Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε µε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο R Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια γραµµή είναι να µεετήσουµε δακτύιους µέσω των προτύπων τους Ως ένα πρώτο απούστατο παράδειγµα της γραµµής αυτής δίνουµε ένα χαρακτηρισµό δακτυίων διαίρεσης 11 Βασικές έννοιες Ένας δακτύιος είναι ένα σύνοο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R R και : R R R, έτσι ώστε ) ( R, + ) είναι αβειανή οµάδα, ) ( x y) z = x ( y z) για κάθε x, y, z R, ) υπάρχει στοιχείο 1 R µε την ιδιότητα 1 x = x 1 = x για κάθε x R, και v) ( x + y) z = x z + y z, x ( y + z) = x y + x z για κάθε x, y, z R Στον παραπάνω ορισµό, θα έµε ότι η πράξη + : R R R είναι η πρόσθεση του R και : R R R είναι ο ποαπασιασµός του R Στη συνέχεια θα γράφουµε xy στη θέση του x y Ένας δακτύιος R καείται µεταθετικός αν xy = yx για κάθε x, y R Στις σηµειώσεις αυτές οι δακτύιοί µας θα είναι γενικά µη µεταθετικοί εκτός αν διατυπώνεται σαφώς το αντίθετο Ένα στοιχείο r R ενός δακτυίου R καείται αντιστρέψιµο αν υπάρχει s R µε rs = sr = 1 Το σύνοο των αντιστρέψιµων στοιχείων του R αποτεεί ποαπασιαστική οµάδα Ένας δακτύιος ονοµάζεται δακτύιος διαίρεσης αν 1 0 και κάθε r R, r 0, είναι αντιστρέψιµο Σώµα είναι ένας µεταθετικός δακτύιος διαίρεσης Αριστερό ιδεώδες του δακτυίου R είναι µια υποοµάδα της ( R, + ) που έχει την ιδιότητα µε ar I rα I για κάθε r R και α I Αν αντικαταστήσουµε τη συνθήκη ra I, προκύπτει η έννοια του δεξιού ιδεώδους Αµφίπευρο ιδεώδες είναι ένα αριστερό ιδεώδες που ταυτόχρονα είναι και δεξιό ιδεώδες Στα επόµενα, όταν έµε ιδεώδες θα εννοούµε αριστερό ιδεώδες

Αν το Ι είναι αµφίπευρο ιδεώδες, τότε η αβειανή οµάδα δακτύιος µε ποαπασιασµό που ορίζεται από τη σχέση R / I καθίσταται ( r + I)( s + I) = rs + I Ο R / I ονοµάζεται δακτύιος πηίκο (Άσκηση: Γιατί απαιτούµε εδώ το I να είναι αµφίπευρο;) Μια απεικόνιση δακτυίων f : R S ονοµάζεται οµοµορφισµός αν f ( r + r ) = f ( r) + f ( r ), f ( rr ) = f ( r) f ( r ) για κάθε r, r R Ο πυρήνας ενός οµοµορφισµού f είναι Kerf = { r R f ( r) = 0} και αποτεεί αµφίπευρο ιδεώδες του R Ανάογα ορίζονται οι έννοιες του επιµορφισµού, µονοµορφισµού και ισοµορφισµού δακτυίων 111 Ορισµός Έστω R ένας δακτύιος Μια αβειανή οµάδα ( M, + ) εφοδιασµένη µε µία απεικόνιση R M M, ( r, m) r m, ονοµάζεται αριστερό R-πρότυπο αν ισχύουν οι εξής ιδιότητες ) r1 ( r m) = ( r1 r ) m για κάθε r 1, r R, m M ) ( r r m = r m + r m για κάθε r r R, m M 1 + ) 1 1, ) r ( m1 + m ) = r m1 + r m για κάθε r R, m1, m M v) 1 m = m για κάθε m M Στον παραπάνω ορισµό θα ονοµάζουµε την απεικόνιση R M M, ( r, m) r m τον εξωτερικό ποαπασιασµό του R Στα παρακάτω θα γράφουµε rm στη θέση του r m Ανάογα ορίζεται και η έννοια του δεξιού R-προτύπου: ο εξωτερικός ποαπασιασµός έχει τη µορφή M R M, ( m, r) mr, και τα αξιώµατα ) v) γράφονται στη δεξιά µορφή τους, πχ m r ) r = m ( r ) Στα παρακάτω όταν έµε R-πρότυπο εννοούµε αριστερό R-πρότυπο ( 1 r1 11 Παράδειγµα ) Έστω k ένα σώµα Κάθε k-διανυσµατικός χώρος είναι k- πρότυπο Μάιστα οι έννοιες k-διανυσµατικός χώρος και k-πρότυπο ταυτίζονται ) Κάθε αβειανή οµάδα είναι Z -πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό m+ + m ( r φορές), αν r > 0 rm = 0, αν r = 0 ( rm ), αν r < 0

3 ) Κάθε ιδεώδες ενός δακτυίου R είναι R-πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό τον ποαπασιασµό του R v) Έστω I ένα ιδεώδες ενός δακτυίου R Η αβειανή οµάδα πρότυπο αν ορίσουµε R / I καθίσταται R- r ( a + I) = ra + I, όπου r, a R (Σηµείωση: Γενικά το R / I είναι µόνο πρότυπο και όχι δακτύιος, εκτός αν το I είναι αµφίπευρο ιδεώδες) v) Έστω f : R S ένας οµοµορφισµός δακτυίων Κάθε S-πρότυπο Μ γίνεται R- πρότυπο αν ορίσουµε rm = f ( r) m, r R, m M v) Έστω R ένας δακτύιος Με M (R) συµβοίζουµε το δακτύιο των πινάκων µε στοιχεία από το R (ως προς τις συνήθεις πράξεις) Είναι R-πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό R M ( R) M ( R), ( r, M ) rm, όπου rm είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον Μ αν ποαπασιάσουµε κάθε στοιχείο του µε το r Σ ένα R-πρότυπο Μ εύκοα επαηθεύονται οι σχέσεις: O m = O, ro = O, ( r) m = r( m) = rm για κάθε r R και m M R M M εν θα επιµείνουµε σε τέτοιους φορµαισµούς M Έστω Μ, Ν δύο R-πρότυπα Μια απεικόνιση οµοµορφισµός R-προτύπων αν ) f ( m + m ) = f ( m) + f ( m ) για κάθε m, m M, και ) f ( rm) = rf ( m) για κάθε r R και m M f : M N ονοµάζεται Για παράδειγµα, αν το k είναι σώµα και UV, είναι k-διανυσµατικοί χώροι, τότε ταυτίζονται οι έννοιες οµοµορφισµός k-προτύπων U U V V και k-γραµµική απεικόνιση Επίσης αν R = Z, τότε ταυτίζονται οι έννοιες οµοµορφισµός R-προτύπων και οµοµορφισµός (αβειανών) οµάδων Ανάογα ορίζονται οι έννοιες επιµορφισµός, µονοµορφισµός και ισοµορφισµός R-προτύπων Για έναν οµοµορφισµό R-προτύπων f : M N ισχύει f µονοµορφισµός ker f = {0}(άσκηση) Ένα υποσύνοο Ν του R-προτύπου Μ καείται R-υποπρότυπο του Μ (συµβοικά, N a N M ) αν είναι υποοµάδα της Μ και ra N για κάθε r R και Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε ένα δακτύιο R ως R-πρότυπο, τότε τα R- υποπρότυπά του είναι τα ιδεώδη του Τα k-υποπρότυπα ενός k-διανυσµατικού χώρου

4 είναι οι υπόχωροι του Αν f : M N είναι ένας οµοµορφισµός R-προτύπων, ο πυρήνας ker f είναι ένα υποπρότυπο του Μ, και η εικόνα Im f είναι ένα υποπρότυπο του Ν (άσκηση) Αν το Ν είναι υποπρότυπο του Μ, τότε στην αβειανή οµάδα δοµή R-προτύπου µε εξωτερικό ποαπασιασµό που ορίζεται από r ( m + N) = rm + N, M / N ορίζεται η όπου r R, m M Πράγµατι, ας δούµε ότι ο παραπάνω εξωτερικός ποαπασιασµός είναι καά ορισµένος Έστω m1+ N = m + N Τότε m1 m N και επειδή N M παίρνουµε rm ( 1 m) N, οπότε rm1+ N = rm + N Οι ιδιότητες στον ορισµό του προτύπου επαηθεύονται εύκοα Το πρότυπο πηίκο και η απεικόνιση f : M m m + N M / N M / N ονοµάζεται είναι επιµορφισµός R-προτύπων που συνήθως ονοµάζεται φυσική προβοή ή φυσικός επιµορφισµός Αν Α,Β είναι υποπρότυπα του R-προτύπου Μ, ορίζουµε A + B = { a + b a A, b B} Εύκοα επαηθεύουµε ότι το A + B είναι ένα R- υποπρότυπο του Μ Παρατηρούµε ότι αυτή η κατασκευή γενικεύει το άθροισµα ιδεωδών δακτυίου, το άθροισµα υποχώρων διανυσµατικού χώρου και το γινόµενο δυο υποοµάδων αβειανής οµάδας Κατ αναογία µε τους δακτύιους έχουµε: 113 Πρόταση (1ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων) Έστω f : M N ένας οµοµορφισµός R-προτύπων Τότε η απεικόνιση f : M / ker f m + ker f f ( m) Im f είναι ισοµορφισµός R-προτύπων (ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων) Έστω Α,Β υποπρότυπα του R-προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισοµορφισµός R-προτύπων ( A + B) / A B / A B (3ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων) Έστω R-πρότυπα C B A Τότε υπάρχει ισοµορφισµός R-προτύπων ( A / C) /( B / C) A/ B Απόδειξη ) Εύκοα επαηθεύουµε ότι η απεικόνιση f είναι καά ορισµένος επιµορφισµός R-προτύπων Ισχύει ker f = { m + ker f f ( m) = 0} =

5 { m + ker f m ker f } = {ker f } Άρα ο f είναι ισοµορφισµός ) Η απεικόνιση f : B ( A + B) / A, f ( b) = b + A είναι επιµορφισµός R-προτύπων Ισχύει ker φ = { b B b + A = A} = A B Άρα από το 1ο θεώρηµα ισοµορφισµών προκύπτει B / A B ( A + B) / A ) Εφόσον C B η απεικόνιση f : A/ C A/ B, f ( a + C) = a + B είναι καά ορισµένος επιµορφισµός R-προτύπων Ισχύει ker f = { a + C a + B = B} = B / C Άρα από το 1ο θεώρηµα ισοµορφισµών έχουµε ( A / C) /( B / C) A/ B 114 Ορισµός Έστω Α ένα R-πρότυπο, όπου το R είναι µεταθετικός δακτύιος Αν το Α είναι δακτύιος µε την ιδιότητα r ( aa ) = ( ra) a = a( ra ) για κάθε a, a A, r R τότε έµε ότι το Α είναι µια R-άγεβρα Για παράδειγµα, κάθε δακτύιος είναι Z -άγεβρα Το C είναι -άγεβρα Οι πίνακες M (k) µε στοιχεία από ένα σώµα k αποτεούν k-άγεβρα Ο δακτύιος των πουωνύµων k [x] µε συντεεστές από σώµα k είναι οµοίως k- άγεβρα Ακοουθούν δύο παραδείγµατα που είναι σηµαντικά για τα επόµενα κεφάαια 115 Παράδειγµα ) ( ακτύιος οµάδας) Έστω G µια οµάδα Με k [G] συµβοίζουµε τον k-διανυσµατικό χώρο µε βάση τα στοιχεία της G όπου η πρόσθεση και ο εξωτερικός ποαπασιασµός ορίζονται ως εξής: το τυπικό στοιχείο του k [G] συµβοίζεται g G r g g, όπου όα σχεδόν τα r g k είναι µηδέν - δηαδή όα τα r g είναι µηδέν εκτός ενδεχοµένως από ένα πεπερασµένο πήθος Θέτουµε rg g + rg g = ( rg + r g) g g G g G g G r( r g) = ( rr ) g g G g g G Ο διανυσµατικός χώρος kg [ ] καθίσταται δακτύιος ως προς την πρόσθεση που g

6 είδαµε πριν και τον ποαπασιασµό που ορίζεται από 1 ( rg)( sh) = tu, g h u g G h G u G όπου t = r s Η µονάδα του δακτυίου είναι το ουδέτερο στοιχείο 1 G της u g h gh, G u= gh οµάδας G Με τις πιο πάνω πράξεις, το k [G] γίνεται µια k-άγεβρα Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο της G είναι αντιστρέψιµο στο δακτύιο k [G] =,, 1 είναι πεπερασµένη οµάδα τάξης > 1, τότε ο δακτύιος k [G] Αν η G { g g } περιέχει διαιρέτες του µηδενός, αφού για πράδειγµα έχουµε 1 (1 )(1 g + g+ + g ) = 1 g = 0 ) (Quateros επί του ) Έστω H ένας -διανυσµατικός χώρος διάστασης 4 και { 1,, j, k} µια βάση του H Ορίζουµε έναν ποαπασιασµό στοιχείων του H ως εξής: απαιτούµε το 1 να είναι µοναδιαίο στοιχείο και θέτουµε = j = k = 1 j = j = k k jk = kj = k = k = j j Ποαπασιάζουµε τυχαία στοιχεία a + b + cj + dk και a + b + c j + d k, χρησιµοποιώντας επιµερισµό και τον προηγούµενο πίνακα Για παράδειγµα, ( 1+ )(1 3 j) = 1+ 3 j 6k Λαµβάνουµε έτσι µία -άγεβρα Παρατηρούµε ότι ο δακτύιος H είναι δακτύιος διαίρεσης Πράγµατι, αν q = a + b + cj + dk, θέτουµε q = a b cj dk (ο συζυγής του q) Εύκοα επαηθεύεται ότι q q = qq = a + b + c + d Θέτουµε q = qq Παρατηρούµε ότι αν q 0, τότε q q q q = q = 1, δηαδή το q είναι αντιστρέψιµο q 116 Σηµείωση Θα δούµε στο Κεφάαιο 6 ότι οι, C, H είναι οι µόνες πεπερασµένης διάστασης -άγεβρες µε διαίρεση! 1 Για τον ορισµό του ποαπασιασµού, απαιτούµε να έχουµε ( rg)( sh) = ( rs) gh (, rs k, gh, G) και απώς επεκτείνουµε την ταυτότητά αυτή ώστε να ισχύει σ όο το

7 Αν Μ, Ν είναι δύο R-πρότυπα το σύνοο Hom R ( M, N) = { f : M N f οµοµορφισµός R-προτύπων} είναι αβειανή οµάδα µε πρόσθεση που ορίζεται από ( f + f )( m) = f ( m) + f ( m) εν είναι γενικά R-πρότυπο Αν M = N, το σύνοο Hom R ( M, M ) συνήθως συµβοίζεται µε Ed R (M ) (το σύνοο των R-ενδοµορφισµών του Μ) και αποτεεί δακτύιο µε ποαπασιαµό τη σύνθεση συναρτήσεων Ένα µη µηδενικό R-πρότυπο Μ έγεται από αν δεν υπάρχει υποπρότυπο Ν µε την ιδιότητα Παραδείγµατα O N M 1) Ένας διανυσµατικός χώρος είναι απός αν και µόνο αν έχει διάσταση 1 ) Για κάθε πρώτο αριθµό p, το Z -πρότυπο Z p είναι από, αφού κάθε υποοµάδα του Z p είναι η τετριµµένη υποοµάδα ή η Z p 3) Το Z -πρότυπο Z 4 δεν είναι από αφού ένα υποπρότυπό του είναι το {[0],[]} (σχετικά, βάσκηση 5) 4) To Z -πρότυπο Q δεν περιέχει από υποπρότυπο, γιατί αν N Q µε Ν από, τότε για κάποια m, Z {0} θα είχαµε m N και άρα m N Τότε m Z N και όγω της απότητας θα είχαµε mz = N Όµως είναι σαφές ότι το mz δεν είναι από, πχ mz mz ακτύιοι διαίρεσης εµφανίζονται συχνά ως ενδοµορφισµοί απών προτύπων όπως δείχνει το επόµενο αποτέεσµα 117 Λήµµα (Λήµµα του Schur) Έστω Μ ένα από R-πρότυπο Τότε ο Ed R (M ) είναι δακτύιος διαίρεσης Απόδειξη Έστω f Ed R ( M ), f 0 (Υπάρχει τέτοιο f αφού M 0, πχ f = 1 M ) Επειδή ker f M, ισχύει ker f = 0 Επειδή Im f 0, ισχύει Im f = M k [G] µε χρήση της επιµεριστικής ιδιότητας

8 Άρα ο f είναι ισοµορφισµός Το ακόουθο αποτέεσµα υποδεικνύει τη σηµασία των δακτυίων M ( k ) 118 Πρόταση Έστω k ένα σώµα και Α µια k-άγεβρα µε dm = < Τότε ο δακτύιος Α είναι ισόµορφος µε υποδακτύιο του M ( k ) k A Απόδειξη Έστω a A και f : A A, x ax Τότε f Ed( A) και η απεικόνιση a A Ed( A), a f a, είναι µονοµορφισµός δακτυίων Συνεπώς ο Α είναι ισόµορφος µε υποδακτύιο του Ed( A ) Επιέγοντας µια βάση του διανυσµατικού a χώρου Α, αµβάνουµε έναν ισοµορφισµό δακτυίων Ed( A) M ( k) Μια απεικόνιση R-αγεβρών είναι οµοµορφισµός R-αγεβρών αν είναι ταυτόχρονα οµοµορφισµός δακτυίων και R-προτύπων Ανάογα ορίζεται η έννοια R-υποάγεβρα (αά όχι R-άγεβρα πηίκο-γιατί;) Για παράδειγµα, η υποάγεβρα της H που αποτεείται από τα q = a + b + cj + dk για τα οποία b = c = d = 0 είναι ισόµορφη µε το Οµοίως η -υποάγεβρα της H που αποτεείται από τα q = a + b + cj + dk για τα οποία c = d = 0 είναι ισόµορφη µε το C To κέντρο µιας R-άγεβρας Α είναι η R-υποάγεβρα C ( A) = { x A ax = xa για κάθε a A} Για παράδειγµα, το κέντρο της M ( ) k, όπου το k είναι σώµα, είναι a 0 CM ( ( k)) = M( k) Πράγµατι, είναι σαφές ότι 0 a a 0 a b M ( k) C( M( k)) Έστω CM ( ( k)) 0 a c d a b 1 0 1 0 a b = c= b= 0 Επίσης c d 0 0 0 0 c d a b 0 1 0 1 a b = a= d c d 0 0 0 0 c d Τότε έχουµε 1 Άθροισµα και Γινόµενο Προτύπων, Ακριβείς Ακοουθίες

9 Αν ( M ) είναι µια οικογένεια R-προτύπων, τότε το σύνοο των ακοουθιών Λ x x M ( ), µε, είναι ένα R-πρότυπο µε πρόσθεση και εξωτερικό ποαπασιαµό που ορίζονται από τις σχέσεις ( x ) + y ), Λ ( y ) = ( x + r( x ) rx Το συµβοίζουµε µε M και το ονοµάζουµε το ευθύ Λ = ( ) γινόµενο των M, Λ Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασµένο, Λ = { 1,,, }, θα γράφουµε και M 1 M στη θέση του M M1 = = M = M, θα γράφουµε και M Αν επιπέον Ορίζουµε τώρα ένα υποπρότυπο του M Έστω M το υποσύνοο του M που αποτεείται από εκείνες τις ακοουθίες ( x ) όπου x = 0 εκτός το πού ένα πεπερασµένο πήθος Λ Ονοµάζεται ευθύ άθροισµα των M Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασµένο ισχύει βέβαια M = M Έστω ( N ) µια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Θα έµε ότι Λ το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισµα των N, Λ, αν κάθε x M γράφεται µοναδικά ως άθροισµα της µορφής x = y + + y t, µε y N, t 1 Στην 1 περίπτωση αυτή θα γράφουµε N = N Σηµείωση Η χρήση του ίδιου συµβοισµού N για δύο διαφορετικά πράγµατα δεν πρέπει να δηµιουργεί σύγχυση γιατί το εσωτερικό ευθύ άθροισµα των N (όταν ορίζεται) είναι ισόµορφο µε το ευθύ γινόµενο των Αν N (που πάντα ορίζεται) X M είναι ένα υποσύνοο του R-προτύπου Μ, µε < X > συµβοίζουµε το υποπρότυπο του Μ, < X >= r x + + r x M t 1, r R, x } Ονοµάζεται { 1 1 t t t M δε το υποπρότυπο του Μ που παράγει το Χ Ταυτίζεται µε την τοµή όων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ (γιατί;) Αν ( N ) είναι µια οικογένεια Λ υποπροτύπων του Μ, το υποπρότυπο N που παράγουν τα N, Λ, συµβοίζεται µε N Ισχύει N = x + + x t 1, x N } Για { 1 t παράδειγµα, έχουµε mz+ Z= dz, όπου d = µκδ ( m, ) (άσκηση)

10 11 Πρόταση Έστω ( N ) Λ µια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Τότε ισχύει M = N αν και µόνο αν ) M = N ) για κάθε, και Λ ισχύει N = 0 N µ µ Απόδειξη Έστω x M και x = y + + y = y + + y, όπου 1 t 1 t y, y N Τότε N 1 y 1 y 1 = ( y t y t ) + + ( y t y t ) µ 1 N µ Αν ισχύει η συνθήκη (), παίρνουµε y = y Συνεπώς αν ισχύουν οι συνθήκες () και () αµβάνουµε 1 1 M = N Το αντίστροφο είναι επίσης άµεσο: αν N 0, τότε θα είχαµε N µ µ y + µ = y + y 1 t y µ, άτοπο µε y N και µ, δηαδή θα είχαµε δύο εκφράσεις για το 1 Πρόταση Έστω Μ,Ν R-πρότυπα και ( M ) Λ, ( N ) Λ οκογένειες R- προτύπων Τότε υπάρχουν ισοµορφισµοί αβειανών οµάδων ) Hom R M, N HomR ( M, N) ) Hom R M, N HomR ( M, N ) Απόδειξη () Έστω ( g ) Hom ( M, N), όπου g Hom ( M, N) Έστω R R g : M N η απεικόνιση που ορίζεται από g ( x ) g ( x ) Ο ορισµός Λ = έχει νόηµα γιατί x = 0 για όα τα Λ εκτός από ένα πεπερασµένο πήθος Η g είναι βέβαια οµοµορφισµός R-προτύπων, g Hom R M N, Έστω Ψ : Hom R ( M, N) HomR M, N, ( g g ) Είναι οµοµορφισµός αβειανών οµάδων

11 Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουµε Φ : Hom ( M, N) Hom ( M, N), R R f ( f ), όπου για κάθε Λ f ( x ) = f (,0, x,0,) και το x M βρίσκεται στην συνιστώσα του (, 0, x,0,) M Η Φ είναι οµοµορφισµός αβειανών οµάδων και ισχύει Συνεπώς Φ είναι ισοµορφισµός ) Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές απεικονίσεις Παρόµοια µε την () Σηµείωση εν ισχύει γενικά ότι Hom R M, N Hom( M, N) (Άσκηση 1) 13 Πρόταση Έστω Μ ένα R-πρότυπο Υπάρχει ισοµορφισµός R-προτύπων Hom R ( R, M ) M Απόδειξη Πρώτα παρατηρούµε ότι η αβειανή οµάδα Hom R ( R, M ) είναι (αριστερό) R-πρότυπο, ( rf )( r ) = f ( r r) Εύκοα επαηθεύεται ότι η απεικόνιση Φ : HomR ( R, M ) f f (1) M είναι οµοµορφισµός R-προτύπων Επίσης η απεικόνιση Ψ : M Hom ( R, M ), Ψ ( m)( r) = rm είναι οµοµορφισµός R-προτύπων R Ισχύει Ψ Φ = (, ), Φ Ψ = 1M, και άρα ο Φ είναι ισοµορφισµός 1Hom R R M Για παράδειγµα, αν G είναι αβειανή οµάδα, τότε υπάρχει ισοµορφισµός οµάδων Hom (, G) G Έστω Z Z f : L M, g : M N οµοµορφισµοί R-προτύπων Η ακοουθία έγεται ακριβής στο Μ αν ισχύει f L M N g ker g = Im f (Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή έχουµε g f = 0, γιατί η τεευταία σχέση είναι ισοδύναµη µε τη Im f ker g Όµως η ακρίβεια στο M µας έει κάτι ισχυρότερο Πιο γενικά, µια ακοουθία R-προτύπων και R-οµοµορφισµών έγεται ακριβής αν είναι ακριβής σε κάθε Μια ακριβής ακοουθία της µορφής f + 1 M + 1 M M 1 M f g 0 L M N 0 f

1 α β έγεται βραχεία Ένα παράδειγµα είναι 0 Z Z Z 0, όπου η απεικόνιση α είναι ο ποαπασιαµός µε το m και β η φυσική προβοή Παρατηρούµε ότι ο f είναι µονοµορφισµός, γιατί ker f = Im(0 L) = 0 Επίσης ο g m είναι επιµορφισµός, γιατί Im g = ker( N 0) = N Ισχύει (όγω του 1ου θεωρήµατος ισοµορφισµών) N = Im g M / ker g M / L, δηαδή N M / L Αντίστροφα, αν L είναι υποπρότυπο του Μ, παίρνουµε µια ακριβή ακοουθία α β 0 L M M / L 0, όπου α ( x) = x, β ( y) = y + L για x L, y M (Ο β είναι ο φυσικός επιµορφισµός) Συνεπώς βέπουµε ότι µια βραχεία ακριβής ακοουθία αποτεεί έναν τρόπο καταγραφής του 1ου θεωρήµατος ισοµορφισµών Αν f L M είναι µονοµορφισµός, παίρνουµε την ακριβή ακοουθία f β 0 L M M / Im f 0, όπου β είναι ο φυσικός επιµορφισµός Αν M g N είναι επιµορφισµός, παίρνουµε την ακριβή ακοουθία α β 0 ker g M N 0, όπου α ( x) = x είναι η φυσική εµφύτευση α 14 Πρόταση Έστω 0 A B C 0 βραχεία ακριβής ακοουθία R-προτύπων Οι παραπάνω συνθήκες είναι ισοδύναµες () υπάρχει R-οµοµορφισµός α : B A µε την ιδιότητα α α = 1A β () υπάρχει R-οµοµορφισµός β : C B µε την ιδιότητα β β = 1C () η εικόνα Im a είναι ευθύς προσθετέος του Β Απόδειξη ( ) () Σύµφωνα µε την Πρόταση 11 αρκεί να δείξουµε ότι B = Im α + ker α και Im α ker α = 0 Έστω b B Γράφουµε b = α α ( b) + ( b α α ( b)) Ισχύει βέβαια α α ( b) Imα Επειδή α ( b α α ( b)) = α ( b) α α α ( b) = α ( b) α ( b) = 0, ισχύει b α a ( b) ker α Άρα B = Im α + ker α Έστω τώρα x Im α ker α Τότε α ( x) = 0 και x = α(y) για κάποιο y A Συνεπώς έχουµε α ( α( y)) = 0, δηαδή y = 0 οπότε x = 0 Άρα Im α ker α = 0 ( ) () Έστω B = Im α N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Αν b B, τότε b = α( x) + y για κάποιο x A, y N Επιπέον τα x, y είναι µοναδικά ορισµένα γιατί ο α είναι µονοµορφισµός και Im α N = 0 Θέτουµε α : B A, α ( b) = x,

13 που είναι καά ορισµένος R-οµοµορφισµός Ισχύει βέβαια α α = 1 ( ) () Θα δείξουµε ότι B = ker β Im β απ όπου προκύπτει το ζητούµενο γιατί ker β = Imα Έστω b B Γράφουµε b = ( b β β( b)) + β β( b) και παρατηρούµε ότι b β β( b) ker β (αφού β ( b β β( b)) = β( b) β β β( b) = β( b) β( b) = 0 ) και β β( b) Im β Αν x ker β Im β, τότε β ( x) = 0 και επειδή x = β (y) για κάποιο C, έχουµε β β ( y) = 0, δηαδή y = 0 ( ) () Έστω B = Im α N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Τότε B = ker β N Ο περιορισµός του β στο Ν είναι ισοµορφισµός, : N C A β N Πράγµατι, αφού B = ker β + N, ο β N είναι επί Αν β ( y) = 0 για κάποιο y N, τότε y ker β και άρα y = 0, αφού ker β N = 0 Θέτοντας β = β N προκύπτει το ζητούµενο Μια βραχεία ακοουθία που ικανοποιεί µια συνθήκη της προηγούµενης πρότασης καείται διασπώµενη, και θα έµε ότι η βραχεία ακοουθία διασπάται Στην περίπτωση που η ακριβής ακοουθία 0 A B C 0 διασπάται, ισχύει B A C Πράγµατι, από την απόδειξη της Πρότασης 14 έχουµε B = ker β Im β Ισχύει A Imα και C Im β γιατί οι α και β είναι µονοµορφισµοί Αντίστροφα, αν για R-πρότυπα ισχύει B = A C, τότε ορίζεται µια βραχεία ακριβής ακοουθία 0 A A C C 0, όπου ( a) = ( a,0) και π ( a, c) = C, που διασπάται π 15 Παράδειγµα 1) Η ακριβής ακοουθία Z -προτύπων m 0 Z Z Z 0, m όπου η απεικόνιση m Z Z είναι ποαπασιασµός µε το m Z {0}, δεν διασπάται όταν m ± 1 (γιατί;) ) Έστω k ένα σώµα Τότε κάθε ακριβής ακοουθία k-διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης 0 V 1 V V3 0 διασπάται, γιατί κάθε σύνοο γραµµικώς ανεξαρτήτων του διανυσµάτων V µπορεί να επεκταθεί σε βάση

14 του V (Το ίδιο ισχύει και για απειροδιάστατους διανυσµατικούς χώρους Η απόδειξη όµως απαιτεί το ήµµα του Zor που θα δούµε στην 14 παρακάτω) 3) Έστω k ένα σώµα Η ακριβής ακοουθία 0 x k[ x] k 0 διασπάται, αν θεωρηθεί ως ακοουθία k-προτύπων: ορίζουµε α : kx [ ] x, r r f 0 + f1x + + f x f1x + + f x Τότε ο α είναι οµοµορφισµός k-προτύπων και ο περιορισµός του στο x είναι η ταυτοτική απεικόνιση Όµως η παραπάνω ακριβής ακοουθία δεν διασπάται αν θεωρηθεί ως ακοουθία k[x] -προτύπων Πράγµατι, έστω α : kx [ ] x ένας οµοµορφισµός k [x] προτύπων που είναι η ταυτοτική απεικόνιση στο x Έστω α ( 1) = xf ( x), f ( x) k[ x] Τότε α ( x) = xα (1) = x f ( x), δηαδή x = x f ( x) Φυσικά δεν υπάρχει τέτοιο f (x) 13 Εεύθερα και Προβοικά Πρότυπα Μια οικογένεια ( e ) στοιχείων ενός R-προτύπου Μ καείται βάση του Μ αν κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως m = r e, όπου r R είναι όα µηδέν εκτός το πού ένα πεπερασµένο πήθος Ένα R-πρότυπο έγεται εεύθερο αν έχει µια τουάχιστον βάση Για παράδειγµα, το R είναι εεύθερο R-πρότυπο µε βάση το σύνοο { 1} Για κάθε > 1, το Z δεν είναι εεύθερο Z -πρότυπο γιατί a = 0 για κάθε a Z, δηαδή το 0 δεν γράφεται κατά µοναδικό τρόπο όπως απαιτεί ο ορισµός Κάθε k-διανυσµατικός χώρος είναι εύθερο k-πρότυπο Το M (R) ( πίνακες µε στοιχεία από το R) είναι εεύθερο R-πρότυπο µε µια βάση τα στοιχεία Ej M (R),, j = 1,,, όπου E j είναι ο πίνακας µε µηδέν παντού εκτός από τη θέση (, j) όπου υπάρχει το 1 131 Πρόταση ) Ένα R-πρότυπο Μ είναι εεύθερο αν και µόνο αν είναι ισόµορφο µε ένα πρότυπο της µορφής R, όπου R = R για κάθε Λ ) Κάθε R-πρότυπο είναι οµοµορφική εικόνα εεύθερου R-προτύπου Απόδειξη ) Αν το Μ είναι εεύθερο µε βάση ( e ), τότε ορίζεται ένας

15 ισοµορφισµός φ : M m ( r ) R, όπου m = r e Αντίστροφα, το R είναι εεύθερο γιατί µία βάση του είναι το σύνοο { ε Λ}, όπου ε είναι η ακοουθία ε = ( ε ) µ µε ε µ = 0 αν µ και ε = 1 ) Έστω Λ ένα σύνοο γεννητόρων του Μ, πχ ορίζεται ένας επιµορφισµός R M Λ = M Κατά τον προφανή τρόπο 13 Πρόταση Έστω 0 A B C 0 προτύπων Αν το C είναι εεύθερο, τότε αυτή διασπάται Απόδειξη Έστω α β µια ακριβής ακοουθία R- { e } µια βάση του C Επιέγουµε για κάθε Λ ένα στοιχείο b B, έτσι ώστε β ( b ) = e (ο β είναι επιµορφισµός) Ορίζουµε έναν R- οµοµορφισµό β : C B από τις σχέσεις β ( e ) = b Ισχύει β β = 1C και άρα (Πρόταση 14) η ακοουθία διασπάται Ερχόµαστε τώρα στα προβοικά πρότυπα Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για τα κεφάαια που ακοουθούν 133 Πρόταση Έστω Ρ ένα R-πρότυπο Τα ακόουθα είναι ισοδύναµα: ) Για κάθε οµοµορφισµό f : P B R-προτύπων και για κάθε επιµορφισµό R- προτύπων p : A B, υπάρχει οµοµορφισµός g : P A R-προτύπων που καθιστά το διάγραµµα µεταθετικό g P f A p B 0 ) Κάθε ακριβής ακοουθία 0 N M P 0 διασπάται ) Το Ρ είναι ευθύς προσθετέος κάποιου εεύθερου R-προτύπου (δηαδή P X = F,

16 για κάποια R-πρότυπα Χ, F όπου το F είναι εεύθερο) Απόδειξη ) ) Προκύπτει άµεσα θεωρώντας το διάγραµµα g P 1 Ρ M p P 0 ) ) Έστω F P 0 επιµορφισµός R-προτύπων, όπου το F είναι εεύθερο (δες την πρόταση 131 )), και N = ker( F P) Η ακριβής ακοουθία 0 N F P 0 διασπάται, και άρα F N P ) ) Έστω P X εεύθερο R-πρότυπο για κάποιο R-πρότυπο Χ Θεωρούµε το διάγραµµα R-οµοµορφισµών Φ P X π P f A p B 0 όπου π ( a, x) = a και ( a) = ( a,0), a P, x X Επειδή το P X είναι εεύθερο, εύκοα διαπιστώνουµε ότι υπάρχει R-οµοµορφισµός Φ : P X A που καθιστά µεταθετικό το διάγραµµα (αν ( e ) I είναι µια βάση του P X, ορίζουµε Φ ( e ) = z, όπου p z ) = f π( e )) Τώρα η ζητούµενη απεικόνιση g : P A είναι η σύνθεση ( Φ P P X A Ένα R-πρότυπο Ρ που ικανοποιεί µια από τις συνθήκες της προηγούµενης πρότασης καείται προβοικό Η πρόταση 13 (ή η απόδειξη της Πρότασης 133) µας πηροφορεί ότι: 134 Πόρισµα Κάθε εεύθερο πρότυπο είναι προβοικό

17 Το αντίστροφο δεν ισχύει Από Z Z3 Z 6 (ως Z6 -πρότυπα) συµπεραίνουµε ότι το Z είναι προβοικό Z6 -πρότυπο Όµως δεν είναι εεύθερο Z6 -πρότυπο (γιατί;) Η επόµενη πρόταση µας πηροφορεί ότι τα προβοικά πρότυπα συµπεριφέρονται καά ως προς το ευθύ άθροισµα 135 Πρόταση Έστω ( P ) Λ µια οικογένεια R-προτύπων Τότε το P είναι προβοικό αν και µόνο αν κάθε P είναι προβοικό Απόδειξη Αν το P είναι προβοικό, τότε X P είναι εεύθερο για κάποιο Χ Άρα κάθε P είναι ευθύς προσθετέος εεύθερου προτύπου Αντίστροφα, αν για κάθε Λ υπάρχει πρότυπο Χ και εεύθερο πρότυπο F µε την ιδιότητα P = που είναι εεύθερο R-πρότυπο X F, τότε P X = F (πρόταση 131 ) για παράδειγµα) 136 Σηµείωση εν θα ασχοηθούµε εδώ µε τη δυϊκή έννοια του προβοικού προτύπου πέρα από τον ορισµό του: ένα R-πρότυπο Ι έγεται εµφυτευτικό αν κάθε ακριβής ακοουθία R-προτύπων της µορφής 0 I A B 0 διασπάται (σύγκρινε µε την Πρόταση 133 )) Στις σηµειώσεις αυτές η έννοια του εµφυτευτικού προτύπου εµφανίζεται µόνο στο Θεώρηµα 1 14 Λήµµα του Zor και Μέγιστα Ιδεώδη αν ) Μια σχέση σε ένα (µη κενό) σύνοο Χ ονοµάζεται σχέση µερικής διάταξης x x x X, ) x y, y z x z, και ) x y, y x x = y Το Χ ονοµάζεται τότε µερικά διατεταγµένο σύνοο Ένα µερικά διατεταγµένο σύνοο Χ στο οποίο ισχύει η πρόσθετη συνθήκη v) για κάθε ονοµάζεται οικά διατεταγµένο x, y X είτε x y είτε y x, Έστω Υ ένα υποσύνοο του µερικά διατεταγµένου συνόου Χ Ένα στοιχείο x X ονοµάζεται άνω φράγµα του Υ στο Χ αν y x για κάθε y Y Ένα στοιχείο x X του µερικά διατεταγµένου συνόου Χ ονοµάζεται µέγιστο

18 (ή µεγιστικό) αν δεν υπάρχει x X µε x x, x x 141 Λήµµα του Zor Έστω Χ ένα µη κενό µερικά διατεταγµένο σύνοο του οποίου κάθε µη κενό οικά διατεταγµένο υποσύνοο έχει ένα άνω φράγµα στο Χ Τότε το Χ έχει ένα τουάχιστον µέγιστο στοιχείο Αποδεικνύεται στη Θεωρία Συνόων ότι το Λήµµα του Zor είναι ισοδύναµο µε το Αξίωµα Επιογής Βέβαια εµείς εδώ θα το δεχτούµε ως αξίωµα Ακοουθεί µια τυπική εφαρµογή Θυµίζουµε πρώτα ότι ένα γνήσιο ιδεώδες Ι του R έγεται µέγιστο αν δεν υπάρχει άο ιδεώδες J µε την ιδιότητα I J R 14 Πρόταση Έστω R 0 ένας δακτύιος (µε 1, όπως πάντα) Τότε ο R έχει ένα τουάχιστον µέγιστο ιδεώδες Απόδειξη Έστω Χ το σύνοο των γνήσιων ιδεωδών του R Ισχύει X αφού ( 0) X Έστω Υ ένα µη κενό οικά διατεταγµένο υποσύνοο του Χ (Η σχέση µερικής διάταξης στο Χ είναι η σχέση υποσυνόου ) Θέτουµε J = I I Y και παρατηρούµε ότι είναι ιδεώδες του R Πράγµατι, αν a, b J τότε a I1 και b I για κάποια I 1, I Y Επειδή το Υ είναι οικά διατεταγµένο, ισχύει I1 I ή I I 1 Συνεπώς a + b J Επίσης ra I1 για κάθε r R Άρα ra J Το J είναι γνήσιο, γιατί αν J = R θα είχαµε 1 J, δηαδή 1 I για κάποιο I Y, δηαδή R Y X, άτοπο Άρα το J είναι ένα άνω φράγµα του Υ στο Χ Από το Λήµµα του Zor, το Χ έχει ένα µέγιστο στοιχείο, που φυσικά είναι µέγιστο ιδεώδες Υπενθυµίζουµε ότι ένα µη µηδενικό R-πρότυπο Μ έγεται από αν δεν περιέχει µη µηδενικά γνήσια υποπρότυπα 143 Πρόταση Έστω R 0 ένας δακτύιος Τότε υπάρχει ένα τουάχιστον από R- πρότυπο Απόδειξη Έστω Ι ένα µέγιστο ιδεώδες του R (Πρόταση 14) Το R-πρότυπο είναι από, γιατί κάθε υποπρότυπό του έχει τη µορφή του R R / I J / I όπου J I είναι ιδεώδες

19 15 ακτύιοι ιαίρεσης Ένας αποτεεσµατικός τρόπος µεέτης δακτυίου είναι να εξετάσουµε ιδιότητες των προτύπων του Ένα απούστατο παράδειγµα παρέχει το παρακάτω θεώρηµα Κάθε σώµα k έχει την ιδιότητα ότι όα τα k-πρότυπα είναι εέυθερα Ποιοι δακτύιοι έχουν την ιδιότητα αυτή; 151 Θεώρηµα Ένας δακτύιος R 0 είναι δακτύιος διαίρεσης αν και µόνο αν κάθε R-πρότυπο είναι εεύθερο Για την απόδειξη, χρειαζόµαστε τον ακόουθο ορισµό ήµµα Αν Μ είναι ένα R- πρότυπο θέτουµε A( M ) { r R rm 0 m M } = = Το A( M ) ονοµάζεται ο µηδενιστής του Μ και είναι ένα ιδεώδες του R (και µάιστα αµφίπευρο) 15 Λήµµα Έστω M 0 ένα R-πρότυπο, όπου R είναι δακτύιος διαίρεσης Τότε υπάρχει γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνοο του Μ µέγιστο ως προς τη σχέση υποσυνόου Απόδειξη Έστω Χ το σύνοο των γραµµικά ανεξάρτητων υποσυνόων του Μ (Ισχύει X, γιατί κάθε µονοσύνοο {a} µε a M, a 0, είναι γραµµικά ανεξάρτητο, αφού έχουµε ra = 0, r 0 a = 1a = r ( ra) = 0) Θεωρούµε τη µερική διάταξη στο X που δίνεται από τη σχέση υποσυνόου Έστω Υ ένα οικά διατεταγµένο υποσύνοο του Χ Ορίζοντας 1 Ω = A εύκοα επαηθεύουµε ότι το Ω είναι γραµµικά ανεξάρτητο ηαδή το Ω είναι ένα άνω φράγµα του Υ στο Χ Το ζητούµενο προκύπτει από το Λήµµα του Zor Απόδειξη του Θεωρήµατος 151 " " Έστω R δακτύιος διαίρεσης και Μ ένα R-πρότυπο Έστω Β ένα µέγιστο A Y γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνοο του Μ (Λήµµα 15) Έστω m M το οποίο δεν γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του Β Θα φθάσουµε σε άτοπο, πράγµα που σηµαίνει ότι το Β είναι βάση του Μ Το εξαρτηµένο από τον ορισµό του Β Άρα rm + r b = 0, r 0 { m} B είναι γραµµικά

0 για κάποια που είναι άτοπο r R και b B Συνεπώς m ( r b ) = 1 1 = r r r b " " Πρώτα παρατηρούµε ότι το το R είναι από R-πρότυπο Πράγµατι, έστω Ι ένα µέγιστο ιδεώδες του R (Πρόταση 14) Τότε το R-πρότυπο, M = R / I είναι από Από την υπόθεση είναι και εεύθερο Άρα έχει βάση αποτεούµενη από ένα στοιχείο Συνεπώς M R, δηαδή το R είναι από R-πρότυπο Έστω x R, x 0 Για το κύριο ιδεώδες ( x ) του R έχουµε, όγω της απότητας του R, ( x) = R και εποµένως υπάρχει y R µε yx = 1 Μένει να δείξουµε ότι xy = 1 Έχουµε yx = 1 ( xy 1) x = 0 xy 1 A( x) Αά A( x ) = 0 επειδή ο R είναι απός και περιέχει µονάδα Άρα xy 1= 0 Έστω R ένας δακτύιος διαίρεσης και M 0 ένα R-πρότυπο Τότε αυτό είναι εεύθερο σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα Έστω ότι έχει µια βάση µε < στοιχεία Όπως ακριβώς στη Γραµµική Άγεβρα (δηαδή µε τη χρήση του ήµµατος της αντααγής ) αποδεικνύεται και εδώ ότι κάθε άη βάση θα έχει στοιχεία Έτσι ορίζεται η τάξη του Μ, που συµβοίζεται dm M ή rkm, ως ο πηθάριθµος µιας βάσης του Στην περίπτωση που το M έχει µια βάση µε άπειρα στοιχεία θα γράφουµε dm M = Η προηγούµενη ιδιότητα δεν ισχύει για γενικούς δακτυίους 153 Παράδειγµα Έστω R= EdZ ( ) Z Ως R-πρότυπο, το R είναι εεύθερο µια βάση το µονοσύνοο { 1} Θα κατασκευάσουµε τώρα µια άη βάση του R µε δύο στοιχεία! Έστω { e 1, e,} η κανονική βάση του Z ως Z -πρότυπο, δηαδή e 1 = (1,0,0,), e = (0,1,0,) κπ Έστω f, g R που ορίζονται από τις σχέσεις e, f ( e ) = 0, αν αν = = + 1 Τότε κάθε 0, αν = ge ( ) = e, αν = 1 φ R γράφεται µοναδικά ως φ = αf + βg, α, β R (Μάιστα α e ) = φ( e ), β ( e) = φ( e 1) ) Άρα µία βάση του R είναι το { f, g} (

1 Αποδεικνύεται ότι σε µεταθετικούς δακτύιους µε 1 η έννοια της τάξης εεύθερου προτύπου είναι καά ορισµένη (δες για παράδειγµα τις σηµειώσεις του γράφοντος, Εισαγωγή στη Μεταθετική Άγεβρα ) Ασκήσεις 1 Ένα στοιχείο e R έγεται αυτοδύναµο αν e = e Έστω e R αυτοδύναµο στοιχείο που ανήκει στο κέντρο του R Τότε τα κύρια (αριστερά) ιδεώδη (e) και ( 1 e) είναι αµφίπευρα και µάιστα υποδακτύιοι µε µοναδιαία στοιχεία Ως δακτύιοι ισχύει R ( e) (1 e) Επίσης το (e) είναι προβοικό R-πρότυπο Έστω e 1,,e αυτοδύναµα στοιχεία του R (δες την προηγούµενη άσκηση) για τα οποία e e = 0 ( j), e C(R) και e + e 1 Τότε ως δακτύιοι j 1 R, όπου ( e ) R R R = 1 + = 3 Αν R είναι δακτύιος, µε op R συµβοίζουµε το δακτύιο όπου ως σύνοο R op = R, η πρόσθεση είναι αυτή του R αά ο ποαπασιασµός είναι ανάποδα r s = sr είξετε ότι ) k[ G] op k[ G] (G οµάδα, k σώµα) ) H op H op op ) M ( R) M ( R ) Υπόδειξη: θεωρείστε την απεικόνιση t X είναι ο ανάστροφος του Χ v) Ed R op ( R) R X t X,όπου 4 Έστω R M ( C ), a b, R= a b C Ως -άγεβρες, R H b a 5 Έστω m > 1 Το Z - πρότυπο Z m είναι από αν και µόνο αν ο m είναι πρώτος 6 Έστω R 0 ένας δακτύιος Τα ακόουθα είναι ισοδύναµα ) R είναι δακτύιος διαίρεσης ) κάθε R-πρότυπο είναι εεύθερο

) κάθε κυκικό R-πρότυπο είναι εεύθερο 7 Έστω I, J δυο ιδεώδη του R Τότε υπάρχει ακριβής ακοουθία της µορφής 0 I J R R / I R / J R / I + J 0 (Για I + J = R προκύπτει το κινεζικό θεώρηµα υποοίπων) 8 ) Έστω 0 A B C 0 µια ακριβής ακοουθία R-προτύπων Αν τα Α και C είναι πεπερασµένα παραγόµενα, τότε και το Β είναι πεπερασµένα παραγόµενο ) Έστω Μ, Ν υποπρότυπα ενός τρίτου R-προτύπου Αν τα M + N και M N είναι πεπερασµένα παραγόµενα, τότε και τα Μ, Ν είναι πεπερασµένα παραγόµενα 9 Έστω V ένα D-πρότυπο πεπερασµένης τάξης, όπου D-δακτύιος διαίρεσης Θέτουµε R = Ed (V ) D ) Το V είναι R-πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό f v = f ( v), f R, v V ) Το V είναι από R-πρότυπο ) Υπάρχει ισοµορφισµός D Ed (V ), d ποαπασιασµός µε το d R 10 Έστω R, S δυο δακτύιοι Θυµίζουµε ότι το κέντρο του R είναι ο υποδκτύιος C ( R) = { r R rs = sr για κάθε s R} ) CR ( S) = CR ( ) CS ( ) ) C( M ( R)) C( R) ) D δακτύιος διαίρεσης C(D) σώµα v) Έστω D ένας δακτύιος διαίρεσης και V 0 ένα D -πρότυπο Τότε C( Ed D ( V )) C( D) 11 Έστω Μ ένα R-πρότυπο Τα ακόουθα είναι ισοδύναµα ) Το Μ είναι από ) Για κάθε m M, m 0, M = m

3 ) Το M R / I για κάποιο µέγιστο ιδεώδες Ι του R 1 είξτε µε παράδειγµα ότι γενικά δεν ισχύει Hom R M, N Hom( M, N) Υπόδειξη: Έστω Λ =, Μ = Ν = R = σώµα Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι αν ένας διανυσµατικός χώρος είναι ισόµορφος µε τον δυϊκό του, τότε είναι πεπερασµένης διάστασης 13 Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα, a G και C { gag 1 g G} = είξτε ότι το στοιχείο c ανήκει στο κέντρο της άγεβρας kg [ ] c C 14 Έστω G µια πεπερασµένη κυκική οµάδα τάξης και k ένα σώµα Αποδείξτε ότι υπάρχει ισοµορφισµός δακτυίων kx [ ] kg [ ] x 1 15 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισοµορφισµός δακτυίων ( Z Z) ( Z ) Ed M 16 Έστω R ένας δακτύιος Αποδείξτε ότι κάθε αµφίπευρο ιδεώδες του M ( R ) είναι της µορφής M ( I), όπου Ι είναι αµφίπευρο ιδεώδες του R 17 Έστω m>, 0 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισοµορφισµός οµάδων Hom Z ( ) Z, Z Z, όπου d = µκδ ( m, ) m d a 0 0 0 18 Έστω k ένα σώµα, R = M( k) και I = R Εξετάστε αν το b c b c I είναι αµφίπευρο ιδεώδες του R Αηθεύει ότι το Ι είναι από R-πρότυπο; Αν όχι, να βρεθεί ένα από R-υποπρότυπο του I