηµείο αυτό E προάπτουµε τον ελκυτή t j, οποίος υποθέτουµε ότι χετίζεται τατιτικά µε τις E δυνάµεις F i, που ακούνται τα ηµεία επαφής E των κόκκων την περιβάλλουα του (REV). Ο υπολογιµός του ελκυτή t j από τις δυνάµεις επαφής γίνεται ως εξής: Ξεκινάµε από την υπόθεη ότι ο τανυτής των τάεων κατά Cauchy το Συνεχές ικανοποιεί τις εξιώεις ιορροπίας. Εικ. -7: Απεικόνιη του διανύµατος επαφής και της δυνάµεως επαφής: Το διάνυµα επαφής n που είναι κάθετο το κοινό επίπεδο επαφής µεταξύ δύο κόκκων το (REV) απεικονίζεται πάνω τη µοναδιαία φαίρα το ηµείο E. Στο ηµείο αυτό προαρτούµε το διάνυµα του ελκυτή t που αντιτοιχεί την δύναµη επαφής
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Με αυτό το κεπτικό µπορεί κανείς να αναρωτηθεί π.χ. ποία είναι η τιµή του µέου ορθού ελκυτή ή ποία είναι η τιµή του µέου διατµητικού ελκυτή, που αντιτοιχεί τις δυνάµεις επαφής για όλες τις πιθανές επαφές (Ε) πάνω την περιβάλλουα επιφάνεια του (REV); Για να απαντήουµε τα ερωτήµατα αυτά υπολογίζουµε κατ αρχήν ένα βαθµωτό µέγεθος, την ορθή υνιτώα του ελκυτή την τυχούα επαφή E E, που αντιτοιχεί το µοναδιαίο διάνυµα n i, t n = tn (.67) i i Ας υπολογίουµε τώρα την µέη ορθή τάη για όλες τις κατευθύνεις n i, p n =< t > (.68) Η µέη τιµή υπολογίζεται πάνω τη µοναδιαία φαίρα ππ n n < t > = t sinθdθdφ 4π (.69) 0 0 όπου r =,θ καιφ είναι φαιρικές υντεταγµένες (Εικ. -8). Οι καρτειανές υντεταγµένες του τυχόντος διανύµατος OE = n πάνω τη µοναδιαία φαίρα µπορούν να εκφραθούν ως υναρτήεις των φαιρικών υντεταγµένων του ηµείου E n = sinθ cos φ, n = sinθsin φ, n = cosθ (.70) 3 Εικ. -8: Σφαιρικές υντεταγµένες: Το τυχόν ηµείο E πάνω την µοναδιαία φαίρα βρίκεται την τοµή ενός παράλληλου κύκλου, θ = const. και ενός µεηµβρινού, φ = const.. Οι τιµές αυτές των γωνιών θ και φ υνιτούν εν προκειµένω τις φαιρικές υντεταγµένες του ηµείου E.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Ιχύουν δε οι παρακάτω χέεις (γιατί;) ππ < nn > = nn sinθdθdφ = δ i j i j ij 3 0 0 < nn i jnk > = 0 < nn i jnknl > = ( δδ ij kl + δδ ik jl + δδ il jk ) = δijkl 35 5 < nn i jnknn l m > = 0 < nn n nn n > = ( δδ + δ δ + δδ + δδ ln + δ δ ) = δ 3 5 7 05 Άρα i j k l m n in jklm jn klmi kn lmij mijk mn ijkl ijklmn (.7) n p=< t > =< jinn j i > = ji < nn j i > = ijδij = kk (.7) 3 3 Ο παραπάνω υπολογιµός δείχνει ότι: η η αναλλοίωτη του τανυτή των τάεων υνδέεται µε τη µέη ορθή τάη, p= I (.73) 3 Αντιτοίχως ορίζουµε ένα διανυµατικό µέγεθος, τον διατµητικό ελκυτή, που ακείται ε µια τοιχειώδη επιφάνεια µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n i. t = t t n (.74) t n i i i Αναλόγως µε τον παραπάνω υπολογιµό βρίκουµε ότι η η αναλλοίωτη του αποκλίνοντα τανυτή των τάεων υνδέεται µε την «µέη διατµητική τάη» () t () t τ m = < ti ti > = Js (.75) 5 Για το λόγο αυτό τη βιβλιογραφία η ποότητα, 5 T = Js T = τ m (.76) ονοµάζεται ένταη διατµητικής τάεως 0..5 Ζώνες ιατµήεως Παραπάνω δείξαµε ε αδρές γραµµές πώς µπορεί κανείς να υπολογίει την µέη τιµή της ορθής και διατµητικής τάεως, όταν η ολοκλήρωη γίνεται πάνω την επιφάνεια ενός φαιρικού ( REV ), που περιβάλλει το ηµείο ενδιαφέροντος. Αυτή η διαδικαία είναι θεµιτή, αν η µικροδοµή του υλικού εµφανίζει µια κάποια ιοτροπία, γεγονός που είναι 0 Αγγλ. shearing stress intensity. Πρβλ. Kachanov, L.M., Fundamentals of the Theory of Plasticity, Mir Publishers, Moscow, 974. Αγγλ. shear bands.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 3 αποδεκτό τις λεγόµενες τυχαίες (random) µικροδοµές (π.χ. ε κοκκώδη υλικά ή κυροδέµατα, που δεν έχουν υποτεί οβαρές προφορτίεις, που να αντιτοιχούν ε ηµαντικές αποκλίεις από την ιότροπη ένταη). Παρατηρούµε τώρα ότι η διαδικαία υπολογιµού µέων τιµών των διαφόρων κινηµατικών και εντατικών µεγεθών δεν είναι µονοήµαντη. Το αποτέλεµα εξαρτάται ηµαντικά από την επιλογή του χήµατος του ( REV ), πάνω το οποίο θα γίνουν οι διάφορες ολοκληρώεις. Για παράδειγµα ας θεωρήουµε ένα δοκίµιο από κοκκώδες υλικό (άµµο), το οποίο µετά το µέγιτο φορτίο η παραµόρφωη εντοπίτηκε ε µία τενή ζώνη διατµήεως, που την παρακείµενη ραδιογραφία φαίνεται ως φωτεινή, θαµπή ζώνη (Εικ. -9). Εικ. -9: Ζώνη ολιθήεως ε διαξονική καταπόνηη δοκιµίου ξηρής άµµου 3 Στην περίπτωη αυτή δεν µπορούµε να αγνοήουµε την αλλαγή της δοµής του δοκιµίου, και φαίνεται λογικότερο αντί του φαιρικού ( REV ) s να επιλέξουµε ένα ορθογώνιο ( REV ) r, προαρµοµένο τη γεωµετρία της αναπτυχθείης δοµής, οπότε < tn > = + < tt > = + + + + ( ) ( ) (.77) Η µικροδοµική ανιοτροπία, που προκαλεί η ανάπτυξη της εντοπιµένης ζώνης ολίθηης λαµβάνεται υπ όψιν, αν το επίπεδο της παραµορφώεως το πάχος του ορθογωνίου ( REV ) r επιλεγεί κατά πολύ µικρότερο του µήκους του, ενώ η τρίτη διάταη λαµβάνεται να εκτείνεται καθ όλο το πάχος του δοκιµίου. Ειάγοντας το λόγο α = /, παίρνουµε V.V. Novozhilov, Theory of Elasticity, Pergamon Press, 96. 3 Vardoulakis I. and Graf B. (985). Calibration of constitutive models for granular materials using data from biaxial experiments. Géotechnique, 35, 99-37.
4 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. α < tn > = + + α + α α < tt > = + + α + α (.78) Στο όριο µηδενικού πάχους, α 0, προκύπτουν οι γνωτοί από την Εδαφοµηχανική τύποι του Coulomb για τις τάεις το επίπεδο ατοχίας < t >, < t > (.79) n t Οι τύποι αυτοί ηµαίνουν ότι για επιµήκεις δοµές, όπως οι ζώνες εντοπιµένης παραµορφώεως, η ορθή και διατµητική τάη το επίπεδο της ζώνης περιγράφουν ε καλή προέγγιη τις αντίτοιχες µέες τιµές (Εικ. -0). Εικ. -0: «Μέη» ορθή και διατµητική τάη ε επιµήκεις δοµές.6 Μέγιτη, Μέη και Οκταεδρική ιατµητική Τάη Παρατηρούµε ότι η γωνία α s ή η ιοδύναµη προς αυτή παράµετρος Lode L, εκφράζουν την απόκλιη της µέγιτης διατµητικής τάης από τη µέη διατµητική τάη (Εικ. -), τ / 5 3,max () & (4) : = = sin( π / 3 + αs ) τm τm τ / 5,max 3 () & (5) : = = sin( α s ) τm τm τ / 5,max 3 (3) & (6) : = = sin( π / 3 αs ) τm τm () : 0 α π / 3 ( s s s ) : α = α s 3 s s0 (): π /3 α π /3 ( s s s ) : α = α + π /3 s 3 s s0 (3): π /3 α π ( s s s ) : α = α + π /3 s 3 s s0 (4): π α 4 π /3 ( s s s ) : α = α + 4 π /3 s 3 s s0 (5) : 4 π / 3 α 5 π / 3 ( s s s ) : α = α + 4 π / 3 s 3 s s0 s s3 s s s s0 (6) :5 π / 3 α π ( ) : α = α + π (.80) (.8)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 5 Εικ. -: Μέη και µέγιτη διατµητική τάη Από τις εκφράεις αυτές προκύπτει ότι η απόκλιη µεταξύ µέγιτης και µέης τάης είναι µόνο υνάρτηη της γωνίας α s το αποκλίνον επίπεδο. Στο πρώτο εκτιµόριο η ελάχιτη και µέγιτη απόκλιη αντιτοιχούν ε γωνίες οµοιότητας α s = 0 ( L = ) και = π /6 ( L = 0), αντιτοίχως αs τ 5 3 = τ m τ 5 = τ m 3,max min.369 3,max max.58 (.8) Παρατηρούµε δε ότι η ένταη διατµητικής τάεως δεν διαφέρει και κατά πολύ από την µέγιτη διατµητική τάη, T = J, s 0.866 3 τ max T (.83) δηλαδή T τ max (.84) Υπενθυµίζουµε ότι ε ύτηµα κυρίων αξόνων η ορθή και διατµητική υνιτώα του ελκυτή των τάεων ε ένα επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα ni υπολογίζονται από τις παρακάτω χέεις (γιατί;) n t = n+ n+ 3n3 t t = n + n + n ( n + n + n ) 3 3 3 3 (.85)
6 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Επίης υπενθυµίζουµε ότι το οκταεδρικό επίπεδο είναι εκείνο το επίπεδο, το οποίο χηµατίζει ίες γωνίες µε τους άξονες των κυρίων τάεων. Σε ύτηµα κυρίων αξόνων αναγνωρίζουµε 8 τέτοια επίπεδα (Εικ. -), n T = { } n = { } (.86) 3 3 () T () { },,, { },,, Εικ. -: Χαρακτηριτικό οκτάεδρο το χώρο κυρίων τάεων Η ορθή και διατµητική υνιτώα του ελκυτή των τάεων ε ένα οκταεδρικό επίπεδο n t = t, τ = t (.87) oct oct oct oct προκύπτουν ίες αντιτοίχως µε τον αριθµητικό µέο των ορθών τάεων oct = ( + + 3) = I = p (.88) 3 3 και τον γεωµετρικό µέο των µέγιτων διατµητικών τάεων τoct = ( + + ) ( + + ) 3 3 = ( ) + ( ) + ( ) 3 5 = Js = τ m 3 3 3 3 3 3 (.89) Παρατηρούµε ότι η οκταεδρική διατµητική τάη υπολείπεται πάντοτε της µέγιτης διατµητικής τάεως (Εικ. -3) τ 5 3 3 τ 5 3 = = τoct 5 τm 5 3,max 3,max min.06, max.5 (.90)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 7 Εικ. -3: Σχέη µέγιτης και οκταεδρικής διατµητικής τάεως Προφανώς ένα καλλίτερο κάτω φράγµα της µέγιτης διατµητικής τάεως είναι η ποότητα * 3 3 τ 3,max τoct = T = τoct.06 τoct min * = τ oct όπου (.9) * τoct = ( ) + ( 3) + ( 3 ) (.9) Άκηη Για τη δεδοµένη εντατική κατάταη [ ] 4 = [ MPa] 4 3 να υπολογιθούν : α) Οι κύριες τάεις και κατευθύνεις. β) Η µέη ορθή και µέη ( ) διατµητική τάη. γ) Οι οκταεδρικές τάεις και τα αντίτοιχα διανύµατα n α (α=,,8). δ) Η µέγιτη διατµητική τάη και το επίπεδο πάνω το οποίο αυτή δρα. ε) Η αναλλοίωτη γωνία α s. Επίης να επαληθευθεί το αντίτοιχο διάγραµµα το αποκλίνον επίπεδο (π) η χέη, τ max = f ( α ) τ. s m.7 Κριτήρια Ατοχίας κατά Tresca και von Mises Στη βάη των παραπάνω οριµών ανευρίκουµε τη βιβλιογραφία µια ειρά «κριτηρίων» για τη διαρροή 4 ή ατοχία 5 των υλικών. Αν και οι έννοιες της διαρροής και ατοχίας 4 Αγγλ. yield 5 Αγγλ. failure
8 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. υνήθως δεν επεξήγονται ικανοποιητικά, υναρτώνται µε το τέλος της ελατικής υµπεριφοράς και την «αντοχή» ενός υλικού, όπως αυτά προδιορίζονται πειραµατικά ε δοκίµια από το ίδιο το υλικό (Εικ. -4). Εικ. -4: Τάη διαρροής και ατοχίας ε τυπικό δίγραµµα «ιοδυνάµων» τάεων-τροπών ενός τυπικού όλκιµου υλικού Π.χ. ε ένα µονοαξονικό πείραµα θλίψεως οι τάεις διαρροής και ατοχίας Y και ταυτίζονται µε τις αντίτοιχες τιµές της αξονικής τάεως το ηµείο διαρροής (Υ) και το ηµείο ατοχίας (F), το διάγραµµα τάεων-τροπών. Για τη γενίκευη των εννοιών αυτών ε δι- ή τριδιάτατες εντατικές κατατάεις, οι τάεις ατοχίας µεταφράζονται ε αντίτοιχες αναλλοίωτες του τανυτή των τάεων, που υνήθως καλούνται ιοδύναµες τάεις 6. Π.χ. για όλκιµα υλικά (µέταλλα) έχουν προταθεί τα κάτωθι κριτήρια: Κριτήριο Tresca: Η ιοδύναµη τάη ταυτίζεται µε την µέγιτη διατµητική τάη, T τ eq = τmax = max, 3, 3 (.93) Κριτήριο von Mises: Η ιοδύναµη τάη ταυτίζεται µε την οκταεδρική διατµητική τάη, F M τ eq = τoct = ( ) + ( 3 ) + ( 3 ) (.94) 3 Στην ειδική περίπτωη επίπεδης εντατικής κατατάεως ( 3 = 0, π.χ. ε ελάµατα) έχουµε αντιτοίχως, T τeq = max, 0, 0 (.95) M τ eq = + = + + 3 (.96) 3 3 Τα κριτήρια αντοχής κατά Tresca και von Mises µπορούν να βαθµονοµηθούν ως εξής: Θεωρούµε το πείραµα απλού εφελκυµού. Έτω Y η αντίτοιχη τάη διαρροής, οπότε, 6 Αγγλ. equivalent stress
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 9 T M τ eq = Y, τeq = Y (.97) 3 Η γραφική παράταη των κριτηρίων αυτών το επίπεδο των κυρίων τάεων (, ) είναι αντιτοίχως µία τραµµένη έλλειψη και ένα παραµορφωµένο εξάγωνο (Εικ. -5, Εικ. -6), Tresca : max, 0, 0 = Y (.98) v. Mises: + = Y (.99) Εικ. -5: Κριτήρια Tresca και v. Mises για επίπεδη ένταη Εικ. -6: Πειραµατικός έλεγχος των θεωρητικών µοντέλων τη βάη αποτελεµάτων µε δοκίµια χαλκού, νικελίου και χάλυβα (Bisplinghoff, R.L. et al. Statics of Deformable Solids, Dover, 990)
30 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Άκηη ίδονται οι εντατικές κατατάεις 0 0 3 () 0 3 0 = [ MPa] 3 0 3 0 0 () 0 7 0 = [ MPa] 0 0 5 Να προδιοριθεί ποία από αυτές τις κατατάεις είναι πιο «κρίιµη», αν ιχύουν διαδοχικά τα κάτωθι κριτήρια διαρροής (ή ατοχίας): Μια εντατική κατάταη () είναι κριιµότερη µίας άλλης () όταν, () () Α) Η ορθή οκταεδρική τάη, > oct oct Β) Η διατµητική οκταεδρική τάη, τ > τ () () oct oct Γ) Η µέγιτη διατµητική τάη, τ > τ. () () max max.8 Κριτήριο Ατοχίας κατά Mohr-Coulomb Εικ. -7: Οριµός της γωνίας εωτερικής τριβής το επίπεδο Mohr των τάεων Το κριτήριο ατοχίας κατά Mohr-Coulomb (M.-C.) βρίκει εφαρµογή τα διάφορα γεωυλικά και εκφράζεται µέω της λεγόµενης γωνίας εωτερικής τριβής 7 ϕ του υλικού, που ορίζεται το επίπεδο Mohr µέω µίας ευθύγραµµης περιβάλλουας (Εικ. -7), ( )/ ϕ sin = ( 3 ) q ( + )/ (.00) 7 Αγγλ. internal friction angle
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 3 Άρα υµφώνως προς το κριτήριο όπου M.-C. η αντοχή του υλικού δεν εξαρτάται από την ενδιάµεη κύρια τάη. Στην περίπτωη αυτή ειάγουµε υνήθως τις αναλλοίωτες M = ( + ) < 0, τm = ( ) > 0 (.0) οπότε έπεται ότι τ M sinϕ = q ή M (.0) τ = sinϕ+ ccos ϕ, c= qtanϕ (.03) M M m όπου µε c υµβολίζουµε την υνεκτικότητα 8 του υλικού. Σηµειώνουµε ότι καµιά φορά η υνθήκη (M.-C.) θα γραφεί υναρτήει της µέγιτης και της ελάχιτης κύριας τάης (Εικ. -8) cos ϕ + sin ϕ = c + sinϕ sinϕ ή + sinϕ = K c+ K K = = + ϕ sinϕ p p, p tan (45 /) (.04) (.05) όπου K p είναι ο λεγόµενος υντελετής παθητικής ωθήεως Εικ. -8: Κριτήριο Mohr-Coulombς το επίπεδο της µέγιτης και ελάχιτης κύριας τάης (, ) και όπου 3 είναι η ενδιάµεη κύρια τάη 8 Αγγλ. cohesion
3 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ..9 Παράρτηµα: Ο κύκλος Mohr των τάεων Στο ηµείο αυτό θα παρουιάουµε τη γραφική λύη του θεµελιώδους προβλήµατος προδιοριµού των τάεων, η οποία προτάθηκε τις αρχές του 0 ου αιώνα από τον Otto Mohr (835-98). Η διαδικαία αυτή βαίζεται τις χέεις, χετικά µε την ορθή τάη n και τη διατµητική τάη τ n, που ακούνται ε τυχόν ηµείο P( xy, ) ενός ώµατος (Σ) και πάνω ε µία τοιχειώδη επιφάνεια da, της οποίας το εξωτερικό χείλος χαρακτηρίζεται από το (εξωτερικό) µοναδιαίο διάνυµα n, του οποίου η κλίη ως προς τον θετικό άξονα Ox δίδεται από τη γωνία ϕ (Εικ. -9). Η ορθή και διατµητική Otto Mohr (835-98) υνιτώα του διανύµατος τρων τάεων πάνω την την εν λόγω τοιχειώδη επιφάνεια δίδονται από τις παρακάτω χεεις ( ) ( ) n = xx + yy + xx yy cos ϕ+ xysin ϕ τn = ( xx yy) sin ϕ+ xycos ϕ (.06) Εικ. -9: Το διάνυµα τάεως την τυχούα τοιχειώδη επιφάνεια δια του ηµείου P( xy., ) Για δεδοµένες τιµές των τάεων xx, yy και xy = yx η ορθή τάη n και η διατµητική τάη τ n, βάει των Εξ. Error! Reference source not found., είναι υναρτήεις της γωνιακής παραµέτρου ϕ, n = n( ϕ) (.07) τn = τn( ϕ) Θεωρούµε ένα ορθογώνιο ύτηµα υνταγµένων µε άξονες O n και Oτ n, που µε τη ειρά τους ορίζουν το λεγόµενο επίπεδο Mohr των τάεων. Σηµειωτέον ότι ο «χώρος»
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 33 (επίπεδο) των τάεων O( n, τ n) θα χρηιµοποιηθεί για τη γραφική επίλυη του προβλήµατος των τάεων, όπου θα χρειαθεί να µετρήουµε γωνίες, οπότε θα πρέπει επιλέξουµε την ίδια κλίµακα τους άξονες τετµηµένων και τεταγµένων. Ένας τέτοιος «χώρος» λέγεται «ιόµορφος». Ο χώρος των τάεων δεν πρέπει να υγχέεται µε τον φυικό γεωµετρικό «χώρο», οι θέεις των ηµείων του οποίου υνήθως περιγράφονται ε χέη µε ένα καρτειανό ύτηµα Oxy. (, ) Στο ύτηµα O( n, τ n), οι Εξ. (.07) περιγράφουν µία καµπύλη ε παραµετρική µορφή. Θα δείξουµε παρακάτω ότι ο γεωµετρικός τόπος των ηµείων το επίπεδο Mohr που προκύπτουν από τις Εξ. (.07) µε παράµετρο τη γωνία ϕ είναι ένας κύκλος, ο λεγόµενος κύκλος Mohr των τάεων, του οποίου τις ιδιότητες θα αναλύουµε εδώ λεπτοµερώς. Πρέπει να τονίουµε ότι ο γεωµετρικός αυτός τόπος αφορά την εντατική κατάταη ε ένα υγκεκριµένο ηµείο P( xy, ) ενός δίκου και µάλιτα ε µια υγκεκριµένη χρονική τιγµή. Αν τώρα αναρωτηθεί κανείς ε τι αντιτοιχεί η απειρία των ηµείων του εν λόγω γεωµετρικού τόπου, τότε θα παρατηρήουµε ότι ο κάθε ηµείο του γεωµετρικού τόπου είναι ένας υνδυαµός ορθής και διατµητικής τάης που αφορά την εντατική κατάταη ε υγκεκριµένο επίπεδο διερχόµενο δια του εν λόγω ηµείου P( xy., ) Το µόνο κοινό γεωµετρικό τοιχείο του φυικού χώρου Oxy (, ) και του χώρου των τάεων O( n, τ n) είναι η γωνία ϕ. Για την καλύτερη παρακολούθηη της διαδικαίας της γραφικής επίλυης του προβλήµατος των τάεων θα χρηιµοποιήουµε ως παράδειγµα το εξής µητρώο των τάεων: xx xy 0 3 = [ kpa ] yx yy 3 5 Για την ως άνω εντατική κατάταη ο γεωµετρικός τόπος που ορίζεται παραµετρικά από τις Εξ. (.06) µε παράµετρο τη γωνία ϕ µπορεί να κατακευαθεί αριθµητικά. Για τον αφαλή υπολογιµό των ζευγών τιµών n = n( ϕ) και τn = τn( ϕ), που προκύπτουν από τις Εξ. (.06) για τις τιµές των τάεων xx, yy και xy = yx που δίδονται από τον παραπάνω πίνακα, θα µπορούαµε να κάνουµε χρήη ενός προγράµµατος ε γλώα προγραµµατιµού FORTRAN (Εικ. -30).
34 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. c PROGRAM Mohr.for c Mohr Circle of Stresses IMPLICIT DOUBLE PRECISION (a-h,o-z) OPEN (UNIT=, FILE='Mohr.IN', STATUS='UNKNOWN') OPEN (UNIT=, FILE='Mohr.OU', STATUS='UNKNOWN') c Input pi=4.d0*datan(.d0) write(*,*) 'sigma-xx=? kpa' read(*,*) sxx write(,00) 'sigma-xx [kpa]= ', sxx write(*,00) 'sigma-xx [kpa]= ', sxx write(*,*) 'sigma-yy=? kpa' read(*,*) syy write(,00) 'sigma-yy [kpa]= ', syy write(*,00) 'sigma-yy [kpa]= ', syy write(*,*) 'sigma-xy=? kpa' read(*,*) sxy write(,00) 'sigma-xy [kpa]= ', sxy write(*,00) 'sigma-xy [kpa]= ', sxy syx=sxy sm=0.5d0*(sxx+syy) write(,00) 'sigma-m [kpa]= ', sm write(*,00) 'sigma-m [kpa]= ', sm tm=dsqrt(((sxx-syy)/.d0)**+sxy**) write(,00) 'tau-m [kpa]= ', tm write(*,00) 'tau-m [kpa]= ', tm 00 format(x,a0,f0.3,x) sigma=sm+tm sigma=sm-tm write(,00) 'sigma-[kpa]=',sigma write(*,00) 'sigma-[kpa]=',sigma write(,00) 'sigma-[kpa]=',sigma write(*,00) 'sigma-[kpa]=',sigma write(*,*) 'phi=? in [deg]' read(*,*) phi write(,00) ' phi in [deg]=', phi
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 35 write(*,00) ' phi in [deg]=', phi phi=phi*pi/80.d0 sxi=0.5d0*(sxx+syy)+0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # +sxy*dsin(.d0*phi) sxieta=-0.5*(sxx-syy)*dsin(.d0*phi)+sxy*dcos(.d0*phi) seta=0.5d0*(sxx+syy)-0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # -sxy*dsin(.d0*phi) write(,00) 'sigma-xi-xi[kpa]=',sxi write(*,00) 'sigma-xi-xi[kpa]=',sxi write(,00) 'sigma-xi-et[kpa]=',sxieta write(*,00) 'sigma-xi-et[kpa]=',sxieta write(,00) 'sigma-et-et[kpa]=',seta write(*,00) 'sigma-et-et[kpa]=',seta pause if (phi.eq.pi/.d0) goto 0 phi=pi/.d0 0 phi0=0.d0 dphi0=.d0 do 000 i=,36 phi=phi0*pi/80.d0 sn=0.5d0*(sxx+syy)+0.5d0*(sxx-syy)*dcos(.d0*phi) # +sxy*dsin(.d0*phi) tn=-0.5*(sxx-syy)*dsin(.d0*phi)+sxy*dcos(.d0*phi) write(*,00) phi0,sn,tn write(,00) phi0,sn,tn 00 FORMAT(x,F7.,x,(F0.4,x)) phi0=phi0+dphi0 000 continue STOP END
36 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Εικ. -30:Γεωµετρικός τόπος των ζευγών (, τ ) µε παράµετρο τη γωνία ϕ. n Η διαδικαία της γεωµετρικής κατακευής του κύκλου του Mohr ξεκινά εν προκειµένω µε τη γραφική παράταη των αρχικών δεδοµένων το επίπεδο Mohr των τάεων O( n, τ n). Για την τιµή της γωνιακής παραµέτρου ϕ = 0 οι Εξ. (.06) δίδουν: n = xx = 0kPa ϕ = 0: τn = xy = 3kPa Στο ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο A( ϕ = 0 ) -30). Για την τιµή της γωνιακής παραµέτρου, ϕ = 90 οι Εξ. (.06) δίδουν: 5 o n = yy = kpa ϕ = 90 : τn = yx = 3kPa Στο ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο B( ϕ = 90 ) n το διάγραµµα Mohr (Εικ. το διάγραµµα Mohr.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 37 Παρατήρηη Όταν η ορθή τάη είναι εφελκυτική, τότε η τάη αυτή εµφανίζεται το διάγραµµα Mohr ως θετική. Όταν το τοπικό ύτηµα ( n, τn) είναι δεξιότροφο, τότε το διάγραµµα Mohr η διατµητική αυτή τάη εµφανίζεται ως θετική. Αντιθέτως, όταν το τοπικό ύτηµα ( n, τn) είναι αριτερότροφο, τότε το διάγραµµα Mohr η διατµητική αυτή τάη εµφανίζεται ως θετική Εικ. -3: Σύµβαη πρόηµου Στη υνέχεια κατακευάζουµε έναν κύκλο που διέρχεται από τα ηµεία Α και Β και του οποίου το κέντρο βρίκεται πάνω τον άξονα των ορθών τάεων, O n. Ο κύκλος αυτός καλείται κύκλος του Mohr. Το κέντρο M του κύκλου του Mohr προκύπτει από την τοµή της ευθείας (ΑΒ) µε τον άξονα των ορθών τάεων, οπότε ( ) ( OM ) = M = xx + yy (.08) Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ότι M = 7.5kPa. Η ακτίνα του κύκλου του Mohr προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο ( ΜΑΓ ) ή το τρίγωνο ( ΜΒΓ '), xx yy ( ΜΑ ) = ( ΜΒ ) = τμ = + xy (.09) Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε ότι τ M = 3.9kPa. Αν χεδιάουµε τώρα τον κύκλο µε κέντρο το ηµείο Μ και ακτίνα τ M παρατηρούµε ότι αυτός τέµνει τον άξονα των ορθών τάεων ε δύο χαρακτηριτικά ηµεία, που αντιτοιχούν ε ακρότατες τιµές για την ορθή τάη. Οι ακρότατες τιµές αυτές της ορθής τάης ταυτίζονται µε τις κύριες τάεις και αντιτοίχως,
38 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. τ = M + M = M M τ ή (.0) xx yy / = ( xx + yy) ± + xy (.) Παρατηρούµε ότι πράγµατι τα αντίτοιχα ηµεία το διάγραµµα Mohr έχουν τεταγµένη µηδέν, δηλαδή αντιτοιχούν τα επίπεδα εκείνα όπου η διατµητική τάη είναι µηδέν. Όπως φαίνεται το χήµα, ορίζουµε µια βοηθητική γωνία ϕ = ( xβ), η οποία, όπως θα δείξουµε παρακάτω, δίνει την κατεύθυνη της κύριας ορθής τάης. Τώρα θεωρούµε ένα τυχαίο επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, nx = cos ϕ, ny = sinϕ (.) Έτω για παράδειγµα ότι το διάνυµα n χηµατίζει γωνία ϕ = 40 µε το θετικό ηµιάξονα Ox. Οι Εξ. (.06) την περίπτωη αυτή δίνουν: n = 0.89 kpa, τn =.94kPa Στο διάγραµµα Mohr το ζεύγος αυτό των τιµών αντιτοιχεί το ηµείο Ξ ( ϕ = 40 ) -3). Από το διάγραµµα Mohr παίρνουµε ότι: (Εικ. xy ( ΑΓ ) = xy = τm sin ϕ sin ϕ = τ M ( ΜΓ ) = ( xx yy ) = τm cos ϕ cos ϕ = ( xx yy) τ M (.3) ( Ο ) = M + τm cos( ϕ ϕ) (.4) Οπότε κάνοντας χρήη της τριγωνοµετρικής ταυτότητας, cos( ϕ ϕ) = cosϕcosϕ+ sinϕsinϕ (.5) και τις Εξ. (.08) παίρνουµε ότι, ( ) xx yy ( ) cos xy Ο = M + τm ϕ + τm sinϕ τm τm = ( xx + yy ) + ( xx yy ) cos ϕ+ xy sin ϕ ( Ο ) = ξξ Οµοίως από το διάγραµµα Mohr παίρνουµε ότι: (.6)
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 39 Ξ ( ) = τ M sin( ϕ ϕ) (.7) Από την τριγωνοµετρική ταυτότητα, sin ( ϕ ϕ) = sin ϕcos ϕ cos ϕsin ϕ (.8) και τις εξ. (.3) παίρνουµε ότι, ( ) xx yy ( ) sin xy Ν = τm ϕ + τm cosϕ τ M τ M = ( xx yy ) sin ϕ+ xy cos ϕ ( Ξ ) = ξη (.9) Άρα το ηµείο Ξ τον κύκλο Mohr αντιτοιχεί την εντατική κατάταη, πάνω το επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, Εξ. (.), που είναι παράλληλο προς το άξονα Oξ. Στο υγκεκριµένο παράδειγµα έχουµε, ξξ = 0.889 kpa ηη = 4.kPa ξη =.94 kpa Εικ. -3: Κατακευή του κύκλου Mohr των τάεων Στον κύκλο Mohr διακρίνουµε ένα χαρακτηριτικό ηµείο Π Π n, το οποίο θα ονοµάουµε, πόλο των κάθετων. Ο πόλος Π προκύπτει ως εξής: Από το ηµείο Ξ ( ϕ)
40 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. φέρνουµε κάθετο προς τον άξονα ως το κατοπτρικό του Ξ ως προς τον άξονα ( x ) O n και ορίζουµε επί του κύκλου Mohr το ηµείο Ξ, O n. Παρατηρούµε ότι η γωνία, + ΠΞ = ϕ (.0) Άρα η ευθεία ΠΞ είναι παράλληλη προς τον άξονα Oξ, δηλαδή είναι παράλληλη προς το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n, το οποίο είναι κάθετο πάνω το τοιχείο εκείνο όπου δρουν οι παραπάνω υπολογιθείες, ορθή και διατµητική τάεις, n = n( ϕ), τn = τn( ϕ). Κατακευή του πόλου των κάθετων: Έτω ηµείο Ξ ( ϕ) πάνω τον κύκλο Mohr και Ξ το κατοπτρικό του ως προς άξονα O n. Αν φέρουµε µία ευθεία δια του Ξ, παράλληλη προς το διάνυµα n (τον άξονα Oξ ), τότε ευθεία αυτή τέµνει τον κύκλο Mohr τον πόλο Π. Από την παραπάνω απόδειξη προκύπτει επίης ότι ο πόλος Π είναι µοναδικός για κάθε µία δεδοµένη εντατική κατάταη. Αν φέρουµε δια του πόλου µία ευθεία ΠΗ που να είναι κάθετη την ΠΞ και ως εκ τούτου παράλληλη προς άξονα Oη και ορίουµε το ηµείο Η και το κατοπτρικό Η ως προς άξονα O n, τότε παρατηρούµε ότι υµφώνως προς τα παραπάνω το ηµείο Η επί του κύκλου Mohr αντιτοιχεί την εντατική κατάταη πάνω το επίπεδο εκείνο, του οποίου το µοναδιαίο εξωτερικό διάνυµα n χηµατίζει το µε τον θετικό ηµι-άξονα Ox γωνία ϕ = 90 + ϕ. Θεώρηµα: Έτω ένα (ορθογώνιο) ύτηµα αξόνων O( ξ, η ) τραµµένων ως προς άξονες Oxy (, ) κατά γωνία ϕ. Η ορθή και διατµητική τάη που ακούνται πάνω ε ένα επίπεδο ( Ξ ), κάθετο τον άξονα ξ και εκείνες που ακούνται πάνω ε ένα επίπεδο (H) κάθετο προς τον άξονα η απεικονίζονται τον κύκλο Mohr ε αντιδιαµετρικά ηµεία Ξ και Η αντιτοίχως, έτι ώτε οι αντίτοιχες επίκεντρες γωνίες να είναι: ( AM Ξ ) = ϕ (.) ( AM Η ) = (90 + ϕ) = ( AM Ξ ) + 80 (.) Άρα τα ηµεία Ξ και Η είναι αντιδιαµετρικά. Και οµοίως και τα ηµεία Ξ και Η (Εικ. -33). Από την παραπάνω κατακευή προκύπτει ότι πράγµατι τα αντιδιαµετρικά ηµεία του κύκλου Mohr που βρίκονται πάνω τον άξονα των ορθών τάεων αντιτοιχούν τα κύρια επίπεδα του τανυτή των τάεων. Όπως φαίνεται από τον κύκλο του Mohr (Εικ. -34), οι κύριες τάεις είναι αντίτοιχα η µέγιτη και η ελάχιτη ορθή τάη, ενώ είναι προφανές ότι τα κύρια επίπεδα οι διατµητικές τάεις είναι µηδέν.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 4 Εικ. -33: Γραφική παράταη του προδιοριµού της εντατικής κατάταης ε τυχόντα επίπεδα που τέµνονται κατά ορθή γωνία. Εικ. -34: Κύριες τάεις και κατευθύνεις
4 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. Συµπέραµα: Έτω ότι µια δεδοµένη επίπεδη εντατική κατάταη ε κάποιο ηµείο ενός δίκου περιγράφεται από τον τανυτή των τάεων. Ο τανυτής των τάεων µε τη ειρά του ταυτίζεται µε την οµάδα των πινάκων των τάεων ξξ ξη ηξ ηη που προκύπτουν από κάποιο δεδοµένο (αντιπρόωπο) xx xy yx yy µέω ενός ορθογώνιου µεταχηµατιµού τροφής των αξόνων της µορφής ξξ ξη cosϕ sinϕ xx xy cosϕ sinϕ = ηξ ηη sinϕ cosϕ yx yy sinϕ cosϕ Π.χ. για ϕ = ϕ η Εξ. (.3) δίνει, (.3) ξξ ξη 0 = ηξ ηη 0 Συµφώνως µε τα παραπάνω, η ολότητα αυτών των απεικονίεων της εντατικής κατάταης απεικονίζεται αµφιµονοήµαντα τον αντίτοιχο (µοναδικό) κύκλο Mohr µε πόλο Π. Με άλλα λόγια ο κύκλος Mohr των τάεων µε πόλο Π υνιτά τη γεωµετρική παράταη του τανυτή των τάεων.
Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ. 43 Παρατήρηη Η ύµβαη πρόηµου τη Γεωτεχνική Μηχανική δεν υµβαδίζει µε εκείνη της Τεχνικής Μηχανικής. Ως εκ τούτου η κατακευή του κύκλου Mohr των τάεων επίης διαφέρει.
44 Ι. Βαρδουλάκης (008) Ιδεατή Πλατικότητα, Κεφ.