Ακουστική AcP8 H Επίδραση της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης στις Αποκρίσεις Ακουστικών Χώρων Παναγιώτης. Χατζηαντωνίου Ιωάννης Ν. Μουρτζόπουλος ιπλ. Μηχ/κός Η/Υ & Πληρ/κής Αναπληρωτής Καθηγητής hagianto@wcl.ee.upatras.gr mourjop@wcl.ee.upatras.gr Οµάδα Ήχου, Εργ. Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας, Πανεπιστήµιο Πατρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η µέθοδος της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης,, εφαρµόστηκε σε αποκρίσεις ακουστικών χώρων µε διαφορετικές ιδιότητες (π.χ. µέγεθος και αντήχηση). Από τη σύγκριση µεταξύ των παραγόµενων εξοµαλυσµένων αποκρίσεων και των αρχικών, µε βάση γνωστά και αντικειµενικά κριτήρια εκτίµησης τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στης συχνότητας, συµπεραίνεται ότι η χρονικά καθυστερηµένη ενέργεια συµπιέζεται δραστικά, η ευκρίνεια (clarity) αυξάνεται, η µέση τιµή και η µέση απόκλιση του φάσµατος ισχύος, γενικά, µειώνονται ειδικά στις µεσαίες και ψηλές συχνότητες. The Effect of the Complex Spectral Smoothing in the Room Impulse Responses John N. Mourjopoulos Assoc. Professor mour- Panagiotis D. Hatziantoniou Computer Engineer Dipl. hagianto@wcl.ee.upatras.gr jop@wcl.ee.upatras.gr Audio Group, Wire Comm. Lab., Elec.Eng.Dept., University of Patras, Greece. ABSTRACT The method of generalized fractional-octave smoothing of the Complex Spectrum, was applied to measured acoustic spaces responses with different properties (e.g. size and reverberation). The comparison of such modified responses to the original measured room responses, using well-established time and frequency domain criteria, indicates that, after smoothing, the late reflection energy is largely suppressed, clarity is increased, spectral mean and deviation is lowered, especially at mid and high frequencies. 1. Εισαγωγή Η απευθείας ανάλυση των µετρούµενων αποκρίσεων των ακουστικών χώρων, συχνά αποφέρει ασαφή αποτελέσµατα, ειδικά σε ότι έχει σχέση µε το πως αντιλαµβάνεται κάποιος ακροατής τις ιδιότητες αντήχησης ενός υπό εξέταση
Hellenic Institute of Acoustics (HELINA) Acoustics ακουστικού χώρου. Οι συγγραφείς της παρούσας εργασίας έχουν προτείνει µια επέκταση της κλασσικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης (Spectral Smoothing) των Συναρτήσεων Μεταφοράς των ακουστικών χώρων, την καλούµενη Μιγαδική Εξοµάλυνση (Complex Smoothing) [1]. Με τη χρήση της νέας αυτής µεθόδου, αφενός επιτυγχάνεται µια αντικειµενικά αποδεκτή Φασµατική Εξοµάλυνση βασισµένη σε οποιαδήποτε από τις γνωστές σταθµίσεις (κλάσµατος οκτάβας, βασισµένες σε ψυχοακουστικά κριτήρια κ.τ.λ.) και αφετέρου δε, η Φασµατική Εξοµάλυνση απεικονίζεται στο πεδίο του χρόνου, δίνοντας µία «εξοµαλυσµένη» χρονική κρουστική απόκριση του υπό εξέταση ακουστικού χώρου. (Σχ. 1). Στην παρούσα εργασία επιχειρείται µία σύγκριση των τιµών επιλεγµένων ακουστικών κριτηρίων που υπολογίζονται πριν και µετά την εφαρµογή της µεθόδου στις αποκρίσεις χώρων, το µέγεθος των οποίων κυµαίνεται από αυτό ενός µικρού γραφείου έως µιας µεγάλης αίθουσας ακροάσεων. Ο σκοπός αυτής της σύγκρισης είναι η διερεύνηση της αποτελεσµατικής χρήσης της προτεινόµενης µεθόδου, στην ανάλυση της ακουστικής χώρων, καθώς και σε εφαρµογές ψηφιακής ισοστάθµισης. 1. 4 Πλάτος.5. -.5 Φασµατικό Μέτρο (db) - -1. 4 6 8 1 Χρόνος (msec) -4 1 1 1k 1k Συχνότητα (Hz) Σχήµα.1 Τυπική απόκριση χώρου και η αντίστοιχη εξοµαλυσµένη Πεδίο Χρόνου Πεδίο Συχνότητας.. Θεωρία-Βασικές Αρχές Η διαδικασία της εξοµάλυνσης στο πεδίο της συχνότητας έχει ιστορικά οριστεί, για την περίπτωση αναλογικών σηµάτων, σαν µία συνέλιξη µιας συνάρτησης «παραθύρου» εξοµάλυνσης W(ω) όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα, µε τη συνάρτηση του φάσµατος ισχύος Η(ω) της µετρηµένης ακουστικής απόκρισης []. H παραπάνω αρχή µπορεί να χρησιµοποιηθεί, επίσης, για να περιγράψει τις εξοµαλυσµένες αποκρίσεις διακριτών σηµάτων χρόνου και συχνότητας, όπως είναι αυτές που προκύπτουν από τις ψηφιακά µετρούµενες ακουστικές/ηλεκτροακουστικές κρουστικές αποκρίσεις. Η αρχή της εξοµάλυνσης έχει επεκταθεί µε την ανάπτυξη της µεθόδου της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης [1] (Complex Spectral Smoothing), που ορίζεται σαν µία κυκλική συνέλιξη της Μιγαδικής Συνάρτησης Μεταφοράς ενός συστήµατος µε µια συνάρτηση «παραθύρου» εξοµάλυνσης. Πιο συγκεκριµένα, έστω ότι Η(κ) είναι η Συνάρτηση Μεταφοράς ενός συστήµατος. Η Η(κ) ως γνωστό είναι µια µιγαδική συνάρτηση των διακριτών τιµών του δείκτη συχνοτήτων κ ( κ Ν - 1, όπου Ν ο συνολικός αριθµός των δειγµάτων συχνότητας). ηλαδή H( κ ) = H ( κ ) + j H ( κ ) µε H R ( κ ) και H I ( κ ) να είναι αντίστοιχα οι συναρτήσεις πραγµατικού και R I
Ελληνικό Ινστιτούτο Ακουστικής (ΕΛΙΝΑ) Ακουστική φανταστικού µέρους της H(κ ). Η µιγαδικά εξοµαλυσµένη (complex smoothed) Συνάρτηση Μεταφοράς H cs ( κ ) ορίζεται ως εξής: cs N 1 i= ( κ) = H ( m( κ ),κ) = W ( m( κ ),i) H ((κ i) mod N ) H (1) cs sm όπου η W sm ( m( κ ), κ ) είναι µια φασµατική συνάρτηση εξοµάλυνσης, διακριτών πραγµατικών τιµών, που έχει, γενικά, τα χαρακτηριστικά ενός χαµηλοδιαβατού φίλτρου, µε την παράµετρο m(κ) (δείγµατα) να δηλώνει τη µεταβλητού µήκους ζώνη διέλευσης του φίλτρου σε συνάρτηση µε τη µεταβολή του δείκτη των συχνοτικών δειγµάτων κ. Αυτός ο ορισµός της συνάρτησης εξοµάλυνσης W sm ( m( κ ), κ ), επιτρέπει την απαιτούµενη ανοµοιοµορφία της εξοµάλυνσης (non-uniform smoothing), σε σχέση µε τη συχνότητα, για τις περιπτώσεις που επιθυµούµε να παράγουµε µια εξοµαλυσµένη Συνάρτηση Μεταφοράς είτε µε στάθµιση της φασµατικής ενέργειας ανά κλάσµα οκτάβας, είτε ακολουθώντας κάποια άλλη ανοµοιόµορφη εξοµάλυνση που ικανοποιεί κάποια ψυχοακουστικά κριτήρια. Λόγω του ότι στην παραπάνω εξίσωση οι συναρτήσεις του πεδίου συχνότητας είναι µιγαδικές διευκολύνουν την απεικόνιση της Μιγαδικά Εξοµαλυσµένης Συνάρτησης Μεταφοράς από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου µε τη βοήθεια του Αντίστροφου ιακριτού Μετασχηµατισµού Fourier. Έχει αποδειχτεί [1] ότι είναι δυνατό να προσεγγίσει κάποιος τη διαδικασία της ανοµοιόµορφης φασµατικής εξοµάλυνσης από το πεδίο του χρόνου, χρησιµοποιώντας µια διαδικασία «παραθυροποίησης»/διαµόρφωσης της χρονικής διακριτής κρουστικής απόκρισης h(n), όπου n είναι η διακριτή µεταβλητή των δειγµάτων χρόνου ( n Ν - 1 ). Αυτή η διαδικασία µπορεί να περιγραφεί από την παρακάτω εξίσωση: N / hscs (n) = {[ wsm ( m(k ),n) h( n) ] N cos ( π/n) k n)} k = όπου (n) κ Μετασχηµατισµού Fourier. h cs, H cs ( ) και w sm ( m(k ),n), ( m(k),i) 3. Μεθοδολογία και Αποτελέσµατα () W sm αποτελούν ζεύγη ιακριτού Η µέθοδος της Μιγαδικής Φασµατικής Ανάλυσης εφαρµόστηκε στις κρουστικές αποκρίσεις που προέκυψαν από τη µέτρηση επτά διαφορετικών επιλεγµένων χώρων, που κυµαίνονται σε όγκο από ένα µικρό σχετικά χώρο γραφείου µέχρι µια µεγάλη αίθουσα εκδηλώσεων. Οι χώροι αυτοί, οµαδοποιήθηκαν, ανάλογα µε τις διαστάσεις τους, σε µικρού, µεσαίου και µεγάλου µεγέθους χώρους (Πίνακας 1). Πίνακας 1. ιαστάσεις των υπό µελέτη χώρων Μέγεθος Χώρος Μικρό (<1 m 3 ) Mεσαίο (>1 m 3 <1 m 3 ) ωµάτιο 1 ωµάτιο ωµάτιο 3 ωµάτιο 4 5 87 386 651
Hellenic Institute of Acoustics (HELINA) Acoustics ωµάτιο 5 13 Μεγάλο >1 m 3 ωµάτιο 6 ωµάτιο 7 11 Για την εκτίµηση της επίδραση της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης στην ακουστική των παραπάνω χώρων, χρησιµοποιήθηκαν ακουστικά κριτήρια τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στης συχνότητας. Όσον αφορά το πεδίο του χρόνου, οι «Λόγοι της Ακουστικής Ενέργειας» (sound energy ratios) και ο «Χρόνος Αντήχησης» (Reverberation Time) είναι δύο πολύ ευρέως χρησιµοποιούµενα κριτήρια που βοηθούν στην αντικειµενική εκτίµηση και πρόβλεψη της ηχητικής ευκρίνειας και των αντηχητικών ιδιοτήτων των υπό µελέτη χώρων ακρόασης [3-4]. Επίσης, οι φασµατικές ιδιότητες των αποκρίσεων των χώρων ακρόασης εκτιµήθηκαν µε τον υπολογισµό των µέσων τιµών και των τυπικών αποκλίσεων της φασµατικής ενέργειας. 3.1 Αποτελέσµατα στο πεδίο της συχνότητας Το Σχ. απεικονίζει τυπικά αποτελέσµατα που αφορούν τις, υπολογισµένες από τις εξισώσεις 3α και 3β, µέσες τιµές του µέτρου της Συνάρτησης Μεταφοράς των υπό µελέτη χώρων, πριν και µετά από την πράξη της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης. Οι πολυωνυµικές καµπύλες προσέγγισης κάνουν φανερό ότι µετά την εξοµάλυνση, αυτές οι µέσες τιµές είναι σαφώς µειωµένες και µάλιστα η µείωση αυτή είναι πιο έντονη σε συνάρτηση µε την αύξηση του όγκου του χώρου. Στο Σχ. είναι φανερή η εξάρτηση της Τυπικής Απόκλισης της Συνάρτησης Μεταφοράς, πριν και µετά την εξοµάλυνση, σε σχέση µε τη µεταβολή του όγκου των χώρων. Όπως παρατηρείται, για µικρού και µεσαίου µεγέθους χώρους (όγκος<1 m 3 ), η εξοµάλυνση µειώνει τη φασµατική απόκλιση από τις ιδανικές φασµατικές συνθήκες (επίπεδο φάσµα), ενώ για µεγάλους χώρους έχει το αντίθετο αποτέλεσµα. Προκειµένου, εξάλλου, να γίνει αποτίµηση της επίδρασης της εξοµάλυνσης σε συνάρτηση µε τη µεταβολή της συχνότητας, οι µέσες τιµές και οι τυπικές αποκλίσεις υπολογίστηκαν για κάθε χώρο ανά περιοχή συχνοτήτων (1/3 της οκτάβας) σαν µέσοι όροι των µέσων τιµών και των αποκλίσεων των υπό εξέταση χώρων. Παρατηρώντας το Σχ. 3, που απεικονίζει την υπολογισµένη κατά µέσο όρο «φασµατική µέση τιµή» όλων των χώρων πριν και µετά την εξοµάλυνση, συµπεραίνεται η σηµαντική µείωση αυτής της παραµέτρου ειδικά στην περιοχή των µεσαίων συχνοτήτων. Τα αντίστοιχα αποτελέσµατα που αφορούν την τυπική απόκλιση (Σχ. 3 ), κάνουν φανερή τη µείωση αυτού του κριτηρίου στην περιοχή των ψηλών συχνοτήτων, ανεξαρτήτως χώρου, ενώ στις χαµηλές και µεσαίες συχνότητες παρατηρείται µείωση στις περιοχές που αρχικά παρουσιάζουν αύξηση της διασποράς και το αντίστροφο. 3. Αποτελέσµατα στο πεδίο του χρόνου Η επίδραση της εξοµάλυνσης στο κριτήριο της «Eυκρίνειας» (C5), όπως φαίνεται στο Σχ. 4, είναι η αναµενόµενη. Εφόσον, δηλαδή, η Μιγαδική Φασµατική Εξοµάλυνση έχει σαν αποτέλεσµα, στο πεδίο του χρόνου, να συµπιέζει την ακουστική ενέργεια που οφείλεται στις καθυστερηµένες ανακλάσεις του χώρου, η «Ευκρίνεια» αυξάνεται, ειδικά στους χώρους µεγάλου όγκου. Εξάλλου, η «Αντήχηση» (που εδώ εκτιµάται από το κριτήριο του «Χρόνου Πρώιµης Εξασθένησης») µειώνεται µετά την εξοµάλυνση (Σχ. 4 ), ανεξάρτητα από τη µεταβολή του όγκου των ακουστικών χώρων που κανονικά είναι ο παράγοντας που επηρεάζει το ποσοστό της αντήχησης.
Ελληνικό Ινστιτούτο Ακουστικής (ΕΛΙΝΑ) Ακουστική Μέση Τιµή (db) 8 6 4 - -4 original smoothed 1 1k 1k Τυπική Απόκλιση (db) 8 7 6 5 4 3 1 1 1k 1k Σχ. Σύγκριση, πριν και µετά την εξοµάλυνση: (a) των µέσων τιµών και των τυπικών αποκλίσεων της φασµατικής απόκρισης µέτρου συναρτήσει του όγκου των χώρων. Μέση Τιµή / 1/3 οκτάβας (db) 8 6 4 - -4-6 εξοµαλυσµένη 1 1k 1k Συχνότητα (Hz) Τυπική Απόκλιση (db) 4. 3.5 3..5. 1 1k 1k Συχνότητα (Hz) Σχ.3 Σύγκριση, πριν και µετά την εξοµάλυνση: (a) των ανά 1/3 οκτάβας µέσων τιµών, των 1/3 οκτάβας τυπικών αποκλίσεων, των κατά µέσω όρο φασµατικών αποκρίσεων µέτρου των χώρων, συναρτήσει της συχνότητας. Ευκρίνεια C5 (db) 3 5 15 1 5-5 1 1k 1k Αντήχηση EDT -1dB (sec) 3..5. 1.5 1..5. 1 1k 1k Σχ.4 Σύγκριση των µέσων όρων των τιµών της «ευκρίνειας» (C5) της «αντήχησης» (EDT 1 db) συναρτήσει της µεταβολής του όγκου των χώρων. Συµπέρασµα Τα αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν στην προηγούµενη ενότητα, υποδηλώνουν ότι η µέθοδος της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης, όταν εφαρµόζεται σε κρουστικές αποκρίσεις χώρων, τροποποιεί δραστικά αυτές τις αποκρίσεις αλλάζοντας ουσιαστικά τις ιδιότητές τους σε πιο επιθυµητές τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και της συχνότητας.
Hellenic Institute of Acoustics (HELINA) Acoustics Καταρχήν σε ότι αφορά το πεδίο του χρόνου, είναι προφανές ότι µετά την εφαρµογή της µεθόδου, το µεγαλύτερο ποσό της ακουστικής ενέργειας, που οφείλεται στις καθυστερηµένες χρονικά ανακλάσεις, συµπιέζεται και ουσιαστικά οι νέες εξοµαλυσµένες αποκρίσεις περιγράφουν το πρώιµο, χρονικά, κοµµάτι της µετάδοσης του ήχου. Ως εκ τούτου η «αντήχηση» µειώνεται σε όλες τις αποκρίσεις ανεξάρτητα από τις διαστάσεις του χώρου στον οποίο µετρήθηκαν. Ωστόσο στο πεδίο της συχνότητας οι εξοµαλυσµένες αποκρίσεις, γενικά, διατηρούν, τα φασµατικά χαρακτηριστικά των πρωτότυπων αποκρίσεων, όπως θα παρατηρούσε κανείς µετά από µία κλασσική στάθµιση της φασµατικής ενέργειας ανά κλάσµα της οκτάβας. Αναλυτικά, η ενέργεια του φάσµατος µειώνεται σηµαντικά στην περιοχή των µεσαίων συχνοτήτων, ενώ ελάχιστη ως µικρή είναι η µείωση στις χαµηλές και ψηλές συχνότητες αντίστοιχα. Παρόλα αυτά η τυπική απόκλιση του µέτρου του φάσµατος δείχνει να µειώνεται σηµαντικά στις ψηλές συχνότητες που σηµαίνει ότι η φασµατική απόκριση σε αυτή την περιοχή πλησιάζει περισσότερο την ιδανική απόκριση του επίπεδου φάσµατος σε σύγκριση µε τις πρωτότυπες αποκρίσεις. Τέλος, δεδοµένου ότι η καθυστερηµένη χρονικά ενέργεια και εποµένως η αντήχηση µειώνεται µετά την εφαρµογή της Μιγαδικής Φασµατικής Εξοµάλυνσης, ο φασµατικός µέσος όρος της ενέργειας µειώνεται σηµαντικά ειδικά όσον αφορά την περίπτωση των µεγάλων χώρων. Αναφορές [1] P.Hatziantoniou,J.Mourjopoulos, April, Generalized Fractional- Octave Smoothing of Audio and Acoustic Responses, ournal of the Audio Engineering Society, Vol. 48, No. 4, pp. 59-8. [] A.Papoulis, 1977, Signal Analysis, McGraw-Hill, New York. [3] M.R.Schroeder, New method of measuring reverberation time, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 38, pp 39-361 (1965) and vol.4, pp.549-551 (1966) [4] H.Kuttruff, 1991, Room Acoustics, 3d ed., Elsevier Science, New York.