1. Ανασκόπηση μεθόδων δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 1. Ανασκόπηση μεθόδων δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros

Μέθοδος μετακινήσεων ή δυσκαμψίας Εισαγωγή στις μεθόδους μετακινήσεων ή δυσκαμψίας Επίλυση συστημάτων ελατηρίων Γενική διαδικασία μεθόδου μετακινήσεων ή δυσκαμψίας Διαδικασία άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας Ανάλυση δικτυωμάτων με τη μέθοδο δυσκαμψίας Μητρώα δυσκαμψίας ράβδων Μετασχηματισμοί δυνάμεων και μετακινήσεων Άμεση μέθοδος δυσκαμψίας για δικτυώματα Κεκλιμένες συνοριακές συνθήκες Ανάλυση χωρικών δικτυωμάτων Προγραμματισμός άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας για δικτυώματα Γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

Σύγχρονες μέθοδοι ανάλυσης κατασκευών μέθοδος των δυνάμεων ή ευκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι δυνάμεις και ροπές μέθοδος των μετακινήσεων ή δυσκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι μετακινήσεις ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3

Μέθοδος των μετακινήσεων ή δυσκαμψίας βασίζεται στα μητρώα δυσκαμψίας των επιμέρους μελών της κατασκευής βάσει των οποίων σχηματίζεται το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας Κ της κατασκευής oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι οι μετακινήσεις των ελεύθερων κόμβων της κατασκευής επιλύνοντας το σύστημα των εξισώσεων το οποίο σχηματίζεται, υπολογίζονται οι μετακινήσεις των βαθμών ελευθερίας των κόμβων της κατασκευής ακολούθως, χρησιμοποιώντας τα επιμέρους μητρώα δυσκαμψίας του κάθε μέλους, υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη στα άκρα του κάθε μέλους χρήσιμη για επιλύσεις γενικών προβλημάτων με Η/Υ εύκολη αυτοματοποίηση και προγραμματισμός της μεθόδου ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4

Βάσεις μεθόδου δυσκαμψίας εξισώσεις ισορροπίας καταστατικό νόμο του υλικού συνθήκες συμβιβαστότητας των παραμορφώσεων κοινός τρόπος ανάλυσης ισοστατικών και υπερστατικών φορέων R K U ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 5

Γενική περιγραφή μεθόδου καθορισμός σχέσεων εντατικών μεγεθών και των αντίστοιχων μετακινήσεων των μελών ενός φορέα, βάσει των μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους μελών της κατασκευής κατάλληλοι μετασχηματισμοί από τοπικό σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων εφαρμογή εξισώσεων ισορροπίας στους κόμβους σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής εφαρμογή συνοριακών συνθηκών επίλυση σχηματιζόμενου συστήματος εξισώσεων υπολογισμός μετακινήσεων ελεύθερων κόμβων κατασκευής υπολογισμός αντιδράσεων στις στηρίξεις υπολογισμός εντατικών μεγεθών στα άκρα του κάθε μέλους ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6

Επίλυση συστημάτων ελατηρίων με τη μέθοδο δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7

Εύρεση μητρώου δυσκαμψίας ελατηρίου ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8

Σύστημα τριών ελατηρίων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9

Εφαρμογή εξισώσεων ισορροπίας γύρω από κάθε κόμβο ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 10

Εξισώσεις ισορροπίας αντιστοιχία βαθμών ελευθερίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11

Εξισώσεις ισορροπίας σε μητρωική μορφή Το μητρώο δυσκαμψίας K είναι ιδιάζων (singular), αφού δεν έχουν ορισθεί συνοριακές συνθήκες, οι οποίες καταστούν το φορέα σταθερό. Η ορίζουσα του μητρώου δυσκαμψίας είναι μηδενική και η τάξη (rank) του μητρώου είναι μικρότερη των διαστάσεων του, τα οποία εκφράζουν μαθηματικά τη χαλαρότητα του φορέα. Το μητρώο δυσκαμψίας είναι συμμετρικό, γεγονός το οποίο να αξιοποιηθεί για εξοικονόμηση υπολογισμών και μνήμης αποθήκευσης του, ειδικά λαμβάνοντας υπόψη ότι τα περισσότερα του στοιχεία είναι μηδενικά. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 12

Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών U s : δεδομένες μετακινήσεις λόγω συνοριακών συνθηκών R f : δεδομένα επικόμβια φορτία ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 13

Διαδικασία μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 14

Παράδειγμα 1: Εφαρμογή μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας R 4, U 4 K Γ R 6, U 6 K Α R 7, U 7 K Δ R 1, U 1 K Ε R 2, U 2 K Β R 5, U 5 K ζ R 3, U 3 R1 kδ kε kε 0 0 0 0 kδ U1 R 2 kε kε kβ 0 0 kβ 0 0 U 2 R3 0 0 kζ 0 kζ 0 0 U3 R4 0 0 0 kγ 0 kγ 0 U4 R 5 0 kβ kζ 0 kβ kζ 0 0 U 5 R6 0 0 0 kγ 0 kγ kα kα U6 R k 0 0 0 0 k k k U 7 Δ Α Α Δ 7 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 15

Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών U s : δεδομένες μετακινήσεις λόγω συνοριακών συνθηκών R f : δεδομένα επικόμβια φορτία ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 16

Ανάλυση δικτυωμάτων με τη άμεση μέθοδο δυσκαμψίας Σχέση δυνάμεων-μετακινήσεων ράβδου δικτυώματος: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 17

Εντατικά μεγέθη και μετακινήσεις ράβδων δικτυώματος ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 18

Εντατικά μεγέθη, μετακινήσεις και μητρώο δυσκαμψίας ράβδου δικτυώματος στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 19

Μετασχηματισμοί δυνάμεων και μετακινήσεων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 20

Μετασχηματισμοί δυνάμεων και μετακινήσεων T m cosθxx cosθxy 0 0 cosθyx cosθyy 0 0 0 0 cosθx x cosθ 0 0 cosθyx cosθ xy yy ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 23

Άμεση μέθοδος δυσκαμψίας για δικτυώματα ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 24

Μητρώο δυσκαμψίας στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 25

Υπομητρώα μητρώου δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 26

Παράδειγμα-2 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 27

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 28

Μητρώο δυσκαμψίας κατασκευής ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 36

Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 37

Υπολογισμός εντατικών μεγεθών s s s s x x 1 u1 y y 1 u1 k x 1 k x 1 T1 U 1 2 u2 y y 2 u 1 2 1 s 1 0 1 0 1 0 0 0 30 s 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 10 KN s 1 0 1 0 0 0 1 0 30 s 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x 1 U 1 y 1 7 U2 x U 2 3 y U4 2 1 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 40

Υπολογισμός εντατικών μεγεθών s s s s x x 1 u1 y y 1 u1 k x 2 k x 2 T2 U 2 2 u2 y y 2 u 2 2 2 s 1 0 1 0 0.8 0.6 0 0 25 s 0 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 4 10 KN s 1 0 1 0 0 0 0.8 0.6 25 s 0 0 0 0 0 0 0.6 0.8 0 x 1 U 1 y 1 7 U2 x U 2 5 y U6 2 2 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 41

Υπολογισμός εντατικών μεγεθών s s s s x x 1 u1 y y 1 u1 k x 3 k x 3 T3 U 3 2 u2 y y 2 u 3 2 3 s 1 0 1 0 0 1 0 0 15 s 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6.667 10 KN s 1 0 1 0 0 0 0 1 15 s 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 U 3 y 1 7 U4 x U 2 5 y U6 2 3 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 42

Αντιστοιχία βαθμών ελευθερίας μελών και κόμβων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 46

Σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας κατασκευής ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 47

K 1.512 0.384 1.000 0 0.512 0.384 0 0 0 0 0.384 0.288 0 0 0.384 0.288 0 0 0 0 1.000 0 2.512 0.384 0 0 1.0 0 0.512 0.384 0 0 0.384 1.621 0 1.333 0 0 0.384 0.288 0.512 0.384 0 0 1.512 0.384 0 0 1.000 0 0.384 0.288 0 1.333 0.384 1.621 0 0 0 0 0 0 1. 000 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.333 0 1.333 0 0 0.512 0.384 1.000 0 0 0 1.512 0.384 0 0 0.384 0.288 0 0 0 1.333 0.384 1.621 10 8 N m ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 62

STRUDL 'Example-3' 'PLANE TRUSS STRUCTURE' TYPE PLANE TRUSS UNITS M N CENTIGRADE JOINT COORDINATES 1 0 0 2 4 0 3 4 3 4 8 0 5 8 3 STATUS SUPPORT JOINTS 1 4 JOINT RELEASES 4 FORCE X $ typos kataskevhs $ ka8orismos monadwn $ syntetagmenes kombwn $ ka8orismos stiri3ewn $ ka8orismos eleftheriwn CONSTANTS $ ka8orismos E E 200E9 ALL MEMBER PROPERTIES $ ka8orismos embadoy diatomhs 1 TO 7 AX 0.002 LOADING 1 'APPLIED JOINT LOADS' JOINT LOADS $ epikombia fortia 2 FORCE Y -30000 5 FORCE X 50000 MEMBER INCIDENCES $ ka8orismos syndesmologias melwn 1 1 2 2 1 3 QUERY STIFFNESS ANALYSIS 3 2 3 4 2 4 5 2 5 6 3 5 OUTPUT DECIMAL 5 LIST FORCES LIST DISPLACEMENTS 7 4 5 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 67

Κεκλιμένες συνοριακές συνθήκες ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 73

x x x x R n cos θ sinθ R cos θ n c s R n xx cos θyx R n y sinθ cos θ y s c y cos θ y R n Rn Rn xy cos θyy Rn ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 74

2.56 1.92-3.1678 0.4525 1.92 1.44-2.3759 0.3394 0 0 cos 45 sin 45 0 0 10 10 0 6.667 sin 45 cos 45-4.714-4.714 3.1678 7.0902 7.2535 2.7736-0.4525 4.3749 2.7736 3.4135 7 7 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 79

Ανάλυση χωρικών δικτυωμάτων cos θxx cos θxy cos θxz 0 0 0 cos θyx cos θyy cos θyz 0 0 0 cos θzx cos θzy cos θzz 0 0 0 0 0 0 cos θ cos θ cos θ 0 0 0 cos θ cos θ cos θ 0 0 0 cos θ cos θ cos θ xx xy xz yx yy yz zx zy zz ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 82

Ανάλυση χωρικών δικτυωμάτων x u 1 cosθxx cosθxy cosθxz 0 0 0 y u1 cos θyx cosθyy cosθyz 0 0 0 z u cosθ 1 z x cosθz y cosθz z 0 0 0 x u 0 0 0 cos θ cosθ cosθ 2 y u 0 0 0 cos θ cosθ cosθ 2 z u 2 xx xy xz y yx yy yz u2 0 0 0 cos θzx cosθzy cosθ z zz u2 s s s s s s x x 1 u 1 0 0 1 0 0 1 y y 1 0 0 0 0 0 0 u1 z z 1 0 0 0 0 0 0 A u m Em 1 x 1 0 0 1 0 0 L x 2 m u2 y 0 0 0 0 0 0 y 2 u2 z 0 0 0 0 0 0 z 2 u m 2 ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 83 m u u u u x 1 y 1 z 1 x 2

Προγραμματισμός άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας Καθορισμός δεδομένων για ανάλυση επίπεδων δικτυωμάτων: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 84

Αυτόματη διαδικασία ανάλυσης επίπεδων δικτυωμάτων: ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 85

Γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 86

Παράδειγμα-7: γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 87

Προσδιορισμός στοιχείων 1 ης στήλης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 88

Οι αξονικές δυνάμεις μπορούν πολύ εύκολα να υπολογιστούν, βάσει της αρχής της επαλληλίας, από τις μετακινήσεις που έχουν υπολογιστεί και τις αξονικές δυνάμεις που έχουν ήδη υπολογιστεί για μοναδιαίες τις αντίστοιχες μετακινήσεις: 1 7 7 N 6.4 10 0.007 4.8 10 0.0074 92.8 KN 2 7 7 N 3.333 10 0.007 3.333 10 0.0074 479.95 KN 3 7 7 N 5 10 0.007 510 0.0074 20 KN ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 94

Παράδειγμα-8: γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 95

0.8 A x m E1 Nm y NΔL N 3 m 6.667 3.2 4 3.2 0.8 2 7 7 7 53.536 2.5 10 2210 10 7 4 U 4 1.0m,U 0 L mm m Ράβδος A m L Em 1 m Nm x y 3 4 U4 1.0m,U 0 ΔLm m N N m 1 7 4 10 0.8 7 3.2 10 2 7 6.667 10 0 0 3 7 4 10 0.8 4 7 3.536 10 22 7 3.2 10 7 2.5 10 5 7 5 10 0 0 6 7 3.536 10 22 7 2.5 10

073.92 057.75 57.75 x 7 7 3.2 2.5 Δ 3.2 2.5 10 2.31mm, 1.0 10 7 m,s is [ iν [ ] ΚΝ ] Ράβδος 1 2 3 4 5 6 Δ 1.0 m,s [ Ν ] x 7 i 3.2 10 0 7 3.2 10 7 2.5 10 0 7 2.5 10 Δ 2.31mm, S [ ΚΝ ] 73.92 0 73.92 57.75 0 57.75 x i ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 99