5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π. Όροι της ακολουθίας Ο αριθµός στον οποίο αντιστοιχίζεται το ονοµάζεται πρώτος όρος της ακολουθίας και συµβολίζεται συνήθως µε α, ο αριθµός στον οποίο αντιστοιχίζεται το ονοµάζεται δεύτερος όρος της ακολουθίας και συµβολίζεται µε α κ. λ.π 3. ν- στός όρος ή γενικός όρος Ο αριθµός στον οποίο αντιστοιχίζεται ο φυσικός αριθµός ν ονοµάζεται ν- στός όρος ή γενικός όρος της ακολουθίας και συµβολίζεται συνήθως µε α ν Το α ν είναι ένας µαθηµατικός τύπος µε µεταβλητή τον φυσικό αριθµό ν Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) 4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. Ακολουθία ορισµένη Μία ακολουθία είναι ορισµένη όταν γνωρίζουµε τους όρους της ή µπορούµε να τους βρούµε. Η εύρεσή τους γίνεται µέσα από αναδροµικό τύπο.
ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Προσδιορισµός όρων µιας ακολουθίας Όταν γνωρίζουµε τον ν-οστό όρο α ν, για να βρούµε κάποιον όρο της ακολουθίας π.χ τον 5 ο, βάζουµε στον τύπο του α ν όπου ν το 5 και κάνουµε πράξεις. Αν η ακολουθία ορίζεται αναδροµικά τότε χρησιµοποιούµε όλες τις πληροφορίες που έχουµε για να µπορέσουµε να βρούµε τον ζητούµενο όρο.. Μειονέκτηµα Όταν µία ακολουθία ορίζεται αναδροµικά και θέλουµε να βρούµε κάποιον όρο της, π.χ τον α 5, είµαστε υποχρεωµένοι να βρούµε όλους τους προηγούµενους όρους και µετά τον ζητούµενο, πράγµα που είναι χρονοβόρο 3. Κάτι που εξυπηρετεί Αν µία ακολουθία ορίζεται αναδροµικά, τότε µπορούµε, κάποιες φορές,να προσδιορίσουµε τον τύπο του ν-οστού όρου και στην συνέχεια µέσω αυτού να βρούµε όποιον όρο της ακολουθίας θέλουµε. Οι ποιο συνηθισµένες περιπτώσεις είναι εκείνες στις οποίες η ακολουθία ορίζεται αναδροµικά όπως παρακάτω α = α και α ν + = γ α ν + β ή α = α και α ν + = β α ν όπου α, γ και β γνωστοί αριθµοί 4. Από τον ν- στο όρο σε αναδροµικό ορισµό Κάποιες φορές αν είναι γνωστός ο ν-στός όρος, µπορούµε να ορίσουµε την ακολουθία και αναδροµικά. Οι ποιο συνηθισµένες περιπτώσεις είναι εκείνες στις οποίες ο ν-στός όρος είναι της µορφής α ν = α ν + β ή α ν = β α ν, όπου α και β γνωστοί αριθµοί
3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών α ν = ( ) ν + α ν = συν νπ 4 i α ν = ν + iν) α ν = ν 4 ν) α ν = ν ν+ ν α ν = ηµ νπ α = ( ) + = + = 0 α = ( ) + = + = α 3 = ( ) 3 + = + = 0 α 4 = ( ) 4 + = + = α = συν π 4 = α = συν π 4 = συν π = 0 α 3 = συν 3π 4 = α 4 = συν 4π = συν π = 4 i α = + = + = 3 α = + = 8 + = 9 α 3 = 3 + =8 + = 9 α 4 = 4 + = 3 + = 33 iν) α = 4 = 3 = 3 α = 4 = = α 3 = 3 4 = = α 4 = 4 4 = 0 = 0 ν) α = + = α 3 = 3 3+ = 4 ν Σχόλιο α = = 0 + α 4 = 4 4+ = 5 α = ηµ π = = α = ηµ π = ηµπ = 0 = 0 α 3 = ηµ 3π = ( ) = α 4 = ηµ 4π = ηµπ = 0 = 0
4. Να βρείτε τους 3 ους όρους των ακολουθιών α ν α = και α ν + = α = 0 και α ν + = α ν 3 3 i α = και α ν + = iν) α = και α ν + = α ν αν Σχόλιο α 3 Ο αναδροµικός τύπος για ν = δίνει α = = = 3 3 3 = α για ν = δίνει α 3 = = = 3 3 3 Για ν = έχουµε α = α 3 = 0 3 = 3 Για ν = έχουµε α 3 = α 3 = ( 3) 3 = 9 i Για ν = έχουµε α = α = = Για ν = έχουµε α 3 = α = = iν) Για ν = έχουµε α = α = ( ) = + = Για ν = έχουµε α 3 = α = = = 3 3. Να ορίσετε αναδροµικά τις ακολουθίες α ν = ν 4 α ν = 3 4 ν ν+ Για ν = έχουµε α = 4 = Είναι α ν + α ν = (ν + ) 4 (ν 4) = ν + 4 ν + 4 = Αποδείχθηκε ότι α ν + α ν = α ν + = + α ν Οπότε αναδροµικά η ακολουθία γράφεται : α = και α ν + = + α ν + 3 3 Για ν = έχουµε α = = = 3 4 4 ν + ν+ 3 ν ν αν + Είναι = 4 3 3 = = 6 ν ν+ ν ν α 3 ν 3 4 αν + Αποδείχθηκε ότι = 6 α ν + = 6α ν αν Οπότε αναδροµικά η ακολουθία γράφεται : α = 3 και α ν + = 6α ν
5 4. Να βρείτε τον ν-στό όρο των παρακάτω ακολουθιών α) α = 4 και α ν + = α ν 3 β) α = και α ν + = α ν Της πρώτης ακολουθίας να βρείτε τον όρο ν + τάξης και της δεύτερης τον όρο κ τάξης α) Είναι α = α και µε βάση τον αναδροµικό τύπο έχουµε α = α 3 α 3 = α 3 α 4 = α 3 3 α ν = α ν 3 α ν = α ν 3 (το πλήθος των ισοτήτων είναι ν ) Προσθέτοντας κατά µέλη όλες τις ισότητες και λαµβάνοντας υπόψη ότι τα τριάρια στο ο µέλος εµφανίζονται ν φορές, έχουµε ότι α ν = α 3(ν ) = = 4 3ν + 3 = = 3ν β) Είναι α = α και µε βάση τον αναδροµικό τύπο έχουµε α = α α 3 = α α 4 = α 3 α ν = α ν α ν = α ν (το πλήθος των ισοτήτων είναι ν ) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη όλες τις ισότητες και λαµβάνοντας υπόψη ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι 0, καθώς επίσης ότι το στο ο µέλος εµφανίζεται ν φορές, έχουµε ότι α ν = ( ) ν α = = ( ) ν = = ( ) ν ( ) = ( ) ν α ν + = 3(ν + ) = 3ν 6 = 3ν 7 α κ = ( ) κ
6 5. Ο γενικός όρος της ακολουθίας αν = 5ν 5ν + είναι Α. α ν = 5ν + Β. α ν = 0ν Γ. α ν = 0ν. α ν = Ε. α ν = Επιλέξτε την σωστή απάντηση Επειδή το ν είναι φυσικός αριθµός µε ν, είναι 5ν > 0 και 5ν + > 0 Άρα 5ν = 5ν και 5ν + = 5ν + Οπότε α ν =5ν (5ν + ) = 5ν 5ν = Εποµένως σωστή απάντηση είναι η 6. Για την ακολουθία (αν) µε αν = 5 ν είναι Α. α ν + = α ν Β. α ν > α ν + Γ. α ν < α ν +. α ν + = 5 α ν Ε. α ν = 5 α ν + Επιλέξτε την σωστή απάντηση Είναι α ν + = 5 ν + και προφανώς 5 ν + < 5 ν Άρα α ν + < α ν Συνεπώς σωστή απάντηση είναι η Β για κάθε ν N * 7. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τους όρους που λείπουν στις ακολουθίες που ορίζονται στην πρώτη στήλη Ακολουθία α α α 3 α 4 α 5 α ν + = α ν + 3 α ν + = α ν + 3 Ο τύπος α ν + = α ν + για ν = δίνει α 3 = α + για ν = δίνει α = α + α 3= 3 3 = α + α = α= για ν = 3 δίνει α 4 = α 3 + = 3 + = 5 α4 = 5 για ν = 4 δίνει α 5 = α 4 + = 5 + = 7 Οµοίως δουλεύοντας για την δεύτερη ακολουθία βρίσκουµε ότι α 3 = 7, α = 4, α = 5 και α 5 = 5 = α + α = α 3 = 3 Συµπληρωµένος ο πίνακας Ακολουθία α α α 3 α 4 α 5 α ν + = α ν + 3 5 7 α ν + = α ν + 5 4 7 3 5