ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).( +), και 1, και. Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι f A,,1 1,, β) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί Έχουμε: 1 και 1. Τότε (1) και () 1, 1 1,, και τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι A, 1 1,, f. γ) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί και και έχουμε: 9 και 9 ή ισοδύναμα δηλαδή το πεδίο ορισμού της f είναι: Α f = (,) 9 δ) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 4 > και + 1 > και + 1 1. Έχουμε επομένως: 4 ή 1 1, οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι: Α f = (,+ ) 1 1

ε) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί ημ συν Λύνουμε την αντίστοιχη εξίσωση ημ συν = ημ (1 ημ ) = ημ ημ y ημ y + ημ = ημ 1 y y y ή y 1 π Επομένως η λύση της εξίσωσης είναι κπ, κ και το πεδίο ορισμού της f είναι: π Af / κπ, κ ΑΣΚΗΣΗ η Δίνονται οι συναρτήσεις: f α) f g β) f g και g 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις: Το πεδίο ορισμού της f είναι: Α f = {,1} και της g είναι: Αg = {, } α) Το πεδίο ορισμού της h() = f()g() είναι: = {,, 1, } και h Ah Af Αg β) Το πεδίο ορισμού της φ() = φ f g 1 1 1 1 1 1 1 1 είναι: Αφ = {Α h / g() } = {, 1,, 1, } και ΑΣΚΗΣΗ η Για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: α. f() = + - και g() = - β. f() = ln( - ) και g() = - α. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το. Ζητάμε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες είναι f ( ) g( ) Έχω f ( ) g( ) ( ) β. Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει και αρκεί

( )( ) (, ) (, ) (1) Επειδή η συνάρτηση g είναι πολυωνυμική το πεδίο ορισμού της είναι το. Ζητάμε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες είναι: f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( )( 1) (, ) ( 1, ) () Οι (1),() συναληθεύουν για (, ) (, ). ΑΣΚΗΣΗ 4η α) Οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο R και για κάθε ικανοποιούν τη σχέση (g o g)() = αg() + βf (1) όπου α, β R*. Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, να δείξετε ότι και η συνάρτηση g είναι 1-1. β) Να λύσετε στο την εξίσωση g g + e = g g() + +1. α) Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε 1, R με g( 1 ) = g( ) είναι 1 =. Επειδή g( 1 ) = g( ) είναι gg( ) g g( ) 1 αg( 1) βf 1 αg( ) βf βf 1 βf και επειδή β είναι f 1 f Επειδή η f είναι 1-1, έχουμε f 1 f g g ( ) g g ( ) 1. Από την τελευταία επειδή g( 1 ) = g( ) έχουμε. 1 =. 1 β) Αφού η g είναι 1-1 η εξίσωση γίνεται g g e g g() 1 e = +1 e 1 =. Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα την =. Θα δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική. (1) g e g() 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση σ() = e 1, R. Η σ είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο σ () e 1. Έχουμε σ () e 1> > και σ () e 1< <. (η μονοτονία της συνάρτησης σ() εύκολα υπολογίζεται και χωρίς τη χρήση των παραγώγων) Επομένως η σ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, +). Άρα για κάθε < είναι σ() > σ() = και για κάθε > είναι σ() > σ() =, οπότε η ρίζα =

είναι μοναδική. ΣΧΟΛΙΟ Χρησιμοποιήσαμε παραγώγους για τον προσδιορισμό της μονοτονίας της συνάρτησης σ() ΑΣΚΗΣΗ 5η Θεωρούμε τη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f( y) = y f() (1) για κάθε, yr. Υποθέτουμε ακόμα ότι υπάρχει R τέτοιο ώστε f( ). α) Να δειχθεί ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. β) Να δειχθεί ότι ώστε. γ) Να δειχθεί ότι f() = α, με αr *. α) Για να δείξουμε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. Για κάθε R, το R. Η (1) για y = 1 γίνεται f 1f () f( ) = f(). Άρα η f είναι περιττή. β) Η (1) για y = δίνει f() =. Αν είναι =, τότε από την f( ) παίρνουμε f(). Άτοπο. Συνεπώς. γ) Η σχέση (1) θέτοντας στο το και στο y το f ή f() = α, με α. δίνει f f f f ΑΣΚΗΣΗ 6η Έστω η συνάρτηση: g: Â Â, με g(1) =, g() = 4 και συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Â με [1,] g(â). Αν (g o g)() = 4 για κάθε Â τότε: α) Nα δειχθεί ότι η g αντιστρέφεται και g 1 () = g() + 4, για κάθε g(â). β) Αν zà και z+4i =, να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z α) Αφού η g είναι γνησίως αύξουσα τότε είναι και 1 1 στο Â, οπότε αντιστρέφεται. Είναι (gοg)() = 4 δηλαδή g(g()) = για κάθε Â. Αν yg(â) τότε υπάρχει Â ώστε g() = y,

οπότε g(g()) = g(y) 4 = g(y) = g(y) + 4 g 1 (y) = g(y) + 4, για κάθε yg(â), δηλαδή g 1 () = g() + 4, για κάθε g(â). β) Είναι: z+4i = z ( 4i) = Οπότε η εικόνα Μ(z) κινείται στον κύκλο c με κέντρο το Κ(, 4) και ακτίνα ρ =. Είναι z = z (+i) = (ΑΜ) όπου Α(, ) Αφού η εικόνα Μ του z κινείται στον κύκλο c ισχύει: (ΑΓ) (ΑΜ) (ΑΒ) (ΑΚ) ρ (ΑΜ) (ΑΚ) + ρ όπου AK 4, AK 9 16 5 οπότε:5 z 5+, z 7 Άρα z min = ΑΣΚΗΣΗ 7η Αν η σύνθεση της g με την f, δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε: α) Η g είναι απαραιτήτως 1-1. β) Η f δεν είναι απαραιτήτως 1-1. α) Έστω 1, A g με g( 1 )=g( ). Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η fog, έπεται ότι: f(g( 1 )) = f(g( )) και επειδή η f o g είναι 1-1 προκύπτει 1 =. Άρα η g είναι 1-1. β) Έστω 1, A f με f( 1 ) = f( ). Αν υπάρχουν ω 1, ω Α g τέτοια ώστε g(ω 1 ) = 1 και g(ω ) =, προκύπτει f(g(ω 1 )) = f(g(ω )) και επειδή η f o g είναι 1-1 προκύπτει ω 1 = ω. Άρα g -1 ( 1 ) = g -1 ( ) και επειδή η g -1 είναι 1-1 προκύπτει 1 = δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f είναι 1-1 Αν υπάρχουν ω 1, ω Α g τέτοια ώστε g(ω 1 ) = 1 και g(ω ) = (δηλαδή εξαρτάται από το σύνολο τιμών της g). Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα, τις συναρτήσεις f()= και g() = -1

ΑΣΚΗΣΗ 8η Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β R για τον οποίο ισχύει: z = 1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f = z + z, Â. α) Αποδείξτε ότι f = + Rez + 1. β) Για ποιες τιμές του z η γραφική παράσταση της f έχει με τον άξονα ένα μόνο κοινό σημείο; γ) Αν w = 1 z + i, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο. δ) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο. α) f () z zz z... z z 1 = = α β 1 Re z 1. β) Πρέπει η εξίσωση f () να έχει μοναδική λύση. Δηλαδή πρέπει Δ= 4 Re z 4 α β 1 ή α β 1 και επειδή z 1 α β 1 βρίσκουμε α=1 ή α=-1 και β=1 ή β=-1. Άρα z = 1 ή z = -1 ή z = i ή z = -i. 1 1 γ) w i w i z z άρα 1 w i w i 1. z Επομένως οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ(,) και ακτίνα R=1. άρα δ) Το σημείο επαφής των παραπάνω κύκλων. ΑΣΚΗΣΗ 9η Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = + κ + 5κ - 6 + α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε το σημείο Α (-1,4) να είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση δεν μπορεί να διέρχεται από το σημείο Β(-5, 1) γ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου κ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από ένα συγκεκριμένο (σταθερό) σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. δ) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου κ ώστε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Ποια είναι η εξίσωση αυτής της ευθείας; α) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της f από το Α ( 1, 4) πρέπει:

f( 1) = 4 5 6 4 4 + 4κ = 8 κ = β) Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Β(-5, 1). Θα πρέπει f( 5) = 1 5 5 5 6 1 44 = ( άτοπο) γ) το σταθερό σημείο είναι το (-5, ) αφού τότε καταλήγουμε από την σχέση f( 5) = 44 = 44 που ισχύει για ανεξάρτητα την τιμή του κ. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Θεωρούμε την συνάρτηση f : (, + )  με f((, + )) (, + ) για την οποία ισχύει: f( f(y)) = μ ν για κάθε φυσικό θετικό αριθμό μ, ν. Να αποδείξετε ότι: μ = ν Αν θέσουμε όπου το f ( y) f ( f (y)) y f (y) f (y) αρχική σχέση έχουμε: ( ) f y. f ( y) (1) Η σχέση (1) για y 1 δίνει: 1 f (1) 1 f 1 (1) 1 f (1) 1 f (1) Η ίδια σχέση για 1 δίνει: f (1) είναι ανεξάρτητη της μεταβλητής θα είναι και 1 y f μ (y) = y ν f ( y) y y f ( y) f ( ) () επειδή η συνάρτηση Αν θέσουμε στην (1) y 1 παίρνουμε f ( ) 1 f (1) f ( ) () Άρα από τις σχέσεις () και () έχουμε: οπότε μ = ν. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Aν για μια συνάρτηση: f  Â, ισχύει +y e f() f(y) f( + y) για κάθε, y Â, τότε α) Να αποδείξετε ότι f() = 1 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε Â, ισχύουν: f() και γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 1 f(-) = f()

α) Για y έχουμε: 1 () () f f f () 1 f () 1 f () 1 ή f () 1 f () 1 f () f () f () f () f () 1 β) Θέτοντας στην αρχική σχέση y λαμβάνουμε : e f ( ) f ( ), f ( ) e. Συνεπώς, f ( ), και μάλιστα f ( ),. Επιπλέον η δοθείσα για y γίνεται: 1 f ( ) f ( ) f () 1 f ( ) f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ). γ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε : f ( ) e,. (1) Για κάθε έχουμε : 1 1 ( ) f e f ( ) e f ( ) e άρα αν θέσουμε όπου το λαμβάνουμε : f ( ) e,. () Aπό τις σχέσεις (1) και () έχουμε τελικά f ( ) e, που ικανοποιεί τις υποθέσεις της άσκησης. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται η συνάρτηση f : και για κάθε ισχύει α) Να αποδείξετε ότι f ( 1) f ( ) f ( ) 1. β) Να προσδιορίσετε την τιμή f (1). γ) Nα εξετάσετε αν η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει 1 1. α. Η δοσμένη σχέση για f ( ) δίνει: f f ( f ( ) ) f ( ) f ( ) 1 f ( 1) f ( ) f ( ) 1 β. Η δοσμένη σχέση για δίνει: f (1) f ( f ()) f ( f ()) 1 1. ( )( ) 1 f o f. f f () 1 και για f ( f ()) δίνει g( ) f ( ) 1 είναι γ) Έχουμε τότε g() 1, g (1) 1 άρα για 1 είναι g() g (1) οπότε η g δεν είναι 1 1. Β τρόπος Τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει, αφού η 1 δεν είναι 1 1 στο.

ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται η συνάρτηση f με f() =, που έχει πεδίο τιμών το διάστημα [, ] 1 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Είναι: 1 1 f () 1 1 άρα f() 1 1 1 1 5 1 οπότε, αφού έχουμε θετικά μέλη: 1 ( 1) 1 5 1 1 1 5 1 4 5, επομένως το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης είναι Α = [, 4 5 ]