Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Δ Μέρος Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 2

1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Διαγράμματος Bode... 4 3.1 Το Διάγραμμα Bode Χάραξη και τρόπος χρήσης... 4 3.1.1 Παράδειγμα χάραξης του Διαγράμματος Bode... 5 3.1.2 Παράδειγμα χρήσης του Διαγράμματος Bode... 7 3.2 Ευστάθεια Κλειστού Συστήματος Περιθώρια Κέρδους και Φάσης... 10 3.2.1 Γραφική ερμηνεία του ορισμού του Περιθωρίου Κέρδους:... 12 3.2.2 Γραφική ερμηνεία του ορισμού του Περιθωρίου Φάσης:... 14 3.3 Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Διαγράμματος Bode... 16 3.4 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Ευστάθειας Διαγράμματος Bode 18 3.4.1 Παράδειγμα 1 ο... 18 3.4.1.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων:... 19 3.4.2 Παράδειγμα 2 ο... 20 3.4.2.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων:... 21 3.4.3 Παράδειγμα 3 ο... 22 3.4.3.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων:... 23 3.4.4 Παράδειγμα 4 ο... 24 3.4.4.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων:... 24 3.4.4.2 Υπολογισμός των περιθωρίων, αντί για μέτρησή τους από το Διάγραμμα Bode... 25 3.4.5 Παράδειγμα 5 ο... 27 3.4.5.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων:... 28 3.4.5.2 Υπολογισμός των περιθωρίων, αντί για μέτρησή τους από το Διάγραμμα Bode... 29 3

1. Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να μελετήσουμε μια σημαντική προϋπόθεση για την ομαλή λειτουργία των συστημάτων: την ευστάθεια τους. 2. Περιεχόμενα ενότητας Στην (υποενότητα αυτή θα μελετήσουμε: Γραφικά κριτήρια ευστάθειας και ιδιαίτερα το κριτήριο διαγράμματος Bode. Ευστάθεια κλειστού συστήματος και περιθώρια κέρδους και φάσης. Κριτήρια ευστάθειας μέσω του διαγράμματος Bode. Παραδείγματα εφαρμογής του κριτηρίου ευστάθειας Διαγράμματος Bode. 3. Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Διαγράμματος Bode 3.1 Το Διάγραμμα Bode Χάραξη και τρόπος χρήσης Το Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Διαγράμματος Bode είναι ένα από τα γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας. Συγκεκριμένα, (i χαράσσεται πρώτα το ζεύγος καμπυλών (καμπύλη μέτρου, καμπύλη φάσης που ονομάζονται «Διάγραμμα Bode» (Bode Plot, για τη ΣΜΑΒ του συστήματος, και (ii εφαρμόζεται στη συνέχεια το αντίστοιχο Κριτήριο Ευστάθειας επί των καμπυλών, ώστε να μετρηθεί η ευστάθεια του κλειστού συστήματος. Ας δούμε κατ αρχήν τι είναι το ίδιο το Διάγραμμα Bode ενός συστήματος. Το Διάγραμμα αυτό προτάθηκε τη δεκαετία του 1930 από τον ολλανδικής καταγωγής αμερικανό ηλεκτρονικό μηχανικό Hendrik Bode (1905 1982, o οποίος εργαζόταν τότε στα Bell Labs των Η.Π.Α. με αντικείμενο τη σχεδίαση ηλεκτρονικών ενισχυτών με ανάδραση (feedback amplifiers για το τηλεφωνικό δίκτυο. Το Διάγραμμα Bode είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο ανάλυσης της συμπεριφοράς ενός συστήματος στο πεδίο της συχνότητας και δίνει πολλές πληροφορίες για το σύστημα πέρα από το χαρακτηρισμό του ως προς την ευστάθεια. Σήμερα πλέον η χάραξη του Διαγράμματος Bode δεν γίνεται με το χέρι αλλά με χρήση 4

προγραμματιστικών εργαλείων, όπως πχ. το περιβάλλον Matlab (The MathWorks. Εδώ δεν θα αναφερθεί η μαθηματική απόδειξη της ορθότητας του Διαγράμματος Bode και του αντίστοιχου Κριτηρίου Ευστάθειας αλλά (i θα αναπτυχθεί μέσα από παραδείγματα η τεχνική χάραξής του και (ii θα δοθεί έμφαση στην ερμηνεία των καμπυλών για την εξαγωγή αποτελεσμάτων σχετικά με την ευστάθεια. 3.1.1 Παράδειγμα χάραξης του Διαγράμματος Bode Η χάραξη του Διαγράμματος Bode περιλαμβάνει δύο καμπύλες, την καμπύλη μέτρου (magnitude plot και την καμπύλη φάσης (phase plot, και οι δύο με οριζόντιο άξονα τη συχνότητα. Οι καμπύλες τοποθετούνται πάντα η πρώτη πάνω από τη δεύτερη, με ευθυγραμμισμένους τους οριζόντιους και τους κατακόρυφους άξονές τους, και ερμηνεύονται πάντα μαζί. Για ένα γραμμικό ανοιχτό σύστημα, με συνάρτηση μεταφοράς έστω G(s, θεωρούμε το σύστημα στη Μόνιμή του Κατάσταση (Steady State οπότε η μεταβλητή s του Laplace αντικαθίσταται από το φανταστικό της μέρος, s -> j ω, και η συνάρτηση μεταφοράς, G(j ω, ως μιγαδική ποσότητα, δεν μπορεί να παρασταθεί με ένα γράφημα στις δύο διαστάσεις, δηλαδή στο χαρτί ή στην οθόνη. Για το λόγο αυτό, υπολογίζεται και σχεδιάζεται χωριστά (i το μέτρο της, έστω G( j, ως συνάρτηση της συχνότητας ω, και (ii η φάση της, έστω G( j, ως συνάρτηση της συχνότητας ω. Στην καμπύλη μέτρου, ο κατακόρυφος άξονας λογαριθμίζεται και για την ακρίβεια αναπαριστά όχι την ποσότητα G( j αλλά την ποσότητα 20 log G( j ( db. Έτσι επιτυγχάνεται η αναπαράσταση στο ίδιο γράφημα 10 τόσο των πολύ μικρών όσο και των πολύ μεγάλων τιμών του μέτρου, χωρίς να χαθούν οι λεπτομέρειες. Στην καμπύλη φάσης ο κατακόρυφος άξονας δεν λογαριθμίζεται διότι οι τιμές της φάσης είναι πάντα φραγμένες, δηλαδή περιορισμένες σε ένα πλήρη κύκλο, είτε από 0 ο έως 360 ο, είτε από 180 ο έως + 180 ο. Τέλος, και στις δύο καμπύλες, ο οριζόντιος άξονας της συχνότητας ω συνήθως λογαριθμίζεται ( log10, (α διότι έτσι μπορεί να παρασταθεί μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων μέσα σε μικρό φυσικό μήκος, αλλά και (β διότι αποδεικνύεται ότι οι καμπύλες συστημάτων 1 ου βαθμού σε λογαριθμισμένους άξονες προσεγγίζονται ικανοποιητικά από ευθείες με σταθερή κλίση. Σημειώνεται ότι αρκετά συστήματα που είναι στην πραγματικότητα ανώτερου βαθμού, μπορούν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά ως 1 ου βαθμού, με τυπικό παράδειγμα όλους τους ηλεκτρονικούς ενισχυτές ευρείας ζώνης (broadband amplifiers. Έστω ότι ζητείται να χαραχθεί το διάγραμμα Bode του ανοιχτού συστήματος με την εξής συνάρτηση μεταφοράς G(s η οποία στη Μόνιμη Κατάσταση γίνεται: G s 1 1 s( s 2( s 3 j(2 j(3 j ( s j ( G( j 5

Στο περιβάλλον Matlab, η χάραξη του Διαγράμματος Bode επιτυγχάνεται με δύο εντολές, εκ των οποίων (i η πρώτη εντολή, tf, κατασκευάζει τη συνάρτηση μεταφοράς G(s του δεδομένου συστήματος, ενώ (ii η δεύτερη εντολή, bode, χαράζει το Διάγραμμα Bode του συστήματος που έχει τη συγκεκριμένη συνάρτηση μεταφοράς: % % Bode plot for system G(s = 1 / [s (s+2 (s+3] % >> G = tf([1], [1 5 6 0]; >> bode(g Πληκτρολογώντας >> help tf ή >> help bode στο Παράθυρο Εντολών (Command Window του περιβάλλοντος Matlab, μπορείτε να βρείτε περισσότερες λεπτομέρειες για τη σύνταξη των εντολών αυτών και τις επιλογές ή ρυθμίσεις που διαθέτουν. Ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης της εντολής bode χαράζεται το Διάγραμμα Bode και εμφανίζεται στο Παράθυρο Εικόνας (Figure Window του περιβάλλοντος Matlab: Με επισκόπηση του Διαγράμματος Bode, παρατηρούμε τα εξής: Και στις δύο καμπύλες, ο οριζόντιος άξονας παρουσιάζει (λογαριθμισμένες τις συχνότητες από ω_min = 0.01 rad/sec έως και ω_max = 100 rad/sec. Διαφορετικές περιοχές συχνοτήτων είναι δυνατόν να εμφανιστούν αν δοθούν οι κατάλληλες παράμετροι στην εντολή bode. Προφανώς το dc (ω = 0 rad/sec 6

βρίσκεται έξω και αριστερότερα από το παρόν διάγραμμα, σε άπειρη απόσταση. Στην καμπύλη μέτρου, ο κατακόρυφος άξονας είναι λογαριθμισμένος και δείχνει τιμές από 150 db έως και + 50 db. Διαφορετικές περιοχές τιμών μπορούν να εμφανιστούν αν δοθούν οι κατάλληλες παράμετροι στην εντολή bode. Η καμπύλη μέτρου του συστήματος (μπλε γραμμή είναι πάνω από τα 0 db για συχνότητες μικρότερες από 0.2 rad/sec. Στη συχνότητα περίπου των 0.2 rad/sec το μέτρο γίνεται 0 db, δηλαδή μονάδα σε μη λογαριθμική κλίμακα, και για συχνότητες μεγαλύτερες από 0.2 rad/sec, το μέτρο γίνεται < 0 db, δηλαδή < 1 σε μη λογαριθμική κλίμακα. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα αυτό συμπεριφέρεται ως ενισχυτής (ενεργό κύκλωμα με ενίσχυση >=1 για συχνότητες από dc έως και περίπου 0.2 rad/sec, ενώ για μεγαλύτερες συχνότητες αποσβένει. Η συχνότητα μοναδιαίου κέρδους, ω 1 = 0.2 rad/sec, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μία χονδρική εκτίμηση του εύρους ζώνης (bandwidth του ενισχυτή αυτού, αν και κατά κανόνα το πραγματικό εύρος ζώνης είναι μικρότερο. Στην καμπύλη φάσης, ο κατακόρυφος άξονας δεν είναι λογαριθμισμένος και έχει αυτόματα περιοριστεί στο διάστημα 90 ο έως 270 ο, διότι σ αυτό περιέχονται οι τιμές της καμπύλης φάσης του συγκεκριμένου συστήματος. Διαφορετικές περιοχές τιμών φάσης μπορούν να εμφανιστούν αν δοθούν οι κατάλληλες παράμετροι στην εντολή bode. Η καμπύλη φάσης (μπλε γραμμή είναι περίπου οριζόντια στις 90 ο μέχρι και τη συχνότητα περίπου 0.2 rad/sec, ενώ μετά βυθίζεται. Αυτό σημαίνει ότι στην περιοχή συχνοτήτων έως και 0.2 rad/sec που το σύστημα αυτό ενισχύει κατά πλάτος τα σήματα εισόδου (μέτρο > 0dB, δηλαδή μέτρο > 1, επιπλέον η φάση τους καθυστερεί κατά 90 ο, δηλαδή το σύστημα προκαλεί καθυστέρηση φάσης κατά 90 ο σε κάθε σήμα εισόδου που θα διέλθει από το σύστημα και έχει συχνότητα έως και 0.2 rad/sec. 3.1.2 Παράδειγμα χρήσης του Διαγράμματος Bode Ο τυπικός τρόπος χρήσης του Διαγράμματος Bode είναι να προβλέπει την Αρμονική Απόκριση του συστήματος, όταν αυτό λειτουργεί στη Μόνιμή του Κατάσταση. Υπενθυμίζεται ότι αρμονική απόκριση είναι η κυματομορφή της εξόδου στο πεδίο του χρόνου, y(t, όταν η είσοδος x(t είναι αρμονική, δηλαδή ημιτονική, κυματομορφή. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι αν το σύστημα G(s είναι γραμμικό και έχει έρθει στη Μόνιμή του Κατάσταση, τότε μία ημιτονική κυματομορφή εισόδου όπως είναι η x( t A sin( t (Β4.1 0 0 0 διερχόμενη μέσα από το σύστημα αυτό, καταλήγει στην έξοδο να είναι και πάλι ημιτονική με την ίδια συχνότητα ω 0, (μοναδικό χαρακτηριστικό των γραμμικών συστημάτων αλλά με το πλάτος πολλαπλασιασμένο επί G( j 0 και τη φάση μετατιθέμενη κατά G( j0. 7

Άρα μπορούμε να γράψουμε κατευθείαν την κυματομορφή εξόδου στη Μόνιμη Κατάσταση ως y ( t G( j A sin( t G( j (Β4.2 ss 0 0 0 0 0 όπου τις δύο τιμές G( j 0 και G( j0 που χρειάζονται, μας τις παρέχει ακριβώς το Διάγραμμα Bode, για ω = ω 0. Για να διαβάσουμε από το Διάγραμμα Bode αυτές τις δύο τιμές, φέρουμε μια κατακόρυφη γραμμή πάνω στη συγκεκριμένη συχνότητα ω 0 του ημιτόνου εισόδου x(t. Η κατακόρυφη αυτή τέμνει καθεμία από τις δύο καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές σε συγκεκριμένο σημείο. Διαβάζουμε τις τιμές των σημείων τομής, είτε στους αντίστοιχους κατακόρυφους άξονες, είτε στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο που εμφανίζεται μέσα στο Παράθυρο Εικόνας, δίπλα σε κάθε σημείο τομής, στο περιβάλλον Matlab: Στο παράδειγμα του σχήματος, για το ίδιο πάντα σύστημα G(s, έχουμε επιλέξει τη συχνότητα ω 0 = 1 rad/sec. Διαβάζουμε ότι η αντίστοιχη κατακόρυφη ευθεία τέμνει (i την καμπύλη μέτρου στην τιμή περίπου 17 db, και (ii την καμπύλη φάσης στην τιμή περίπου 135 ο. Άρα ημιτονική κυματομορφή εισόδου συχνότητας ω 0 = 1 rad/sec, θα εμφανιστεί στην έξοδο ως ημίτονο της ίδιας συχνότητας, αλλά με 8

το πλάτος του πολλαπλασιασμένο επί 17db -> 0.14 σε μη λογαριθμική κλίμακα, και τη φάση του μετατιθέμενη κατά 135 ο. Άρα αν η κυματομορφή εισόδου είναι, πχ. x( t A sin(1 t, 0 0 τότε, με βάση τις δύο τιμές που διαβάστηκαν από το Διάγραμμα Bode, η κυματομορφή εξόδου στη Μόνιμη Κατάσταση μπορεί να γραφτεί κατευθείαν ως o y ( t G( j 1 A sin(1 t G( j 1 0.14 A sin(1 t 135. ss 0 0 0 0 Στο παράδειγμα αυτό διαπιστώθηκε ότι το ημίτονο της συγκεκριμένης συχνότητας περνώντας μέσα από το δεδομένο σύστημα G(s είχε απόσβεση πλάτους (το πλάτος πολλαπλασιάστηκε επί 0.14 <1 ή σε λογαριθμική κλίμακα επί 17 db < 0 db, και καθυστέρηση φάσης (στην αρχική του φάση φ 0 προστέθηκε αρνητική φάση 135 ο. Αυτό το αποτέλεσμα οφείλεται στο γεγονός ότι και τα δύο σημεία τομής των καμπυλών με την κατακόρυφη ευθεία ήταν κάτω από τα 0 db ή τις 0 ο, αντίστοιχα. Γενικεύοντας, γίνεται εύκολα αντιληπτό το εξής συμπέρασμα: (i Ως προς την καμπύλη μέτρου: Όσες συχνότητες (κατακόρυφες ευθείες την τέμνουν σε θετικές τιμές, δηλαδή τιμές > 0 db, είναι συχνότητες που ενισχύονται περνώντας μέσα από αυτό το σύστημα, ενώ όσες την τέμνουν σε αρνητικές τιμές, δηλαδή τιμές < 0 db, είναι συχνότητες που αποσβένονται από αυτό το σύστημα. Άρα εντοπίζοντας την οριζόντια ευθεία των 0 db στο διάγραμμα Bode, και παρατηρώντας για ποιες συχνότητες η καμπύλη μέτρου βρίσκεται πιο ψηλά ή πιο χαμηλά από τα 0 db, είναι εύκολο να προσδιοριστεί η περιοχή συχνοτήτων που το σύστημα ενισχύει (ενεργό κύκλωμα, π.χ. ενισχυτής ή αποσβένει (παθητικό κύκλωμα, π.χ. φίλτρο. Η αλλαγή γίνεται πάνω στη συχνότητα μοναδιαίου κέρδους (gain crossover frequency η οποία στο ανωτέρω παράδειγμα είναι ω 1 = 0.2 rad/sec περίπου. Σημειώνεται ότι η σχετική θεωρία καλύπτει και την αντιμετώπιση συστημάτων με περισσότερες από μία τέτοιες συχνότητες, αν και εδώ δεν θα αναπτυχθεί αυτή η περίπτωση. (ii Ως προς την καμπύλη φάσης: Όσες συχνότητες (κατακόρυφες ευθείες την τέμνουν σε θετικές τιμές, δηλαδή τιμές > 0 ο, είναι συχνότητες που περνώντας μέσα από αυτό το σύστημα δέχονται προήγηση φάσης (phase lead δηλαδή η έξοδος έχει μεγαλύτερη φάση από την είσοδο διότι το σύστημα πρόσθεσε θετική φάση, ενώ όσες την τέμνουν σε αρνητικές τιμές, δηλαδή τιμές < 0 ο, είναι συχνότητες που περνώντας μέσα από αυτό το σύστημα δέχονται καθυστέρηση φάσης (phase lag δηλαδή η έξοδος έχει μικρότερη φάση από την είσοδο διότι το σύστημα πρόσθεσε αρνητική φάση. Άρα εντοπίζοντας την οριζόντια ευθεία των 0 ο στο διάγραμμα Bode, και παρατηρώντας για ποιες συχνότητες η καμπύλη φάσης βρίσκεται πιο ψηλά ή πιο χαμηλά από τις 0 ο, είναι εύκολο να προσδιοριστεί η περιοχή συχνοτήτων που το σύστημα προσθέτει ή αφαιρεί φάση, αντίστοιχα. 9

3.2 Ευστάθεια Κλειστού Συστήματος Περιθώρια Κέρδους και Φάσης Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί το Διάγραμμα Bode ως κριτήριο ευστάθειας ενός ΣΑΕ, βασικό ρόλο παίζει η Συνάρτηση Μεταφοράς Ανοιχτού Βρόχου (ΣΜΑΒ του συστήματος, η οποία υπολογίζεται όπως αναλυτικά περιγράφηκε στην παράγραφο για το Γεωμετρικό Τόπο Ριζών. Ενώ το ερώτημα περί ευστάθειας αφορά το κλειστό σύστημα, ως ενδιάμεσο βήμα χαράσσεται το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ του συστήματος. Η απάντηση περί της ευστάθειας στην οποία καταλήγουμε μέσω του Διαγράμματος Bode της ΣΜΑΒ αφορά το κλειστό σύστημα. Υπενθυμίζεται ότι κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με το άλλο γραφικό Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών, που μελετήθηκε ήδη: χρησιμοποιείται για τη χάραξη του ΓΤΡ η ΣΜΑΒ, αλλά οι πληροφορίες που δίνει τελικά ο ΓΤΡ αφορούν το κλειστό σύστημα. Προκειμένου να διατυπωθεί και να εφαρμοστεί το σχετικό Κριτήριο Ευστάθειας, πρέπει να οριστούν δύο νέα μεγέθη και συγκεκριμένα το Περιθώριο Κέρδους και το Περιθώριο Φάσης του συστήματος: Το Περιθώριο Κέρδους (Gain Margin, έστω k π, είναι η επιπλέον ενίσχυση που μπορεί να εισαχθεί πολλαπλασιαστικά στη ΣΜΑΒ ώστε το κλειστό σύστημα να φτάσει σε Οριακή Ευστάθεια: k 1, όπου ω π είναι η συχνότητα στην οποία ισχύει GH ( j 180 o GH ( j (Β4.3 Η συχνότητα ω π ονομάζεται phase crossover frequency, διότι ακριβώς σ αυτή τη συχνότητα η καμπύλη φάσης διασχίζει το οριζόντιο φράγμα των 180 ο, περνώντας είτε από αρνητική φάση (> - 180 ο σε θετική ( < - 180 ο δηλαδή < + 180 ο ή το αντίθετο. Σημειώνεται ότι οι φάσεις θεωρούνται πάντα στο πρωτεύον όρισμα, δηλαδή ένα πλήρη κύκλο, ο οποίος για λόγους μαθηματικής συμμετρίας λαμβάνεται όχι [0 ο, 360 ο αλλά [ - 180 ο, +180 ο. Άρα τιμή αρνητικότερη των 180 ο, πχ. 200 ο, ισοδυναμεί με + 180 ο 20 ο = + 160 ο, δηλαδή θετική τιμή. Σε λογαριθμική κλίμακα, ο ορισμός του έστω k π γράφεται ως εξής: 1 k ( db 20log 20 log GH ( j, στην ίδια συχνότητα ω π.. 10 10 GH ( j Το Περιθώριο Φάσης (Phase Margin, έστω φ π, είναι η επιπλέον φάση που μπορεί να προστεθεί στη ΣΜΑΒ ώστε το κλειστό σύστημα να φτάσει σε Οριακή Ευστάθεια: o 180 GH ( j, όπου ω 1 είναι η συχνότητα στην οποία GH ( j1 1. (Β4.4 1 Η τελευταία σχέση σε λογαριθμική κλίμακα γράφεται ως 20log 10 GH ( j1 0dB. 10

Η συχνότητα ω 1 ονομάζεται συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ή gain crossover frequency, διότι ακριβώς σ αυτή τη συχνότητα η καμπύλη μέτρου διασχίζει το οριζόντιο φράγμα των 0 db, (μοναδιαίο κέρδος περνώντας είτε από ενίσχυση σε απόσβεση είτε το αντίθετο. Οι ορισμοί αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε για να μετρηθούν τα αντίστοιχα περιθώρια πάνω στο Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ του δεδομένου συστήματος, είτε για να υπολογιστούν αλγεβρικά τα αντίστοιχα περιθώρια, χωρίς χρήση του Διαγράμματος Bode. Η γραφική ερμηνεία των ορισμών αυτών πάνω στο Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ του συστήματος δείχνει και το πραγματικό νόημα των δύο περιθωρίων. Ας χρησιμοποιήσουμε ως παράδειγμα το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ ενός συστήματος 10 με το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με ευθύ κλάδο έστω Gs ( και s( s 1( s 10 με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. X(s G(s Y(s - H(s Σημειώνεται ότι ένα τέτοια απλό διάγραμμα βαθμίδων ενδέχεται να έχει προκύψει μετά από απλοποίηση κάποιου αρχικά σύνθετου διαγράμματος σε ένα ισοδύναμο απλό βρόχο. Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 10 ( s j 10 GH ( s G( s H ( s GH ( j s( s 1( s 10 j(1 j(10 j (Β.5.5 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 11

3.2.1 Γραφική ερμηνεία του ορισμού του Περιθωρίου Κέρδους: (i Εντοπίζουμε πρώτα τη συχνότητα ω π, όπως ορίζεται στο δεξί σκέλος της σχέσης (Β4.3. Πρόκειται για τη συχνότητα όπου η καμπύλη φάσης της ΣΜΑΒ τέμνει την οριζόντια ευθεία των 180 ο (phase crossover frequency. Ο εντοπισμός της ω π σε περιβάλλον Matlab γίνεται σύροντας το ποντίκι του Η/Υ πάνω στην καμπύλη φάσης και διαβάζοντας τις τιμές στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο, μέχρι η φάση να γίνει 180 ο. Τότε ακινητοποιείται το ποντίκι του Η/Υ και διαβάζεται από το ίδιο ορθογώνιο πλαίσιο η τιμή της συχνότητας. Το σημείο τομής της καμπύλης φάσης με την ευθεία των 180 ο φαίνεται στο ορθογώνιο πλαίσιο πάνω στην καμπύλη φάσης, στο επόμενο σχήμα. Η τιμή της συχνότητας ω π που διαβάζεται στο πλαίσιο είναι ω π = 3.14 rad/sec. (ii Μεταβαίνουμε στην καμπύλη μέτρου και εντοπίζουμε το σημείο που η καμπύλη μέτρου έχει ακριβώς την ίδια συχνότητα ω π (φέρνουμε μια νοητή κατακόρυφη ευθεία προς τα πάνω και βρίσκουμε το σημείο τομής της με την καμπύλη μέτρου. Σε περιβάλλον Matlab ο εντοπισμός και πάλι γίνεται σύροντας το ποντίκι του Η/Υ πάνω στην καμπύλη μέτρου και διαβάζοντας τις τιμές στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο, μέχρι η συχνότητα να γίνει ίση με ω π = 3.14 rad/sec. Τότε ακινητοποιείται το ποντίκι του Η/Υ και διαβάζεται από το ίδιο ορθογώνιο πλαίσιο η τιμή του μέτρου (magnitude σε db. Το σημείο τομής της καμπύλης μέτρου με την κατακόρυφη ευθεία στο 3.14 rad/sec φαίνεται στο ορθογώνιο πλαίσιο πάνω στην καμπύλη μέτρου, στο επόμενο σχήμα. Η τιμή του μέτρου (magnitude που διαβάζεται στο πλαίσιο είναι 20log GH ( j 20.7( db. Ουσιαστικά δείχνει πόσο χαμηλότερα από την 10 στάθμη των 0 db περνά η καμπύλη μέτρου, στη συγκεκριμένη συχνότητα ω π όπου η φάση της ΣΜΑΒ είναι 180 ο. 12

Σύμφωνα με τον ορισμό του Περιθωρίου Κέρδους σε γραμμική και σε λογαριθμική μορφή, (B4.3, (i σε λογαριθμική κλίμακα, η τιμή του k π (db είναι το αντίθετο της τιμής του μέτρου που διαβάστηκε στο σημείο τομής, δηλαδή k ( db 20log GH ( j ( 20.7 db 20.7dB (B4.6 10 (ii σε μη λογαριθμική κλίμακα, η τιμή του περιθωρίου κέρδους, μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: 20.7 20.7 20 20log 10( k 20.7dB log 10( k k 10 10.8 (B4.7 20 Το θετικό πρόσημο του περιθωρίου κέρδους σε db (εδώ +20.7 db σημαίνει ότι στη συχνότητα ω π η καμπύλη μέτρου περνά χαμηλότερα από τη στάθμη των 0 db, ενώ η απόλυτη τιμή του δείχνει ακριβώς πόσο μπορεί να ανυψωθεί η καμπύλη μέτρου (πόση επιπλέον ενίσχυση μπορεί να δεχθεί πολλαπλασιαστικά η ΣΜΑΒ του συστήματος ώστε να διέρχεται ακριβώς από το 0 db στη συχνότητα ω π. Σημειώνεται για να εξηγηθεί παρακάτω, ότι αν συμβεί αυτό, δηλαδή αν η καμπύλη μέτρου ανυψωθεί ακριβώς όσο λέει το περιθώριο κέρδους k π (db, τότε οι συχνότητες ω π και ω 1 θα ταυτιστούν, δηλαδή ω π = ω 1, οπότε στην κοινή πλέον αυτή συχνότητα, έστω ω c, η ΣΜΑΒ του συστήματος θα έχει και μέτρο = 1 και φάση = - 180 ο. Άρα στην κοινή αυτή συχνότητα, η ΣΜΑΒ θα ισούται με τον μιγαδικό αριθμό 1 + j 0. Τέλος από τη σκοπιά του διαγράμματος βαθμίδων, αν στη ΣΜΑΒ του συστήματος εισαχθεί βαθμίδα ενίσχυσης με απολαβή ίση με το περιθώριο κέρδους k π που 13

μετρήθηκε στο Διάγραμμα Bode, τότε το κλειστό σύστημα θα έρθει ακριβώς σε οριακή ευστάθεια: X(s k π G(s Y(s - H(s = 1 3.2.2 Γραφική ερμηνεία του ορισμού του Περιθωρίου Φάσης: (i Εντοπίζουμε πρώτα τη συχνότητα ω 1, όπως ορίζεται στο δεξί σκέλος της σχέσης (Β4.4. Πρόκειται για τη συχνότητα όπου η καμπύλη μέτρου της ΣΜΑΒ τέμνει την οριζόντια ευθεία των 0 db (gain crossover frequency. Ο εντοπισμός της ω 1 σε περιβάλλον Matlab γίνεται σύροντας το ποντίκι του Η/Υ πάνω στην καμπύλη μέτρου και διαβάζοντας τις τιμές στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο, μέχρι το μέτρο να γίνει 0 db. Τότε ακινητοποιείται το ποντίκι του Η/Υ και διαβάζεται από το ίδιο ορθογώνιο πλαίσιο η τιμή της συχνότητας. Το σημείο τομής της καμπύλης μέτρου με την ευθεία των 0 db φαίνεται στο ορθογώνιο πλαίσιο πάνω στην καμπύλη μέτρου, στο επόμενο σχήμα. Η τιμή της συχνότητας ω 1 που διαβάζεται στο πλαίσιο είναι ω 1 = 0.777 rad/sec. (ii Μεταβαίνουμε στην καμπύλη φάσης και εντοπίζουμε το σημείο που η καμπύλη φάσης έχει ακριβώς την ίδια συχνότητα ω 1 (φέρνουμε μια νοητή κατακόρυφη ευθεία προς τα κάτω και βρίσκουμε το σημείο τομής της με την καμπύλη φάσης. Σε περιβάλλον Matlab ο εντοπισμός και πάλι γίνεται σύροντας το ποντίκι του Η/Υ πάνω στην καμπύλη φάσης και διαβάζοντας τις τιμές στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο, μέχρι η συχνότητα να γίνει ίση με ω 1 = 0.777 rad/sec. Τότε ακινητοποιείται το ποντίκι του Η/Υ και διαβάζεται από το ίδιο ορθογώνιο πλαίσιο η τιμή της φάσης (phase σε μοίρες. Το σημείο τομής της καμπύλης φάσης με την κατακόρυφη ευθεία στο 0.777 rad/sec φαίνεται στο ορθογώνιο πλαίσιο πάνω στην καμπύλη φάσης, στο επόμενο σχήμα. Η τιμή της φάσης (phase που διαβάζεται στο πλαίσιο είναι GH ( j1 132 o. Ουσιαστικά δείχνει πόσο ψηλότερα από την στάθμη των 180 ο περνά η καμπύλη φάσης, στη συγκεκριμένη συχνότητα ω 1 όπου το μέτρο της ΣΜΑΒ είναι μονάδα (0 db. 14

Σύμφωνα με το αριστερό σκέλος του ορισμού του Περιθωρίου Φάσης (B4.4, το φ π είναι 180 ο συν την τιμή της φάσης που διαβάστηκε στο σημείο τομής, δηλαδή 180 GH ( j 180 ( 132 48 (B4.8 o o o o 1 Το θετικό πρόσημο του περιθωρίου φάσης (εδώ +48 ο σημαίνει ότι στη συχνότητα ω 1 η καμπύλη φάσης περνά ψηλότερα από τη στάθμη των 180 ο, ενώ η απόλυτη τιμή του δείχνει ακριβώς πόσο μπορεί να βυθιστεί η καμπύλη φάσης (πόση επιπλέον φάση μπορεί να δεχθεί το σύστημα ώστε να διέρχεται ακριβώς από τις 180 ο στη συχνότητα ω 1. Σημειώνεται για να εξηγηθεί παρακάτω, ότι αν συμβεί αυτό, δηλαδή αν η καμπύλη φάσης βυθιστεί ακριβώς όσες μοίρες λέει το περιθώριο φάσης φ π, τότε οι συχνότητες ω π και ω 1 θα ταυτιστούν, δηλαδή ω π = ω 1, οπότε στην κοινή πλέον αυτή συχνότητα, έστω ω c, η ΣΜΑΒ του συστήματος θα έχει και μέτρο 1 και φάση - 180 ο. Άρα στην κοινή αυτή συχνότητα, η ΣΜΑΒ θα ισούται με τον μιγαδικό αριθμό 1 + j 0. Ευθυγράμμιση των συχνοτήτων ω 1 και ω π Κατά τη γραφική ερμηνεία των δύο περιθωρίων, διαπιστώθηκε ότι οι συχνότητες ω 1 και ω π μπορούν να ευθυγραμμιστούν, δηλαδή να εξισωθούν, με δύο τρόπους: (i Είτε η καμπύλη μέτρου ανυψώνεται όσο η τιμή του περιθωρίου κέρδους, πάνω στη συχνότητα ω π (ii Είτε η καμπύλη φάσης βυθίζεται όσο η τιμή του περιθωρίου φάσης, πάνω στη συχνότητα ω 1 Σε οποιαδήποτε από αυτές τις περιπτώσεις, πάνω στην κοινή πλέον συχνότητα έστω ω c, η ΣΜΑΒ γίνεται ίση με το μιγαδικό αριθμό 1 + j 0, με το εξής αποτέλεσμα όσον αφορά στη λειτουργία του κλειστού συστήματος: 15

o GH ( j 1& GH ( j 180 GH ( j 1 j0. (B4.9 c c c Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου F(s στη συχνότητα αυτή απειρίζεται διότι μηδενίζεται ο παρονομαστής της, άρα πρόκειται για συχνότητα συντονισμού ή συχνότητα ιδιοταλάντωσης του κλειστού συστήματος: G( s G( j F( s ( 1 GH ( s 1 GH ( j ( s j ( 1 c F j G( jc G( jc G( jc F( jc 1 GH ( j 1 ( 1 0 c (Β4.10 Γράφοντας τη σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος στο πεδίο της συχνότητας, προκύπτει ότι στη συγκεκριμένη συχνότητα ισχύει: Y( s ( ( ( ( ( ( s j G j c F s Y s F s X s Y ( j ( ( c c F jc X jc X ( jc X( s 0 Για μηδενική είσοδο, το δεξί σκέλος γίνεται απροσδιόριστη μορφή 0/0, οπότε η έξοδος μπορεί να είναι μη μηδενική και πεπερασμένη: G( jc 0 X ( jc 0 Y( jc 0 G( jc (B4.11 0 0 Η σχέση αυτή πρακτικά σημαίνει ότι στη συγκεκριμένη συχνότητα το σύστημα μπορεί να παράγει πεπερασμένη και μη μηδενική έξοδο, για μηδενική είσοδο. Άρα είναι αρμονικός ταλαντωτής και παράγει στην έξοδο ημίτονο της συγκεκριμένης συχνότητας. Η συνθήκη (Β4.9 ονομάζεται και Συνθήκη Ταλάντωσης ή Συνθήκη Barkhausen. Ως γνωστόν, από πλευράς ευστάθειας, οι αρμονικοί ταλαντωτές είναι συστήματα Οριακά Ευσταθή (στην πράξη βέβαια σχεδιάζονται ώστε να είναι λίγο ασταθή και προστίθεται περιοριστής πλάτους ψαλιδιστής. Έτσι επιβεβαιώνεται αυτό που αναφέρθηκε αρχικά για τα δύο περιθώρια, ότι είναι τα ποσά που αν «εισαχθούν» στη ΣΜΑΒ, το κλειστό σύστημα θα γίνει ακριβώς Οριακά Ευσταθές. 3.3 Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Διαγράμματος Bode Το Κριτήριο Ευστάθειας για το κλειστό σύστημα με βάση το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ και τα περιθώρια κέρδους και φάσης, διατυπώνεται ως εξής: (I Αν το Περιθώριο Κέρδους, όπως προκύπτει από το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ, είναι 16

k 1 1, τότε το κλειστό σύστημα είναι 1 έ άέ έ (Β4.12 ή, σε λογαριθμική κλίμακα, 0dB k ( db 0dB, τότε το κλειστό σύστημα είναι 0dB έ άέ έ (Β4.13 (II Αν το Περιθώριο Φάσης, όπως προκύπτει από το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ, είναι 0 0 0 o o o έ, τότε το κλειστό σύστημα είναι άέ έ (Β4.14 Ας σημειωθεί ότι είτε το Κριτήριο εφαρμοστεί με βάση το περιθώριο κέρδους είτε με βάση το περιθώριο φάσης, ο χαρακτηρισμός που θα προκύψει για δεδομένο σύστημα είναι ο ίδιος, δηλαδή οι δύο μορφές του κριτηρίου συμφωνούν πάντα μεταξύ τους. Εντούτοις, στην πράξη η εξασφάλιση «αρκετής» ευστάθειας για το κλειστό σύστημα απαιτεί αρκετά μεγαλύτερες τιμές περιθωρίων από ότι τα ανωτέρω αυστηρά μαθηματικά όρια. Παραδείγματος χάριν, συστήματα με περιθώρια φάσης 5 ο ή 0.5 ο ή με περιθώρια κέρδους 1 db ή 0.1 db, θα χαρακτηριστούν μεν ως ευσταθή με βάση τη μαθηματική διατύπωση του κριτηρίου, αλλά δεν είναι «αρκετά» ευσταθή. Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι μικρή μεταβολή των συνθηκών λειτουργίας τους μπορεί να εξαντλήσει τα μικρά αυτά περιθώρια και τα συστήματα να περάσουν σε αστάθεια. Για το λόγο αυτό εμπειρικά έχουν καθοριστεί αρκετά υψηλότερα όρια ώστε ένα σύστημα να χαρακτηριστεί ως «αρκετά» ευσταθές στην πράξη. Τα περιθώρια αυτά είναι περίπου o o k ( db 10dB 15dB, 30 35. (Β4.15 Η ακριβής επιθυμητή τιμή περιθωρίων για «αρκετή» ευστάθεια δίνεται συνήθως ως προδιαγραφή κατά το σχεδιασμό της βαθμίδας του ελεγκτή που συμμετέχει στο βρόχο του συστήματος. Σημαντικό είναι ότι, ενώ όσον αφορά στην ευστάθεια δεδομένου συστήματος τα δύο περιθώρια καταλήγουν πάντα στον ίδιο χαρακτηρισμό, εντούτοις οι αποστάσεις των τιμών τους από τα όρια της ευστάθειας μπορεί να διαφέρουν αρκετά, δηλαδή το ένα περιθώριο να είναι πολύ μακριά από την οριακή τιμή και το άλλο πολύ κοντά στην αντίστοιχη δική του οριακή τιμή, πχ. [ k ( db 0.5dB, 25 o ]. Άρα η εξασφάλιση «αρκετής» ευστάθειας σημαίνει 17

επιβολή συγκεκριμένων προδιαγραφών ΚΑΙ στα δύο περιθώρια, πχ. μπορεί η προδιαγραφή να ζητά k ( db 10dB ΚΑΙ 35 o. Το ανωτέρω Κριτήριο Ευστάθειας αναδεικνύει και τη σημασία των δύο περιθωρίων: ουσιαστικά μετρούν την «απόσταση» του «σημείου λειτουργίας» ενός κλειστού συστήματος από το όριο μεταξύ ευστάθειας και αστάθειας, δηλαδή από την οριακή ευστάθεια. Με την έννοια αυτή, τα περιθώρια ποσοτικοποιούν την έννοια ευστάθεια ενός κλειστού συστήματος και τη μετατρέπουν σε μετρήσιμο μέγεθος. Έτσι μεταξύ δύο συστημάτων, εκείνο με τη μεγαλύτερη τιμή περιθωρίου κέρδους ή περιθωρίου φάσης μπορεί πλέον να χαρακτηριστεί «πιο ευσταθές» από ένα άλλο. Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι αυτή η ποσοτικοποίηση προκειμένου να σχεδιαστεί βαθμίδα ελεγκτή ή αντισταθμιστή η οποία θα αυξήσει κατάλληλα τα περιθώρια από την ισχύουσα τιμή τους, όπως μετράται μέσω του Διαγράμματος Bode της ΣΜΑΒ, έως την επιθυμητή τιμή τους, όπως ορίζεται από τις σχετικές προδιαγραφές για «αρκετή» ευστάθεια. Παραδείγματος χάριν, αν μέσω του Διαγράμματος Bode της ΣΜΑΒ ύ o μετρήθηκε περιθώριο φάσης δεδομένου συστήματος 10 ενώ οι ό o προδιαγραφές απαιτούν 35, τότε τη διαφορά πρέπει να την συνεισφέρει η σχεδιαζόμενη βαθμίδα του ελεγκτή ή αντισταθμιστή: controller ό ύ 35 10 25 Τα ανάλογα ισχύουν και για το περιθώριο κέρδους. Προκύπτουν έτσι σχεδιαστικές προδιαγραφές για τους ελεγκτές. 3.4 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Ευστάθειας Διαγράμματος Bode 3.4.1 Παράδειγμα 1 ο Δίνεται κλειστό σύστημα το οποίο μετά από απλοποίηση έχει το εξής ισοδύναμο διάγραμμα βαθμίδων ενός απλού βρόχου αρνητικής ανάδρασης, με ευθύ κλάδο έστω 10 Gs ( και με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. s( s 1( s 5 X(s G(s Y(s - H(s=1 18

Σημειώνεται ότι ένα τέτοια απλό διάγραμμα βαθμίδων ενδέχεται να έχει προκύψει μετά από απλοποίηση κάποιου αρχικά σύνθετου διαγράμματος σε ένα ισοδύναμο απλό βρόχο. Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 10 ( s j 10 GH ( s G( s H ( s GH ( j s( s 1( s 5 j(1 j(5 j (Β4.16 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 3.4.1.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων: (i Τα δύο δεξιότερα σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω π όπου η φάση της ΣΜΑΒ γίνεται 180 ο, που είναι εδώ ω π = 2.25 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του ψηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε magnitude (db = 9.68 db. Άρα το περιθώριο κέρδους είναι k π (db = ( 9.68 db = + 9.68 db, ή σε μη λογαριθμική κλίμακα, k π = 3.048. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι k π = 3.048 > 1 ή k π (db = + 9.68 db > 0 db, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β θέτοντας στο βρόχο του κλειστού συστήματος και σε σειρά με το G(s ένα ελεγκτή με ενισχυτική βαθμίδα απολαβής k = k π = 3.048, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές 19

σύστημα «αντέχει» έως και τριπλασιασμό της ενίσχυσης του ευθέως κλάδου του πριν περάσει σε αστάθεια. (ii Τα δύο αριστερότερα σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω 1 όπου το μέτρο της ΣΜΑΒ γίνεται 1 (0 db, που είναι εδώ ω 1 = 1.22 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του χαμηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε phase (deg = 155 ο. Άρα το περιθώριο φάσης είναι φ π = 180 ο + ( 155 ο = + 25 ο. Αυτό σημαίνει ότι: (α είναι φ π = +25 ο > 0 ο, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β βυθίζοντας (μειώνοντας τη φάση του G(s κατά φ π = + 25 ο, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές σύστημα «αντέχει» έως και 25 ο καθυστέρηση φάσης του ευθέως κλάδου του πριν περάσει σε αστάθεια. (iii Τέλος, η σχετική θέση των δύο κρίσιμων συχνοτήτων, ω 1 και ω π όπως προέκυψε στο παράδειγμα αυτό, αποδεικνύεται ότι γενικεύεται για κάθε ευσταθές σύστημα: Gain crossover frequency ω 1 < Phase crossover frequency ω π (Β4.17 3.4.2 Παράδειγμα 2 ο Δίνεται κλειστό σύστημα το οποίο μετά από απλοποίηση έχει το εξής ισοδύναμο διάγραμμα βαθμίδων ενός απλού βρόχου αρνητικής ανάδρασης, με ευθύ κλάδο έστω 100 Gs ( και με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. s( s 1( s 5 X(s G(s Y(s - H(s=1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 100 ( s j 100 GH ( s G( s H ( s GH ( j s( s 1( s 5 j(1 j(5 j (Β4.18 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 20

3.4.2.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων: (i Τα δύο αριστερότερα σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω π όπου η φάση της ΣΜΑΒ γίνεται 180 ο, που είναι εδώ ω π = 2.25 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του ψηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε magnitude (db = + 10.3 db. Άρα το περιθώριο κέρδους είναι k π (db = ( + 10.3 db = 10.3 db, ή σε μη λογαριθμική κλίμακα, k π = 0.3048. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι k π = 0.3048 < 1 ή k π (db = - 10.3 db < 0 db, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ασταθές, και (β θέτοντας στο βρόχο του κλειστού συστήματος και σε σειρά με το G(s ένα ελεγκτή με ενισχυτική βαθμίδα απολαβής k = k π = 0.3048 < 1, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές έχει ήδη υπερβολικά υψηλή ενίσχυση στον ευθύ κλάδο του, με αποτέλεσμα να έχει ήδη περάσει σε αστάθεια, και χρειάζεται πολλαπλασιασμό επί 0.3048 (δηλαδή να περιοριστεί η υπάρχουσα ενίσχυση περίπου στο 30% της τιμής της για να επανέλθει στην ευστάθεια. (ii Τα δύο δεξιότερα σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω 1 όπου το μέτρο της ΣΜΑΒ γίνεται 1 (0 db, που είναι εδώ ω 1 = 3.9 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του χαμηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε phase (deg = 204 ο. Άρα το περιθώριο φάσης είναι φ π = 180 ο + ( 204 ο = 24 ο. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι φ π = 24 ο > 0 ο, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ασταθές, και 21

(β η φάση του G(s είναι ήδη βυθισμένη κατά 24 ο κάτω από τη στάθμη των 180 ο, οπότε ανυψώνοντας (αυξάνοντας τη φάση του G(s κατά 24 ο, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ασταθές σύστημα έχει ήδη πολύ μεγάλη καθυστέρηση φάσης, με αποτέλεσμα να έχει ήδη περάσει σε αστάθεια, και χρειάζεται αυτή να ελαττωθεί για να επανέλθει στην ευστάθεια. (iii Τέλος, η σχετική θέση των δύο κρίσιμων συχνοτήτων, ω 1 και ω π όπως προέκυψε στο παράδειγμα αυτό, αποδεικνύεται ότι γενικεύεται για κάθε ασταθές σύστημα: Gain crossover frequency ω 1 > Phase crossover frequency ω π (Β4.19 3.4.3 Παράδειγμα 3 ο Δίνεται κλειστό σύστημα το οποίο μετά από απλοποίηση έχει το εξής ισοδύναμο διάγραμμα βαθμίδων ενός απλού βρόχου αρνητικής ανάδρασης, με ευθύ κλάδο έστω 30 Gs ( και με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. s( s 1( s 5 X(s G(s Y(s - H(s=1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 30 ( s j 30 GH ( s G( s H ( s GH ( j s( s 1( s 5 j(1 j(5 j (Β4.20 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 22

3.4.3.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων: Τα δύο σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω 1 = ω π = 2.24 rad/sec, όπου η φάση της ΣΜΑΒ γίνεται 180 ο και το μέτρο της ΣΜΑΒ γίνεται 1 (0 db. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του ψηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε magnitude (db = 2 10 (-15 = 0 db. Άρα το περιθώριο κέρδους είναι k π (db =0 db, ή σε μη λογαριθμική κλίμακα, k π = 1. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του χαμηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε phase (deg = - 180 ο. Άρα το περιθώριο φάσης είναι φ π = 0 ο. Αυτό σημαίνει ότι είναι k π = 1 ή k π (db = 0 db, και φ π = 0 ο άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι οριακά ευσταθές, ή αρμονικός ταλαντωτής (στην έξοδο θα παράγει ημίτονο αμείωτου πλάτους και συχνότητας ω = 2.24 rad/sec. Τέλος, η σχετική θέση των δύο κρίσιμων συχνοτήτων, ω 1 και ω π όπως προέκυψε στο παράδειγμα αυτό, αποδεικνύεται ότι γενικεύεται για κάθε οριακά ευσταθές σύστημα: Gain crossover frequency ω 1 = Phase crossover frequency ω π (Β4.21 23

3.4.4 Παράδειγμα 4 ο Δίνεται κλειστό σύστημα το οποίο μετά από απλοποίηση έχει το εξής ισοδύναμο διάγραμμα βαθμίδων ενός απλού βρόχου αρνητικής ανάδρασης, με ευθύ κλάδο έστω 1 Gs ( και με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. 3 ( s 1 X(s G(s Y(s - H(s=1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 1 1 GH ( s G( s H ( s GH ( j ( s1 (1 j ( s j 3 3 (Β4.22 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 3.4.4.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων: (i Τα δύο σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω π όπου η φάση της ΣΜΑΒ γίνεται 24

180 ο, που είναι εδώ ω π = 1.74 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του ψηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε magnitude (db = 18.2 db. Άρα το περιθώριο κέρδους είναι k π (db = ( 18.2 db = + 18.2 db, ή σε μη λογαριθμική κλίμακα, k π = 8.128. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι k π = 8.128 > 1 ή k π (db = + 18.2 db > 0 db, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β θέτοντας στο βρόχο του κλειστού συστήματος και σε σειρά με το G(s ένα ελεγκτή με ενισχυτική βαθμίδα απολαβής k = k π = 8.128, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές σύστημα «αντέχει» έως και περίπου οκταπλασιασμό της ενίσχυσης του ευθέως κλάδου του πριν περάσει σε αστάθεια. (ii Επιχειρώντας στη συνέχεια να εντοπίσουμε τη συχνότητα ω 1 όπου το μέτρο της ΣΜΑΒ γίνεται 0 db, συναντάμε την εξής δυσκολία: στις πολύ χαμηλές συχνότητες, η καμπύλη μέτρου έχει ασύμπτωτη την οριζόντια ευθεία των 0 db, δηλαδή την πλησιάζει διαρκώς χωρίς να την τέμνει ποτέ. Άρα αυστηρά μαθηματικά, σημείο τομής δεν υπάρχει. Μπορούμε βέβαια να δούμε από αν κινηθούμε πάνω στην καμπύλη μέτρου του Διαγράμματος Bode προς το αριστερό της άκρο, η συχνότητα τείνει στο μηδέν, ενώ το μέτρο της ΣΜΑΒ τείνει στα 0 db, άρα η ζητούμενη συχνότητα ω 1 είναι μηδέν (το dc. Μεταβαίνουμε στη συνέχεια στην καμπύλη φάσης, για να εντοπίσουμε τη συχνότητα μηδέν και να μετρήσουμε εκεί τη φάση του συστήματος. Βλέπουμε ότι για πολύ χαμηλές συχνότητες, η καμπύλη φάσης έχει ασύμπτωτη την οριζόντια ευθεία των 0 ο, δηλαδή την πλησιάζει διαρκώς χωρίς να την τέμνει ποτέ. Άρα αυστηρά μαθηματικά, η φάση για συχνότητα μηδέν δεν ορίζεται. Μπορούμε βέβαια να δούμε από αν κινηθούμε πάνω στην καμπύλη φάσης του Διαγράμματος Bode προς το αριστερό της άκρο, η συχνότητα τείνει στο μηδέν, ενώ η φάση της ΣΜΑΒ τείνει στις 0 ο, άρα phase (deg = 0 ο. Άρα το περιθώριο φάσης είναι φ π = 180 ο + ( 0 ο = + 180 ο. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι φ π = +180 ο > 0 ο, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β βυθίζοντας (μειώνοντας τη φάση του G(s κατά φ π = + 180 ο, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές σύστημα «αντέχει» έως και 180 ο καθυστέρηση φάσης του ευθέως κλάδου του πριν περάσει σε αστάθεια. (iii Τέλος, η σχετική θέση των δύο κρίσιμων συχνοτήτων, ω 1 και ω π όπως προέκυψε στο παράδειγμα αυτό, κατατάσσει το κλειστό σύστημα στα ευσταθή συστήματα, διότι: Gain crossover frequency ω 1 = 0 < Phase crossover frequency ω π = 1.74 rad/sec (Β4.23 3.4.4.2 Υπολογισμός των περιθωρίων, αντί για μέτρησή τους από το Διάγραμμα Bode Συνεχίζοντας στο ίδιο παράδειγμα, εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε αλγεβρικά τα δύο περιθώρια, αντί να τα μετρήσουμε. Αυτό επιτυγχάνεται 25

επιλύοντας μία πολυωνυμική και μία τριγωνομετρική εξίσωση, αντίστοιχα, για το καθένα. Ήδη από την προηγούμενη παράγραφο ορισμού των περιθωρίων, αναφέρθηκε ότι εκτός από τη μέτρηση, τα περιθώρια μπορούν να προσδιοριστούν και με μαθηματικό υπολογισμό, από τον τύπο της ΣΜΑΒ. Η μέθοδος αυτή ενδείκνυται είτε όταν υπάρχει πρόβλημα στον εντοπισμό των crossover frequencies πάνω στο Διάγραμμα Bode, όπως συνέβη στο παρόν παράδειγμα, είτε όταν οι τιμές των περιθωρίων ζητούνται με ακρίβεια, ενώ ως γνωστόν η μέτρηση από το Διάγραμμα Bode τις παρέχει μόνο κατά προσέγγιση. (i Υπολογισμός του Περιθωρίου Κέρδους: Υπολογίζεται πρώτα η συχνότητα ω π από τον ορισμό του περιθωρίου κέρδους: 1 GH j o o 3 o ( 180 180 1 (1 j 180 3 (1 j o o o 1 o 0 3 (1 j 180 (1 j 60 tan ( 60 o tan(60 3 (B4.24 Συγκρίνοντας με την τιμή ω π = 1.74 rad/sec που μετρήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode, διαπιστώνουμε ότι πράγματι, οι μετρούμενες τιμές αποτελούν προσεγγίσεις. Υπολογίζεται στη συνέχεια το ίδιο το περιθώριο κέρδους k π, από τον ορισμό του: 1 1 3 3 3 k 1 j 1 j 3 2 8 GH ( j 1 3 1 j (B4.25 Συγκρίνοντας με την τιμή k π = 8.128 rad/sec που μετρήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode, διαπιστώνουμε ότι πράγματι, οι μετρούμενες τιμές αποτελούν προσεγγίσεις. Τέλος επισημαίνεται ότι στο τελευταίο βήμα της (Β4.24 χρειάστηκε να επιλυθεί μία τριγωνομετρική εξίσωση με έναν άγνωστο, τη συχνότητα ω π. Η συγκεκριμένη εξίσωση ήταν ιδιαίτερα απλή, αλλά σε πραγματικά και όχι εκπαιδευτικά συστήματα η τριγωνομετρική εξίσωση που θα προκύψει μπορεί να είναι σύνθετη και η λύση της να απαιτεί προσπάθεια. (ii Υπολογισμός του Περιθωρίου Φάσης: Υπολογίζεται πρώτα η συχνότητα ω 1 από τον ορισμό του περιθωρίου φάσης: 26

1 3 GH ( j1 1 1 1 j 3 1 1 1 j 1 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 1 11 0 0 2 1 1 (B4.26 Συγκρίνοντας με την τιμή ω 1 = 0 rad/sec που εκτιμήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode από την ασύμπτωτη, διαπιστώνουμε ότι η εκτίμηση ήταν σωστή. Υπολογίζεται στη συνέχεια το ίδιο το περιθώριο φάσης φ π, από τον ορισμό του: 180 GH ( j 180 0 180 (B4.27 o o o o 1 Συγκρίνοντας με την τιμή φ π = 180 ο που εκτιμήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode από την ασύμπτωτη, διαπιστώνουμε ότι η εκτίμηση ήταν σωστή. Τέλος επισημαίνεται ότι στο τελευταίο βήμα της (Β4.27 χρειάστηκε να επιλυθεί μία πολυωνυμική εξίσωση με έναν άγνωστο, τη συχνότητα ω 1. Η συγκεκριμένη εξίσωση ήταν ιδιαίτερα απλή, αλλά σε πραγματικά και όχι εκπαιδευτικά συστήματα η πολυωνυμική εξίσωση που θα προκύψει μπορεί να είναι σύνθετη και η λύση της να απαιτεί προσπάθεια. 3.4.5 Παράδειγμα 5 ο Δίνεται κλειστό σύστημα το οποίο μετά από απλοποίηση έχει το εξής ισοδύναμο διάγραμμα βαθμίδων ενός απλού βρόχου αρνητικής ανάδρασης, με ευθύ κλάδο έστω 100 Gs ( και με κλάδο αρνητικής ανάδρασης έστω H(s = 1. 2 ( s 2 X(s G(s Y(s - H(s=1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η εξής: 100 100 GH ( s G( s H ( s GH ( j ( s2 (2 j ( s j 2 2 (Β4.28 και το Διάγραμμα Bode της ΣΜΑΒ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως υπολογίστηκε στο περιβάλλον Matlab: 27

3.4.5.1 Μέτρηση και γραφική ερμηνεία των περιθωρίων: (i (ii Τα δύο σημεία πάνω στις καμπύλες μέτρου και φάσης (μπλε γραμμές στο σχήμα είναι πάνω στην ίδια συχνότητα ω 1 όπου το μέτρο της ΣΜΑΒ γίνεται 0 db, που είναι εδώ ω 1 = 9.77 rad/sec. Στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο του χαμηλότερου από τα δύο σημεία, διαβάζουμε phase(deg = 157 ο. Άρα το περιθώριο φάσης είναι φ π = 180 ο + ( 157 ο = + 23 ο. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι φ π = 23 ο > 0 ο, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β βυθίζοντας (μειώνοντας τη φάση του G(s κατά φ π = + 23 ο, θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές σύστημα «αντέχει» έως και 23 ο καθυστέρηση φάσης του ευθέως κλάδου του πριν περάσει σε αστάθεια. Επιχειρώντας στη συνέχεια να εντοπίσουμε τη συχνότητα ω π όπου η φάση της ΣΜΑΒ γίνεται 180 ο, συναντάμε την εξής δυσκολία: στις πολύ υψηλές συχνότητες, η καμπύλη φάσης έχει ασύμπτωτη την οριζόντια ευθεία των 180 ο, δηλαδή την πλησιάζει διαρκώς χωρίς να την τέμνει ποτέ. Άρα αυστηρά μαθηματικά, σημείο τομής δεν υπάρχει. Μπορούμε βέβαια να δούμε από αν κινηθούμε πάνω στην καμπύλη φάσης προς το δεξί της άκρο, η συχνότητα τείνει στο άπειρο, ενώ η φάση της ΣΜΑΒ τείνει στις 180 ο, άρα η ζητούμενη συχνότητα ω π είναι άπειρη. Μεταβαίνουμε στη συνέχεια στην καμπύλη μέτρου, για να εντοπίσουμε την άπειρη συχνότητα και να μετρήσουμε εκεί το μέτρο του συστήματος. Βλέπουμε ότι για πολύ υψηλές συχνότητες, η καμπύλη μέτρου έχει ασύμπτωτη την πλάγια ευθεία με αρνητική κλίση 40 db / δεκάδα. Άρα αυστηρά μαθηματικά, το μέτρο για άπειρη συχνότητα δεν ορίζεται. Μπορούμε βέβαια να δούμε από αν κινηθούμε πάνω στην καμπύλη μέτρου προς το δεξί της άκρο, η συχνότητα τείνει στο άπειρο, ενώ το μέτρο της ΣΜΑΒ μειώνεται σταθερά, οπότε τείνει στο - (db 28

ή στο 0 σε μη λογαριθμική κλίμακα. Άρα το περιθώριο κέρδους είναι k π = - ( - (db = + (db. Αυτό σημαίνει ότι (α είναι k π = + (db > 0 (db, άρα το κλειστό σύστημα ως έχει είναι ευσταθές, και (β θα φέρουμε το κλειστό σύστημα σε οριακή ευστάθεια θέτοντας στο βρόχο του κλειστού συστήματος και σε σειρά με το G(s ένα ελεγκτή με ενισχυτική βαθμίδα απολαβής k = k π = + (db. Διαφορετικά, το παρόν ευσταθές σύστημα «αντέχει» οσοδήποτε μεγάλη ενίσχυση χωρίς να περνά ποτέ σε αστάθεια. (iii Τέλος, η σχετική θέση των δύο κρίσιμων συχνοτήτων, ω 1 και ω π όπως προέκυψε στο παράδειγμα αυτό, κατατάσσει το κλειστό σύστημα στα ευσταθή συστήματα, διότι: Gain crossover frequency ω 1 = 9.77 rad/sec < Phase crossover frequency ω π = + (Β4.28 3.4.5.2 Υπολογισμός των περιθωρίων, αντί για μέτρησή τους από το Διάγραμμα Bode Συνεχίζοντας στο ίδιο παράδειγμα, εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε αλγεβρικά τα δύο περιθώρια, αντί να τα μετρήσουμε. (i Υπολογισμός του Περιθωρίου Κέρδους: Υπολογίζεται πρώτα η συχνότητα ω π από τον ορισμό του περιθωρίου κέρδους: 100 GH j o o 2 o ( 180 180 100 (2 j 180 2 (2 j o o o 1 o 0 2 (2 j 180 (2 j 90 tan ( 90 2 o tan(90 2 (B4.29 Συγκρίνοντας με την τιμή ω π = + που εκτιμήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode, από την ασύμπτωτη, διαπιστώνουμε ότι η εκτίμηση ήταν σωστή. Υπολογίζεται στη συνέχεια το ίδιο το περιθώριο κέρδους k π, από τον ορισμό του: k 2 2 2 2 2 1 1 2 j 2 4 ( GH ( j 100 100 100 100 2 2 j (B4.30 Συγκρίνοντας με την τιμή k π = που εκτιμήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode, από την ασύμπτωτη, διαπιστώνουμε η εκτίμηση ήταν σωστή. 29

Τέλος επισημαίνεται ότι στο τελευταίο βήμα της (Β.5.29 χρειάστηκε να επιλυθεί μία τριγωνομετρική εξίσωση με έναν άγνωστο, τη συχνότητα ω π. Η συγκεκριμένη εξίσωση ήταν ιδιαίτερα απλή, αλλά σε πραγματικά και όχι εκπαιδευτικά συστήματα η τριγωνομετρική εξίσωση που θα προκύψει μπορεί να είναι σύνθετη και η λύση της να απαιτεί προσπάθεια. (ii Υπολογισμός του Περιθωρίου Φάσης: Υπολογίζεται πρώτα η συχνότητα ω 1 από τον ορισμό του περιθωρίου φάσης: 100 2 GH ( j1 1 1 2 j 2 1 100 2 j 1 2 2 2 2 1 1 2 100 4 100 96 0 96 9.798 2 1 1 (B4.31 Συγκρίνοντας με την τιμή ω 1 = 9.77 rad/sec που μετρήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode διαπιστώνουμε ότι η προσέγγιση ήταν αρκετά καλή. Υπολογίζεται στη συνέχεια το ίδιο το περιθώριο φάσης φ π, από τον ορισμό του: 100 180 GH ( j 180 180 100 (2 j o o o 1 2 1 (2 j1 9.789 2 2 o 1 o o o o o 180 2tan (4.899 180 278.46 180 156.92 23.08 o o o 1 1 o 1 180 0 2 (2 j1 180 2 tan ( 180 2 tan ( 2 (Β4.32 Συγκρίνοντας με την τιμή φ π = 23 ο που μετρήθηκε προηγουμένως στο Διάγραμμα Bode διαπιστώνουμε ότι η προσέγγιση ήταν αρκετά καλή. Τέλος επισημαίνεται ότι στο τελευταίο βήμα της (Β4.31 χρειάστηκε να επιλυθεί μία πολυωνυμική εξίσωση με έναν άγνωστο, τη συχνότητα ω 1. Η συγκεκριμένη εξίσωση ήταν ιδιαίτερα απλή, αλλά σε πραγματικά και όχι εκπαιδευτικά συστήματα η πολυωνυμική εξίσωση που θα προκύψει μπορεί να είναι σύνθετη και η λύση της να απαιτεί προσπάθεια. 30