ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ 1o : Δινύσμτ 1.1 : Ή έννοι του δινύσµτος 1. : Πρόσθεση κι φίρεση ινυσµάτων 1.3 : Πολλπλ/σµός ριθµού µε ιάνυσµ 1.4 : Συντετγµένες στο επίπεδο 1.5 : Εσωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων

1.1 : Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Ορισµοί ιάνυσµ : λέγετι έν ροσντολισµένο ευθύγρµµο τµήµ του ο οίου τ άκρ θεωρούντι διτετγµέν. Το ρώτο σηµείο λέγετι ρχή (ή σηµείο εφρµογής), ενώ το δεύτερο λέγετι έρς του δινύσµτος. Το διάνυσµ µε ρχή κι έρς συµολίζετι µε Έν διάνυσµ συµολίζετι κι µε έν εζό ελληνικό ή λτινικό γράµµ άζοντς άνω του έν έλος.χ. το v Μηδενικό: λέγετι το διάνυσµ του ο οίου η ρχή κι το τέλος συµ ί τουν. Συµολίζετι 0 ή. Η εικόν του είνι έν σηµείο του ε ι έδου. Μέτρο δινύσµτος : λέγετι το µήκος του ευθ. τµήµτος. Συµολίζετι κι ροφνώς είνι 0. Ισχύει =0. Μονδιίο: λέγετι το διάνυσµ ου έχει µέτρο την µονάδ..χ. τ AB, v Φορές δινύσµτος: Είνι η ευθεί άνω στην ο οί ρίσκετι το διάνυσµ..χ. η ευθεί ε είνι φορές του Γ, η ευθεί ζ είνι φορές του ΕΖ Πράλληλ ή συγγρµµικά δινύσµτ: Έχουν τον ίδιο φορέ ή ράλληλους φορείς. Συµολισµός: //.χ. Γ // ΚΛ κι Γ // ΕΖ ινύσµτ µε ίδι διεύθυνση: λέγοντι τ ράλληλ δινύσµτ..χ. τ Γ, ΚΛ, ΕΖ Οµόρρο (Με ίδι διεύθυνση κι φορά) (συµ. ): λέγοντι δύο ράλληλ δινύσµτ ου : ) Ότν έχουν ράλληλους φορείς, ρίσκοντι στο ίδιο ηµιε ί εδο ως ρος την ευθεί ου ενώνει τις ρχές τους.χ. Γ ) Ότν έχουν τον ίδιο φορέ, η µί ό τις ηµιευθείες ου ορίζουν εριέχετι στην άλλη.χ. ΕΖ ΗΘ [1]

ντίρρο (Με ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά) (συµ. ): είνι δύο ράλληλ δινύσµτ ου: ) Ότν έχουν ράλληλους φορείς, ρίσκοντι σε διφορετικά ηµιε ί εδ ως ρος την ευθεί ου ενώνει τις ρχές τους.χ. Γ ) Ότν έχουν τον ίδιο φορέ, κµί ό τις ηµιευθείες ου ορίζουν δεν εριέχετι στην άλλη.χ. τ ΕΖ ΗΘ Ίσ δινύσµτ: Λέγοντι δύο οµόρρο δινύσµτ ου έχουν ίσ µέτρ. (δηλ. ράλληλ µε ίσ µέτρ κι ίδι φορά).χ. ν Γ ΕΖ κι Γ = ΕΖ τότε Γ =ΕΖ ν Γ ΚΛ κι Γ = ΚΛ τότε Γ =ΚΛ ντίθετ δινύσµτ: Λέγοντι δύο ντίρρο δινύσµτ ου έχουν ίσ µέτρ (δηλ. ράλληλ µε ίσ µέτρ λλά ντίθετη φορά). ν το u είνι ντίθετο του v γράφουµε u = - v ( ή v = - u ).χ. ν Γ ΕΖ κι Γ = ΕΖ τότε Γ = -ΕΖ ν Γ ΚΛ κι Γ = ΚΛ τότε Γ = -ΚΛ Άσκηση 1 ίνετι τρίγωνο Γ. Ν ρεθούν τ σηµεί Μ του ε ι έδου έτσι ώστε τ δινύσµτ κι Μ ν έχουν: ) την ίδι κτεύθυνση ) την ίδι διεύθυνση κι το ίδιο µέτρο γ) την ίδι διεύθυνση δ) το ίδιο µέτρο Λύση A B Γ []

Σηµντικές πρτηρήσεις ν Μ µέσο του τότε Μ=Μ κι Μ= -Μ Μ ν Μ=Μ τότε το Μ είνι µέσο του εχόµστε ότι το µηδενικό διάνυσµ είνι ράλληλο µε κάθε άλλο. ηλ. το = 0 έχει ο οιδή οτε κτεύθυνση. = 0 ν Γ ρλληλόγρµµο τότε: = Γ κι =Γ ο ότε κι =Γ κι =Γ Στην ισότητ = Γ γίνοντι ενλλγές των γρµµάτων ως εξής: = Γ Γ = (ενλλγή των µέσων γρµµάτων) = Γ = Γ (ενλλγή των άκρων γρµµάτων) = Γ Γ = (ενλλγή όλων των γρµµάτων) Άσκηση ν γι τ σηµεί,, Γ,, Ε ισχύουν οι ισότητες Γ= κι Ε=, ν δείξετε ότι το είνι µέσο του ΓΕ. όδειξη Γωνί δύο δινυσµάτων, : λέγετι η θετική κι κυρτή γωνί ου σχηµτίζουν ότν τ κτστήσουµε ν έχουν κοινή ρχή. Συµολίζουµε µε (, ) ή (, ) ή γενικά θ µε 00 θ 180 0.χ. στο σχήµ µε κοινή ρχή Ο ίρνουµε Ο= κιο= Γ Πρτηρήσεις: Τ οµόρρο δινύσµτ σχηµτίζουν γωνί 0 0.χ. ν γ δ τότε θ=0 0 Τ ντίρο δινύσµτ σχηµτίζουν γωνί 180 0.χ. ν ε ζ τότε θ=180 0 ν θ=90 0 τ δινύσµτ λέγοντι κάθετ ή ορθογώνι.χ. ν θ=90 0 τότε u v Θεωρούµε ότι το µηδενικό διάνυσµ 0 σχηµτίζει ο οιδή οτε γωνί θ (0 0 θ 180 0 ) µε κάθε άλλο διάνυσµ [3]

( 1. ) ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΙΡΕΣΗ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Πως ορίζετι η πρόσθεση δύο δινυσμάτων, 1 ος τρό ος Με ρχή έν τυχίο σηµείο Ο ίρνουµε διάνυσµ Ο = Στη συνέχει µε ρχή το ίρνουµε έν διδοχικό ρος τοο διάνυσµ Μ = Τότε ορίζουµε το διάνυσµ ΟΜ ν είνι το άθροισµ των κι κι συµολίζουµε ΟΜ = + Ώστε: Γι ν ροσθέσουµε δύο δινύσµτ, τ κάνουµε διδοχικά (δηλ. το έρς του ρώτου ν είνι η ρχή του δευτέρου). Τότε το διάνυσµ ου ορίζετι ό την ρχή του ρώτου κι ό το έρς του δευτέρου δινύσµτος είνι το άθροισµά τους. ηλ. Ο +Μ =ΟΜ Σχόλιο: Τ δινύσµτ γίνοντι διδοχικά µε ράλληλη µετφορά ος τρό ος Με ρχή έν τυχίο σηµείο Ο ίρνουµε δινύσµτο = κιο = Σχηµτίζουµε το ρλληλόγρµµο ΟΜ µε λευρές τις Ο, Ο Τότε το άθροισµ + ορίζετι ό το διάνυσµ της εριεχόµενης διγωνίου ΟΜ. ηλ. + =ΟΜ Ώστε: Γι ν ροσθέσουµε δύο δινύσµτ εφρµόζουµε τον κνόν του ρλληλογράµµου Ιδιότητες της ρόσθεσης διν/των ) +=+ (ντιµετθετική) ) (+)+γ=+(+γ) ( ροσετιριστική) γ) +0=0+ (ουδέτερο στοιχείο) δ) +(-)=0 (ντίθετο στοιχείο) Ο + Μ Ο + Ο Ο + +γ ++γ Η όδειξη του ) Η όδειξη του ) + + γ Μ Μ Μ [4]

Πρτηρήσεις Συµολίζουµε κθέν ό τ ίσ θροίσµτ ( + ) +γ κι + ( +γ ) µε ++γ,το ο οίο θ λέµε άθροισµ των τριών δινυσµάτων, κι γ Το άθροισµ ολλών δινυσµάτων ρίσκετι ν ροσθέσουµε το ρώτο µε το δεύτερο, υτό ου θ ρούµε µε το τρίτο, υτό ου θ ρούµε µε το τέτρτο κ.ο.κ. Το άθροισµ ολλών δινυσµάτων το ρίσκουµε ευκολότερ ν κάνουµε τ δινύσµτ διδοχικά..χ. ++γ+δ= v Έν δινυσµτικό άθροισµ ου το έρς ενός δινύσµτος είνι η ρχή του ε οµένου, υ ολογίζετι άµεσ..χ. AB+Γ+Γ + Ε=Ε Κάθε διάνυσµ γράφετι σν άθροισµ δύο ή ερισσοτέρων δινυσµάτων..χ. =Γ+Γ κι = + Ε+Ε Πως ορίζετι η φίρεση δύο δινυσµάτων, 1 ος τρό ος (ορισµός) Η διφορά του ό το διάνυσµ ορίζετι ως το άθροισµ του δινύσµτος µε το ντίθετο (- ) του δινύσµτος. ηλ. = +(- ) Ισχύει : + x = x = - γ δ Γ Ε γ v δ ηλ. η διφορά - είνι το διάνυσµ ου ρέ ει ν ροσθέσουµε στο γι ν άρουµε το. ος τρό ος (κνόνς ρλληλογράµµου) Η διφορά είνι το διάνυσµ της δεύτερης διγωνίου του γνωστού ρλληλογράµµου της ρόσθεσης δινυσµάτων!!! Προσέξτε την διεύθυνση του ( ό το έρς του στο έρς του ) [5]

Διάνυσμ θέσεως ενός σημείου του επιπέδου Σηµείο νφοράς ονοµάζουµε έν στθερό σηµείο Ο του ε ι έδου ου το θεωρούµε ως ρχή. ιάνυσµ θέσεως του σηµείου Μ (ή δινυσµτική κτίν του σηµείου Μ): λέγετι το διάνυσµ ΟΜ ό ου Ο το σηµείο νφοράς Κάθε διάνυσµ στο χώρο είνι ίσο µε τη δινυσµτική κτίν του έρτος µείον τη δινυσµτική κτίν της ρχής ηλδή: AB= OB OA (φού Ο+=Ο AB = OB OA ) σκήσεις 3. ίνετι τετρά λευρο Γ. Ν ρείτε τ δινύσµτ: ) +Γ = ) + = γ) +Γ+Γ = ε) Γ = δ) Γ Γ = στ) Γ+Γ = 4. Ν εκφράσετε το διάνυσµ x ως συνάρτηση των άλλων δινυσµάτων στ σχήµτ ου δίνοντι: 5. Ποι δύνµη χρειάζετι ν εφρµοστεί στο σώµ Σ ώστε ν µη µετκινηθεί ό την θέση του: F Σ F F 1 60 0 0 150 3 Σ F 3 60 0 60 0 F Σ 0 0 10Σ 10 3 135 0 F F 1 F F 1 F F 1 F 0 3 10 F Σ 3 0 10 Γ F 1 F 6. i) Συµ ληρώστε τ κενά µε έν γράµµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες: ) + Ε=... ) Ε+=... γ) Γ + =... δ) Ζ+ΖΕ=Ζ... ε) ΖΕ=... ii) Συµ ληρώστε τ κενά µε έν διάνυσµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες: ) Ε =... ) Γ =... γ) ΓΖ+ Ζ=... δ) ΓΖ=... ε) Γ+ Γ=... Γ Ε Ζ [6]

7. ίνετι το κνονικό εξάγωνο Γ ΕΖ κέντρου Ο. Ν ρεθούν τ δινύσµτ: ) Γ Ζ ) ΟΓ ( ΕΟ Ε) γ) Ο δ) Ζ Γ Ζ Ε Ο Γ 8. Συµ ληρώστε τ κενά µε έν γράµµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες ) Ε=ΖΕ Κ... ) ΙΗ+Ε... =Ζ γ) ΕΙ+ΚΗ=ΕΓ... Ζ Η τριγωνική νισότητ στ δινύσμτ ν, ο οιδή οτε δινύσµτ του ε ι έδου ισχύει + + (τριγωνική νισότητ) Το µέτρο του θροίσµτος δύο δινυσµάτων εριέχετι µετξύ του θροίσµτος των µέτρων τους κι της όλυτης διφοράς των µέτρων τους Ειδικές ερι τώσεις ν 0 κι 0 κι, µη συγγρµικά τότε < + < + (σχ.1) ν (οµόρρο )τότε < + = + (σχ.) ν (ντίρρο )τότε = + < + (σχ.3) ν = 0 ή = 0 τότε = + = + Άσκηση 9 Θεωρούµε τ δινύσµτ του δι λνού σχήµτος ου έχει κύκλο(ο,1) ) Ν θέσετε το κτάλληλο σύµολο (=, <, >) µετξύ των 1 i) δ,, γ ii) Ο,, + γ ) Ν ρείτε το µέτρο του θροίσµτος Ο+ΓΟ όδειξη σχ.1 Στο τρίγωνο Ο: Ο- <Ο<Ο+ γ Ο δ σχ. σχ.3 Γ [7]

( 1.3) ΠΟΛΠΛΣΙΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΝΥΣΜ Πως ορίζετι ο ολλ λσισµός ριθµού λ µε διάνυσµ Γινόµενο του ριθµού λ 0 µε το διάνυσµ 0 : λέγετι έν διάνυσµ ου το συµολίζουµε λ (ή λ. ) το ο οίο: ) έχει µέτρο λ. ) είνι οµόρρο ο του, ν λ>0 κι ντίρρο ο του, ν λ<0 Ειδικά: ν λ=0 κι 0 τότε ορίζουµε 0. = 0 ν λ 0 κι = 0 τότε ορίζουµε λ. 0 = 0 Ιδιότητες Πολλ λσισµού ριθµού µε ιάνυσµ σικές 1) λ ( + )= λ + λ (ε ιµεριστικότητ ως ρος την ρόσθεση δινυσµάτων) ) ( λ + µ ) = λ + µ (ε ιµεριστικότητ ως ρος την ρόσθεση ργµτικών) 3) λ ( µ ) = µ ( λ) = ( λµ ) Πορίσµτ (i) λ = 0 λ = 0 ή = 0 (ii) ( λ) = λ( ) = ( λ) (iii) λ( ) = λ λ (iv) ( λ µ ) = λ µ (v)ν λ λ = κι λ 0,τότε = (διγρφή ριθµού) (vi)ν λ = µ κι 0,τότε λ = µ (διγρφή δινύσµτος) Πότε δύο δινύσµτ είνι ράλληλ (Συνθήκη ρλληλίς) ύο δινύσµτ, µε 0 είνι ράλληλ ν κι µόνο ν υ άρχει λ Rτέτοιος ώστε =λ όδειξη Έστω =λ. ό τον ορισµό του ολ/µού ριθµού µε διάνυσµ ροκύ τει ότι Έστω Άσκηση 10 Με την οήθει του σχήµτος ν ρείτε τις τιµές του κ στις ρκάτω ερι τώσεις )ΟΓ=κΓ δ)=κ άντηση ) =κ Ο ε)=κ ΓΓ γ)γ=κγο Ο Γ [8]

Γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων Γρµµικός συνδυσµός δύο δινυσµάτων κι λέγετι κάθε διάνυσµ της µορφής v = κ + λ, ό ου κ, λ R..χ. το διάνυσµ v = + 3 Γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων 1,, 3,..., ν λέγετι κάθε διάνυσµ της µορφής, λ11 + λ + λ33 +... + λνν ό ου λ1, λ, λ3,..., λν R. Σχόλιο: Ένς γρµµικός συνδυσµός ράγει έν νέο διάνυσµ ό άλλ ρχικά δινύσµτ Άσκηση 11 ν σηµείο του ευθ. τµήµτος τέτοιο ώστε 5 = κι Ο τυχίο σηµείο του ε ι έδου µε Ο= κι Ο=, ν εκφράσετε το διάνυσµ Ο ως γρµµικό συνδυσµό των κι Λύση Άσκηση 1 ίνετι τρίγωνο Γ κι τ σηµεί, Ε των, Γ ώστε Ε//Γ ) ν =, ν ρείτε το λ R ώστε ΓΕ=λΓ 3 ) ν 5 3= 0, ν ρείτε το x R ώστε Ε= xγ Λύση - 3 -+3 Ο Ε Γ ινυσµτική κτίν του µέσου ευθ. τµήµτος Η δινυσµτική κτίν του µέσου ευθ. τµήµτος ισούτι µε το ηµιάθροισµ των δινυσµτικών κτίνων των άκρων του τµήµτος. ηλ. ν Ο σηµείο νφοράς κι Μ µέσο του θ ισχύει Ο+ Ο ΟΜ= όδειξη [9] Το διάνυσµ της διµέσου ενός τριγώνου είνι το δινυσµτικό ηµιάθροισµ των ροσκείµενων λευρών της

ινύσµτ κι Γεωµετρί Οι ιδιότητες των δινυσµάτων µς δίνουν ληροφορίες γι τις σχέσεις των γεωµετρικών σχηµάτων ου κτσκευάζοντι ό τ ντίστοιχ ευθ. τµήµτ.χ. Η δινυσµτική ισότητ = Γ σηµίνει γεωµετρικά ότι =Γ κι Γ. σικές ροτάσεις 1. ν= Γ τότε το τετρά λευρο Γ είνι ρλ/µο Πρτήρηση Στην ισότητ = Γ γίνοντι ενλλγές των γρµµάτων ως εξής = Γ Γ= (ενλλγή των µέσων γρµµάτων) = Γ = Γ (ενλλγή των άκρων γρµµάτων) = Γ Γ= (ενλλγή όλων των γρµµάτων) ν = Γ τότε τ τµήµτ, Γ έχουν κοινό µέσο Άσκηση 13 Στις λευρές ρλληλογράµµου θεωρούµε σηµεί Ε, Ζ, Η, Θ, ώστε Ε = ΗΓκιΖΓ = Θ. Ν δειχθεί ότι τ ΕΗ, ΖΘ έχουν το ίδιο µέσο. Λύση. Το ευθ. τµήµ ου ενώνει τ µέσ λευρών τριγώνου είνι ράλληλο κι ίσο µε το µισό της τρίτης λευράς. όδειξη Θ Ε Η Γ Ζ Άσκηση 14 Τ δινύσµτ των διµέσων τριγώνου ορίζουν τρίγωνο. ηλ. ν Κ, Λ, ΓΜ διάµεσοι του Γ θ δείξουµε Κ + Λ + ΓΜ = 0 όδειξη [10]

+Γ 4. ν Μ σηµείο της λευράς Γ τριγώνου Γ κι Μ = (ή Μ=+Γ ) τότε η Μ είνι διάµεσος του Γ. όδειξη Άσκηση 15 ν Μ, Ν τ µέσ των διγωνίων Γ, τετρ λεύρου Γ ν δειχθεί: +Γ+ +Γ =4ΜΝ (Εuler) όδειξη 5. ν γι έν σηµείο G ισχύει GA+GB+GΓ=0 τότε το G είνι το ρύκεντρο του Γ κι ντιστρόφως όδειξη Άσκηση 16 ν Μ, Ν τ µέσ των λευρών, Γ τετρ λεύρου Γ ισχύει ΜΝ=+ Γ (ε έκτση του θεωρήµτος της διµέσου τρ εζίου) όδειξη [11]

Άξονες κι επίπεδ ( 1.4) ΣΥΝΤΕΤΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Άξονς: Λέγετι µί ευθεί χ χ στην οποί έχει ορισθεί έν σηµείο Ο γι ρχή κι έν µονδιίο διάνυσµ ΟΙ= i κτά την διεύθυνση της ηµιευθείς Οχ Οχ είνι ο θετικός ηµιάξονς, Οχ είνι ο ρνητικός ηµιάξονς χ i Ο Ι Μ(x) χ ) Γι κάθε σηµείο Μ του άξον υπάρχει µονδικό x R,ώστε OM= xi.ο x λέγετι τετµηµένη του σηµείου Μ ) Γι κάθε x R υπάρχει σηµείο Μ του άξον τέτοιο ώστε OM= xi Κρτεσινό επίπεδο: Είνι δύο κάθετοι άξονες χ χ κι y y µε κοινή ρχή έν σηµείο Ο στους οποίους έχουν ορισθεί τ µονδιί δινύσ -µτ i κι j ( ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο) Ο χ χ είνι ο άξονς τετµηµένων κι ο y y ο άξονς τετγµένων ν προάλλουµε τώρ έν σηµείο Μ πάνω στους άξονες χ χ κι y y θ ρούµε σηµεί Μ 1 (x) κι Μ (y) οπότε συµπερίνουµε ότι: )Κάθε σηµείο Μ του επιπέδου ντιστοιχίζετι σε έν ζεύγος (x,y) πργµτικών ριθµών που λέγοντι συντετγµένες του Μ. Το x λέγετι τετµηµένη του Μ κι το y λέγετι τετγµένη του Μ )Κάθε ζεύγος (x,y) πργµτικών ριθµών ντιστοιχίζετι σε έν σηµείο Μ του επιπέδου. Συντετγµένες δινύσµτος Συµολίζουµε το σηµείο Μ(x,y) ή (x,y) Κάθε διάνυσµ στο επίπεδο γράφετι µε µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των µονδιίων δινυσµάτων iκι j ως εξής: =xi+yj κι συµολίζουµε = (x,y) πόδειξη [1]

Το ζεύγος (x,y) είνι οι συντετγµένες του δινύσµτος Το x είνι η τετµηµένη του, κι το y η τετγµένη του Τ δινύσµτ xi κι yj λέγοντι συνιστώσες του Σε κάθε σηµείο (x,y) ντιστοιχεί έν διάνυσµ =(x,y) ύο δινύσµτ είνι ίσ ν κι µόνον ν οι ντίστοιχες συντετγµένες τους είνι ίσες δηλ. ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) ισχύει: = x 1 = x κι y 1 = y (συνθήκη ισότητς δινυσµάτων) Άσκηση 17: Με την οήθει του διπλνού σχήµτος ν εκφράσετε τ πρκάτω δινύσµτ σν γρµµικό συνδυσµό των µονδιίων δινυσµάτων i, j :, Γ, Ζ, ΕΖ, ΚΛ, ΗΘ, ΙΖ, Μ Άσκηση 18: Ν ρείτε το κ R, ώστε τ δινύσµτ (κ -, 1) κι Εφρµογή της συνθήκης ισότητς δινυσµάτων (,κ -κ-1) ν είνι ίσ ν γνωρίζουµε τις συντετγµένες δύο δινυσµάτων, µπορούµε ν ρούµε τις συντετγµένες του θροίσµτος, της διφοράς τους κι του γινοµένου τους µε ριθµό, κι γενικά µπορούµε ν ρούµε τις συντετγµένες ενός γρµµικού συνδυσµού τους : Συντετγµένες γρµµικού συνδυσµού δινυσµάτων ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) κι λ R τότε: Προσθέτουµε τ δινύσµτ ως εξής: (x 1, y 1 ) + (x, y )= (x 1 + x, y 1 + y ) «Οι συντετγµένες του + είνι το άθροισµ των συντετγµένων των κι» φιρούµε τ δινύσµτ ως εξής: (x 1, y 1 ) - (x, y )= (x 1 - x, y 1 - y ) «Οι συντετγµένες του - είνι η διφορά των συντετγµένων των κι» Πολλπλσιάζουµε διάνυσµ µε ριθµό ως εξής: λ(x 1, y 1 ) = (λx 1, λy 1 ) «Οι συντετγµένες του λ είνι το γινόµενο του λ µε τις συντετγµένες των κι» ρίσκουµε τον γρµµικό συνδυσµόλ +µ ως εξής: λ(x1, y 1 )+µ(x, y ) = ( λ x 1 + µ x, λ y 1 + µ y ) πόδειξη [13]

Άσκηση 19 ίνοντι τ σηµεί (4,), (,-1) κι Γ(0,-1). 1 ) Ν ρείτε το άθροισµ Ο-Ο+ ΟΓ 3 ) Ν γράψετε το ΟΓ σν γρµµικό συνδυσµό των Ο, Ο Άσκηση 0: ίνοντι τ δινύσµτ (4,3), u(1,-) κι v(-3,). Ν εκφράσετε το διάνυσµ ως γρµµικό συνδυσµό των u κι v Εκφράζουµε τ δινύ σµτ µε συνττγµένες κι κάνουµε τις πράξεις Ζητούµε λ, µ R ώστε =λ v+µ u Συντετγµένες του µέσου ευθ. τµήµτος ν ευθ. τµήµ µε άκρ (x 1, y 1 ) κι (x, y ) τότε το x + x y + y µέσο Μ(x,y) του έχει συντετγµένες: x= κι y= πόδειξη Άσκηση 1: 1 1 ν τ σηµεί (-3,5), (1,7) κι Γ(3,-3) είνι κορυφές πρλληλογράµµου ) ν ρείτε τις συντετγµένες του σηµείο τοµής των διγωνίων του ) ν ρείτε τις συντετγµένες του συµµετρικού του σηµείου. Ποιο σηµείο είνι υτό γι το πρλληλόγρµµο; Συντετγµένες δινύσµτος µε γνωστά άκρ ν AB διάνυσµ µε άκρ τ σηµεί (x1, y 1 ) κι (x, y ) τότε οι συντε- τγµένες (x,y) του AB δίνοντι πό τις σχέσεις: x = x x 1 κι y = y y 1 ηλδή AB =( x x 1, y y 1 ) πόδειξη Χρήση των τύπων γι τις συντε- τγµένες του µέσου ευθ. τµήµτος Πρτηρήσεις: ν // y y τότε = (0, y) ( το διάνυσµ έχει τετµηµένη 0) ν // χ χ τότε = (x, 0) ( το διάνυσµ έχει τετγµένη 0) y y 1 y 1 -y =y x1 x x -x 1 =x Άσκηση : ίνοντι τ σηµεί (0,4), (5,-3) κι Γ(-1,-). Ν ρείτε τις συντετγµένες του σηµείου, ν =Γ Εκφράζουµε τ δινύσµτ µε συντετγµένες [14]

Μέτρο δινύσµτος Το µέτρο (µήκος) του δινύσµτος =(x, y) δίνετι πό την σχέση = x +y Το µέτρο (µήκος) του δινύσµτος AB µε άκρ (x1, y 1 ) κι (x, y ) δίνετι πό την σχέση AB = (x -x ) +(y -y ) πόδειξη 1 1 Σχόλιο: Το µέτρο του εκφράζει κι την πόστση () των σηµείων, Άσκηση 3: ) Ν ρείτε τις συντετγµένες του κέντρου άρους G τριγώνου, πό τις συντετγµένες των κορυφών του ) Σε τρίγωνο µε κορυφές (4,13), (10,1) κι κέντρο άρους G(4, 19 3 Άσκηση 4: ), ν ρείτε το µήκος της πλευράς Γ. ίνοντι τ σηµεί (,3) κι (-,1). Ν ρείτε: ) Σηµείο Μ του άξον χ χ που ισπέχει πό τ κι. ) Σηµείο Ν του άξον y y που ισπέχει πό τ κι. Η πρλληλί δύο δινυσµάτων προκύπτει κι πό µί σχέση των συντετγµένων τους που είνι γνωστή σν: Συνθήκη πρλληλίς δινυσµάτων ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) ισχύει: x 1 y 1 // =0 x y ηλδή δύο δινύσµτ είνι πράλληλ ν κι µόνον ν η ορίζουσ των συντετγµένων τους είνι 0 Η ορίζουσ Πρτηρήσεις x x y 1 1 y συµολίζετι det(, ) οπότε: // det(, ) = 0 1.Τ σηµεί,, Γ είνι συνευθεικά ν κι µόνον ν det(,γ ) = 0. Οι ευθείες, Γ είνι πράλληλες ν κι µόνον ν det(,γ ) = 0 Ζητούµε τις συντετγµένες (x,y) σηµείου: Εκφράζουµε την σχέση που δίνετι, ή κάποι άλλη γνωστή µε συντετγµένες κι µε χρήση ιδιοτήτων κι πράξεων ρίσκουµε τ x, y Eφρµογή του τύπου της πόστσης σηµείων Άσκηση 5: ίνοντι τ σηµεί (,-1), (-3,4), Γ(κ,5) κι (-,λ). Ν ρείτε τ κ, λ Rώστε: ) Γ//y y ) //χχ γ) Τ σηµεί,, Γ ν είνι συνευθεικά Άσκηση 6: Έστω τ σηµεί (1,3) (,-1) Γ( -4,-). Ν ρεθεί σηµείο ώστε το τετράπλευρο Γ ν είνι πρλληλόγρµµο [15] Συνευθεικά σηµεί Γι ν δείξουµε,, Γ συνευθεικά σηµεί ρκεί ν δείξουµε // Γ Άγνωστο σηµείο (x,y) Εκφράζουµε τ δινύσµτ µε συντετγµένες κι εφρµόζουµε την συνθήκη πρλληλίς

Συντελεστής διευθύνσεως δινύσµτος Γωνί δινύσµτος =(x, y) µε τον άξον χ χ: Λέγετι η θετική γωνί φ που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τον ηµιάξον Οχ, ότν το εφρµόσουµε στην ρχή των ξόνων. 0 φ<π ηλδή ν Ο=, η γωνί φ έχει ρχική πλευρά τον Οχ κι τελική πλευρά το διάνυσµ Ο (σχήµ 1). Συντελεστής διευθύνσεως του δινύσµτος =(x, y): Λέγετι το πηλίκο της τετγµένης προς την τετµηµένη του κι συµολίζετι µε λ. λ= y x, x 0 Οι συντετγµένες (x,y) του, είνι κι συντετγµένες του σηµείου, ότν Ο= Τριγωνοµετρικά γνωρίζουµε ότι εφφ= y x. Ώστε: λ = y =εφφ, x 0 x ηλδή: Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός δινύσµτος είνι η εφπτοµένη της γωνίς που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τον άξον χ χ ν, µη µηδενικά δινύσµτ κι λ1, λ οι συντελεστές διεύθυνσής τους ισχύει: // λ 1 = λ «Τ πράλληλ δινύσµτ έχουν ίσους συντελεστές διευθύνσεως (κι ντίστροφ)» Ειδικές περιπτώσεις: ν //χ χ τότε λ=0 Άσκηση 7 (σχ.) ν //y y τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης (σχ.3) ίνοντι τ σηµεί (-1,1), (3,3), Γ( 1,-1) κι (-3,-3) ) είξτε ότι το Γ είνι πρλληλόγρµµο µε κέντρο την ρχή Ο(0,0) ) ιπιστώστε ότι το Γ είνι ρόµος (x,y) x Ο y φ σχ.1 σχ. σχ.3 ν οι συντελεστές =(x,y) διεύθυνσης είνι ίσοι τότε τ δινύσµτ είνι πράλληλ χ Συντελεστής διεύθυνσης δινύσµτος µε γνωστά άκρ ν (x 1,y 1 ) κι (x,y ) τ άκρ του δινύσµτος, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του AB (ν ορίζετι) δίνετι πό την σχέση: y -y1 λ = µε x x 1 x -x 1 ν x = x 1 δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης ( AB // y y) ν y = y 1 τότε λ=0 ( AB // χ χ) B A x 1 = x y B A y 1 x 1 x A B y 1 = y [16]

Άσκηση 8: Γενικός τρόπος γι τις σκήσεις Θεωρούµε τ σηµεί (3,), (1,0) κι Γ(0,4). Μεττρέπουµε τ γεωµετρικά στάδι του ζητή- µτος σε νλυτικά στάδι ως εξής: Η Γ τέµνει τον Οχ στο κι η τον Οy στο Ε. Εκφράζουµε όλ τ δεδοµέν κι τ ) Ν ρείτε την τετµηµένη του κι την τετγµένη του Ε. ζητούµεν της άσκησης µε συντετγµένες. Μετφράζουµε τις γεωµετρικές ) ν Ι το µέσο του Ο, Μ το µέσο του Γ κι Κ το µέσο του Ε, συνθήκες του ζητήµτος (π.χ. σηµεί τοµής, µέσο τµήµτος, πρλληλί ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Ι, Μ κι Κ είνι συνευθεικά ευθειών κ.τ.λ.) µε νλυτικούς όρους ( π.χ. συντετγµένες σηµείου, συντετγµένες µέσου, συνθήκη πρλληλίς ευθειών-δινυσµάτων κ.τ.λ.) Ερµηνεύουµε µε νλυτικό τρόπο τ στάδι του ζητήµτος Άσκηση 9: Ν δείξετε ότι οι διγώνιοι πρλληλογράµµου διχοτοµούντι Άσκηση 30: Με άση την πλευρά τετργώνου Γ κτσκευάζουµε στο εσωτερικό του ισόπλευρο τρίγωνο Ε. Με άση δε την πλευρά Γ κτσκευάζουµε εξωτερικά ισόπλευρο τρίγωνο ΓΖ. Ν δειχθεί ότι τ σηµεί, Ε, Ζ είνι συνευθεικά Η νλυτική µέθοδος πόδειξης Εφρµόζετι ότν θέλουµε ν ποδείξουµε µί δινυσµτική σχέση ή κόµ µί πρότση γεωµετρικού χρκτήρ. Σε γενικές γρµµές τ ήµτ της µεθόδου είνι: Τοποθετούµε το σχήµ µς σε σύστηµ νφοράς κι δίνουµε στ διάφορ σηµεί του σχήµτος υθίρετες συντετγµένες. Εκφράζουµε τ δεδοµέν της άσκησης µε την οήθει συντετγµένων, κι το πρόληµ πό δινυσµτικό ή γεωµετρικό γίνετι λγερικό Προσοχή! Η εκλογή των συντετγµένων είνι τέτοι ώστε ν έχουµε όσο το δυντό περισσότερ σηµεί µε τετµηµένες ή τετγµένες µηδέν. Συνηθίζουµε κάποι δινύσµτ ή τµήµτ ν τ θεωρούµε ως µονδιί ελττώνοντς κόµ το πλήθος των συντετγµένων [17]

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ( 1.5) ινυσµτική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου Έστω φ η γωνί που σχηµτίζουν δύο δινύσµτ κι Ορισµός: Εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών δινυσµάτων, Ονοµάζετι ο πργµτικός ριθµός (συµολ.: ) που είνι ίσος µε = συνφ ν =0 ή =0 τότε = 0 Προσοχή!!! Το εσωτερικό γινόµενο είνι ριθµός κι όχι διάνυσµ Φυσική ερµηνεί του εσωτερικού γινοµένου Το εσωτερικό γινόµενο F ΟA πριστάνει το έργο της δύνµης Fπου µετκινεί το σηµείο εφρµογής Ο πό τη θέση Ο µέχρι τη θέση. (γιτί;) Τετράγωνο του : Λέγετι το εσωτερικό γινόµενο που το γράφουµε Ισχύει: = (Το τετράγωνο ενός δινύσµτος ισούτι µε το τετράγωνο του µέτρου του) πόδειξη: Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ( Ι ) i) = (ντιµετθετική ιδιότητ) ii) Aν τότε = 0 κι ντιστρόφως ( γιτί;) ( ύο δινύσµτ είνι κάθετ ν κι µόνον ν το εσωτερικό τους γινόµενο είνι ίσο µε µηδέν) iii) Aν τότε = κι ντιστρόφως (γιτί;) Aν >0 τ δινύσµτ σχηµτίζουν οξεί γωνί iv) ν τότε = - <0 κι ντιστρόφως (γιτί;) Aν <0 τ δινύσµτ σχηµτίζουν µλεί γωνί Ο φ F φ F1 v) Aν θ η γωνί των, ισχύει: συνθ= (δινυσµτικός υπολογισµός του συνθ) vi) Γι τ µονδιί δινύσµτ των ξόνων ισχύει: i j = j i = 0 κι i =j =1 (γιτί;) vii) ( ) = (προφνώς) viii) ) πόδειξη ) ( ) [18]

Άσκηση 31. Σε έν ισόπλευρο τρίγωνο Γ πλευράς µε ύψος, ν ρείτε τ: i) Γ ii) Γ iii) Εφρµογή των ορισµών Άσκηση 3. Έστω, δινύσµτ µε = 3, = κι φ η γωνί τους ) ν φ=60 ο ν ρείτε τ, κι ) ν = - 6 ν ρείτε την γωνί φ Εύρεση γωνίς Ότν γνωρίζουµε εσωτερικό γινόµενο κι µέτρ Άσκηση 33. Έστω Γ τετράπλευρο κι Ι, Κ τ µέσ των Γ, ντίστοιχ. Ν εξετάσετε γι ποι σηµεί Μ ισχύει η σχέση (Μ+ΜΓ) (Μ+Μ )=0 Η συνθήκη κθετότητς ν ξέρουµε =0 τότε νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου ν =(x 1,y 1 ), =(x,y ) οποιδήποτε δινύσµτ θ ισχύει: = x 1 x + y 1 y ηλδή: «Το εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµωνύµων συντετγµένων τους» πόδειξη: Άσκηση 34. ίνοντι τ δινύσµτ =(-1,), =(4,3) κι γ =(,1) ) Ν ρεθούν τ, γ, (-γ). Τι πρτηρείτε; ) Ν ρεθεί το λ R ώστε τ δινύσµτ λ κι +λ ν είνι κάθετ ( x, y) γ) Ν ρεθούν τ δινύσµτ που είνι κάθετ στο κι έχουν µέτρο δ) ν Ο= κι Ο= ν ρεθεί σηµείο Μ του άξον χ χ ώστε π Μ= Ο y θ ( x1, y1) χ νλυτικός υπολογισµός του εσωτερικού γινοµένου Ότν έχουµε συντετγµένες ο υπολογισµός του εσωτερικού γινοµένου γίνετι µε τον τύπο = x 1 x + y 1 y Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ( Ι Ι ) i) (λ) = (λ ) =λ( ), λ R ii) ( +γ) = + γ (επιµεριστική ιδιότητ) iii) Aν ορίζοντι οι συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ γι τ, τότε λ 1 λ =-1 (στ κάθετ δινύσµτ οι συντελεστές διεύθυνσης εφόσον υπάρχουν έχουν γινόµενο -1) πόδειξη [19]

Ισχύουν κι οι γνωστές τυτότητες (+) = + + ( ) = + - (-) (+)= - (++γ) = + +γ + + γ+γ (γενικά οι τυτότητες µε άρτιες δυνάµεις) κι π =1 κι γωνί 6 ) Ν υπολογίσετε τ,,, (+) (-), (3-) (+) ) Ν ρεθεί η γωνί των δινυσµάτων v=+ κι u=- Άσκηση 35 Τ δινύσµτ κι έχουν = Άσκηση 36 Τ δινύσµτ κι έχουν = κι =3 κι γωνί π 3 ν v=3+ ν υπολογίσετε: i) το v ii) τη γωνί φ των κι v Άσκηση 37 ν τ δινύσµτ κι είνι κάθετ µετξύ τους κι έχουν ίσ µέτρ, ν δείξετε ότι κι τ δινύσµτ γ=+ κι δ=- είνι κάθετ µετξύ τους κι έχουν ίσ µέτρ. Άσκηση 38 Ν ρείτε τ µέτρ των δινυσµάτων κι γι τ οποί ισχύει ότι : Σχηµτίζουν γωνί φ=60 ο, (+) (-) κι + =7 Η χρήση τυτοτήτων στις πράξεις µε εσωτερικό γινόµενο Η επιµεριστική ιδιότητ µς επιτρέπει ν εφρµόζουµε τις γνωστές τυτότητες Υπολογίζουµε το µέτρο δινύσµτος φού ρούµε πρώτ το τετράγωνό του πό την ισότητ: = Προσοχή!!! εν ισχύουν ) Η προσετιριστική ιδιότητ: δηλδή: ( γ ) ( ) γ ) Ο νόµος της διγρφής: δηλδή: γ = / γ = (δεν διγράφετι το ) γ) Η ιδιότητ µέτρου γινοµένου δηλδή: δ) Η ιδιότητ δύνµης γινοµένου: δηλδή: ( ) 3 3 3 ε) Οι τυτότητες µε περιττές δυνάµεις: δηλδή: (+) +3 +3 + Ν εξετάσετε υπό ποιες προϋποθέσεις ισχύουν οι πρπάνω ιδιότητες [0]

Συνηµίτονο γωνίς δύο δινυσµάτων (νλυτικός υπολογισµός του συνθ) ν =(x 1,y 1 ), =(x,y ) µη µηδενικά δινύσµτ κι θ η γωνί τους τότε: x1x +y1y συνθ= x +y x +y πόδειξη 1 1 Άσκηση 39 ν γι κάθε λ R τ δινύσµτ +λκιλ- είνι κάθετ κι =1 ν δείξετε ότι: ) ) =1 γ) 3+4 =5 Προολή δινύσµτος σε διάνυσµ ν OA=, OΜ=v δινύσµτ του επιπέδου κι ΜΜ1 το κάθετο ευθ. τµήµ στον φορέ ε του δινύσµτος, τότε: Προολή του vστο διάνυσµ : ονοµάζουµε το διάνυσµ OM 1 κι το συµολίζουµε προ v ηλδή: OM 1 = προ v Η προολή του v στο διάνυσµ είνι νεξάρτητη του σηµείου Ο Το εσωτερικό γινόµενο των κι v δίνετι κι πό την σχέση v = προ v πόδειξη Άσκηση 40 ν γι τ δινύσµτ κι είνι φ=60 ο, =, =1, ν ρεθεί η προολή του δινύσµτος πάνω στο διάνυσµ ε v Ο θ M Μ1 v = προ v «Στο εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων, το έν πό υτά µπορεί ν ντικτστθεί πό την προολή του πάνω στο άλλο» A ηλδή: Υπολογίζουµε το εσωτερικό γινόµενο πό δύο συγγρµµικά δινύσµτ Εύρεση της προολής δινύσµτος vπάνω σε άλλο i) Θέτουµε v 1 την προολή του v πάνω στο οπότε είνι v 1 =λ φού, v 1 συγγρµµικά ii) Eφρµόζουµε την σχέση v= v1 κι ρίσκουµε το λ Άσκηση 41 ίνοντι τ δινύσµτ =(3,) κι =(,1). Ν νλυθεί το διάνυσµ σε δύο κάθετες συνιστώσες πό τις οποίες η µί είνι πράλληλη στο [1]

Άσκηση 4 ν =(-,1) κι =(1,3), ν ρεθούν δινύσµτ γ,δ τέτοι ώστε: =γ+ δ,δ//κι γ Άσκηση 43 Ν δείξετε ότι το µη µηδενικό διάνυσµ είνι κάθετο σε κάθε έν πό τ δινύσµτ: u=( γ)-( )γ κι v=- Άσκηση 44 ν = = γ =1 Άσκηση 45 ν = = γ =1 κι + γ= ν δειχθεί ότι: == γ. κι ++γ=0 ν ρείτε τις γωνίες (,), (,γ), (γ,) Άσκηση 46 ν +1 0 ν ρεθεί το διάνυσµ x πό την σχέση : x+(x )=γ Άσκηση 47 ν, στθερά σηµεί τότε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί είνι Μ Μ=0 είνι κύκλος διµέτρου. Ζητήµτ κθετότητς Κάνουµε χρήση της συνθήκης κθετότητς δινυσµάτων κι εφρµόζουµε ιδιότητες Γεωµετρικοί τόποι Μ Άσκηση 48 ν, στθερά σηµεί τότε γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί είνι Μ =λ >0 είνι ευθεί κάθετη στην. Μ Κ []

Άσκηση 49 ν Γ ισοσκελές τρίγωνο, ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου γι τ οποί είνι Μ+Γ Μ=0. Άσκηση 50 Ν ποδειχθούν κι ν ερµηνευθούν γεωµετρικά οι ισοδυνµίες : i) + = - ii) (+) (-) = Άσκηση 57 Κάθε γωνί εγγεγρµµένη σε ηµικύκλιο είνι ορθή. Άσκηση 58 Σε κάθε τρίγωνο Γ ισχύει ο νόµος των συνηµιτόνων: = +γ -γσυν Άσκηση 59 Σε τρίγωνο Γ τ ύψη Ε κι ΓΖ τέµνοντι στο Η. Θέτουµε Η=, Η=,ΗΓ=γ ) ρείτε τ,γ,γ ως συνάρτηση των,,γ κι ν δείξετε ότι γ =γ κι γ = ) είξτε ότι τ ύψη του τριγώνου διέρχοντι πό το ίδιο σηµείο. Εσωτερικό γινόµενο κι Γεωµετρί Με τη οήθει του εσωτερικού γινοµένου ποδεικνύοντι γεωµετρικές κι τριγωνοµετρικές προτάσεις [3]