ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Μαθηματική Θεωρία Υλικών ΙΙ» (ΕΜ5) Εαρινό Εξάμηνο 007-08, Διδάσκων: Ι Τσαγράκης Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι») μια βάση του Ευκλείδειου χώρου E Δείξτε ότι τα διανύσματα v = e+ e + e, v = e+ e + e, v = e+ e + e δεν αποτελούν βάση του E Άσκηση : Έστω { e, e, e } Άσκηση : Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να υπολογίσετε: α) Τις συνιστώσες του v w συναρτήσει των συνιστωσών των διανυσμάτων v και w ως προς μια ορθοκανονική βάση { e i } β) Τις συνιστώσες του γινομένου T συναρτήσει των συνιστωσών του τανυστή ης τάξης T και του διανύσματος ως προς μια ορθοκανονική βάση { e i } γ) Τις συνιστώσες του γινομένου TSP συναρτήσει των συνιστωσών των τριών τανυστών ης τάξης T, S και e P ως προς μια ορθοκανονική βάση { } i δlr δls δlt Άσκηση : Χρησιμοποιώντας ως δεδομένο ότι εlmnεrst = δmr δms δmt, να δείξετε με τη σειρά τα εξής: δ δ δ nr ns nt α) εlmtεrst = δlrδms δlsδmr, β) εlstεrst = δlr, γ) εrstε rst = 6 Άσκηση 4: Έστω τα διανυσματικά πεδία, v, w, και a Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να δείξετε τα εξής: α) ( v) w= ( w) v ( v w) β) ( v) ( w a) = ( w)( v a) ( a)( v w) γ) ( v) ( v w) ( w ) = ( v w) δ) ( v) ( w a) + ( v w) ( a) + ( w ) ( v a) = ( v w) a Άσκηση 5: Έστω τα διανυσματικά πεδία και v, και τα βαθμωτά πεδία ϕ και ψ Χρησιμοποιήστε συμβολισμό με δείκτες για να δείξετε τα εξής: α) div(crl ) = 0 β) crl(grad ϕ ) = 0 γ) div( ϕ) = (grad ϕ) + ϕdiv δ) crl( ϕ) = (grad ϕ) + ϕcrl ε) div( v) = (crl ) v crlv στ) crl( v) = (grad ) v (grad v) + div v vdiv ζ) div[grad( ϕψ)] = ϕ ψ + ψ ϕ + (grad ϕ) (grad ψ) Άσκηση 6: Δείξτε ότι το ίχνος και η ορίζουσα ενός τανυστή T αλλαγή βάσης ei = Qei, με Q Orth ης τάξης μένουν αναλλοίωτες κατά την Άσκηση 7: Δείξτε ότι η ποσότητα v w μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή βάσης ei = Qei Είναι αναλλοίωτη κατά την αλλαγή ei = Qei, με Q Orth ; Άσκηση 8: Έστω ένα διανυσματικό πεδίο και ένα τανυστικό πεδίο ης τάξης T, με Q Orth +

α) Δείξτε ότι οι αποκλίσεις div και divt μένουν αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης e i = Qei, με Q Orth β) Δείξτε ότι η ποσότητα crl μένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή βάσης ei = Qei, με Q Orth + det T λ = λ + ITλ IITλ + IIIT, όπου IT, IIT, III T είναι οι βασικές αναλλοίωτες του τανυστή ης τάξης T οι οποίες ορίζονται ως: I tr( ) T = T, II ([ tr( ) ] tr( T = T T ) ) και IIIT = dett Άσκηση 9: Χρησιμοποιώντας συμβολισμό με δείκτες, να δείξετε ότι: ( ) Άσκηση 0: Έστω ότι ένας συμμετρικός τανυστής ης τάξης T που έχει δυο ίσες ιδιοτιμές, δηλ λ λ = λ Τότε η χαρακτηριστική εξίσωση γίνεται: det ( T λ ) = ( λ λ)( λ λ) = 0 Να δειχθεί ότι ο T ικανοποιεί την εξίσωση: T ( λ+ λ) T + λλ = O Άσκηση : Έστω τανυστής ης τάξης T με συνιστώσες ( T ij ) { e i } α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του T, β) Να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστημα ιδιοδιανυσμάτων του T, / γ) Να βρεθεί ο T και να γραφτούν οι συνιστώσες του ως προς τη βάση { } Άσκηση : Έστω τανυστής ης τάξης F με συνιστώσες ( F ij ) { } i e 7 0 = 7 4 ως προς μια ορθοκανονική βάση 0 4 7 0 = 0 0 ως προς μια ορθοκανονική βάση 0 0 Υπολογίστε τους τανυστές R, U και V της πολικής παραγοντοποίησης και γράψτε τις συνιστώσες τους ως προς τη βάση { e i } Ποιες οι συνιστώσες του δεξιού Cachy-Green τανυστή C t y = e + x Άσκηση : Έστω η κίνηση ενός συνεχούς μέσου: y = xcost xsint Να υπολογιστούν: y = xsint+ xcost α) Η ταχύτητα σε υλική και χωρική περιγραφή β) Η επιτάχυνση σε υλική και χωρική περιγραφή γ) Η κλίση της παραμόρφωσης και ο δεξιός Cachy-Green τανυστής δ) Η κλίση της ταχύτητας, ο τανυστής ρυθμού έντασης και ο τανυστής περιδίνησης Εξετάστε εάν η κίνηση είναι ισόχωρη v y, t = κye+ κye+ λ( y+ y) e, με κ, λ σταθερές α) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης y = f ( x, β) Να γραφτεί η ταχύτητα σε υλική περιγραφή γ) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση σε υλική και χωρική περιγραφή δ) Να διαπιστωθεί ότι κάθε σωματίδιο του συνεχούς μέσου κινείται σε (κυκλική) κυλινδρική επιφάνεια με σταθερό μέτρο ταχύτητας ε) Να βρεθεί η υλική παράγωγος των μεγεθών: i) ψ = y+ t y y, και ii) w= ( yt y) e+ yyt e ye Απάντηση: α) y = x cosκt x sin κt, y = x sinκt+ x cos κt, y = λ( x + x ) t+ x Άσκηση 4: Δίνεται το πεδίο ταχύτητας: ( ) e i

y y y Άσκηση 5: Το πεδίο ταχύτητας ενός συνεχούς μέσου δίνεται ως: v( y, = e+ e + e Να + t + t + t υπολογιστούν: α) Το διάνυσμα επιτάχυνσης συναρτήσει των μεταβλητών του Eler και του Lagrange β) Οι εξισώσεις των γραμμών ροής και των τροχιών των σωματιδίων του ΣΜ γ) Εξετάστε αν η κίνηση είναι αστρόβιλη και ισόχωρη Αν δεν είναι ισόχωρη, βρείτε τα ζεύγη τιμών ( x, για τα οποία έχουμε διαστολή όγκου y 6y Απάντηση: α) a( y, = e + e, a( x, = xe + 6( + xe ( + ( + β) y = c y, y = c y (συμπίπτουν) γ) αστρόβιλη και μη ισόχωρη Διαστολή όγκου για όλα τα ( x, Άσκηση 6 (Θέμα ΜΣΜ Ιουν007): Διατηρούμενη συνεχώς ομογενής, μια αέρια μάζα m διαστέλλεται έχοντας πεδίο ταχυτήτων: v = y( y e yye + tye Αν σε χρόνο t = 0 η μάζα m κατέχει όγκο V o σε πόσο χρόνο θα διπλασιαστεί ο όγκος της; Άσκηση 7 (Θέμα ΜΣΜ Ιουν007): Έστω το πεδίο ταχύτητας: v = yf( y, y) e yf( y, y) e Βρείτε τη μορφή της συνάρτησης f ( y, y ) έτσι ώστε η ροή να είναι αστρόβιλη και το συνεχές μέσο ασυμπίεστο Άσκηση 8: Μια επίπεδη κίνηση ενός συνεχούς μέσου δίνεται ως: y = t+ x, y = t + t+ x Να βρεθούν: α) η τροχιά του σωματιδίου που, τη χρονική στιγμή t =, βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, β) η γραμμή ροής που, τη χρονική στιγμή t o =, περνά από την αρχή των αξόνων Απάντηση: α) y = y + y, β) y = y Άσκηση 9 (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): α) Να βρεθεί το μητρώο συνιστωσών σε ΟΚ βάση { e i } του τανυστή R στροφής περί άξονα e κατά γωνία π /4 β) Να βρεθεί (χωρίς υπολογισμούς) μια μόνο ιδιοτιμή και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του R e ~ π / 4 π / 4 Re ~ ~ Άσκηση 0 (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): Η παραμόρφωση f : R R έχει συνιστώσες (σε ΟΚ βάση) τις: f( x) = x+ x, f( x) = x x, f( x) = ϕ( x), όπου ϕ :, ϕ C ( ) α) Ποιο είναι το πρόσημο της παραγώγου ϕ ( x) ; β) Αν η f διατηρεί τον όγκο (ισόχωρη) και ϕ (0) = 0, βρείτε την ϕ( x) x / γ) Αν η f είναι ισόχωρη, βρείτε το μητρώο συνιστωσών του τανυστή έκτασης U = ( F T F) Άσκηση (Θέμα ΜΣΜ Ιαν006): Σώμα υφίσταται χρονικά ανεξάρτητη παραμόρφωση ενώ ισχύουν τα ισοζύγια ορμών Στην παραμορφωμένη περιοχή το πεδίο του τανυστή των τάσεων του Cachy δίνεται ως T( y) = d y+ cy d, y R, όπου d = σταθ E, c = σταθ α) Να βρεθεί η τιμή της c β) Να βρεθεί το πεδίο δύναμης σώματος στην R Άσκηση (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): α) Γράψτε ΧΩΡΙΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ τα βαθμωτά, διανύσματα ή τανυστές με συνιστώσες B a, B a, A B B, ε A B d c ij j ij i ij jk lk ijk jm kl m l e ~

0 0 β) ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΣ τανυστής A έχει μητρώο συνιστωσών 0 / b σε κάποια ΟΚ βάση Να βρεθούν 0 c / όλες οι δυνατές τιμές των b, c και να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία του τανυστή (με λόγια) f xt, = Rt ( ) x, x R, όπου R() t είναι χρονικά εξαρτώμενος τανυστής στροφής T α) Δείξτε ότι ο τανυστής W() t = R () t R () t είναι λοξός β) Γράψτε τα πεδία χωρικής ταχύτητας και χωρικής επιτάχυνσης για αυτή την κίνηση χωρίς συνιστώσες γ) Επειδή ο Wt () είναι λοξός, έχει αξονικό διάνυσμα wt () Βρείτε εκφράσεις για τα πεδία χωρικής ταχύτητας και χωρικής επιτάχυνσης που περιέχουν μόνο το y Rt, το wt () και παραγώγους του Άσκηση (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): Κίνηση σώματος δίνεται σαν ( ) Άσκηση 4 (Θέμα ΜΣΜ Σεπτ006): Σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας με πεδίο τανυστή τάσεων Cachy T( y) = ( y e) e e, όπου e είναι σταθερό διάνυσμα Να βρεθεί το πεδίο δύναμης σώματος Άσκηση 5 (Παλιό θέμα ΜΘΥ): Τα mn, E, είναι δεδομένα ορθοκανονικά διανύσματα Έστω A= m n+ n m α) Βρείτε τον πίνακα συνιστωσών του A ως προς τη βάση { d }, d, d, όπου d = ( m n), d = ( m+ n), d = n m β) Βρείτε τις ιδιοτιμές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του A γ) Γράψτε τον A σαν άθροισμα δύο τανυστικών γινομένων διανυσμάτων Άσκηση 6 (Παλιό θέμα ΜΘΥ): Για τα πεδία : E E και S : E Sym, ταυτότητες: α) ( S) = S sym + ( S) β) [( ) ] ( ) T ( ) = 0 S, C (E), αποδείξτε τις Άσκηση 7 (Παλιό θέμα ΜΘΥ): Αν R E είναι ανοικτή περιοχή και f : R E είναι η απεικόνιση που σε ΟΚ βάση έχει συνιστώσες: f( x) = x, f( x) = x + g( x), f( x) = x+ h( x, x), όπου g :, h :, g C ( ), h C ( ), αποδείξτε ότι η f είναι παραμόρφωση, δηλαδή ότι f C ( R), det f > 0 εν R, και ότι η f είναι ολικά αντιστρέψιμη Άσκηση 8: Συνεχές μέσο υφίσταται την παραμόρφωση f : R R με συνιστώσες (σε ΟΚ βάση { e i }) τις: f( x) = x+ κ ( x x + x), f( x) = x + κ ( x x + x), f( x) = x+ κ ( x x + x), όπου κ = σταθ α) Να υπολογιστεί το μητρώο συνιστωσών του δεξιού Cachy-Green τανυστή C ως προς τη βάση { e i } β) Στο υλικό σημείο (,,0), να υπολογιστούν οι εκτάσεις κατά τις διευθύνσεις των διανυσμάτων της ΟΚ βάσης { e i } και οι γωνίες διάτμησης γ ( ei, ej), i j γ) Στο σημείο (,,0), να βρεθεί η έκταση κατά τη διεύθυνση του διανύσματος e+ e + e δ) Σε ποια σημεία δύο διευθύνσεις αρχικά παράλληλες προς του άξονες x, x, αντίστοιχα, διατηρούν την καθετότητα τους; Άσκηση 9: Δίνεται το πεδίο ταχύτητας: v( y, = κye+ μye, όπου κ, μ = σταθ α) Να βρεθεί ο τανυστής ρυθμού έντασης Τι συμβαίνει όταν μ = κ ; β) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα ω στη γενική περίπτωση και για μ = κ 4

γ) Να βρεθεί η κυκλοφορία της ταχύτητας κατά μήκος της περιφέρειας x + x = Απάντηση: α) D = (κ + μ)/, D ij = 0, β) ( ω = μe + κe ), ω = κ ( e+ e), γ) π (μ κ) v x, t = κxe κtxe+ κ t xe, όπου σταθ κ = α) Αποδείξτε ότι όλα τα υλικά σημεία που, σε χρόνο t = 0 βρίσκονται μέσα στη μοναδιαία σφαίρα xx i i, θα βρεθούν, σε χρόνο t =, μέσα σε ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής περί τον άξονα Ox β) Για ποια τιμή του κ ο όγκος του ελλειψοειδούς είναι διπλάσιος από τον όγκο της σφαίρας; Άσκηση 0: Δίνεται το πεδίο ταχύτητας: ( ) Απάντηση: β) κ =± Άσκηση : Το πεδίο ταχύτητας μιας δυναμικής ροής είναι: v( y, = ( αyy+ β y) e+ ( βyy+ γ y) e + ( γ yy + α y) e όπου α, βγ=, σταθ Αν από το χρόνο t = 0 στο χρόνο t =, ο κάθε σωματιδιακός όγκος του ΣΜ διπλασιάζεται, τότε: α) Υπολογίστε τις σταθερές α, βγ, β) Βρείτε το δυναμικό ϕ του πεδίου ταχυτήτων = = =, β) ( ϕ = ln yyy ln ) y 6 + y + y Απάντηση: α) α β γ ln y Άσκηση : Δίνεται το πεδίο ταχύτητας: v( y, = ye ye+ e Να υπολογιστεί το μέτρο ταχύτητας + t του υλικού σημείου x = e+ e + e, τη χρονική στιγμή ln t = Απάντηση: v = Άσκηση : Δίνεται το πεδίο ταχύτητας: ( ) σημείο (,,) Απάντηση: y + y =, y + 4 y = 6 v y, t = y e + y e + 4y e Να βρεθεί η τροχιά που περνά από το Άσκηση 4: Το πεδίο ταχύτητας ενός ρευστού προέρχεται από το δυναμικό Είναι το ρευστό ασυμπίεστο; Απάντηση: όχι ϕ = ln r με r = y + y + y 5