Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x) ως το ρυθμό μεταβολής dy/dx=f (x) ως προς x. Η «αντίστροφη» διαδικασία της παραγώγισης, δηλ. από την παράγωγο f (x) ως προς x, να υπολογίσουμε την αρχική συνάρτηση f(x), ονομάζεται ολοκλήρωση και συμβολίζεται f x dx ως προς x. Το σύμβολο ολοκλήρωσης προέρχεται από το S γιατί είναι πράξη πρόσθεσης (Sum=άθροισμα) αντίθετα με την παράγωγο dy/dx που είναι πράξη διαφορών (=differences) αφαίρεσης. Παράδειγμα: Y=f(x)=x 3 => f (x)=3x 2 => ολοκλήρωμα (αντιπαράγωγος) f x dx= 3x 2 dx= x 3 Προφανώς όπως η παράγωγος συνάρτησης είναι συνάρτηση έτσι και το ολοκλήρωμα συνάρτησης είναι συνάρτηση! 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω συνάρτηση y=f(x)=x 3 και g(x)= x 3 +5 Αν παραγωγίσω: f (x)=3x 2 και g (x)=3x 2 (οι 2 συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο γιατί η παράγωγος της σταθεράς 5 στην g(x) είναι μηδέν) Επομένως αν υπολογίσω το ολοκλήρωμα των f (x) και g (x) θα έχω: f x dx= 3x 2 dx= x 3 και g x dx= 3x 2 dx= x 3 στην g(x) έχει χαθεί η σταθερά! Επομένως όταν υπολογίζω το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης δεν γνωρίζω αν υπάρχει σταθερά c. Για να ξεπεράσω το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιώ τον κανόνα: 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 3x 2 dx= x 3 + c Δηλαδή σε κάθε ολοκλήρωμα προσθέτω σταθερά c, ώστε να είναι σωστό στην περίπτωση που στην συνάρτηση υπάρχει σταθερά που «χάθηκε» στην παραγώγιση. Ονομάζω αόριστο ολοκλήρωμα της f (x) το f x dx=f(x)+c Για να υπολογίσω το c (σταθερά ολοκλήρωσης) χρειάζομαι μια αρχική συνθήκη (π.χ. την τιμή της F(x) για κάποιο x)

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συναρτήσεις ολοκληρώματος y=x 3 +c c=0 c=-50 c=50 Το ολοκλήρωμα: 3x 2 dx= x 3 + c -6-4 -2 0 2 4 6 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr γραφικά αντιστοιχεί σε μια «οικογένεια» καμπυλών, όπου κάθε τιμή της σταθεράς ολοκλήρωσης c αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση-καμπύλη (π.χ. αν c=0 η καμπύλη περνάει από το σημείο x=0, y=0). Αρχική Συνθήκη: Για να υπολογίσουμε το c χρειαζόμαστε ένα ζεύγος τιμών (x,y). Αν μας δίνετε ένα σημείο που «περνάει» η ζητούμενη συνάρτηση μπορούμε να υπολογίσουμε το c. Όλες οι καμπύλες έχουν την ίδια παράγωγο 3x 2

ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Οι κανόνες ολοκλήρωσης χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε συνάρτησης, μπορούμε να επαληθεύσουμε παραγωγίζοντας το αποτέλεσμα για να πάρουμε την αρχική συνάρτηση. Συνάρτηση f(x) 1 x+c a x n ax n af(x) x -1 =1/x ax -1 =a(1/x) f (x)/f(x) Ολοκλήρωμα f (x) dx ax+c (1/(n+1))x n+1 +c (n -1) a(1/(n+1))x n+1 +c (n -1) a f(x)dx ln x +c aln x +c ln (f(x)) +c Συνάρτηση f(x) Ολοκλήρωμα f (x) dx (ax+b) n 1/(a(n+1))(ax+b) n+1 +c a x k ax a x /lna+c e x e x +c e ax e ax f (x)e f(x) k ax /alnk+c e ax /a+c e ax /a+c e f(x) f(x)±g(x) f(x)± g(x) 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 3dx = 3x + c x 4 dx = 1 4+1 x4+1 + c= 1 5 x5 + c 6x 3 dx = 6 1 3+1 x3+1 + c= 6 4 x4 + c 6 x dx = 6 1 x dx = 6 (x) dx = 6ln x + c x 10 x dx = 10x ln10 + c 5 7x dx = 57x 7ln5 + c 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ (5x 3 6x 4 + 10)dx = (5x 3 )dx (6x 4 ) dx + 10 dx = 5 4 x4 6 5 x5 + 10x+c Μπορούμε να επαληθεύσουμε αν η παράγωγος του ολοκληρώματος που υπολογίσαμε, είναι η αρχική συνάρτηση που ολοκληρώσαμε: d dx (5 4 x4 6 5 x5 + 10x+c)= d dx (5 4 x4 ) d dx (6 5 x5 ) + d dx (10x)+ d dx (c)= (4 5 4 x3 ) (5 6 5 x4 ) + (1 10)+0 = 5x 3 6x 4 + 10 είναι η αρχική συνάρτηση οπότε είναι σωστό το ολοκλήρωμα που υπολογίσαμε. (2x 2 3x 4)dx = 2x 2 dx 3x) dx 4 dx = 2 3 x3 3 2 x2 4x+c 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (1) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το 3x 2 (x 3 3)dx ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση, ο όρος x 3 3 που δημιουργεί το πρόβλημα τον ονομάζουμε u=x 3 3 οπότε du/dx=3x 2 =>dx=du/(3x 2 ) αντικαθιστώ το u και dx στο ολοκλήρωμα: Επομένως 3x 2 (x 3 3)dx= 3x 2 udu/(3x 2 ) = udu = 1 2 u2 +c= 1 2 (x3 3) 2 + c Η αντικατάσταση είναι ο αντίστροφος του κανόνα αλυσίδας στην παραγώγιση Εναλλακτικά: 3x 2 (x 3 3)dx= (3x 5 9x 2 )dx= 3 6 x6 9 3 x3 + c = 1 2 x6 3x 3 +c= x 3 x3 2 3 + c η διαφορά με τον προηγούμενο υπολογισμό οφείλεται στη σταθερά c. 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (2) x Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το 2 dx= x 2 (2x 3 4) 2 dx (2x 3 4) 2 ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΜΕΣΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση, ο όρος 2x 3 4 που δημιουργεί το πρόβλημα τον ονομάζουμε u=2x 3 4 οπότε du/dx=6x 2 =>dx=du/(6x 2 ) αντικαθιστώ το u και dx στο ολοκλήρωμα: - x 2 (2x 3 4) 2 dx= x 2 u 2 du/(6x 2 ) = 1 6 1 6(2x 3 4) 1 + c Αντίστροφος του κανόνα αλυσίδας στην παραγώγιση u 2 du = 1 6 u 1 +c=- 1 6 (2x3 4) 1 + c = Εναλλακτικά: δεν μπορούμε να μετατρέψουμε τη συνάρτηση σε πολυωνυμική! 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (3) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το 3x(x 2) 3 dx ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΜΕΣΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση, ο όρος x 2 που δημιουργεί το πρόβλημα τον ονομάζουμε u=x 2 οπότε du/dx=x =>dx=du αντικαθιστώ το u και dx στο ολοκλήρωμα: 3x(x 2) 3 dx= 3xu 3 du= 3 xu 3 du = Αδύνατο να συνεχίσω, η αντικατάσταση δεν δίνει λύση! Γιατί δεν μπόρεσα να απαλείψω το x. Εναλλακτικά αν εφαρμόσω τον κανόνα αναπτύγματος (x-2) 3 θα βρω τη λύση! (x 2) 3 =(x-2)(x-2)(x-2)=(x 2-2x-2x+4)(x-2)=. Θα προκύψει ολοκλήρωμα πολυωνυμικής συνάρτησης 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΆ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Κανόνας παραγώγισης γινομένου: d u x v x dx = u x v x + v x u x Με ολοκλήρωση των 2 πλευρών της ισότητας θα έχουμε: u x v x = u x v x dx + v x u x dx u x v x dx = u x v x v x u x dx Εφαρμογή: 2xe x 1 dx θέτω: u(x)=2x και v (x)=e x 1 => u (x)=2 και v(x)= e x 1 dx=e x 1 +c 1 2xe x 1 dx=2x(e x 1 +c 1 )- (e x 1 +c 1 )2dx= 2xe x 1 +2c 1 x-2 (e x 1 )dx 2 c 1 dx= 2xe x 1 +2c 1 x-2e x 1 2c 1 x+c=2xe x 1-2e x 1 +c=2e x 1 x 1 + c 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΩΝ ΑΠΌ ΟΡΙΑΚΑ ΚΟΣΤΗ-ΕΣΟΔΑ-ΚΕΡΔΗ Έστω TR συνολικά έσοδα (Total Revenue), TC συνολικό κόστος (Total Cost) και τα αντίστοιχα οριακά μεγέθη οριακά έσοδα MR, οριακά κόστη MC Τα οριακά μεγέθη MR, MC είναι οι παράγωγοι των συνολικών TR, TC Επομένως τα συνολικά είναι οι αντιπαράγωγοι (ολοκληρώματα) των οριακών Παράδειγμα: Αν MC=100+x TC= MCdx = 100+x dx = 100x + x2 2 +c Η σταθερά ολοκλήρωσης c για να υπολογιστεί χρειαζόμαστε μια αρχική συνθήκη, έστω TC=40000 αν x=100 Χ=100 => TC(x=100)=100*100+100 2 /2+c=40000 => 10000+5000+c=40000 => c=25000 Επομένως TC(x)=100x + x2 2 +25000 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Y f(x 4 ) f(x 3 ) f(x 2 ) f(x 1 ) a x 1 x 2 x 3 x 4 b y=f(x) X Έστω η καμπύλη της συνάρτησης y=f(x) και a, b σημεία (τιμές) του άξονα x. Το Εμβαδό της περιοχής μεταξύ του x άξονα και της καμπύλης από a μέχρι b μπορεί να υπολογιστεί με παραλληλόγραμμα χωρίζοντας το διάστημα (a,b) σε n ίσα τμήματα με μήκος Δx, για 4 τμήματα Δx=(b-a)/4. Το εμβαδό κάθε παραλληλόγραμμου είναι ΒάσηΧ Ύψος, τη βάση την ορίσαμε Δx και το ύψος είναι f(x i ) i=1,2,3,4 επομένως το εμβαδό της περιοχής Α=f(x 1 )Δx+ f(x 2 )Δx+ f(x 3 )Δx+ f(x 4 )Δx=> A= 4 i=1 (f(x i )Δx) (υπάρχει μικρό σφάλμα που οφείλεται στο ότι τα παραλληλόγραμμα δεν καλύπτουν πλήρως την περιοχή) Αν θέσουμε Δx 0 οπότε χωρίζουμε το διάστημα (a,b) σε άπειρα μικρά τμήματα n το σφάλμα θα μηδενιστεί: A= lim n i=1 n (f(x i )Δx Ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμα από a έως b το παραπάνω όριο και το συμβολίζουμε: Α= a b f x dx 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ: Αν συμβολίσουμε με F(x) την αντιπαράγωγο (ολοκλήρωμα) της f(x) (δηλ. F (x)=f(x)) b a f x dx = [F x ]x=a x=b =F(b)-F(a) Τα a, b ονομάζονται όρια του ορισμένου ολοκληρώματος Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμός, η διαφορά 2 τιμών μιας συνάρτησης Παραδείγματα: 2 x 3 dx = [ x4 x=2 =F(2)-F(0)= 24 0 4 ] x=0 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 4-04 4 =16 4-0 4 =4 5 3 (x 2 +2x)dx = [ x3 + 3 x2 ] x=5 x=3 =F(5)-F(3)=( 53 + 3 52 ) ( 33 + 3 32 )= ( 125 + 25) 3 (9 + 9) =116 + 16 3 3 3 2 (5x + x2)dx = [5x2 2 ] 2 x x=1 x=3 = F(3)-F(1)=( 5 32 2 2 3 )-(5 12 2 2 1 )=(45 2 2 3 )-(5 2 2 1 )=21+1 3 1

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Αντιμετάθεση ορίων ολοκληρώματος: Παράδειγμα: 2 x 3 dx = [ x4 0 4 ] x=0 a b f x dx = b a f x dx x=2 =F(2)-F(0)= 24 4-04 4 =16 4-0=4 ενώ 0 4 2 x 3 dx = [ x4 ] 4 x=2 x=0 =F(0)-F(2)= 04 Αλλαγή ορίων ολοκληρώματος a, c με ενδιάμεση τιμή b: 4 24 c b c Αν a b c ισχύει a f x dx = a f x dx+ b f x dx Παράδειγμα: 2 x 3 1 dx = 0 x 3 1 dx + 0 x 3 dx += [ x4 x=1 + [ x4 x=2 =F(1)-F(0)+ F(2)-F(1) = F(2)-F(0)= 24 0 4 ] x=0 4 ] x=1 4 =0 4 16 4 =-4 4-04 4 =4 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΧΡΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στην στατιστική ονομάζουμε f(x) τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και F(x) την αθροιστική πιθανότητα (ολοκλήρωμα της f(x)) μιας τυχαίας μεταβλητής x. Η πιθανότητα η μεταβλητή x να έχει τιμές στο διάστημα (a, b) συμβολίζεται με P(a x b) (πιθανότητα το x να είναι μεταξύ a, b): P(a x b)= a b f x dx = F(b)- F(a) όπου f(x) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Παράδειγμα: Έστω f(x)= 1 64 x3 η συνάρτηση του χρόνου αναμονής x κάθε πελάτη σε ένα κατάστημα για την εξυπηρέτησή του, με 0 x 4 (δηλ. ο χρόνος αναμονής x, μπορεί να είναι από 0 μέχρι 4 λεπτά) Η πιθανότητα να «περιμένει» από 2 μέχρι 3 λεπτά είναι: 3 1 P(2 x 3)= 2 ( 64 x3 )dx=[ x4 ] 256 x=2 x=3 =F(3)-F(2)= 34-24 = 81-16 = 65 =0,2539=25.39% 256 256 256 256 256 4 1 Ενώ P(0 x 4)= 0 ( 64 x3 )dx=[ x4 αναμονή 0 x 4 256 ] x=0 x=4 =F(4)-F(0)= 44-04 256 256 =256-0 256 256 =256 256 =1=100%, όπως αναμένεται αφού ορίσαμε ότι η 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΧΡΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ: ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ 1/2 P 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 CS PS Πλεόνασμα Παραγωγού και Καταναλωτή Pd=10-2Q Σημείο Ισορροπίας Q=1,33, P=7.33 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Ps=2+4Q 0 1 2 3 4 5 Q Έστω συνάρτηση ζήτησης Pd=10-2Q και Συνάρτηση προσφοράς Ps=2+4Q Το σημείο ισορροπίας προσφοράς-ζήτησης είναι Q=1.33, P=7.33 Στο σημείο ισορροπίας το συνολικό Κόστος για τους Καταναλωτές είναι Q*P=1.33*7.33=9.75 που είναι τα Έσοδα των Παραγωγών. Ορίζουμε ως Πλεόνασμα του Καταναλωτή CS το εμβαδό κάτω από την καμπύλη ζήτησης από Q=0 έως Q=1.33 μείον το Κόστος σημείου ισορροπίας Ορίζουμε ως Πλεόνασμα του Παραγωγού PS το εμβαδό πάνω από την καμπύλη προσφοράς από Q=0 έως Q=1.33, είναι ίσο με Έσοδα σημείου ισορροπίας μείον εμβαδό κάτω από καμπύλη προσφοράς

ΧΡΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ: ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ 2/2 P 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 CS PS Πλεόνασμα Παραγωγού και Καταναλωτή Pd=10-2Q Σημείο Ισορροπίας Q=1,33, P=7.33 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Ps=2+4Q 0 1 2 3 4 5 Q Pd=10-2Q και Ps=2+4Q Σημείο ισορροπίας Q=1.33, P=7.33 Κόστος για τους Καταναλωτές=Q*P=1.33*7.33=9.75= Έσοδα των Παραγωγών. Πλεόνασμα του Καταναλωτή CS το εμβαδό κάτω από την καμπύλη ζήτησης από Q=0 έως Q=1.33 μείον το Κόστος σημείου ισορροπίας: CS= 0 1.33 Pd dq 9. 75 = 0 1.33 10 2Q dq 9. 75 = [10Q Q 2 ] 0 1.33-9.75=F(1.33)-F(0)-9.75=10 1.33 1. 33 2 10 0+0 2-9.75=13.3-1.77-9.75=1.78 Πλεόνασμα του Παραγωγού PS το εμβαδό πάνω από την καμπύλη προσφοράς από Q=0 έως Q=1.33, είναι ίσο με Έσοδα Παραγωγών μείον εμβαδό κάτω από καμπύλη προσφοράς: PS=9.75-0 1.33 Ps dq = 9. 75 0 1.33 2+4Q dq = 9. 75 [2Q+2Q 2 ] 0 1.33 = 9.75-F(1.33)-F(0)=9.75 2 1.33 2 1. 33 2 2 0 2 0 2 = 9.75 2.66 3. 54 =3.55 Συνολικά από την λειτουργία της αγοράς έχουμε κέρδος CS+PS=1.78+3.55=5.33

ΕΥΡΕΣΗ ΣΩΡΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΣΩΝ ΣΕ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω η εκθετική συνάρτηση της μορφής f(t)=100e 0.08t περιγράφει το κόστος συντήρησης ενός στόλου αυτοκινήτων σαν συνάρτηση του χρόνου (το κόστος συντήρησης αυξάνει εκθετικά με το χρόνο) Το κόστος συντήρησης κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από την τιμή της συνάρτησης, το ολοκλήρωμα από μια χρονική στιγμή t 1 μέχρι μια χρονική στιγμή t 2 θα είναι το συνολικό κόστος συντήρησης για το χρονικό διάστημα από t 1 έως t 2 Επομένως το κόστος συντήρησης για τα 5 πρώτα έτη θα είναι: 5 5 0 f(t)dt= 0 100e 0.08t dt=[ 100 5 0.08 e0.08t ] =1250e 0.08 5 1250e 0.08 0 =1250(e 0.4 -e 0 )=1250(1.49-1)=612.5 0 Ενώ το κόστος συντήρησης για όλο το 5 ο έτος θα είναι: 4 5 f(t)dt= 4 5 100e 0.08t dt=[ 100 0.08 e0.08t ] 4 5 =1250e 0.08 5 1250e 0.08 4 =1250(e 0.4 -e 0. 32 )=1250(1.49-1.38)=137.5 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (1) 8.1 (Β 9.1) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: a) dx b) 6x 6 dx c) 8x7 x8 dx d) 6x 3 7x 2 + 3x + 1 dx 1 e) 1 2x + 3 dx ΕΠΙΛΥΣΗ: Εφαρμογή κανόνων 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (2) 8.2 (Β 9.5) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού μιας πόλης είναι 1+3 t και ο σημερινός πληθυσμός είναι 10000, πόσος θα είναι ο πληθυσμός μετά από 10 έτη. ΕΠΙΛΥΣΗ: Απλό ολοκλήρωμα! ====================================================================================== 8.3 (Β 9.6) Η συνάρτηση Οριακού Κόστους είναι MC=-4Q -2-0.3+Q και το μέσο κόστος για την παραγωγή 1 μονάδας προϊόντος είναι 6.2, να βρείτε τη συνάρτηση συνολικού κόστους. ΕΠΙΛΥΣΗ: Δίνεται και αρχική συνθήκη! 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (3) 8.4 (Β 9.8) Αν η συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς είναι: P=10-Q-Q 2 P=Q+2 Να υπολογιστεί το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού στην τιμή ισορροπίας ΕΠΙΛΥΣΗ: Πλεόνασμα καταναλωτή= ζητησης-κόστος ισορροπίας Πλεόνασμα παραγωγού=έσοδα ισορροπίας- προσφορας 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (4) 8.5 Η αξία V ενός ακινήτου τρέχουσας αξίας 200000 αναμένεται να μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση dv/dt=15.4e 0.077t, να υπολογίσετε την αξία του σπιτιού μετά από 10 έτη. ΕΠΙΛΥΣΗ: Από την παράγωγο θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση V(t) 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (5) 8.6 Αν η συνάρτηση οριακών εσόδων είναι MR=44-5x, οριακού κόστους MC=3x+20 και το κόστος παραγωγής για 80 μονάδες είναι 11400 a) βρείτε τη συνάρτηση κέρδους b) Υπολογίστε το x για μέγιστο κέρδος ΕΠΙΛΥΣΗ: Τα οριακά μεγέθη είναι παράγωγος των συνολικών Κέρδη=έσοδα-κόστος 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ (6) 8.7 Έστω ότι έχουμε 2 επενδύσεις που η πρώτη θα έχει κέρδη που θα ακολουθούν ρυθμό Π 1 (t)=50+t 2 ενώ η δεύτερη Π 2 (t)=200+5t a) για πόσα έτη η 2 η επένδυση θα έχει μεγαλύτερα κέρδη από την 1 η? b) Υπολογίστε το σύνολο της διαφοράς κερδών της 2 ης από την 1 η για την χρονική περίοδο που υπολογίσατε στο a ΕΠΙΛΥΣΗ: Για t=0,1,2,3 είναι Π 2 (t)>π 1 (t) για κάποιο t όμως γίνονται ίσα! Επειδή μας δίνονται ρυθμοί (παράγωγοι) τα ολοκληρώματα είναι το σύνολο για μια περίοδο. 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr