ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008

Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2

ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x) = P( X = x) = p q, x = 0,1,..., ν x παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες όταν το ν παίρνει μεγάλες τιμές και το x δεν είναι ούτε κοντά στο 0 ούτε κοντά στο ν 3 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x) = P( X = x) = p q, x = 0,1,..., ν x παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες όταν το ν παίρνει μεγάλες τιμές και το x δεν είναι ούτε κοντά στο 0 ούτε κοντά στο ν 4 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p ΠΡΟΤΑΣΗ 5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλίο (σελίδα 300) Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

Ηκατανομή Poisson ΟΡΙΣΜΟΣ X ~ P( λ ) 6 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

x λ λ f ( x) = P( X = x) = e, x = x! Ησυνάρτηση πιθανότητας της κατανομής Poisson 0,1,... κατανομή Poisson 7 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

Προσέγγιση της Διωνυμικής κατανομής από την κατανομή Poisson 8 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

Άσκηση 1/Σελίδα 311 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας 9

Μέση τιμή και διακύμανση της κατανομής Poisson ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ 10 Για τη διασπορά βλέπε βιβλίο (σελίδα 306) Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

Μερικές περιπτώσεις που μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κατανομή Poisson 11 Πιθανότητες Ι- Μ. Κούτρας

Άσκηση 2/Σελίδα 311 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 12

Θέμα εξετάσεων Σε μια κάλπη υπάρχουν α άσπρες και β μαύρες σφαίρες. Εξάγεται μια σφαίρα, σημειώνεται το χρώμα της και στη συνέχεια η σφαίρα επιστρέφεται στη κάλπη. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται 5 φορές και ας συμβολίσουμε με Χ τον αριθμό των φορών που εμφανίστηκε άσπρη σφαίρα. Τότε η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί α. τη διωνυμική κατανομή β. την εκθετική κατανομή γ. την υπεργεωμετρική κατανομή δ. τη γεωμετρική κατανομή ε. την κατανομή Poisson Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε α Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 19

Θέμα εξετάσεων Ένα αμερόληπτο ζάρι ρίχνεται συνεχώς μέχρι να εμφανιστεί για τρίτη φορά η ένδειξη 2, 3, 4 ή 5. Ο αριθμός Χ (τυχαία μεταβλητή) των δοκιμών μέχρι να συμβεί αυτό ακολουθεί α. την κατανομή Poisson με παράμετρο λ = 4/ 6 β. τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p = 2/ 3 γ. την κανονική κατανομή με μέση τιμή 4/6 δ. την αρνητική διωνυμική κατανομή με παραμέτρους r = 3 και p = 4 / 6 ε. την υπεργεωμετρική κατανομή Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε δ Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 20

Θέμα εξετάσεων Ένα ηλεκτρικό καλώδιο μήκους 30m παρουσιάζει κατά μέσο όρο 0.5 ατέλειες και ο αριθμός των ατελειών του καλωδίου ακολουθεί τη διαδικασία Poisson. Η πιθανότητα να έχει δύο ατέλειες ένα καλώδιο μήκους 60mείναι ίση με α. 2e 2 β. 1 1 e γ. / 2 e δ. 2 e ε. 2e 2 / 2 Συμπληρώστε α, β, γ, δ ή ε γ Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 21

Θέμα εξετάσεων Ο αριθμός X των γεννήσεων σε ένα νοσοκομείο της Πάτρας σε μια ημέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ και γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να συμβεί μια γέννηση σε μια ημέρα είναι τετραπλάσια της πιθανότητας να συμβούν δύο γεννήσεις σε μια ημέρα. (α) Να δειχτεί ότι η τιμή της παραμέτρου λ είναι ίση με 1 / 2. (β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να συμβούν τουλάχιστον δύο γεννήσεις σε μια ημέρα γνωρίζοντας ότι έχει συμβεί τουλάχιστον 1 γέννηση. (γ) Να δοθεί ο αναμενόμενος αριθμός των γεννήσεων σε μια ημέρα. Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 22

Θέμα εξετάσεων Ο αριθμός N των χαρακτήρων που εκτυπώνονται λανθασμένα σε μια σελίδα από ένα εκτυπωτή ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ = 2. α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να υπάρξουν τουλάχιστον 3 λανθασμένα εκτυπωμένοι χαρακτήρες σε μια σελίδα. β. Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε 4 σελίδες να υπάρξουν ακριβώς 3 σελίδες που να περιέχουν (η καθεμία) το πολύ 2 λανθασμένα εκτυπωμένους χαρακτήρες. γ. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός σελίδων που αναμένονται να εκτυπωθούν μέχρι να εμφανιστεί για τρίτη φορά σελίδα με τουλάχιστον 3 λανθασμένα εκτυπωμένους χαρακτήρες; (Δίνεται ότι: e 2 = 0. 14 ) Λύση: 2 α. P ( N 2) = 5e = 5 0.14 = 0. 7 P ( N 3) = 1 P( N 2) = 0. 3 4 3 1 β. P ( X = 3) = 0.7 0.3 = 0. 62 3 γ. E ( Y ) = 3/ 0.3 = 10 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 23