MNGEMENT OF FINNI INSTITUTIONS ΔΙΑΛΕΞΗ: ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ (URTION) Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Χρηματοοικονομικής Γκ. Χαρδούβελης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Παράδειγμα Σταθμισμένης Διάρκειας (uaion) Σταθμισμένη Διάρκεια και Ευαισθησία Ορισμός Σταθμισμένης Διάρκειας Πίνακας υπολογισμού Σ.Δ. ομολογίας Παράδειγμα εξουδετέρωσης κινδύνου επιτοκίου Σ.Δ. Διηνεκούς Ροής Σ.Δ. Ράντας Σ.Δ. Ομολογίας Σ.Δ. Χαρτοφυλακίου Άνοιγμα Σταθμισμένης Διάρκειας Εξουδετέρωση κινδύνου και Άνοιγμα Σ.Δ. Κεφαλαιακή Επάρκεια και Κίνδυνος Επιτοκίου 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Η σταθμισμένη διάρκεια αποτελεί δείκτη ευαισθησίας (ποσοστιαίας αλλαγής στην τιμή) ενός περιουσιακού στοιχείου ως προς τις μεταβολές των επιτοκίων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: (από διάλεξη για τον Κίνδυνο Επιτοκίου) Μ Α = Μ = έτος 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Α: $00 εκατ. δάνειο, με την πρόβλεψη ότι $50 εκατ. θα αποπληρωθούν σε 6 μήνες και τα υπόλοιπα $50 εκατ. σε 2, με ετήσιο επιτόκιο 5%. : χρόνου, απόδοση 5% και M.Α. $5 εκατ. $57,5 $53,75 ----------------------- --------------------------- 0 ½ έτος PV = 57,5 /,075 PV = 53,75 / (,075) 2 = 53,49 = 46,5 4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Στο παράδειγμα, η σταθμισμένη διάρκεια του δανείου είναι το σταθμισμένο άθροισμα των περιόδων έως τη λήξη, με συντελεστή στάθμισης έκαστης περιόδου την παρούσα αξία της χρηματοροής της περιόδου ως κλάσμα της τρέχουσας τιμής του δανείου. Χρονική περίοδος Στάθμιση ½ έτη w /2 = 53,49/00 = 0,5349 έτος w = 46,5/00 = 0,465 = w /2 (/2 έτη) + w ( έτος) = 0,5349 /2 + 0,465 = 0,7326 έτη = έτος, επειδή w = Συνεπώς, < παρόλο που Μ Α =Μ 5
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ & ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Περίπτωση Α: Απλή χρηματοροή την περίοδο : ---------------- -------- ---------------- -------- 0 Η Η επενδυτικός ορίζοντας χρονική στιγμή πριν ή μετά το τέλος του Η V 0, (+) - η παρούσα αξία τη χρονική στιγμή 0 που χορηγείται τη χρονική στιγμή V H, (+) H- η μελλοντική αξία - τη χρονική στιγμή Η - που χορηγείται τη χρονική στιγμή Εστω ότι το μεταβάλλεται σε +Δ H V (H )( ) V ~ H, H, V V H, H, (H ) 6
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ & ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Αν Αν Η > Η < { 0 V ~ H, (κίνδυνος επανεπένδυσης) { 0 V ~ H, (κίνδυνος αλλαγής της τιμής) Ο κίνδυνος επιτοκίου εξαλείφεται όταν: Η = 0} 0} όταν, δηλαδή, αγοράζονται ομόλογα χωρίς τοκομερίδιο, των οποίων η διάρκεια, Μ, είναι ίση με τον επενδυτικό ορίζοντα Η. Αν Η = 0 V ~ V ~ 0, H, 0 (ευαισθησία της τιμής) 7
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ & ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Περίπτωση Β: Χαρτοφυλάκιο πολλαπλών χρηματοροών: 2 3 M- M ---------- ---------- ---------- ----------------------- ---------- Τ 0 2 3 M- M H Οι τίτλοι σταθερού εισοδήματος είναι χαρτοφυλάκια σταθερών χρηματοροών. Η αξία του παραπάνω χαρτοφυλακίου την περίοδο Η είναι: M V H, T H M V H, V V H, H, M V H, (H) 8
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ V V V H M H, M H, M H, H H T T H M w H T ~ H, 9 Όπου, Ορίζουμε τη σταθμισμένη διάρκεια ως: 0 0, H H H, H H H, T V T ) ( V ) ( T V w M w
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Δηλαδή = Σταθμισμένος μέσος όρος των περιόδων έως τη λήξη των σταθερών χρηματοροών ενός χαρτοφυλακίου, με σταθμίσεις τις παρούσες αξίες των χρηματοροών ως κλάσματα της συνολικής παρούσας αξίας του χαρτοφυλακίου. Έτσι: T ~ (H Εξουδετέρωση του κινδύνου επιτυγχάνεται όταν Η=. Τότε ο κίνδυνος αλλαγής της τιμής και ο κίνδυνος επανεπένδυσης αλληλοεξουδετερώνονται. Όταν Η=0 τιμής. H, T ~ 0 ) Αυτή είναι η ευαισθησία στην αλλαγή της 0
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΟΜΟΛΟΓΟΥ Σταθμισμένη Διάρκεια, Προσαρμοσμένη Σταθμισμένη Διάρκεια, Κυρτότητα Ευρωομόλογο με = 80, F =.000 και Μ= 6 περίοδοι, (=8%) ΧΡΗΜΑΤΟ- ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Συμβολή της κάθε Συμβολή της κάθε ΡΟΗ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗΣ ΑΞΙΑ ΣΤΑΘΜΙΣΗΣ περιόδου στην περιόδου στην F V 0, F V 0, (/P)xF V 0, =w Σταθμισμένη Διάρκεια Κυρτότητα w w (+) 80 (,08) - = 0,926 74,07 0,07407 0,07407 0,485 2 80 (,08) -2 = 0,857 68,59 0,06859 0,378 0,452 3 80 (,08) -3 = 0,794 63,5 0,0635 0,9053 0,76208 4 80 (,08) -4 = 0,735 58,80 0,05880 0,23520,7605 5 80 (,08) -5 = 0,68 54,45 0,05445 0,27225,63340 6.080 (,08) -6 = 0,630 680,58 0,68058 4,08348 28,58449 ΑΘΡΟΙΣΜΑ.000,00 4,9927 32,7569 = 4,9927, M=4,9927/(,08)=4,62288, X=32,7569/(,08) 2 =28,04843 ΔP/P -M Δ + (/2)X (Δ) 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Έστω =8%. Μια ασφαλιστική εταιρεία πρέπει να πληρώσει σε 5 χρόνια,469 εκατ. Πώς μηδενίζει τον κίνδυνο επιτοκίου, όταν δεν υπάρχουν 5-ετή ομολογίες τελικής απόδοσης (zeo coupon) στην αγορά; Απάντηση: Πρέπει να κατασκευάσει ένα χαρτοφυλάκιο ομολόγων με = 5 χρόνια. Το εξαετές ομόλογο του προηγούμενου πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί, καθώς έχει = 4,993 5 χρόνια. 80 80 80 80 80 080 -------- -------- -------- -------- -------- -------- 0 2 3 4 5 6 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Περίπτωση Α: Έστω ότι το παραμένει στο 8%. a) Η τιμή του ομολόγου τον 5 ο χρόνο θα είναι: P 5 =,080 εκατ. /,08 = εκατ. b) Ανατοκισμός τοκομεριδίων: 80[(,08) 4 3 (,08) (,08) (,08) ] 2 80 (,08),08 5 80 (,08) 5 0,08 0,469 Συνολικά έσοδα: + 0,469 =,469 εκατ. 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Περίπτωση Β: Έστω ότι =7%. a) P 5 =,009 εκατ. b) Ανατοκισμός τοκομεριδίων = 0,460 εκατ. Συνολικά έσοδα =,469 εκατ. Περίπτωση Γ: Έστω ότι =9%. a) Ρ 5 = 0,99 εκατ. b) Ανατοκισμός τοκομεριδίων = 0,478 εκατ. Συνολικά έσοδα =,469 εκατ. Άσκηση: Εξετάστε τι συμβαίνει όταν =6% και =0%. Θα διαπιστώσετε ότι η εξουδετέρωση δεν είναι τέλεια λόγω κυρτότητας (convexiy). 4
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΔΙΗΝΕΚΟΥΣ ΡΟΗΣ (PERPETUITY) Άσκηση: Διηνεκής Ροή προσφέρει ετήσιο τοκομερίδιο επ άπειρον, Μ =. Υπολογίσατε τη Σταθμισμένη Διάρκειά της,. Λύση: Τιμή διηνεκούς ροής, Ρ = /. Επίσης, ΔΡ/Δ = -(/ 2 ) ΔΡ/Ρ = - (/) Δ Όμως, για κάθε χαρτοφυλάκιο σταθερών ροών: Συνεπώς, P / P P P P P Παρατηρείστε ότι η είναι ανεξάρτητη του. 5
Σ.Δ. ΔΙΗΝΕΚΟΥΣ ΡΟΗΣ Αν = 20% = 6 έτη Αν = 0% = έτη Αν = 5% =2 έτη Αν = 2% =5 έτη P P Εναλλακτική λύση ( ) P P Ξεκινήστε με κάποιο και κάποιο και υπολογίστε την τιμή Ρ. Στη συνέχεια, μεταβάλετε το σε = +Δ. Υπολογίστε τη νέα τιμή P και τη μεταβολή στην τιμή, ΔP=P -P. Με δεδομένα τα Ρ,, Δ και ΔΡ, υπολογίστε το από τον τύπο. 6
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΡΑΝΤΑΣ (NNUITY) --------- --------- --------- -------------------------------------- 0 2 3 Μ Συνεπώς, P ( M ) P M ( ) 2 P P M M ( ) M ( ) M 7
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Σ.Δ. ΡΑΝΤΑΣ a) ανεξάρτητη του b) M, με το όριο να είναι το c) 8
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ) ( F M 9 F F ) ( M
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ a) Για ομολογίες στο άρτιο (pa bonds): M ( ) F b) Για ομολογίες χωρίς τοκομερίδιο (pue discoun bonds): F 0 M Ιδιότητες Σ.Δ. Ομολογιών a) Μ (για ομολογίες Υπέρ- ή Στο- Άρτιο) b) c) 20
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ =M 45 0 + (/) Διηνεκής Ροή Ομολογία τελικής απόδοσης (χωρίς τοκομερίδιο) Υπέρ το άρτιο Άρτιο Υπό το άρτιο M Σταθμισμένη Διάρκεια ως συνάρτηση της διάρκειας έως τη λήξη, Μ, και με δεδομένες τιμές για και F 2
Σ.Δ. ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟ-ΤΟ-ΑΡΤΙΟ = 0% /F M _ 0 20 30 40 50 00 _ 0% 6,76 9,36 0,37 0,76 0,9,00,00 5% 7,66 0,74,43,39,24,0,00 % 9,27 5,45 7,05 5,6 3,69,06,00 0,% 9,92 9,32 27,06 32,4 28,79,63,00 0% 0 20 30 40 50 00 22
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος της σταθμισμένης διάρκειας των στοιχείων του χαρτοφυλακίου με συντελεστές στάθμισης την παρούσα αξία των στοιχείων ως κλάσμα της συνολικής αξίας του χαρτοφυλακίου. Παράδειγμα: Χαρτοφυλάκιο μετοχών και ομολόγων Έστω χαρτοφυλάκιο με n x ομόλογα της εταιρείας Χ και n y μετοχές της εταιρείας Y. Παρούσα Αξία Χαρτοφυλακίου: P (x) (y) 0 n xp0 n yp0 όπου 23
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ και Ν > Μ. Ξεκινάμε περιγράφοντας τη Σ.Δ. αναλυτικά για όλο, 0 N ) y ( ) y ( 0, 0 M ) x ( ) x ( 0 V P V P 24 Ξεκινάμε περιγράφοντας τη Σ.Δ. αναλυτικά για όλο το χαρτοφυλάκιο, από = έως =N: ) P V ( n ) P V ( n n 0 0, N M ( y) y 0 0, ( y) y ( x) x M p
ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Στη συνέχεια, διαχωρίζουμε τις ροές του χαρτοφυλακίου σε ροές ομολογιών και μετοχών και πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε έκαστο τμήμα με την παρούσα αξία του: M (x) ( x) V0, P0 x ( ) ( ) (x) P P 0 0 (y) ( y) V0, P0 y ( ) ( ) (y) P P 0 0 n N n x n P P 0 (x) 0 x n y P P 0 (y) 0 y 25
ΑΝΟΙΓΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (URTION GP) ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Χ.Ι. Υποθέτουμε ότι = = 26 E
ΑΝΟΙΓΜΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ Έτσι η ευαισθησία στις αλλαγές των επιτοκίων της καθαρής θέσης ενός ΧΙ είναι συνάρτηση: a) του ανοίγματος της σταθμισμένης διάρκειας (duaion gap), b) του μεγέθους του ενεργητικού, Α c) του μεγέθους της μεταβολής του επιτοκίου, Εξουδετέρωση κινδύνου επιτοκίου επιτυγχάνεται όταν: 27
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ URTION GP Παράδειγμα: Ενεργητικό: Α = 500 εκατ. Παθητικό: = 450 εκατ. Καθαρή Θέση: Ε = 50 εκατ. Σ.Δ.: = 4 έτη, = 2,5 έτη Επιτόκια: = = 2% Ερωτήσεις: Έστω στο 3%. Υπολογίστε τη νέα αγοραία αξία των Α,, Ε και την % μεταβολή τους. Απαντήσεις: 4 0,0,2 0,036 7,86 ' 482,4 28
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ URTION GP 2,5 0,0,2 0,022 0,05 ' 439,96 E' ' ' 482,4 7,8 439,96 0,56 42,9 Εναλλακτικά: 450 0,0 4 2,5 500 500,2 0,0 (,75)(500) 7,8,2 29
ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ & URTION GP Πώς αποφεύγεται η έκθεση στον κίνδυνο επιτοκίου; a) b) ' ' 2,25 4,44 c) ' 3, ' 3,33 30
ΚΕΦΑΛΑΙΑΚΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑ & ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Οι κανονισμοί κεφαλαιακής επάρκειας επιβάλουν: E 0,08 Ας υποθέσουμε ότι Χ.Ι. επιθυμεί να θέσει: ( / ) Ποιο κανόνα πρέπει να ακολουθήσει; 0 Απάντηση: Ο κανόνας είναι: = 3
ΚΕΦΑΛΑΙΑΚΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑ & ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Απόδειξη: 2 32 αλλά, E
ΚΕΦΑΛΑΙΑΚΗ ΕΠΑΡΚΕΙΑ & ΕΞΟΥΔΕΤΕΡΩΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ και Έτσι: 33 Έτσι: Άρα: όταν 0