Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι στοιχεί ή μέλη του συόλου πράδειγμ: με Ν συμολίζουμε το σύολο τω φυσικώ ριθμώ, με Ζ το σύολο τω κερίω ριθμώ, με Q το σύολο τω ρητώ ριθμώ κι με R το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ. Τ σύμολ κι Γι δηλώσουμε ότι το x είι στοιχείο του συόλου Α, γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x ήκει στο Α», εώ γι δηλώσουμε ότι το x δε είι στοιχείο του συόλου Α γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x δε ήκει στο Α». Πράστση συόλου Γι πρστήσουμε έ σύολο χρησιμοποιούμε συήθως έ πό τους πρκάτω τρόπους: ) Ότ δίοτι όλ τ στοιχεί του κι είι λίγ σε πλήθος, τότε γράφουμε τ στοιχεί υτά μετξύ δύο γκίστρω, χωρίζοτς τ με το κόμμ κι λέγετι «πράστση του συόλου με γρφή τω στοιχείω του». ) Α πό έ σύολο Ω επιλέγουμε εκεί τ στοιχεί του, που έχου μι ορισμέη ιδιότητ Ι, τότε φτιάχουμε έ έο σύολο που συμολίζετι με:{x Ω x έχει τη ιδιότητ Ι} κι διάζετι «Το σύολο τω x D, όπου x έχει τη ιδιότητ Ι». Ο πρπάω τρόπος πράστσης εός συόλου λέγετι «πράστση του συόλου με περιγρφή τω στοιχείω του». Ίσ σύολ Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ έχου τ ίδι κριώς στοιχεί. Με άλλ λόγι: «Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β κι τιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είι κι στοιχείο του Α». Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α = Β. Υποσύολ συόλου

Έ σύολο Α λέγετι υποσύολο εός συόλου Β, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β. Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α Β. Άμεσες συέπειες του ορισμού είι οι: i) Α Α, γι κάθε σύολο Α. ii) Α Α Β κι Β Γ, τότε Α Γ. iii) Α Α Β κι Β Α, τότε Α = Β. Το κεό σύολο Κεό σύολο είι το σύολο που δε έχει στοιχεί κι συμολίζετι με ή { }. Διγράμμτ Venn Μι εποπτική προυσίση τω συόλω κι τω μετξύ τους σχέσεω γίετι με τ διγράμμτ Venn. Το σικό σύολο συμολίζετι με το εσωτερικό εός ορθογωίου, εώ κάθε υποσύολο εός σικού συόλου πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό του ορθογωίου. Α Α Β, τότε το Α πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό της κλειστής κμπύλης που πριστάει το Β. Πράξεις με σύολ Έωση δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που

ήκου τουλάχιστο σε έ πό τ σύολ Α κι Β κι συμολίζετι με Α Β. Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Τομή δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που ήκου κι στ δύο σύολ Α, Β κι συμολίζετι με Α Β Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Στη περίπτωση που δύο σύολ Α κι Β δε έχου κοιά στοιχεί, δηλδή ότ Α Β =, τ δύο σύολ λέγοτι ξέ μετξύ τους. Συμπλήρωμ εός υποσυόλου Α εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που δε ήκου στο Α κι συμολίζετι με Α. Δηλδή είι: Α = {x Ω x Α} ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείρμ τύχης (random experiment) οομάζετι το πείρμ του οποίου δε μπορούμε εκ τω προτέρω προλέψουμε το ποτέλεσμ, μολοότι επλμάετι (φιομεικά τουλάχιστο) κάτω πό τις ίδιες συθήκες. Δειγμτικός ΧώροςΤο σύολο τω δυτώ ποτελεσμάτω λέγετι δειγμτικός χώρος (sample space) κι συμολίζετι συήθως με το γράμμ Ω. Α δηλδήω 1,ω,...,ω κ είι τ δυτά ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης, τότε ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος θ είι το σύολο:ω={ω 1,ω,...,ω κ }.

Εδεχόμε Το σύολο που έχει ως στοιχεί έ ή περισσότερ ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης λέγετιεδεχόμεο (event) ή γεγοός. Ο ίδιος ο δειγμτικός χώρος Ω εός πειράμτος θεωρείτι ότι είι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστ πργμτοποιείτι πάτοτε, φού όποιο κι είι το ποτέλεσμ του πειράμτος θ ήκει στοω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο εδεχόμεο. Δεχόμστε κόμ ως εδεχόμεο κι το κεό σύολο που δε πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος τύχης. Γι υτό λέμε ότι το είι το δύτο εδεχόμεο. Το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου Α θ το συμολίζουμε με N(Α) Πράξεις με Εδεχόμε Α κι Β είι δύο εδεχόμε, έχουμε: Το εδεχόμεο A B, που διάζετι Α τομή Β ή Α κι Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιούτι συγχρόως τ Α κι Β. Το εδεχόμεο Α Β, που διάζετι Α έωση Β ή Α ή Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιείτι έ τουλάχιστο πό τ Α, Β. Το εδεχόμεο A', που διάζετι όχι Α ή συμπληρωμτικό του Α κι πργμτοποιείτι, ότ δε πργμτοποιείτι το Α. Το A' λέγετι κι τίθετο του Α. Το εδεχόμεο A - B, που διάζετι διφορά του Β πό το Α κι πργμτοποιείτι, ότ

πργμτοποιείτι το Α λλά όχι το Β. Είι εύκολο δούμε ότι A-B = A B'. Διάφορες σχέσεις γι εδεχόμε Α κι Β διτυπωμέες στη κοιή γλώσσ, κι διτυπωμέες στη γλώσσ τω συόλω. Το εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α Το εδεχόμεο Α δε πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α' (ή ω Α) Έ τουλάχιστο πό τ Α κι Β πργμτοποιείτι Συμολικά ω A B Πργμτοποιούτι μφότερ τ Α κι Β Συμολικά ω A B Δε πργμτοποιείτι κέ πό τ Α κι Β Συμολικά ω (Α Β)' Πργμτοποιείτι μόο το Α Συμολικά ω A - B (ή ω A B ') Η πργμτοποίηση του Α συεπάγετι τη πργμτοποίηση του Β Συμολικά Α B Ασυμίστ Εδεχόμε Δύο εδεχόμε Α κι Β λέγοτι συμίστ, ότ A B=. Δύο συμίστ εδεχόμε λέγοτι επίσης ξέ μετξύ τους ή μοιίως ποκλειόμε.

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κλσικός Ορισμός Πιθότητς σε έ πείρμ με ισοπίθ στοιχειώδη ποτελέσμτ ορίζουμε ως πιθότητ του εδεχομέου Α το ριθμό: Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσ ότι: 3. Γι κάθε εδεχόμεο Α ισχύει 0 P(A) 1, φού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είι ίσο ή μικρότερο πό το πλήθος τω στοιχείω του δειγμτικού χώρου. Κόες Λογισμού τω Πιθοτήτω 1. Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους εδεχόμε Α κι Β ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N(A)=κ κι N(Β)=λ, τότε το Α Β έχει κ+λ στοιχεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτ συμίστ. Δηλδή, έχουμε N(A Β)=κ+λ= N(A)+N(Β). Ν(A Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Επομέως: Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως πλός προσθετικός όμος (simply additive law) κι ισχύει κι γι περισσότερ πό δύο εδεχόμε. Έτσι, τ εδεχόμε Α, Β κι Γ είι ά δύο συμίστ θ έχουμε P(A B Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ).. Γι δύο συμπληρωμτικά εδεχόμε Α κι Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A) ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A A'=, δηλδή τ Α κι A' είι συμίστ, έχουμε διδοχικά, σύμφω με το πλό προσθετικό όμο:p(a A')=P(A)+P(A') άρ P(Ω)=P(A)+P(A') άρ 1=P(A)+P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). 3. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι δυο εδεχόμε Α κι Β έχουμε N(A B)=N(A)+N(B)-N(A B), (1) φού στο άθροισμ N(A)+N(B) το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζετι δυο φορές. Α διιρέσουμε τ μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε: κι επομέωςp(a B)=P(A)+P(B)-P(A B) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως προσθετικός όμος (additive law). 4. Α A B, τότε P(A) P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A B έχουμε διδοχικά:

N(A) N(B) N(A) N(Ω) N(Β) N(Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) 5. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει:p(a-b)=p(a)- P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ εδεχόμε A-B κι A B είι συμίστ κι (A-B) (A B)=A, έχουμε:p(a)=p(a- B)+P(A B) Άρ P(A-B)=P(A)-P(A B) ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τουςάρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με τ σημεί εός άξο, του άξο τω πργμτικώ ριθμώ. Θυμίζουμε ότι: Κάθε ρητός ριθμός έχει (ή μπορεί πάρει) κλσμτική μορφή, δηλδή τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. Κάθε ρητός ριθμός μπορεί γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, τιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός μπορεί πάρει κλσμτική μορφή. Μπορούμε δηλδή πούμε ότι οι ρητοί ριθμοί ποτελούτι πό τους δεκδικούς κι τους περιοδικούς δεκδικούς ριθμούς. Οι ριθμοί που δε μπορού γρφού με τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0 κι δηλ. ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί λέγοτι άρρητοι ριθμοί. Πράξεις Στους πργμτικούς ριθμούς ορίστηκ οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι, με τη οήθειά τους, η φίρεση κι η διίρεση. Γι τη πρόσθεση κι το πολλπλσισμό ισχύου οι ιδιότητες που φέροτι στο επόμεο πίκ, οι οποίες κι ποτελού τη άση του λγερικού λογισμού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισμός Ατιμετθετική + = + =

Προσετιριστική + ( + γ) = ( + ) + γ (γ) = ()γ Ουδέτερο Στοιχείο + 0 = 1 = Ατίθετος/Ατίστροφος Αριθμού + (-) = 0 = 1, 0 Επιμεριστική ( + γ) = + γ Η φίρεση κι η διίρεση ορίζοτι με τη οήθει της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού τιστοίχως ως εξής: - = + (-) Γι τις τέσσερις πράξεις κι τη ισότητ ισχύου κι οι κόλουθες ιδιότητες που είι γωστές πό το Γυμάσιο: 1. ( = κι γ = δ ) + γ = + δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις προσθέσουμε κτά μέλη.. ( = κι γ = δ) γ = δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη. 3. = + γ = + γ δηλδή, μπορούμε κι στ δυο μέλη μις ισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε το ίδιο ριθμό. 4. Α γ 0, τότε: = γ = γ δηλδή, μπορούμε κι τ δυο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο μη μηδεικό ριθμό. 5. = 0 = 0 ή = 0 δηλδή, το γιόμεο δύο πργμτικώ ριθμώ είι ίσο με το μηδέ, κι μόο ές τουλάχιστο πό τους ριθμούς είι ίσος με το μηδέ. Άμεση συέπει της ιδιότητς υτής είι η κόλουθη: 0 0 κι 0 Δυάμεις Α ο είι πργμτικός ριθμός κι ο φυσικός, τότε ορίζουμε :

=, γι >1 κι 1 =, γι = 1. πράγοτες Α επιπλέο είι 0, τότε ορίζουμε : 0 1 = 1 κι Αξιοσημείωτες τυτότητες ( + ) = + + ( - ) = - + - = ( + ) ( - ) ( + ) 3 = 3 + 3 + 3 + 3 ( - ) 3 = 3-3 + 3-3 3 + 3 =( + ) ( - + ) 3-3 =( - ) ( + + ) ( + + γ ) = + + γ + - γ + γ Μέθοδοι πόδειξης Α) Ευθεί Απόδειξη 1 o ) Έστω ότι γι τρεις πργμτικούς ριθμούς, κι γ ισχύει η συθήκη + + γ = 0 κι θέλουμε ποδείξουμε ότι 3 + 3 + γ 3 = 3γ, δηλδή έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε τη συεπγωγή:«α + + γ = 0, τότε 3 + 3 + γ 3 = 3γ». Επειδή + + γ = 0, είι = -( + γ), οπότε θ έχουμε: 3 + 3 + γ 3 = [-( + γ)] 3 + 3 + γ 3 = -( + γ ) 3 + 3 + γ 3 = - 3-3 γ - 3γ - γ 3 + 3 + γ 3 = - 3 o ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός είι ληθής, μερικές φορές με διδοχικούς μετσχημτισμούς κτλήγουμε σε έ λογικά ισοδύμο ισχυρισμό που είι ληθής. Έτσι συμπερίουμε ότι κι ο ρχικός ισχυρισμός είι ληθής. 3 ο ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός δε είι πάτ ληθής, ρκεί ρούμε έ πράδειγμ γι το οποίο ο συγκεκριμέος ισχυρισμός δε ισχύει ή, όπως λέμε, ρκεί ρούμε έτιπράδειγμ. Έτσι ο ισχυρισμός «γι κάθε >0 ισχύει 1 1 >» δε είι ληθής, φού γι έχουμε, δηλδή <. 4 Β) Μέθοδος της Απγωγής σε Άτοπο Έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε το ισχυρισμό: «Α το τετράγωο εός κερίου ριθμού είι άρτιος, τότε κι ο ριθμός υτός είι άρτιος», δηλδή «Α ο είι άρτιος ριθμός, τότε κι ο είι άρτιος ριθμός» Γι τη πόδειξη του ισχυρισμού υτού σκεπτόμστε ως εξής: Έστω ότι ο δε είι άρτιος. Τότε ο θ είι περιττός, δηλδή θ έχει τη μορφή = κ + 1, όπου κ κέριος, οπότε θ έχουμε: = ( κ + 1) = 4κ + 4κ + 1 =(κ + κ) + 1 = λ + 1 (όπου λ = κ + κ). Δηλδή = λ + 1, λ Ζ, που σημίει ότι ο είι περιττός. Αυτό όμως έρχετι σε τίθεση με τη υπόθεση ότι ο είι άρτιος. Επομέως, η πρδοχή ότι δε είι άρτιος είι λθσμέη. Άρ ο είι άρτιος. Στη πρπάω πόδειξη υποθέσμε ότι δε ισχύει υτό που θέλμε ποδείξουμε κι χρησιμοποιώτς ληθείς προτάσεις φθάσμε σε έ συμπέρσμ που έρχετι σε τίθεση με υτό που γωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκμε όπως λέμε σε άτοπο. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Έοι της διάτξης ΟΡΙΣΜΟΣ Ές ριθμός λέμε ότι είι μεγλύτερος πό έ ριθμό, κι γράφουμε >, ότ η διφορά - είι θετικός ριθμός. Στη περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είι μικρότερος του κι γράφουμε < Από το πρπάω ορισμό προκύπτει μέσως ότι: Κάθε θετικός ριθμός είι μεγλύτερος πό το μηδέ. Κάθε ρητικός ριθμός είι μικρότερος πό το μηδέ. Έτσι ο ρχικός ορισμός γράφετι ισοδύμ: > - > 0 Γεωμετρικά η ισότητ > σημίει ότι, πάω στο άξο τω πργμτικώ ο ριθμός είι δεξιότερ πό το. Α γι τους ριθμούς κι ισχύει > ή =, τότε γράφουμε κι διάζουμε: «μεγλύτερος ή ίσος του». Ιδιότητες τω ισοτήτω 1. (>0 κι >0) + > 0 κι ( < 0 κι < 0) + < 0., ομόσημοι > 0 0 > 0 κι, ετερόσημοι < 0 0 3. 0, γι κάθε R (Η ισότητ ισχύει μόο ότ = 0) Άρ 0 = 0 κι = 0 κι 0 0 ή 0 4. ( > κι > γ) > γ 5. > + γ > + γ

6. Α γ > 0, τότε: > γ > γ 7. Α γ < 0, τότε: > γ < γ 8. ( > κι γ > δ ) + γ > + δ 9. Γι θετικούς ριθμούς,, γ, δ ισχύει η συεπγωγή: ( > κι γ > δ ) γ > δ 10. Γεικότερ ( 1 > 1 κι > κι κι > ) 1 + +... + > 1 + +... + 11. Α, επιπλέο, τ μέλη τω ισοτήτω είι θετικοί ριθμοί, τότε: ( 1 > 1 κι > κι κι > ) 1... > 1... (*) 1. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > > ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω >. Τότε, πό τη (*), γι 1 = =... = = > 0 κι 1 = =... = = > 0,προκύπτει ότι: >. Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι > κι. Τότε: ήτ =, πό το ορισμό της ισότητς θ είχμε = (άτοπο), εώ ήτ <, θ είχμε < (άτοπο). Άρ, >. 13. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: = = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω =. Τότε, πό το ορισμό της ισότητς προκύπτει, όπως είπμε κι προηγουμέως, ότι = Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι = κι. Τότε: ήτ >, λόγω της (4), θ είχμε > (άτοπο), εώ ήτ <, λόγω της (4), θ είχμε < (άτοπο). Άρ, =.

Διστήμτ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x [, ) < x (, ] < x (, ) x [, + ) x > (, + ) x (-, ] x < (-, ) ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι ορίζετι πό το τύπο: Δηλδή: Η πόλυτη τιμή θετικού ριθμού είι ο ίδιος ο ριθμός. Η πόλυτη τιμή ρητικού ριθμού είι ο τίθετός του. 0 = 0 Ιδιότητες τω πόλυτω τιμώ 1. = - 0. κι - 3. Α θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ

4. x = x = ή x = - 5. = 6. = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς = είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: = = ( ) = ( ) =,που ισχύει. 7. 8. + + ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς + < + είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: + + + ( + ) ( + ) + + + + + +, που ισχύει. Είι φερό ότι η ισότητ = ισχύει κι μόο 0, δηλδή κι μόο οι ριθμοί κι είι ομόσημοι ή ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με μηδέ. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ = ισχύει κι γι περισσότερους πράγοτες. Συγκεκριμέ: 1... = 1... Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = =, έχουμε: = Η ισότητ + + ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέ: 1 + +... + 1 + +... + Απόστση δυο ριθμώ Aς θεωρήσουμε δυο ριθμούς κι που πριστάοτι πάω στο άξο με τ σημεί Α κι Β τιστοίχως. Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι, συμολίζετι με d(,) κι είι ίση με -. Είι δηλδή: d (, ) = - Προφώς ισχύει d (, ) = d (, ). Στη περίπτωση μάλιστ που είι <, τότε η πόστση τω κι είι ίση με - κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. Μέσο τμήμτος Ας θεωρήσουμε τώρ έ διάστημ [, ] κι ς οομάσουμε Α κι Β τ σημεί που

πριστάου στο άξο τ άκρ κι τιστοίχως. Α Μ (x 0 ) είι το μέσο του τμήμτος AB, τότε έχουμε (MA) = (MB) d(x 0, ) = d(x 0, ) x 0 - = x 0 - x 0 - = - x 0, (φού < x 0 <) x 0 = + x 0 Ο ριθμός που τιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέτρο του διστήμτος [, ] ο ριθμός ρ λέγετι κτί του [, ]. Ως μήκος, κέτρο κι κτί τω διστημάτω (, ), [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέτρο κι τη κτί του διστήμτος [, ]. Γεικά: Γι x 0 R κι ρ>0, ισχύει: x - x 0 <ρ x (x 0 - ρ, x 0 + ρ) x 0 - ρ<x<x 0 + ρ Δηλδή, οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x -x 0 <ρ είι τ σημεί του διστήμτος (x 0 - ρ, x 0 + ρ) που έχει κέτρο το x 0 κι κτί ρ. Στη ειδική περίπτωση που είι x 0 = 0, έχουμε: x <ρ x (-ρ, ρ) -ρ<x<ρ. Γι πράδειγμ x < x (-, ) -<x<. Έστω, τώρ, ότι θέλουμε ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισχύει x - 3 >.

Από το ορισμό της πόστσης έχουμε: x - 3 > d (x,3)> x < 3 - ή x > 3 + x (-, 3 - ) (3 +, + ). Γεικά:Γι x 0 R κι ρ>0,ισχύει: x - x 0 <ρ x (-, x 0 - ρ) (x 0 + ρ, + ) x<x 0 - ρ ή x>x 0 + ρ Δηλδή οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x - x 0 >ρ τιστοιχού σε σημεί Μ(x) του άξο x x που πέχου πό το σημείο Κ(x 0 ) πόστση μεγλύτερη του ρ. Στη ειδική περίπτωση που είι x 0 = 0, έχουμε: x >ρ x<-ρ ή x>ρ Γι πράδειγμ: x > x<- ή x>. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετργωική ρίζ μη ρητικού ριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ H τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στο τετράγωο, δίει το. Άρ >0, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες -οστή ρίζ μη ρητικού ριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ

Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με ρητικός ριθμός(1) που, ότ υψωθεί στη, δίει το. κι είι ο μη Ορίζουμε Άρ 0, τότε η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες τω ριζώ 1. Α 0, τότε: κι. Α 0 κι άρτιος, τότε: Α, 0, τότε: 3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: ισχύει. 4. κι με 0 5. μ μ μ μ μ μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 6. ρ μρ μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 7. γι μη ρητικούς ριθμούς 1,,..., κ ισχύει: 8. Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = κ = >0, ισχύει: μ μ μ μ που που ισχύει 9. γι, 0 έχουμε Δυάμεις με ρητό εκθέτη ΟΡΙΣΜΟΣ Α >0, μ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Με τη οήθει τω ιδιοτήτω τω ριζώ ποδεικύετι ότι οι ιδιότητες τω δυάμεω με κέριο εκθέτη ισχύου κι γι δυάμεις με ρητό εκθέτη. Η Εξίσωση x + = 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α) x + = 0 x + - = - x = - Δικρίουμε τώρ τις περιπτώσεις:

Α 0 τότε: x = - Άρ, 0 η εξίσωση έχει κριώς μί λύση, τη. Α = 0, τότε η εξίσωση x = - γίετι 0x = -, η οποί: i. είι 0 δε έχει λύση κι γι υτό λέμε ότι είι δύτη, εώ ii. είι = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργμτικό ριθμό x δηλδή είι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x + = 0 κι γεικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής. Β) Α οι συτελεστές κι της εξίσωσης x + = 0 εκφράζοτι με τη οήθει γρμμάτω τότε τ γράμμτ υτά λέγοτι πράμετροι, η εξίσωση λέγετι πρμετρική κι η εργσί που κάουμε γι τη εύρεση του πλήθους τω ριζώ της λέγετι διερεύηση. 3.1 Εξισώσεις που άγοτι σε εξισώσεις 1ου θμού Με πργοτοποίηση μορφής ( 1 χ+ 1 ) ( χ+ ) ( 3 χ+ 3 ) ( χ+ ) =0 οπότε ( 1 χ+ 1 ) =0 ή ( χ+ ) =0 ή ( 3 χ+ 3 ) =0 ή ή ( χ+ ) =0 Κλσμτικές Με πόλυτες τιμές της μορφής f(x) = g(x) Οπότε λύουμε τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) κι της μορφής f(x) = g(x) Οπότε με g(x) 0 συληθεύουμε με τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) Η ΕΞΙΣΩΣΗ x = Η εξίσωση x =, με >0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη Η εξίσωση x =, με <0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη - Η εξίσωση x =, με >0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, έχει κριώς δύο λύσεις τις κι - Η εξίσωση x =, με <0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, είι δύτη Α ο περιττός τότε η εξίσωση x = έχει μοδική λύση, τη x = Α ο άρτιος τότε η εξίσωση x = έχει δύο λύσεις, τις x 1 = κι x = -. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 (1) Έχουμε: διιρούμε με που είι 0 χ χ γ 0 χ γ χ 0 χ 4γ 4 χ γ χ χ γ χ χ χ χ 4 4 Α θέσουμε Δ = Δ - 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση γίετι: χ () 4 Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: γ Α Δ> 0, τότε έχουμε:

δηλδή Επομέως η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμή της (1), έχει δύο λύσεις άισες τις: Γι συτομί οι λύσεις υτές γράφοτι. Α Δ = 0, τότε η εξίσωση () γράφετι: χ 0 χ χ 0 χ 0 ή χ 0 χ ή χ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζ τη χ Α Δ<0, τότε η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμή της (1), δε έχει πργμτικές ρίζες, δηλδή είι δύτη στο R. Η λγερική πράστση Δ = - 4γ, πό τη τιμή της οποίς εξρτάτι το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης x + x + γ = 0, 0, οομάζετι δικρίουσ υτής. Τ πρπάω συμπεράσμτ συοψίζοτι στο κόλουθο πίκ: Δ = - 4γ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άισες τις Δ = 0 Έχει μι διπλή ρίζ τη Δ < 0 Είι δύτη στο R. τύποι Vieta Α με S συμολίσουμε το άθροισμ x 1 + x κι με P το γιόμεο x 1 x, τότε έχουμε τους τύπους: Η εξίσωση x + x + γ = 0, με τη οήθει τω τύπω του Vieta, μετσχημτίζετι ως εξής: διιρούμε με που είι 0 γ χ χ γ 0 χ χ 0 χ (χ1 χ )χ χ1χ 0 χ Sχ P 0

Η τελευτί μορφή της εξίσωσης x + x + γ = 0 μς δίει τη δυτότητ τη κτσκευάσουμε, ότ γωρίζουμε το άθροισμ κι το γιόμεο τω ριζώ της. Εξισώσεις που άγοτι σε εξισώσεις ου θμού Μορφής (f(χ)) + f (χ) +γ=0 με 0 που γίετι f (χ) + f (χ) +γ=0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το f (χ) Κλσμτικές Μορφής (f(x)) + (f(x)) + γ = 0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το f(x) Διτετράγωες μορφής (f(x)) + (f(x)) + γ = 0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το (f(x)) Οι ισώσεις: x + >0 κι x + <0 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ x + > 0 x + - >- x >- Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: χ Α >0, τότε: χ χ χ Α <0, τότε: χ χ Προσοχή λλάζει η φορά Α = 0, τότε η ίσωση γίετι 0x>-, η οποί ληθεύει γι κάθε x R, είι >0, είι δύτη, είι <0. Αισώσεις με πόλυτες τιμές με τη οήθει της ιδιότητς x < ρ -ρ < x < ρ ή της x - x ο <ρ x ο - ρ<x<x ο + ρ με τη οήθει της ιδιότητς x > ρ x < -ρ ή x > ρ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Μορφές τριωύμου Η πράστση x + x + γ, 0 λέγετι τριώυμο ου θμού ή, πιο πλά, τριώυμο. Η δικρίουσ Δ της τίστοιχης εξίσωσης x + x + γ = 0 λέγετι κι δικρίουσ του τριωύμου. Οι ρίζες της

εξίσωσης x + x + γ = 0, δηλδή οι οομάζοτι κι ρίζες του τριωύμου. Το τριώυμο x + x + γ, 0 μετσχημτίζετι ως εξής: 4 4γ χ 4 γ 4 χ χ ) γ χ (χ γ χ χ Επομέως: 4 Δ χ γ χ χ (1) Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Δ>0. Τότε ισχύει, οπότε έχουμε: Δ χ Δ χ Δ χ Δ χ Δ χ 4 Δ χ γ χ χ Επομέως: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου. Άρ, ότ Δ>0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί δύο πρωτοάθμιους πράγοτες. Δ = 0. Τότε πό τη ισότητ (1) έχουμε: χ γ χ χ Άρ, ότ Δ = 0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί έ τέλειο τετράγωο. Δ<0. Τότε ισχύει Δ = -Δ, οπότε έχουμε: 4 Δ χ γ χ χ Επειδή γι κάθε x R, η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική, το τριώυμο δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω. Πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου Γι μελετήσουμε το πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου x + x + γ, 0, θ χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του άλογ με τη δικρίουσ. Α Δ>0, τότε, όπως είδμε προηγουμέως, ισχύει: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου Υποθέτουμε ότι x 1 <x κι τοποθετούμε τις ρίζες σε έ άξο. Πρτηρούμε ότι: Α x < x 1 < x (Σχήμ), τότε x - x 1 < 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του. Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) < 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ετερόσημο του

Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x > 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του Α Δ = 0, τότε ισχύει: χ χ γ χ Επομέως, το τριώυμο είι ομόσημο του γι κάθε πργμτικό χ, εώ μηδείζετι γι χ Δ Α Δ<0, τότε ισχύει: χ χ γ χ 4 Όμως η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική γι κάθε πργμτικό ριθμό x. Επομέως το τριώυμο είι ομόσημο του σε όλο το R. Τ πρπάω συοψίζοτι στο πίκ: Το τριώυμο x + x + γ, 0 γίετι: Ετερόσημο του, μόο ότ είι Δ>0 κι γι τις τιμές του x, που ρίσκοτι μετξύ τω ριζώ. Μηδέ, ότ η τιμή του x είι κάποι πό τις ρίζες του τριωύμου. Ομόσημο του σε κάθε άλλη περίπτωση. Αρ γι είι έ τριώυμο θετικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι >0 γι είι έ τριώυμο ρητικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι <0 Αισώσεις της μορφής χ + χ + γ > 0 ή χ + χ + γ < 0 Βρίσκουμε το πρόσημο του τριωύμου χ + χ + γ κι κρτάμε το διάστημ στο οποίο γίετι >0 ή <0 τίστοιχ Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες Γεικά κολουθί πργμτικώ ριθμώ είι μι τιστοίχιση τω φυσικώ ριθμώ 1,,3,,, στους πργμτικούς ριθμούς. Ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με 1, ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο κλείτιδεύτερος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με κ.λ.π. Γεικά ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ές φυσικός ριθμός κλείτι -οστός ή γεικός όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με. Δηλδή, 1 1,, 3 3,,, Τη κολουθί υτή τη συμολίζουμε ( ). Ακολουθίες που ορίζοτι δρομικά γι ορίζετι μι κολουθί δρομικά, πιτείτι γωρίζουμε: i. Το δρομικό της τύπο πχ + = +1 + κι ii. Όσους ρχικούς όρους μς χρειάζοτι, ώστε ο δρομικός τύπος ρχίσει δίει όρους. 5. Αριθμητική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθμού. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με ω κι το λέμε διφορά της προόδου. Επομέως, η κολουθί () είι ριθμητική πρόοδος με διφορά ω, κι μόο ισχύει:

O ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είι = 1 +(-1)ω Απόδειξη Από το ορισμό της ριθμητικής προόδου έχουμε: Προσθέτοτς κτά μέλη της υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής ρίσκουμε = 1 +(-1)ω Αριθμητικός μέσος Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω, τότε ισχύει: Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ ισχύει τότε έχουμε που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ο λέγετι ριθμητικός μέσος τω κι γ Αποδείξμε λοιπό ότι: Τρεις ριθμοί,,γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ισχύει Άθροισμ διδοχικώ όρω ριθμητικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω ριθμητικής προόδου () με διφορά ω είι 5.3 Γεωμετρική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με λ κι το λέμε λόγο της προόδου. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ( ) υποθέτουμε πάτ ότι 1 # 0, οπότε, φού είι κι λ 0, ισχύει 0 γι κάθε v N *. Επομέως, η κολουθί ( ) είι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, κι μόο ισχύει: Ο ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είι = 1 λ -1 Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη τις υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της της διγρφής, ρίσκουμε = 1 λ -1 Γεωμετρικός μέσος Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ 0 ισχύει = γ, τότε που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι μις γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός ριθμός λέγετι γεωμετρικός μέσος τω κι γ. Αποδείξμε λοιπό ότι: Τρεις μη μηδεικοί ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, κι μόο ισχύει = γ Άθροισμ διδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω μις γεωμετρικής προόδου () με λόγο λ 1 είι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (1) Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της (1) με το λόγο λ κι έχουμε () Αφιρούμε πό τ μέλη της () τ μέλη της (1) κι έχουμε: Επομέως, φού λ 1, έχουμε: Πρτήρηση: Στη περίπτωση που ο λόγος της προόδου είι λ-1, τότε το άθροισμ τω όρω της είι S v = 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είι ίσοι με 1.