Πρόβηµα ΑειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Θεωρούµε αειρόβαθο κβαντικό ηγάδι άχους, στο οοίο βρίσκεται εγκωβισµένο ηεκτρόνιο στην θεµειώδη κατάσταση Ε ιασιάζουµε το άχους του σωήνα ού αότοµανα βρεθεί η ιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο στην θεµειώδη κατάσταση του νέου ηγαδιού E E E Σχήµα ΑΚΠα Σχηµατική ανααράσταση των δύο κβαντικών ηγαδιών του ροβήµατος Ουσιαστικά µορούµε να φανταστούµε το ηεκτρόνιο εγκωβισµένο σε ένα µονοδιάστατο σωήνα του οοίου το ένα άκρο είναι σταθερό ενώ το άο µορεί να µεταβάεται (χ µε ένα έµβοο) Στο ρόβηµά µας η µεταβοή της θέσης του εµβόου είναι ού αότοµη Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού ηγαδιού υοογίζονται αό την σχέση E m (όου,, ) Η θεµειώδης κατάσταση του συστήµατος αντιστοιχεί στο, δηαδή E m (m, η µάζα του ηεκτρονίου) Οι ενεργειακές καταστάσεις του τεικού ηγαδιού (του οοίου όα τα χρήσιµα φυσικά µεγέθη έχουν ένα ειέον συµβοισµό, µια ερισωµένη) υοογίζονται αό την ίδια σχέση µε, δηαδή E (όου άι,, ) Η ρώτη διεγερµένη κατάσταση του m 8m ( ) συστήµατος αντιστοιχεί στο, δηαδή E ( m E ) Είναι δηαδή ίση µε την θεµειώδη του αρχικού ηγαδιού Η τεευταία αρατήρηση, δηµιουργεί την εντύωση ότι το ηεκτρόνιο στο νέο ηγάδι θα βρεθεί στην ρώτη διεγερµένη κατάσταση του και ουθενά αού (ιδιοκατάσταση του νέου συστήµατος) Όως θα γίνει φανερό αό την αρακάτω ανάυση αυτό δεν ισχύει Τις καταστάσεις του συστήµατος τις καθορίζουν οι κυµατοσυναρτήσεις Με αυτές θα εργαστούµε Πρώτα, ας καταγράψουµε οιες είναι οι ιδιοσυναρτήσεις των δύο συστηµάτων Πηγάδι άχους : ( ) si x Ψ ( ) ( ) x Θ x Θ x, όου,,
Πηγάδι άχους x x : Ψ ( x) si Θ( x) Θ( x) si Θ( x) Θ( x), όου,, Όου Θ( x) είναι η συνάρτηση Heaviside γνωστή και ως συνάρτηση βήµατος, x x Θ( ), x > x ( x x ) Η κυµατοσυνάρτηση ου εριγράφει το αρχικό ηγάδι, οοιαδήοτε χρονική στιγµή είναι ροφανώς ψ ( xt, ) Ψ ( xe ) ie t / (στάσιµη κατάσταση, καθώς Pxtdx (, ) Ψ ( x) dx είναι ανεξάρτητη του χρόνου) Αφού η µετάβαση στο νέο ηγάδι µε το διάσιο άχους γίνεται στιγµιαία, θεωρούµε ότι η αρχική κατάσταση του ηεκτρονίου στο νέο σύστηµα εριγράφεται αό την αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση του αρχικού ηγαδιού την στιγµή της ααγής Για ευκοία και ροφανώς χωρίς βάβη της γενικότητας ie αυτή η χρονική στιγµή καθορίζεται η t Έτσι (, ) (, ) / ψ x t ψ x t Ψ ( x) e Ψ( x) Όως κάθε κυµατοσυνάρτηση, έτσι και αυτή του νέου αειρόβαθου ηγαδιού µορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των ιδιοκαταστάσεων του νέου ηγαδιού την ίδια χρονική στιγµή (t) ψ ( xt, ) Ψ ( x) Ψ ( x) + Ψ ( x) + Ψ ( x) + 3 3 Η ιθανότητα να βρίσκεται το ηεκτρόνιο στην ιδιοκατάσταση δίνεται αό την σχέση Ρ Όου τα c υοογίζονται αό τις σχέσεις ου ροκύτουν αό τις σχέσεις ορθοκανονικότητας των ιδιοσυναρτήσεων, δηαδή Ψ ( x) ψ ( x, t ) dx Έτσι έχουµε x x Ψ ( ) x Ψ ( xdx ) si Θ( x) Θ( x) si Θ( x) Θ( xdx ) x x x / si si dx { } si si d ω ω ω ω Χρησιµοοιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα si a si b cos( a b) cos( a+ b) / c [ cos( ) cos( ) ] d si( ) ω ω ω si( ) + + ( ) ( + ) 4 Έτσι 6 3 και η αντίστοιχη ιθανότητα είναι P c 36, 5% Ανάογα βρίσκουµε ότι P 5%, P,97%, P, P,735% 3 3 4 4 5 5 Οι τρεις ρώτες ενεργειακές καταστάσεις συγκεντρώνουν το 98995% της ιθανότητας Γενικά αρατηρούµε ότι όταν το είναι άρτιος, τα ( + )/ και ( )/ είναι ακέραιοι αριθµοί και ροφανώς τα αντίστοιχα ηµίτονα στην έκφραση για το µηδενίζονται Μοναδική εξαίρεση η si( ) ερίτωση, όου το είναι / (κανόνας Hospital για όρια σε κάσµατα /) και ( ) το c / ( P c 5% ) Τεικά οι ιθανότητες µορούν να γραφούν ως για το δεύτερο οοκήρωµα στην έκφραση των / / / δίνει cos( ) ωdω cos( ω) dω dω
/, P, ( > ) + + 3 ( ) ( 3), ( ) Η µέση ενέργεια του συστήµατος αραµένει σταθερή και ίση µε την αρχική, καθώς το σύστηµα ου µεετάµε είναι αοµονωµένο Χρησιµοοιώντας το ηροφορία αυτή µορούµε να βρούµε άη µία µαθηµατική ταυτότητα Έχουµε E E PE PE /4 PE /4 P 4, ή ισοδύναµα 3 (+ ) ( + ) ( 3) (, θετικός ακέραιος) Αντιθέτως, αν η µεταβοή γίνει αδιαβατικά, δηαδή άρα ού αργά το σύστηµα ου θα ροκύτει σε κάθε µεταβοή θα αντιστοιχεί στην θεµειώδη κατάσταση του καινούργιου ηγαδιού Έτσι τεικά η αρχική κατάσταση του νέου ηγαδιού θα είναι η θεµειώδης κατάσταση του νέου ηγαδιού Προφανώς καθώς το άχος του ηγαδιού µεγαώνει και η θεµειώδης ενέργειά του µικραίνει έχουµε σε κάθε βήµα της αδιαβατικής αυτής µεταβοής αώεια ενέργειας (δεν έχουµε δηαδή κειστό σύστηµα) Αό την αρχή της αβεβαιότητας αναµένουµε ο χαρακτηριστικός χρόνος µετάβασης σε κάθε βήµα της αδιαβατικής µεταβοής, να / E Ας συζητήσουµε τα αοτεέσµατά µας ου βρήκαµε µε την βοήθεια γραφικών ανααραστάσεων των ιδιοκαταστάσεων του υό µεέτη συστήµατος Η αρχική κατάσταση εριγράφεται αό µία κυµατοσυνάρτηση ου εκτείνεται αό έως, η οοία είναι η θεµειώδης κατάσταση του αεορόβαθου ηγαδιού µε άχος ενώ στην εριοχή έως µηδενίζεται,4,, Αρχική κατάσταση νέου ηγαδιού,,8,6,4,,,8,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 θεµειώδη ρώτη διεγερµένη δεύτερη διεγερµένη υέρθεση -,,,5,,5,,5 3, Σχήµα ΑΚΠa Γραφική ανααράσταση της αρχικής κυµατοσυνάρτησης και των τριών ρώτων ιδιοσυναρτήσεων του νέου ηγαδιού (άχους ) Η µαύρη καµύη ανααριστά την υέρθεση των τριών καταστάσεων ( x ) Γίνεται Ψ ( ) + Ψ ( x) + 3Ψ 3( x) φανερό ότι οι τρεις ρώτες καταστάσεις συνεισφέρουν ερισσότερο, το οοίο είναι αναµενώµενο καθώς η ιθανότητα το σύστηµα να βρίσκεται στις τρεις ρώτες ιδιοκαταστάσεις του είναι 98995% Αό την σχέση P, ροκύτει ότι η αειροσειρά ύση ενός κβαντικού ροβήµατος δίνει αάντηση σε ένα µαθηµατικό ρόβηµα 3 ( ) (+ 3) δίνει / ηαδή η
Πρόβηµα ΑειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιβ(ΑΚΠβ) Θεωρούµε αειρόβαθο κβαντικό ηγάδι άχους, στο οοίο βρίσκεται εγκωβισµένο ηεκτρόνιο µάζας m στην κατάσταση Ε (,, ) Αάζουµε το άχους του σωήνα ού αότοµα σε ( > )Να βρεθεί η ιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο στην -στη κατάσταση του νέου ηγαδιού, ενέργειας Ε Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού ηγαδιού υοογίζονται αό την σχέση E m (όου,, ) Οι ενεργειακές καταστάσεις του τεικού ηγαδιού (του οοίου όα τα χρήσιµα φυσικά µεγέθη έχουν ένα ειέον συµβοισµό, µια ερισωµένη) υοογίζονται αό την ίδια σχέση µε, δηαδή E E / (όου άι,, ) m ( ) Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις των δύο συστηµάτων είναι Πηγάδι άχους : ( ) si x Ψ ( ) ( ) x Θ x Θ x, όου,, Πηγάδι άχους : Ψ x x ( x) si ( x) ( x) si ( x) ( x) Θ Θ Θ Θ, όου,, Ακοουθώντας την µεθοδοογία της ροηγούµενης άσκησης (ΑΚΠα), γράφουµε για την αρχική ie / συνθήκη της κυµατοσύναρτησης (, ) (, ) ( ) ψ x t ψ x t Ψ x e Ψ( x) Όως κάθε κυµατοσυνάρτηση, έτσι και αυτή του νέου αειρόβαθου ηγαδιού µορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των ιδιοκαταστάσεων του νέου ηγαδιού την ίδια χρονική στιγµή (t) ψ ( xt, ) Ψ ( x) Ψ ( x) + Ψ ( x) + Ψ ( x) + 3 3 Η ιθανότητα να βρίσκεται το ηεκτρόνιο στην ιδιοκατάσταση δίνεται αό την σχέση Ρ Όου τα c υοογίζονται αό τις σχέσεις ου ροκύτουν αό τις σχέσεις ορθοκανονικότητας των ιδιοσυναρτήσεων, δηαδή Ψ ( x) ψ ( x, t ) dx Έτσι έχουµε x x Ψ ( ) ( ) si ( ) ( ) si ( ) ( ) x Ψ xdx Θ xθ x Θ xθ xdx x x x ω si si dx { ω } si si ωdω Χρησιµοοιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα si a si b cos( a b) cos( a+ b) ( ) ( + ) cos( ) ω cos( ) ω dω si si + ( ) ( + ) Προσοχή χρειάζεται η ερίτωση όου ο αρονοµαστής ( ) µηδενίζεται (χ και 4, ή, 5 και 3) Στην ερίτωση αυτή βέουµε ότι το ρώτο οοκήρωµα αό τα οοκηρώµατα µε τα συνηµίτονα αοοιείται και έχουµε cos( ) ωdω dω cκ Ενώ το, καθώς ( + ) si si si και ο δεύτερος όρος µηδενίζεται Βρήκαµε ένα γενικό κανόνα, αν η αρχική κατάσταση είναι η -στη και το ηγάδι αυξηθεί κατά φορές, αν ο αριθµός είναι ακέραιος η ιθανότητα Ρ ( -στη κατάσταση) είναι /
Παράδειγµα εφαρµογής της γενικής έκφρασης ου βρήκαµε Σωµάτιο µάζας m στην θεµειώδη κατάσταση σε ηγάδι ου τετραασιάζεται το άχος του Να βρούµε τις ιθανότητες των δύο ρώτων ενεργειακών καταστάσεων Έχουµε, 4 και, 3 5 8 si si + si 4 ( 4 ) 4 ( 4 + ) 3 4 5 4 3 5 4 5 si si ( 4 ) 4 ( 4 + ) 4 6 4 si si + si 4 6 4 3 3 8 Έτσι η αντίστοιχες ιθανότητες είναι P 6 58% και P c 8% 5 9 Ακοουθώντας την µεθοδοογία αυτή µορούµε να βρούµε την αρχική κατάσταση στο νέο ηγάδι για οοιαδήοτε αρχική κατάσταση στο αρχικό ηγάδι Έτσι αν η αρχική κατάσταση στο ηγάδι ριν την ξαφνική ααγή του άχους του είναι ψ ( x, t ) c Ψ ( x), η καινούργια κατάσταση θα έχει συντεεστές ου θα υοογίζονται αό την σχέση Ψ ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ( x) ( x, t ) dx ( x) c ( x) dx c ( x) ( x) dx ηαδή ένας γραµµικός συνδυασµός ( ) ( + ) c si si ( ) ( + ) Αν η αρχική κατάσταση στο αρχικό ηγάδι είναι µια οοιαδήοτε τυχαία συνάρτησηψ ( x), τότε το ρόβηµα µορεί να αναχθεί στην ακριβώς ροηγούµενη µεθοδοογία αρκεί να βρούµε τα, δηαδή αυτά ου εαηθεύουν την σχέση c Ψ ( x) ψ ( x) dx ψ ( x) c Ψ ( x), τα οοία δεν είναι αρά τα c
Πρόβηµα ΑειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιγΑΚΠγ Θεωρούµε αειρόβαθο κβαντικό ηγάδι άχους, στο οοίο βρίσκεται εγκωβισµένο ηεκτρόνιο µάζας m στην κατάσταση Ε (,, ) Αάζουµε το άχους του σωήνα ού αότοµα σε ( < )Να βρεθεί η ιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο στην -στη κατάσταση του νέου ηγαδιού, ενέργειας Ε Η µεθοδοογία είναι ακριβώς η ίδια, διαφοροοιούνται όµως τα όρια στα οοκηρώµατα ( < ) Έτσι έχουµε x x Ψ ( ) ( ) si ( ) ( ) si ( ) ( ) x Ψ xdx Θ xθ x Θ xθ xdx x x x si si dx { ω } si ω si ωdω Χρησιµοοιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα si a si b cos( a b) cos( a+ b) [ cos( ) ω cos( ) ω] dω si( ) si( ) + + ( ) ( + ) Συγκρίνετε µε το αοτέεσµα στην ροηγούµενη ερίτωση (ΑΚΠβ), όου έχουµε αύξηση του άχους του ηγαδιού ( > ) Είναι τα αοτεέσµατα αναµενόµενα; Η ερίτωση (αµετάβητο ηγάδι) αοτεεί ειδική ερίτωση των δύο τεευταίων εριτώσεων ηαδή µορούµε να γράφουµε ότι τα αοτεέσµατά µας ισχύουν για και Ακόµα καθώς ψ ( x, t ) Ψ ( x ) si Θ( ) Θ( ) 4+ 4,,,, ενώ γνωρίζουµε ότι η κυµατοσυνάρτηση µηδενίζεται στο µέσο του νέου ηγαδιού, ψ ( x, t ), βρίσκουµε ότι ισχύει η ταυτότητα [ ie ] + + + + + + 4+ 4 5 9 3 7,,,, Μορείτε να βρείτε άες ταυτότητες η και ανισότητες;