3 Συσχετίσεις σε χρονοσειρές

3 Συσχείσεις σε χρονοσειρές Η χρονοσειρά ενός χρημαισηριακού δείκη { y, y,, yn } ως πραγμαοποίηση μιας σοχασικής διαδικασίας { t } t= ης μεαβολής ων ιμών ου δείκη { x, x,, xn} πραγμαοποίηση μιας άλλης σοχασικής διαδικασίας { X } μπορεί να θεωρηθεί. Ανίσοιχα η χρονοσειρά μπορεί να θεωρηθεί ως t t=. Σημειώνεαι όι η μεαβολή ων ιμών ου δείκη μπορεί να ορισθεί από ις πρώες διαφορές ων ιμών ου δείκη xt = yt yt ή από ις πρώες διαφορές ων λογαρίθμων ων ιμών xt = log yt log yt (που είναι ισοδύναμο με η σχεική μεαβολή ή όπως λέγεαι σα yt yt χρημαοοικονομικά απόδοση, xt = ). Σο προηγούμενο κεφάλαιο yt ασχοληθήκαμε με η σαική περιγραφή ων χρονοσειρών (και κα επέκαση ων ανίσοιχων σοχασικών διαδικασιών) και η μελέη περιορίσηκε σην περιθώρια καανομή ων { y, y,, yn } και { x, x,, xn}. Ση συνέχεια θα ασχοληθούμε με κάποια θέμαα ης δυναμικής περιγραφής ων χρονοσειρών αυών και ειδικόερα ις συσχείσεις. Πρώα θα παρουσιασούν κάποια βασικά σοιχεία για ην καανομή, ις ροπές και η σασιμόηα μιας σοχασικής διαδικασίας. Ση συνέχεια θα μελεηθούν συσχείσεις βραχείας και μακράς κλίμακας και θα δοθούν μέθοδοι για ην εκίμηση ου δείκη μακράς συσχέισης Hurst. 3. Καανομές και ροπές σοχασικής διαδικασίας Η πλήρης περιγραφή μιας σοχασικής διαδικασίας { t } απαιεί όι οι κοινές t= καανομές όλων ων άξεων είναι γνωσές για κάθε χρονική σιγμή t. Ξεκινώνας από άξη ένα, η (περιθώρια) καανομή ης { } ση γενική ης μορφή είναι t t= t Z, f ( y) = f ( y, t), t δηλαδή ορίζεαι ως συνάρηση όχι μόνο ης κάθε ιμής y αλλά και ου χρόνου t. Καά ον ίδιο ρόπο η κοινή καανομή δύο μεαβληών ης { } ) είναι t, t Z, t, t t t= f ( y, y ) = f ( y, y, t, t ), η κοινή καανομή ριών μεαβληών (καανομή άξης 3) είναι t, t, t Z, 3 f ( y, y, y ) = f ( y, y, y, t, t, t ) t,, 3 3 3 t t 3 (καανομή άξης και ανίσοιχα ορίζοναι οι καανομές μεγαλύερων άξεων. Ανίσοιχα με ις καανομές ορίζοναι και οι ροπές ης σοχασικής διαδικασίας, δηλαδή ως συναρήσεις ου χρόνου. Η μέση ιμή (ροπή πρώης άξης) είναι Η ροπή δεύερης άξης είναι t Z, μ =Ε [ ] = yf ( y, t)dy. t t t, t Z, κ ( t, t ) =Ε = y y f ( y, y, t, t )dydy t t και η κενρική ροπή δεύερης άξης που ονομάζεαι αυοδιασπορά (autocovariace) είναι 3

γ ( t, t) =Ε ( t μ t )( ) ( t μ t =Ε t t μt μ t = κ t, t) μt μ t. Για t = t = t ορίζεαι η διασπορά σt σ =Ε ( ) t t μ t. Ανίσοιχα ορίζοναι οι ροπές και οι κενρικές ροπές μεγαλύερης άξης για δύο μεαβληές και οι ροπές γενικεύοναι για περισσόερες μεαβληές. Σημειώνεαι όι από ις ροπές για κάθε άξη για δύο ή περισσόερες μεαβληές μπορεί να ορισεί η ανίσοιχη κοινή καανομή. Σε αυήν η γενική περιγραφή ης σοχασικής διαδικασίας οι καανομές και οι ροπές είναι συναρήσεις ων χρονικών σιγμών, δηλαδή μπορούν να μεαβάλλοναι με ο χρόνο. 3. Σασιμόηα Η σαισική περιγραφή ης σοχασικής διαδικασίας απλουσεύεαι αν θεωρήσουμε όι οι σαισικές ης ιδιόηες παραμένουν σαθερές σο χρόνο και όε η σοχασική διαδικασία ορίζεαι ως σάσιμη. Αυή είναι μα υπόθεση που δύσκολα μπορεί να υοθεηθεί σε χρημαο-οικονομικά προβλήμαα, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υπόθεση εργασίας για ην εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάων, ακόμα και σε χρημαο-οικονομικά προβλήμαα. Ειδικόερα ορίζοναι δύο μορφές σασιμόηας. Η σοχασική διαδικασία { t } είναι αυσηρά σάσιμη (strict-sese statioary) όαν οι καανομές ης για t= κάθε άξη (ή ισοδύναμα όλες οι ροπές) είναι σαθερές σo χρόνο, δηλαδή όαν ισχύει t Z, f ( y) = f ( y, t) = f ( y), t, t Z, t, t, t Z, 3 t t f ( y, y ) = f ( y, y ), t,, t t t f ( y, y, y ) = f ( y, y, y ), t, t, 3,, 3 t 3 t t t και ανίσοιχα για καανομές μεγαλύερης άξης. Για ροπές άξης μεγαλύερης ου ένα, οι καανομές δίνοναι ως συνάρηση όχι ων χρονικών σιγμών, π.χ. t, t, αλλά ης υσέρησης μεαξύ ων χρονικών σιγμών, π.χ. = t t, δηλαδή για οποιεσδήποε δύο χρονικές σιγμές που απέχουν μεαξύ ους χρονικά βήμαα. Ο έλεγχος ης αυσηρής σασιμόηας απαιεί η διερεύνηση κοινών καανομών ή ροπών όλων ων άξεων και δεν αποελεί μια πρακικά χρήσιμη ιδιόηα. Για αυό συχνά χαλαρώνουμε η συνθήκη σασιμόηας περιορίζονας ην σις δύο πρώες ροπές. Η σοχασική διαδικασία { } t t= είναι ασθενής σάσιμη (weak ή wide-sese statioary) όαν οι ροπές πρώης και δεύερης άξης είναι σαθερές σo χρόνο, δηλαδή α) η μέση ιμή είναι σαθερή : t Z, [ ] Ε = μ, β) η αυοδιασπορά ορίζεαι μόνο ως προς ην υσέρηση και όχι ις χρονικές σιγμές: t, t Z, γ ( t, t) = γ( t, t ) = γ( ). Το β) προκύπει από η συνθήκη όι η δεύερη ροπή είναι σαθερή, δηλαδή ισχύει Ε t [, ] (, ) ( ) t =Ε t t = κ tt = κ. Από ις συνθήκες α) και β) προκύπει όι η διασπορά είναι επίσης σαθερή. Πράγμαι για =, ισχύει Ε t = κ() και άρα t 4

( [ ]) σ () () = γ =Ε t Ε t = κ μ. Σην πράξη, η συνθήκη ασθενούς σασιμόηας ερμηνεύεαι συχνά ως σαθερή μέση ιμή και διασπορά (απλή ροπή δεύερης άξης), που δεν είναι σωσό αφού η συνθήκη αναφέρεαι σην κοινή ροπή δεύερης άξης (αυοδιασπορά). 3.3 Αυοσυσχέιση Για η μελέη συσχείσεων σε σάσιμες χρονοσειρές χρησιμοποιείαι η αυοσυσχέιση, που είναι η κανονικοποίηση ης αυοδιασποράς με ην διασπορά. Σε μια (ασθενής) σάσιμη σοχασική διαδικασία { } αυοσυσχέιση για υσέρηση ως γ ( ) ρ ( ) =. γ () Η αυοσυσχέιση μεράει η συσχέιση μεαβληών ης { } = ορίζεαι η t t t t= που βρίσκοναι σε χρονική υσέρηση και είναι ένα χρήσιμο μέρο ης «μνήμης» ης σοχασικής διαδικασίας. Η εκίμηση ης αυοδιασποράς από μια πραγμαοποίηση (χρονοσειρά) { y y } ης σοχασικής διαδικασίας { } είναι t t= N t= + t t,, N c( ) ˆ γ( ) = N ( y y y ). Ανίσοιχα, η εκίμηση ης αυοσυσχέισης είναι c( ) c( ) r( ) ˆ ρ( ) = =. c() s Η αυοσυσχέιση μας επιρέπει να ορίσουμε μια χαρακηρισική χρονική κλίμακα για η μνήμη ης σοχασικής διαδικασίας. Αυή ορίζεαι από ην υσέρηση αποσυσχέισης c για ην οποία η αυοσυσχέιση φθίνει σο μηδέν. Εναλλακικά χρησιμοποιείαι η υσέρηση για ην οποία η αυοσυσχέιση πέφει σο επίπεδο ου /e. Παράδειγμα: Εκίμηση αυοσυσχέισης για χρονοσειρά από AR() Η αυοπαλινδρομούμενη σοχασική διαδικασία άξης ένα, AR(), δίνεαι ως = φ + φ + ε, ε ~iid, Ε[ ε ] =, () t t t t t δηλαδή η μεαβληή σε κάποιο χρονικό βήμα t ορίζεαι από η μεαβληή σο προηγούμενο βήμα σαθμισμένη με ην παράμερο φ, όπου < φ <, και μια υχαία συνισώσα ε t που ακολουθεί ην ίδια καανομή με διασπορά σ ε σε κάθε χρονικό βήμα αλλά είναι ανεξάρηη από ις υχαίες συνισώσες σε προηγούμενα βήμαα. Μπορεί να δειχθεί πως η διασπορά ης { t } είναι σ σ () t= = γ = ε, η φ αυοδιασπορά είναι γ ( ) = φ σ Υ και άρα η αυοσυσχέιση ης AR() είναι ρ( ) = φ. (3) Σο Σχήμα 4 δίνεαι η συνάρηση αυοσυσχέισης για ην AR() σοχασική διαδικασία και η εκίμηση ης από μια πραγμαοποίηση ης. Η αυοσυσχέιση φθίνει

εκθεικά με ρυθμό που καθορίζεαι από ο συνελεσή φ. Επίσης φθίνει μονόονα αν φ > και εναλλασσόμενα γύρω από ο αν φ <. Για φ = η σοχασική διαδικασία εκφυλίζεαι σε λευκό θόρυβο και ρ( ) = για >. r() r().8.8.6.6.4.4.. -. -. -.4. (γ) -.4 r() -. - Σχήμα 4 Συνάρηση αυοσυσχέισης για AR() σοχασική διαδικασία και εκίμηση ης από χρονοσειρά σημείων: φ =.8, φ =.4, φ =.8. 3.3. Αυοσυσχέιση βραχείας και μακράς κλίμακας Η συνάρηση αυοσυσχέισης μεράει η «μνήμη» ης σοχασικής διαδικασίας. Για παράδειγμα, ο λευκός θόρυβος έχει μηδενική μνήμη και η αυοσυσχέιση μηδενίζεαι για όλες ις μη-μηδενικές υσερήσεις. Μαρκοβιανές σοχασικές διαδικασίες κάποιας άξης έχουν πεπερασμένη μνήμη και η αυοσυσχέιση φθίνει εκθεικά. Η χρονική μνήμη ης σοχασικής διαδικασίας χαρακηρίζεαι από ην χαρακηρισική κλίμακα μνήμης ης συνάρησης αυοσυσχέισης. Υπάρχουν όμως και σοχασικές διαδικασίες που δεν έχουν χαρακηρισική κλίμακα και η αυοσυσχέιση φθίνει αργά ακολουθώνας κάποιο νόμο δύναμης. Σε σάσιμες σοχασικές διαδικασίες μπορούμε να εξεάσουμε ην ύπαρξη χαρακηρισικής κλίμακας από ο ολοκλήρωμα ης συνάρησης αυοσυσχέισης 6 ρ( )d. Αν ο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο υπάρχει χαρακηρισικός χρόνος μνήμης που δηλώνεαι από ο χρόνος συσχέισης (ή αποσυσχέισης) ης σοχασικής διαδικασίας. Η μορφή ης συνάρησης αυοσυσχέισης είναι ν ρ( ) = exp( / ), (4) δηλαδή φθίνει εκθεικά με ρυθμό που δίνεαι από ον εκθέη ν και ο χρόνο συσχέισης. Επίσης ο χαρακηρισικός χρόνος μνήμης μπορεί να υποδηλώνεαι από ην ιμή ου c = ρ ( )d, δηλαδή από ην επιφάνεια κάω από ην καμπύλη ης συνάρησης αυοσυσχέισης. Για υσερήσεις μεγαλύερες ου c η

αυοσυσχέιση μηδενίζεαι. Τέοιες σοχασικές διαδικασίες έχουν συσχείσεις βραχείας κλίμακας. Υπάρχουν φθίνουσες συναρήσεις αυοσυσχέισης που δεν έχουν όμως πεπερασμένο ολοκλήρωμα ρ( )d. Για η συνάρηση αυοσυσχέισης ης μορφής η ρ( ) () για <η< και μεγάλες υσερήσεις, ο ολοκλήρωμα απειρίζεαι. Για η= καθώς και για <η< η αυοσυσχέιση για μεγάλες υσερήσεις δίνεαι από πιο πολύπλοκη μορφή που περιέχει ον ίδιο νόμο δύναμης και πάλι ο ολοκλήρωμα απειρίζεαι. Δεν υπάρχει λοιπόν κάποιος χαρακηρισικός χρόνος c που να χωρίζει σε χρόνους ύπαρξης μνήμης (υσερήσεις μη-μηδενικής αυοσυσχέισης) και μη ύπαρξης μνήμης (υσερήσεις μηδενικής αυοσυσχέισης). Μεαβληές ης σοχασικής διαδικασίας παραμένουν συσχεισμένες όσο μακριά χρονικά και αν βρίσκοναι και μια έοια σοχασική διαδικασία έχει συσχείσεις μακράς κλίμακας. Σο Σχήμα δίνοναι ανιπροσωπευικά παραδείγμαα συναρήσεων αυοσυσχέισης που φθίνουν εκθεικά και με νόμο δύναμης για σοχασικές διαδικασίες με συσχείσεις βραχείας και μακράς κλίμακας, ανίσοιχα. Η συνάρηση αυοσυσχέισης με εκθεική μορφή φθίνει πιο γρήγορα από η συνάρηση αυοσυσχέισης που ακολουθεί νόμο δύναμης ανεξάρηα από ον εκθέη ης εκθεικής συνάρησης. Αυό μπορεί να μη φαίνεαι παρά μόνο αν παραηρήσουμε ις ιμές αυοσυσχέισης (που είναι πολύ κονά σο ) για μεγάλες υσερήσεις, όπως σο Σχήμα β..8 exp(-. /) exp(- /) - exp(-. /) exp(- /).6.4 exp(- /).- l() - -3 exp(- /).-. -4-3 4 Σχήμα Αυοσυσχέιση με εκθεική μορφή για ρεις διαφορεικούς εκθέες και με νόμο δύναμης όπως δίνεαι σο ένθεο. Το ίδιο όπως σο αλλά η αυοσυσχέιση δίνεαι σε λογαριθμική κλίμακα και για μεγαλύερο εύρος υσερήσεων. 3.3. Αυοσυσχέιση και φάσμα ισχύος για συσχείσεις βραχείας κλίμακας Οι σαισικές ιδιόηες που χαρακηρίσαμε με ην αυοσυσχέιση μπορούν να χαρακηρισούν ισοδύναμα με ο φάσμα ισχύος, που δίνεαι ως S( f) = γ ( ) e π f d, όπου γ ( ) είναι η αυοδιασπορά. Ας θεωρήσουμε σοχασικές διαδικασίες με συσχείσεις βραχείας κλίμακας που δίνοναι από ην συνάρηση αυοσυσχέισης ρ( ) = exp( / ). (6) 7

Μπορεί κάποιος να παραηρήσει όι c = = exp( / )d. Ανικαθισώνας ην αυοδιασπορά γ ( ) = σ exp( / ) σον ύπο ου φάσμαος ισχύος παίρνουμε σc S( f) =. Παραηρούμε όι για συχνόηες f /( π c ) ο φάσμα + ( π f c ) ισχύος έχει σαθερή ιμή ανεξάρηη ου f. Για συχνόηες f /( π c ) ο φάσμα ισχύος φθίνει ως S( f) / f. Την παραπάνω ιδιόηα μπορούμε να η δούμε από ην αυοπαλινδρομούμενη σοχασική διαδικασία άξης ένα, AR(), για ην οποία η αυοσυσχέιση δίνεαι σην (3). Η αυοσυσχέιση αυή μπορεί να γραφεί όπως ση (6) θέονας c = /l(/ φ). Σο Σχήμα 6 δίνεαι η αυοσυσχέιση και ο φάσμα ισχύος για ην AR() με συνελεσή φ =.8. Από ο γράφημα ου φάσμαος ισχύος ως προς ο λογάριθμο ης συχνόηας (Σχήμα 6γ) φαίνεαι η μορφή ου φάσμαος ισχύος να σαθεροποιείαι για συχνόηας μικρόερες ου /( π c ) και να φθίνει με νόμο δύναμης και εκθέη για συχνόηες μεγαλύερες ου /( π c )..8.6 r() estimated real (γ).4. S(f) (db) - S(f) - -. -.4 - -3...3.4. f - estimated real -3-6 - -4-3 - - l(f) Σχήμα 6 Αυοσυσχέιση και φάσμα ισχύος για AR() σοχασική διαδικασία με συνελεσή φ =.8 και εκίμηση ους από πραγμαοποίηση παραηρήσεων: αυοσυσχέιση, φάσμα ισχύος προς συχνόηα και (γ) φάσμα ισχύος προς λογάριθμο συχνόηας. Όαν η αυοσυσχέιση φθίνει πιο γρήγορα, όπως για AR() με συνελεσή φ =.4, ο χαρακηρισικός χρόνος μνήμης είναι μικρόερος με αποέλεσμα η αυοσυσχέιση να φθίνει πιο γρήγορα και ο φάσμα ισχύος να είναι επίπεδο για μεγαλύερο εύρος συχνοήων, όπως δίνεαι σο Σχήμα 7..8 r() (γ).6.4. S(f) (db) - - S(f) - - - - -. -.4 - estimated real -...3.4. f Σχήμα 7 Όπως σο Σχήμα 6 αλλά για φ =.4. - estimated real - -6 - -4-3 - - l(f) Όαν ο συνελεσής ου AR() είναι φ =, ο χαρακηρισικός χρόνος είναι, η σοχασική διαδικασία γίνεαι iid η αυοσυσχέιση μηδενίζεαι για όλες ις υσερήσεις και ο φάσμα ισχύος είναι επίπεδο. Από ην άλλη, όαν φ = η 8

σοχασική διαδικασία είναι υχαίος περίπαος. Τυπικά η αυοσυσχέιση ρ( ) δεν ορίζεαι αφού η σοχασική διαδικασία δεν είναι σάσιμη και η εκίμηση ης r( ) φθίνει αργά με ρυθμό που εξαράαι από ο μήκος ης χρονοσειράς. Για ο φάσμα ισχύος ισχύει S( f) / f για ολόκληρο ο εύρος συχνοήων (δες Σχήμα 8)..9.8.7.6..4 r() S(f) (db) 4 3 - estimated real S(f) 4 3 - (γ) estimated real.3 - -. -3...3.4. f Σχήμα 8 Όπως σο Σχήμα 6 αλλά για φ = (υχαίος περίπαος). -3-6 - -4-3 - - l(f) Μια σοχασική διαδικασία με συσχείσεις βραχείας κλίμακας μπορεί να έχει περισσόερες από μια χαρακηρισικές κλίμακες, όπως π.χ. η σοχασική διαδικασία που προκύπει από ο άθροισμα δύο σοχασικών διαδικασιών με διαφορεικές χαρακηρισικές κλίμακες. Γενικά όμως θα περιμένουμε μια σάσιμη σοχασική διαδικασία που έχει συσχείσεις βραχείας κλίμακας να έχει αυοσυσχέιση που φθίνει γρήγορα (εκθεικά) και φάσμα ισχύος που είναι επίπεδο για μικρές συχνόηες. Ανίσροφα, όαν μελεάμε μια χρονοσειρά, μπορούμε να συμπεράνουμε όι είναι πραγμαοποίηση σοχασικής διαδικασίας με συσχείσεις βραχείας κλίμακας όαν η εκιμώμενη αυοσυσχέιση φθίνει γρήγορα (εκθεικά) σο μηδέν. Οι χρονοσειρές μεαβολών ή αποδόσεων ων χρημαισηριακών δεικών μπορεί να προέρχοναι από έοιου ύπου σοχασικές διαδικασίες, και μάλισα με ασήμανες συσχείσεις. Από ην άλλη, η χρονοσειρά ου χρημαισηριακού δείκη σχημαίζεαι από ην ολοκλήρωση ων μεαβολών και έχει αυοσυσχέιση που φθίνει πολύ αργά και φάσμα ισχύος που ακολουθεί νόμο δύναμης ως προς η συχνόηα με εκθέη κονά σο -, δηλαδή μπορεί να εξηγηθεί ως υχαίος περίπαος. Παράδειγμα: Εκίμηση συσχέισης βραχείας κλίμακας για η χρονοσειρά S&P Σο Σχήμα 9 παρουσιάζοναι οι εκιμήσεις ης αυοσυσχέισης και ου φάσμαος ισχύος για η χρονοσειρά ου δείκη S&P ην περίοδο 98-8 και η χρονοσειρά ων αποδόσεων ου δείκη. Η αυοσυσχέιση και ο φάσμα ισχύος έχουν α χαρακηρισικά λευκού θορύβου (iid) για ις αποδόσεις και υχαίου περιπάου για ο δείκη. 9

.998.8 r().996.994.99 r().6.4..99 -. Σχήμα 9 Εκίμηση ης αυοσυσχέισης σο και ου φάσμαος ισχύος σο για η χρονοσειρά ων αποδόσεων ου ημερήσιου δείκη S&P ην περίοδο 98-8. Σο (γ) και (δ) είναι οι ίδιες εκιμήσεις για η χρονοσειρά ου δείκη. 3.3.3 Αυοσυσχέιση και φάσμα ισχύος για συσχείσεις μακράς κλίμακας Ο λευκός θόρυβος X t και οι αυοπαλινδρομούμενες σοχασικές διαδικασίες είναι παραδείγμαα σοχασικών διαδικασιών που έχουν συσχείσεις βραχείας κλίμακας. Ο υχαίος περίπαος t μπορεί να έχει συσχείσεις μακράς κλίμακας αλλά αυές εξηγούναι από ην ολοκλήρωση ων βημάων λευκού θορύβου σε κάθε βήμα ης σοχασικής διαδικασίας. Θεωρώνας η γενική έκφραση για ο φάσμα ισχύος S( f) / f η, ο λευκός θόρυβος ανισοιχεί σε η = και ο υχαίος περίπαος σε η =. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε και σοχασικές διαδικασίες για διαφορεικό εκθέη η. Για ιμές ου εκθέη < η < η σοχασική διαδικασία που δίνει φάσμα ισχύος για μικρές συχνόηες S( f) / f η (7) έχει συσχείσεις μακράς κλίμακας και αναφέρεαι ως έγχρωμος θόρυβος (colored oise) ή κλασμαική κίνηση Brow (fractioal Browia motio). Μια γνωσή κλάση έγχρωμου θορύβου είναι ο /f θόρυβος ή ροζ θόρυβος (pik oise) για η =, δηλαδή για φάσμα ισχύος S( f) / f. Αυός ο ύπος σοχασικής διαδικασίας έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει συσχείσεις μακράς διάρκειας σε διάφορα πραγμαικά φαινόμενα σην υδρολογία, κλιμαολογία, σα δίκυα υπολογισών, αλλά και σα χρημαο-οικονομικά. Ένα σημανικό ερώημα σχεικά με ο χαρακηρισμό μιας χρονοσειράς ως προς ην κλίμακα ων συσχείσεων είναι καά πόσο μπορούμε να διαχωρίσουμε μια σοχασική διαδικασία συσχείσεων βραχείας κλίμακας με πολλούς 3

χαρακηρισικούς χρόνους από έγχρωμο θόρυβο. Η δυσκολία αυού ου διαχωρισμού φαίνεαι σο παρακάω παράδειγμα. Θεωρούμε η σοχασική διαδικασία που προκύπει από ο άθροισμα AR() σοχασικών διαδικασιών με διαφορεικούς χρόνους κλίμακας c. Η αυοσυσχέιση και ο φάσμα ισχύος ης σοχασικής διαδικασίας δίνοναι σο Σχήμα, όπου φαίνοναι και οι χρόνοι c. Η αυοσυσχέιση φθίνει αργά και ο φάσμα ισχύος σχημαίζει κλίση που εξηγείαι ικανοποιηικά από /f ακόμα και για μικρές συχνόηες. Τα χαρακηρισικά αυά είναι γνωρίσμαα έγχρωμου θορύβου. 4.8.6.4 S(f) 3. - - estimated /f -3-7 -6 - -4-3 - - f Σχήμα Αυοσυσχέιση σο και φάσμα ισχύος σο για ο άθροισμα AR() σοχασικών διαδικασιών με διαφορεικούς χαρακηρισικούς χρόνους που δίνοναι με ις καακόρυφες γραμμές σο και σο για ις ανίσοιχες συχνόηες. Σο δίνεαι και ο γράφημα ου /f. Πράγμαι η παραπάνω διαδικασία για μεγάλο πλήθος διαφορεικών χρόνων c αποελεί μέθοδο δημιουργίας χρονοσειρών ροζ θορύβου. Εναλλακικά, έοιες χρονοσειρές μπορούν να σχημαισούν με ον ανίσροφο μεασχημαισμό Fourier για πλάη που δίνοναι από ο S( f) / f (ή S( f) / f η γενικά) και υχαίες φάσεις. Κλείνονας ην παράγραφο αυή για ις συσχείσεις μακράς κλίμακας παραθέουμε σο Σχήμα ο διάγραμμα διασποράς χρονοσειρών από σοχασικές διαδικασίες με φάσμα ισχύος ύπου S( f) / f η για διαφορεικές ιμές ου η. Οι χρονοσειρές έχουν δημιουργηθεί με χρήση ου ανίσροφου μεασχημαισμού Fourier. Για να συγκριθεί η επίδραση ου συνελεσή η ση μορφή ης χρονοσειράς οι φάσεις είναι ίδιες για όλες ις χρονοσειρές. Παραηρούμε όι για η< η ενέργεια ης χρονοσειράς αυξάνει προς ις υψηλές συχνόηες και οι αυοσυσχείσεις φθίνουν με ην υσέρηση εναλλάσσονας σε θεικές και αρνηικές ιμές. Για η= η ενέργεια είναι ίδια σε όλες ις συχνόηες και δεν υπάρχουν συσχείσεις (λευκός θόρυβος). Για η=.,,. η ενέργεια φθίνει με σαθερό ρυθμό που δημιουργεί μακρές συσχείσεις χωρίς όμως η χρονοσειρά να μπορεί να χαρακηρισεί μη-σάσιμη. Αυό συμβαίνει για η=, όπου έχουμε υχαίο περίπαο και η χρονοσειρά αυή ανισοιχεί σε ολοκλήρωση (άθροισμα) ων βημάων ου λευκού θορύβου για η=. Ανίσοιχα για η=. και η=3 οι χρονοσειρές αποελούν ολοκληρώσεις ων χρονοσειρών για η=. και η= ανίσοιχα. Για ις ελευαίες είναι φανερό όι ο γράφημα είναι αρκεά ομαλό αφού η ενέργεια φθίνει με αχύ ρυθμό με η συχνόηα και ουσιασικά η ενέργεια συγκενρώνεαι μόνο σις πολύ χαμηλές συχνόηες (αργές άσεις). 3

η=3 8 η=. η= 6 η=. η= 4 η=. η= η=-. η=- 4 6 8 Σχήμα Χρονοσειρές από σοχασικές διαδικασίες με φάσμα ισχύος ύπου S( f) / f η για ιμές ου εκθέη η=-. :. : 3.. Ως ώρα ορίσαμε η συσχέιση μακράς κλίμακας με νόμο δύναμης για ην η αυοσυσχέιση, ρ( ), για <η< (δες ()) και για ο φάσμα ισχύος, S( f) / f η για <η< (δες (7)). Παραηρούμε όι ο ίδιος εκθέης η εμφανίζεαι και σους δύο νόμους δύναμης, για ην αυοσυσχέιση και ο φάσμα ισχύος. Επίσης σημειώνεαι όι για η χρονοσειρά t που προκύπει από ην ολοκλήρωση ης σάσιμης χρονοσειράς X t ο νόμος δύναμης για ο φάσμα ισχύος έχει εκθέη η+, S( f) / f η + για <η< (δες Σχήμα ). Ση συνέχεια παραίθεναι μέθοδοι εκίμησης ου εκθέη συσχέισης μακρά κλίμακας. 3.4 Εκίμηση ου εκθέη συσχέισης μακράς κλίμακας Για η μέρηση ης συσχέισης μακρά κλίμακας θα αναφερθούμε όχι σον εκθέη η αλλά σε έναν άλλο εκθέη, ον εκθέη Hurst H, που σχείζεαι με ον εκθέη η ως η=h- για η (σάσιμη) χρονοσειρά ων μεαβολών X t και η=h+ για η (μησάσιμη) χρονοσειρά t που προκύπει από ην ολοκλήρωση ης X t. Ο δείκης Hurst δηλώνει ο βαθμό και ύπο ης αυο-συνάφειας (self-affiity) ης σοχασικής διαδικασίας. Η έννοια ή ιδιόηα ης αυο-συνάφειας είναι συγγενική αλλά διαφορεική από ην ιδιόηα ης αυο-ομοιόηας (self-similarity) που αναφέρεαι σε (πολύ-) μορφοκλασμαικές δομές. Η αυό-ομοιόηα αναφέρεαι ση γεωμερία ου χώρου που βρίσκοναι α σημεία που παράγει ο σύσημα (ή η διαδικασία) ενώ η αυό-συνάφεια αναφέρεαι ση σχέση ης κλίμακας ου χρόνου και ης κλίμακας ων ιμών ης παραηρούμενης διαδικασίας. Συγκεκριμένα, αν αλλάξουμε ην κλίμακα ου χρόνου t με έναν παράγονα a, π.χ. από λεπό σε ώρα ή από ημέρα σε βδομάδα ή μήνα, για να διαηρήσουμε ην ίδια (σαισικά) εικόνα διακυμάνσεων ου δείκη (ή ων μεαβολών ου δείκη) X t θα πρέπει να αλλάξουμε ην κλίμακα ων ιμών ου X t με παράγονα a H. Σε αυήν ην περίπωση η χρονοσειρά έχει ην ιδιόηα ης αυόσυνάφειας και ισχύει η σχέση κλίμακας H X a X (8) για οποιοδήποε παράγονα a. t at 3

Για παράδειγμα, για μια σοχασική διαδικασία που χαρακηρίζεαι από H=., αν η κλίμακα ου χρόνου εραπλασιασεί όε η κλίμακα ης θέσης ων ιμών ης θα πρέπει να διπλασιασεί, δηλαδή η μεαβολή ων ιμών ης σοχασικής διαδικασίας διπλασιάζεαι όαν ο παράθυρο χρόνου παραήρησης ης εραπλασιάζεαι. Αυό είναι ο γνώρισμα ου υχαίου περιπάου. Πράγμαι σην Παρ..3 είχε αναφερθεί όι η διασπορά ου υχαίου περιπάου αυξάνει γραμμικά με ον αριθμό ων χρονικών βημάων, δηλαδή E = σ και σ ( ) Var[ ] σ E = ) όπου σ είναι η διασπορά ων = (όπου θεωρούμε πως [ ] βημάων και σ ( ) είναι η διασπορά ου υχαίου περιπάου σε χρονικό παράθυρο βημάων. Άρα για η διασπορά ου υχαίου περιπάου ισχύει ο νόμος κλίμακας σ ( )~ και ανίσοιχα για ην υπική απόκλιση σ ( )~, που δηλώνει όι ο εκθέης ου είναι H=.. Η ιμή H=. χαρακηρίζει υχαίο περίπαο t με υχαία βήμαα iid X t ή με βραχείας κλίμακας συσχείσεις. Όαν α υχαία βήμαα έχουν μακράς κλίμακας αρνηικές συσχείσεις (ανι-συσχείσεις) και η ενέργεια είναι σε υψηλές συχνόηες, ο συνελεσής η είναι αρνηικός και άρα από η σχέση η=h- προκύπει όι Η<.. Ανίσοιχα για μακράς κλίμακας θεικές συσχείσεις όπου η> ισχύει H>.. Αν ανί ων υχαίων βημάων X t θεωρήσουμε ην ολοκλήρωση ους t, ανίσοιχα με ο η που αυξάνει καά, ο εκθέης H αυξάνει καά. Το ανίσροφο φυσικά ισχύει αν από μια χρονοσειρά t θεωρήσουμε η χρονοσειρά ων πρώων διαφορών: ο η μειώνεαι καά και ο εκθέης H καά. 3.4. Μέθοδος ης διασποράς Γενικά θα περιμένουμε για μια σοχασική διαδικασία με μακρές συσχείσεις να ισχύει για ην υπική απόκλιση σ ( ) σε βήμαα ο νόμος κλίμακας σ H ( )~ και ανίσοιχα για η διασπορά σ H ( )~. Σε αυήν ην ιδιόηα βασίζεαι η πρώη μέθοδος για ην εκίμηση ου εκθέη Hurst. Έσω η χρονοσειρά { y, y,, yn } ενός (χρημαο-οικονομικού) δείκη. Ο υπολογισμός ου εκθέη Hurst H με η μέθοδο ης (αυξανόμενης) διασποράς δίνεαι από ην εκίμηση ου νόμου κλιμάκωσης σ H ( )~, (9) για χρονικά παράθυρα αυξανόμενων βημάων. Ο υπολογισμός ου H γίνεαι ως εξής. Αρχίζονας από κάποιο μικρό (όπως για =3 και =4 σο Σχήμα ), χωρίζεαι η χρονοσειρά σε μήμαα μήκους, υπολογίζοναι οι διασπορές σε κάθε μήμα και καόπιν υπολογίζεαι ο μέσος όρος αυών ων διασπορών s (). 33

Σχήμα Διάγραμμα ου χωρισμού ης χρονοσειράς σε μήμαα και υπολογισμού ης διασποράς s (). Η αύξηση ων βημάων είναι εκθεική ως ο μήκος ης χρονοσειράς N. Έχονας υπολογίσει ις διασπορές s () για κάθε, υπολογίζεαι ο εκθέης Hurst H από ην κλίση ης προσαρμοσμένης ευθείας σο γράφημα log s () vs log. Σο Σχήμα 3 δίνεαι ο παραπάνω γράφημα (σε λογάριθμο με βάση ο ) καθώς και η προσαρμοσμένη ευθεία για μια χρονοσειρά παραηρήσεων Γκαουσιανού υχαίου περιπάου (Η=.) και υχαίου περιπάου με βήμαα που έχουν μακρές συσχείσεις που δίνοναι από H=.7. Η εκίμηση ου Hurst από ην κλίση ης ευθείας είναι.484 για ην πρώη περίπωση και.743 για η δεύερη. Σημειώνεαι εδώ πως οι χρονοσειρές έχουν δημιουργηθεί από ον ανίσροφο μεασχημαισμό Fourier για φάσμα ισχύος με νόμο δύναμης ως προς η συχνόηα και εκθέη η= και η=. ανίσοιχα (όπου ισχύει η=h+). - (s ()) -4-6 -8 (s ()) - - 4 6 8 4 () - 4 6 8 4 () Σχήμα 3 Εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ου λογαρίθμου ης αυξανόμενης διασποράς από χρονοσειρά μήκους N= με εκθέη Hurst H=. σο (a) και H=.7 σο. Παραηρούμε σο Σχήμα 3 πως για μεγάλα χρονικά παράθυρα που πλησιάζουν ο μήκος ης χρονοσειράς δε διαηρείαι ο νόμος κλίμακας. Γενικά η εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ου λογαρίθμου ης αυξανόμενης διασποράς πρέπει να γίνει με προσοχή και έχουν προαθεί πιο πολύπλοκες συναρήσεις προσαρμογής που ανιμεωπίζονας ις ιδιαιερόηας ης κλιμάκωσης για πολύ μικρά και πολύ μεγάλα. 34

3 3 (s ()) 4 6 8 4 () Σχήμα 4 Εκίμηση ου εκθέη Hurst από ην αυξανόμενη διασπορά σο και ο φάσμα ισχύος σο από χρονοσειρά υχαίου περιπάου μήκους N= με αλλά με βήμαα που ακολουθούν καανομή Cauchy. Η εκίμηση ου εκθέη μακράς συσχέισης σε μιας χρονοσειρά δεν αλλάζει με ην περιθώρια καανομή ης χρονοσειράς. Σο Σχήμα 4 δίνεαι η εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ης αυξανόμενης διασποράς και από ο γράφημα ου φάσμαος ισχύος για μια χρονοσειρά υχαίου περιπάου με iid βήμαα από καανομή Cauchy. Η εκίμηση από ο γράφημα ης αυξανόμενης διασποράς είναι H=.4889 και από ο φάσμα ισχύος H=.44 (η=.89). Η εκίμηση από ο φάσμα ισχύος δεν είναι όσο ακριβής όσο από ην αυξανόμενη διασπορά, όπου όμως η προσαρμογή ης ευθείας επιλέχθηκε προσεκικά αγνοώνας ις δύο πιο μικρές και ρεις μεγαλύερες ιμές ου. Ένα άλλο πρόβλημα σην εκίμηση ου Hurst εκθέη με η μέθοδο ης αυξανόμενης διασποράς είναι ο μήκος ης χρονοσειράς. Όαν ο μήκος ης χρονοσειράς είναι μικρό, όπως σο Σχήμα για N= και N=, α παράθυρα που μπορούμε να σχημαίσουμε για να υπολογίσουμε η διασπορά είναι λιγόερα. Επίσης ο γράφημα log s () vs log παρουσιάζει αποκλίσεις από ην ευθεία και συνεπώς η εκίμηση ου H είναι πιο ασαθής. Τα αποελέσμαα ης εκίμησης είναι για Ν= Η=.464 με μέσο εραγωνικό σφάλμα προσαρμογής ης ευθείας MSE=.4, για N= Η=.4779 με MSE=.9, ενώ είχαμε βρει για N= Η=.484 με MSE=.66. Για να βελιώσουμε ην ακρίβεια ης εκίμησης (μικρό MSE) θα πρέπει ο μήκος ης χρονοσειράς να αυξηθεί σημανικά. (s ()) - (s ()) - -4 - -6-3 3 4 6 7 () -8 4 6 8 () Σχήμα Εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ου λογαρίθμου ης αυξανόμενης διασποράς από χρονοσειρά με εκθέη Hurst H=. μήκους N= σο και N= σο. Τα προβλήμαα εκίμησης ου εκθέη Hurst σχεικά με ο μήκος ης χρονοσειράς καθώς και η μη διαήρηση ου νόμου κλίμακας για μικρά και μεγάλα χρονικά 3

παράθυρα υφίσαναι και για ις άλλες μεθόδους εκίμησης ου εκθέη Hurst που θα δούμε ση συνέχεια. 3.4. Ανάλυση αλλαγής κλίμακας ου εύρους Η κλασική εκίμηση ου εκθέη Hurst που προάθηκε από ον ίδιο ον Hurst είναι με ην ανάλυση κλίμακας ου εύρους (rescaled rage aalysis, R/S aalysis). Θεωρούμε όι έχουμε η χρονοσειρά { x, x,, xn} ων μεαβολών ου δείκη (και όχι η χρονοσειρά ου δείκη, όπως σην προηγούμενη μέθοδο). Η εκίμηση γίνεαι σα παρακάω βήμαα:. Όπως και για η μέθοδο ης αυξανόμενης διασποράς, χωρίζουμε η χρονοσειρά σε μήμαα μήκους για αυξανόμενα. Για κάποιο μήκος χρονικού παραθύρου N = N / μήμαα, όπου [.] δηλώνει ο ακέραιο μέρος. έχουμε [ ] όπου. Σε κάθε μήμα v=,, N υπολογίζουμε ο προφίλ από ην ολοκλήρωση j ( j) = ( x x ) s ν xν + i i= x ν ν+ i ν i= = είναι ο (οπικός) μέσος όρος σε κάθε μήμα ν. 3. Σε κάθε μήμα ν υπολογίζουμε ο εύρος και ην υπική απόκλιση ου προφίλ που δημιουργήσαμε σο βήμα. R j j S j ν( ) = max j= ν( ) mi j= ν( ) ν( ) = ν ( ) j= 4. Υπολογίζουμε ο μέσο όρο ου λόγου εύρους προς υπική απόκλιση από όλα α μήμαα N Rν ( ) FRS( ) =. () N S ( ) ν = Η F ( ) RS μεράει η μεαβολή ων ιμών ου προφίλ ης χρονοσειράς (δηλαδή ου δείκη t ) για παράθυρα αυξανόμενου μήκους. Η F ( ) RS είναι ανίσοιχη ης αυξανόμενης υπικής απόκλισης (ρίζα ης διασποράς) αλλά καά κάποιο ρόπο προσαρμοσμένη για να υπολογίζει συσχείσεις μακράς διάρκειας. Για μεγάλα παράθυρα μήκους περιμένουμε να ισχύει ο νόμος κλίμακας ( ) H FRS. () Σο Σχήμα 6 παρουσιάζεαι η εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα F RS () vs για χρονοσειρά και Γκαουσιανών βημάων iid (ή ανίσοιχα προφίλ Γκαουσιανού υχαίου περιπάου). Οι εκιμήσεις ου εκθέη Hurst για N= είναι H=.476 με MSE=.47 και για N= είναι H=.43 με MSE=.74. Εδώ φαίνεαι η προσαρμογή ης ευθείας να είναι καλύερη από ην προσαρμογή ης ευθείας για ο γράφημα ης αυξανόμενης διασποράς (δες Σχήμα 3α και Σχήμα β), όπου οι χρονοσειρές είναι ίδιες. Παραηρούμε επίσης όι η προσαρμογή είναι ο ίδιο καλή για και παραηρήσεις (μάλισα σο παράδειγμα αυό ο MSE υχαίνει να είναι μικρόερο για N=). ν 36

. 8 7 4. 6 (F RS ()) 4 3. (F RS ()) 4 3 3. 3 4 6 7 8 9 () 4 6 8 4 () Σχήμα 6 Εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ου λογαρίθμου ης συνάρησης ανάλυση κλίμακας ου εύρους από χρονοσειρά με εκθέη Hurst H=. μήκους N= σο και N= σο. 3.4.3 Ανάλυση διακυμάνσεων Ση μέθοδο ης αυξανόμενης διασποράς υπολογίσαμε ο μέσο όρο ης διασποράς (διακύμανσης) σε μήμαα ης χρονοσειράς t μήκους. Σην ανάλυση ων διακυμάνσεων ή αυξομειώσεων (fluctuatio aalysis, FA) εκιμούμε η διασπορά ή διακύμανση από ο εράγωνο ης διαφοράς ων ακραίων ιμών ων μημάων. Θεωρούμε πάνα η χρονοσειρά ου προφίλ (ολοκλήρωση) ων υχαίων βημάων, δηλαδή η χρονοσειρά ου χρημαο-οικονομικού δείκη t. Η εκίμηση γίνεαι σα παρακάω βήμαα:. Όπως και για η μέθοδο ης αυξανόμενης διασποράς, χωρίζουμε η χρονοσειρά { y, y,, yn } σε μήμαα μήκους για αυξανόμενα. Για κάποιο μήκος χρονικού παραθύρου έχουμε N [ N/ ] = μήμαα, όπου [.] δηλώνει ο ακέραιο μέρος.. Σε κάθε μήμα v=,, N υπολογίζουμε η διακύμανση ή αυξομείωση από α άκρα ου μήμαος ως (δες Σχήμα 7) ( ) ( ) Fν yν yν+ ( ) =. 4 4 3 3-3 4 6 7-3 4 6 7 Σχήμα 7 Διάγραμμα που δείχνει α άκρα ων μημάων ης χρονοσειράς μήκους = παραηρήσεων σο και = παραηρήσεων σο. 3. Υπολογίζουμε η εραγωνική ρίζα ου μέσου όρου ων διακυμάνσεων από όλα α μήμαα 37

N FFA ( ) = Fν ( ). () N ν = Για <Ν/ ο εκθέης Hurst υπολογίζεαι από ο νόμο δύναμης ( ) H FFA. (3) Όαν N N / α ελευαία N N δε χρησιμοποιούναι. Για αυό α βήμαα και επαναλαμβάνοναι με μήμαα που σχημαίζοναι από ο έλος προς ην αρχή ης χρονοσειράς. Για κάθε μήμα v= N,,N η αυξομείωση υπολογίζεαι πάλι από α άκρα ως ( ) / ν N ( ν N) N ( ν+ N) F ( ) = y y. Η έκφραση () για η μέση διακύμανση λαμβάνονας υπόψη α μήμαα από ην αρχή προς ο έλος αλλά και από ο έλος προς ην αρχή γίνεαι N FFA ( ) = Fν ( ). (4) N ν = Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και εφαρμόζεαι και για ην R/S ανάλυση. Γενικά αυή η μέθοδος δεν προσφέρει καλή εκίμηση ου εκθέη Hurst και χρησιμοποιείαι εδώ ως μια πρώη προσέγγιση που επεκάθηκε σην παρακάω μέθοδο. 3.4.4 Ανάλυση διακυμάνσεων με απαλοιφή άσης Η ανάλυση διακυμάνσεων ή αυξομειώσεων με απαλοιφή άσης (detreded fluctuatio aalysis, DFA) διαφέρει από ην FA σον υπολογισμό ης διακύμανσης (αυξομείωσης) σο βήμα. Ανί να υπολογισεί αυό από η διαφορά σα άκρα ου κάθε μήμαος, υπολογίζεαι από η διασπορά ων υπολοίπων από η προσαρμογή ης άσης σα δεδομένα ου κάθε μήμαος, η οποία γίνεαι με πολυώνυμο κάποιου βαθμού m. Η απαλοιφή ης μονόονης άσης σε κάθε μήμα βοηθά σην πιο ακριβή εκίμηση ης διακύμανσης σε κάθε μήμα και κα επέκαση σην πιο ακριβή εκίμηση ου εκθέη Hurst. Αναλυικά η εκίμηση ου εκθέη Hurst με η μέθοδο DFA γίνεαι σα παρακάω βήμαα:. Όπως και για η μέθοδο FA, χωρίζουμε η χρονοσειρά { y, y,, yn } σε μήμαα μήκους για αυξανόμενα από ην αρχή προς ο έλος ης χρονοσειράς και από ο έλος προς ην αρχή. Για κάποιο μήκος χρονικού παραθύρου έχουμε N = N / μήμαα, όπου [.] δηλώνει ο ακέραιο μέρος. [ ]. Σε κάθε μήμα v=,, N εκιμούμε ην άση βαθμού m με προσαρμογή m πολυωνύμου βαθμού m σα δεδομένα, y, ( j), για j=,, (δες Σχήμα 7 για πολυώνυμα μηδενικού και πρώου βαθμού). Το προφίλ απαλλαγμένο από ην άση είναι y m j = yj yν, ( j). 3. Η διακύμανση (αυξομείωση) σε κάθε μήμα ν δίνεαι ως Fν ( ) = yj. ν j= / 38

3 3-3 4 6 7-3 4 6 7 (γ) 8 (δ) 6 4 - - -4-6 - 3 4 6 7-8 3 4 6 7 Σχήμα 8 Διάγραμμα που δείχνει ην προσαρμογή πολυωνυμικής άσης βαθμού και σε μήμαα ης χρονοσειράς μήκους =. Προσαρμογή πολυωνύμου μηδενικού βαθμού (μέση ιμή). Προσαρμογή πολυωνύμου πρώου βαθμού. (γ) Υπόλοιπα από ην προσαρμογή σο. (δ) Υπόλοιπα από ην προσαρμογή σο. 4. Υπολογίζουμε η εραγωνική ρίζα ου μέσου όρου ων διακυμάνσεων από όλα α μήμαα N FDFA m( ) = Fν ( ). () N ν = Η μέθοδος DFA είναι πιο ακριβής από η μέθοδο FA και μπορεί να ανιμεωπίσει διαφορεικές άσεις ση χρονοσειρά επιλέγονας ανίσοιχα διαφορεικό βαθμό πολυωνύμου. Για βαθμούς m> α πολυώνυμα που προσαρμόζοναι σε κάθε μήμα ης χρονοσειράς θα πρέπει να είναι μονόονα γιαί η ιδέα ης μεθόδου DFA είναι η απαλοιφή ης μονόονης άσης και όχι η βέλιση προσαρμογή σε κάθε μήμα. Η μέθοδος DFA για κάποιο βαθμό πολυωνύμου m συνήθως συμβολίζεαι ως DFAm (π.χ. DFA για γραμμική προσαρμογή άσης). Η εκίμηση ου εκθέη Hurst με DFA (μηδενικό βαθμό πολυωνύμου) είναι πρακικά κονά σην εκίμηση με η μέθοδο FA και ο νόμος κλίμακας δε διαηρείαι για μεγάλα. Σο Σχήμα 9 παρουσιάζεαι η εκίμηση ου εκθέη Hurst με DFA και DFA για χρονοσειρά Γκαουσιανού υχαίου περιπάου και βημάων. Οι εκιμήσεις ου εκθέη Hurst για N= είναι για ο DFA H=.33 με MSE= MSE=. και ο DFA H=. με MSE=.73, δηλαδή περίπου ίδιες εκιμήσεις αλλά με καλύερη προσαρμογή για ο DFA, όπου όμως δε συμπεριλήφθηκαν μεγάλα σην προσαρμογή για α οποία ο νόμος κλίμακας δε διαηρείαι. Τα αποελέσμαα για N= είναι όμοια, για DFA είναι H=.36 με MSE=.3 και για DFA είναι H=. με MSE=.4. Παραηρούμε όι για μεγαλύερο μήκος χρονοσειράς η εκίμηση γίνεαι πιο ακριβής με DFA είε μηδενικού ή πρώου βαθμού. Γενικά η εκίμηση ου εκθέη Hurst με DFA είναι πιο / 39

ακριβής από ην εκίμηση με ην R/S ανάλυση, η μέθοδο ης αυξανόμενης διασποράς καθώς και από ο φάσμα ισχύος. Αυό φαίνεαι συγκρίνονας ις εκιμήσεις με ις διάφορες μεθόδους για ο παράδειγμα ου υχαίου περιπάου. (F DFA ()) - - (F DFA ()) - -4-6 -3-8 -4 3 4 6 7 8 9 () - 4 6 8 4 () (γ) (δ). (F DFA ()) -. - -. (F DFA ()) - - -3 - -4 -. 3 4 6 7 8 9 () - 4 6 8 4 () Σχήμα 9 Εκίμηση ου εκθέη Hurst από ο γράφημα ου λογαρίθμου ης συνάρησης DFA από χρονοσειρά με εκθέη Hurst H=. μήκους N= σο και N= σο. Το ίδιο για DFA σο (γ) και (δ). Παράδειγμα: Εκίμηση ου εκθέη Hurst για η χρονοσειρά S&P Κλείνουμε ο κεφάλαιο αυό για ου ύπους σοχασικών διαδικασιών και ις συσχείσεις μακράς κλίμακας εξεάζονας ην ύπαρξη μακρών συσχείσεων σον ημερήσιο δείκη S&P (ιμή κλεισίμαος) ην περίοδο //98 3/3/8. Η χρονοσειρά ου δείκη S&P είναι { y, y,, y N } και Ν=644. Σο Σχήμα 3 δίνοναι α γραφήμαα ης λογαριθμικής συνάρησης αυοσυσχέισης, φάσμαος ισχύος, αυξανόμενης διασποράς, R/S, DFA και DFA, καθώς και η προσαρμογή ης ευθείας που δίνει ως κλίση ον εκθέη μακράς συσχέισης. Η αυοσυσχέιση υπολογίσηκε για ις πρώες διαφορές ου δείκη SP και η κλίση είναι -η και ο εκθέης Hurst υπολογίσηκε από η σχέση η=η-. Το φάσμα ισχύος υπολογίσηκε ση χρονοσειρά ου δείκη, η κλίση είναι -η και ο εκθέης Hurst υπολογίσηκε από η σχέση η=η+. Παραηρούμε όι οι δύο αυές εκιμήσεις είναι πολύ διαφορεικές: η πρώη εκιμά ισχυρές μακρές συσχείσεις (H.7) ενώ η άλλη εκιμά ανισυσχείσεις (H.38). Οι διαφορές για ις εκιμήσεις ου εκθέη Hurst με ις άλλες μεθόδους είναι μικρόερες. Οι εκιμήσεις ης R/S ανάλυσης και DFA είναι πολύ κονά σο. (ο DFA εκιμά ακριβώς.!) και συνισούν πως οι αυξομειώσεις σο δείκη SP ακολουθούν ο μονέλο ου υχαίου περιπάου, μη Γκαουσιανού όπως έδειξε η ανάλυση σο προηγούμενο κεφάλαιο. 4

SP autocorrelatio H=.699 3 SP power spectrum H=.38-3 () - - (S(f)) - - 4 6 8 () - -4 - - -8-6 -4 - (f) 8 SP icreasig variace H=.46 7 SP R/S aalysis H=.7 6 6 (s ()) 4 8 (F RS ()) 4 3 6 4 4 6 8 4 () 4 6 8 4 () 8 SP FA H=.438 8 SP DFA H=. 6 7 (F DFA ()) 4 (F DFA ()) 6 4-3 -4 4 6 8 4 () 4 6 8 4 () Σχήμα 3 Εκίμηση ου εκθέη Hurst για η χρονοσειρά ου δείκη SP με ις διαφορεικές μεθόδους όπως δίνεαι σον ίλο ου κάθε διαγράμμαος, όπου δίνεαι και η ιμή ης εκίμησης ου H. 4