ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να βρείτε τους µιγαδικούς που έχουν το µέγιστο και το ελάχιστο µέτρο. δ) Να αποδείξετε ότι 4< + 4i < 7 ε) Αν οι, ικανοποιούν την () να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί,, µε = = = ρ και Re = Re = Re = Να αποδείξετε ότι: α) + + = β) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των,, είναι ισόπλευρο. ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ) Να βρείτε τους αριθµούς α, β. ) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός ) Έστω A( ), B( ), ( ) α + β =,, α,β και,, είναι οι ρίζες της µε = + i + είναι πραγµατικός. 8 8 µιγαδικό επίπεδο µε Γ οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών,, αντίστοιχα στο = + 7+ i, τότε: 5 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. β) Αν w- = w-, να αποδείξετε ότι w. γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w, που επαληθεύουν την εξίσωση w- + w- =, βρίσκονται σε έλλειψη.
ΘΕΜΑ 4 ο Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση : µε ( ) = και ο µιγαδικός αριθµός. Αν -8-6 7-9 ισχύει i +i = + i - -i για κάθε, τότε : α) Να αποδείξετε ότι ( ) = +, και - = + β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο. γ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων δίνονται η γραφική παράσταση της και το ορθογώνιο µε κορυφές O,, A κ,, Βκ, ( κ + ) και Γ,κ +, κ >. Να βρείτε την τιµή του κ ώστε η γραφική παράσταση της να διαιρεί το ορθογώνιο ΟΑΒΓ σε δύο ισεµβαδικά χωρία. ΘΕΜΑ 5 ο ίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο µε ( ) > και ο µιγαδικός αριθµός ( ) 4 = + i α) ( ) ( ) ( ) =8 β) Re( ) = γ) ( ) < <, για τον οποίο ισχύει ότι δ) η αντιστρέφεται και ισχύει Θέµα 6 o < < = i. Να αποδείξετε ότι Α) Έστω w τέτοιος, ώστε αw + βw + γ =, όπου α,β, γ µε α β. Να αποδείξετε ότι: i ) αw + βw + γ = i i ) w Β) Αν ο µιγαδικός αριθµός επαληθεύει τη σχέση + 5 + 7=, τότε : α) Να αποδείξετε ότι: i ) = = i i ) = β) Να βρείτε τον µιγαδικό αριθµό. ΘΕΜΑ 7 ο ίνεται συνάρτηση συνεχής στο και η συνάρτηση g µε : ( 7 5 - κ + + 6 4 g = κ +4 +, κ α) Να αιτιολογήσετε την άποψη ότι έχει νόηµα η αναζήτηση των ορίων: β) Να βρείτε το lim g ( ) + lim g ( ) και lim g ( ) + γ) Αν () για κάθε και ( 8 ) <, να αποδείξετε ότι lim g =+ δ) Αν ( κ) [,] και για τη συνάρτηση h ( ) = g ( ) + 8 + β,, β ισχύει lim h = +, να βρείτε τις τιµές των β και ( κ ).
ΘΕΜΑ 8 ο ίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε τα όρια: = α + α -α, µε α >. lim ( ), lim, lim - + β) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της. δ) Να λύσετε στο την εξίσωση ( ) =., lim + ΘΕΜΑ 9 ο ίνεται η συνάρτηση : µε ( ) = για την οποία ισχύουν: H είναι παραγωγίσιµη στο. H έχει όριο στο + +e = για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) Το lim ( ) =+ + β) H είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) H αντιστρέφεται και να βρείτε την δ) H έχει δεύτερη παράγωγο και είναι κοίλη στο. - ε) Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = και =e+ είναι E= τ.µ. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: +5 = + Α. Να αποδείξετε ότι Β. Αν g( ) =ln( ) τότε: για κάθε και ( ) = =+ +9,. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g. β) Να βρείτε την g και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 4 I= d +9 γ) Να αποδείξετε ότι J + 9I = K, όπου: J= d +9 4 δ) Να αποδείξετε ότι J+K= ε) Να υπολογίσετε τα J, K. και 4 K= +9d στ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να ορίσετε την - g.
ΘΕΜΑ ο Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί =+i µε, µε συνεχή παράγωγο στο. w= και συνάρτηση παραγωγίσιµη στο α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός τέτοιος, ώστε ο να είναι πραγµατικός αριθµός. β) Αν α < β < γ, ( β ) =, ( γ ) = και ώστε ( ξ ) = γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα: ΘΕΜΑ ο Re w d α >, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιος, + 7 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει lim =. ) Να αποδείξετε ότι: α) ( ) = 7 β) =5 ) Έστω (ε) η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο της M(,( )). α) Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y=5 8. β) Ένα σηµείο Σ, που έχει τετµηµένη µεγαλύτερη του, κινείται στην ευθεία (ε). Αν ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του είναι m sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΜΣ. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση =+e ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία. ) Να λύσετε την εξίσωση e = ) Θεωρούµε τη γνησίως µονότονη συνάρτηση g: η οποία για κάθε ικανοποιεί τη g σχέση g( ) +e =+. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι g( ) = 4) Να λύσετε την ανίσωση ( ) g > 5) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και ότι η C διέρχεται από το σηµείο M( e, ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο Μ.
ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση = ( ) ln t t ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ) Να αποδείξετε ότι 5 lim = 5 4) Να αποδείξετε ότι η C εφάπτεται στον άξονα, σε δύο σηµεία. + dt 5) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό = ( ) i. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο επίπεδο βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτηµόριο. ΘΕΜΑ 5 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση : [,+ ) για την οποία ισχύει: ( t) = + + dt ) Να αποδείξετε ότι: α) = ln+, > β) ( ) = t για κάθε > () ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ) Αποδείξτε ότι η C είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία σηµεία συνευθειακά σ αυτή. 4) Να αποδείξετε ότι e d e e ΘΕΜΑ 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση : ) Να αποδείξετε ότι : για την οποία ισχύει ( t ) t = dt για κάθε. + e α) Η είναι περιττή και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα = ( ) β) Η είναι παραγωγίσιµη. =,. γ) ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό i w = +, µε + Αν ο w είναι πραγµατικός αριθµός, να αποδείξετε ότι : 46 I 8 d α) Η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία y =. β) Υπάρχει σηµείο M( α, ( α )) της C µε < α < το οποίο είναι εικόνα του.
ΘΕΜΑ 7 ο Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) = (, + ) ( ) = για κάθε. Α) Να αποδείξετε ότι: α) Η είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η είναι κυρτή στο. γ) Η g = ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο. Β) Να αποδείξετε ότι ( ) d = Γ) Αν ( ) = να βρείτε τη συνάρτηση. ΘΕΜΑ 8 ο, η οποία ικανοποιεί τη σχέση Α) Να αποδείξετε ότι e + > για κάθε. Β) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη ( ) e = ( ) σχέση α) Να αποδείξετε ότι = e +,. β) Να αποδείξετε ότι e < e για κάθε κ,λ µε κ< λ. κ λ e e κ λ γ) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς Α, Β έτσι, ώστε = A + B για κάθε. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g =, τον άξονα e + και τις ευθείες µε εξισώσεις = και =. ΘΕΜΑ 9 ο ίνεται η συνάρτηση i) Να βρείτε το lim + e =, >. ii) Έστω η συνάρτηση g µε g = + e, > και g( ) =. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [, ]. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση = dt t + = g d. α) Να µελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. β) Να αποδείξετε ότι < < γ) Να αποδείξετε ότι ( εφ) + = για κάθε για κάθε <. π π, και να υπολογίσετε το ( ). δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από την C και τις ευθείες µε εξισώσεις y =, = και =.
ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση F = 4 t+ α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο της F. β) i) Να αποδείξετε ότι F( ηµ) dt π π π = για κάθε, 6 ii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = και =. C : ( t) = 4 t+, γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα d I = 4. ΘΕΜΑ ο Έστω µια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο, τέτοια ώστε: ( ) + = για κάθε α) Αν το = α είναι κρίσιµο σηµείο της, να αποδείξετε ότι ( α) προσδιορίσετε το α. β) Να εξετάσετε αν η παρουσιάζει καµπή. γ) Να αποδείξετε ότι η C δεν έχει ασύµπτωτη στο +. = α και στη συνέχεια να ΘΕΜΑ ο ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις,g: (, + ) µε ( ) g( ) (, + ) ικανοποιούν τις σχέσεις + g = g + g = (), και g. α) Να αποδείξετε ότι = g > για κάθε ( + ) β) Να αποδείξετε ότι =. +,. = =, οι οποίες για κάθε γ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής της παράστασης. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν E(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = α, = α + όπου α >, καθώς και το όριο lim E ( α ). α +
ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση * : µε για * η οποία είναι «-» και έχει την ιδιότητα : = για κάθε Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα = (, + ), τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση = και = και = = = είναι αδύνατη. δ) Αν η είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι : για κάθε i ) < για κάθε > και > για κάθε < ii ) H δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (,). ΘΕΜΑ 5 ο ίνονται: Η ευθεία (ε): y = e Η συνάρτηση g = ln και Μια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο, τέτοια ώστε ( ln) = ln, για κάθε (, + ) Να αποδείξετε ότι: α) Η ευθεία (ε) εφάπτεται της C g. C διέρχεται από το σηµείο A(, ) ii) Για κάθε (,), ισχύει < < β) i) Αν η e τότε ισχύει g( e ) =, ΘΕΜΑ 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση η οποία για κάθε (-,) ικανοποιεί τις σχέσεις ηµ ( t) dt =. Να αποδείξετε ότι: -, α) ( ) > για κάθε β) ( ) =, (-,) - και ΘΕΜΑ 7 ο Έστω συνάρτηση : [,] R µε πρώτη παράγωγο γνησίως φθίνουσα και συνεχή. Αν ( ) =, ( ) > και για κάθε [,] είναι α) Η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ]. και β) Η εξίσωση = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). γ) d + < να αποδείξετε ότι:
ΘΕΜΑ 8 ο ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις,g: [,+ ) R, οι οποίες για κάθε [,+ ) τις σχέσεις: () και g() + (t)dt= και + g(t)dt= g() () Να αποδείξετε ότι : α) () > και g() > για κάθε [,+ ) β) () = g() για κάθε [,+ ) γ) ()= για κάθε [,+ ) + ικανοποιούν ΘΕΜΑ 9 o Έστω :R Rσυνεχής συνάρτηση µε ( ) = ( +t) dt για κάθε R. Αν F είναι µια αρχική συνάρτηση της στο R, να αποδείξετε ότι: α) F = F -F για κάθε R. β) Για κάθε κ <, υπάρχει ξ ( κ, κ ) έτσι, ώστε γ) Η εξίσωση = έχει άπειρες λύσεις στο (,) κ F κ F ξ.. κ Θέµα o ίνεται η συνάρτηση F() = dt t Α. ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της F και να αποδείξετε ότι η F είναι κοίλη. ) Αν < α β να αποδείξετε ότι: dt dt α+ β α β dt + t + t t + Β. ) Να αποδείξετε ότι: (i) F = ln+ c, για κάθε >, όπου c σταθερά (ii) F() = ln( + ) + c, για κάθε >.
ΘΕΜΑ ο Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο τέτοια, ώστε για κάθε. Να αποδείξετε ότι : α) Η είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η εξίσωση = έχει µοναδική ρίζα ρ (, ) γ) Η αντιστρέφεται. δ) To σηµείο N(, ρ ). C. ε) Η εξίσωση = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο 5,. + = + + () Θέµα o ίνεται η συνάρτηση α = +α e, R α και α > α) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της. β) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και τα σηµεία καµπής. γ) Να δείξετε ότι για κάθε α> οι γραφικές παραστάσεις των και έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο. δ) Η ευθεία = ορίζει µε τις γραφικές παραστάσεις των και ένα ευθύγραµµο τµήµα. Να βρείτε την τιµή του α, ώστε το τµήµα αυτό να έχει το µικρότερο δυνατό µήκος. ε) Η γραφική παράσταση της για α=, ο άξονας και η ευθεία =λ µε λ > ορίζουν ένα lim Ελ. χωρίο µε εµβαδόν Ε(λ). Να βρείτε το Ε(λ) και στη συνέχεια να υπολογίσετε το λ +