Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο τους q Περιγραφή της έσης ενός αντικειμένου στο χώρο γίνεται βάσει ενός συστήματος συντεταγμένων Ο Ø Ένα σημείο για την αρχή μέτρησης Ø Σύστημα αξόνων που ορίζουν κατευύνσεις στο χώρο Ø Κανόνες μέτρησης (μονάδες, υποδιαιρέσεις) q Σύνηες σύστημα συντεταγμένων: ορογώνιο ή καρτεσιανό q Άλλα συστήματα συντεταγμένων: πολικό (2 διαστάσεις) το σφαιρικό (3-διαστάσεις) και το κυλινδρικό (3 διαστάσεις) 0 r (,) rcos rsin r 2 + 2 0 r (r,)
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 2 Διανύσματα Ένα διάνυσμα είναι αυτό που είναι, ανεξάρτητα από το πως προσπαούμε να το περιγράψουμε Κάποιος μπορεί να διαλέξει τους διακεκομμένου r άξονες και να δώσει συντεταγμένες που είναι διαφορετικές από τις (, ) (, ) Ορισμός: Μοναδιαία διανύσματα είναι τα διανύσματα χωρίς διαστάσεις (αδιάστατα) με μέτρο ίσο με τη μονάδα ˆ " ˆ 1 Σκοπός των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι να δηλώσουν κατεύυνση
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 3 Πράξεις με διανύσματα: Πρόσεση/αφαίρεση b α + b α b b α b α α -b -b Συνιστώσες διανυσμάτων: Κάε διάνυσμα μπορεί να αναλυεί σε συνιστώσες προβάλλοντάς το στους άξονες ενός οποιουδήποτε συστήματος συντεταγμένων R ˆj ĵ î R R ˆ i R R cos R Rsin Rˆ R iˆ + R ˆj Η πρόσεση διανυσμάτων απλουστεύεται προσέτοντας τις συνιστώσες τους σε κάε άξονα ξεχωριστά
Διανύσματα R î ( 1,0 ) ĵ ( 0,1) R + V (R + V )î + (R + V ) ĵ ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 4 V V R + ( V ( R + V ) 2 + ( R + V ) 2 ) ĵ φ R î V H κατεύυνση του διανύσματος R + V α δίνεται από την γωνία φ " ( R + V )% rc(tn) rc$ ' # ( R + V )& Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για 3 διαστάσεις R R cos Rsin" cos# R R R z φ R R R R R R sin Rsin" sin# R z Rcos" R R î + R ĵ + R z ˆk
Παράδειγμα/πρόβλημα Να βρεούν οι συντεταγμένες (,) συναρτήσει των (, ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y Y Y Y X X Κινηείτε μια απόσταση κατά μήκος του -άξονα (η προβολή στο ) à 1 είναι:sin O 1 O " 1 " # 1 " sin Από το πηγαίνουµε στο V (κίνηση κατά ) à 2 είναι: cos wv " V 2 " # 2 " cos Το ύψος δεν εξαρτάται από το δρόμο που ακολουήσατε: 1 + 2 sin + cos X Y Y Y 1 O 2 1 O Y Y ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 5 X X X X ( wv OX, " V O X" ) V X w X
Παράδειγµα συνέχεια ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 6 Πως βρίσκουµε το συναρτήσει των και? Y Κινούµαστε και πάλι στον -άξονα κατά à 1 είναι:cos O 1 O " 1 " # 1 " cos Κινούµαστε στον Y -άξονα κατά à 1 2 είναι: sin w " " 1 2 " Y Y # 1 2 " sin Y 1 X X X w 2 1 X Αλλά: O 2 O 1 1 2 " cos# $ " sin# Εποµένως καταλήγουµε: cos" # sin" sin" + cos" Θα µπορούσαµε να το γράψουµε και µε τη µορφή: # " $ % & # cos' (sin' " sin' cos' $ & # % " ) ) $ & %
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 7 Διανύσματα: εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων α,β ορίζεται σαν b b cos" b b α cos Είναι βαμωτό μέγεος και όχι διάνυσμα Συμβολίζει την προβολή του διανύσματος α στο διάνυσμα β Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί συναρτήσει των συνιστωσών των 2 διανυσμάτων ως: b ( î + ĵ + z ˆk ) b î + b ĵ + b z ˆk ( ) b î î + b î ĵ + b zî ˆk + b ĵ î + b ĵ ĵ + b z ĵ ˆk + z b ˆk î + z b ˆk ĵ + z b z ˆk ˆk Το εσωτερικό γινόμενο υπακούει στον επιμεριστικό κανόνα b ( b + b + z b z ) b αλλά b + b + z b z ( b + c ) b + c î ĵ ĵ ˆk î ˆk 0 î î ĵ ĵ ˆk ˆk 1
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 8 Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο c Εξωτερικό γινόμενο 2 διανυσμάτων και b είναι ένα διάνυσμα c c με μέτρο b sin όπου φ η γωνία των,b. b φ Η διεύυνση του c είναι κάετη στο επίπεδο των α και b και το μέτρο του ισούται με το εμβαδό του παραλ/μου. Η διεύυνσή του βρίσκεται σύμφωνα με το κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία: Με το δεξί μας χέρι να στρέφεται προς τη διεύυνση φ του διανύσματος προς το b, ο αντίχειρας δηλώνει την διεύυνση του διανύσματος c. α sinφ φ b bsinφ φ b Το εξωτερικό γινόμενο ισούται με το γινόμενο του μέτρου του ενός διανύσματος επί την κάετη συνιστώσα του άλλου διανύσματος ως προς το πρώτο
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 9 Διανύσματα: εξωτερικό γινόμενο/ιδιότητες b " b 0 ( b b + c ) b + c ( î + ĵ + z ˆk) (b î + b ĵ + b z ˆk) î b î + î b ĵ + î b z ˆk b b + ĵ b î + ĵ b ĵ + ĵ b z ˆk + z ˆk b î + z ˆk b ĵ + z ˆk bz ˆk " b ( b z z b )î b +( b z z b ) ĵ iˆ b ˆj b kˆ z b z i ˆ ˆ j k ˆ ˆ j ˆ i ˆ i ˆ ˆ j ˆ j k ˆ i k ˆ k ˆ 0 k ˆ i ˆ ˆ j ( + ˆk )+ b ( z ĵ )+ b ( ˆk )+ b ( z +î )+ z b ( + ĵ ) + z b ( î ) +( b b ) ˆk î z b b ĵ " z + ˆk z b b z b b
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 10 Άλγεβρα 1 ( ± ) ± log 10 log ± logb log( b ± 1 ) log( n ) n log( ) ln e ln ± ln b ln( b ± 1 ) ln( n ) nln( ) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
Διαφορικός λογισμός ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 11 Έστω f() μια συναρτησιακή σχέση της μεταβλητής ως προς την μεταβλητή : f() 3 + b 2 + c + d H παράγωγος του ως προς το χ ορίζεται ως το όριο των κλίσεων των χορδών που φέρονται μεταξύ 2 σημείων στην γραφική παράσταση του ως προς το καώς το τείνει στο μηδέν 2 Δ d d lim " d 0 " lim d 0 ( + ") # () " 1 Δ 1 0 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 12 Διαφορικός λογισμός ιδιότητες παραγώγων q Η παράγωγος του αροίσματος 2 συναρτήσεων είναι d d d d f ( ) [ g( ) + h( ) ] g( ) + h( ) d d d d q Η παράγωγος του γινομένου 2 συναρτήσεων είναι d d dg dh f ( ) [ g( ) h( ) ] h + g d d d d d g() $ h dg q Πηλίκο δύο συναρτήσεων? # & d ' g dh d d " h() % h 2 q Αν f() και είναι συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής z τότε d d dz d d dz q Η δεύτερη παράγωγος της ως προς ορίζεται d 2 d 2 d d $ # & d " d %
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 13 Διαφορικός λογισμός - τυπολόγιο d d n n n1 d (sin) cos d d (cos) sin d d d (e ) e d d ln()
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 14 Ολοκληρωτικός λογισμός q Θεωρούμε την ολοκλήρωση ως το αντίστροφο της διαφόρισης: d f ( ) d f ( ) d d Μπορούμε να βρούμε την () αροίζοντας για όλες τις τιμές του. Αυτή η αντίστροφη πράξη γράφεται () f ()d π.χ. για μιά συνάρτηση f() 3 2 + b η παραπάνω ολοκλήρωση δίνει () (3 2 + b)d 3 + b + c Το ολοκλήρωμα ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα επειδή η τιμή του εξαρτάται από τη τιμή της σταεράς c. To αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται ως I() f ()d Η συνάρτηση f() ονομάζεται ολοκληρωτέα συνάρτηση: f ( ) di( ) d Για μια συνεχή συνάρτηση το ολοκλήρωμα μπορεί να περιγραφεί σα το εμβαδό που ορίζεται από την καμπύλη της f() και του άξονα, μεταξύ 2 ορισμένων τιμών 1 και 2 Οριμένο ολοκλήρωμα
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 15 Ολοκληρωτικός λογισμός q Ένα από τα πιο χρήσιμα ολοκληρώματα που συναντιούνται είναι: n d n +1 n +1 + c Διαφόριση του δεξιού μέλους δίνει f() n. Aν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι γνωστά τότε το ολοκλήρωμα δίνει: n d n +1 n +1 2 n +1 n +1 2 " 1 n +1 q q Μερικοί τρόποι ολοκληρώσεως Ø Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: udv uv vdu Για παράδειγμα: u v Επαναλαμβάνοντας στο δεύτερο όρο έχουμε " I() 2 e d 2 d(e ) 2 e " 2 e d + c 1 " " 2 e d 2e + 2 e d 2e + 2e + c " 2
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 16 Ολοκληρωτικός λογισμός Ø Τέλειο διαφορικό προσπαούμε με αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης το διαφορικό της συνάρτησης να είναι διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής που εμφανίζεται στην ολοκληρωτέα συνάρτηση I() cos 2 π.χ sin d " d ( cos ) sin d Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα d d " ln d 1 ln( + b ) + b 1 1 sin( ) d " cos( ) cos( ) sin( ) d d e 2 2 " e d ( 1) 2 2 2 1 b " I() " cos 2 d ( cos ) d 1 2 ( + b) b( + b)
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 17 Αναπτύγματα σε σειρές n n n n 1 n( n 1) n 2 2 n( n 1)( n 2) n 3 3 ( + b) + b + b + b + 1 2 3 n( n 1) 2 ( 1+ ) n 1+ n + + 2 Για <<1 (1 + ) n 1 + n 2 3 e 1+ + + + 2 3 2 3 4 ln(1 ± ) ± ± + 2 3 4 Για <<1 Για <<1 e 1 + ln(1± ) ± 2 4 6 cos 1 + + 2 4 6 3 5 7 sin + + 3 5 7 3 5 7 2 17 tn + + + + 3 15 315 < 2 σε ακτίνια