ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. Τον νγνώστη, που ενδιφέρετι γι το περιεχόμενο των πργράφων 1 κι 2, τον πρπέμπουμε στ [Ζ1], σελ. Ε8-Ε26 κι [Ζ2], σελ. 211-243, [ΖΚ], σελ.178-185. Γράφουμε νν ντί του ν κι μόνον ν. 1. Προλεγόμεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή με έννοιες πό την Μθημτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύμφων με την Πλτωνική ντίληψη του Κόσμου, οι έννοιες υτές θεωρούμε ότι προϋπάρχουν κι ότι δεν είνι κενές περιεχομένου. Μί οντότης γι μς εδώ, είνι το περιεχόμενο μιάς έννοις. Το ενδιφέρον μς θ επικεντρώνετι στις σχέσεις που νπτύσσοντι νάμεσ στις οντότητες που θεωρούμε. Έτσι, τ ερωτήμτ που θέτουμε, είνι του τύπου τι ιδιότητες έχει κάτι κι όχι του τύπου τι είνι κάτι. γι πράδειγμ, δεν θέτουμε το ερώτημ τι είνι η μονάς λλά τι ιδιότητες θ πρέπει ν έχει κάποι οντότης, γι ν την ονομάσουμε μονάδ. Τις οντότητες τις σημειώνουμε με σύμβολ. Προσοχή όμως! Το ίδιο σύμβολο χρησιμοποιείτι συχνά γι ν σημειώσει διφορετικές οντότητες. Ενδιφερόμεθ συνεπώς, γι τον προσδιορισμό σχέσεων μετξύ συμβόλων, των οποίων την ύπρξη δεχόμεθ, κι γι την εξγωγή συμπερσμάτων, τ οποί θ φορούν τ σύμβολά μς, κι μόνον υτά, κι τ οποί συμπεράσμτ θ στηρίζοντι στις πρπάνω σχέσεις κι στην ποδεκτή λογική. Το σύνολο των ρχικά χρησιμοποιουμένων συμβόλων κι σχέσεων κλείτι Αξιωμτικό σύστημ. Εφόσον στ χρησιμοποιούμεν σύμβολ επισυνάπτουμε οικείες έννοιες θ λέμε ότι, το σύνολο υτών των εννοιών, ποτελεί έν μοντέλο το οποίο νπριστά το ξιωμτικό μς σύστημ. Επειδή, τώρ, με ορισμέν μοντέλ έχουμε μεγάλη οικειότητ, τ σύμβολ του ξιωμτικού μς συστήμτος λβίνουν ονομσίες, που εμπνέοντι πό το ιδιίτερο υτό μοντέλο. Έν ξιωμτικό σύστημ πρέπει ν είνι: ) Συμβτό. Μέσ σ υτό, δηλδή, δεν υπάρχει ζεύγος ντιφτικών προτάσεων, που ν μπορούν κι οι δύο ν εξχθούν με την ποδεκτή λογική, πό τ ξιώμτ του συστήμτος. β) Ανεξάρτητο. Τούτο σημίνει, ότι το σύνολο των ρχικών σχέσεων, που κλούντι κι ξιώμτ (= ιτήμτ) του συστήμτος, δεν προυσιάζουν πλεονσμούς. Κνέν δηλδή ξίωμ δεν προκύπτει, με την ποδεκτή λογική, πό τ υπόλοιπ. γ) Πλήρες. Τούτο σημίνει ότι, γι κάθε σχέση που γράφετι γι τ σύμβολά μς, είμστε σε θέση ν ποφνθούμε ν κι κτά πόσον η σχέση υτή συνάγετι πό προτάσεις του ξιωμτικού μς συστήμτος. Ερχόμστε, τώρ, στην έννοι σύνολο. Δεχόμεθ τ πρκάτω ως προς την δυντότητά μς ν θεωρούμε σύνολ. Τ σύνολά μς τξινομούντι σε επίπεδ. Μηδενικό επίπεδο: Περιέχει τις οντότητες. Πρώτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό οντότητες. Δεύτερο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό ντικείμεν που νήκουν είτε στο πρώτο, είτε στο μηδενικό, είτε κι στ δύο προηγούμεν επίπεδ. Τρίτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές στοιχείων, που νήκουν είτε στο δεύτερο, είτε στο πρώτο, είτε στο μηδενικό επίπεδο, είτε σε οιονδήποτε συνδυσμό π τ προηγούμεν. Τ επίπεδ κτά τον τρόπο υτόν υξάνουν. Σύνολο κλείτι το στοιχείο του τυχόντος k-επιπέδου. Κλάσης κλείτι ότι δεν είνι σύνολο. Συνέπει υτής της τξινομήσεως, είνι ότι το σύνολο όλων των συνόλων είνι κλάσης, κι όχι σύνολο. Ιστορική σημείωση. Η τξινόμησης υτή των συνόλων, έγινε πό τον Russell στο Principia Mathematica γι ν ποφύγει την νάπτυξη πρδόξων ορισμένου τύπου (βλέπε Χρονικό, στο τέλος της ενότητς υτής). Η κτσκευή υτή των συνόλων, είνι γνωστή ως comulative theory o types ή ως comulative type structure. 2. Το ξιωμτικό σύστημ των Zermelo-Fraenkel. Τις οντότητες του μηδενικού επιπέδου θ τις κλούμε στοιχεί κι θ τις συμβολίζουμε με μικρά γράμμτ. Τις οντότητες του πρώτου επιπέδου θ τις κλούμε σύνολ κι θ τις συμβολίζουμε, συνήθως, με κεφλί
γράμμτ. Οντότητες του δευτέρου επιπέδου θ συμβολίζοντι με κεφλί κλλιγρφικά γράμμτ. Εισάγουμε, τώρ, μιά συμβολική γλώσσ, με την βοήθει της οποίς θ χειριζόμστε τ στοιχεί κι τ σύνολ. ) A, διάβζε, το είνι έν στοιχείο του Α. Α, διάβζε, το δεν νήκει στο Α. β), διάβζε, γι κάθε., διάβζε, υπάρχει. :, διάβζε, τέτοιο ώστε. γ), (ή ), διάβζε συνεπάγετι. (ή ) διάβζε διπλή συνεπγωγή. δ), διάβζε κι., διάβζε είτε.!, διάβζε έν κι μόνον έν. Οποιοσδήποτε λογικός συνδυσμός των πρπάνω συμβόλων, ποτελεί μί λογική πρότση φ. Μί πρότση, που φορά την οντότητ x, την συμβολίζουμε με το φ(x). Με φ(x), ή φ(x) ή ~φ(x) συμβολίζετι η άρνησης της λογικής προτάσεως φ(x). Αν θέλουμε ν δηλώσουμε ότι το σύνολο Α ποτελείτι πό τ στοιχεί, β, κ.ο.κ., γράφουμε Α = {, β}, κ.ο.κ. Αν τ, β, κ.ο.κ. είνι στοιχεί, δηλδή οντότητες του μηδενικού επιπέδου, τότε το {, β} είνι μί οντότης του πρώτου επιπέδου. Ιδιίτερ, στο πρώτο επίπεδο νήκουν τ σύνολ της μορφής {}. Εξ ορισμού είνι, {, } = {}. Το δεύτερο επίπεδο είνι δυντόν, σύμφων με την πρπάνω εκτεθείσ θεωρί των τύπων, ν περιέχει κάποιο συνδυσμό πό οντότητες του τύπου, β, είτε {}, {β}, είτε {, β}, είτε {}, {, β}. Το σύνολο λοιπόν {, {}, {, β}} είνι μί οντότης του δεύτερου επιπέδου. Α1. Αξίωμ κενού συνόλου. Υπάρχει έν σύνολο, χωρίς στοιχεί. Το σύνολο υτό το συμβολίζουν με το, κι κλείτι κενό σύνολο. Κάνοντς χρήση της πρπάνω γλώσσς, το ξίωμ υτό είνι δυντόν ν γρφεί κι ως εξής: x(x ). Εξ ορισμού το περιέχετι σε κάθε σύνολο. Α2. Δυντότητ σχημτισμού υποσυνόλων. Έστω E κάποιο σύνολο, κάποιου επιπέδου, το οποίο πό δω κι στο εξής θ θεωρούμε ότι υτό περιέχει τις οντότητες με τις οποίες πρόκειτι ν σχοληθούμε. Έν υποσύνολο τότε Χ του E, ορίζετι πό μιά λογική πρότση φ. Έχουμε, δηλδή, ότι Χ z(z X z E φ(z)). Έν υποσύνολο που ορίζετι πό την φ(z), θ το συμβολίζουμε πλά ως Χ = {z φ(z)}. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Α Β, γι ν δηλώσουμε ότι το Α ορίζετι ως εξής: Α = {z z Β}. Γράφουμε κι Β Α. A3. Τ σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, γράφουμε Α = Β, ν κι μόνον ν, ποτελούντι πό τ ίδι στοιχεί. Χρησιμοποιώντς την συμβολική μς γλώσσ, το Α3 γράφετι κι ως εξής: z(z X z Y) X = Y. Ισχύει φνερά κι η Χ = Υ z(z X z Y). Ισχύει, λοιπόν, ότι {, β} = {β, }. γι ν ποδείξουμε ότι δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, ρκεί ν δείχνουμε μφότερες τις σχέσεις Α Β κι Α Β. Γράφουμε Α Β, ν δεν έχουμε Α = Β. Αν Α Β, λλά Α Β, γράφουμε Α Β. Α4. Σύμφων με την θεωρί των τύπων, το σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου Χ, είνι σύνολο. Το συμβολίζουμε με το X = P(X). Το σύνολο όλων των συνόλων, δεν είνι σύνολο. A5. Δυντότητ ενώσεως κι τομής δύο συνόλων. Το ξίωμ υτό εξσφλίζει ότι τ Α Β κι Α Β είνι σύνολ. Αυτά ορίζοντι ως εξής: Α Β = {z z A z B} κι Α Β = {z z A z B}. Σημειώνουμε την δυντότητ θεωρήσεως συνόλων της μορφής W = {{z}}. Επειδή τ z, {z} κι {{z}} νήκουν σε διφορετικά επίπεδ, το ξίωμ υτό μς δίδει την δυντότητ ν θεωρούμε κάθε φορά το κτάλληλο επίπεδο γι το σύνολο E. Α6. Αξίωμ ντικτστάσεως. Σύνολ σχημτίζοντι κι ως εξής:
Χ = {x z!(z E φ(x,z))}. Το ξίωμ υτό, μς δίδει την δυντότητ ν ντιστοιχίζουμε το πολύ έν z σε κάθε x, μέσω κάποις λογικής προτάσεως φ. Ιστορική σημείωση. Τ πρπάνω ξιώμτ, τ οποί ουσιστικά κθορίζουν τ επιτρεπτά σύνολ, διμορφώθηκν πό τους Zermelo (1908) - Fraenkel (1922) - Skolem (1930). Α7. Αξίωμ της επιλογής. Έστω S τυχόν μη κενό σύνολο, κι Ρ(S) το σύνολο των υποσυνόλων του. Μπορούμε ν θεωρούμε τότε το σύνολο C = {z!z(z P(S) z Z)}. Το C ποτελείτι δηλδή, πό στοιχεί z, γι τ οποί είμστε βέβιοι, ότι υπάρχει έν κι μόνο υποσύνολο Ζ του Μ, που ν το περιέχει. Πρδείγμτ Στ πρκάτω πρδείγμτ τ χρησιμοποιούμεν σύνολ, είνι όλ υποσύνολ του E. Οι νγρφόμενες σχέσεις ποτελούν τμήμ του ντικειμένου Άλγεβρ των Συνόλων. Βλέπε κι [Ζ1], σελ.23-32, [Ζ2], Κεφάλιο Πρώτο. 1) γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α β) Α Β Β Α Α = Β γ) Α Β Β Γ Α Γ. 2) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι: ) S β) S ν κι μόνον ν S =. 3) {x} S ν κι μόνον ν x S. 4) γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α = Α = Α Α. β) Α Β = Β Α κι Α Β = Β Α. γ) Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ κι Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ. δ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) κι Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). ε) Α Α Β Β Α Β Α Β κι Α Α Β Β Α Β Α Β. στ) Α Β Α Α Β ζ) Α Β = Α Α Β κι Α Β = Α Β Α. η) Α = Α = Α κι Α = Α = Α θ) Α Β = Α = Β =. 5) Ορίζετι το συμπλήρωμ του Β ως προς το Α πό την σχέση: Α c = {x A x B}. Γράφουμε κι Α c = Α Β. γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Β Α. β) Α Β = Α Α Β =. γ) Α Β = Α Β. δ) Α Β = Α (Α Β) κι Α Β = Α (Α Β). ε) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ). στ) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = Α (Β Γ). ζ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = (Α Β) Γ. η) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). c 6) Γι το συμπλήρωμ A του Α ως προς το E έχουμε τις σχέσεις, c ) E = κι c c c = E. β) (A ) = A. γ) A A c = E. δ) A A c =. c c ε) A B = A B. στ) B A A B κι A B B 7) Νόμοι του de Morgan. c c c c c c ) ( A B) = A B κι β) ( A B) = A B c c A 3. Δυϊκές σχέσεις. Εξντλητικά το θέμ νπτύσσετι στο κι [Ζ1],σελ.1-11. Βλέπε επίσης τ [Ζ2], σελ. 33. c
Έστω τ σύνολ Α κι Β. Το διτετγμένο ζεύγος (, β) όπου Α κι β Β ορίζετι ως το σύνολο (, β) = {, {, β}}. Φνερά, (, β) (β, ). Το κρτεσινό γινόμενο Α Β ορίζετι ως το σύνολο {(, β) Α β Β}. Πρδείγμτ. 1) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι, S = S =. Αντίστροφ, ν Α Β =, τότε είτε Α =, είτε Β =. 2) {} {β} = {(, β)}. 3) Αν Α Γ κι Β Δ, τότε κι Α Β Γ Δ. 4) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 5) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Έν υποσύνολο R A Β κλείτι δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β. Ιδιίτερ ενδιφερόμεθ γι την περίπτωση που είνι Β = Α, οπότε η R κλείτι δυϊκή σχέση επί του Α. Θ λέμε ότι η R ληθεύει γι το στοιχείο (, β) Α Β, ν κι μόνον ν (, β) R. Αντί του (, β) R γράφουμε πλά, Rβ. Συνώνυμ: δυϊκή σχέση = διμελής σχέση = δυδική σχέση. Πρδείγμτ. 1) Το ως υποσύνολο του Α Β ορίζει την κενή δυϊκή σχέση. 2) Το Α Β ως υποσύνολο του ευτού του ορίζει την τετριμμένοι δυϊκή σχέση. 3) Έστω R μί δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β κι Α, Β υποσύνολ των Α κι Β ντίστοιχ. Το υποσύνολο R = R (Α Β ) κλείτι περιορισμός της R επί του Α Β. Η ντίστροφος σχέσης της δυϊκής σχέσεως R ορίζετι ως το σύνολο R = {(β, ) (, β) R}. Πρδείγμτ. 1) = 2) ( R ) = R 3) Αν έχουμε δύο δυϊκές σχέσεις Q κι R επί το Α, τότε ισχύουν : 1 ) Q = R ν κι μόνον ν Q = R κι 1 Q R β) ν κι μόνον ν Q R. 4. Σχέση ισοδυνμίς. Εξντλητικά το θέμ νπτύσσετι στο κι [Ζ1],σελ.32-83. Βλέπε επίσης [Ζ2], σελ. 23. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση ισοδυνμίς επί του Α, ν κι μόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), συμμετρική κι μετβτική. Δηλδή, ν κι μόνον ν,, β Α, R, Rβ βr κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση ισοδυνμίς την δηλώνουμε με το. Η σχέση ισοδυνμίς λέγετι σχέση ισότητς = ν κι μόνον ν, ισχύει επιπλέον ότι, Α!β Α (, β) R. Έστω ότι, μς δίδετι το μη κενό σύνολο Α, κι μί σχέση ισοδυνμίς R έπ υτού. Τότε, με το τυχόν στοιχείο του Α, θεωρούμε κι όλ τ ισοδύνμ προς υτό στοιχεί. Αυτά, ποτελούν το σύνολο, (λέμε την κλάση) C. Φνερά, C μιά κι C φού. Είνι λοιπόν x C, ν κι μόνον ν, x. Πρτηρούμε ότι, το σύνολο Α, μερίζετι σε τάξεις ισοδυνάμων στοιχείων. Μερίζετι δηλδή σε υποσύνολ C, C, κλπ., τέτοι ώστε, ν έχουν νά δύο τομή κενή, κι η ένωση όλων ν είνι το Α. Πράγμτι, ν C C β, κι γ C Cβ, τότε, γ C κι γ Cβ. Γι κάθε C είνι όμως, γ κι επειδή το γ είνι κι στοιχείο του C β, γ β. Άρ κι β, οπότε, C β μιά κι υτό, περιέχει όλ τ ισοδύνμ προς το β στοιχεί. Δείξμε έτσι ότι, C C β. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η C Cβ. Άρ είνι C = Cβ. β
Δεν μπορούμε λοιπόν, ν έχουμε διφορετικές κλάσεις, με τομή μη κενή. Ξεκινάμε λοιπόν, πό το τυχόν στοιχείο του Α. Σχημτίζουμε την κλάση C. Αν υτή δεν τυτίζετι με το Α, λβίνουμε το στοιχείο β Α με β C κι θεωρούμε όλ τ ισοδύνμ προς υτό στοιχεί. Αυτά, φνερά, δεν θ νήκουν στο C, κι ποτελούν την C. Αν C C β A, λβίνουμε εκείνο το στοιχείο γ του Α, που δεν νήκει στην προηγούμενη ένωση, κ.ο.κ. Με τον τρόπο υτό, επιτυγχάνουμε τον μερισμό του Α. Σύνολο Πηλίκο ονομάζουμε το σύνολο εκείνο, που έχει σν στοιχεί του, τις κλάσεις ισοδυνμίς του Α. Το συμβολίζουμε με Α / R. Βλέπε κι [Ζ1], σελ. 83-91 κι [Ζ2], σελ. 45. 5. Συνρτησική σχέση. Βλέπε κι [Ζ1], σελ. 11γ-20. Μί διοικεί σχέση F A B κλείτι συνρτησική σχέση εκ του Α εις το Β, ή πλά συνάρτηση ή πεικόνιση με πεδίον ορισμού το Α κι πεδίον τιμών το Β, ν κι μόνον ν x A(!y B (x, y) F). Συμβολίζουμε με (x) το μονδικό υτό y, γι το οποίο (x, y) F, κι γράφουμε y = (x). Το y κλείτι τιμή ή εικόν του x δι της. Χρησιμοποιούμε κι τον συμβολισμό : A B ή τον x a y. Στην περίπτωση που το σύνολο τιμών Υ της είνι διάφορο του Β η κλείτι εντός. Αν όμως είνι Υ = Β η κλείτι επί. Η κλείτι έν-έν ν κι μόνον ν κι η F είνι συνάρτηση. Λόγω των ξιωμάτων Α6 κι Α7 μπορούμε ν θεωρούμε συνρτήσεις επιλογής. Μπορούμε, δηλδή, ν θεωρούμε την F: P(S) S η οποί ορίζει μί ντιστοιχί, που στο τυχόν υποσύνολο Α P(S) ντιστοιχεί το στοιχείο Α. Πάντ, F, F({ }) =. Έχουμε, δηλδή, A P(S), F(A) = A, όπου Α. Το F(P(S)) είνι λοιπόν έν σύνολο, γι το οποίο είμστε βέβιοι, ότι κάθε στοιχείο του, νήκει σε έν κι μόνο υποσύνολο, (στοιχείο) του P(S). Πρδείγμτ. 1) Η σχέση ισότητς I A επί του Α, είνι μί πεικόνιση έν-έν του Α επί το Α. Αυτή κλείτι τυτοτική πεικόνιση του Α. 2) Η κενή σχέση είνι συνάρτηση, ν κι μόνον ν Α =. 3) Η σχέση F = {(x, y) x A y {y}} = A {y} είνι μί συνάρτηση, η οποί κλείτι στθερά επί του Α. 4) Έστω N m = {1, 2,..., m} N, όπου N το σύνολο των φυσικών ριθμών. Κάθε σύνολο S, το οποίο πεικονίζετι έν-έν επί του υποσύνολου N m του N, κλείτι πεπερσμένο σύνολο. Συνρτήσεις = πεικονίσεις = μετσχημτισμοί, κλπ. Με τον όρο συνάρτηση πό το σύνολο Α στο σύνολο Β κλύπτουμε εκείνον τον μηχνισμό, που ορίζει την συνρτησική σχέση επί του A B. Κι τον μηχνισμό υτόν, τον πριστάνουμε με, g, κλπ. Ώστε, γι ν μπορούμε ν λέμε ότι έχουμε μί συνάρτηση, θ πρέπει ν πληρούντι τ κόλουθ: 1) Ν έχουν δοθεί δύο σύνολ Α κι Β (, χωρίς ν ποκλείουμε Β = Α). 2) Ν γνωρίζουμε, γι κάθε x A, το μονδικό y Β, που ντιστοιχεί μέσω κάποιου συγκεκριμένου μηχνισμού, σ υτό. 3) Γι ν είνι κλά ορισμένη η, θ πρέπει ν ποδείξουμε την μονδικότητ του (x). Θ πρέπει δηλδή, ν ποδείξουμε ότι, η σχέση (x1) (x 2 ) x 1 x 2. Θεωρούμε κι το σύνολο 1 (B ) = {x A (x) B B}, που κλείτι, ντίστροφη εικόν του συνόλου Β. Στην περίπτωση που, το ({y}) = (y) είνι μονοσύνολο, ορίζετι η συνάρτηση 1 : B A, που κλείτι, ντίστροφη συνάρτηση της. Με Aδηλώνουμε το γεγονός ότι, η ορίζετι πάνω στο Α. Ο περιορισμός g της επί του υποσυνόλου Α Χ, είνι εκείνη η g: A Y, γι την οποί ισχύει ότι g(x) = (x), x A. Συνήθως, τον περιορισμό της τον συμβολίζουμε με το ίδιο σύμβολο (δηλδή το ). Στην περίπτωση υτή, η λέγετι κι επέκτση της g. β
Injective (ενίσιμος) κλείτι μί έν-έν πεικόνιση :U V. Αν δηλδή, x 1,x 2 U, (x1) = (x 2) x1 = x 2. Surjective κλείτι κάθε επί πεικόνιση. Bijective κλείτι η, νν είνι έν-έν κι επί. Αυτομορφισμοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του. Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονομάζοντι μετθέσεις. Φνερά, η είνι συνάρτηση, νν η είνι έν-έν. Θεωρούμε y (U) το σύνολο 1 (y). Είνι, ( y) = U κι γι y y ( y ) ( ) =. U y ( U) 1 2, 1 y2 Το σύνολο U, μερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνμίς R:,x R (x ) (x ) x1 2 1 = 2 V 1 Το σύνολο ( 1 ), όπου V (U) ορίζετι ως το σύνολο Το σύνολο ( V 1 ) 1 ( V 1 ) 1 = {x U (x) V }. υπάρχει, νεξάρτητ πό το ν η είνι έν-έν ή όχι. (y), κι η εισάγει στο U την σχέση Έστω η : X Y κι Α, A, i I, υποσύνολ του Χ κι B, B, j J υποσύνολ του Υ. 1 Ισχύουν οι σχέσεις : i) ( (A)) A. i ii) ( (B)) (B). iii) iv) U A i = U (Ai ) v) i I i I vi) U i I A i = U i I (A ) i 1 vii) (B) = I i I A I i I j 1 (B (X)) I i (Ai ) i I Θεωρούμε τις πεικονίσεις : U V κι g: (U) W. Μπορούμε ν ορίσουμε την πεικόνιση g: U W πό την σχέση, x U, x(g) = (x)g = g((x)). Η h = g κλείτι γινόμενο ή σύνθεση των κι g. Γι ν δηλώσουμε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιμοποιούμε τ ντιμετθετικά διγράμμτ: Το γινόμενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ δε U V g περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι g = g. Οπότε σημειώνουμε πάντως h στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουμε, χωρίς W ν το λέμε, ότι υτή ορίζετι. Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόμος. Είνι δηλδή, (g)h = (gh), ως προκύπτει πό το U V gh g διάγρμμ που εμφνίζετι πρπλεύρως. g Z W h Θεωρούμε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι μί σχέση ισοδυνμίς R πάνω σ υτό. Στη συνέχει, θεωρούμε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R. Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το Ε/R πό την σχέση, x a Cx όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνμίς στην οποί το x νήκει. Η p είνι κλά ορισμένη, μιά κι όπως δείξμε (βλ. σελ. 2) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνμίς με κοινά στοιχεί. Υποθέτουμε κόμ, ότι έχουμε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση : E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R (x) = (y). A i = I i I (A ) i
p ΘΕΩΡΗΜΑ. Υπάρχει η g: E/R S κι είνι μονδική, έτσι ώστε, E E/R το δίπλ διάγρμμ, ν κθίσττι ντιμετθετικό. Επιπλέον, ν g surjection, η g είνι bijection. (Βλέπε κι [Ζ2], σελ. 46) Απόδειξη. Θ πρέπει ν δείξουμε ότι, = pg. Πράγμτι, πό S υπόθεση, η πεικονίζει όλ τ ισοδύνμ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S. Αν λοιπόν ορίσουμε την g έτσι ώστε a s = (x), το πιο πάνω διάγρμμ κθίσττι ντιμετθετικό. Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχμε ότι C a s κι C a s με Cx C y, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνμο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου με τον οποίον ορίστηκε η, ν έχουμε κι (x) (y), πράγμ δύντον, μί κι = pg. Δηλδή, g(p(x)) = g(p(y)) = s νν x y. A 3 Το ξίωμ (σελ. 2) ορίζει πότε δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι. Μέσω των έν-έν κι επί συνρτήσεων, ορίζουμε πότε δύο σύνολ είνι ισοδύνμ. Γράφουμε A B κι λέμε ότι το σύνολο Α είνι ισοδύνμο με το σύνολο Β, νν υπάρχει bijection g : A B. Φνερά η σχέση όπως ορίσθηκε, είνι μί σχέση ισοδυνμίς. Ισχύει επιπλέον το ΘΕΩΡΗΜΑ των Cantor-Bernstein. Δίδοντι δύο μη κενά σύνολ Α κι Β, γι τ οποί υπάρχουν συνρτήσεις έν-έν κι εντός, (injections) : A B κι g : B A. Είνι, τότε, A B. Απόδειξη. Έχουμε ότι, (A) B κι g(b) A. Θέτουμε Y = g(b). Η συνάρτηση s = g( (A) : A A ορίζετι, κι είνι έν-έν κι εντός, κι επιπλέον, s(a) Y A. C x x y g g(b) = Y A B g (A) Το θεώρημ θ έχει ποδειχθεί, ν ορίσουμε μι έν-έν κι επί συνάρτηση σ : A B. 2 Θέτουμε Z = B (A) κι S = g(z) s(a) s (A) K. Την συνάρτηση σ την ορίζουμε ως εξής: (x) γι x S σ(x) = (s(x)) γι x S ) Η σ είνι επί.. Είνι A = S (A S), κι συνεπώς, σ(a) = σ(s) σ(a S) = (S) (A S). 2 Όμως, (S) = (g(z)) (s(a)) (s (A)) K, άρ κι, (S) = (g(z)) s(s). Άρ κι σ (Α) = (g(z)) s(s) (A S) = (g(z)) (A) = B. β) Η σ είνι έν-έν. Επειδή όλες οι συνρτήσεις που χρησιμοποιήσμε είνι έν-έν, ρκεί ν δείξουμε ότι, σ (S) σ(a S) =. Είνι, όμως, σ (S) = (S) κι σ(a S) = (A S) = (A) (S)
Φνερά, δύο σύνολ που τυτίζοντι, είνι ισοδύνμ. Κτόπιν τούτου, κι του προηγουμένου θεωρήμτος, δικιούμεθ ν γράφουμε πλά = ντί του γι ν δηλώσουμε την ισότητ ή την ισοδυνμί δύο συνόλων. Πρτήρηση. Υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Πράδειγμ το σύνολο N των φυσικών ριθμών. Η σχέση n N, n a 2n είνι μί bijection του συνόλου N στο υποσύνολό του που περιλμβάνει τους ρτίους φυσικούς. Η ιδιότης υτή μάλιστ, χρκτηρίζει τ άπειρ σύνολ. 6. Σχέση διτάξεως. Βλέπε κι [ΖΚ], σελ. 51. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση διτάξεως επί του Α, ν κι μόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), ντισυμμετρική κι μετβτική. Δηλδή, ν κι μόνον ν,, β Α, R, Rβ βr = β κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση διτάξεως την δηλώνουμε με το. Γράφουμε < β, ν κι μόνον ν β κι β. Χρησιμοποιούμε επίσης κι τον συμβολισμό κι > με το προφνές νόημ. Δύο στοιχεί, που νήκουν στην R λέγοντι συγκρίσιμ. Αν γι τ, β Α ισχύει ότι είτε (, β) R είτε (β, ) R, τότε η σχέση διτάξεως R λέγετι ολική. Αν η R είνι ολική, ισχύει ότι R R = A A. Κάθε ολικά διτετγμένο υποσύνολο ενός συνόλου κλείτι άλυσσος. Το σύνολο N των φυσικών ριθμών είνι άλυσσος (βλέπε 10). Την σχέση διτάξεως την πεικονίζουμε με έν επίπεδο διάγρμμ, θέτοντς το ριστερά του ευρισκόμενο στοιχείο κάτω πό το δεξιά του ευρισκόμενο στοιχείο, κι συνδέοντς τ δύο υτά στοιχεί με έν ευθύγρμμο τμήμ. Υποτίθετι, βέβι, ότι γι την του διγράμμτος, ισχύει ότι, ν x z < y, τότε z = x. (Διάγρμμ του Hasse). Μί άλλη μέθοδος νπρστήσεως μις σχέσης διτάξεως επί ενός συνόλου, είνι μέσω της κτσκευής του συνημμένου πίνκος (adjacency matrix). Ο πίνκς υτός περιέχει το στοιχείο r = 0 ή το r = 1, νάλογ με το ν τ στοιχεί που γρμμής / κολώνς που ορίζουν την θέση του r νήκουν ή όχι στην εν λόγω διάτξη. Πρδείγμτ. Στο σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου, η σχέση ποτελεί μιά σχέση διτάξεως πάνω σ υτό. Το σύνολο {1, 2} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {1}, {2}, {1, 2}}. Επίσης, το σύνολο {1, 2, 3} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Τ διγράμμτ της σχέσεως πάνω στ δύο υτά σύνολ είνι τ πρκάτω. {1, 2} {1,2,3} Το υποσύνολο {, {1}, {1,2}, {1,2,3}} {1,2} {1,3} {2,3} ποτελεί μί (πεπερσμένη) {1} {2} άλυσσο του Ρ({1,2,3}). {1} {2} {3} Ο συνημμένος πίνκς που ορίζει η σχέση διτάξεως στο σύνολο των υποσυνόλων του {1, 2, 3} είνι { } { } {1} {2} {3} {1, 2} {1,3} {2, 3} {1,2,3} 1 1 1 1 1 1 1 1 {1} 0 1 0 0 1 1 0 1 {2} 0 0 1 0 1 0 1 1 {3} 0 0 0 1 0 1 1 1 {1, 2} 0 0 0 0 1 0 0 1 {1,3} 0 0 0 0 0 1 0 1 {2, 3} 0 0 0 0 0 0 1 1 {1,2,3} 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 ο πίνκς. 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Έστω P κι Q σχέσεις διτάξεως επί των συνόλων Α κι Β ντίστοιχ, κι : A B μί πεικόνιση εκ του Α εις το Β. Θ λέμε ότι η διτηρεί την διάτξη ν κι μόνον ν, (, β) P ((), (β)) Q. Ένς ισομορφισμός της διάτξης θ λέγετι η, ν υτή είνι έν-έν, διτηρεί την διάτξη, κι η διτηρεί την διάτξη. Πρδείγμτ. 1) Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, μετσχημτίζει λύσσους σε λύσσους. Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη κι ορίζετι πάνω σε μί άλυσσο είνι ισομορφισμός, ν είνι έν-έν. Μί άλυσσος με διάτξη την λέγετι ύξουσ. Με διάτξη την λέγετι φθίνουσ. 2) Κάθε Α S που έχει ισόμορφο εικόν το N m = {1, 2,..., m}, είνι μί πεπερσμένη άλυσσος. Κάθε Α S που έχει ισόμορφο εικόν το N είνι μί άλυσσος. 7. Φράγμτ. Αξεπέρστ στοιχεί. Βλέπε κι [ΖΚ], σελ. 76. Θεωρούμε έν σύνολο S κι Α κάποιο υποσύνολό του. Υποθέτουμε ότι το S έχει την διάτξη. Έν στοιχείο x S λέγετι άνω φράγμ του Α, ν κι μόνον ν, Α, x. Το x κλείτι κάτω φράγμ του S, ν κι μόνον ν Α, x. Στην περίπτωση, που Α =, το x S είνι κι άνω κι κάτω φράγμ του Α. Κάθε άνω φράγμ x του Α ως προς την είνι κάτω φράγμ ως προς την. γι κάθε πρότση, που φορά την κι τ κάτω φράγμτ, έχουμε μί δυϊκή πρότση, που φορά την κι τ άνω φράγμτ. Έν άνω φράγμ του Α, είνι άνω φράγμ κι κάθε υποσυνόλου του Α. (Ανάλογ ισχύουν γι τ κάτω φράγμτ). Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, μετφέρει τ άνω (ντ. κάτω) φράγμτ σε άνω (ντ. κάτω) φράγμτ. Το πολύ έν στοιχείο του Α είνι δυντόν ν είνι άνω φράγμ του Α. Πράγμτι, ν τ στοιχεί i, j Α ήτν κι τ δύο άνω φράγμτ του Α, τότε θ ίσχυν μφότερες οι σχέσεις κι. Άρ νγκίως είνι, =. Το μονδικό υτό στοιχείο του Α, i j j i κλείτι μέγιστο στοιχείο του Α. Ανάλογ, έχουμε κι τον ορισμό του μονδικού ελχίστου στοιχείου του Α. Αν το Α είνι φργμένο, κι το σύνολο των άνω φργμάτων του έχει στοιχείο ελάχιστο, τότε το στοιχείο υτό, κλείτι νώτερο πέρς του Α. Το συμβολίζουμε με supa. Αν το σύνολο των κάτω φργμάτων του Α έχει στοιχείο μέγιστο, το στοιχείο υτό κλείτι κτώτερο πέρς του Α. Το συμβολίζουμε με ina. Αν το Β είνι κάποιο υποσύνολο του Α κι τ supa, supb υπάρχουν, τότε supb supa. Οι πρκάτω σχέσεις είνι ισοδύνμες: ) x y. β) sup{x,y} = y. γ) in{x,y} = x. Έν στοιχείο του Α S λέμε ότι είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν Α, ν δεν υπάρχει στοιχείο του Α που είνι > του. Ανάλογ έχουμε τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του Α. Πρδείγμτ. 1) Έστω S = {x1,x 2,x 3,x 4,1, 2, 3, 4} με την διάτξη που εμφνίζετι στο πρκάτω διάγρμμ. {,,, } S. Τ στοιχεί x, είνι άνω φράγμτ i Α = 1 2 3 4 3 x 4 j
του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 4 είνι άνω φράγμ του Α, που νήκει στο Α. Τ στοιχεί x1, x 2 είνι κάτω φράγμτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 1 είνι κάτω φράγμ του Α, που νήκει στο Α. Το υποσύνολο Χ1 = {x1,x 2} δεν έχει κάτω φράγμ. Το υποσύνολο Χ 2 = {x 3,x 4} δεν έχει άνω φράγμ. Το 4 είνι το μέγιστο στοιχείο του Α κι το 1 το ελάχιστο στοιχείο του Α. x Το σύνολο { 4, x 3,x 4 } είνι σύνολο άνω φργμάτων του Α κι έχει 3 x4 ελάχιστο στοιχείο το 4. Είνι λοιπόν, supa = 4. Όμοι, ina = 1. Εδώ, τ sup κι in του Α είνι κι στοιχεί του Α. Αυτό όμως δεν συμβίνει πάντοτε. 4 Αν Α 1 = { 1, 2, 3 }, τότε τ στοιχεί 2, 3 είνι ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί του Α. Το 1 είνι στοιχείο ξεπέρστο προς τ κάτω. 3 4 2) Έν υποσύνολο N m N, έχει μέγιστο στοιχείο, το m. 3) Έν στοιχείο Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω, ν κι μόνον ν, x A, x = x. Αν το Α έχει έν μονδικό 1 στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, τότε υτό είνι κι το μέγιστο στοιχείο του Α. Αν το x Β Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του Α, είνι τότε, κι ξεπέρστο στοιχείο του Β. x1 x2 Ένς ισομορφισμός της διτάξεως μετσχημτίζει ξεπέρστ στοιχεί σε ξεπέρστ στοιχεί. Πρότση. Κάθε διτετγμένο πεπερσμένο μη κενό σύνολο S, έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Απόδειξη. Αν S = {x}, το x είνι κι στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω του S. Έστω τώρ, ότι το S έχει m+1 στοιχεί, κι ότι η πρότση ισχύει γι το υποσύνολο εκείνο Α του S, που έχει m το πλήθος στοιχεί. Έστω x S. Αν το x είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, δεν έχουμε τίποτ ν δείξουμε. Έστω, λοιπόν, ότι το x δεν είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, κι Α = S {x}. Υπάρχουν τότε στοιχεί εν S, x, με > x. Όμως, Α, κι το Α πό υπόθεση έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Υπάρχουν, λοιπόν, στοιχεί i Α, τέτοι ώστε, A, < i. Άρ κι x < i. Όμως, i S, κι η προηγούμενη νισότητ δείχνει ότι, τ i είνι κι ξεπέρστ στοιχεί του S. Κκώς, λοιπόν, υποθέσμε ότι το S δεν έχει ξεπέρστ στοιχεί προς τ επάνω. Αν το Α είνι μί άλυσσος, τότε ν έχει στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, υτό θ είνι κι μέγιστο στοιχείο του Α. Πόρισμ. Κάθε μη κενή πεπερσμένη άλυσσος, έχει μέγιστο στοιχείο. Πρότση. Κάθε άλυσσος με m στοιχεί, είνι ισόμορφος ως προς την διάτξη, με κάποιο N m. Απόδειξη. Αν m = 1, δεν έχουμε τίποτ ν δείξουμε. Υποθέτουμε ότι η πρότση ισχύει γι m = m, κι έστω μί άλυσσος Α με m στοιχεί. Έστω το μέγιστο στοιχείο της Α. Η άλυσσος Α {} έχει m το πλήθος στοιχεί. Άρ υτή είνι ισόμορφος του N m, μέσω κάποιου ισομορφισμού φ. Θέτουμε a m+1. Η πεικόνιση φ, τώρ, η οποί επί του Α {} συμπίπτει με τον ισομορφισμό φ κι έχει φ () = m+1, ορίζει τον ζητούμενο ισομορφισμό. 8. Συνθήκες μεγίστου-ελχίστου. Γι τ περιεχόμεν των πργράφων 8 κι 9, χρήσιμο είνι, ο νγνώστης ν διβάσει τ [Ζ2] 196-209, κι [ΖΚ], σελ. 199-205.
Θεώρημ. Έστω S διτετγμένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνμες. ) Υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. β) Υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η β). Ότι, δηλδή, το μη κενό υποσύνολο Α του S δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Θεωρούμε την συνάρτηση επιλογής F, που ορίζετι πάνω στο P(S), κι έστω ότι F(A) =, Α. Επειδή το Α δεν έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ 1 1 Α1 1 Α1 2 επάνω, το σύνολο = {x x A < x} είνι σίγουρ μη κενό. Έστω F( ) =, 2 Α1, κι γι τους ίδιους λόγους, το Α2 = {x x Α1 2 < x} είνι μη κενό. Η διδικσί υτή ορίζει το σύνολο {,,... }, που εκ κτσκευής, είνι μί ύξουσ άλυσσος. 1 2 Άρ η β) ). Έστω ότι το μη κενό υποσύνολο Α του S είνι μί ύξουσ άλυσσος. Είνι τότε ισόμορφο του N. Άρ δεν έχει ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί. Άρ η ) β). Πόρισμ. Έστω S διτετγμένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνμες. ) Δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. Ή: Κάθε ύξουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. β) Κάθε μη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. ) Δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι φθίνουσ άλυσσος. Ή: Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. β ) Κάθε μη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί. Οι προτάσεις του πορίσμτος υτού, είνι η άρνησης των προτάσεων του προηγουμένου θεωρήμτος. Η ) κλείτι συνθήκη της υξούσης λύσσου. (Η ) κλείτι συνθήκη της φθινούσης λύσσου.) Η β) κλείτι συνθήκη του μεγίστου. (Η β ) κλείτι συνθήκη του ελχίστου.) Πόρισμ. Αν το S πληροί μί πό τις πρπάνω συνθήκες, κι κάθε υποσύνολό του θ την πληροί. Πράδειγμ. Το σύνολο N των φυσικών ριθμών, πληροί την συνθήκη του ελχίστου. Αρχή της επγωγής. Έστω ότι το διτετγμένο σύνολο S έχει τις ιδιότητες: ) Όλ τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του (εφ όσον υπάρχουν) πληρούν την πρότση φ. β) Αν η φ πληρούτι πό κάθε x <, πληρούτι κι πό το S. Συμπέρσμ. Η φ πληρούτι πό όλ τ στοιχεί του S. Θεώρημ. Η συνθήκη του ελχίστου (β ), η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου ( ) κι η συνθήκη της επγωγής (γ), είνι προτάσεις ισοδύνμες. Έχουμε δείξει την ισοδυνμί ( ) (β ). Θ δείξουμε την (β ) (γ) κι στην συνέχει, την (γ) ( ). Απόδειξη. ) Η συνθήκη της επγωγής έπετι πό την συνθήκη του ελχίστου. Έστω διτετγμένο σύνολο S, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου, κι τις προϋποθέσεις της επγωγής. Έστω ότι η φ δεν ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. Θεωρούμε, εκείνο το υποσύνολο Α του S, που είνι βέβι, γι το οποίο δεν ισχύει η φ. Αυτό έχει έν ξεπέρστο προς τ κάτω στοιχείο. Από υπόθεση όμως, γι το στοιχείο υτό ισχύει η φ. Άτοπο. Άρ Α =, δηλδή, η φ ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. β) Η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου, έπετι πό την ρχή της επγωγής. Έστω διτετγμένο σύνολο S, το οποίο πληροί την ρχή της επγωγής. Λβίνουμε ως φ την πρότση ( ): Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. Αρκεί ν δείξουμε ότι, η φ πληροί τις προϋποθέσεις της επγωγής. Πράγμτι, τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του S, ποτελούν πό μόν τους πεπερσμένες λύσσους. εξ άλλου, ν η φ πληρούτι πό το x <, πληρούτι κι πό το, μιά κι το {x, } ποτελεί πεπερσμένη άλυσσο. Ισχύει, λοιπόν η φ πντού εν S.
9. Κλή διάτξης. Λήμμ Zorn. Έν ολικά διτετγμένο σύνολο, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου κλείτι κλά διτετγμένο. Το σύνολο Ν, όπως κι κάθε ισόμορφη εικόν του, είνι, λοιπόν, έν κλά διτετγμένο σύνολο. Έστω S διτετγμένο σύνολο κι Α τυχόν υποσύνολό του. Θ κλούμε το Α ρχικό τμήμ, ή πλά τμήμ, ν κι μόνον ν, Α x S (x x A). Λήμμ. Έστω κλά διτετγμένο σύνολο Α, κι C A έν τμήμ. Υπάρχει τότε κάποιο Α, τέτοιο ώστε C = {x x A x < }. Απόδειξη. Αρκεί ν λάβουμε = το ελάχιστο στοιχείο του Α C. Λήμμ. Έστω A έν σύνολο πό κλά διτετγμέν σύνολ. Αν Α A, με συμβολίζουμε την κλή διάτξη του Α. Έστω ότι, γι κάθε Α, Β A, είτε το Α είνι έν τμήμ του * Β ως προς τον περιορισμό της Β είτε ντίστροφ. Υπάρχει τότε, μί διάτξη επί του συνόλου Α * = U A A, τέτοι ώστε: ) Το Α * είνι κλά διτετγμένο ως προς την *. β) Ο περιορισμός της * πάνω σε κάθε Α A, συμπίπτει με την Α. γ) Κάθε Α A, είνι έν τμήμ του Α *. Απόδειξη. Έστω τ, β Α *, με Α, β Β, όπου Α, Β A, κι το Α είνι τμήμ του Β. Οιδήποτε, συνεπώς, δύο τμήμτ του Α, ευρίσκοντι στο ίδιο σύνολο Β. Επιπλέον, ν μφότερ τ, β C, C A, τότε η C είνι ο περιορισμός της B επί του C. * Μπορούμε, συνεπώς, ν ορίσουμε την ως εξής:, β Β, * β B β. Η * διτάσει κλώς το Α *, κι συμπίπτει με την γι κάθε Α A. Έστω x Α, κι y A *, τέτοιο ώστε, y * x. Κι πάλι, τ x, y είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι νήκουν σε κάποιο Β A, τέτοιο ώστε, το Α ν είνι τμήμ του Β. Άρ y x, κι επειδή το Α τμήμ, y Α. Άρ το Α τμήμ του Α *. Θ δείξουμε ότι, (γ) (). Έστω Τ Α *, μιά ισόμορφη εικόν του N. Αρκεί ν δείξουμε ότι Τ = N, δηλδή, ότι Α * Τ. Το Α * Τ είνι τμήμ. Αν λοιπόν Α * Τ, τότε, λόγω κτσκευής του (Α *, * ) το άνω φράγμ του N. Άτοπο. Το τυχόν σύνολο A, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως σύνολο Α *. Το σύνολο Α *, κλά διτετγμένο με την διάτξη *, κλείτι μεγίστη άλυσσος. Κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις, είνι ισοδύνμος προς το ξίωμ της επιλογής. Θεώρημ του Zermelo. Κάθε σύνολο μπορεί ν διτχθεί κλά. Θεώρημ του Hausdor. Κάθε άλυσσος διτετγμένου συνόλου S, περιέχετι σε μί μεγίστη άλυσσο. Θεώρημ των Kuratowski-Zorn. Αν κάθε άλυσσος του S είνι άνω φργμένη, τότε κάθε στοιχείο του S, είνι κι στοιχείο μιάς μεγίστης λύσσου. Αξίωμ επιλογής Θεώρημ Zermelo Απόδειξη. Θεωρούμε την συνάρτηση επιλογής F: P(S) { } S. Το σύνολο (P(S) { }) είνι τέτοιο ώστε, κάθε = (Α) (P(S) { }) ν περιέχετι σε έν κι μόνο υποσύνολο Α P(S) { }. Θ λέμε το μη κενό υποσύνολο Α του S διφοροποιημένο πό το, ν μπορεί ν διτχθεί κλά κτά τέτοιο τρόπο, ώστε Α το = (S Α ) όπου Α έν τμήμ του Α ως προς την διάτξη, που διτάσει κλά το Α. Τέτοι υποσύνολ του S υπάρχουν. Είνι γι πράδειγμ όλ τ μονοσύνολ του S. Έστω A 1 κι A 2 δύο διφοροποιημέν πό το υποσύνολ του S. Αμφότερ έχουν το κοινό στοιχείο κι συνεπώς έχουν έν τμήμ κοινό. Η ένωση Γ όλων των κοινών τμημάτων των συνόλων Α B Α
υτών, είνι κοινό τμήμ υτών. Θ δείξουμε ότι, η ένωση υτή, συμπίπτει με το A 1 κι το. Πράγμτι, ν η ένωση υτή Γ ήτν έστω διφορετική πό το A, τότε το στοιχείο A2 1 (S Γ) θ προσδιόριζε εν A 1 έν τμήμ, που θ περιείχε το Γ. Άτοπο. Τ σύνολ συνεπώς A1 κι A2 είνι έτσι ώστε, το έν ν είνι τμήμ του άλλου. Θεωρούμε, τώρ, την ένωση όλων των διφοροποιημένων συνόλων του S. Αυτή είνι έν διφοροποιημένο σύνολο Λ. Πράγμτι, ν, β Λ με Α, β Β, τ Α, Β Λ, τότε μφότερ τ, β, κείντι στο μεγλύτερο πό τ Α, Β, έστω το Α. Θέτοντς β εν Λ ν κι μόνον ν β εν Λ, επεκτείνουμε την κλή διάτξη εν Λ. Τέλος, με κάθε Λ, το περιέχετι σε κάποιο διφοροποιημένο υποσύνολο Α, κι προσδιορίζει εν Λ κι εν Α το ίδιο τμήμ Α, όπου = (S Α ). Το Λ τέλος τυτίζετι με το S, μιά κι σε άλλη περίπτωση, θ μπορούσμε ν κτσκευάσουμε έν διφοροποιημένο σύνολο εν S μεγλύτερο πό το Λ, πράγμ άτοπο. Θεώρημ Zermelo Θεώρημ Hausdor. Απόδειξη. Το τυχόν σύνολο A, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι ποτελείτι πό υποσύνολ Α, κάθε έν πό τ οποί, λόγω του θεωρήμτος του Zermelo, διτάσσετι κλά πό κάποι διάτξη Α. Από το λήμμ όμως, έπετι ότι, το A είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως μί μεγίστη άλυσσος Α *, με διάτξη την *. Θεώρημ Hausdor Θεώρημ Kuratowski-Zorn. Απόδειξη. Έστω S έν διτετγμένο σύνολο, του οποίου κάθε άλυσσος έχει άνω φράγμ. Έστω το στοιχείο S. Η άλυσσος {} περιέχετι πό υπόθεση, σε μί μεγίστη άλυσσο C. Αν c άνω φράγμ της C, τότε c. Το c είνι κι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του S. Η C {c} είνι άλυσσος περιέχουσ την C. Άτοπο. Άρ c C, λλά κι κάθε x S με x c, νήκει στο C, μιά κι κάθε υποσύνολο του C είνι τμήμ. Θεώρημ Kuratowski-Zorn Αξίωμ της επιλογής. Απόδειξη. Έστω A τυχόν σύνολο. Υπάρχουν υποσύνολ Α του A, πάνω στ οποί είνι δυντόν ν ορισθεί μί συνάρτηση επιλογής. Π.χ. τ μονοσύνολ του A. Θεωρούμε όλ τ τέτοιου τύπου υποσύνολ του A, κι έστω Φ όλες οι δυντές συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σ υτά. Το σύνολο Φ διτάσσετι ως εξής: F1 F2, ν κι μόνον ν, Σ1 Σ 2 όπου F1, F2 συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σε σύνολ υποσυνόλων Σ1, Σ 2 του A. Έστω τυχούσ άλυσσος Γ μέσ στο σύνολο Φ. Αν F τ στοιχεί της Γ, κι Σ τ σύνολ επί των οποίων ορίζοντι οι F, θεωρούμε το Σ =, κι πάνω σ υτό, ορίζουμε τη F, η οποί συμπίπτει με κάθε μί F επί κάθε ενός F. Φνερά F Φ, κι είνι άνω φράγμ της Γ. Από υπόθεση, η Γ περιέχετι σε μεγίστη άλυσσο. Αν, τώρ, το A Σ, πάνω σ υτό, είνι δυντόν ν ορίσουμε μί συνάρτηση F, έτσι ώστε, F(A Σ) A Σ Όμως, στην περίπτωση υτή, η Γ { άλυσσο Γ. Άτοπο. U Σ β } θ ήτν μί άλυσσος που θ περιείχε την μεγίστη Βιβλιογρφί. General Algebra, A.G. Kurosh, έκδοση Chelsea, σελίς 26. F β 10. Σύντομο χρονικό της Θεωρίς συνόλων. Η θεωρί συνόλων ξεκίνησε με τις εργσίες του Georg Cantor το 1894. (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, μετφρσμένες στ γγλικά, στις εκδόσεις Dover, με τίτλο Contributions to the oundation o the Theory o Transinite Numbers). Η πρώτη ξιωμτική θεμελίωση της θεωρίς των συνόλων δόθηκε πό τον Zermelo το 1908. Στ ξιώμτ υτά, περιλμβάνετι κι το ξίωμ της επιλογής. Η τελική μορφή των ξιωμάτων υτών δόθηκε πό τους Fraenkel κι Scolem το 1922. β
Η εισγωγή των ξιωμάτων υτών πό τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του ν ντιμετωπίσει τις ντινομίες που προέκυψν μέσ στην θεωρί των συνόλων, κι που ήτν γνωστές ήδη πό το 1879 (ντινομί Burali-Forti). Η ντινομί υτή μελετήθηκε πό τον Russell, πό τον οποίο κι διτυπώθηκε στην πρκάτω μορφή: Όπως είδμε, υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουμε εμείς, το σύνολο όλων των συνόλων, (το πριστάνουμε με S), που δεν είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούμε άργε ν θεωρούμε έν τέτοιο σύνολο; Η πάντηση είνι ρνητική. Πράγμτι, το S είτε θ είνι έν σύνολο που είνι ισοδύνμο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θ είνι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην ) περίπτωση, που το S είνι ισοδύνμο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S S οδηγεί σε άτοπο, μι κι το S είνι εξ ορισμού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είνι έν σύνολο που δεν είνι ισοδύνμο προς κνέν υποσύνολό του, οδηγούμεθ κι πάλι σε άτοπο, μι κι το S θ έπρεπε ν περιέχετι στο S, λόγω κριβώς του τρόπου με τον οποίο ορίσμε το S. Οι Russell κι Whitehead πρτήρησν ότι ο ορισμός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε ντινομίες, κτστρτηγεί την ρχή του Φύλου Κύκλου. Σύμφων με την ρχή υτή, έν στοιχείο, του οποίου ο ορισμός πιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είνι δυντόν ν νήκει στο σύνολο. Οι Russell κι Whitehead γι ν ποφύγουν την ρχή υτή, επινόησν την Θεωρί των Τύπων, η οποί εκτίθετι εν εκτάσει στο σύγγρμμά τους Principia Mathematica. Βιβλιογρφί. N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Théorie des Ensembles, Chapitre 4. Jean Dieudonné, Abregé d Histoire des Mathématiques.