ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/ - Βαθµολογία µ. ΑΝΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ (κριτήριο σύγκλισης εναλλασσουσών σειρών). Υοθέτουµε ότι για την σειρά ( ) a ισχύουν: a a + για κάθε δεικτη,,. Τότε η σειρά συγκλίνει και για το άθροισµά της ισχύει S ( ) a a + S. ( ηλαδή, όταν ροσεγγίσουµε το άθροισµα της σειράς µε το µερικό άθροισµα των όρων µέχρι και τάξης, το σφάλµα ου ροκύτει δεν υερβαίνει τον όρο της εόµενης τάξης κατ αόλυτη τιµή). Παράδειγµα: Η σειρά ( ) + + + 4 συγκλίνει και όταν ροσεγγίσουµε το άθροισµά της µε το µερικό άθροισµα + 8 ( ) + + 4 9 + το σφάλµα είναι. (όχι και τόσο καλή εκτίµηση, ρέει να φτάσουµε µεχρι τον όρο µε 98 για να είµαστε βέβαιοι,σύµφωνα µε την εκτίµηση της ροτασης, ότι το σφάλµα είναι. ) ΠΡΟΤΑΣΗ (αραγώγιση και ολοκλήρωση δυναµοσειρών). Υοθέτουµε ότι f a, για < R. Τότε f ' a και β f d β a όου α, β ανήκουν στο ανοικτό διάστηµα σύγκλισης (-R, R). α d a ( ηλαδή είναι δυνατόν να αραγωγίσουµε και να ολοκληρώσουµε µία δυναµοσειρά όρο ρος όρο ). Η αραάνω ρόταση µας ειτρέει να βρίσκουµε τις αραγώγους και ολοκληρώµατα συναρτήσεων ου αρουσιάζονται σε µορφή δυναµοσειρών.
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Παραδειγµατα εφαρµογής: Αρχίζουµε µε την γνωστή δυναµοσειρά (άθροισµα αείρων όρων γεωµετρικής ροόδου ) (), για <, αό την οοία µε αντικατάσταση του αό το ροκύτει () + ( ), για <. Προσέξτε όµως ότι αό την () µε αραγώγιση ως ρος έχουµε το ανάτυγµα µίας άλλης συνάρτησης, δηλ. και στην συνέχεια αραγωγίζοντας ακόµα µια φορά έχουµε το ανάτυγµα της. Τέλος, συνδυάζοντας το ανάτυγµα της µε το + ίδιο ολλαλασιασµένο µε ροκύτει το ανάτυγµα της συνάρτησης (ένας τρόος για την αρχή της ασκησης 6 σελ.. Παρατηρείστε ότι το ανάτυγµα της και αό τον γενικό τύο για το διωνυµικό ανάτυγµα, σελ. 9-). ροκύτει Αό την () µε ολοκλήρωση στο διάστηµα αό µέχρι ροκύτει το ανάτυγµα για την λογαριθµική συνάρτηση + l( + ) ( ) (ένας τρόος για την άσκηση σελ.) + ΘΕΜΑ _α) [ µονάδες]) ώστε το ανάτυγµα σε σειρά Taylor για την συνάρτηση + γύρω αό το και στην συνέχεια έχοντας υ όψιν τον τύο (9.) σελ. 49 και την ΠΡΟΤΑΣΗ, βρείτε το ανάτυγµα σε δυναµοσειρά της συνάρτησης f ta γύρω αό το. Αό την σειρά, < +., < µε αντικατάσταση του µε το - έχουµε
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Στην συνέχεια, έχοντας υ όψιν τον τυο dt + t ta (ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ), ολοκληρώνουµε την σειρά όρο ρος όρο σύµφωνα µε την ΠΡΟΤΑΣΗ, οότε ροκύτει + ta ( dt ) t dt + t +. Στα εόµενα ερωτήµατα να χρησιµοοιηθούν τα ανατύγµατα σε δυναµοσειρές των συναρτησεων,si, cos (σελ. 7, 8) _β) [5 µονάδες]) ειξτε ότι i cos + isi και στην συνέχεια ότι i i + cos και i i si. i Εχοντας υ όψιν ότι έχουµε: i ( i)! ( i)!, cos ( ), ( )! + si,! (διάσαση σε άθροισµα αρτίων και εριττών τάξεων) ( i) + + ( )! (+ )! ( ) ( ) + ( i ) ( i ) + i ( )! (+ )! + + i cos + i si ()! ( + )! Οι υόλοιες ισότητες ροκύτουν αό το ότι i cos + i si( ) cos i si, οότε : i i i i + + i i cos άρα cos και i si άρα si i ( + ) i i
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ _γ) [5 µονάδες]) Να υολογισθούν σε µορφή σειράς (ροαντός µην ειχειρήσετε να βρείτε τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώµατα µε γνωστές µεθόδους) τα αρακάτω ολοκληρώµατα και να γίνει εκτίµηση του σφάλµατος όταν ροσεγγισθούν µε µερικά αθροίσµατα µέχρι όρο τάξης (σύµφωνα µε την ΠΡΟΤΑΣΗ ): d, si d. Αό την σειρά ου συγκλίνει για κάθε ραγµατική τιµή του µε ροφανή αντικατάσταση! έχουµε : ( )! ( ).! Ολοκληρώνοντας τα δύο µέλη στο διάστηµα αό µεχρι έχουµε λόγω της ρότασης : + d ( ) ( ) d!!( + ) ολοκλήρωµα δίδεται υό µορφή σειράς ως εξής: d!( + ) ισχύει η ανισότητα: ( ) και συνεώς το ζητούµενο. Τέλος για το σφάλµα της ροσέγγισης µε το µερικό άθροισµα d ( )!( + ) ( + )!(( + ) + ) Παρόµοια για το δεύτερο ολοκλήρωµα, ξεκινάµε αό την δυναµοσειρά si ( ) + ( + )! ( + )! ( + )! άρα το ανάτυγµα της συνάρτησης si/ δίνεται αό την δυναµοσειρά ( + )! όου για η συνάρτηση ορίζεται µε την τιµή του ορίου όταν το (ίση ρος ). Ολοκληρώνοντας στο διάστηµα αό µέχρι έχουµε λόγω της ρότασης : si d + + + ( ) ( ) (+ )(+ )! (+ )( )! + µε ανάλογη ροσέγγιση του µερικού αθροίσµατος όως ροηγουµένως. 4
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ _α) [µονάδες] Να υολογισθεί το ολοκλήρωµα αντικατάσταση). b d (l ), b > (µε κατάλληλη Ορίζουµε το ολοκλήρωµα I(, b) b d (l ) Με την αντικατάσταση ul, dud/, το ολοκλήρωµα µετατρέεται στο Το οοίο για τιµές του διάφορες του ισούται ρος l b du ( u) l, u u l b u l ((l b) (l ) ) /( ) u l b b. u l και για ρος l u l(l ) l(l ) _β) [ µονάδες ] Να βρεθούν όλες οι τιµές του για τις οοίες το γενικευµένο + ολοκλήρωµα d (l ) αραδείγµατος τής σελ.6). συγκλίνει (να ακολουθηθεί η διαδικασία όως στην αρχή του Στην ερίτωση όου είναι διάφορο του, το όριο όταν to b τείνει στο συν άειρο ισούται ρος lim [((l ) (l ) ) /] (l ) b /( ) + lim (l b) /( ), b + b + και εειδή lim (l b) +, συνάγουµε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει όταν > b + στην τιµή (l ) /( ) και αοκλίνει για <. Για, lim [l(l b) l(l )] +. b + Αρα το γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει για όλες τις τιµές > και µόνο για αυτές. γ) [ µονάδες ] Με χρήση του κριτηρίου του ολοκληρώµατος για την σύγκλιση σειρών (Θεώρηµα σελ. 6) να εξετασθεί για οιές τιµές του η σειρά (l ) συγκλίνει. 5
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Για την σύγκλιση της σειράς (l ),αρατηρούµε ότι: i) αν είναι αρνητικός, τότε η σειρά αοκλίνει καθώς ο γενικός όρος δεν τείνει στο µηδέν. ii)qν είναι µηδέν, τότε η σειρά αοκλίνει (αρµονική σειρά). Οότε θεωρούµε τις εριτώσεις για >. Για αυτές τις εριτώσεις θεωρούµε την συνάρτηση,. (l ) Η συνάρτηση αυτή είναι θετική και φθίνουσα (αφού η ρώτη αράγωγος είναι αρνητική) οότε µορούµε να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα (σελ 6) ου συνδέει την σύγκλιση της δοσµένης σειράς µε αυτή του ολοκληρώµατος της β). Το συµέρασµα είναι ότι η σειρά συγκλίνει µόνο για τις τιµές του µεγαλύτερες του. ΘΕΜΑ _α) [5 µονάδες] Να υολογισθεί (κάνοντας χρήση αραγοντικής ολοκλήρωσης) το ολοκλήρωµα Ι a si( b) d, όου a, b σταθερές. a a a I si ( b) d ( cos( b) ) a a d b cos( b) cos( b) d b b a a a a a a a cos ( b) (si ( b) ) d b b cos( b) si ( b) + a si ( b) d b b a a a a I cos( b) si ( b) I b b b Λύνοντας ως ρος Ι έχουµε: a I bcos b + asi b a + b ( ) + C _β) [ µονάδες] Να υολογισθούν (κάνοντας εανειληµµένα χρήση αραγοντικής ολοκλήρωσης) τα ολοκληρώµατα cos( b) d, si( b) d, όου b σταθερά. Αν b τότε το ρώτο ολοκλήρωµα ισούται ρος d + C και το δευτερο ρος µία σταθερά. Αν b είναι διάφορο του µηδενός τότε εργαζόµαστε µε αραγοντική ολοκλήρωση: 6
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ si si si ( b) ( b) ( b) cos b d d d b b b si ( b) d d b b b b b si b si b cos b ( ) cos( b) si cos si cos cos d + + d b b b b b b b b b b b b b si cosb si cos si + cos( b) d + + c b b b b b b b b b b b cos b cos b cos b si b d d d b b b + cos( b) d + d b b b b b cos b cos b si b cos b si b si b cos b si b + d + si ( b) d b b b b b b b + + c + + b b b b b b b cos b si b cos b cos b si b cos b + c _γ) [ µονάδες] Να ανατυχθεί σε σειρά Fourir η συνάρτηση f, <. (Χρησιµοοιείστε τους τύους.8-. σελ. 9, για τους συντελεστές Fourir). Ποιές είναι οι τιµές για και για της σειράς Fourir; Η σειρα Fourir δίνεται αό την αράσταση ( a cos + b si ) όου οι συντελεστές υολογίζονται µε την βοήθεια και της β) ως εξής: 8 a f d d 4 7
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ a f cos d cos d 4 si 4cos si 4 + b f si d si d cos si cos + + ( ) cos 4 si cos cos + + Αρα η σειρά Fourir της f έχει ως εξής: ( acos + bsi ) 4 4 4 + + si cos si 4 cos si Σύµφωνα µε την αράγραφο.4 του βιβλίου η σειρά Fourir της f για και 4 4 4 4 + cos() si() + 4 ( + ) + ( ) / συγκλίνει στην τιµή ( f( + ) + f( ))/ ( f f ) Αρα 4 4 + δηλαδη. 6 ΘΕΜΑ 4 4_α) [5 µονάδες] Να υολογισθεί το ορισµένο ολοκλήρωµα ( ) d. είξτε ότι µε αευθείας χρήση των κανόνων ολοκλήρωσης ροκύτει Ι -. Αυτό όµως είναι λάθος (γιατί;). Χρησιµοοιώντας τη θεωρία της αρ.. του βιβλίου βρείτε το σωστό αοτέλεσµα. Προχωρώντας αφελώς στην αντικατάσταση u, d du και την αντίστοιχη αλλαγή στα όρια ολοκλήρωσης για, u και για, u, έχουµε ( ) + u d du u du, u + u 8
ΛΥΣΕΙΣ ΠΛΗ-.5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ ράγµα εντελώς αραδοξο για το ολοκλήρωµα µιάς θετικής συνάρτησης στο διάστηµα αό µεχρι (!) Όµως το (, ) είναι ανώµαλο σηµείο της συνάρτησης ( ) Οότε ακολουθούµε τον ορισµό γενικευµένου ολοκληρώµατος: εειδή Ε lim +. ( ) d d + d lim d + lim d + E + E ( ) ( ) ( ) Ε + ( ) + ( ) lim + E + lim ( ) E + ( ) lim + lim + E + E E + + E + E E lim + lim E + E E + E + + + 4_β) [ µονάδες] Να υολογισθεί ο όγκος του σχήµατος ου ροκύτει αν εριστρέψουµε τη συνάρτηση y γύρω αό τον άξονα των αό ως (βλ. αρ.. του βιβλίου). Σύµφωνα µε τον τύο (.) σελ. 76 ο ζητούµενος όγκος υολογίζεται ως εξής: + + V ( ) d d.το αόριστο ολοκλήρωµα d υολογίζεται εύκολα µε διαδοχικές αραγοντικές ολοκληρώσεις d ( + + ) + C 4 Οότε το γενικευµένο ολοκλήρωµα + + d ( + + ) lim( ( + + ))-(- ) και ο ζητούµενος όγκος 4 + 4 4 4 ισούται ρος 4. ΤΕΛΟΣ 9