Αριθµητική Ολοκλήρωση

Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί τη σχέση F (x) = f (x), ώστε να υπολογιστεί ακριβώς το b a f (x) dx = F(b) F(a). Συχνά η f (x) δεν είναι γνωστή παρά µόνο σε συγκεκριµένα σηµεία. Και σε αυτήν την περίπτωση καταφεύγουµε σε αριθµητικές µεθόδους ολοκλήρωσης, σύµφωνα µε τις οποίες έχουµε b n f (x) dx c i f (x i ), a όπου x i, i =,,... n, συγκεκριµένα σηµεία στο [a, b], και c i προσδιοριζόµενες σταθερές. i= 5. Κανόνας Τραπεζίου y f (x) p (x) x x Σχήµα 5.: τραπεζίου Γραµµική προσέγγιση συνάρτησης για την εφαρµογή του τύπου ολοκλήρωσης Για ένα µικρό διάστηµα [, x ] έχουµε προσεγγιστικά I = x f (x) dx x 33 [ f (x0 ) + f (x ) ],

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ που αντιστοιχεί σε πρωτοβάθµιο πολυώνυµο παρεµβολής Lagrange, Σχήµα 5.. ολοκλήρωσης είναι Το σφάλµα I x [ f (x0 ) + f (x ) ] = (x ) 3 f (ξ), ξ [, x ]. Η επανάληψη του τύπου για πολλά διαδοχικά διαστήµατα δίνει την προσεγγιστική έκφραση για το ολοκλήρωµα σε εκτεταµένο διάστηµα. Ετσι, αν έχουµε χωρίσει το [a, b x n ] σε n ίσα διαστήµατα [x i, x i+ ] µε x j = + jh, j = 0,,..., n και h = b a n, έχουµε xn f (x) dx h ( f 0 + f + f + + f n + f n ), (5.) όπου f i f (x i ). Θεώρηµα : Αν f (x) συνεχής µε δύο συνεχείς παραγώγους στο [a, b], και max f (x) M, x [a,b] τότε το σφάλµα ολοκλήρωσής της, ε, µε τη σύνθετη µέθοδο τραπεζίου είναι Απόδειξη : ε b a Mh = nm h3. E = = x f (x) dx h n f 0 + f i + f n i= n [ xi+ f (x) dx h ] x i ( f i + f i+ ) = i=0 n ε i. i=0 Σε κάθε διάστηµα [x i, x i+ ] έχουµε : ε i = (x i+ x i ) 3 f (ξ i ) = h3 f (ξ i ). Εποµένως, και ε i h3 M n E = ε i nm h3. i=0 Αν f (x) συνεχής και ϕραγµένη στο [a, b], τότε E h καθώς h 0. Άρα, E Ch (δεύτερης τάξης). Αν f (x) είναι συνεχής στο [a, b], τότε το σφάλµα E h καθώς h 0. Άρα, E Ch (πρώτης τάξης, αργότερη σύγκλιση).

5.3. ΚΑΝ ΟΝΑΣ SIMPSON 35 Παράδειγµα : Ας υπολογίσουµε αριθµητικά το I = π sin x dx και να το συγκρίνουµε µε την 0 πραγµατική του τιµή,. Εστω n + ισαπέχοντα σηµεία στο [0, π], x k = k π n, k = 0,,... n. Τότε I I n = π sin + sin x n n n + sin x k. i= Εποµένως, n I n ε = I I n 0.00000000.00000000.57079633 0.490367 3.8379936 0.860064 4.896890 0.03880 5.93376560 0.0663440 6.9540973 0.0459077 7.9663668 0.0336833 8.974360 0.0576840 9.9796508 0.003499 0.9835354 0.0647646.98638699 0.03630.98856378 0.0436 3.990578 0.009748 4.9960043 0.00839957 5.9968383 0.007367 6.99357034 0.0064966 7.99430494 0.00569506 8.9949046 0.00507954 9.995443 0.00455868 0.99588597 0.004403 Παρατηρήστε ότι το σφάλµα τείνει στο 0 ως h. Το ελάχιστο n για να έχουµε ε 0 4, προσδιορίζεται ως εξής : f (x) = sin x x [0, π]. Εποµένως, E π h = π π n 0 4 n 6. 5.3 Κανόνας Simpson Στη µέθοδο Simpson προσεγγίζουµε το ολοκλήρωµα χρησιµοποιώντας πολυώνυµο Lagrange δευτέρου ϐαθµού που παρεµβάλεται σε τρία σηµεία, Σχήµα 5.. x f (x) dx h 3 ( f 0 + 4 f + f ), καθώς το p (x) που προσδιορίζεται από τα (, f 0 ), (x, f ), (x, f ) είναι p (x) = (x x )(x x ) ( x )( x ) f 0 + (x )(x x ) (x )(x x ) f + (x )(x x ) (x )(x x ) f.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ y f (x) p (x) x x x Σχήµα 5.: Προσέγγιση συνάρτησης µε παραβολή για την εφαρµογή του τύπου ολοκλήρωσης Simpson Εποµένως, x p (x) dx = f 0 x (x x )(x x ) ( x )( x ) dx + f x (x )(x x ) + f (x )(x x ) dx = f 0 h 3 + f 4h 3 + f h 3. x (x )(x x ) (x )(x x ) dx Αν η f (x) έχει τέσσερις συνεχείς παραγώγους στο [, x ] έχουµε για το σφάλµα : x f (x) dx h 3 ( f 0 + 4 f + f ) = 90 h5 f (4) (ξ), ξ [, x ]. Παρόµοια µε τον τύπο τραπεζίου, µπορούµε να υπολογίσουµε το σύνθετο τύπο Simpson στο διάστηµα [a, b] υποθέτοντας ότι b a = kh. Προκύπτει ότι b a f (x) dx h 3 f 0 + f k + 4 Επιπλέον, αν η τέταρτη παράγωγος είναι ϕραγµένη στο [a, b], k k f j + f j. (5.) j= max f (4) (x) M, x [a,b] το σφάλµα ε του σύνθετου τύπου Simpson είναι j= ε b a 90 Mh4. (5.3) Παράδειγµα : Ο υπολογισµός του I = π 0 sin x dx

5.3. ΚΑΝ ΟΝΑΣ SIMPSON 37 µε τον σύνθετο τύπο Simpson δίνει n I n ε = I I n.094395 0.094395 4.0045598 0.0045598 6.000863 0.000863 8.00069 0.00069 0.000095 0.000095.000056 0.000056 4.000083 0.000083 6.000066 0.000066 8.000003 0.000003 0.0000068 0.0000068 Παρατηρήστε ότι για να επιτύχουµε σφάλµα κάτω από 0.005 χρειαζόµαστε 4+ σηµεία αντίθετα, για ίδιο σφάλµα µε τον τύπο τραπεζίου απαιτούνται 9 +. Γενικότερα, καθώς f (4) (x) = sin x x, το σφάλµα συνδέεται µε τον αριθµό διαστηµάτων n µε τη σχέση ε π 90 ( π n) 4. Εποµένως, σφάλµα < 0 6 απαιτεί n 43. Η γενικευµένη µορφή Simpson για k + σηµεία αντιστοιχεί σε πολυώνυµο παρεµβολής Lagrange ϐαθµού k και ονοµάζεται µέθοδος Newton Cotes κλειστού τύπου. Παρατήρηση : Η τάξη ενός κανόνα ολοκλήρωσης είναι κατά µεγαλύτερη από το µεγαλύτε- ϱο ακέραιο k τέτοιο ώστε ο κανόνας να δίνει το ακριβές αποτέλεσµα για την ολοκλήρωση των µονωνύµων, x, x,...,x k αλλά δεν ολοκληρώνει ακριβώς το x k+. 5.3. Κανόνας Simpson των 3 /8 Ο κανόνας των 3/8 δηµιουργήθηκε µε την αντικατάσταση ενός 3 ης τάξης πολυωνύµου στο ολοκλήρωµα. Για 4 δεδοµένα σηµεία µπορεί να αποδειχθεί ότι η προσέγγιση του ολοκληρώµατος δίνεται από τον τύπο : I 3h [ f (a) + 3 f (x ) + 3 f (x ) + f (b) ], 8 όπου : a, b τα όρια ολοκλήρωσης, x, x τιµές του x που χωρίζουν το διάστηµα [a, b] σε 3 ίσα τµήµατα, και h = b a 3. Ο τύπος του Simpson 3/8 έχει σφάλµα : E t = 3 80 h5 f (4) (b a)5 (ξ) = 6480 f (4) (ξ). Ο τύπος των 3/8 είναι ελάχιστα πιο ακριβής από τον τύπο του Simpson µε το /3, παρά το γεγονός ότι χρησιµοποιεί ένα παραπάνω σηµείο. Η µεγάλη χρησιµότητα του τύπου του 3/8 είναι ότι ο α- ϱιθµός των διαστηµάτων που χρειάζεται για τον υπολογισµό είναι περιττός (και πολλαπλάσιο του 3), συνεπώς επιτρέπει την εκτίµηση µε ακρίβεια τρίτης τάξης για όλο το διάστηµα ολοκλήρωσης.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ 5.3. Κανόνας Simpson των 3 /8 για εκτεταµένο διάστηµα Αν και ο τύπος έχει περιορισµένη εφαρµογή, για διαστήµατα µε πλήθος n πολλαπλάσιο του 3, µπορεί να αποδειχθεί ότι : I 3h k k k 8 f 0 + 3 f 3i+ + 3 f 3i+ + f 3i+3 + f n, i=0 i=0 i=0 όπου f i = f (x i ), a, x n b και k = n/3. 5.4 Ειδικές Περιπτώσεις 5.4. Ολοκλήρωση σε άνισα τµήµατα Στην περίπτωση που η συνάρτηση f (x) δεν είναι δεδοµένη, αλλά τα σηµεία της δίνονται µε την µορφή πινάκων (π.χ. από πειραµατικές µετρήσεις), τότε είναι πιθανό τα σηµεία στα οποία ορίζεται η συνάρτησή µας να µην ισαπέχουν. Τότε έχουµε δύο εναλλακτικές δυνατότητες : Ολοκλήρωσης του πολυωνύµου Lagrange στο διάστηµα ορισµού των δεδοµένων (ή όλοκλήρωσης κατά υποδιαστήµατα των αντίστοιχων πολυωνύµων). Χρήση της µεθόδου του τραπεζίου. Η πρώτη µέδοδος, για µεγάλο αριθµό σηµείων N, µπορεί να µην είναι ακριβής εξαιτίας της υψηλής τάξης πολυωνύµου που δηµιουργείται. Η µέθοδος του τραπεζίου µπορεί να προσαρµοστεί εύκολα ώστε να εφαρµοστεί σε κάθε διάστηµα ο τύπος : I = h f (x ) + f (x ) + h f (x ) + f (x 3 ) +... + h N f (x N ) + f (x N ) Εάν γειτονικά τµήµατα είναι ίσα τότε µπορεί να εφαρµοστεί ένας τύπος Newton Cotes (π.χ. Simpson) υψηλότερης τάξης. 5.4. Ολοκληρώµατα µε µη πεπερασµένα όρια ολοκλήρωσης Ως τώρα παρουσιάστηκαν µέθοδοι για ολοκληρώµατα µε πεπερασµένα όρια. Σε πραγµατικά προβλήµατα υπάρχει περίπτωση να χρειαστεί να υπολογιστούν ανώµαλα ολοκληρώµατα (που να συµπεριλαµβάνουν στο πεδίο τιµών τους το + ή το ). Για να υπολογιστούν αυτά τα ολοκληρώµατα µπορούµε να κάνουµε µια κατάλληλη αλλαγή µεταβλητής, π.χ. x = /t. Τότε : b a f (x) dx = /a /b t f ( t ) dt για a, b οµόσηµα. Συνεπώς η συγκεκριµένη αλλαγή µεταβλητής µπορεί να χρησιµοποιηθεί όταν a = και b < 0 είτε b = + και a > 0. Εάν τα a, b είναι ετερόσηµα, τότε µπορούµε ορίσουµε ένα σηµείο c, τέτοιο ώστε να µπορεί να χρησιµοποιηθεί η παραπάνω αλλαγή µεταβλητής. Π.χ. για τον υπολογισµό της f (x) στο [ 3, + ), µπορούµε να κάνουµε τα ακολουθα : + +3 + +3 /3 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + 3 3 +3 3 0 t f ( t ) dt..

5.5. Μ ΕΘΟ ΟΣ GAUSS 39 Μερικές ϕορές υπάρχει περίπτωση να περιλαµβάνεται στο διάστηµα ολοκλήρωσης ένα ή περισσότερα διακριτά σηµεία στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται. Σε τέτοια περίπτωση µπορούµε να εφαρµόσουµε τµηµατικά τους ανοικτούς τύπους Newton Cotes. 5.5 Μέθοδος Gauss Αν ϑεωρήσουµε την προσέγγιση f (x) dx m c i f (ξ i ), (5.4) i= όπου ξ i σταθερά σηµεία στο [, ] και c i συντελεστές, τότε για τον κανόνα τραπεζίου έχουµε c = c =, ξ =, ξ =. για τον κανόνα Simpson έχουµε c = c 3 = /3, c = 4/3, ξ =, ξ = 0, ξ 3 =. Η ερώτηση είναι : για δεδοµένο αριθµό σηµείων m, ποια είναι τα c i, ξ i i =,,..., m ώστε ο κανόνας (5.4) να έχει τη µέγιστη δυνατή ακρίβεια. Εστω ότι η µέγιστη δυνατή ακρίβεια σηµαίνει πως ο κανόνας δίνει το ακριβές αποτέλεσµα στην ολοκλήρωση των µονωνύµων, x, x,...,x m. Αυτή η συνθήκη οδηγεί στους κανόνες ολοκλήρωσης Gauss. Κανόνας Gauss µε m =. Εχουµε f (x) dx c f (ξ ). Καθώς πρέπει να προκύπτει το ακριβές αποτέλεσµα για f (x) =, f (x) = x έχουµε f (x) = c = f (x) = x c ξ = Εποµένως, ο κανόνας Gauss µε ένα σηµείο είναι f (x) dx f (0). dx = c =, x dx = 0 ξ = 0. Ο κανόνας αυτός ολοκληρώνει ακριβώς τα, x αλλά όχι το x. Κανόνας Gauss µε m =. Ζητώντας να παράγεται το ακριβές αποτέλεσµα για f (x) =, f (x) = x, f (x) = x, f (x) = x 3, έχουµε c + c =, c ξ + c ξ = 0, c ξ + c ξ c ξ 3 + c ξ 3 = 3, = 0.

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ Η λύση του συστήµατος είναι µοναδική και είναι η εξής c =, c =, ξ =, 3 ξ = 3. Εποµένως f (x) dx f ( 3 ) ( ) + f 3. Κανόνας Gauss µε m = 3. Η απαίτηση για ακριβές αποτέλεσµα για x k, k = 0,..., 6 σχηµατίζει το µη γραµµικό σύστηµα c + c + c 3 =, c ξ + c ξ + c 3 ξ 3 = 0, c ξ + c ξ + c 3 ξ 3 c ξ 3 + c ξ 3 3 + c 3 ξ 3 c ξ 4 + c ξ 4 4 + c 3 ξ 3 c ξ 5 + c ξ 5 5 + c 3 ξ 3 = 3, = 0, = 5, = 0. Η λύση του είναι c = 5 9, c = 8 9, c 3 = 5 9, ξ = 0.6, ξ = 0, ξ 3 = 0.6. Παρατηρήσεις : Το σφάλµα του σύνθετου τύπου για τη µέθοδο Gauss είναι. µε ένα σηµείο ε h (όπως ο τύπος τραπεζίου µε δύο σηµεία).. µε δύο σηµεία ε h 4 (όπως ο τύπος Simpson µε τρία σηµεία). 3. µε τρία σηµεία ε h 6. 4. µε m σηµεία ε h m. Τα σηµεία ξ i, i =,..., m είναι οι ϱίζες του πολυωνύµου Legendre, P m (x). Στη γενική περίπτωση που έχουµε να υπολογίσουµε το I = b a f (x) dx

5.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 κάνουµε τον κατάλληλο γραµµικό µετασχηµατισµό ώστε το διάστηµα [a, b] να γίνει [, ]. Θέτουµε x = λx+µ και Ϲητούµε να ισχύει x = όταν x = a και x = όταν x = b. Εποµένως Ετσι I = b a x = d x = f (x) dx = b a b a x b + a b a, b a dx. b a ( b a f x + b + a ) d x m ( b a c i f ξ i + b + a ). i= 5.6 Ασκήσεις. (α ) Υλοποιήστε τον αλγόριθµο τραπεζίου σε υποπρόγραµµα FORTRAN. Το υποπρόγραµ- µα ϑα δέχεται ως ορίσµατα τουλάχιστον τα όρια της ολοκλήρωσης και το πλήθος των διαστηµάτων. Θα επιστρέφει την προσεγγιστική τιµή του ολοκληρώµατος. (ϐ ) Χρησιµοποιήστε το υποπρόγραµµα για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα π sin x dx 0 διαδοχικά µε N =, 4, 8, 6,..., 5 διαστήµατα. Το πρόγραµµά σας να τυπώνει για κάθε N την υπολογιζόµενη τιµή και το απόλυτο σφάλµα ως προς την ακριβή τιµή.. (α ) Υλοποιήστε τον αλγόριθµο Simpson σε υποπρόγραµµα FORTRAN. Το υποπρόγραµ- µα ϑα δέχεται ως ορίσµατα τουλάχιστον τα όρια της ολοκλήρωσης και το πλήθος των διαστηµάτων. Θα επιστρέφει την προσεγγιστική τιµή του ολοκληρώµατος. (ϐ ) Χρησιµοποιήστε την για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα π sin x dx 0 µε όσα διαστήµατα χρειάζεται ώστε να έχετε ακρίβεια τουλάχιστον 6 ψηφίων. Υπόδειξη: Επιλέξτε κατάλληλα το ϐήµα (άρα και το πλήθος των διαστηµάτων) ώστε το σφάλµα ( 5.3) να είναι µικρότερο από 0 6. 3. Γράψτε κώδικες FORTRAN που να υπολογίζουν µε κάθε µία από τις µεθόδους που πα- ϱουσιάστηκαν τα ολοκληρώµατα (α ) (ϐ ) (γ ) log x dx, e x cos x dx, x + 5 dx.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ [Σωστές τιµές : (α ) 0.67766..., (ϐ ) 0.0560659..., (γ ) 0.545....] 4. Υπολογίστε προσεγγιστικά µε ακρίβεια 0 6 τα ολοκληρώµατα στο διάστηµα [0, 3] των συναρτήσεων (α ) f (x) = x +, (ϐ ) f (x) = x x, (γ ) f (x) = + x, (δ ) f (x) = (ε ) f (x) = + (x π), + cos x, (ϝ ) f (x) = cos(4x)e x, (Ϲ ) f (x) = e cos x, (η ) f (x) = x. 5. Εστω f (x) = { x x 0, x 0 x, συνεχής συνάρτηση στο [, ] χωρίς παράγωγο στο x = 0. Υπολογίστε το σφάλµα ε n = I I n = f (x) dx I n, όπου I n ο τύπος τραπεζίου µε n υποδιαιρέσεις, και δείξτε ότι ε n Ch, όπου h = /n. (Υποθέστε ότι το n είναι άρτιος ή περιττός.) 6. Μέθοδος Romberg. Ο εκτεταµένος τύπος τραπεζίου για το ολοκλήρωµα I 0 = xn f (x) dx δίνει όπου I 0 = I h + α h + α 4 h 4 +, (5.5) I h = h ( f 0 + f + f + + f n + f n ), h = (x n )/n και α i οι συντελεστές των όρων h i του σφάλµατος. Γράψτε τη (5.5) για τρία διαφορετικά ϐήµατα, π.χ. h, h/, h/4. Παρατηρήστε ότι σχηµατίζεται ένα σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους τα I 0, α, α 4. Βρείτε τη λύση του συστήµατος ως προς I 0 ο τύπος στον οποίο ϑα καταλήξετε γραµµικός συνδυασµός των I h, I h/, I h/4 που έχουν σφάλµατα O(h ) δίνει την ακριβή τιµή του ολοκληρώµατος µε σφάλµα O(h 6 ). Υλοποιήστε σε κώδικα FORTRAN τον παραπάνω αλγόριθµο ολοκλήρωσης (µέθοδος Romberg).

5.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 7. Υλοποιήστε σε κώδικα FORTRAN µια υπορουτίνα που να υπολογίζει ολοκληρώµατα ανεξάρτητα µε το πλήθος των σηµείων στα οποία είναι γνωστή η συνάρτηση. Αν το πλήθος των διαστηµάτων είναι περιττό (και µεγαλύτερο του 3), να χρησιµοποιεί τον τύπο 3/8 Simpson για τα πρώτα 3 και για τα υπόλοιπα τον τύπο /3 Simpson. Αν είναι άρτιο, να χρησιµοποιεί µόνο τον /3 Simpson. 8. Υλοποιήστε σε κώδικα FORTRAN τη µέθοδο ολοκλήρωσης Gauss για και για 3 σηµεία. Εφαρµόστε τον για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 5.. [Σωστή τιµή ολοκληρώµατος : 3.60346...] x 3 e x dx. 9. Μέθοδος Gauss Hermite. Η µέθοδος ολοκλήρωσης Gauss µπορεί να επεκταθεί και στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ειδικής µορφής. Ετσι το e x f (x) dx n w i f (x i ), (5.6) i= όπου x i είναι οι ϱίζες του πολυωνύµου Hermite τάξης n, H n (x), και w i τα αντίστοιχα ϐάρη, τα οποία είναι τα w i = n n! π [nh n (x i )]. Τα πρώτα πολυώνυµα Hermite είναι τα H 0 (x) = H (x) = x H (x) = 4x H 3 (x) = 8x 3 x H 4 (x) = 6x 4 48x + Να γράψετε υπορουτίνα FORTRAN που να υλοποιεί τον τύπο (5.6) για n = 4. Χρησιµοποιήστε τη για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Συγκρίνετε µε την ακριβή τιµή ( π/). e x x dx. 0. Μέθοδος Gauss Laguerre. Η µέθοδος ολοκλήρωσης Gauss µπορεί να επεκταθεί και στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ειδικής µορφής. Ετσι, ισχύει ότι 0 e x f (x) dx n w i f (x i ), (5.7) i= http://mathworld.wolfram.com/hermite-gaussquadrature.html http://mathworld.wolfram.com/laguerre-gaussquadrature.html

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚ Η ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΣΗ όπου x i είναι οι ϱίζες του πολυωνύµου Laguerre τάξης n, L n (x), και w i τα αντίστοιχα ϐάρη, τα οποία είναι τα x i w i = [(n + )L n+ (x i )]. Τα πρώτα πολυώνυµα Laguerre είναι τα L 0 (x) = L (x) = x + L (x) = (x 4x + )/ L 3 (x) = ( x 3 + 9x 8x + 6)/6 L 4 (x) = (x 4 6x 3 + 7x 96x + 4)/4 L 5 (x) = ( x 5 + 5x 4 00x 3 + 600x 600x + 0)/0 Να γράψετε υπορουτίνα FORTRAN που να υλοποιεί τον τύπο (5.7) για n = 4. Χρησιµοποιήστε τη για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 0 e x (x 6 3 x + ) dx. Συγκρίνετε µε την ακριβή τιµή (6! 3 π/ + 0!). Υπόδειξη : Το L 4 (x) έχει τις 4 ϱίζες του πραγµατικές στο διάστηµα [0, 0].. Μέθοδος Gauss Chebyshev 3. Η µέθοδος ολοκλήρωσης Gauss µπορεί να επεκταθεί και στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ειδικής µορφής. Ετσι, ισχύει ότι n f (x) dx x i= w i f (x i ), (5.8) όπου x i είναι οι ϱίζες του πολυωνύµου Chebyshev πρώτου είδους τάξης n, T n (x), και w i τα αντίστοιχα ϐάρη, τα οποία είναι τα w i = π n. Τα πρώτα πολυώνυµα Chebyshev πρώτου είδους είναι τα T 0 (x) = T (x) = x T (x) = x T 3 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 8x 4 8x + Να γράψετε υπορουτίνα FORTRAN που να υλοποιεί τον τύπο (5.8) για n = 4. Χρησιµοποιήστε τη για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα x e x x dx. 3 http://mathworld.wolfram.com/chebyshev-gaussquadrature.html