1 6.7 σκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 139 140 Ερτήσεις Κατανόησης 1. Ποιος είναι ο γεετρικός τόπος τν σηείν του επιπέδου που i) Έχουν απόσταση ρ από ένα σταθερό σηείο Ο ii) Ισαπέχουν από δύο σταθερά σηεία και iii) Έχουν απόσταση από ία ορισένη ευθεία ε iν) Ισαπέχουν από τις πευρές ίας γνίας ν) Ισαπέχουν από δύο τενόενες ευθείες νi) Ισαπέχουν από δύο παράηες ευθείες νii) έπουν ένα δοσένο ευθύγραο τήα υπό ορισένη γνία πάντηση i) Ο κύκος ε κέντρο το Ο και ακτίνα ρ ii) Η εσοκάθετος του τήατος iii) Δύο παράηες προς την ευθεία ε και σε απόσταση από αυτήν iν) Η διχοτόος της γνίας ν) Οι διχοτόοι τν γνιών που σχηατίζουν οι ευθείες νi) Η εσοπαράηος τν δύο ευθειών νii) Είναι δύο τόξα κύκν χορδής ίσης ε το ευθύγραο τήα χρίς τα άκρα της χορδής, συετρικά ς προς την ευθεία που ορίζεται από το δοθέν τήα, καθένα από τα οποία δέχεται γνία ίση ε την
2 2. Ένα ορθογώνιο τρίγνο κατασκευάζεται όταν δίνονται i) Δύο κάθετες πευρές του Σ Λ ii) ία κάθετη πευρά του και η υποτείνουσα Σ Λ iii) ία οξεία γνία του Σ Λ iν) Η υποτείνουσα και ία οξεία γνία του Σ Λ ν) Η διάεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Σ Λ πάντηση i) Κατασκευή τριγώνου από δύο πευρές και την περιεχόενη γνία ii) Κατασκευή τριγώνου από δύο πευρές και ία γνία όχι περιεχόενη iii) Δεν είναι δυνατή η κατασκευή (υπάρχουν άπειρα ορθογώνια τρίγνα ε ία οξεία γνία ίση ε δοσένη) iν) Κατασκευή τριγώνου από ία πευρά του και τις προσκείενες γνίες του ν) Δεν είναι δυνατή η κατασκευή (υπάρχουν άπειρα ορθογώνια τρίγνα ε δοσένη υποτείνουσα )
3 σκήσεις Επέδσης 1. Ποιος είναι ο γεετρικός τόπος τν θέσεν : i) του δροέα που κινείται σε ένα ευθύγραο διάδροο ισαπέχοντας από τις πευρές του, ii) ενός τεχνητού δορυφόρου της γης που κινείται σε απόσταση 10 km πάν i) ii) από αυτή. Δ 10 km R O γ.τόπος του δροέα είναι η εσοπαράηη τν πευρών του διαδρόου, αφού όνο κάθε σηείο της εσοπαράηης ισαπέχει από τις πευρές του διαδρόου. Έστ το κέντρο της ης και R η ακτίνα της. ια την τυχαία θέση Δ του δορυφόρου θα είναι Δ = R +10. Άρα ο δορυφόρος θα κινείται στον κύκο που έχει κέντρο το κέντρο της ης και ακτίνα R+10 2. Να βρείτε το γεετρικό τόπο τν κέντρν τν κύκν γνστής ακτίνας : i) που κυίονται στο εστερικό ενός εγαύτερου γνστού κύκου, ii) που διέρχονται από ένα σταθερό σηείο. i) ς είναι (Ο, R) ο εγαύτερος γνστός κύκος και (,ρ) ο κυιόενος κύκος γνστής ακτίνας ρ, όπου αναζητάε το γ.τόπο του κέντρου του. Είναι Ο = Ο = R ρ. Ο Δηαδή το κέντρο του κυιόενου κύκου απέχει από το σταθερό σηείο Ο απόσταση R ρ, άρα κινείται στον κύκο (Ο, R ρ) ii) Σ ρ Έστ Σ το σταθερό σηείο και τυχαίο σηείο του γ. τόπου, δηαδή κέντρο κύκου ακτίνας ρ, που διέρχεται από το Σ. Το απέχει από το σταθερό Σ απόσταση ρ, άρα κινείτε στον κύκο (Σ, ρ).
4 3. Το σηείο στο οποίο είναι κρυένος ένας θησαυρός απέχει 4m από ένα δένδρο Δ και ισαπέχει από δύο άα δένδρα και. Να βρεθεί η θέση του θησαυρού. Έστ Θ η θέση του θησαυρού. Επειδή το Θ απέχει από το Δ απόσταση 4m, Δ θα ανήκει στον κύκο (Δ, 4). Και επειδή Θ = Θ, το Θ θα ανήκει στη εσοκάθετο του τήατος. Θ Άρα το Θ θα είναι σηείο τοής του κύκου ε Θ τη εσοκάθετο. 4. Να βρεθεί ο γεετρικός τόπος τν έσν τν ακτίνν δοσένου κύκου. Ο Έστ τυχαίο σηείο του γ.τόπου, δηαδή έσο τυχαίας ακτίνας Ο του δοσένου κύκου (Ο, ρ) Ο = 2 το ανήκει στον κύκο (Ο, 2 ) ποδεικτικές σκήσεις 1. Να βρεθεί ο γεετρικός τόπος της κορυφής της ορθής γνίας ορθογνίου τριγώνου, που έχει δοσένη υποτείνουσα. Έστ τυχαίο σηείο του γ.τόπου το βέπει το σταθερό τήα ε ορθή γνία το ανήκει στον κύκο διαέτρου. Πρέπει και, για να ορίζεται τρίγνο.
5 2. Να βρεθεί ο γεετρικός τόπος τν προβοών δοσένου σηείου πάν στις ευθείες που διέρχονται από δοσένο σηείο. ε Διερεύνηση. όταν ε ε την ευθεία και όταν ε ε την κάθετη της από το. Έστ τυχαίο σηείο του γ.τόπου στην τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το το βέπει το τήα ε ορθή γνία ή συπίπτει ή το ανήκει στον κύκο διαέτρου 3. Δίνεται ορθή γνία ˆ xoy και σηείο στο εστερικό της. Οι κορυφές και ενός ορθογνίου τριγώνου ( Â 1 ) κινούνται πάν στις Οx και Οy αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεετρικός τόπος του έσου της υποτείνουσας. y Έστ τυχαίο σηείο του γ.τόπου το είναι έσο της υποτείνουσας του ορθογνίου τριγώνου Ο, διάεσοι τν ορθογνίν τριγώνν Ο και Ο = B 2 = το ανήκει στη εσοκάθετο ευθεία του Ο. Ο x Διερεύνηση. Η υποτείνουσα βρίσκεται στο εστερικότης γνίας xoy ˆ και οριακά γίνεται Ο ή Ο, άρα το βρίσκεται στο εστερικό της γνίας xoy ˆ ή στις πευρές της. Έτσι, ο γ. τόπος είναι το ευθ. τήα της εσοκαθέτου του Ο.
6 4. Να κατασκευασθεί ορθογώνιο τρίγνο ( Â 1 ) του οποίου δίνονται i) η διάεσος = και ία κάθετη πευρά ii) η διάεσος = και το ύψος Δ =. i) β β νάυση. Έστ το ζητούενο τρίγνο, ε Â1, διάεσο = και κάθετη πευρά = β Είναι = = 2 2 Σύνθεση. ράφουε τήα = 2 και έστ το έσο του. ράφουε τους κύκους (,) και (,β) οι οποίοι τένονται σε σηείο. Φέρουε τις και. Υποστηρίζουε ότι το τρ. είναι το ζητούενο. πόδειξη. Το τρ., όπς κατασκευάσθηκε, έχει διάεσο = σαν ακτίνα του κύκου (,), έχει πευρά = β σαν ακτίνα του κύκου (,β) και Â1 σαν εγγεγραένη που βαίνει σε ηικύκιο. Διερεύνηση. ια να έχει ύση το πρόβηα, πρέπει οι δύο κύκοι να τένονται, δηαδή να είναι β < 2. ii) νάυση. Έστ το ζητούενο τρίγνο, ε Â1, διάεσο = και ύψος Δ = Παρατηρούε ότι το ορθογώνιο τρίγνο Δ είναι κατασκευάσιο από κάθετη πευρά και υποτείνουσα. Δ Σύνθεση. ράφουε ορθή γνία ˆ x ε Δ = και κύκο (,) ο οποίος τένει τη Δx σε σηείο. Πάν στην ευθεία Δx και x εκατέρθεν του θερούε τα τήατα = =. Δ Υποστηρίζουε ότι το τρ. είναι το ζητούενο. πόδειξη. Το τρ., όπς κατασκευάσθηκε, έχει διάεσο = σαν ακτίνα του κύκου (,), έχει ύψος Δ = και είναι ορθογώνιο διότι η διάεσός του ισούται. 2 Διερεύνηση. Το πρόβηα έχει ύση τρίγνο Δ κατασκευάσιο ή Δ < ή =
7 Σύνθετα Θέατα 1. πό ένα εταβητό σηείο Ρ της πευράς ενός τριγώνου φέρουε ευθείες παράηες προς τις πευρές και που τένουν τις και στα σηεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το γεετρικό τόπο του έσου του ΖΕ. Ζ Ρ Ε x ε Έστ τυχαίο σηείο του γ.τόπου, δηαδή έσο της διαγνίου ΖΕ του παραηογράου ΖΡΕ έσο και της διαγνίου Ρ ανήκει στη εσοπαράηη ε τν x,, όπου xp από το. Διερεύνηση. Επιδή το Ρ είναι σηείο της πευράς, το θα κινείται στο τήα της ε εταξύ της και της. 2. Να κατασκευάσετε τρίγνο του οποίου δίνονται: i) η πευρά =, η γνία Â = και η διάεσος = ii) η πευρά =, η γνία Â = και η διάεσος Ν = i) τ M M νάυση. Έστ το ζητούενο τρίγνο και M το έσο της. Τότε =, Â = και M =. Επειδή το βέπει το τήα ε γνστή γνία, θα ανήκει σε γνστό τόξο Τ. Επειδή M =, δηαδή το απέχει από το M γνστή απόσταση, θα ανήκει σε κύκο (M,) Η τοή του τόξου T ε τον κύκο (M,) θα είναι το. Σύνθεση. Θερούε τήα = και το έσο του M. ράφουε τόξο Τ, τα σηεία του οποίου να βέπουν τη ε γνία και κύκο (M,), που τένει το τόξο Τ σε σηείο. Φέρουε τις και. Υποστηρίζουε ότι το είναι το ζητούενο. πόδειξη. στοιχεία. Το τρίγνο, όπς κατασκευάσθηκε, έχει προφανώς τα δοσένα
8 Διερεύνηση. Το πρόβηα έχει ύση τότε και όνο τότε, όταν ο κύκος (M,) τένει το τόξο Τ. ii) νάυση. Έστ το ζητούενο τρίγνο και N το έσο της. Τότε =, Â = και BN = Ν Θερούε το έσο της και φέρουε τη Ν 1 Ν P (ενώνει έσα πευρών) M ˆN = το Ν θα ανήκει σε 1 γνστό τόξο σ χορδής. Ν = το Ν θα ανήκει σε κύκο (,). Άρα το Ν θα είναι το σηείο τοής του τόξου σ ε τον κύκο (,). 1 M Ν σ Σύνθεση. Θερούε τήα = και το έσο του. ράφουε τόξο σ, τα σηεία του οποίου να βέπουν τη ε γνία και κύκο (,), που τένει το τόξο σ σε σηείο Ν. Φέρουε τη Ν και την προεκτείνουε κατά Ν = Ν. Τέος φέρουε την.υποστηρίζουε ότι το τρίγνο είναι το ζητούενο. πόδειξη. Το τρίγνο, όπς κατασκευάσθηκε, έχει = και διάεσο Ν = Ν ανήκει στο τόξο σ ˆN = 1 ά Ν P (τα Ν, είναι έσα πευρών) Â = ˆN = 1 Διερεύνηση. Το πρόβηα έχει ύση τότε και όνο τότε, όταν ο κύκος (,) τένει το τόξο σ
9 3. Να κατασκευάσετε ένα τετράπευρο Δ που έχει πευρές,, Δ και Δ ίσες ε τα γνστά τήατα κ,,, ν αντίστοιχα, και η γνία του είναι ίση ε δοσένη γνία. Δ ν Δ ν κ κ νάυση. Έστ Δ το ζητούενο τετράπευρο. Το τρίγνο Δ είναι κατασκευάσιο από δύο πευρές και περιεχόενη γνία. Επειδή =, το θα ανήκει σε κύκο (,), και επειδή Δ =, το θα ανήκει σε κύκο (Δ,). Το, οιπόν, θα είναι η τοή τν δύο κύκν. Σύνθεση. Κατασκευάζουε τρίγνο Δ ε Â =, = κ και Δ = ν. ράφουε τους κύκους (,) και (Δ,), που τένονται σε σηείο. Τέος φέρουε τις και Δ. Υποστηρίζουε ότι το τετράπευρο Δ είναι το ζητούενο. πόδειξη. Το Δ έχει Â =, = κ και Δ = ν, από την κατασκευή. Επίσης είναι = και Δ = σαν ακτίνες τν κύκν. Διερεύνηση. Το πρόβηα έχει ύση τότε και όνο τότε, όταν οι κύκοι (,) και (Δ,) έχουν κοινό σηείο.