ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Coons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας - 1 Η έννοια του σφάλματος ως χαρακτηριστικό απόδοσης Επιθυμητές τιμές σφάλματος μόνιμης κατάστασης ως απαιτήσεις απόδοσης Συνδεσμολογίες ελέγχου και σφάλματα μόνιμης κατάστασης 4
Περιεχόμενα Ενότητας - 2 Απαίτηση ακρίβειας προσέγγισης του r(t) από το y(t) κατά τη μόνιμη κατάσταση Ανοικτός έναντι κλειστού βρόχου Συμπεριφορά σφάλματος ως συνέπεια του τύπου συστήματος και του σήματος r(t) 5
Περιεχόμενα Ενότητας - 3 Απαίτηση ακρίβειας προσέγγισης του r(t) από το y(t) κατά τη μόνιμη κατάσταση Συμπεριφορά σφάλματος ως συνέπεια του τύπου συστήματος και του σήματος r(t) Σύστημα C(s) G(s) τύπου 0 Σύστημα C(s) G(s) τύπου 1 Σύστημα C(s) G(s) τύπου 2 6
Απαίτηση ακρίβειας προσέγγισης του r(t) από το y(t) κατά τη μόνιμη κατάσταση Ανοικτός έναντι κλειστού βρόχου 7
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 1 Ακρίβεια του ελέγχου = βαθμός προσέγγισης της απόκρισης y(t) στο υποδειγματικό σήμα r(t). Η διαφορά μεταξύ r(t) και y(t) είναι το σφάλμα e(t) [ή E(s) στο πεδίο Laplace]. 8
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 2 Ακρίβεια του ελέγχου = βαθμός προσέγγισης της απόκρισης y(t) στο υποδειγματικό σήμα r(t). Η διαφορά μεταξύ r(t) και y(t) είναι το σφάλμα e(t) [ή E(s) στο πεδίο Laplace]. Για τον ανοικτό βρόχο της περίπτωσης που εξετάζουμε θα έχουμε: Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου. 9
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 3 Έστω το απλό πρωτοβάθμιο Τότε: E(s) = R(s) - Y(s) = Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου. G(s) = Kp K R(s) - R(s) = τ s + 1 K s + 1 Εύρεση σφάλματος μόνιμης κατάστασης; τ τ C(s)=Kp & D(s)=0. s + 1 Kp K τ s + 1 R(s) (1) 10
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 4 Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου. Με το θεώρημα Τελικής Τιμής για μοναδιαία βηματική είσοδο r(t)=1 (δηλαδή R(s)=1/s): E = li s E(s) s 0 = li s s 0 τ s + 1 Kp K τ s + 1 1 s = 1 Kp K (2) 11
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 5 E Άρα: = li s E(s) s 0 τ = li s s 0 s + 1 Kp K τ s + 1 = 1 Kp K Μόνο μια τιμή του Kp μπορεί να οδηγήσει σε μηδενικό σφάλμα. Μια μικρή απόκλιση από αυτή την τιμή (που μπορεί να προέλθει από ατελή γνώση του μεγέθους του K, για παράδειγμα) θα μεγαλώσει σημαντικά το σφάλμα. 1 s (2) 12
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 6 Αντίθετα, για την περίπτωση του κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση: E(s) Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου, έστω H(s)=1 για ευκολία C(s) G(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - R(s) = 1+ C(s) G(s) 1+ Kp [K 1 /(τ s + R(s) (3) 1)] 13
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 7 E(s) = R(s) - Y(s) = C(s) G(s) R(s) - 1+ C(s) G(s) R(s) = 1+ Kp [K 1 /(τ s + R(s) 1)] (3) Με το θεώρημα Τελικής Τιμής για μοναδιαία βηματική είσοδο r(t)=1 (δηλαδή R(s)=1/s): E = li s E(s) s 0 = li s s 0 1+ Kp [K 1 /(τ s + 1)] 1 s = 1 1+ Kp K (4) 14
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 8 Με το θεώρημα Τελικής Τιμής για μοναδιαία βηματική είσοδο r(t)=1 (δηλαδή R(s)=1/s): E = li s E(s) s 0 = li s s 0 1+ Kp [K 1 /(τ s + 1)] 1 s = 1 1+ Kp K (4) Άρα: Το σφάλμα μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με το μέγεθος του Kp. Αν η ευστάθεια του συστήματος ελέγχου (όπως εξετάζεται παρακάτω) είναι εφικτή, τότε αύξηση του Kp οδηγεί σε μικρότερο σφάλμα, δηλαδή καλύτερη προσέγγιση του υποδείγματος r(t) από την απόκριση y(t). 15
Ανοικτός Έναντι Κλειστού Βρόχου - 9 Οπότε μεταξύ των δύο συνδεσμολογιών: Ο κλειστός βρόχος υπερτερεί λόγω των δυνατοτήτων που προσφέρει για μείωση των σφαλμάτων μόνιμης κατάστασης 16
Απαίτηση ακρίβειας προσέγγισης του r(t) από το y(t) κατά τη μόνιμη κατάσταση Συμπεριφορά σφάλματος ως συνέπεια του τύπου συστήματος & του σήματος r(t) 17
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 1 Όμοια εξάγονται συμπεράσματα για τις τιμές των μονίμων σφαλμάτων που προκύπτουν σε κλειστό βρόχο ανάλογα με το σήμα r(t) και τον τύπο* του συστήματος C(s) G(s). 18
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 2 Όμοια εξάγονται συμπεράσματα για τις τιμές των μονίμων σφαλμάτων που προκύπτουν σε κλειστό βρόχο ανάλογα με το σήμα r(t) και τον τύπο* του συστήματος C(s) G(s). Έστω ότι το σύστημα C(s) G(s) είναι τύπου α, δηλαδή: P(s) P(0) C(s) G(s)=, K α s Q(s) Q(0) = *Υπενθυμίζεται ότι ο τύπος του συστήματος είναι ίσος με την πολλαπλότητα των πόλων στο μηδέν αυτού (π.χ. αν F(s)=5 (s+1)/[s 2 (s+3)], τότε το F(s) είναι τύπου-2, αλλά βαθμού 3) (5) 19
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 3 Όμοια εξάγονται συμπεράσματα για τις τιμές των μονίμων σφαλμάτων που προκύπτουν σε κλειστό βρόχο ανάλογα με το σήμα r(t) και τον τύπο* του συστήματος C(s) G(s). Έστω ότι το σύστημα C(s) G(s) είναι τύπου α, δηλαδή: P(s) P(0) C(s) G(s)=, K α s Q(s) Q(0) = *Υπενθυμίζεται ότι ο τύπος του συστήματος είναι ίσος με την πολλαπλότητα των πόλων στο μηδέν αυτού (π.χ. αν F(s)=5 (s+1)/[s 2 (s+3)], τότε το F(s) είναι τύπου-2, αλλά βαθμού 3) Θεωρήσατε για ευκολία H(s)=1 οπότε μέσω της (3): C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) (5) (6) 20
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 4 C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) (7) Προφανώς, η συνάρτηση του σφάλματος εξαρτάται από το σήμα r(t) που επιλέγεται, με συνηθέστερες τις τρεις ακόλουθες μορφές: 21
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 5 C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) (7) Προφανώς, η συνάρτηση του σφάλματος εξαρτάται από το σήμα r(t) που επιλέγεται, με συνηθέστερες τις τρεις ακόλουθες μορφές: I. Βηματική μορφή r(t)=1, δηλαδή R(s)=1/s 22
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 6 C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) (7) Προφανώς, η συνάρτηση του σφάλματος εξαρτάται από το σήμα r(t) που επιλέγεται, με συνηθέστερες τις τρεις ακόλουθες μορφές: I. Βηματική μορφή r(t)=1, δηλαδή R(s)=1/s II. Μορφή ράμπας r(t) = t, δηλαδή R(s)=1/s 2 23
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 7 C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) (7) Προφανώς, η συνάρτηση του σφάλματος εξαρτάται από το σήμα r(t) που επιλέγεται, με συνηθέστερες τις τρεις ακόλουθες μορφές: I. Βηματική μορφή r(t)=1, δηλαδή R(s)=1/s II. Μορφή ράμπας r(t) = t, δηλαδή R(s)=1/s 2 III. Παραβολική μορφή r(t) = 0.5 t 2, δηλαδή R(s)=1/s 3 24
Συμπεριφορά Σφάλματος ως Συνέπεια του Τύπου Συστήματος & του Σήματος r(t) - 8 C(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-Y(s) = R(s)- R(s) = R(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) Προφανώς, η συνάρτηση του σφάλματος εξαρτάται από το σήμα r(t) που επιλέγεται, με συνηθέστερες τις τρεις ακόλουθες μορφές: I. Βηματική μορφή r(t)=1, δηλαδή R(s)=1/s II. Μορφή ράμπας r(t) = t, δηλαδή R(s)=1/s 2 III. Παραβολική μορφή r(t) = 0.5 t 2, δηλαδή R(s)=1/s 3 Χρησιμοποιούμε το θεώρημα τελικής τιμής ώστε να εξάγουμε τις τιμές σφάλματος μόνιμης κατάστασης για κάθε περίπτωση σήματος r(t). 25 (7)
Σύστημα C(s) G(s) Τύπου -0 26
Συναρτήσεις Σφάλματος Συστήματος C(s) G(s) Τύπου -0 Για σύστημα C(s) G(s) τύπου-0, Βηματική R(s)=1/s Ράμπα R(s)=1/s 2 1 1 1 E = li s E(s) = li s = 0, (8) s 0 s 0 P(s) 1 + [ ] s 1+ K Q(s) 1 1 E = li s E(s) = li s s 0 s 0 2 P(s) s (9) 1 + [ ] Q(s) 1 1 Παραβολή R(s)=1/s 3 E = li s E(s) = li s 3(10) s 0 s 0 P(s) 1 + [ ] s Q(s) 27
Σύστημα C(s) G(s) Τύπου -1 28
Συναρτήσεις Σφάλματος Συστήματος C(s) G(s) Τύπου -1 Για σύστημα C(s) G(s) τύπου-1, Βηματική R(s)=1/s 1 1 E = li s E(s) = li s = 0 s 0 s 0 P(s) 1 + [ ] s s Q(s) (11) Ράμπα R(s)=1/s 2 Παραβολή R(s)=1/s 3 1 1 1 E = li s E(s) = li s = 0, s 0 s 0 2 P(s) 1 + [ ] s K s Q(s) 1 1 E = li s E(s) = li s s 0 s 0 3 P(s) 1 + [ ] s s Q(s) (12) (13) 29
Σύστημα C(s) G(s) Τύπου -2 30
Συναρτήσεις Σφάλματος Συστήματος C(s) G(s) Τύπου -2 Για σύστημα C(s) G(s) τύπου-2 Βηματική R(s)=1/s Ράμπα R(s)=1/s 2 Παραβολή R(s)=1/s 3 1 1 E = li s E(s) = li s = 0 s 0 s 0 P(s) 1 + [ ] s 2 s Q(s) 1 1 E = li s E(s) = li s = 0 s 0 s 0 2 P(s) 1 + [ ] s 2 s Q(s) 1 1 1 E = li s E(s) = li s = 0, s 0 s 0 3 P(s) 1 + [ ] s K 2 s Q(s) (14) (15) (16) 31
Τέλος Ενότητας