1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ημx x

Αποείξτε ότι η εξίσωση ημ Η εξίσωση είνι ισούνμη με την έχει μονική ίζ στο ιάστημ, π ημ κι συνεπώς είνι σκόπιμο ν θεωήσουμε τη συνάτηση, π R : : ημ κι ν ποσπθήσουμε ν ποείξουμε, φενός ότι η εξίσωση έχει ίζ στο π,, φετέου ότι η ίζ υτή είνι μονική Εάν η ικνοποιεί το θεώημ Bolzano, τότε εξσφλίζετι η ύπξη στο, π ίζς της εξίσωσης Ας το ελέξουμε λοιπόν: Η είνι συνεχής στο, π, ως άθοισμ των συνεχών στο ιάστημ υτό συντήσεων Ακόμη y ημ κι y π π 4 κι ά πάμτι, η ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωήμτος Bolzano π τέτοιος, ώστε, ηλ η Έπετι ότι υπάχει τουλάχιστον ένς, εξίσωση έχει ίζ στο, π Όσο ι τη μονικότητ, θ την εξσφλίσουμε εάν ποείξουμε ότι η είνι - Πάμτι, ν π,, κι, τότε ημ ημ κι ημ ημ, ηλ η είνι νησίως ύξουσ Η, ως νησίως μονότονη συνάτηση, είνι - κι ως εκ τούτου, η εξίσωση ε μποεί ν έχει πεισσότεες πό μί ίζες (η φική πάστση ε μποεί ν τέμνει τον, ούτε άλλη οιζόντι ευθεί, σε πεισσότε πό έν σημεί) Η εξίσωση επομένως, έχει κιώς μί ίζ στο, π, που είνι το ζητούμενο Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

t Δίνετι η συνάτηση t t e, t R Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση t έχει μονική ίζ στο R Κι εώ, όπως στην ποηούμενη άσκηση, θ πέπει ν εξσφλίσουμε φενός την ύπξη, φετέου τη μονικότητ της ίζς της εξίσωσης t κεπτόμστε πως ΓΙΑ ΣΗΝ ΤΠΑΡΞΗ ίσως φινότν χήσιμο το θεώημ Bolzano, όμως εώ εν έχουμε την οισμένη σε κάποιο κλειστό ιάστημ Μποούμε ν εστούμε ως εξής: ος τόπος Με οκιμές, εντοπίζουμε ύο ετεόσημες τιμές της συνάτησης Πάμτι, είνι εύκολο ν ει κνείς ότι e κι e e t t Οι συντήσεις y e κι y = t είνι συνεχείς στο R κι ά η η y e είνι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών Έτσι, η είνι συνεχής σε όλο το R, ως το άθοισμ των συνεχών στο R συντήσεων y = t κι t y e Επομένως η είνι συνεχής στο, R κι επιπλέον Από το θεώημ Bolzano έπετι ότι η εξίσωση t έχει τουλάχιστον μί ίζ στο ιάστημ, R ος τόπος Όπως είμε, η συνέχει της στο R εξσφλίζετι εύκολ Εκείνο που χειάζετι ι ν μποέσουμε ν εφμόσουμε το θεώημ Bolzano είνι ν ούμε ύο ετεόσημες τιμές της Σι συμίνει άε κοντά στ άκ του πείου οισμού; Έχουμε: lim t ά υπάχει ( κοντά στο -) Ακόμη, t t lim t e t κοντά στο -), ώστε (φού t t t lim t e lim, t, είνι επίσης ά υπάχει ( κοντά στο +), ώστε είνι κοντά στο +) Επομένως εξσφλίζετι η ύπξη κάποιων κι με κι Σελικά η ικνοποιεί το θεώημ Bolzano στο ιάστημ, κι ά η εξίσωση, R t έχει τουλάχιστον μί ίζ στο (φού κι η τιμή Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο 3 ΓΙΑ ΣΗ ΜΟΝΑΔΙΚΟΣΗΣΑ θ εστούμε όως στην ποηούμενη άσκηση Θεωούμε ηλ τους, R με κι έχουμε : e e e e κι κι, ά η είνι νησίως ύξουσ κι ως εκ τούτου - Έτσι η εξίσωση t ε μποεί ν έχει πεισσότεες πό μί πμτικές ίζες Σελικά, η εξίσωση t έχει μονική ίζ στο R

4 3 Έστω R Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μί πμτική ίζ 4 3 3 Θεωούμε τη συνάτηση : RR με 3 ποείξουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μί πμτική ίζ Η είνι πολυωνυμική, ά συνεχής στο R κι πτηούμε ότι Ακόμη 3 4 3 κι κεί ν [ιότι το τιώνυμο έχει ικίνουσ Δ 4 3, ά, ι κάθε R] Έχουμε λοιπόν ότι η είνι συνεχής στο ιάστημ, R κι Από το θεώημ Bolzano έπετι πως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μί ίζ στο, R, ηλ το ζητούμενο Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

5 4 Αποείξτε ότι: ) η εξίσωση ln e έχει μί μόνο ίζ στο ιάστημ,, ) η εξίσωση, με κι, έχει μί μόνο ίζ στο ιάστημ, ) Η συνάτηση : (,] R : e ln είνι άθοισμ συνεχών συντήσεων, ά συνεχής στο (,] Ακόμη ά υπάχει -) lim lim e ln κι κοντά στο, με (φού η τιμή Επιπλέον e Επομένως η είνι συνεχής στο,, κι Λόω του θεωήμτος Bolzano, η εξίσωση ηλ η e, ln, έχει τουλάχιστον μί ίζ στο,, Γι τη μονικότητ, θεωούμε τους,,,, με Σότε είνι κοντά στο e e κι e ln e ln e ln e ln ln ln ά η είνι νησίως ύξουσ, οπότε είνι κι - Έτσι, η εξίσωση, ισούνμ η e ln, εν έχει πεισσότεες πό μί ίζες Σελικά, η εξίσωση e έχει μί μόνο ίζ στο ιάστημ, ln ) Γι κι, θεωούμε τη συνάτηση : [,] R : κι κεί ν ποείξουμε ότι η εξίσωση έχει μί μόνο ίζ στο ιάστημ, Η είνι άθοισμ των συνεχών στο, συντήσεων y κι y, ά η είνι συνεχής στο, Ακόμη, ιότι κι, Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

6 Εάν, τότε η εξίσωση έχει ως ίζ τον Εάν, τότε λόω κι του ότι η είνι συνεχής στο,, π το θεώημ Bolzano έπετι πως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ίζ στο ιάστημ (,) Σελικά η εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ίζ στο ιάστημ (,] Εξάλλου, εάν,, με, τότε: κι ηλ η είνι νησίως φθίνουσ Ά η είνι - κι συνεπώς η εξίσωση εν έχει πεισσότεες πό μί ίζες Εν τέλει, η εξίσωση έχει κιώς μί ίζ στο ιάστημ (,], Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

7 5 Εάν < ποείξτε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον μί ίζ στο ιάστημ, 4 Η οσμένη εξίσωση, έχει στο, τις ίιες ίζες με την 4 4 Θεωούμε λοιπόν τη συνάτηση :, R με 4 4 κι κεί ν ποείξουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ίζ στο ιάστημ, Η είνι πολυωνυμική, ά είνι συνεχής στο [,] Ακόμη 4 4 4 4 Από το θεώημ Bolzano έπετι πως η εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ίζ στο ιάστημ,, ηλ το ζητούμενο Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

8 6 Έστω, R με κι > Αποείξτε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστο ύο ίζες στο ιάστημ, 3 Θεωούμε τη συνάτηση 3 :, R με κι κεί ν ποείξουμε ότι η εξίσωση ιάστημ, έχει τουλάχιστο ύο ίζες στο υκεκιμέν, πόκειτι ν ποείξουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστο μί ίζ ξ, κι τουλάχιστο μί ίζ ξ, Η είνι πολυωνυμική, ά συνεχής στο [-,] Επιπλέον, έχουμε:, κι Έτσι, η είνι συνεχής στο,, κι Επίσης, η είνι συνεχής στο,, κι Ά η ικνοποιεί το θεώημ Bolzano σε κθέν πό τ ιστήμτ, κι, κι συνεπώς υπάχουν ξ, κι ξ, με ξ κι ξ Επομένως πάμτι, η εξίσωση έχει τουλάχιστο ύο ίζες ξ,ξ, με ξ ξ Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

9 7 Εάν < κι η συνάτηση :[,] υπάχει τουλάχιστον ένς, τέτοιος, ώστε R είνι συνεχής με Ακεί ν ποειχθεί ότι υπάχει τουλάχιστον ένς, εξίσωση ή ισούνμ, την εξίσωση Οηούμστε στο ν θεωήσουμε τη συνάτηση, ποείξτε ότι που ν επληθεύει τη ν Q :, R με Q κι θ ποείξουμε ότι υπάχει τουλάχιστον ένς, με Q είνι συνεχής στο, Η Ακόμη, κι Έτσι, Q Q, ως άθοισμ συνεχών συντήσεων Q Q Q, ιότι < κι Από το θεώημ Bolzano έπετι ότι υπάχει τουλάχιστον ένς, ώστε Q, που είνι το ζητούμενο τέτοιος, Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

8 Εάν :, R συνεχής με k τουλάχιστον ένς, με ος τόπος Ακεί ν ποειχθεί ότι η εξίσωση ή ισούνμ ή εξίσωση έχει ίζ, κι k, λ, ποείξτε ότι υπάχει λ k λ k λ k λ k λ k λ, Εάν θεωήσουμε τη συνάτηση Q :, R με Q k λ k λ, κεί ν ποείξουμε ότι υπάχει τουλάχιστον ένς, με Q Η συνάτηση Q() είνι ποφνώς συνεχής στο,, φού η είνι συνεχής στο ιάστημ υτό Επιπλέον Q k λ k λ λ, κι ά k λ k λ κ Q Q Q κ λ k, λ κι, ιότι Από το θεώημ Bolzano λοιπόν, έπετι ότι, πάμτι, υπάχει τουλάχιστον ένς, με Q ος τόπος Δίνετι ότι ότι κι ίχως λάη της ενικότητς, μποούμε ν υποθέσουμε k λ κεπτόμστε πως με k, λ, ο είνι μι τιμή της, ενιάμεση των k λ, κι συνεπώς οηούμστε στο ν εξετάσουμε εάν εφμόζετι το θεώημ ενιμέσων τιμών Κτ χάς ποεικνύουμε ότι εάν k, λ, τότε πάμτι ο τιμή ενιάμεση των, k λ k λ είνι Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

Ακεί ν ποείξουμε ότι ή ισούνμ ότι ή ή k λ k λ k λ k λ k λ, k κι k λ k λ λ k λ λ κι k λ k Όμως με κ, λ >, πό τις τελευτίες πίνουμε ισούνμ την που ισχύει, υνοψίζοντς, έχουμε ότι η είνι συνεχής στο,, κι ο k λ είνι τιμή ενιάμεση των, k λ Λόω του θεωήμτος ενιμέσων τιμών, η λμάνει όλες τις τιμές τις ενιάμεσες k λ στ,, συνεπώς η λμάνει κι την τιμή k λ Ά, υπάχει κάποιος, τέτοιος, ώστε κ λ κ λ Ο ε μποεί ν συμπίπτει με τον, ιότι εάν υτό συνέινε θ είχμε κ λ λ k λ κ λ λ λ, κ λ άτοπο ιότι ίνετι Ά κι ομοίως κι τελικά υπάχει κάποιος, τέτοιος, ώστε κ λ κ λ Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

9 Έστω p() έν μη μηενικό πολυώνυμο Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστο μί πμτική ίζ p e Εάν το p() είνι στθεό πολυώνυμο, τότε p() = cr* κι πόκειτι ι την εξίσωση e c, η οποί έχει ως ίζ την ln c Εάν το p() εν είνι στθεό πολυώνυμο, τότε lim p lim p Θεωούμε τη συνάτηση η οποί είνι συνεχής Επειή είνι lim e Επειή h e p, έχουμε lim h, R,, ά υπάχει p e p e κι ισχύουν οι lim e, e lim h (ι το εύτεο όιο λ την πτήηση) θ έχουμε με h Έχουμε λοιπόν ότι h h υπάχει ένς τουλάχιστον ξ μετξύ των, με lim h p e κι, ά υπάχει κι πό το θεώημ Bolzano ποκύπτει ότι με hξ ή ξ ξ e p Πτήηση: Εάν p() είνι έν πολυώνυμο, τότε lim p e ν ν Εάν είνι p ν ν, τότε ν ν p ν ν [] Εάν, τότε: ν ν ν ν ν κι ά η [] ίνει την p ν ν ν Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 Εάν θέσουμε M ν ν, τότε πό την τελευτί ποκύπτει ότι ι κάθε με > p υνεπώς, ι >, έχουμε p e ν κι κεί ν ποείξουμε ότι lim e Γνωίζουμε ότι e, ι κάθε R Επομένως ι R, έχουμε: ά e ν e ν κι ν M, ν M e ν e ν, ν e ν ν ν Από την τελευτί ποκύπτει ότι Επειή lim ν ν ν ν e ν ν, πό το κιτήιο πεμολής, πίνουμε το ζητούμενο Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο 4 Θεωούμε τους πμτικούς ιθμούς,,, με < < < κι την εξίσωση ) Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση έχει κιώς τεις πμτικές ίζες ) Εάν ο, είνι ίζ της εξίσωσης, ν ποειχθεί ότι ) Η οσμένη εξίσωση είνι ισούνμη με την, οπότε θεωούμε τη συνάτηση :RR με κι κεί ν ποείξουμε πως η εξίσωση έχει κιώς τεις πμτικές ίζες Η () είνι πολυωνυμική τίτου θμού, ά έχει το πολύ τεις πμτικές ίζες (ιότι εάν υποθέσουμε ότι έχει τέσσεις ίζες 4 3,,, R, τότε έχουμε 4 3 Α, ηλ η () είνι πολυωνυμική τετάτου θμού, άτοπο) Δεομένου ότι < < <, έχουμε:,, κι Η, ως πολυωνυμική, είνι συνεχής στ ιστήμτ,,,,, κι συνεπώς ικνοποιεί το θεώημ Bolzano σε κθέν πό υτά Ά η εξίσωση έχει τουλάχιστον τεις πμτικές ίζες,,, κι, 3 Αφού λοιπόν η έχει τουλάχιστον τεις κι το πολύ τεις ίζες στο R, έπετι πως έχει κιώς τεις πμτικές ίζες ) Αφού ο, είνι ίζ της οσμένης εξίσωσης, έχουμε:, ά την τελευτί ισότητ, πολλπλσιάζουμε με κι πίνουμε:

Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο 5 Όμως < κι ά, οπότε Έτσι,, ιότι Αποείξμε επομένως την Πειτέω, επειή, ποκύπτει ότι, ά Σελικά

6 Έστω : RR συνεχής κι νησίως φθίνουσ συνάτηση Ν ποειχθεί ότι η, έχει μονική ίζ στο R εξίσωση Η μονικότητ της ίζς εξσφλίζετι εύκολ Πάμτι, ς υποθέσουμε πως υπάχουν, R με κι, Εάν είνι, τότε επειή η είνι νησίως φθίνουσ, έχουμε:, άτοπο Ομοίως, κτλήουμε σε άτοπο εάν υποθέσουμε πως Πέπει επιπλέον ν εξσφλίσουμε την ύπξη της ίζς Εάν είνι () =, τότε εν έχουμε ν ποείξουμε κάτι Έστω λοιπόν ότι κι ς είνι Η είνι νησίως φθίνουσ, ά Εάν θεωήσουμε τη συνάτηση h με h ίνοντι: h κι, τότε οι ύο τελευτίες νισότητες h Η h είνι ποφνώς συνεχής στο R ά κι στο [,()]R Από το θεώημ Bolzano, υπάχει κάποιος ξ (,()) με h ξ ξ Εάν είνι h h ξ, τότε με την νησίως φθίνουσ, έχουμε Πάλι πό το θεώημ Bolzano, υπάχει κάποιος ξ ((),) με hξ ξ ξ ε κάθε πείπτωση λοιπόν, η ύπξη της ίζς εξσφλίζετι επίσης Εν τέλει η εξίσωση Πτήηση:, έχει μονική ίζ στο R Από όσ νφέμε στην πόειξη έπετι ότι η ίζ ξ της εξίσωσης μικότεη πό την τιμή () είνι Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

7 Γι τις συνεχείς συντήσεις,g:[,b]r υποθέτουμε ότι υπάχουν,,b g, ι, με κι g κι ότι επιπλέον είνι κάθε, b Εάν λ, ν ποειχθεί ότι ι τη συνάτηση h λ υπάχει,b h : [,b] R με λ g τέτοιος, ώστε h Κτ χάς, πτηούμε ότι εάν g κι h λ λ, ηλ το συμπέσμ ισχύει ι Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι κι ς είνι Ποφνώς, ι τη συνάτηση Σ : [,b] R με T h, τότε θ πέπει ν ποείξουμε ότι υπάχει,b τέτοιος, ώστε Πτηούμε ότι με λ, είνι κι λ,b λοιπόν, ισχύουν οι σχέσεις: Γι οπότε ή ή λ λ g κι λ λg, T λ λ λ λg λ g λg g h g h g Ισχύουν ηλ οι ι κάθε,b T g, [] Έχουμε,,b κι τις [] ν ισχύουν ι κάθε,b τις [] λοιπόν, ίνουμε στον ιοχικά τις τιμές κι Λμάνοντς υπόψη g, πίνουμε ντίστοιχ τις κι το ότι κι οπότε συμπείνουμε ότι T g κι T T T, Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

8 Δικίνουμε πειπτώσεις: Εάν T T ή T ι T ή Εάν T T,,b,,b τέτοιος, ώστε, τότε το συμπέσμ ισχύει, τότε επειή η Σ είνι συνεχής στο ιάστημ, λόω του θεωήμτος Bolzano, έπετι ότι υπάχει T Όσο ι τη συνέχει της Σ, πτηούμε χικά ότι με τις, g συνεχείς κι με λr, η h λ λ g είνι συνεχής Ά η T h είνι συνεχής ως ιφοά συνεχών συντήσεων Επομένως, σε κάθε πείπτωση έχουμε εξσφλίσει ότι ηλ το ζητούμενο υπάχει,b τέτοιος, ώστε T, Εάν εν λλάζει κάτι ουσιστικό στην πόειξη, πέ π το ότι το θεώημ Bolzano, το εφμόζουμε στο ιάστημ,,b Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

9 3 Έστω ότι η συνάτηση : RR είνι συνεχής κι πειοική (ηλ υπάχει Σ >, T, ι κάθε R) Αποείξτε ότι υπάχει R τέτοιος, ώστε με Η συνάτηση : [,Σ]R είνι συνεχής σε κλειστό ιάστημ Ά η λμάνει μέιστη κι ελάχιστη τιμή στο [,Σ] Τπάχουν λοιπόν,,t τέτοιοι, ώστε, ι κάθε [,Σ] Επειή ε η είνι πειοική, οι ππάνω νισότητες ισχύουν ι κάθε R (λ πτήηση Ι) υνεπώς ισχύουν οι, [] ι κάθε R Θεωούμε τη συνάτηση h : RR με h συνεχής στο R Από τις [], με τον στη θέση του, πίνουμε h, ενώ με τον στη θέση του, πίνουμε υνεπώς είνι κι ικίνουμε πειπτώσεις: Εάν h h h h, η οποί είνι ποφνώς h τότε, λόω του θεωήμτος Bolzano, υπάχει κάποιος μετξύ των h Εάν h h ή h h, τότε το συμπέσμ ισχύει ι ή Σελικά, σε κάθε πείπτωση, υπάχει R τέτοιος, ώστε Πτηήσεις: Ι) Εάν η : RR είνι πειοική συνάτηση με πείοο Σ, τότε ι κάθε yr, y υπάχει [,Σ] με Έχουμε ότι ι κάθε R ισχύει η ισότητ T, η οποί με τον + T στη θέση του, ίνει T T Ποκύπτει ότι T, ι κάθε R Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

υνεχίζοντς με τον ίιο τόπο, ποεικνύουμε ότι n T, ι κάθε R κι ι κάθε nn* Η τελευτί, με τον n T στη θέση του, ίνει την n T, ι κάθε R κι ι κάθε nn* Εκ των [], [3] ποκύπτει ότι ι κάθε R κι ι κάθε mζ Έστω τώ ένς yr m T, [] [3] -T -T T T Σότε υπάχει m Ζ τέτοιος, ώστε οπότε Θέτοντς T y m T, m y m T T y m T, έχουμε ότι [,Σ] κι ότι y m T y ΙΙ) Είνι φνεό ότι στη θέση του πμτικός ιθμός θ μποούσε ν είνι οποιοσήποτε στθεός, Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

4 Έστω : [,b]r συνεχής συνάτηση Τποθέτουμε ότι ι κάθε, b τουλάχιστον μί ίζ στο, b, υπάχει,b με Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση έχει Είνι φνεό ότι ε μποούμε ν εφμόσουμε το θεώημ Bolzano h είνι συνεχής κι Πτηούμε όμως ότι η συνάτηση h : [,b]r με ά υπάχει,b με h h, ι κάθε, b Δηλ, ι κάθε, b (ελάχιστη τιμή της h) Θ ποείξουμε ότι Από την υπόθεση έχουμε ότι ι τον,b υπάχει,b, b μετλητή της [] λοιπόν, ίνουμε την τιμή κι έχουμε με Όμως η [] ληθεύει ι όλους τους, ά κι ι τον,b Από τις ύο τελευτίες ποκύπτει, θ ποέκυπτε <, άτοπο) ά (ιότι ν [] τη Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

5 Έστω,g: [,b] [c,d] συντήσεις συνεχείς κι επί Ν ποειχθεί ότι υπάχει, b ξ g ξ ξ τέτοιος, ώστε Η συνάτηση είνι επί, ά υπάχουν,,b με c κι d Επίσης, πό το ότι η g είνι επί, ποκύπτει πως υπάχουν 3, 4,b με g 3 c κι g 4 d Θεωούμε τη συνάτηση h με h g,, b, η οποί είνι ποφνώς συνεχής στο [,b] Έχουμε: g c g, ιότι c,d Ακόμη g ιότι c,d υνεπώς g κι ικίνουμε πειπτώσεις: Εάν h h h g d g h, h h τότε, λόω του θεωήμτος Bolzano, υπάχει κάποιος ξ μετξύ των ( κι ά ξ[,b] ), με h ξ ξ g ξ Εάν h h ή h ι h ξ ή ξ ε κάθε πείπτωση λοιπόν, υπάχει ξ, b τέτοιος, ώστε ξ gξ, τότε το συμπέσμ ισχύει ημείωση Εάν Α, Β R, λέμε ότι η συνάτηση :ΑΒ είνι συνάτηση επί, ν κι μόνο ν (A) = B, ηλ ν κι μόνο ν ι κάθε yb υπάχει Α με () = y (όλ τ στοιχεί του B είνι τιμές της ) Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 6 Έστω,g: [,] [,] συνεχείς συντήσεις ι τις οποίες ισχύει g g Εάν η είνι νησίως φθίνουσ, ν ποειχθεί ότι υπάχει μονικός ξ[,] ξ ξ g ξ Αχικά θ ποείξουμε ότι η εξίσωση έχει μονική ίζ ξ[,] Η συνάτηση h με h είνι συνεχής στο [,] Επιπλέον κάθε [,], ά κι Έτσι, είνι h κι h h h, οπότε με ι Όπως σε νάλοες πειπτώσεις που συνντήσμε σε ποηούμενες σκήσεις, μποούμε κι εώ ν συμπεάνουμε ότι υπάχει τουλάχιστον ένς ξ[,] με h ξ ξ ξ Θ ποείξουμε κι τη μονικότητ υτού του ξ[,] Ας υποθέσουμε λοιπόν πως υπάχουν ικεκιμένοι ξ, ξ [,] με ξ ξ κι ξ ξ Εάν είνι ξ ξ, τότε λόω του ότι η είνι νησίως φθίνουσ, έχουμε ξ ξ ξ ξ, άτοπο Ομοίως κτλήουμε σε άτοπο κι ν υποθέσουμε ότι ξ ξ ξ ξ Σελικά, ποείξμε πως υπάχει μονικός ξ[,] με Σότε όμως έχουμε κι επειή ισχύει g g, έχουμε ξ gξ g gξ gξ Η τελευτί σημίνει ότι ο gξ[,] είνι ίζ της εξίσωσης Όπως είμε όμως, η εξίσωση υτή έχει ως μονική ίζ τον ξ[,] g ξ ξ κι η πόειξη ολοκληώνετι Ποκύπτει ότι Πτηήσεις: Ι) Αντί ν έχουμε ότι η είνι νησίως φθίνουσ, θ μποούσμε ν έχουμε ότι η είνι νησίως ύξουσ συνάτηση ΙΙ) Όπως είνι φνεό, εν είνι πίτητο ν πειλμάνετι στις υποθέσεις η συνέχει της g Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

4 7 Έστω () έν πολυώνυμο Αποείξτε ότι υπάχει R με κάθε R, ι Εάν το () είνι στθεό πολυώνυμο, τότε εν έχουμε ν ποείξουμε τίποτ Τποθέτουμε λοιπόν πως το () εν είνι στθεό πολυώνυμο ν ν Εάν είνι ν ν, με ν, τότε πό την πεί οίων νωστή θεωί έχουμε ότι lim κι lim Θεωούμε τη συνάτηση h με lim h κι lim h h κι, λόω των ποηουμένων, έχουμε: Εάν είνι h() =, τότε () = κι το συμπέσμ ισχύει ι Έστω ότι είνι h() > Επειή ισχύει η lim h, θ υπάχει κάποιος b >, ώστε ι > b ν έχουμε h() > h() lim Επειή h, θ υπάχει κάποιος <, ώστε ι < ν έχουμε h() > h() H h: [,b]r, είνι ποφνώς συνεχής, οπότε λμάνει ελάχιστη τιμή, έστω στη,b Σότε θέση h h, ι κάθε, b κι ποφνώς είνι κι h h Ά ι > b είνι h h h κι ι < είνι h h h Η σχέση h h επομένως, ισχύει ι <, ι, b έχουμε ότι ή ισούνμ, h h, ι κάθε R, ι κάθε R κι ι > b, ά Πτήηση: Σο ότι η είνι πολυωνυμική, το χειστήκμε μόνο κι μόνο ι ν συμπεάνουμε τις ισότητες lim κι lim Εάν επομένως η είνι μι οποιήποτε συνεχής συνάτηση ι την οποί ισχύουν οι ποηούμενες ισότητες, τότε η ικνοποιεί το συμπέσμ της άσκησης Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

5 8 Έστω, πμτικοί ιθμοί με < κι :[,] R συνεχής κι τέτοι, ώστε ν ισχύουν: κι υπάχει μονικός, Ν ποειχθεί ότι με, ι κάθε, Ποφνώς η ποεικτέ ισχύει ι = ή =, Μένει ν ποείξουμε ότι ισχύει ι κάθε Ας υποθέσουμε ότι, ντιθέτως, υπάχει κάποιος,, με Σότε ποφνώς είνι κι κι φού η είνι συνεχής στο [,], έπετι ότι η ικνοποιεί το θεώημ Bolzano σε κθέν πό τ ιστήμτ [, ] κι [,] υνεπώς υπάχουν, κι, με Αυτό σημίνει ότι η εξίσωση έχει ύο ικεκιμένες ίζες που είνι άτοπο, φού κτά την υπόθεση, η εξίσωση υτή έχει μί μόνο ίζ Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

6 9 Έστω b b 3 b3 κι p 3 b b b3 Αποείξτε ότι όλες οι ίζες του πολυωνύμου p() είνι πμτικές Σο πολυώνυμο p() είνι τίτου θμού, ά έχει το πολύ τεις πμτικές ίζες Έχουμε: p b b b3 κι p b b b 3 b Η πολυωνυμική συνάτηση p() είνι συνεχής κι p p b, οπότε λόω του θεωήμτος Bolzano, η εξίσωση p() = έχει τουλάχιστον μί ίζ στο ιάστημ b, Ακόμη b b b p 3 κι p b b b 3 b, οπότε ομοίως ποκύπτει πως η εξίσωση p() = έχει τουλάχιστον μί ίζ στο ιάστημ b, Σέλος, κι b b b p 3 3 3 3 3 b b b b p 3 3 3 3 3 κι όμοι πάλι πίνουμε πως η εξίσωση p() = έχει τουλάχιστον μί ίζ στο ιάστημ b3, 3 Η εξίσωση p() = λοιπόν, έχει τουλάχιστον τεις κι το πολύ τεις πμτικές ίζες, ά έχει κιώς τεις πμτικές ίζες Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

7 ) Εάν < κι η συνάτηση :[,]R είνι συνεχής κι -, τότε η είνι νησίως μονότονη ) Εάν Δ R ιάστημ κι η συνάτηση :ΔR είνι συνεχής κι -, τότε η είνι νησίως μονότονη ) Επειή η είνι - θ έχουμε κι ς υποθέσουμε ότι είνι Θ ποείξουμε ότι η είνι νησίως ύξουσ Κτ χάς θ ποείξουμε ότι εάν < <, τότε Εάν υτό εν είνι ληθές, τότε είτε θ υπάχει, με υπάχει, με Ας ούμε την πώτη πείπτωση, όπου Εώ, η ισότητ ε μποεί ν ισχύει ιότι η είνι -, οπότε Επειή έπετι ότι υπάχει, με ξ, ενώ ποφνώς ξ ιότι η είνι -, είτε θ κι η είνι συνεχής, πό το θεώημ ενιμέσων τιμών ξ Ομοίως, στη εύτεη πείπτωση όπου πίνουμε κι ότι υπάχει ξ με ξ Αποείξμε επομένως ότι Πιο συκεκιμέν, ποείξμε ότι: εάν < <, τότε, που είνι άτοπο, κτλήουμε σε άτοπο ιότι, εάν a < b κι η συνάτηση :[a,b]r είνι συνεχής κι - κι a a,b είνι a b Έστω τώ,, b, τότε ι με Εάν, τότε, οπότε σύμφων με το τελευτίο μς συμπέσμ είνι Εάν, τότε Με a, b κι με τον στη θέση του, πό το ποηούμενο συμπέσμ πίνουμε ε κάθε πείπτωση λοιπόν, πό την είνι νησίως ύξουσ Εάν, τότε έπετι, που σημίνει πως η κι φού η είνι - κι συνεχής, όπως ήη ποείξμε, θ είνι νησίως ύξουσ, οπότε η θ είνι νησίως φθίνουσ ) Πιν ποχωήσουμε στην πόειξη, κάνουμε την εξής πτήηση: Εάν Δ R ιάστημ κι,,3,4 Δ, τότε υπάχουν,δ έτσι, ώστε ν είνι, Δ κι,,3,4, υκεκιμέν, ο είνι ο μικότεος των,,3, 4 κι ο είνι ο μελύτεος Ας ούμε τώ πώς μποούμε ν ποείξουμε το συμπέσμ: Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

8 Επιλέουμε τους, Δ με κι ικίνουμε πειπτώσεις: Αφού η είνι -, θ έχουμε Εάν θ ποείξουμε ότι η :ΔR είνι νησίως ύξουσ Έστω λοιπόν 3,4 Δ τυχίοι, με 3 4 Από την ποηούμενη πτήηση έπετι πως υπάχουν,δ έτσι, ώστε ν είνι, Δ κι,,3,4, Όμως η :[,]R είνι συνεχής κι - κι, λόω του εωτήμτος (), είνι νησίως μονότονη Επειή ι τους,, έχουμε κι, ε μποεί πά η ν είνι νησίως ύξουσ στο [,] Αφού λοιπόν ι τους 3, 4, είνι 3 4 θ είνι κι 3 4 Επομένως, ι τους τυχίους 3,4 Δ ποείξμε τη συνεπωή 3 4 3 4, που σημίνει ότι η είνι νησίως ύξουσ στο Δ Εάν, ομοίως ποεικνύουμε ότι η :ΔR είνι νησίως φθίνουσ Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

9 Έστω, g συντήσεις οισμένες κι συνεχείς στο R κι τέτοιες, ώστε g g, R Ν ποειχθεί ότι εάν η εξίσωση gg g έχει επίσης πμτική ίζ έχει πμτική ίζ, τότε η εξίσωση Έστω ότι η εξίσωση gg έχει ως ίζ τον R, οπότε gg Εάν g, τότε εν έχουμε ν ποείξουμε τίποτ Έστω λοιπόν ότι g κι ς είνι g Θεωούμε τη συνάτηση h:rr, με h g κι κεί ν ποείξουμε πως η εξίσωση h, έχει ίζ στο R Η h είνι συνεχής στο R κι h g g, ενώ ά h g g gg g h, hg g Εάν h hg, τότε η εξίσωση h, έχει ως ίζ τον τον g Εάν h hg h, έχει ίζ ξ,g ή τότε, λόω του θεωήμτος Bolzano, η εξίσωση ε κάθε πείπτωση λοιπόν, έχουμε το ζητούμενο Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 Οι συντήσεις, g είνι οισμένες κι συνεχείς στο,, η είνι νησίως ύξουσ στο, κι g[,], Ν ποειχθεί ότι υπάχει, τέτοιος, ώστε g g Θεωούμε τη συνάτηση h g η οποί είνι συνεχής στο, ώστε h Είνι [,], g, ά ι κάθε, Επομένως g Έχουμε κι g g,,, κι θ ποείξουμε ότι υπάχει, g, h g g ιότι g κι με την νησίως ύξουσ στο, g Ακόμη, h g g ιότι g κι με την νησίως ύξουσ στο, g Έτσι h h Εάν h h Εάν h h ισχύει ι κάποιον,, έχουμε κι, κι ικίνουμε πειπτώσεις:, έχουμε κι τέτοιος, τότε το συμπέσμ ισχύει ι ή ι, τότε λόω του θεωήμτος Bolzano, το συμπέσμ Σελικά, υπάχει, τέτοιος, ώστε Πτήηση: h Δώσμε μι λύση κολουθώντς πιστά το στόχο μς που ήτν η εφμοή του θεωήμτος Bolzano Όμως η λύση που ώσμε, ν κι εν είνι λάθος, είνι εντελώς άστοχη, κεί ν πτηήσουμε ότι εν είνι νκίο ν ποϋποθέσουμε τη συνέχει κι τη μονοτονί της Δηλ η θ μποούσε ν είνι μι οποιήποτε συνάτηση g [,],, τότε θεωώντς την T g,, Πάμτι, επειή είνι, έχουμε T g κι T g Όπως κάνμε σε ποηούμενες σκήσεις, μποούμε ν ποείξουμε ότι υπάχει, τέτοιος, ώστε T g Σότε όμως έχουμε g, οπότε g g Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 3 Έστω, g :[,b]r συνεχείς συντήσεις Εάν ισχύει ότι g, ι κάθε [,b], τότε υπάχει > τέτοιος, ώστε g, ι κάθε [,b] Θεωούμε τη συνάτηση h :[,b]r με h g Η h είνι συνεχής στο [,b] ως ιφοά συνεχών συντήσεων υνεπώς η h λμάνει ελάχιστη τιμή στο [,b], ηλ υπάχει κάποιος,b τέτοιος, ώστε h h, ι κάθε, b h Είνι g, ά κι h Γι, b λοιπόν, έχουμε: υνάουμε ότι ι κάθε, b h Θέτουμε ι κάθε, b h h h h g, κι πίνουμε ότι g, Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

3 4 Έστω, g :[,b]r συνεχείς συντήσεις ι τις οποίες ισχύει g, ι κάθε [,b] Έστω, b τέτοιος, ώστε ι κάθε [,b] κι έστω,b τέτοιος, ώστε g g ι κάθε [,b] Ν ποείξετε ότι g Η πόειξη είνι τόσο πλή που ύσκολ τη σκέπτετι κνείς Δίνετι ότι ισχύει η g, ι κάθε [,b], b στη θέση του λοιπόν, πίνουμε την Με τον Είπμε κόμη πως Γι,b g g g ι κάθε [,b], η τελευτί ίνει την g g Από τις [], [] συνάουμε ότι g [] [] Πτηήσεις: ) Η συνέχει των, g κθώς κι το ότι υτές είνι οισμένες σε κλειστό ιάστημ εν είνι νκίο ν ίνοντι στις υποθέσεις Θ μποούσμε ηλ ν ιτυπώσουμε την άσκηση ως εξής: Έστω ΑR κι, g :ΑR συνεχείς συντήσεις ι τις οποίες ισχύει g, ι κάθε Α Εάν υπάχουν, A με ι κάθε Α κι g Α, τότε g g ι κάθε ) Εάν πιτήσουμε τη συνέχει των, g κι ν είνι υτές οισμένες στο κλειστό ιάστημ, b, τότε πλώς εξσφλίζετι η ύπξη των, την οποί εξάλλου θεωούμε εομένη στην πώτη εκφώνηση Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

33 5 Έστω : R R συνεχής συνάτηση ι την οποί ισχύει η σχέση y, ι κάθε,yr y κι R Ν ποειχθεί ότι η εξίσωση έχει μονική ίζ στο R Θ ποείξουμε χικά ότι η είνι συνάτηση - Έστω, yr με () = (y) Από την y y ποκύπτει ότι y, οπότε = y κι ά η είνι - Επειή η είνι συνεχής κι -, είνι νησίως μονότονη (λ άσκηση ) κι ς υποθέσουμε ότι η είνι νησίως ύξουσ Εάν κτφέουμε ν ποείξουμε ότι ι τον τυχίο R, η εξίσωση έχει πμτική ίζ, τότε η μονικότητ της ίζς εξσφλίζετι πό το ότι η είνι - Ακεί συνεπώς ν εξσφλίσουμε την ύπξη της ίζς Εάν >, τότε επειή η υπετέθη νησίως ύξουσ, είνι Η σχέση y y ισχύει ι κάθε,yr Γι y = λοιπόν κι ι κάθε R, πίνουμε: ή Επομένως Επιλέουμε ένν ά, ι κάθε > τέτοιον, ώστε ν είνι, κι έχουμε: [] Εάν <, τότε ιότι η είνι νησίως ύξουσ Έτσι η [] ίνει: Επομένως, ι κάθε < Επιλέουμε ένν κι, όπως πιν, έχουμε: Αφού ιθμός ξ με ξ τέτοιον, ώστε ν είνι, πό το θεώημ ενιμέσων τιμών έπετι ότι υπάχει Εξσφλίζετι επομένως η ύπξη ίζς της εξίσωσης Εάν υποθέσουμε πως η είνι νησίως φθίνουσ, τότε η είνι νησίως ύξουσ κι ικνοποιεί τη συνθήκη y y, ι κάθε, yr Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

34 6 Γι τη συνάτηση : R R ισχύει y, ι κάθε, yr, y όπου < < Αποείξτε ότι ) η είνι συνεχής κι ) η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μί πμτική ίζ, ) η ίζ της εξίσωσης () = είνι μονική κι ) η ίζ της εξίσωσης () = ίσκετι στο ιάστημ, ) Θ ποείξουμε χικά ότι η είνι συνεχής Ακεί ν ποείξουμε ότι είνι συνεχής στον τυχίο R Η [] ι κάθε R κι με τον στη θέση του y, ίνει ή Επειή lim lim lim ά, lim,, συμπείνουμε ότι που σημίνει πως η είνι συνεχής στο τυχίο R, ά είνι συνεχής σε όλο το R Πτήηση: την υπόθεση ίνετι ότι < < που όμως ως εώ εν το χειστήκμε [] ) Θέτουμε y = στην [] κι έχουμε: Ά ή Γι >, η εξιά ίνετι: Επιλέουμε ένν, ώστε [3] Μποούμε πάμτι ν ούμε ένν τέτοιο ιότι, ηλ κεί ν πιτήσουμε ν είνι ( Ποσοχή: με < < είνι > ) Είνι, κι η [3] ληθεύει ι κάθε > Ά στη μετλητή της [3] μποούμε ν ποώσουμε την τιμή, λμάνοντς Σελικά [] Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

35 Γι <, η ιστεή των [] ίνετι: Επιλέουμε τώ ένν ν ούμε ένν τέτοιο κεί ν πιτήσουμε ν είνι Απ την [4], με, ώστε ν είνι ιότι Μποούμε πάμτι κι συνεπώς στη θέση του, πίνουμε Αποείξμε λοιπόν πως υπάχουν κι, ά κι, ώστε ν είνι Θεωούμε τώ τη συνάτηση h με h, R, η οποί είνι συνεχής στο R κι ι την οποί είνι h κι h Λόω του θεωήμτος Bolzano, υπάχει ξ, R, με h ξ, ηλ ξ ξ που είνι το ζητούμενο ) Η μονικότητ ποεικνύετι εύκολ: Εάν υποθέσουμε ότι η εξίσωση () = πμτικοί, ξ ξ με ξ ξ κι ξ ξ ξ ξ ξ, έχει ύο ίζες, ηλ ότι υπάχουν ξ ξ, τότε ιοχικά έχουμε:, ξ ξ ξ, ξ ξ π την οποί κι με < <, ποκύπτει ότι ξ ξ Αποείξμε λοιπόν ότι εάν η εξίσωση () = έχει ύο ίζες, τότε υτές θ συμπίπτουν, εξσφλίζοντς έτσι κι τη μονικότητ ) Δικίνουμε πειπτώσεις ι τον (): Εάν () = τότε ξ = Εάν () > κι επιλέξουμε (λ την πόειξη του ()), θ έχουμε: Επομένως () > κι, ά, ξ,, [4] Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο

36 Εάν () < κι επιλέξουμε, έχουμε: Είνι λοιπόν () < κι, οπότε,,, ξ, υνεπώς σε κάθε πείπτωση, ο ξ ίσκετι στο ιάστημ, ημείωση: y Είμε ότι ι κάθε R κι ι τον τυχίο, πό την [] πίνουμε την, που ισούνμ άφετι ή Αυτό εωμετικά σημίνει ότι η φική πάστση της y = () ίσκετι στη σκισμένη πειοχή του ιπλνού σχήμτος, ηλ εντός του «ιπλού κώνου» που οίζουν οι ευθείες ( ) ( ) κι ( ) ( ), οι οποίες y ιέχοντι πό το σημείο, y=() (,()) y y () ( ) y ( ) ( ) Ππόπουλος Γ Βουούης Μθημτικά ι το Λύκειο