ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Προηγμένα Συστήματα Ελέγχου Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού T.E.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ... 5 3.1 Διαδοχικός Έλεγχος (Cascade Control)... 5 3.1.1 Συντονισμός παραμέτρων των Ελεγκτών.... 8 3.1.2 Παράδειγμα διαδοχικού ελέγχου:... 9 3.1.2.1 Σύστημα με Διαδοχικό Έλεγχο.... 9 3.1.2.2 Σύστημα με Αναδραστικό Έλεγχο.... 12 3.1.3 Διαδικασία επιλογής Ελεγκτή... 12 3.2 Προσωτροφοδοτικός Έλεγχος.... 13 3.2.1.1.1 Παράδειγμα 1... 16 3.2.1.1.2 Παράδειγμα 2: Ψηφιακός προσωτροφοδοτικός έλεγχος... 17 3.3 Πολυμεταβλητά συστήματα ελέγχου... 19
1. Σκοποί ενότητας Απόκτηση γνώσεων σε προηγμένες τεχνικές ελέγχου διεργασιών με πολλαπλούς βρόγχους. 2. Περιεχόμενα ενότητας ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Διαδοχικός Έλεγχος (Cascade Control) Συντονισμός παραμέτρων των Ελεγκτών Παράδειγμα διαδοχικού ελέγχου Σύστημα με Διαδοχικό Έλεγχο Σύστημα με Αναδραστικό Έλεγχο. Διαδικασία επιλογής Ελεγκτή o Προσωτροφοδοτικός Έλεγχος o Πολυμεταβλητά συστήματα ελέγχου
3. ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Ο αναδραστικός έλεγχος διεργασίας χρησιμοποιείται σε σύστημα με ένα βρόγχο, μια μετρούμενη μεταβλητή εξόδου και μια ελεγχόμενη μεταβλητή εισόδου. Υπάρχουν όμως και άλλα περιγράμματα ελέγχου που ελέγχουν πιο πολλές μεταβλητές στην έξοδο ή την είσοδο. Στην περίπτωση αυτή έχουμε σύστημα ελέγχου πολλαπλών βρόγχων. Τέτοια συστήματα είναι: 1. Ο Διαδοχικός Έλεγχος 2. Ο Προσωτροφοδοτικός Έλεγχος 3. Τα Πολυμεταβλητά Συστήματα. 3.1 Διαδοχικός Έλεγχος (Cascade Control) Σε πολλές εφαρμογές συστημάτων ελέγχου, μια τυχαία μεταβολή της μεταβλητής προσαρμογής του τελικού στοιχείου ελέγχου (ενεργοποιητής), συχνά δημιουργεί προβλήματα στην απόδοση του αναδραστικού ελέγχου. Ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται στο Σχ.3.1. Σχ. 3. 1. Σύστημα αναδραστικού ελέγχου
Σχ. 3.2. Σύστημα με διαδοχικό έλεγχο Στο διάγραμμα του παραπάνω σχήματος η θερμοκρασία νερού στο δοχείο διατηρείται σταθερή ελέγχοντας την ποσότητα ροής του ατμού. Αν υπάρξει διαταραχή στην πίεση τροφοδοσίας ατμού, η ποσότητα ροής του ατμού μεταβάλλεται, η οποία στη συνέχεια διαταράσσει την ελεγχόμενη μεταβλητή, θερμοκρασία. Μόλις ο αισθητήρας εντοπίσει την αλλαγή μέσω της ανάδρασης ενημερώνει τον ελεγκτή για να προβεί στις αντίστοιχες ενέργειες διόρθωσης ώστε η θερμοκρασία να είναι ίση με την επιθυμητή τιμή (set point). Εν τω μεταξύ όμως, η διαταραχή έχει εισέλθει στη διεργασία και έχει μεταβάλλει την ελεγχόμενη μεταβλητή. Αν οι αλλαγές είναι συνεχόμενες, ο ελεγκτής ίσως δεν θα παραμείνει στο επιθυμητό σημείο για πολύ. Για την διόρθωση αυτού του προβλήματος, προστίθεται ένας δεύτερος βρόγχος όπως φαίνεται στο Σχ.3.2. Μόλις υπάρξουν διαταραχές στην τροφοδοσία του ατμού υπό πίεση, ο αισθητήρας πίεσης (ΡΤ) ανιχνεύει την μεταβολή και ο ελεγκτής πίεσης (ΡC) προσαρμόζει την βαλβίδα ατμού ώστε να διατηρηθεί η πίεση του ατμού σταθερή. Κατά αυτόν τον τρόπο οι επιδράσεις των μεταβολών στην τιμή του ατμού εξουδετερώνονται και η απόδοση του αναδραστικού ελέγχου βελτιώνεται σημαντικά. Οι περιπτώσεις ελέγχου όπου η έξοδος ενός ελεγκτή προσαρμόζει το set point ενός άλλου ελεγκτή ονομάζεται "Διαδοχικός έλεγχος" ή "Έλεγχος με αντιστάθμιση" (Cascade control). Το μπλοκ διάγραμμα καθώς και η αντίστοιχη ορολογία δίνονται στο Σχ.3.3.
Σχ.3.3 Μπλοκ Διάγραμμα Διαδοχικού Ελέγχου Διεργασίας Υπάρχουν δύο ελεγκτές, καθένας με το δικό του στοιχείο μέτρησης, αλλά μόνο ο κύριος (Master) ελεγκτής έχει ανεξάρτητο set point και μόνο ο βοηθητικός ελεγκτής έχει έξοδο προς τη διεργασία. Ο βοηθητικός ελεγκτής, η ελεγχόμενη μεταβλητή και η συσκευή μέτρησης αποτελούν τα στοιχεία του εσωτερικού ή βοηθητικού βρόγχου. Ο εξωτερικός βρόγχος περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία συμπεριλαμβανομένου και του βοηθητικού βρόγχου. Για την καλή λειτουργία είναι απαραίτητο ο εσωτερικός βρόγχος να είναι τουλάχιστον τόσο γρήγορος όσο και ο εξωτερικός, αν όχι ταχύτερος. Αν αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί, τότε δεν θα υπάρξει χρόνος για να συντονισθεί ο εξωτερικός ελεγκτής. Ο τρόπος αυτός ελέγχου, συνήθως χρησιμοποιείται σε συστήματα ελέγχου ροής, στάθμης υγρών, πίεσης και θερμοκρασίας. Το σύστημα διαδοχικού ελέγχου συνήθως χρησιμοποιείται για εξουδετέρωση των διαταραχών που προκαλούνται στον εσωτερικό βρόγχο (πίεση ατμού) και οφείλονται σε μεταβολές του φορτίου. Αυτές όμως είναι γενικές παρατηρήσεις. Οι περιπτώσεις ελέγχου, που απαιτούν την συγκεκριμένη μέθοδο πρέπει να αναλυθούν λεπτομερειακά προκειμένου να διερευνηθεί η ανάγκη για διαδοχικό έλεγχο, καθώς και για το τι πρέπει να περιλαμβάνει ο εσωτερικός και τι ο εξωτερικός βρόγχος. Μερικές διατάξεις διαδοχικού ελέγχου που χρησιμοποιούνται, δίνονται στα περιγράμματα του Σχ. 3.4.
Σχ.3.4 Διαγράμματα συστημάτων διαδοχικού ελέγχου. 3.1.1 Συντονισμός παραμέτρων των Ελεγκτών. Για τον συντονισμό των παραμέτρων των ελεγκτών διαδοχικού ελέγχου, γίνεται δοκιμή ανοιχτού βρόγχου της διεργασίας με μεταβολή στην είσοδο (βηματική ή παλμό) και καταγράφονται ταυτόχρονα τα δεδομένα της εισόδου και εξόδου. Στην συνέχεια αναλύονται τα δεδομένα αυτά και σχεδιάζεται το διάγραμμα BODE από το οποίο στη συνέχεια υπολογίζονται οι σταθερές παράμετροι συντονισμού των ελεγκτών. Ο εσωτερικός βρόγχος απλοποιείται σε ένα μπλοκ. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι : 1. Διάγραμμα απόκρισης σε συχνότητα όλων των στοιχείων του εσωτερικού βρόγχου πλην του ελεγκτή. 2. Προσθέτουμε τις καμπύλες του βήματος (1), γραφικά, για να υπολογίσουμε το τελικό διάγραμμα BODE. 3. Σχεδιάζουμε τον βοηθητικό (δευτερεύον) ελεγκτή σύμφωνα με τα κριτήρια Cohen- Coon ή Ziegler-Nichols. Ο όρος ολοκλήρωσης δεν χρειάζεται συνήθως στον δευτερεύοντα ελεγκτή, διότι το κέρδος του εσωτερικού βρόγχου είναι πάντα μεγάλο και η επίδρασή του διορθώνεται από τον ολοκληρωτή όρο του κυρίου ελεγκτή. Αν το κέρδος είναι χαμηλό (συνήθως στον έλεγχο ροής) τότε χρησιμοποιείται και ο ολοκληρωτής. 4. Κάνοντας χρήση των κανόνων απλοποίησης μπλοκ διαγραμμάτων, απλοποιούμε τον εσωτερικό βρόγχο σε ένα κουτί (block). 5. Ετοιμάζουμε τα διαγράμματα BODE όλων των στοιχείων του εξωτερικού βρόγχου πλην του ελεγκτή αλλά συμπεριλαμβάνεται το block του εσωτερικού με τον ελεγκτή μαζί. 6. Προσθέτουμε τις καμπύλες του σχήματος (3) για να σχεδιάσουμε το διάγραμμα BODE όλων των στοιχείων (πλην του κυρίου ελεγκτή) του εσωτερικού βρόγχου σε σειρά. 7. Σχεδιάζεται ο κύριος ελεγκτή από τη μέθοδο του Ziegler-Nichols ή κάποια άλλη μέθοδο.
3.1.2 Παράδειγμα διαδοχικού ελέγχου: Στο παράδειγμα που ακολουθεί, υπολογίζονται οι παράμετροι των ελεγκτών για σύστημα με διαδοχικό έλεγχο και αναδραστικό έλεγχο. Στη συνέχεια γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο περιπτώσεων. Για το σύστημα του Σχ.3.5. να υπολογισθούν οι παράμετροι των ελεγκτών/τή. Σχ.3.5 Σύστημα Διαδοχικού Ελέγχου 3.1.2.1 Σύστημα με Διαδοχικό Έλεγχο. 1. Σχεδιάζεται το BODE του εσωτερικού βρόγχου για όλες τις συναρτήσεις, δηλαδή τις G3(s)και Η2(s) του Σχ.3.5. 2. Προστίθενται οι καμπύλες των συναρτήσεων G3(s), H2(s) για να έχουμε το BODE διάγραμμα του εσωτερικού βρόγχου (Σχ.3.6). 3. Από την καμπύλη φάσεως για φ=-180 βρίσκεται το ωco και στη συνέχεια από την καμπύλη κέρδους το Aκρ = 0.0416. Επομένως το κρίσιμο κέρδος είναι Κκρ=1/Aκρ=24 και το κέρδος από την εξίσωση Ziegler-Nichols, για τον εσωτερικό (δευτερεύοντα) βρόγχο είναι Kc=0.5(Kκρ)=0.5 24=12. 4. Τελικά ο εσωτερικός βρόγχος έχει τη μορφή Block Διάγραμμα εσωτερικού βρόχου Από το βήμα (2) βρίσκεται το διάγραμμα BODE του εσωτερικού βρόγχου 1/[(10s+1)(s+1)2] και στη συνέχεια προστίθεται στο διάγραμμα το κέρδος Κc=12, οπότε έχουμε μετατόπιση του διαγράμματος προς τα επάνω όπως φαίνεται στο Σχ.3.6.
Σχ.3.6 Διαγράμματα BODE εσωτερικού βρόγχου. Στη συνέχεια απλοποιείται το εσωτερικό μπλοκ διάγραμμα στην παρακάτω μορφή (ένα μπλοκ) όπου G = G 2 (s)g 3 (s) = 12 / [(10s+1)(s+1) 2 ]
Υπολογίζονται, για γνωστή G(s), το κέρδος και η φάση της συνάρτησης G(s)/[1+G(s)] (δεδομένα Πίνακα 3.1). 5. Επίσης, υπολογίζονται το κέρδος και η γωνία φάσης της G4(s), δηλαδή τα G 4 (s) και με αλγεβρικό τρόπο: 6. Τέλος, προστίθενται αντίστοιχα οι τιμές των συναρτήσεων G4(s) και της G(s)/[1+G(s)] και βρίσκονται οι τιμές της συνολικής συνάρτησης G4(s)[G(s)/[1+G(s)]] του συστήματος, δηλαδή βρίσκονται το εύρος και η γωνία φάσης για διάφορες τιμές του ω (δεδομένα Πίνακα 3.1). 7. Από τον Πίνακα 3.1, η γωνία φ = -180 αντιστοιχεί σε ω = 0.53 και βρίσκεται το εύρος Α = 0.048. Οπότε K κρ = 1/0.048 = 21. Από τις εξισώσεις Ziegler-Nichols βρίσκονται οι παράμετροι του ελεγκτή PI στον κύριο βρόγχο. Kc= 0.5 *21 = 10.5, Reset=R=1/T i =0,101 Εναλλακτικός τρόπος είναι η χρήση λογισμικών προγραμμάτων προσομοίωσης όπως το SIMULINK για τον υπολογισμό των διαγραμμάτων BODE. Από τα διαγράμματα υπολογίζονται οι παράμετροι του PID. Πίνακας 3.1 Απόκριση Συχνότητας Συστήματος με Διαδοχικό Έλεγχο Συχν. ω rad/sec G(s)/1+G(s) G 4 (s) G 4 (s)[g(s)/1+g(s)] A φ 0 Α φ 0 Α φ 0 0.1 0.93-5 0.29-88 0.15 0.945-8 0.21-101 0.2 0.97-12 0.14-112 0.4 1.15-25 0.053-135 0.061-160 0.5 1.33-32 0.037-143 0.049-175 0.53 - - - - 0.048-180 0.6 1.7-50 0.027-148 0.046-198 1.0 4.5-60 1.2 1.4-180 3.0 0.04-220
3.1.2.2 Σύστημα με Αναδραστικό Έλεγχο. Σε αυτή την περίπτωση η G 2 (s)=1, δηλαδή δεν υπάρχει εσωτερικός βρόγχος. Βρίσκουμε το διάγραμμα BODE των G 3 (s), G 4 (s) οι τιμές των οποίων δίνονται στον Πίνακα 3.2. Από τον πίνακα αυτό για φ=-180 βρίσκουμε: ω = 0.16 και A = 0.093 Από τις εξισώσεις Ziegler- Nichols βρίσκονται οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή: K c = 0.5K κρ = 0.5/Α = 0.5/0.093 = 5.38 τi= (1/1.2) ( 2π/ω) = 2π/(1.2 0.16) = 32.6 R=Reset = 1/32.6 = 0.0306 Πίνακας 3.2 Απόκριση Συχνότητας Συστήματος χωρίς Διαδοχικό Έλεγχο. Συχν. ω rad/sec G 3 (s) G 4 (s) G 3 (s)g 4 (s) A φ 0 Α φ 0 Α φ 0 0.1 0.70-55 0.29-88 0.2-143 0.15 0.53-73 0.21-101 0.11-174 0.16-0.093-180 0.2 0.41-85 0.14-112 0.057-197 0.4 0.20-120 0.053-135 0.5 0.16-133 0.037-143 0.6 0.12-143 0.027-148 1.0 0.10-170 1.2 0.045-180 3.0 0.0025-210 Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των δύο περιπτώσεων βλέπουμε πως στον διαδοχικό έλεγχο έχουμε μεγαλύτερο κέρδος και Reset. 3.1.3 Διαδικασία επιλογής Ελεγκτή Η επιλογή του τύπου ελεγκτή που θα χρησιμοποιηθεί ακολουθεί μια διερευνητική διαδικασία για το κατά πόσο η παρουσία του ολοκληρωτή είναι απαραίτητη στον ελεγκτή και περιγράφεται λεπτομερειακά στο παρακάτω παράδειγμα. Για το σύστημα του Σχ.3.5 υπολογίζεται η χρονική απόκριση του συστήματος σε βηματική μεταβολή των φορτίων L1, L2 (διαταραχές). 1. Για βηματική μεταβολή στην είσοδο L 2 μοναδιαίας τιμής βρίσκεται η απόκλιση της θερμοκρασίας θ(s) στην έξοδο του συστήματος.
Αλλά υποθέτουμε ότι: G 2 =12 και G 1 =10, οπότε: ε = Απόκλιση (σφάλμα) = 0.008 δηλ. (0.8%) Επομένως η ύπαρξη του ολοκληρωτή δεν κρίνεται απαραίτητη αφού το σφάλμα είναι πολύ μικρό και μέσα στα επιτρεπτά όρια. 2. Για βηματική είσοδο ίδιας μορφής στο L 1 βρίσκεται η μεταβολή της θ(s). ε = Απόκλιση = 1 (1 + 12) / (1+12+120) = 0.0978 δηλ. 9.78% Το σφάλμα είναι μεγάλο, επομένως η χρήση ολοκληρωτή στον κύριοελεγκτή είναι απαραίτητη για να μειωθεί. Οι Franks και Worley διερεύνησαν τα πλεονεκτήματα του διαδοχικού ελέγχου και διαπίστωσαν πως η βελτίωση σε μεταβολές του set point και σε μεταβολές στον κύριο βρόγχο (διαταραχή) είναι πολύ μικρότερη από αυτή που παρατηρείται σε μεταβολές στον βοηθητικό βρόγχο. Η μέγιστη βελτίωση σε μεταβολές του set point και σε μεταβολές του κυρίου βρόγχου, παρατηρείται όταν οι σημαντικές σταθερές χρόνου των βρόγχων είναι περίπου ίδιες. Η βελτίωση της απόκρισης του συστήματος, σε μεταβολές του βοηθητικού βρόγχου, αυξάνεται ραγδαία όσο ο λόγος τ p /τ c αυξάνεται, όπου τ p = σταθερά χρόνου του κύριου βρόγχου και τ c = σταθερά χρόνου του βοηθητικού βρόγχου. 3.2 Προσωτροφοδοτικός Έλεγχος. Ο προσωτροφοδοτικός (feedforward) έλεγχος είναι ένας ο πιο εύχρηστος τρόπος ελέγχου στην βιομηχανία και υλοποιείται με αναλογικό hardware. Στόχος του είναι η ασφάλεια του συστήματος από ζημιογόνες επιδράσεις των μεταβολών φορτίου (διαταραχή). Με σωστό σχεδιασμό και συντονισμό ο προσωτροφοδοτικός έλεγχος επιτυγχάνει ανεπανάληπτα αποτελέσματα. Στο Σχ.3.8 φαίνεται μια απλή διεργασία που αποτελείται από την συνεχή θέρμανση του νερού σε ένα βυτίο (δοχείο) και το αντίστοιχο μπλοκ διάγραμμα. Στην περίπτωση αυτή τα φορτία της διεργασίας (διαταραχές) είναι η ποσότητα ροής και η θερμοκρασία του νερού τροφοδοσίας. Συνήθως η εισερχόμενη ποσότητα νερού, προέρχεται από άλλο σημείο του εργοστασίου και δεν είναι αντικείμενο ελέγχου. Αν η θερμοκρασία του εισερχόμενου νερού στο δοχείο, μεταβληθεί, η εξερχόμενη μεταβλητή εξόδου (δηλαδή η θερμοκρασία του νερού στο δοχείο) θα μεταβληθεί αντίστοιχα. Το σύστημα θα βρίσκεται σε διαταραχή, μέχρις ότου ο αναδραστικός έλεγχος επαναφέρει την μεταβλητή εξόδου στην επιθυμητή τιμή (set point). Ο αναδραστικός έλεγχος μπορεί να βελτιώσει την απόκριση του συστήματος. Οι άγνωστες διαταραχές (μεταβολή φορτίου) ανιχνεύονται, στη συνέχεια προσαρμόζεται το σήμα στην έξοδο του στοιχείου ελέγχου Gu(s) προκειμένου να εξουδετερωθούν οι διαταραχές και να διατηρηθεί σταθερή η τιμή της μεταβλητής στην έξοδο.
(α) Σχ.3.8 (α) Σύστημα Ελέγχου Θερμοκρασίας, (β) block διάγραμμα Από το Σχ.3.8 βρίσκεται η εξίσωση σχεδιασμού του προσωτροφοδότη ελεγκτή: Υπό ιδανικές συνθήκες η απόκλιση της μεταβλητής C(s) πρέπει να είναι μηδενική για κάθε διαταραχή L(s). Η απόκλιση της C(s) μειώνεται από μεγάλο D(s) (υψηλό κέρδος ελεγκτή) αλλά το μέγεθος της D(s) περιορίζεται από φυσικές παραμέτρους και από την ευστάθεια του συστήματος. Στο σύστημα με ανάδραση, το σφάλμα στέλνεται στον ελεγκτή D(s)ο οποίος προσαρμόζει αντίστοιχα το σήμα στην έξοδό του προκειμένου να εξαλειφθεί η επίδραση της
διαταραχής στην έξοδο της διεργασίας C(s). Αλλά ας υποθέσουμε πως είναι δυνατό να ανιχνευθεί (μετρηθεί) το σήμα της διαταραχής L(s), δηλαδή η μεταβολή φορτίου που προκαλεί διαταραχή στην έξοδο της διεργασίας C(s) και να αποσταλεί απευθείας στον ελεγκτή Gf(s). Ο ελεγκτής, με βάση το σήμα αυτό, θα υπολογίσει τη νέα τιμή της μεταβλητής προσαρμογής και να προωθήσει το αντίστοιχο σήμα στο τελικό στοιχείο ελέγχου Gu(s) (βαλβίδα). Κατ' αυτόν τον τρόπο δεν θα προκληθεί μεταβολή της εξόδου C(s) της διεργασίας από τη μεταβολή φορτίου L(s). Το νέο διάγραμμα του συστήματος, που περιλαμβάνει τα παραπάνω δίνεται στο Σχ.3.9. Σχ.3.9 Σύστημα με προσωτροφοδοτικό έλεγχο. Παρατηρούμε ότι το σήμα διαταραχής L(s) μετριέται πριν εισέλθει στην διεργασία και στέλνεται στον προσωτροφοδότη ελεγκτή Gf(s). Ο ελεγκτής στέλνει σήμα στον ενεργοποιητή Gu(s) προκειμένου το σήμα στην έξοδό του να προσαρμοστεί για την εξουδετέρωση της διαταραχής L(s). Με αυτόν τον τρόπο, το σύστημα προσαρμόζεται ταυτόχρονα με την επίδραση της διαταραχής στο σύστημα. Για ανοιχτό βρόγχο χωρίς ανάδραση: C(s) = L(s) [ G L (s) + G (s) G u (s) G f (s) ] Όπου G f (s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του προσωτροφοδότη ελεγκτή. Τα G L (s), G u (s) και G(s) είναι γνωστά. Οπότε για να γίνει η C(s) = 0, πρέπει να επιλεγεί οποιαδήποτε τιμή της L(s). οπότε, από την παραπάνω εξίσωση, η C(s) είναι πάντα μηδέν για Η εξίσωση, λοιπόν, αποτελεί τη βάση για σχεδιασμό του προσωτροφοδότη ελεγκτή. Ο προσωτροφοδοτικός έλεγχος, πριν ελαχίστων εξαιρέσεων, χρησιμοποιείται πάντα σε συνδυασμό με τον αναδραστικό έλεγχο. Έτσι αποφεύγονται αποκλίσεις στη μεταβλητή της εξόδου που οφείλονται στα μοντέλα των G L, G u, G, δηλαδή έχουμε μεγάλη ακρίβεια. Επομένως, για κλειστό βρόγχο έχουμε:
Υπάρχουν δύο ελεγκτές, ο προσωτροφοδότης που εξουδετερώνει τις επιδράσεις φορτίου και ο αναδραστικός που εξουδετερώνει ανακρίβειες του μοντέλου και άλλες μη μετρούμενες διαταραχές. Επομένως χρειάζεται η γνώση των G(s), G u (s), G L (s) που είναι συναρτήσεις μεταφοράς ανοικτού βρόγχου και μπορούν να υπολογισθούν από το μαθηματικό μοντέλο ή από εμπειρικό τρόπο ελέγχου σε επίδραση παλμού ή βηματική είσοδο. Η διαδικασία που ακολουθείται για τον υπολογισμό των G u (s), G(s) δίνεται παρακάτω: 1. Ο αναδραστικός ελεγκτής τοποθετείται στη θέση χειροκίνητο και αποσυνδέεται ο προσωτροφοδοτικός ελεγκτής δηλαδή, ανοίγεται το κύκλωμα στη θέση που φαίνεται στο Σχ.3.9. 2. Έναρξη διεργασίας και ταυτόχρονα γίνεται προσαρμογή της εξόδου του αναδραστικού ελεγκτή μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή απόκριση στην αποκατάσταση (steady state). 3. Εισάγεται παλμός στην έξοδο του αναδραστικού ελεγκτή Μ(s) και καταγράφεται η χρονική απόκριση της μεταβλητής εξόδου C(s) (μεταβατική απόκριση). 4. Γίνεται ανάλυση του παλμού κατά Fourier και βρίσκουμε το διάγραμμα απόκρισης συχνότητας του συστήματος ανοιχτού βρόγχου. 5. Βρίσκεται εμπειρικά η συνάρτηση μεταφοράς από το διάγραμμα BODE. Αυτή η συνάρτηση μεταφοράς αντιπροσωπεύει το γινόμενο G u (s)g(s). 6. Με τη διεργασία σε λειτουργία στην αποκατάσταση (steady state)και τον ελεγκτή στη θέση χειροκίνητο, εισάγεται κατάλληλος παλμός στο φορτίο L(s) και καταγράφεται η μεταβολή εξόδου C(s). 7. Μετά από ανάλυση του παλμού δοκιμής (test data) όπως προηγουμένως υπολογίζεται η G L (s). 3.2.1.1.1 Παράδειγμα 1 Για σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς πρώτης τάξης και Να υπολογιστεί ο προσωτροφοδοτικός ελεγκτής G f (s): Ο προσωτροφοδότης ελεγκτής υπολογίζεται από την εξίσωση: Στην εξίσωση του ελεγκτή υπάρχουν τρεις σημαντικοί όροι: 1) Το κέρδος -Κ L /Κ p του προσωτροφοδότη ελεγκτή. 2) Το στοιχείο Lead-Lag (τ p s + 1) / (τ L s + 1). Για να είναι υλοποιήσιμο το στοιχείο, πρέπει το τ L να είναι μεγαλύτερο του μηδενός (τ L > 0). Αν η δυναμική φορτίου είναι πολύ γρήγορη (τ L 0), τότε το στοιχείο Lead-Lag γίνεται απλός διαφοριστής που δεν μπορεί να υλοποιηθεί. Στην περίπτωση αυτή επιλέγουμε τ << τ p,αλλά το τ L πρέπει να είναι μεγαλύτερο του μηδενός.
3) Αν θ d > θ L, το στοιχείο Lead-Lag δεν υλοποιείται, επομένως για να έχουμε σύστημα υλοποιήσιμο, θέτουμε θ d = θ L. Αν αγνοήσουμε τους δυναμικούς όρους της εξίσωσης βρίσκουμε: που ονομάζεται προσωτροφοδότης ελεγκτής στην αποκατάσταση (steady state) 3.2.1.1.2 Παράδειγμα 2: Ψηφιακός προσωτροφοδοτικός έλεγχος Στο παράδειγμα αυτό παρουσιάζεται μια εργαστηριακή άσκηση αναδραστικού - προσωτροφοδοτικού ελέγχου θερμοκρασίας με υπολογιστή. Τα διαγράμματα δίνονται στο Σχ.3.10: (α) Διάγραμμα Διεργασίας (β) Block Διάγραμμα Σχ.3.10 Μικτό σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας με Η/Υ.
Ο προσωτροφοδοτικός ελεγκτής αποκατάστασης δίνεται ως: Τ = τιμή στην έξοδο του ΤΤ (psig). W = τιμή σήματος στην είσοδο FT (psig). F = πίεση αέρα βαλβίδας που ελέγχει την βαλβίδα ατμού (psig). Δοκιμή ανοιχτού βρόγχου μας οδηγεί στο G fss = 1 psig/psig. Δηλαδή για αλλαγή μιας psig στην έξοδο του FT, o ελεγκτής προσωτροφοδότησης πρέπει να αυξήσει την πίεση του ατμού στην κορυφή της βαλβίδας ελέγχου κατά 1 psig. Απαιτήσεις λειτουργίας: Στάθμη βυτίου (set point) 18.4 inches=46.75cm Steady state ροή νερού 2.54 gal/min Βηματική αλλαγή 3.3 gal/min Τιμές ελεγκτή ανάδρασης (ΡΒ=2%, Reset τi=0.83 min) T (sampling period) = 5 sec Στο Σχ.3.11 δίδονται οι αποκρίσεις κλειστού βρόγχου και για τις δύο περιπτώσεις δηλ. με αναδραστικό έλεγχο και μικτό έλεγχο (αναδραστικό και προσωτροφοδοτικό). Από τις κυματομορφές απόκρισης φαίνεται η υπεροχή του μικτού συστήματος (feedbackfeedforward).
Σχ.3.11 Αποκρίσεις σε βηματική αλλαγή της ποσότητας ροής του νερού 3.3 Πολυμεταβλητά συστήματα ελέγχου Οι πολύπλοκες διεργασίες έχουν πολλές ελεγχόμενες μεταβλητές και πολλές μεταβλητές προσαρμογής. Θα επιθυμούσαμε βέβαια κάθε ελεγχόμενη μεταβλητή να επηρεάζεται μόνο από ένα set point αλλά αυτό είναι δύσκολο λόγω της αλληλεπίδρασης (coupling) που υπάρχει. Μια διαταραχή θα μπορούσε να επηρεάσει άλλους βρόγχους της διεργασίας με αποτέλεσμα την δημιουργία ταλαντώσεων και τελικά την αστάθεια του συστήματος. Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου είναι ένα παράδειγμα πολυμεταβλητού συστήματος ελέγχου. Το υπό έλεγχο σύστημα έχει δυο εισόδους (πορεία δρόμου και όριο ταχύτητας) και δυο ελεγχόμενες εξόδους (κατεύθυνση και ταχύτητα). Οι διαταραχές που ασκούνται στο σύστημα είναι ο άνεμος και η κυκλοφοριακή κίνηση. Τα σήματα εντολών ή είσοδοι αναφοράς είναι η κατεύθυνση της λεωφόρου και οι πινακίδες με τα όρια ταχύτητας. Το μπλοκ διάγραμμα του συστήματος δίνεται στο Σχ. 3.12. Σχ.3.12 Διάγραμμα πολυμεταβλητού ελέγχου αυτοκινήτου Επομένως η χρήση των φρένων για τον έλεγχο της ταχύτητας, ελαττώνει τις πλευρικές δυνάμεις που ασκούνται στους ελαστικούς τροχούς με το οδόστρωμα για
έλεγχο κατεύθυνσης και με μπλοκαρισμένους τροχούς έχουμε πλήρη απώλεια στον έλεγχο κατεύθυνσης. Στο Σχ.3.13 δίνεται το σχηματικό διάγραμμα συστήματος θερμοκρασίας με πολυμεταβλητό έλεγχο όπου οι διακεκομμένες γραμμές υποδηλώνουν σύνδεση με ηλεκτρονικό υπολογιστή. Αντικειμενικός στόχος είναι να ελεγχθεί η στάθμη (δηλαδή στην ουσία η συνολική ροή) και η θερμοκρασία νερού στο δοχείο. Υπάρχουν δύο είσοδοι στην διεργασία, η ροή κρύου νερού και η ροή ζεστού νερού. Έτσι οι υπό έλεγχο μεταβλητές είναι η θερμοκρασία και η συνολική ροή. Οι δε μεταβλητές προσαρμογής είναι οι ποσότητες ροής κρύου και ζεστού νερού. Σχ.3.13 Διάγραμμα πολυμεταβλητού ελέγχου Η ερώτηση που συνήθως τίθεται είναι: Θα πρέπει η θερμοκρασία να ελέγχεται με αντίστοιχη προσαρμογή (μεταβολή) της ροής ζεστού νερού και η στάθμη (π.χ. συνολική ροή) από τη ροή του κρύου νερού ή αντίθετα. Το θέμα απλά αναφέρεται εδώ για ενημέρωση των αναγνωστών αφού η λεπτομερειακή ανάλυση δεν βρίσκεται στους στόχους του συγγραφέα. Οι αναγνώστες όμως, για περαιτέρω μελέτη θα πρέπει να απευθυνθούν στη σχετική βιβλιογραφία που καλύπτει την ανάλυση των πολυμεταβλητών συστημάτων.