Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πολυχρόνη Μωυσιάδη Κθηγητή ΑΠΘ Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ γι πρωτοετείς φοιτητές Δσολογίς Θεσσλονίκη Ιστοσελίδ http://users.auth.gr/~cmoi/advmathsdas_gr.htm

Συνρτήσεις Ανσκόπηση - Έννοιες Ορισμοί Ορισμός: f : A B, όπου B' y= f ( ), με ÎA Βσικές Έννοιες. Ν είνι κλά ορισμένη. Γι πράδειγμ η συνάρτηση ) y :,4, y= + :,4 ορίζει ευθύγρμμο τμήμ = + [ ] [ ] ή [ ] (ριστερό σχήμ ), ενώ η β ) y= + : ή y = + ορίζει την ευθεί (δεξιό σχήμ ) 5 5 5 5-5 4 - - 4 5 Γενικά ν δεν δίνετι το πεδίο τιμών ως τέτοιο λμβάνετι το σύνολο εικόνων f(a), ενώ ν δεν δίνετι το πεδίο ορισμού ως τέτοιο λμβάνετι το μεγλύτερο υποσύνολο των πργμτικών ριθμών όπου μπορεί ν οριστεί η συνάρτηση (π.χ. ν μην πειρίζετι, ν μην γίνετι ρνητικό κάποιο υπόριζο ή όρισμ λογρίθμου, κλπ.).. Ισότητ, επέκτση περιορισμός Έστω δύο συνρτήσεις γι τις οποίες f ( ): AG, g( ): BD κι f ( ) = g( ) γι κάθε ÎAÇB Αν Α=Β f() κι g() είνι ίσες. Συμβολίζουμε f=g Αν ΑB η f() λέγετι περιορισμός της g() στο Α, ενώ η g() λέγετι επέκτση της f() στο Β. ìï ημ ημ, ¹ π.χ. ν f( ) =, Î * = -{} κι g ( ) = ï í ïï ïî, = τότε η g() είνι επέκτση της f() στο. -5 Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

. Άθροισμ - Διφορά - Γινόμενο Πηλίκο Αν οι συνρτήσεις f, f έχουν κοινό πεδίο ορισμού Α, ορίζετι: ( ) ( ) ( ) f + f : f + f ( ) = f ( ) + f ( ), Î A f - f : f - f ( ) = f ( ) - f ( ), Î A f f : f f ( ) = f( ) f( ), Î A f f f( ) : ( ) =, Î A = { : Î A, f( ) ¹ } f f f ( ) 4. Άρτι, Περιττή Συνάρτηση Η συνάρτηση f ( ) είνι άρτι ν f (- ) = f ( ), " Î A (Συμμετρική ως προς άξον Οy) κι περιττή ν f (- ) =- f ( ), " Î A (Συμμετρική ως προς την ρχή των ξόνων). Οι περισσότερες συνρτήσεις δεν είνι ούτε άρτιες, ούτε περιττές. 5. Μονοτονί Η συνάρτηση f ( ) είνι ύξουσ < f( ) f( ), ", Î A φθίνουσ < f( ) ³ f( ), ", Î A γνησίως ύξουσ < f( ) < f( ), ", Î A γνησίως φθίνουσ < f( ) > f( ), ", Î A Μέθοδος: Γι την εξέτση της μονοτονίς θεωρούμε δύο τιμές < κι εξετάζουμε τη διφορά f( ) - f( ) > ή το πηλίκο f( )/ f( ) > ότν οι τιμές της συνάρτησης είνι θετικές. 6. Φργμένες Συνρτήσεις H συνάρτηση f() είνι: φργμένη $ m, M : m f ( ) M, " Î A φργμένη άνω $ M : f ( ) M, " Î A φργμένη κάτω $ m: f ( ) ³ m, " Î A μη-φργμένη " mm,, $, Î A: f( ) mκι f( ) ³M Ο M λέγετι άνω φράγμ, ο m κάτω φράγμ Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Μέθοδος: Γι την εξέτση του εάν μί συνάρτηση είνι φργμένη ή όχι θεωρούμε νισοτικές σχέσεις, ή χωρίζουμε τη συνάρτηση σε μονότον τμήμτ. 7. Περιοδικότητ H συνάρτηση f() είνι περιοδική, ν υπάρχει πργμτικός ριθμός Τ, τέτοιος ώστε: ότν Î A ν είνι κι + T Î A, κι ν ισχύει f ( + T) = f ( ). Ο μικρότερος ριθμός Τ λέγετι περίοδος. Πρδείγμτ περιοδικών συνρτήσεων είνι οι τριγωνομετρικές y=εφ, κι γενικά οι ημιτονοειδείς συνρτήσεις, η y=-[] κ.ά. y=ημ, y=συν, 8. Σύνθεση συνρτήσεων Οι συνρτήσεις f: AB, f: BG ορίζουν μί συνάρτηση f : AG, όπου f ( ) = ( f f)( ) = f( f( )). Αν f, f πργμτικές πργμτικής μετβλητής, με f: A, f: B τότε η σύνθεση ορίζετι στο υποσύνολο Α του Α, όπου: A = { : ÎA, f ( ) Î B}. Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Πράδειγμ: Θεωρούμε τις συνρτήσεις f ( ) = e κι g( ) = l Διπιστώνετι εύκολ ότι: f :, ενώ g :(, ), δηλ. A=, B= (, ) Τότε: g f : A, όπου A = με g f( ) = g( f( )) = l( e ) =, Î ενώ f g: B, όπου B = (, ) με l f g( ) = f( g( )) = e =, Î (, ) δηλδή η g f είνι η τυτοτική σε όλο το, ενώ η f g είνι η τυτοτική στο (, ). 9. Αντιστροφή συνρτήσεων Πρέπει η συνάρτηση ν είνι - κι επί. (Γι ν το ελέγξουμε θεωρούμε f ( ) = f( ) κι προσπθούμε πό υτό ν συμπεράνουμε = ) - Αν f : A B τότε ορίζετι η ντίστροφη f : B A έτσι ώστε - ν y= f ( ) τότε ν ισχύει = f ( y). Οι γρφικές πρστάσεις είνι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο των ξόνων (ριστερά στο σχήμ) - Πράδειγμ. Αν f( ) = -,, τότε f ( ) = -,. Πρτηρήστε στο σχήμ δεξιά ότι οι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο κμπύλες τέμνοντι æ 5 5 ö σε σημεί που δεν βρίσκοντι όλ στην διχοτόμο. Είνι τ (,), (,) κι - -, ç çè ø. Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.4

. Όριο ( ) lim f( ) = λ ότν " ε >, $ > : " Î A, με > f ( ) - λ < ε Π.χ. η συνάρτηση.8.6.4..8.6 -/ y e ημ = + του πρκάτω σχήμτος έχει lim f( ) = / y e.4 4 lim f( ) =+ ότν "M >, $ > : " Î A, με > f( ) > M y l 4 6 8 - - - Π.χ. η συνάρτηση y = l του πρκάτω σχήμτος έχει lim f( ) =+ lim f( ) =- ότν "M >, $ > : " Î A, με > f( ) <-M 5- Π.χ. η συνάρτηση y = του πρκάτω σχήμτος έχει lim f( ) =- - 4 6 8-4 -6 5 y -8 Ανάλογ ισχύουν κι ότν - Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.5

Όριο ( ) lim f( ) = λ ότν " ε>, $ δ> : " Î A, με < - < δ f( ) - λ < ε lim f( ) =+ ότν " M >, $ δ > : " Î A, με < - < δ f( ) > M lim f( ) =- ότν " M >, $ δ > : " Î A, με < - < δ f( ) <- M Στο πρκάτω σχήμ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης ìï e /, <.5 + εφ, < < π / f( ) = ï í -, π /< < 5 5- ï ïî log( - 5), > 5 4 Πρτηρούμε ότι lim f( ) =.5 (πρόλο που πό τις δύο πλευρές του = έχουμε διφορετικές εκφράσεις. Επίσης ότι lim f( ) =-, ενώ δεν υπάρχει το 5 lim f ( ) π /. Πλευρικά Όρι + ή - lim f( ) = λ ότν " ε>, $ δ> : " Î A, με < < + δ f ( ) - λ < ε + lim f( ) = λ ότν " ε>, $ δ> : " Î A, με - δ < < f( ) - λ < ε - lim f( ) =+ ότν " M >, $ δ > : " Î A, με < < + δ f( ) > M + lim f( ) =+ ότν " M >, $ δ > : " ÎA, με - δ < < f( ) > M - lim f( ) =- ότν " M >, $ δ > : " Î A, με < < + δ f( ) <- M + lim f( ) =- ότν " M >, $ δ > : " ÎA, με - δ < < f( ) <- M - - - 4 5 6 - -4-6 -8 π - Πρτηρούμε (στο σχήμ) ότι lim f( ) = =.56, ενώ + π π 5 - lim f( ) =+ - π Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.6

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν lim f ( ) = lim f( ) τότε υπάρχει το lim f ( ) + - + - lim f ( ) = lim f( ) = lim f( ) κι μάλιστ. Συνέχει σε σημείο Η συνάρτηση f : A B είνι συνεχής στο σημείο Î A, ν υπάρχει το όριο lim f ( ) κι ισχύει lim f ( ) = f( ). Η συνάρτηση f : A B είνι συνεχής πό δεξιά στο σημείο Î A, ν υπάρχει το όριο lim f ( ) κι ισχύει lim f ( ) = f( ). + + Η συνάρτηση f : A B είνι συνεχής πό ριστερά στο σημείο όριο lim f ( ) κι ισχύει lim f ( ) = f( ). - - Î A, ν υπάρχει το ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η συνάρτηση f : A B είνι συνεχής στο σημείο δεξιά κι πό ριστερά τότε είνι συνεχής στο σημείο υτό, δηλ. Αν lim f ( ) = f( ) κι lim f ( ) = f( ) τότε lim f ( ) = f( ) + - Î A, κι πό. Ασυνέχειες Η συνάρτηση f : A B δεν είνι συνεχής στο σημείο Î A ότν: Τ δύο πλευρικά όρι υπάρχουν, είνι ίσ, λλά διφέρουν πό το f ( ) Στην περίπτωση υτή η συνέχει ίρετι με λλγή της τιμής f ( ). Τ δύο πλευρικά όρι υπάρχουν λλά διφέρουν μετξύ τους Στην περίπτωση υτή ν η τιμή f ( ) είνι το ημιάθροισμ των πλευρικών ορίων, το σημείο λέγετι κνονικό σημείο συνέχεις Έν τουλάχιστον πό τ πλευρικά όρι στο δεν ορίζετι ή είνι άπειρο (σημεί άπειρης συνέχεις 4. Γνωστά Όρι ì, ν a = a ) lim = ï í+, ν a > ï ïî, ν a < β) ημ lim = γ) ì a / βm, ν m= - a + a - +... + a lim = ï, ν m m m- í > βm + βm - +... + β ï ïî, ν m < δ) æ ö lim ç + = e çè ø æ aö ε) lim ç + = e çè ø a Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.7

Γνωστές συνρτήσεις. H γρμμική συνάρτηση (ευθεί) ( ) y= f = + β. H δευτεροβάθμι συνάρτηση (πρβολή) = = + + y f( ) β γ Τ σημεί τομής της κμπύλης με τον άξον των (ν υπάρχουν), είνι οι λύσεις της δευτεροβάθμις εξίσωσης + β + γ =.. H ομογρφική συνάρτηση (υπερβολή) ( ) + β y= f =, γ + δ ¹ γ + δ Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.8

4. Οι τριγωνομετρικές (κυκλικές) συνρτήσεις.5.5 5 7 4 -.5 -.5 - y = ημ y = συν - 7.5 5.5 7.5 5.5 -.5-5 -7.5 - y = εφ y = σφ -.5-5 -7.5-5. H ρητή συνάρτηση + + + y= Q( ) =, ¹, βm ¹ m β + β + + β m - - m- m- π.χ. y = + - - + 5-4 6 8-5 - 6 4 y = 5 + - - + -4-4 - -4 Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.9

7.5 y = + - - + 5.5 κι ιδιιτέρως στ δύο άκρ - -8-6 -4 -.95.9.85.8.75.7.65.6.5..5..5..5-4 - 4 -.5-5 -7.5 4 6 8 6. H εκθετική συνάρτηση με βάση,, > y= f( ) = 8 y 6 y e y 4 y - - Πρτηρούμε ότι γι κάθε περνά πό το σημείο (,), ότι γι > είνι ύξουσ, ενώ γι << φθίνουσ. Γι > ισχύει lim a =+ κι lim a = κι νάλογ ότν <<. - Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

4 7. H λογριθμική συνάρτηση με βάση,, > y= f( ) = log a y l( ) - y log ( ).5.5.5 - - -4 y log ( ) y log ( ) / Πρτηρούμε ότι γι κάθε περνά πό το σημείο (,), ότι γι > είνι ύξουσ, ενώ γι << φθίνουσ. Γι > ισχύει lim log a =+ κι lim log =-, ενώ a + γι << ισχύει lim log a =- κι lim log =+. a Ιδιότητες Λογρίθμων Οι συνρτήσεις l κι + e είνι ντίστροφες άρ: l e = (πρέπει >), l( e ) =. Οι συνρτήσεις log a κι log ( ) =. Αλλγή βάσης Λογρίθμων a είνι ντίστροφες άρ: log β log =, " β>, β¹ log a l κι ειδικά γι το e log = l a Ισχύουν επίσης log a( y) = log a + loga y loga loga loga y y = - log = log a a β log = (πρέπει >), Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

8. Κωνικές τομές Κύκλος με κτίν r κι κέντρο Ο(,) με κτίν r κι κέντρο Κ(,β) + y = r ( ) ( ) - + y - β = r Γενικά η εξίσωση: y + +A +B +G= με A +B - G> είνι κύκλος (Κ,r), με 4 K æ ö ç çè A B A +B - 4 G -, - κι r = ø Πρβολή y p p y p > p < Γι p<, συμμετρικά ως προς Oy Γι p>, συμμετρικά ως προς O Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Έλλειψη y Πρμετρικές εξισώσεις, [, ) y ME ME = μεγάλος άξονς β = μικρός άξονς γ = εστική πόστση Εκκεντρότητ ε, <ε< ε, β Κύκλος ε, β Ευθεί Εφπτομένη στο (, y ) y y Υπερβολή + y Ασύμπτωτες y, y ME ME = πόστση κορυφών γ = εστική πόστση Εκκεντρότητ ε, ε> ε= β = ισοσκελής ε, β κλειστή Εφπτομένη στο (, y ) y y Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Στοιχειώδεις Υπερβτικές Συνρτήσεις Αντίστροφες Κυκλικές Συνρτήσεις τοξημ ή ημ - y :,, y:,, τοξημ y= ημ-τοξημ ημ ημ y :,, y :,, τοξσυν Πρωτεύων κλάδος του τοξημ τοξσυν ή συν - Πρωτεύων κλάδος του τοξσυν y= συν συν Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.4

y :, y :, τοξεφ κι τοξσφ y :, y :, ημ κι τοξημ είνι ντίστροφες Ανάλογ κι γι τις άλλες τριγ. συνρτ. Λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση έτσι ώστε θ [-π/, π/]) πράδειγμ k k Ιδιότητες Τόξων Αν γνωστό ( [-, ]) Ειδικά: k k k ή k k k (k ) (k ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.5

Όμοι: ενώ k k k k k k Επίσης: ενώ Ασκήσεις - Βρέστε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων y = τοξημ y= - + l + y = τοξεφ + (Απντ. <- 4 ή > /, <, Î R ) ( ) k k k Ισχύουν: Υπολογίστε τις εκφράσεις æ 5π ö τοξημ ç συν çè ø, ì ημï ü íτοξημ + τοξσυν ï ý ïî ïþ, æ ö ημ ç τοξσυν çè 9 ø 84 (Απ. π /6, ( + )/ 9 =.9495,.9988 9 = ) Γι το τοξσφ, έχουμε: που δίνει τοξσφ( σφ) = τοξεφ( εφ) Ακόμη: - Λύστε τις εξισώσεις =, = ) æ ö ημ ç τοξεφ =, çè ø 5π τοξημ + τοξσυν = (Απ. 6 Πρστήστε γρφικά τις συνρτήσεις y τοξημ( ) π = + - y = τοξεφ - π Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.6

Υπερβολικές Συνρτήσεις υπερβολικό ημίτονο υπερβολικό συνημίτονο υπερβολική εφπτομένη e e - y= sih = - : e e - y= cosh = + : sih y= tah = : cosh cosh y= coth = : - sih υπερβολική συνεφπτομένη {} Ιδιότητες, όπου οφείλετι η ονομσί cosh sih sih sih cosh cosh cosh sih cosh sih cos si si si cos cos cos si cos si υπερβολικοί τριγωνομετρικοί ριθμοί τριγωνομετρικοί ριθμοί Αντίστροφες Υπερβολικές Συνρτήσεις ( + + ) ( + -) - y arcsih sih l : = = = Î - y arccosh co l : = = sh = ³ + l < - - + y= arccoth = coth = l : > - - y= arctah = tah = :- < Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.7

Υπερβολικό ημίτονο - Υπερβολικό συνημίτονο sih cosh sih - cosh - Υπερβολική εφπτομένη - Υπερβολική συνεφπτομένη tah - tah coth - coth Ασκήσεις Βρέστε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων y= cosh +, y + cosh sih - =, y = arctah + ( - ) (Απάντ. >- / ¹ l( 5 - ) = -.4464 >- ) Υπολογίστε τις εκφράσεις cosh( - l ), arccos h- arcsi h, e - -coth ( 5/ 7) (Απ. 4/9,, /4) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.8

Δείξτε ότι: tah sih( + y) = sih cosh y+ cosh sih y tah = + tah Πρστήστε γρφικά τις συνρτήσεις - y tah y=- cosh + = - ( - ) ( ) Πεπλεγμένες συνρτήσεις Έστω συνάρτηση δύο μετβλητών F(,y), κι έστω ότι ισχύει F(,y)= γι (,y) στο D. Αν το είνι δοσμένο κι ίσο με τότε πό τη σχέση F(,y)=, προκύπτει θεωρητικά μι λύση y=y Θεωρούμε υτό το y ως εικόν του. Επνλμβάνουμε υτή τη διδικσί γι γειτονικά σημεί του φροντίζοντς ν επιλέγουμε λύσεις (εάν υπάρχουν περισσότερες πό μί) που ν βρίσκοντι γειτονικά στην y. Αν υτή η διδικσί γίνει γι όλ τ σημεί ενός συνόλου Α ορίζετι μί συνάρτηση y= f ( ) με πεδίο ορισμού το Α, η οποί λέγετι πεπλεγμένη συνάρτηση ή ότι ορίζετι πεπλεγμέν μέσω της σχέσης F(,y)=. Η πεπλεγμένη συνάρτηση δεν είνι κτ νάγκην μονδική. Συνήθως έχει διφορετικούς κλάδους. Πράδειγμ y Η εξίσωση + = ορίζει πεπλεγμέν μι έλλειψη. Μάλιστ, η έλλειψη υτή β ορίζετι με δύο κλάδους, ο ένς που ορίζει την άνω ημι-έλλειψη (συνάρτηση y = β - με πεδίου ορισμού [-,]) ενώ ο άλλος ορίζει την κάτω ημι-έλλειψη (συνάρτηση y =-β - με πεδίου ορισμού [-,]). / / / Όμοι η εξίσωση + y = ορίζει πεπλεγμέν το στεροειδές. Πρμετρικές εξισώσεις Έστω δύο συνρτήσεις = gt (): I A, y= h(): t I B με πεδίο ορισμού Ι. Υποθέτουμε ότι η g() t είνι ντιστρέψιμη, π.χ. ότι είνι μονότονη. Ορίζετι τότε μί συνάρτηση y= f ( ): A B η οποί λέμε ότι ορίζετι πρμετρικά μέσω των g κι h η οποί είνι πλά η σύνθεση των h κι g - δηλδή: f = h g - -, ή ότι f ( ) = h( g ( )) γι κάθε Î A. Η «συνάρτηση» f : A B ενδέχετι ν μην ικνοποιεί βσικές ιδιότητες. π.χ. Γι το ίδιο ν υπάρχουν διφορετικά y μέσ πό διφορετικά t. Στη Φυσική το t συνήθως πριστάνει χρόνο, ενώ τ =(t), y=y(t) τη μετβολή π.χ. της θέσης ενός κινητού στους άξονες κι y. Η οριζόμενη συνάρτηση y=f() πριστάνει την τροχιά του κινητού. Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.9

y Πρμετρική εξίσωση έλλειψης, y y y 4 +y= Φύλλο Κρτεσίου t t, t t y t στεροειδές t, t, y t / / / y κισσοειδές t t, t t y t κυκλοειδές tt yt, t 5 t, t, y t Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Πολικές Συντετγμένες Κάθε σημείο Μ του επιπέδου μπορεί ν πρστθεί όπως γνωρίζουμε με τ (,y) που είνι οι προβολές του σημείου y στους δύο άξονες. Τ (,y) ονομάζοντι κρτεσινές συντετγμένες (=τετμημένη, y=τετγμένη). Στο σχήμ r βλέπουμε ότι υπάρχουν κι δύο άλλ στοιχεί το r κι το θ που είνι η «πολική» κτίν κι το όρισμ του σημείου Μ. Τ (r,θ) ορίζουν εξίσου κλά το Μ όπως κι τ (,y) θ κι λέγοντι πολικές συντετγμένες, η ρχή των O συντετγμένων λέγετι πόλος κι ο άξονς των λέγετι Πόλος πολικός άξονς. Η γωνί θ είνι προσντολισμένη με θετικά φορά υτήν που είνι ντίθετη της φοράς των δεικτών του ωρολογίου. = rσυνθ ì τοξεφ y, ν θ ï > y= rημθ = í ï ïî π+ τοξεφ( y ), ν < Είνι εύκολο ν ποδειχθούν οι σχέσεις Από τις σχέσεις υτές προκύπτει ότι ν είνι γνωστές οι πολικές συν/νες είνι γνωστές κι οι κρτεσινές κι ντίστροφ. Πράδειγμ. r=, θ [,π), είνι ο κύκλος Κ(,) r=συνθ, θ [,π), είνι ο κύκλος Κ((,), ) Αν γνωρίζουμε την r=r(θ) (συνάρτηση σε πολικές συν/νες) τότε ντικθιστώντς στην () πίρνουμε πρμετρική μορφή της συνάρτησης, με πράμετρο το θ. Πρδείγμτ r= + y ( ) M(,y) M(r,θ) Πολικός άξονς κρδιοειδές Λημνίσκος Beroullli - -, r y y r, Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

τετράφυλλο r, Σπείρ Αρχιμήδη Λογριθμική Σπείρ r, r e, Ασκήσεις Δείξτε ότι η (Απ. ( y )( y ) 4 y + y- = ορίζει πεπλεγμέν δύο πρβολές. Κάντε γρφ. πράστση - + = ) Θέτοντς =t/, ή =συνθ στην μορφές (Απάντ. t y t = /, = 4-, + = προκύπτουν δύο διφορετικές πρμετρικές 4 y 4 συνθ, y 4ημ θ = = ) / / / / Βρέστε πρμετρική μορφή γι την ( ) / (Απ. = = ) συν θ, y βημ θ y + β = β Εκφράστε με πολικές συν/νες την ( ) + y = - y (Απ. r = συν θ ) Δείξτε ότι οι = cosh t, y= β sih t, tî είνι πρμετρικές εξισώσεις υπερβολής. Ποιο σημείο της ντιστοιχεί στο t = l. y 5 4β (Απ. + =, = cosh(l ) =, y = β sih(l ) = ) β Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Η έννοι του ορίου - Ακολουθίες Πράδειγμ : Πράδοξο Ζήνωνος Έστω ο Αχιλλές τρέχει με στθερή τχύτητ -πλάσι της τχύτητς της χελώνς. Έστω κόμη ότι η χελών έχει προβάδισμ s =, ότν ξεκινούν τυτόχρον. Τότε κτά το διάστημ που ο Αχιλλές θ χρειστεί ν φθάσει στην ρχική θέση της χελώνς, υτή θ έχει προχωρήσει κτά s =. Όσο ν κάνει την πόστση υτή ο Αχιλλές η χελών θ έχει προχωρήσει κτά s =. Επομένως συνεχίζοντς έτσι ο Αχιλλές θ υπολείπετι της χελώνς στο -στο βήμ υτής της διδικσίς κτά s = -. Οι τιμές s, s, s,., s, συνιστούν μί κολουθί. Το πράδοξο που διτύπωσε ο Ζήνων οδηγεί στο συμπέρσμ ότι δεν υπάρχει κίνηση κι οφείλετε στην δικριτοποίηση του συνεχούς χρόνου. Από το σχήμ που πριστάνει τις δύο ευθείες της κίνησης του Αχιλλέ κι της χελώνς οι οποίες τέμνοντι στο σημείο της συνάντησης. Αθροίζοντς τις τιμές s, s, s,., s, προκύπτει s+ s+ s+ s4= + + +.+ = ( +.+. +. + ) = = =. -. 9 όπου χρησιμοποιήσμε το γνωστό πό το λύκειο άθροισμ πείρων όρων μι φθίνουσς γεωμετρικής προόδου. Το. είνι η τετγμένη του σημείου τομής των δύο ευθειών στο σχήμ. Πράδειγμ : Τεμχισμός τετργώνου. Στο τετράγωνο πλευράς διχοτομούμε την οριζόντι πλευρά του. Αριστερά το εμβδόν είνι Ε =/. Δεξιά διχοτομούμε την κάθετη πλευρά. Το κάτω εμβδό είνι Ε =/4. Επάνω διχοτομούμε την οριζόντι πλευρά του. Αριστερά το εμβδόν είνι Ε =/8. Η διδικσί συνεχίζετι μέχρι το άπειρο, δημιουργώντς μί κολουθί εμβδών που συνολικά θ έχουν άθροισμ τη μονάδ ενώ όσο ο δείκτης μεγλώνει το E θ πλησιάζει το. Ε =/ Ε =/8 /8 /4 Ε 4 =/6 /4 /4 / Ε =/4 Πράδειγμ : Νιφάδ χιονιού Ξεκινάμε σχεδιάζοντς έν ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς, που ως γνωστόν έχει εμβδόν S =, ενώ το 4 περίγρμμά του έχει μήκος l = a. Τριχοτομούμε κάθε μί πό τις τρεις πλευρές του κι στο μεσίο τμήμ σχημτίζουμε προς τ έξω ισόπλευρ τμήμτ. Είνι εύκολο ν διπιστωθεί ότι κθέν πό υτά έχει εμβδό ίσο με το /9 του ρχικού κι επομένως το συνολικό σχήμ που δημιουργήθηκε έχει εμβδόν S = S + S κι περίγρμμ 9 a μήκους l = a+. Τριχοτομούμε κάθε μί πό τις / / S =S= 4 πλευρές του σχήμτος κι στο μεσίο τμήμ τους σχημτίζουμε προς τ έξω ισόπλευρ τμήμτ. Είνι εύκολο ν διπιστωθεί ότι κθέν πό υτά έχει εμβδό ίσο με το (/9) του ρχικού κι Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

επομένως το συνολικό σχήμ που δημιουργήθηκε έχει εμβδόν S = S + S+ S κι 9 8 a a περίγρμμ μήκους l = a+ +. Συνεχίζοντς με υτό τον τρόπο δημιουργούμε μι 9 κολουθί εμβδών S, S,, S, κι μι κολουθί περιγρμμάτων. æ 4 æ4ö æ4ö æ4ö ö Με λίγη άλγεβρ βρίσκουμε S = S+... S 4 ç + + + + 9 ç 9 ç9 ç 9 çè è ø è ø è ø ø κι συνεχίζοντς μέχρι το άπειρο, βρίσκουμε χρησιμοποιώντς τη φθίνουσ γεωμετρική πρόοδο 8 που εμφνίζετι στην πρένθεση ότι το εμβδό του προκύπτοντος σχήμτος θ είνι.69 5 S = a. æ - 4 æ4ö æ4ö ö Από την άλλη πλευρά γι τ περιγράμμτ έχουμε l = 4... ç + + + + ç ç που σημίνει çè è ø è ø ø ότι το συνολικό μήκος είνι άπειρο (η ύξουσ γεωμετρική πρόοδος έχει άθροισμ όρων που τείνει στο άπειρο. Σημείωση. Με την πρπάνω διδικσί κτσκευάσμε μί «γρμμή» άπειρου μήκους που περικλείει πεπερσμένο εμβδόν. Ορισμός κολουθίς: Είνι μί διδοχή πργμτικών ριθμών που συμβολίζοντι,,,...,,... ή ( ) Î N Είνι με άλλ λόγι μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών ριθμών, δηλδή f : Όριο Ακολουθίς: Η κολουθί ( ) Î έχει όριο το, N δηλδή: lim = ότν " ε >, $ Î : " Î με > a - a < ε, Που σημίνει με πλά λόγι ότι μετά κάποιο δείκτη όλες οι τιμές της κολουθίς περικλείοντι μέσ σε μί όσο στενή ζώνη (σχήμ) θέλουμε γύρω πό το. π.χ. Μηδενική κολουθί, λέγετι υτή που έχει όριο το όπως η,,,,,...,,... δηλ 4 5 lim =. Μί κολουθί ποκλίνει προς το + ότν " M >, $ Î : " Î με > a > M. Ανάλογ κι γι το -. Î λέγετι ύξουσ ν ισχύει N + ³, " Î, ενώ υστηρά ύξουσ ν + >, " Î. Ανάλογ ορίζετι η φθίνουσ κι η υστηρά φθίνουσ κολουθί. Ο έλεγχος της μονοτονίς γίνετι με την εξέτση της διφοράς a+ - a που πρέπει ν είνι πάντ θετική (ή ρνητική). Αν οι όροι της κολουθίς είνι όλοι θετικοί γίνετι κι με την εξέτση του a πηλίκου + που πρέπει ν είνι πάντ μεγλύτερο (ή μικρότερο ) του. a Μονοτονί. Η κολουθί ( ) Φράγμτ. Η κολουθί ( ) Î λέγετι φργμένη άνω ν ισχύει $ M Î, ώ στε M, " Î N +ε -ε Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

. Λέγετι φργμένη κάτω ν ισχύει $ m Î, ώ στε ³ m, " Î. Αν είνι φργμένη κι άνω κι κάτω τότε λέγετι φργμένη κι τότε ισχύει $ mm, Î,ώ στε m M, " Î. Θεωρήμτ: Κάθε ύξουσ είνι φργμένη κάτω. Κάθε φθίνουσ είνι φργμένη άνω. Κάθε συγκλίνουσ είνι φργμένη. Κάθε μονότονη κι φργμένη είνι συγκλίνουσ. Ασκήσεις. Εξετάστε ως προς τη μονοτονί τις κολουθίες a. = (υπόδ. δείξτε πρώτ + - = + ( + )( + 4) > ή æ = ö ç - çè + ø ) b. = + - (υπόδ. πολ/ντς κι διιρώντς με συζυγή πράστ. = ) + +. Εξετάστε ν είνι φργμένες οι κολουθίες - a. = (λόγω της σχέσης - ( ) = + > + - = τότε < = < < - Β τρόπος: Δείξτε φθίνουσ ( / -<). Άρ < =/) b. = ( - ) (πολ/ζουμε κι διιρούμε με συζυγή πράστση δηλ. - - ( λ- )( λ + λ +... + ) ( λ -) ( λ- ) = < =, όπου λ = ) - - λ + λ +... + ( ) + c. = (Αν είνι φργμένη άνω υπάρχει Κ> ώστε <Κ, ή + < K - K+ < άτοπο, διότι έν -βάθμιο τριώνυμο με > είνι ρνητικό μόνο εντός των ριζών). Εξετάστε ως προς τη μονοτονί τις κολουθίες 5 ( -) a. =, b. =, c. ( ) = + -,! 46 ( ) + - d. = + -, e. + + =, ³, = + 4. Εξετάστε ν είνι φργμένη η κολουθί ìï k, ν = k- k + = ï í k + ï, ν = k ïî k - (Δείξτε < a < ) 5. Εξετάστε ν η + = +, ³, = είνι μονότονη κι φργμένη (δείξτε < a < ) Υπκολουθίες Στο πρκάτω σχήμ φίνετι πως σχημτίζετι μί υπκολουθί μις δοσμένης κολουθίς,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,. ( k ) =, 5, 9,, 5, 5, 4, 45,. k =, k =5, k =9, k 4 =,. Πρέπει (k ) ύξουσ Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Άσκηση Δίνετι η κολουθί ìï, ν = k k - -,,,,,,,,,..., a = ï í, ν = k+ 5 k + k ï, ν = k+ ïî k + Δείξτε ότι () η υπκολουθί ( k ) συγκλίνει στο. (β) η υπκολουθί ( k+ ) συγκλίνει στο. (γ) η υπκολουθί ( k+ ) συγκλίνει στο /. (Δεν υπάρχει υπκολουθί που συγκλίνει σε άλλο όριο) Προφνώς η κολουθί δεν συγκλίνει. Τλντεύετι. Σύγκριση κολουθιών Θ. Αν $ k Î : " >k, β, Τότε lim lim β Αν δεν γνωρίζουμε γι τη σύγκλιση της ( ): β κι lim β = β Τότε ( ) φργμένη άνω β κι lim β = β Τότε ( ) φργμένη κάτω β κι lim β = - Τότε lim = - β κι lim β = + Τότε lim = + Γνωστά όρι Πράδειγμ Επειδή β άρ κι Θ. (Ισοσυγκλίνουσες). Αν (β ) κι (γ ) συγκλίνουν στο ίδιο όριο ή ποκλίνουν τυτόχρον στο + ή στο -, κι ν: β γ τότε η ( ) συμπεριφέρετι όμοι. Πράδειγμ Άρ Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.4

Κριτήρι Σύγκλισης Cauchy: H ( ) συγκλίνει ν κι μόνον ν " ε>, $ κî : a - a < ε, " m, > k m Με το MAPLE βρήκμε k k 5.87 k 4.9 k 9 k k. 5 k k 5.6 Από υτό φίνετι ότι πίρνοντς κάθε φορά περισσότερους όρους το άθροισμά τους δεν στθεροποιείτι λλά υξάνετι (έστω κι ργά). Κριτήριο Stolz ( ) τυχί κι (β ) υστ. ύξ. Πράδειγμ. Η είνι μηδενική, διότι: Συνέπει του κριτηρίου Stolz Θ. Αν ( ) λ (ή + ή - ) τότε κι οι κολουθίες:. ριθμητικών μέσων, β. γεωμετρικών μέσων, γ. ρμονικών μέσων συγκλίνουν στο λ (ή + ή - ) ì ü Πράδειγμ. Είνι lim ï í + + +... + ï ý=, διότι οι όροι στις γκύλες είνι ï î ïþ ριθμητικοί μέσοι των όρων της =, που συγκλίνει, ως γνωστόν, στο. Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.5

Ακολουθίες κι Συνρτήσεις Έστω f(): A B κι ( ) κολουθί τιμών του Α που συγκλίνει στο Α. Σχημτίζουμε κι την ντίστοιχη κολουθί f( ) των τιμών της συνάρτησης. f() f( ) f( ) f( ) Θ. Αν f() συνεχής στο, τότε η f( ) f(), ότν κι ντίστροφ. Χρήσιμο: Αν f() συνεχής στο Α, κι συγκλίνει τότε κι f( ) συγκλίνει Αν f() συνάρτηση κι κι β, όπου Α κι f( ), f(β ) συγκλίνουν σε διφορετικά όρι τότε η f() δεν είνι συνεχής στο. Πράδειγμ. Αρνητική χρήση του προηγουμένου Έστω η συνάρτηση f( ) = ημ. Σχημτίζουμε δύο μηδενικές κολουθίες ( ) κι (β ) κι πρτηρούμε + ( 4 + ) π Γι την = ισχύει f ( ) = ημ =, ενώ 4 + π ( ) + Γι την β = ισχύει f ( β) = ημ( π) = Άρ δεν υπάρχει όριο $ π Στο επόμενο σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση της f() με λεπτομέρει κοντά στο. lim ημ. + f( ) f( ) Ανδρομικές Ακολουθίες Γενική μορφή +k =F(, +,..., +k- ),,,..., k γνωστά. () + =k +f(), γνωστό k τάξης Τηλεσκοπικό άθροισμ δικρίνουμε: k ή k= Πρδείγμτ: f()=λ κι = f()=/ κι = Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.6

ρίζες διπλή (4) + =κ + +λ,, γνωστά (γρμμική β τάξης) i. Αν ρ ρ τότε υπάρχουν πργμτικοί, β ώστε: Χρκτηριστική εξίσωση: =κ+λ, ρίζες ρ, ρ ii. Αν ρ = ρ =ρ τότε υπάρχουν πργμτικοί, β ώστε: Πράδειγμ Ποιος ο γενικός όρος της κολουθίς Fiboacci:,,,, 5, 8,,, 4,... Είνι: a+ = a+ + a, με a=, a = 5 5 Χρκτηριστική εξίσωση = + με ρίζες ρ - =, ρ + = Άρ - - - - 5-5 æ- 5ö 5+ 5 æ- 5ö Τ, β = ρ + β ρ = + ç ικνοποιούν το è ø çè ø Σειρές Ορισμός,,...,,... ( ) κολουθί (γεν. όρος ), +,..., + +...+,... ( + +...+ ) κολουθί (γεν. όρος + +...+ ) s, s,..., s,... (s ) κολουθί μερικών θροισμάτων Το όριο της κολουθίς υτής ν υπάρχει συμβολίζετι: κι λέγετι σειρά κολουθί (γεν. όρος s ) ή είνι ο γεν. όρος της σειράς Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.7

Πράδειγμ Ας υποθέσουμε ότι =ω, με =,,,. Ισχύει: s...... Αν είνι ω <, τότε ω Η σειρά που σχημτίστηκε λέγετι γεωμετρική σειρά Άρ υπάρχει το όριο της s κι είνι ίσο με: με ω < Η κολουθί (ω ) που ορίζει τη γεωμετρική σειρά είνι φθίνουσ γεωμετρική πρόοδος Αν ω> η σειρά ποκλίνει στο, ενώ ν ω - η σειρά ποκλίνει (τλντεύετι) Η ρχή της σειράς δεν επηρεάζει στην ύπρξη ορίου, λλάζει όμως την τιμή Ιδιότητες Θ. Αν η σειρά Σ συγκλίνει τότε η ( ) είνι μηδενική. (δηλδή lim =). Το ντίστροφο δεν ισχύει. ενώ Πράδειγμ. Έστω η σειρά s k k a Θ. Αν ( ) φθίνουσ, >, Σ συγκλίνουσ τότε: lim =. Το ντίστροφο δεν ισχύει. Πράδειγμ. Η ρμονική σειρά τάξης t, με <t, ποκλίνει t Πράγμτι, ν ήτν συγκλίνουσ θ έπρεπε ν ισχύει το θεώρημ, ενώ: lim lim lim t t Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.8

Θ. Αν ( ) φθίνουσ κολουθί μη ρνητικών ριθμών, τότε οι: συγκλίνουν ή ποκλίνουν τυτόχρον. κι Πράδειγμ. Η ρμονική σειρά τάξης t, με t >, συγκλίνει Πράγμτι: t ( ) t ( ) t t Η τελευτί συγκλίνει ως γεωμετρική με λόγο /( t- )< Θ. Αν ( ) φθίνουσ, >, κι ( ) μηδενική, τότε η ενλλάσσουσ σειρά Σ(-) είνι συγκλίνουσ. Πράδειγμ. Η ενλλάσσουσ ρμονική σειρά τάξης t, με t>, συγκλίνει t Απόλυτ Συγκλίνουσες Σειρές Αν Σ συγκλίνει Τότε λέμε: Η προσετιριστική ιδιότητ των πεπερσμένων θροισμάτων γενικεύετι μόνο γι πόλυτ συγκλίνουσες σειρές. Δηλδή ν μί σειρά δεν είνι πόλυτ συγκλίνουσ (όπως γι πράδειγμ η ενλλάσσουσ ρμονική) μπορούμε με λλγή της θέσης των όρων της ν πάρουμε διφορετικό άθροισμ. Κριτήρι σύγκλισης () Κριτήριο Σύγκρισης γι σύγκλιση lim Αν a, " ³ Τότε: Πράδειγμ: Η σειρά ποκλίνει () Κριτήριο Cauchy Αν lim Πράδειγμ: Η σειρά Πράδειγμ: Διότι, ν Η 5 Σ είνι πόλυτ συγκλίνουσ. ίνει ίνει ίνει ίνει, ί όχρον ή, ί όχρον ίνει ίνει ίνει ίνει ίνει ίνει ίνει ίνει κι η σειρά 5 5 ποκλίνει, ίνει πόλυτ τότε, δεν ίνει, ίνει πληροφορί lim συγκλίνει, διότι: lim lim ìï, a peritt ό V + ï a = í 4 4 6 6, a ά rtiov ïïïïî lim ma, συγκλίνει, διότι Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.9

() Κριτήριο D Alembert lim, A lim τότε Αν υπάρχει lim τότε, ίνει πόλυτ, δεν ίνει, ίνει πληροφορί ì ρ <, συγκλίνει πόλυτ ï í ρ >, δεν συγκλίνει ï ïî ρ =, δεν δίνει πληροφορί Πράδειγμ : συγκλίνει, φού Πράδειγμ: Γι τη σειρά 4 4 6 6 δεν βοηθά το κριτήριο Πράγμτι k k k k 4 k k Άρ =, Α= Ασκήσεις Ν μελετηθούν οι σειρές: + -. å (Πρτηρήστε ότι = + β = τότε β ). å (Δείξτε πρώτ < / = + ). å = l (Πρτηρήστε å = l l å ) = = 4. å Πρτηρήστε = l å = l l å 5. (-) ( + ) = = å (Δείξτε πρώτ = e + < ) e 6. 7. 8. - å æ ö ç = çè - ø (Πρτηρήστε < ) 9 ημ å (Δείξτε πρώτ < / = + ) l å (Ισχύει < ) e e = + 9. å (Ισχύει - - = æö. å ç çè4 (Ισχύει ø =. å æ ö ç çè + ø (Πρτ. = + ) ) 4, κι e ¹ ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Δυνμοσειρές Η σειρά λέγετι δυνμοσειρά Το κέντρο της δυνμοσειράς Θ. Υπάρχει ριθμός r Î- È { } } έτσι ώ το r λέγετι κτίν σύγκλισης της δυνμοσειράς το ( -r, +r) είνι το διάστημ σύγκλισης της δυνμοσειράς στ άκρ -r, +r εξετάζω ιδιιτέρως Θ. Αν υπάρχει lim, τότε r /, ή Πράδειγμ lim lim άρ συγκλίνει σίγουρ στο διάστημ Πράξεις δυνμοσειρών Θ. Έστω οι δυνμοσειρές å κι = å β κι με κτίνες σύγκλισης ντίστοιχ r, r κι έστω r=mi{r, r }. = Τότε οι δυνμοσειρές άθροισμ, διφορά, γινόμενο, πηλίκο έχουν όλες κτίν σύγκλισης r. å åβ = å ( β) = = = æ ö æ ö çè ø è ø æ ö æ ö : β = δ çè ø èç ø β = γ ç = = = άρ r=/ρ= å å å όπου γ = β + β β -+ + å å å όπου = δ β + δ β δ β -+ + = = = Γι =/ συγκλίνει διότι Γι = -/ lim συγκλίνει γι κάθε ( -r, +r) ποκλίνει έξω πό το διάστημ, ή συγκλίνει διότι είνι ενλλάσσουσ ρμονική με φθίνουσ μηδενική ρμονική τάξης Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Πράδειγμ Η γεωμετρική σειρά å = έχει κτίν σύγκλισης r=, δηλ. συγκλίνει γι < = - æ ö æ ö Επειδή = çå çå έπετι å ( + ) = è ( ) = ø è= ø - ( ) = - æ ö æ ö Όμοι ( ) - + + = + çå çå έπετι å ( + ) = è ( ) = ø è= ø - - ( ) = - æ ö æ ö Όμοι ( ) + - = - çå çå έπετι å = è ( ) = ø è= ø - - ( ) = - æ ö æ ö Όμοι ( ) ( + ) ( + ) + = çå çå έπετι è å = ( ) = ø è= ø - - ( ) = - Όλες οι πρπάνω δυνμοσειρές συγκλίνουν στο <. Ασκήσεις. Ν βρεθεί η κτίν σύγκλισης των δυνμοσειρών: l. å æ ö, β. + ìï /, ν = k å ç = = çè, γ. å με = ï í ø = ï ïî /, ν = k+ (Απάντ.. r=, β. r=/e, γ. r =, διότι lim a = / ). Ν βρεθεί διάστημ σύγκλισης των δυνμοσειρών (ν γίνει ιδιίτερη μελέτη στ άκρ) æ ö. - å ç = çè, β. å, γ. å ( - ) ø = = (Απάντ.. < < 4, β. -, γ. - < < 4) Πργώγιση Δυνμοσειρών Θ. Πργωγίζοντς τους όρους μις δυνμοσειράς που έχει κτίν σύγκλισης r, προκύπτει μί δυνμοσειρά που έχει κι υτή την ίδι κτίν σύγκλισης r. Άρ ν f( ) = å ( -), Î( - r, + r) τότε = å = - ( ) f ( ) = -, Î( - r, + r) (Προσέξτε ότι ο δείκτης στο δεύτερο άθροισμ ρχίζει πό ντί πό. Αυτό γίνετι όποτε η σειρά έχει στθερό όρο που χάνετι με την πργώγιση) Η σύγκλιση στ άκρ πρέπει ν ελεγχθεί ξεχωριστά. Πράδειγμ Έστω η γεωμετρική σειρά å =, - < < = - æ ö - æ ö, ç å è = ø = å = = = çè - ø - < < ( - ) æ ö æ ö - - = ( - ) =, ç å å è= ø = ( ) = ç ( - ) - < < - è ø Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Σειρά Taylor Αν p () το πολυώνυμο Taylor βθμού της συνάρτησης f() κι Ε το υπόλοιπο βθμού, τότε ν το Ε τείνει στο το p () θ τείνει στην f(). Το όριο το p () θ λέγετι στην περίπτωση υτή, νάπτυγμ της f() σε σειρά Taylor. Ώστε: ( -) ( ) ( -) f( ) f( ) + f ( )( - ) + f ( ) +... + f ( ) +...!! ( + ) * f ( ) + * με την προϋπόθεση lim E( ) = lim ( - ) =, με < < ( + )! Αν = μιλούμε γι νάπτυγμ Mac Lauri, δηλδή ( ) f( ) = f() + f () + f () +... + f () +...!! Πρδείγμτ. Ν βρεθεί το νάπτυγμ Mac Lauri της y= e, Î. ( ) ( ) y = e, y = e,..., y = e, Î άρ y() =, y () =,..., y () =, Î Επομένως e = + + +... + +..., Î!! Σφάλμ * * ( + ) * ( ) < < + + + f e E( ) = f( ) - p( ) = = @ ( + )! ( + )! ( + )!. Ν βρεθεί το νάπτυγμ Mac Lauri της y = ημ, Î. y = συν, y =- ημ, y =- συν,... άρ y() =, y () =, y () =, y () =-,... ή y y ( k ) (k+ ) () = () =- ( ) k Επομένως 5 7 + ημ( ) = - + -... + (- ) +..., Î! 5! 7! ( + )! Σφάλμ ( + ) * * f ( ) < < + + + E( ) = f( ) - p( ) = = ( + )! ( + )! ( + )!. Ν βρεθεί το νάπτυγμ Mac Lauri της y = τοξημ, Î[ -,]. Έχουμε y - =, y - - y = που δίνει ( - ) y - y = - κι όμοι y y y ( - ) - - =, ( ) (5) (4) ( - ) y -7 y - 9y = άρ ή y y y y y y y y (4) (5) () =, () =, () =, () =, () =, () = 9,... ( k ) () = () = (k-) (k+ ), k Î - y - y - y =, (4) 5 4 Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

5 7 5 Επομένως τοξημ( ) = + + + +..., Î[ -,] 4 5 4 6 7 (Σε πίνκες δίνοντι τ νπτύγμτ των συν, l(+), (+) r, τοξσυν, arcsih,.κλπ) + 4. Ν βρεθεί το νάπτυγμ Mac Lauri της y =. ( - ) ( + ) 6( + ) Έχουμε y =, y = κι γενικά (με επγωγή) 4 ( - 5 ) ( - ) ( ) ( + )!( + + ) y = άρ (- ) + ( ) y() =, y () = 4, y () = 8, y () = ( + )( + )! Επομένως + ( ) = y() + y () + y () +... + y () +... = (- )!! B τρόπος 4 9 6... ( )... å ( ), -<< = = + + + + + + + = + = ( ), å - - < < - = - Βρήκμε προηγούμεν ( ) + Είνι y= = + =... που δίνει το ίδιο ποτέλεσμ στο -<< (-) ( -) (-) / 4 9 6 Γι =/, είνι = = + + + +... + +... - - ( / ) =å 4 8 = που δίνει ότι το όριο της σειράς å είνι ίσο με. - å (- ) ( + ) = = = - Σημείωση. Αν θέσουμε στον τύπο =- δίνει = + - ( ) -, δηλδή δίνει το άθροισμ μις ενλλάσσουσς σειράς που όμως δεν 7 ( ) ( ) å ή + = συγκλίνει όπως μπορεί ν διπιστωθεί με άλλους τρόπους. Το λάθος οφείλετι στο ότι ο τύπος που βρήκμε ισχύει μόνο ότν -<<. Ασκήσεις - -. ) Δείξτε ότι ν y = ( - ) e τότε θ είνι ( ) β) Δείξτε με επγωγή ότι γι ισχύει: ( ) dy - = y d ( + ) ( ) ( -) - y -( + ) y - y = γ) Χρησιμοποιώντς το προηγούμενο υπολογίστε το πολυώνυμο Taylor 5ου βθμού της y() στο σημείο = δ) Βρέστε προσεγγιστικά την τιμή της y στο =/, ότν =/ κι συγκρίνετέ την με την κριβή σε τέσσερ δεκδικά ψηφί τιμή της που είνι.665. ( + ) 4 4 (5+ 6) 5 (Απ. γ. P5 ( ) = + + + +, δ. P 5(/ ) =.64 6 4 Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.4

. Χρησιμοποιώντς τη γεωμετρική σειρά που έχει άθροισμ + : ) βρέστε το νάπτυγμ Mac Lauri της y=τοξεφ. β) βρέστε στη συνέχει το άθροισμ της σειράς: - + -... + (- ) +... 5 + (Υπόδ. ) Πργωγίστε όρο προς όρο τη γεωμετρική σειρά. β) Θέστε = ). Ν βρεθούν οι πράγωγοι, β κι γ τάξης της f( ) = τοξημ - τοξσυν κι στη συνέχει ν βρεθεί το πολυώνυμο Taylor γ βθμού της f() στο =. 4 4. Ν νπτυχθεί το πολυώνυμο p ( ) = - 5 + 8-7 κτά τις δυνάμεις του -. Υπόδ. Βρέστε το νάπτυγμ Taylor της p() στο σημείο = 4 ( -) (4) p ( ) = p() +... + p () + + +... = 4! (Απάντ. ) 4 ( -) ( -) ( -) = 5+ ( - ) + 8 + 48 + 4!! 4! 5. ) Χρησιμοποιώντς το νάπτυγμ Taylor της y= e βρέστε το νάπτυγμ Taylor της y= sih β) Χρησιμοποιώντς ότι βρήκτε στο () υπολογίστε την -στη πράγωγο της f ( ) = sih, στο, γι τις διάφορες τιμές του. Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.5

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.6

Πράγωγοι κι Εφρμογές Ορισμός Πργώγου Έστω y=f(), A Τότε: f ( ) f( ) f( h) f( ) Πράγωγος f lim lim ριθμός στο h h Συμβολισμός df ( ) dy dy f( ) ή y( ) ή ή ( ) ή d d d Πλευρικές πράγωγοι f ( h) f( ) f ( h) f( ) f lim f lim h h h h Κνόνες Πργώγισης cf( ) = cf ( ) ( ) f ( ) + g( ) = f ( ) + g ( ) ( ) f ( ) g( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) ( ) æ f( ) ö f ( ) g( ) - f( ) g ( ) =, g ( ) ¹ ç çèg ( ) ø g ( ) f ( g ( )) = f ( g ( )) g ( ) ( ) Αν y= f( z), όπου z= g( ), τότε y= h( ) κι ισχύει Πράγωγοι στοιχειωδών συνρτήσεων () c = e = e ( ) r r ( - ) = r, r Î ( ) l ( ημ) = συν, ( συν) ( εφ) = = + συν - εφ ( σφ) = =- ( + σφ ) ( τοξημ) ημ =- ημ =, - < < - τοξσυν - =, - < < - τοξεφ =, Î + τοξσφ - =, Î + ( ) ( ) ( ) Γι ν υπάρχει πράγωγος στο, πρέπει ν υπάρχουν κι ν είνι ίσ f ( ) πργωγίσιμη ορίζετι η πράγωγος f( ) dy dy dz = d dz d = ( log a ) = l a ( sih ) = cosh, ( cosh ) = sih ( tah ) = tah = - cosh ( coth ) - = coth = - sih ( arcsi h) =, Î + ( arccos h) =, > - ( arcta h) =, - < < - ( arc cot h) =, > - ( l ) = Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Ασκήσεις. Ν βρεθεί η κι β πράγωγος των συνρτήσεων: æ + ημ ö. f( ) = l, β. sih cosh çè -ημ ø y= - ημ (Απάντ.. f ( ) =, f ( ) =, β. y = cosh, y = cosh + sih συν συν. Δίνετι η συνάρτηση y=ημ( τοξεφ). Ν δειχθεί ότι επληθεύει τη διφ. Εξίσωση: ( + ) y + ( + ) y + y = + -. Δίνετι: f( ) = τοξημ + τοξεφ. Δείξτε ότι η f() ορίζετι στο διάστημ 5 4+ (-4,] κι ότι έχει στθερή τιμή σ υτό. (Γι το δεύτερο δείξτε ότι f ()=) Συνρτήσεις με πρμετρική μορφή Έστω η y= f( ): A B που ορίζετι πρμετρικά ως { = gt (): I A, y= h(): t IB, ti} Θέλουμε ν βρούμε την πράγωγο της y ως προς χωρίς ν βρούμε την νλυτική έκφρση της y= f( ). Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι υ y είνι σύνθεση των h κι g -, δηλ. - f ( ) = h( g ( )). dy dy dt dy d Ισχύει = = : που γράφετι d dt d dt dt πργώγιση ως προς t. y y =, όπου η τελεί σημίνει Πράδειγμ. { = l( + t ), y= t- τοξεφt t Î } d t = dt = dy t, y + t = dt = y t που δίνουν y = t =. άρ { y =, = l( + t ), + t t Î } (Προσέξτε ότι γι ν οριστεί η πράγωγος χρειάζετι κι η έκφρση γι το. Δηλδή κι η πράγωγος ορίζετι πρμετρικά) Αν ζητείτι κι η δεύτερη πράγωγος, πργωγίζουμε την πρώτη πάλι ως πρμετρική. ( y ) Δηλ. + t + t y = = =, άρ β πράγ. { y =, = l( + t ), t Î } t 4t 4t + t = t + t Πράδειγμ, t Î[,] y= t -t = t + t y ( t-) πράγωγος ( t -), t Î[,], (διότι y = = ) y = t(+ t) t(+ t) = t + t β πράγωγος - 6t + t+ 4, t Î[,] y = t (+ t) (διότι ( ) ( -) - 6 + + 4 :( ( )) y æ t ö y = = t + t = t t ç èt(+ t) ø t (+ t) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -. )

Άσκηση at at Ν βρεθεί η β πρ. της y=f() όπου: { =, y, t } + t = + t ¹- 4 at ( t + ) (Απάντ. { =, y =, t¹-} ) + t a(- t ) Πεπλεγμένες Συνρτήσεις Μί συνάρτηση ορίζετι πεπλεγμέν με μί συνάρτηση δύο μετβλητών F(, y ) =. Μπορούμε ν βρούμε την πράγωγό της χωρίς ν βρούμε την νλυτική έκφρση της y= f( ). Γι το σκοπό υτό θεωρούμε ότι η νεξάρτητη μετβλητή υπάρχει μέσ στην ισότητ F(, y ) = είτε φνερά είτε μέσω της μετβλητής y. Έτσι ότν πργωγίζουμε το y το θεωρούμε ως συνάρτηση του. Πράδειγμ Ν βρεθεί η πράγωγος της y= f( ) που ορίζετι πό τη σχέση + y - y=. - y ( ) + ( y ) -( y) = + y y - ( y+ y ) = y = y - (Προσέξτε ότι κι η y είνι πεπλεγμένη συνάρτηση φού δεν ορίζετι νλυτικά ως προς ). Αν ζητείτι κι η δεύτερη πράγωγος, πργωγίζουμε την πρώτη πάλι ως πεπλεγμένη. Βρίσκουμε æ - yö ( -y )( y -)-( -y)( yy -) y = y = = è ç - ø ( y - ) ( -y )(-y) y = ( y - -y)-y ( y -y -) ( -y )(-y) ( y - ) = = y - y - Β Τρόπος ( ) ( ) - = - Από τον τύπο της πργώγου έχουμε ( ) y y y Πργωγίζουμε τη σχέση υτή πεπλεγμέν κι έχουμε y y y (yy ) y y y - = - y( y ) ( - ) + - = - ή ( ) ( ) Αντικθιστώντς την y βρίσκουμε πάλι το προηγούμενο ποτέλεσμ. y + y Πράδειγμ Ν βρεθεί η πράγωγος της y= f( ) που ορίζετι πό τη σχέση + =. + = l y l y y l ( y) y y ( ) ( + ) + = + + y y + y + y y + y ( -) + y = ( + y ) ( - ) y = - Άρ y =- y (-) Γι τη δεύτερη πράγωγο βρίσκουμε μετά πό κάποιες πράξεις y + y ( -) -( -) y y = l που με ντικτάστση του y γίνετι y ( -) y y (+ )( -) y = l y ( -) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.

Ασκήσεις 4 4. Ν βρεθεί η β πράγωγος της y= f( ) που ορίζετι πό τη σχέση + y = + 8y. 4 4 7y- 4 y(5 y -49)-( + y )( y + 49) (Απ. y =, y = ) y - 7 ( y -7 ). Η συνάρτηση y=f() ορίζετι πρμετρικά με τις σχέσεις: = t+ ημt, y= συνt, tî [, π /] ) Βρέστε την εφπτομένη στο σημείο P που ντιστοιχεί στο t=π/ (Απ. ) + y= + π /) β) Δείξτε, ότι: ( ) ( ) + y + ( + y) y + y=. Η συνάρτηση y=f() ορίζετι πεπλεγμέν πό την ισότητ: + y Ποιά η y ; (Απ. y = ) - y Λογριθμική Πργώγιση Εφρμόζετι σε πολύπλοκ γινόμεν, πηλίκ. δυνάμεις κλπ. Λογριθμίζουμε Πργωγίζουμε πεπλεγμέν - Λύνουμε ως προς y y τοξεφ y l( + )- = - Πράδειγμ y= ημ συν + Λογριθμίζουμε l y= l + l( -)- l( + ) + l( ημ) + l( συν) Πργωγίζουμε y - συν - = + - + + ημ y - + ημ συν Άρ - æ - ö y = ημ συν σφ εφ ç + - + - + çè - + ø (Υποθέτουμε ότι το πεδίο ορισμού είνι κτάλληλο ώστε οι ποσότητες μέσ στους λογρίθμους ν είνι θετικές. Αλλιώς πρέπει ν πάρουμε πόλυτες τιμές.) Πολυώνυμο Taylor Εφπτομένη στο =. f ( ) f( ) + ( - ) f ( ) = p( ) (Γρμμική ή πρώτη προσέγγιση της f ( )) Γενικεύοντς: f ( ) = p( ),, όπου ( -) ( -) ( ) ( -) p( ) = f( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( )!!! (προσέγγιση -τάξης της f ( )) To p ( ) λέγετι πολυώνυμο Taylor βθμού της f ( ). ( + ) * f ( ) + * Ότν η διφορά E( ) = f( ) - p( ) = ( - ), < < (που λέγετι ( + )! υπόλοιπο) τείνει στο ότν τείνει στο άπειρο, το πολυώνυμο Taylor προσεγγίζει πολύ ικνοποιητικά τη συνάρτηση. (Σε πρκτικές εφρμογές πίρνουμε *= ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.4

Πράδειγμ: To πολυώνυμο β βθμού Taylor της y = l στο = κι ( l ) l y ælö (- l ) = = y = ç = άρ y() =, y () =, y () = çè ø ( -) ( -) p( ) = y() + y () + y () δηλδή!! p ( ) ( ) = -. Αν =. τότε οι κριβείς τιμές είνι f (.) = l. =.8777.9, ενώ p (.) =. =.9 Δηλδή υπάρχει διφορά E(.) = f(.) - p(.) = -.677 * f ( ) * Γενικά E( ) = f( ) - p( ) = ( - ), όπου < <! * - 6+ 4l κι ποδεικνύετι f ( )» f () = =- 6 άρ E προσέγγιση) = * f ( ) (.) (. ).7» - =- (βρέθηκε η ίδι διφορά με πολύ κλή! Γεωμετρικές Εφρμογές της Πργώγου. () Εφπτομένη κι κάθετος κμπύλης ΜΤ = εφπτομένη στο (,y ) ΜΝ = κάθετος στο (,y ) ΤΚ = υφπτομένη ΚΝ = υποκάθετος Βρίσκουμε Εξισώσεις: MT: y - y = y N ( - ) MN: - + y N (y - y )= y ( MT ) y ( MN) y y y y ( TK) S ( KN) S yy y Μπορούμε ν υπολογίσουμε το εμβδό (ΜΤΝ), το ημφ, κλπ. () Γωνί δύο κμπύλων ΜΑ εφπτομένη της f, ΜB εφπτομένη της f, Από τη γνωστή τριγωνομετρική τυτότητ, Βρίσκουμε: f ( ) f( ) f ( ) f( ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.5

Μέθοδος Newto-Raphso Προσεγγιστική επίλυση της f()=, όπου f συνεχής συνάρτηση με f(), f(β) ετερόσημ (β) () Χωρίς περιορισμό ισχύει είτε το σχήμ () (κοίλ προς τ κάτω) είτε το (β) (κοίλ προς τ άνω). Αλλιώς ντικθιστούμε έν πό τ άκρ με το μέσον ή θεωρούμε την -f(). Θέτουμε =, ν f() κι f () ομόσημ, λλιώς =β. Κτσκευάζουμε την νδρομική κολουθί: f ( ) f ( ) Το όριο υτής της κολουθίς είνι ρίζ της f(). Πράδειγμ: Ποι η ρίζ ξ της εξίσωσης l + = Βρίσκουμε f() = >, - - f( e ) = -+ e = (- e)/ e< f ( ) = (/ ) + > στο (, β) - = e =.6788, β = f ( ) = -/ < στο (, β) άρ =.678 f( ) (l+ ) = - = - =.5985 f ( ) + f( ) (l+ ) = - = - =.64697 f ( ) + =.64884 4 =.648844 5 =.648844 Επομένως ξ=.648844 f ( ξ ) = l(.548844) + (.648844) = Έλεγχος: -7 = -8.896 Άσκηση Ν βρεθεί μί ρίζ της εξίσωσης -- 5= (Απ. =, β=, =.9455 ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.6

Μελέτη Συνάρτησης Βρίσκουμε πεδίο ορισμού (συνέχειες κλπ.) Εξετάζουμε συμμετρίες ή περιοδικότητες Βρίσκουμε σημεί τομής με άξονες (όρι κλπ) Βρίσκουμε σύμπτωτες (ν υπάρχουν) Βρίσκουμε τοπικά κρόττ - διστήμτ μονοτονίς Βρίσκουμε σημεί κμπής - διστήμτ στθερής κμπυλότητς Σχημτίζουμε συγκεντρωτικό πίνκ Κάνουμε τη γρφική πράστση Πρδείγμτ (Τ σχήμτ έγινν με το πκέτο Mathematica). Ν γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης f( ) = ( - ) Πεδίο Ορισμού (Στο βιβλίο νφέρετι το, διότι πλιότερ θεωρούντν =- -, < ) y=- πλάγι σύμπτωτος (διότι ( ( / ) ) y ( -) = = = κι lim lim ( ( ) / ) æ ( ) ö - - - lim( y ) lim ( ) lim ç lim - = - - = - = = ç çè ø / - - æö = lim = ç =... =- = β / çè ø / (δηλδή μηδενίζετι γι κι όχι γι διότι στο δεν ορίζετι. Όμως στο έχουμε τοπικό κρόττο, είνι εκεί κι πντού λλού θετική. Το πρόσημο βρίσκετι πό το πηλίκο ή ισοδύνμ πό το γινόμενο. / Ο πίνκς τιμών κι έχει πάντ πρόσημο ντίθετο του δηλδή ρνητικό. 4 5 6. Ν γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης. - - y= f( ) = + (που γράφετι κι y= f( ) = + ) ( + ) ( + ) Π.Ο. R-{-}, τοπ. μέγιστο 5,, σημείο κμπής 8, κτκόρυφη σύμπτωτος, / οριζόντι σύμπτωτος Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.7

Ο πίνκς τιμών.58.57 7 - - 5 8 -.5 5 8 Στο πρώτο σχήμ δεν φίνοντι ούτε το μέγιστο, ούτε το σημείο κμπής, ούτε ν η σύμπτωτος στο / είνι πράγμτι σύμπτωτος. Στην λεπτομέρει φίνοντι όλ υτά.. Ν γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης y= f( ) = l( εφ) κι της y= f ( ) = l( εφ ) Γι την πρώτη 6 4 - -4-6 -8 Η δεύτερη ορίζετι στ διστήμτ που δεν ορίζοντν η πρώτη (εκτός πό τ πολλπλάσι του π/) κι μπορούμε ν σχημτίσουμε τον πίνκ των τιμών της με νάλογο τρόπο. 6 4 - -4-6 Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ -.8

Το ολοκλήρωμ ως εμβδό Ολοκλήρωμ κι εφρμογές Στο πρώτο σχήμ το εμβδόν ορίζετι κι είνι ίσο με E = f( ) d Στο δεύτερο κι τρίτο δεν είνι βέβιο ν ορίζετι εμβδόν ή όχι (μη-γνήσι ολοκληρώμτ) β Πράδειγμ Ν βρεθεί το εμβδόν του σχήμτος που ορίζετι πό τη γρμμή κι τους άξονες, ως ολοκλήρωμ. å E» f( ξ ) D k= k k ì +, < < Η συνάρτηση που περιγράφει τη γρμμή είνι f( ) = ï í ï ïî, < < 4 4 κι το εμβδόν είνι 4.5. Άρ E= f( ) d= 4.5 E 4 Ορισμένο Ολοκλήρωμ Έστω y=f() : [,β] Ορίζω - εσωτερικά σημεί διίρεσης ώστε το [,β] ν υποδιιρεθεί σε υπο-διστήμτ (γι τ άκρ δεν έχει σημσί ν νήκουν ή όχι στ υπο-διστήμτ Το εμβδόν κάτω πό την κμπύλη πό τ μέχρι το β, μπορεί ν γρφεί ως άθροισμ της å μορφής E» f( ξk)( k -k - ) k= Θέτουμε D k = k - k - κι υποθέτουμε ma{ D k } οπότε το Ε γράφετι Αν το όριο του τελευτίου θροίσμτος υπάρχει, ότν το τείνει στο άπειρο, τότε ορίζετι το ορισμένο ολοκλήρωμ κι συνάρτηση f ( ) λέγετι ολοκληρώσιμη στο [, β]. Συμβολίζουμε: β f( ) d= lim f( ξ ) D å ma D k= k k k Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.

Κνόνες Ολοκλήρωσης β γ γ < β< γ f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d β β β < f( ) d=- f( ) d β β kf( d ) = k f( d ), γι κάθε k Î A ν f( ) g( ), " Î[ β, ] f ( ) d g( ) d β β β ( ) β β f ( ) + g( ) d= f( ) d+ g( ) d Θεώρημ Μέσης Τιμής Αν f(), g() είνι συνεχείς στο [, β] κι g()> στο [, β], τότε: β β β m gd ( ) f( gd ) ( ) M gd ( ) όπου M η μέγιστη κι m η ελάχιστη τιμή της f() στο [, β] Γι g() στο [, β] η σχέση γίνετι β m f( ) d M β -a β Στο σχήμ η τιμή μ δίνετι πό τη σχέση μ = f( ) d β a λέγετι μέση τιμή κι - τετργωνίζει (όπως λέμε) το εμβδόν του χωρίου που βρίσκετι κάτω πό την κμπύλη. Δηλδή το ορθογώνιο πρλληλόγρμμο με μήκος (β-) (μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος (,β)) κι πλάτος μ έχει το ίδιο εμβδό με το χωρίο κάτω πό την κμπύλη. Πράδειγμ: Ποι η μέση τιμή της, στο ; β μ = f( ) d= d= = β- -(-) - Πράδειγμ: (Κτά προσέγγιση υπολογισμός) π / Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: I = + ημ d Είνι π/ π/ π π ημ + ημ d I d I Δηλδή ισχύει ή.57 I.9 Αν πάρουμε τη μεσί τιμή έχουμε: I».74, ενώ η κριβής τιμή είνι.7577 Αόριστο Ολοκλήρωμ Έστω f ( ) ολοκληρώσιμη συνάρτηση κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της. Τότε, γι κάθε μπορούμε ν ορίσουμε μί τιμή το ολοκλήρωμ πό το μέχρι το, που στην περίπτωση του σχήμτος πριστάνει το εμβδόν του χωρίου κάτω πό την κμπύλη πό το μέχρι το. Την τιμή υτή την συμβολίζουμε F( ) κι είνι φνερό ότι ν το διτρέχει το σύνολο ορισμού Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4. β - μ

της f ( ) τ F( ) θ σχημτίσουν μί συνάρτηση. Αυτή η συνάρτηση λέγετι όριστο ολοκλήρωμ της f ( ) ή/κι ρχική συνάρτηση της f ( ) ή πράγουσ ή ντιπράγωγος. Συμβολίζουμε F( ) = f( t) dt Πράδειγμ: Ν βρεθεί το όριστο ολοκλήρωμ της f ( ) = + ότν = () (β) (γ) Δικρίνουμε δύο περιπτώσεις (σχ. () κι (β)) κι (σχ. (γ)). Σε όλες τις περιπτώσεις βρίσκουμε το ίδιο ποτέλεσμ, γι το σχήμ (γ) έχουμε + - ( γ) ν -, F( ) = ( t+ ) dt=- ( t ) dt ( E E4)... + =- - = = Αν ντί του = χρησιμοποιήσουμε κάποιο άλλο σημείο βρίσκουμε το ίδιο όριστο ολοκλήρωμ εκτός πό κάποι στθερά. Επίσης, εύκολ διπιστώνουμε ότι η πράγωγος της F( ) δίνει την f ( ) πράγμ που δικιολογεί τον όρο ντιπράγωγος. Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού ) Αν F( ) = f( t) dt τότε F ( ) = f( ) γι κάθε σημείο συνέχεις της f() (β) Αν G() οποιδήποτε ρχική της f(), τότε: β f() t dt= G( β) -G( ) Ισοδύνμες μορφές d d f () t dt= f( ) f () t dt= f( ) f () t dt= G( ) + c Πρδείγμτ ( + ) τοξεφ-. Αφού βρεθεί η y, όπου: y = ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: I = τοξεφd Βρίσκουμε y = τοξεφ άρ τοξεφ= y I = y() - y() =.57. Δείξτε (χωρίς ν βρεθεί το ολοκλήρωμ), ότι η: υστηρά ύξουσ. Ποι τ σημεί κμπής της; - t+ t y = f( ) = dt + t+ t είνι Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.

- + Είνι f ( ) = που είνι πάντ θετική (τ τριώνυμ στον ριθμητή κι + + προνομστή έχουν στθερό θετικό πρόσημ διότι έχουν μιγδικές ρίζες) ( -) Από f ( ) = βρίσκουμε σημεί τομής τ,. ( + + ). Αφού βρεθεί η ρχική της f(), ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: -4 - y= ( - + ) d (Απάντ. F( ) =- - + ) - Αόριστ ολοκληρώμτ στοιχειωδών συνρτήσεων u = g( ), du = g ( ) d r+ r u u du= + c, r¹- r + u u e du= e + c ημudu=- συνu+ c sih udu= cosh u+ c du σφu ημ u =- + c du coth u c sih u =- + du τοξεφu c +u = + du - = tah u+ c, u < -u - + u = coth u+ c, u > = l + c -u du τοξημu c, u -u = + < du l u c u = + u u du = + c l συνudu= ημu+ c cosh udu= sih u+ c du εφu συν u = + c du tah u c cosh u = + du - = sih u+ c= l( u+ + u ) + c + u du = u + c u > u - - cosh, ( ) = l u + u - + c, u > ( + ν u >, - ν u <-) Ασκήσεις. Ν βρεθούν τ ολοκληρώμτ: d Γι το πρώτο él cù ë + û =.69 που φίνετι κι στο σχήμ (εμβδόν πό μέχρι ). Γι το δεύτερο él c ù ë + û =.69 που στο σχήμ φίνετι - ότι είνι λάθος. Το λάθος οφείλετι στο ότι στο διάστημ (-, ) περιλμβάνετι το στο οποίο η συνάρτηση δεν ορίζετι. Το ολοκλήρωμ υτό είνι μη-γνήσιο εφ( ). Όμοι τ: ) d β) d γ) + συν ( ) l d (Απάντ.-Υπόδ. ) ( -/ + ) d( + ), β) εφ( d ) ( εφ( ) ) π, γ) ( l ) l d ) - d y Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.4

. Όμοι τ: ) (Απάντ.-Υπόδ. ) β) e + e - - + d d d( / ), β) + ( / ) 4 d ) sih Εμβδά χωρίων Αν D Περτωμένο (σχήμ) τότε (τύπος Fudii) β β E μβ( D) = de= υ( d ) όπου υ() η κάθετη πόστση των γρμμών που περιβάλλουν το D. Άλλος τρόπος με την οριζόντι πόστση δ δ E μβ( D) = de= υ( ydy ) γ γ Αν χρειάζετι χωρίζουμε το χωρίο σε μικρότερ τμήμτ ώστε ν εφρμόζετι μί πό τις δύο μεθόδους. Πρδείγμτ. Ποιο το εμβδό του χωρίου που ορίζουν οι κμπύλες: f ( ) = 5- κι g ( ) = ( -) ( ) ( ) E= de= f( ) - g( ) d= 4- d=.67. Όμοι οι: - - - 4 y = + 6 κι y = 4-4 ( ) E= de= h( y) dy= -y - y dy= 6.87 - - - Γεωμετρικές Εφρμογές () Όγκος στερεών εκ περιστροφής Πράδειγμ Όγκος κώνου ρ r r dv = πρ d = ρ = h h h hπr Άρ V = dv = d... πr h = = h Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.5

Όγκος εκ περιστροφής χωρίου γύρω πό διφορετικούς άξονες Πράδειγμ. To χωρίο {y =4, y=, =} περιστρέφετι γύρω () άξον Ο, (β) ευθεί =, (γ) άξον Οy () (β) (γ) dv dv = = πr dy r πr d æ y ö dv πr dy π ç dy = άρ dv = 4πd επομένως V = dv = 4 πd=... = π y = 4( - r) άρ æ y ö dv = π - dy ç 4 çè ø æ y ö επομένως V = dv = π dy....67π - = = ç 4 çè ø = = ç 4 επομένως çè ø 4 πy π V = dv = dy=... = 6 5 άρ ί V = V - V = κυλ νδρου 8π 5 () Μήκος τόξου Πράδειγμ. Ν βρεθεί το μήκος του τόξου ΑΒ επί της: y= / ds = d = + εφ ωd = d = ds συνω, y = εφω συνω άρ = + y d 8 8 / s= ds= d... (( 85/ 4) ).9 + = = - = 4 4 Πράδειγμ. Ν βρεθεί το μήκος του κλειστού τόξου επί της: 9y = (-) Λόγω συμμετρίς ρκεί ν υπολογιστεί το μισό χωρίο που το ορίζει το άνω τμήμ της κμπύλης που είνι y= ( - ) Είνι - + y = + y = Επομένως: + s = + y d = d ( t ) dt 4. 46 = + = = Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.6

() Εμβδόν επιφάνεις εκ περιστροφής Πράδειγμ. Ποι η επιφάνει του στερεού εκ περιστροφής της κμπύλης y= (πό = έως =) γύρω πό τον O ; Εδώ ds = πράπλευρη επιφ. κόλουρου κώνου με κτίνες βάσεων r κι r+dr, ύψος d. κι λ = πόστημ πράπλευρης επιφάνεις r= y=, λ = + y d ( ) é ù ë û 4 ds = π r+ r+ dr λ» πyλ= πy + y d= π + 9 d Άρ πρά πλ. 4 S = ds = πr + y d= π + 9 d=.. =.4π ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Εφρμογή Σχήμ Τύπος E= E+ E+ E = Εμβδό χωρίου που περικλείετι β γ = ( ) ( ) μετξύ της του άξον f d= f d- των κι των ευθειών κι δ β - f ( d ) + f( d ) γ δ Εμβδό χωρίου Ε που περικλείετι μετξύ των κι κι των ευθειών κι Εμβδό χωρίου Ε που περικλείετι μετξύ των κι κι των ευθειών κι Μήκος κμπύλης πό μέχρι Μήκος κμπύλης, πό μέχρι Όγκος κι Επιφάνει εκ περιστροφής της κμπύλης πό μέχρι β ( ( ) ( )) E = f -g d γ δ ( ( ) ( )) E = f y -g y dy β ( ) s= + y d dy όπου y = d β s= + y dt d dy όπου =, y = dt dt β V = π y d = γύρω πό τον άξον των + ( ) Όγκος κι Επιφάνει εκ περιστροφής της κμπύλης πό μέχρι β S π y y d δ V = π dy γ δ = γύρω πό τον άξον των + ( ) γ S π dy Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.7

Ασκήσεις Ποιο το εμβδό χωρίου που ορίζετι μετξύ των y=ημ, y=συν, <<π π Είνι E = ημ- συν d=... = 4 Ν βρεθεί ο όγκος κι η επιφάνει του τόρου (σμπρέλς) που σχημτίζετι με περιστροφή της περιφέρεις κέντρου Κ(,) κι κτίνς r, γύρω πό τον Ο y= f( ) = β + - y= g( ) = β - - V = V- V = π f ( ) d- π g ( ) d= 4πβ -d - - - S = S+ S = π f + f d- π g g d 4πβ d - + = - - - (Μετά τις πράξεις βρίσκουμε V = πβ, S = 4πβ) Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πνεπιστημικές Πρδόσεις στ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 4.8