ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = = Επομένως, για τον έλεγχο της υπόθεης H : = ή της υπόθεης H : έναντι της υπόθεης H 1 : < 439 * n = Χn 1 ε επίπεδο ημαντικότητας α, θα απορρίπτουμε την Η αν για την τιμή Χ της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου κάτω από την Η έχουμε ότι * n ( n 1) Χ < Χ n 1,α Αντίτοιχα, για τον έλεγχο της υπόθεης H : = ή της H : έναντι της υπόθεης H 1 : > ε επίπεδο ημαντικότητας α, θα απορρίπτουμε την Η αν Χ ( n 1) * n > Τέλος, για τον έλεγχο της υπόθεης Χ n 1,α/

έναντι της υπόθεης H : = H 1 : θα απορρίπτουμε την Η ε επίπεδο ημαντικότητας α, αν Χ < Χ ή αν Χ < n 1,α/ 44 Χ n 1,1 α/ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όπως είδαμε και την περίπτωη της μελέτης ενός πληθυμού, η υμπεραματολογία για την διακύμανη παίζει βαικό ρόλο ε πάρα πολλά πρακτικά προβλήματα. Τα επιτημονικά όργανα, για παράδειγμα, θα πρέπει να δίνουν πολύ ακριβείς μετρήεις με πάρα πολύ μικρό λάθος μετρήεων. Το μηχάνημα που μετρά το ύψος ενός αεροπλάνου θα έχει πολύ μικρή αξία αν οι μετρήεις που δίνει μπορεί να έχουν πολύ μεγάλη απόκλιη από το πραγματικό ύψος. Η ανάγκη ύγκριης των διακυμάνεων, δύο πληθυμών μπορεί να γίνει ακόμη περιότερο προφανής. Πολλές φορές, χρειαζόματε να υγκρίνουμε την ακρίβεια κάποιου μηχανιμού μέτρηης ε χέη με την ακρίβεια κάποιου άλλου μηχανιμού ή την ταθερότητα μιας διαδικαίας κατακευής ε χέη με μια άλλη ή ακόμα την απόκλιη την βαθμολόγηη των φοιτητών ενός καθηγητή Πανεπιτημίου από έναν άλλο. Πέρα όμως από τις περιπτώεις αυτές, υπάρχει και ένας άλλος λόγος που η ύγκριη των διακυμάνεων δύο πληθυμών είναι απαραίτητη. Είδαμε ήδη τις προηγούμενες ενότητες ότι, προκειμένου να προχωρήουμε την ύγκριη των μέων δύο πληθυμών με άγνωτες διακυμάνεις, χρειάζεται να γνωρίζουμε αν οι διακυμάνεις αυτές είναι ίες, ή περίπου ίες, ή όχι. Ανάλογα με την απάντηη το ερώτημα αυτό, επιλέγουμε, όπως είδαμε, και κάποια τατιτική διαδικαία ελέγχου των μέων. Η υνήθης επομένως υπόθεη που χρειάζεται να ελέγξουμε είναι η, H : =

Δοθέντος ότι, όπως έχουμε ήδη δει, έχουμε γνώη για την κατανομή τατιτικής υνάρτηης που αναφέρεται ε λόγο διακυμάνεων (η F κατανομή), μπορούμε, ιοδύναμα, να γράψουμε την μηδενική υπόθεη ως, H : = 1 Οι διάφορες μορφές εναλλακτικής υπόθεης που μπορούμε να έχουμε είναι οι: H 1 : < 1, H 1 : 1, H 1 : > 1 Έχουμε ήδη δει, ότι η τατιτική υνάρτηη * * n ( n 1) = m F n-1, m-1 ( m 1) Επομένως, κάτω από τη μηδενική υπόθεη, η τατιτική υνάρτηη ελέγχου είναι η, n * ( n 1) F = = * F m n-1, m-1 m 1 y ( ) Για τις διάφορες εναλλακτικές υποθέεις που προαναφέραμε θα έχουμε τους εξής κανόνες αποφάεων: 1) Αν H 1 : < 1, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας α αν F < F n-1, m-1, α 1 F m 1,n 1, α 441

α F n-1, m-1, α ) Αν H 1 : 1, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας α αν F < F n-1, m-1, α 1 F m 1,n 1,1 α/ ή αν F > F n-1, m-1, 1-α/ α/ α/ F n-1, m-1, α F n-1, m-1, 1-α/ 3) Αν H 1 : > 1, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας α αν F > F n-1, m-1, 1-α 44

α F n-1, m-1, 1-α Απαραίτητη προϋπόθεη για να ιχύει η προηγούμενη υμπεραματολογία είναι ότι τα δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους n, m, αντίτοιχα, προέρχονται από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς. Παράδειγμα: Στο παράδειγμα με την υκευαία προϊόντων ε δύο διαφορετικά εργοτάια, είχαμε αναγκαθεί να υποθέουμε, προκειμένου να προχωρήουμε ε υμπεραματολογία για τις μέες τιμές των δύο πληθυμών, ότι οι διακυμάνεις των δύο πληθυμών ήταν ίες. Φυικά είναι απαραίτητο, πριν προχωρήουμε ε υμπεραματολογία τέτοιας μορφής, να επιβεβαιώουμε ότι η υπόθεη για τις διακυμάνεις ιχύει. Στο παράδειγμα εκείνο, είχαμε δει ότι, από δύο δείγματα μεγέθους n = 5 και m = από τους δύο πληθυμούς, οι αμερόληπτες τυπικές αποκλίεις των παρατηρήεων ήταν * = 167.1 και * = 14. Ας υποθέουμε ότι ο προϊτάμενος του εργοταίου θέλει να ελέγξει την υπόθεη του κατά πόον, από τις ενδείξεις αυτές, προκύπτει ότι υπάρχει μεγαλύτερη διακύμανη τις υκευαίες του εργοταίου Α από τις υκευαίες του εργοταίου Β. Επομένως, η υπόθεη που θα πρέπει να ελεγχθεί είναι η H : = 443

H 1 : > 1 Έτω ότι θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεη αυτή ε επίπεδο ημαντικότητας α =.1. Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεη είναι η, F = ( 16 71 ). = 1385. 14. ( ) Από τους πίνακες της κατανομής F, έχουμε ότι F 4, 19,.99 =.9 Με βάη τις παρατηρήεις των δύο δειγμάτων, παρατηρούμε ότι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεη δεν βρίκεται την κρίιμη περιοχή του ελέγχου και, επομένως, δεν έχουμε ενδείξεις για να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεη. Παράδειγμα: Σε ένα άλλο παράδειγμα που εξετάαμε προηγουμένως, αναφερθήκαμε την εξέταη του προβλήματος του κατά πόο επηρεάζει η τοποθέτηη ενός προϊόντος τις πωλήεις του προϊόντος αυτού. Και τη περίπτωη εκείνη είναι απαραίτητο να κάνουμε έναν έλεγχο υποθέεων για την ιότητα των διακυμάνεων τους δύο πληθυμούς. Αν τη περίπτωη αυτή μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε αν υπάρχει διαφορά τις διακυμάνεις ή όχι, θα πρέπει να ελέγξουμε την υπόθεη H : = H 1 : Στο παράδειγμα εκείνο, είχαμε βρει ότι * = 945 και * = 17.37 Κάτω από την μηδενική υπόθεη, και για τις τιμές αυτές των αμερολήπτων δειγματικών διαπορών, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου είναι η 444

F = 945 = 54. 4 17. 37 Τα κρίιμα ημεία του ελέγχου για επίπεδο ημαντικότητας α =.5 είναι F 6,5,.975 = 6.98 F 6,5,.5 = 1 F5,6,.975 = 1597. =.167 Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεη βρίκεται αφέτατα την κρίιμη περιοχή και, επομένως, με βάη τα τοιχεία της δειγματοληψίας, η μηδενική υπόθεη θα πρέπει να απορριφθεί. (Επομένως, την περίπτωη αυτή, δεν μπορεί να χρηιμοποιηθεί η μέθοδος της ταθμιμένης δειγματικής διακύμανης γιατί η υπόθεη για ιότητα των διακυμάνεων των πληθυμών δεν ιχύει). Σημείωη: Εάν θέλουμε να χρηιμοποιήουμε την διαδικαία με την p-τιμή από τους πίνακες έχουμε ότι, P [F 6,5 > 54.4] <.5 Επειδή έχουμε αμφίπλευρη εναλλακτική υπόθεη, η p-τιμή (παρατηρούμενο επίπεδο ημαντικότητας) για το πρόβλημα υτό είναι, p-τιμή < (.5) =.1 Επομένως, με βάη τα τοιχεία της δειγματοληψίας, η μηδενική υπόθεη θα πρέπει να απορρίπτεται ε οποιοδήποτε επίπεδο ημαντικότητας μεγαλύτερο του.1. Σύγκριη Διακυμάνεων και το tatgraphics Το τατιτικό πακέτο tatgraphics δεν δίνει την ανάλυη δύο δειγμάτων (TWO-AMPLE ANALI) έλεγχο για δύο διακυμάνεις. Όπως όμως έχουμε δει και προηγουμένως, δίνει διατήματα εμπιτούνης για τον λόγο δύο διακυμάνεων. Τα διατήματα αυτά μπορούν να χρηιμοποιηθούν και για τον 445

έλεγχο τατιτικών υποθέεων. Ας κοιτάξουμε, για παράδειγμα, το πρόβλημα της ύγκριης των πωλήεων ενός προϊόντος ανάλογα με την θέη όπου το προϊόν αυτό τοποθετείται τα κατατήματα. Έχουμε ήδη εξετάει αναλυτικά το πρόβλημα αυτό τόο για ύγκριη μέων τιμών όο και για ύγκριη διακυμάνεων. Χρηιμοποιώντας την επιλογή TWO-AMPLE ANALI και ειάγοντας τα τοιχεία των παρατηρήεων των δύο δειγμάτων για το πρόβλημα, παίρνουμε ως αποτέλεμα τον πίνακα που ακολουθεί. TWO-AMPLE ANALI REULT AMPLE 1 AMPLE POOLED AMPLE TATITIC: NUMBER OF OB. 7 6 13 AVERAGE 11 89.1667 16.38 VARIANCE 945 17.3667 53.348 TD. DEVIATION 3.749 4.16733.8768 MEDIAN 119 89.5 93 DIFFERENCE BETWEEN MEAN = 31.8333 CONF. INTERVAL FOR DIFF. IN MEAN: 95 PERCENT (EQUAL VAR.) AMPLE 1-AMPLE 3.8199 59.8537 11 D.F. (UNEQUAL VAR.) AMPLE 1-AMPLE 3.37436 6.3 D.F. RATIO OF VARIANCE = 54.4146 CONF. INTERVAL FOR RATIO OF VARIANCE: 95 PERCENT AMPLE 1 AMPLE 7.79835 35.775 6 5 D.F. HPOTHEI TET FOR H: DIFF = COMPUTED t TATITIC =.5115 V ALT: NE IG. LEVEL =.94463 AT ALPHA =.5 O REJECT H. Όπως βλέπουμε, ο πίνακας αυτός, εκτός από τις βαικότερες τατιτικές υναρτήεις για καθένα από τα δείγματα (AMPLE 1 και AMPLE ) και το ταθμιμένο δείγμα (POOLED), δίνει, την 446

δεύτερη ενότητα, την διαφορά των δειγματικών μέων (DIFFERENCE BETWEEN MEAN) και, για το υγκεκριμένο επίπεδο εμπιτούνης που διαλέγουμε (τον πίνακα αυτό έχουμε διαλέξει το 95% διάτημα εμπιτούνης), το διάτημα εμπιτούνης και τους βαθμούς ελευθερίας τόο για την περίπτωη των ίων διακυμάνεων (EQUAL VAR) όο και για την περίπτωη των ανίων διακυμάνεων (UNEQUAL VAR). Για την περίπτωη αυτή, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας (6.3) έχει υπολογιθεί με τον τύπο που προκύπτει από την μέθοδο Behrens-Fisher που παρουιάαμε την αντίτοιχη ενότητα. Στην υνέχεια, δίνεται η τιμή της τατιτικής υνάρτηης για τον λόγο των διακυμάνεων (RATIO OF VARIANCE) που επιβεβαιώνει την τιμή που έχουμε ήδη υπολογίει (54.4146). Στην υνέχεια, δίνεται το διάτημα εμπιτούνης για τον λόγο των διακυμάνεων το επιλεγμένο επίπεδο (την περίπτωή μας 95% διάτημα εμπιτούνης) και εμφανίζεται ως απάντηη το πεδίο (CONF. INTERVAL FOR RATIO OF VARIANCE) με τους αντίτοιχους βαθμούς ελευθερίας (6 5 D.F.). Αυτό το διάτημα εμπιτούνης μπορεί να χρηιμοποιηθεί και για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεης H : =. Πράγματι, παρατηρούμε ότι το υγκεκριμένο διάτημα εμπιτούνης (7.79835,35.775) δεν περιέχει την τιμή της τατιτικής υνάρτηης κάτω από την μηδενική υπόθεη ( / = 1) και, επομένως, η υπόθεη αυτή θα πρέπει να απορριφθεί ε επίπεδο ημαντικότητας α=.5. Θα πρέπει να τονιθεί ότι ο έλεγχος υποθέεων που γίνεται το τέλος του πίνακα αυτού και αναφέρεται τις μέες τιμές των δύο πληθυμών (HPOTHEI TET FOR H : DIFF = V ALT: NE) που ημαίνει ε χέη με την εναλλακτική υπόθεη H 1 : μ μ (NE= not equal) ε α =.5 (AT ALPHA =.5), αναφέρεται ε έλεγχο που γίνεται κάτω από την υπόθεη ίων διακυμάνεων. 447

Αυτό επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που δίνεται τον πίνακα (COMPUTED t TATITIC) είναι t=.5115 που προκύπτει αν χρηιμοποιηθεί η τατιτική υνάρτηη ελέγχου Τ με την χρηιμοποίηη της * ταθμιμένης δειγματικής διαποράς p. Πράγματι, για την περίπτωη αυτή είναι 11 89.17 t = =.5 53.348 53.348 + 7 6 Η τιμή αυτή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου δίνει ως p- τιμή (παρατηρούμενο επίπεδο ημαντικότητας) ε χέη με αμφίπλευρη εναλλακτική υπόθεη (V ALT: NE) την τιμή.94463 (IG. LEVEL). Χρειάζεται, όμως, μεγάλη προοχή γιατί, όπως υμβαίνει την περίπτωή μας, ο έλεγχος αυτός είναι λανθαμένος. Πράγματι, δεν μπορούμε να χρηιμοποιήουμε τον έλεγχο αυτον που τηρίζεται την ταθμιμένη δειγματική διαπορά δοθέντος ότι έχει ήδη απορριφθεί η υπόθεη των ίων διαπορών των πληθυμών. Μόνο την περίπτωη που δεν έχει απορριφθεί η υπόθεη των ίων διαπορών των πληθυμών, ο έλεγχος αυτός έχει έννοια και μπορεί να χρηιμοποιηθεί. 448